Orthogonalité dans l’espace
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Lyoum bech nfassrou m3a b3adhna le chapitre numéro dix-huit : orthogonalité dans l'espace. Fi le chapitre elli fet, chofna le parallélisme dans l'espace. Lyoum nzidou l'orthogonalité. Nabdew b les droites orthogonales. Ba3d nchoufou droite perpendiculaire à un plan, w kifech nbayynouha. W ba3d le plan médiateur d'un segment, w l'axe d'un cercle. W nkammlou b les plans perpendiculaires. Yalla, nabdew.
عسلامة ! ليوم باش نفسّرو مع بعضنا le chapitre numéro dix-huit : orthogonalité dans l'espace . في le chapitre اللي فات ، شفنا le parallélisme dans l'espace . ليوم نزيدو l'orthogonalité . نبداو بـ les droites orthogonales . بعد نشوفو droite perpendiculaire à un plan ، w كيفاش نبيّنوها . w بعد le plan médiateur d'un segment ، w l'axe d'un cercle . w نكمّلو بـ les plans perpendiculaires . يالله ، نبداو .
Bonjour ! Aujourd'hui, on va expliquer ensemble le chapitre numéro dix-huit : orthogonalité dans l'espace. Dans le chapitre précédent, nous avons vu le parallélisme dans l'espace. Aujourd'hui, nous ajoutons l'orthogonalité. Nous commencerons par les droites orthogonales. Puis nous verrons une droite perpendiculaire à un plan, et comment le démontrer. Ensuite le plan médiateur d'un segment, et l'axe d'un cercle. Et nous terminerons par les plans perpendiculaires. Allez, on commence.
Ce chapitre poursuit la géométrie dans l'espace : après le parallélisme, on étudie l'orthogonalité.
On y définit deux droites orthogonales, une droite perpendiculaire à un plan et deux plans perpendiculaires, avec les propriétés qui permettent de démontrer une orthogonalité, de reconnaître le plan médiateur d'un segment et l'axe d'un cercle, et de calculer des longueurs dans un cube, un tétraèdre ou une pyramide.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Reconnaître et démontrer que deux droites de l'espace sont orthogonalesReconnaître et démontrer que deux droites de l'espace sont orthogonales.Reconnaître et démontrer que deux droites de l'espace sont orthogonales.
- Démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un planDémontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan.Démontrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan.
- Utiliser une droite perpendiculaire à un plan pour démontrer une orthogonalité ou calculer une longueurUtiliser une droite perpendiculaire à un plan pour démontrer une orthogonalité ou calculer une longueur.Utiliser une droite perpendiculaire à un plan pour démontrer une orthogonalité ou calculer une longueur.
- Reconnaître le plan médiateur d'un segment et l'axe d'un cercleReconnaître le plan médiateur d'un segment et l'axe d'un cercle.Reconnaître le plan médiateur d'un segment et l'axe d'un cercle.
- Démontrer que deux plans sont perpendiculairesDémontrer que deux plans sont perpendiculaires.Démontrer que deux plans sont perpendiculaires.
1. Activité
Pour comprendre : des droites perpendiculaires dans un cube
Ce qu’il dit
Nabdew b cube ABCDEFGH. Les faces mte3ou el koll carrés. Fi face wa7da, nraj3ou l la géométrie plane : deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires. Mathalan fi le carré ABCD, la droite (AB) perpendiculaire à la droite (AD). W bech net3addew men face l face, nesta3mlou les parallèles. La droite qui passe par C et parallèle à la droite (AE), hiya la droite (CG). W la parallèle à la droite (GH) qui passe par C, hiya la droite (CD). W fi le carré CDHG, la droite (CG) perpendiculaire à la droite (CD).
نبداو بـ cube A B C D E F G H . les faces متاعو الكل carrés . في face وحدة ، نرجعو لـ la géométrie plane : deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires . مثلا في le carré A B C D ، la droite A B perpendiculaire à la droite A D . w باش نتعدّاو من face لـ face ، نستعملو les parallèles . la droite qui passe par C et parallèle à la droite A E ، هي la droite C G . w la parallèle à la droite G H qui passe par C ، هي la droite C D . w في le carré C D H G ، la droite C G perpendiculaire à la droite C D .
Commençons par un cube A B C D E F G H. Toutes ses faces sont des carrés. Dans une face, on retrouve la géométrie plane : deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires. Par exemple, dans le carré A B C D, la droite A B est perpendiculaire à la droite A D. Et pour passer d'une face à une autre, on utilise les parallèles. La droite qui passe par C et qui est parallèle à la droite A E, c'est la droite C G. La parallèle à la droite G H qui passe par C, c'est la droite C D. Et dans le carré C D H G, la droite C G est perpendiculaire à la droite C D.
Dans la figure, est un cube : ses six faces sont des carrés.
Dans une face, on retrouve la géométrie plane : deux côtés consécutifs d'un carré sont perpendiculaires. Pour passer d'une face à une autre, on utilise les parallèles : par un point, il passe une seule parallèle à une droite donnée.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Les arêtes [AE] et [CG] sont repassées en rouge, l'arête [CD] en bleu.
Exemple traité
1) Nommer deux droites perpendiculaires du plan puis deux droites perpendiculaires du plan 2) Quelle est la droite passant par et parallèle à ? Celle passant par et parallèle à ? Celle passant par et parallèle à ? 3) Justifier que les droites et sont perpendiculaires.
- Dans une face — est un carré : et sont perpendiculaires. La face est un carré du plan : et sont perpendiculaires.
- Les parallèles — Les arêtes verticales et sont parallèles ; l'arête est parallèle à
- Dans la face CDHG — est un carré : ses côtés consécutifs et sont perpendiculaires.
À ne pas faire : Les droites et sont perpendiculaires — Les droites et n'ont aucun point commun : elles ne sont pas perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires se coupent, et elles sont dans un même plan.
2. Définition
Droites orthogonales
Ce qu’il dit
Tawa la définition. On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont deux droites perpendiculaires. Ya3ni ne5dhou point O, nrasmou mennou la parallèle à la première droite w la parallèle à la deuxième. Ken ez-zouz parallèles hedhom perpendiculaires, n9oulou les deux droites sont orthogonales. Thabbet mli7 : deux droites orthogonales mouch lezem yetle9aw. Mithel fi le cube : la droite (AE) w la droite (BC) ma yetle9awch. Ama la parallèle à la droite (AE) qui passe par B hiya la droite (BF), w la droite (BF) perpendiculaire à la droite (BC). Donc la droite (AE) w la droite (BC) sont orthogonales. W kelmet perpendiculaires n5alliwha l deux droites orthogonales elli yetle9aw.
توّة la définition . on dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont deux droites perpendiculaires . يعني ناخذو point O ، نرسمو منّو la parallèle à la première droite w la parallèle à la deuxième . كان الزوز parallèles هاذم perpendiculaires ، نقولو les deux droites sont orthogonales . ثبّت مليح : deux droites orthogonales موش لازم يتلاقاو . مثال في le cube : la droite A E w la droite B C ما يتلاقاوش . أما la parallèle à la droite A E qui passe par B هي la droite B F ، w la droite B F perpendiculaire à la droite B C . donc la droite A E w la droite B C sont orthogonales . w كلمة perpendiculaires نخلّيوها لـ deux droites orthogonales اللي يتلاقاو .
Voici maintenant la définition. On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont deux droites perpendiculaires. Autrement dit, on prend un point O, on trace par ce point la parallèle à la première droite et la parallèle à la deuxième. Si ces deux parallèles sont perpendiculaires, on dit que les deux droites sont orthogonales. Fais bien attention : deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément. Un exemple dans le cube : la droite A E et la droite B C ne se rencontrent pas. Mais la parallèle à la droite A E qui passe par B, c'est la droite B F, et la droite B F est perpendiculaire à la droite B C. Donc la droite A E et la droite B C sont orthogonales. Et le mot perpendiculaires, on le garde pour deux droites orthogonales qui se coupent.
Définition. On dit que deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont deux droites perpendiculaires.
Remarque. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes. Mais deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément : elles peuvent ne pas être dans un même plan.
En haut à gauche, une droite D horizontale, en rouge. À droite, une droite T verticale, en bleu, qui ne rencontre pas D. En bas, un point O : par O passent la droite D′, parallèle à D, en pointillés rouges, et la droite T′, parallèle à T, en pointillés bleus. D′ et T′ sont perpendiculaires en O : un angle droit est marqué.
Exemple traité
Dans le cube montrer que les droites et sont orthogonales.
- Par le point B — La parallèle à menée par est et la parallèle à menée par est elle-même.
- Dans la face BCGF — est un carré : et sont perpendiculaires.
- Conclusion — Les parallèles à et à menées par sont perpendiculaires : et sont orthogonales, alors qu'elles n'ont aucun point commun.
À ne pas faire : et sont orthogonales, donc elles se coupent — et sont orthogonales et n'ont aucun point commun. Ce sont leurs parallèles menées par un même point qui sont perpendiculaires : les droites elles-mêmes peuvent être non coplanaires.
À ne pas faire : et sont perpendiculaires — et sont orthogonales. On réserve le mot « perpendiculaires » à deux droites orthogonales qui se coupent.
3. Propriété
Propriétés 13, 14 et 15
Ce qu’il dit
Men la définition nestantjou trois propriétés. La propriété 13 : si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. La propriété 14 : si deux droites de l'espace sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. W la propriété 15 tjam3hom : ken D w T orthogonales, w D' parallèle à D, w T' parallèle à T, alors D' et T' sont orthogonales. Ya3ni, bech tbayyen deux droites orthogonales, tnajjem tbaddel koll wa7da b parallèle liha. Mithel fi parallélépipède rectangle : la droite (EA) parallèle à la droite (FB), w la droite (FB) perpendiculaire à la droite (BC). Donc la droite (EA) orthogonale à la droite (BC). Thabbet mli7 : deux droites orthogonales à une même troisième, mouch dima parallèles.
من la définition نستنتجو trois propriétés . la propriété treize : si deux droites de l'espace sont orthogonales ، alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre . la propriété quatorze : si deux droites de l'espace sont parallèles ، toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre . w la propriété quinze تجمعهم : كان D w T orthogonales ، w D prime parallèle à D ، w T prime parallèle à T ، alors D prime et T prime sont orthogonales . يعني ، باش تبيّن deux droites orthogonales ، تنجّم تبدّل كل وحدة بـ parallèle ليها . مثال في parallélépipède rectangle : la droite E A parallèle à la droite F B ، w la droite F B perpendiculaire à la droite B C . donc la droite E A orthogonale à la droite B C . ثبّت مليح : deux droites orthogonales à une même troisième ، موش ديما parallèles .
De la définition, on déduit trois propriétés. La propriété treize : si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. La propriété quatorze : si deux droites de l'espace sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. Et la propriété quinze les réunit : si D et T sont orthogonales, si D prime est parallèle à D et T prime parallèle à T, alors D prime et T prime sont orthogonales. Autrement dit, pour montrer que deux droites sont orthogonales, tu peux remplacer chacune par une parallèle. Un exemple dans un parallélépipède rectangle : la droite E A est parallèle à la droite F B, et la droite F B est perpendiculaire à la droite B C. Donc la droite E A est orthogonale à la droite B C. Fais bien attention : deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas toujours parallèles.
On déduit de la définition les propriétés suivantes.
Propriété 13. Si deux droites de l'espace sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre.
Propriété 14. Si deux droites de l'espace sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
Propriété 15. Si et sont deux droites orthogonales et si et sont deux droites parallèles respectivement à et à alors et sont orthogonales.
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH vu en perspective, plus long que haut : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Les arêtes [EA] et [FB] sont repassées en rouge, l'arête [BC] en bleu, l'arête [EH] en vert.
Démonstration
Propriété 15. Soit un point de l'espace. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles : la parallèle à menée par est donc aussi la parallèle à menée par et de même pour et Comme et sont orthogonales, ces deux parallèles sont perpendiculaires : et sont orthogonales.
Propriétés 13 et 14. Ce sont deux cas particuliers de la propriété 15 : on garde l'une des deux droites, puisqu'une droite est parallèle à elle-même, et on remplace l'autre par une droite qui lui est parallèle.
Exemple traité
est un parallélépipède rectangle : ses faces sont des rectangles. 1) Montrer que les droites et sont orthogonales. 2) Montrer que les droites et sont orthogonales. 3) Nommer deux droites sécantes orthogonales à la droite
- (EA) et (BC) — est perpendiculaire à dans le rectangle donc orthogonale. est parallèle à : par la propriété 13, elle est orthogonale à
- (DH) et (EF) — Dans le rectangle est perpendiculaire à est parallèle à : par la propriété 13, est orthogonale à
- Deux sécantes — est perpendiculaire à dans le rectangle et est perpendiculaire à dans le rectangle Les droites et se coupent en
À ne pas faire : Deux droites orthogonales à une même troisième sont parallèles — Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas forcément parallèles. et sont toutes deux orthogonales à et elles se coupent en
4. Application
Exemple : une section rectangle dans un tétraèdre
Ce qu’il dit
Ne5dhou tétraèdre ABCD, w la droite (AB) orthogonale à la droite (CD). M point de l'arête [BC]. El plan elli yet3adda men M w parallèle à la droite (AB) w à la droite (CD), y9oss les arêtes fi N, P w Q. El plan hedha parallèle à la droite (AB), w y9oss le plan (ABC) fi la droite (MQ). Donc la droite (MQ) parallèle à la droite (AB). Kif kif, la droite (MN) parallèle à la droite (CD). W 5ater la droite (AB) w la droite (CD) orthogonales, les parallèles mte3hom zeda orthogonales : la droite (MQ) orthogonale à la droite (MN). W houma yetle9aw fi M, donc le triangle QMN rectangle en M. W MNPQ parallélogramme 3andou angle droit, donc houwa rectangle.
ناخذو tétraèdre A B C D ، w la droite A B orthogonale à la droite C D . M point de l'arête B C . الـ plan اللي يتعدّى من M w parallèle à la droite A B w à la droite C D ، يقصّ les arêtes في N ، P w Q . الـ plan هذا parallèle à la droite A B ، w يقصّ le plan A B C في la droite M Q . donc la droite M Q parallèle à la droite A B . كيف كيف ، la droite M N parallèle à la droite C D . w خاطر la droite A B w la droite C D orthogonales ، الـ parallèles متاعهم زادة orthogonales : la droite M Q orthogonale à la droite M N . w هوما يتلاقاو في M ، donc le triangle Q M N rectangle en M . w M N P Q parallélogramme عندو angle droit ، donc هو rectangle .
Prenons un tétraèdre A B C D, où la droite A B est orthogonale à la droite C D. M est un point de l'arête B C. Le plan qui passe par M et qui est parallèle à la droite A B et à la droite C D coupe les arêtes en N, P et Q. Ce plan est parallèle à la droite A B, et il coupe le plan A B C suivant la droite M Q. Donc la droite M Q est parallèle à la droite A B. De même, la droite M N est parallèle à la droite C D. Et comme la droite A B et la droite C D sont orthogonales, leurs parallèles le sont aussi : la droite M Q est orthogonale à la droite M N. Elles se coupent en M, donc le triangle Q M N est rectangle en M. Et M N P Q est un parallélogramme qui a un angle droit : c'est un rectangle.
est un tétraèdre tel que les droites et soient orthogonales, et est un point de l'arête Le plan qui passe par et qui est parallèle aux droites et coupe en en et en
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. Le point M est sur l'arête [BC], N sur l'arête [BD], P sur l'arête [AD] et Q sur l'arête [AC]. Le quadrilatère MNPQ est tracé en rouge : [MQ] est parallèle à [AB], [MN] à [CD] ; les côtés [MN] et [NP], cachés, sont en pointillés.
Exemple traité
1) Montrer que est parallèle à et que est parallèle à 2) Montrer que le triangle est rectangle en 3) Quelle est la nature du quadrilatère ?
- Deux parallèles — Le plan est parallèle à la droite et coupe le plan qui contient suivant la droite : est parallèle à De même, il coupe le plan suivant parallèle à
- L'angle en M — et sont orthogonales, et leur sont parallèles : par la propriété 15, et sont orthogonales. Elles se coupent en : elles sont perpendiculaires.
- La nature — De même, est parallèle à dans le plan et est parallèle à dans le plan : a ses côtés opposés parallèles, c'est un parallélogramme. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
À ne pas faire : et sont orthogonales, donc est un carré — est un rectangle ; c'est un carré seulement si . L'orthogonalité donne l'angle droit, pas l'égalité des côtés.
5. Exemple
Exemple : deux droites orthogonales qui ne se coupent pas
Ce qu’il dit
Ne5dhou cube ABCDEFGH. I milieu de [FB], J milieu de [CD], w K milieu de [BE]. N7ebbou nbayynou elli la droite (BE) w la droite (IJ) orthogonales, w houma ma yetle9awch. El fekra : nbaddlou la droite (IJ) b parallèle liha t9oss la droite (BE). Fi le triangle BEF, le vecteur KI égale un demi du vecteur EF. W le vecteur DJ égale un demi du vecteur DC, w le vecteur DC égale le vecteur EF. Donc KIJD parallélogramme, w la droite (DK) parallèle à la droite (IJ). Tawa le triangle EDB : les côtés mte3ou el koll diagonales de faces, donc houwa équilatéral, w la médiane (DK) hiya zeda hauteur. Donc la droite (DK) perpendiculaire à la droite (EB), w la droite (IJ) orthogonale à la droite (BE).
ناخذو cube A B C D E F G H . I milieu de F B ، J milieu de C D ، w K milieu de B E . نحبّو نبيّنو اللي la droite B E w la droite I J orthogonales ، w هوما ما يتلاقاوش . الفكرة : نبدّلو la droite I J بـ parallèle ليها تقصّ la droite B E . في le triangle B E F ، le vecteur K I égale un demi du vecteur E F . w le vecteur D J égale un demi du vecteur D C ، w le vecteur D C égale le vecteur E F . donc K I J D parallélogramme ، w la droite D K parallèle à la droite I J . توّة le triangle E D B : les côtés متاعو الكل diagonales de faces ، donc هو équilatéral ، w la médiane D K هي زادة hauteur . donc la droite D K perpendiculaire à la droite E B ، w la droite I J orthogonale à la droite B E .
Prenons un cube A B C D E F G H. I est le milieu de F B, J le milieu de C D, et K le milieu de B E. Nous voulons montrer que la droite B E et la droite I J sont orthogonales, alors qu'elles ne se coupent pas. L'idée : remplacer la droite I J par une parallèle qui coupe la droite B E. Dans le triangle B E F, le vecteur K I est égal à un demi du vecteur E F. Et le vecteur D J est égal à un demi du vecteur D C, avec le vecteur D C égal au vecteur E F. Donc K I J D est un parallélogramme, et la droite D K est parallèle à la droite I J. Regardons maintenant le triangle E D B : ses côtés sont tous des diagonales de faces, donc il est équilatéral, et sa médiane D K est aussi une hauteur. Donc la droite D K est perpendiculaire à la droite E B, et la droite I J est orthogonale à la droite B E.
est un cube d'arête et sont les milieux respectifs de et et est le milieu de On veut démontrer que les droites et sont orthogonales, alors qu'elles n'ont aucun point commun.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. I est le milieu de l'arête [FB], J le milieu de l'arête [CD], K le milieu de la diagonale [BE] de la face ABFE. Le segment [BE] est tracé en bleu, le segment [IJ] en rouge. Au second temps, les segments [KI], [DK], [DB] et [DE] sont tracés, en pointillés pour ceux qui sont cachés : [DK] traverse le cube, [DB] et [DE] sont des diagonales des faces cachées ABCD et ADHE.
Exemple traité
Démontrer que est parallèle à puis que et sont orthogonales.
- Deux vecteurs égaux — Dans le triangle et sont les milieux de et : le vecteur est la moitié du vecteur De même, le vecteur est la moitié du vecteur et le vecteur est égal au vecteur Donc le vecteur est égal au vecteur
- Un parallélogramme — est donc un parallélogramme : ses côtés et sont parallèles.
- Le triangle EDB — et sont des diagonales de faces du cube : elles mesurent toutes où est la longueur de l'arête. Le triangle est équilatéral, et sa médiane est aussi une hauteur.
- Conclusion — est parallèle à et est orthogonale à : par la propriété 13, est orthogonale à
À ne pas faire : et ne se coupent pas, donc on ne peut pas parler d'angle droit — On remplace par sa parallèle qui coupe en . Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on se ramène à deux droites sécantes grâce aux parallèles.
6. Activité
Pour comprendre : une droite orthogonale à tout un plan
Ce qu’il dit
Ne5dhou cube d'arête 8, w K milieu de [AC]. La droite (HD) orthogonale à la droite (AD) w à la droite (CD), 5ater les faces carrés. Es-so2al : hiya orthogonale zeda l les autres droites du plan (ABC) ? Njarrbou m3a la droite (DK). DK égale la moitié de la diagonale AC, ya3ni DK = 4√2. Le triangle AHC équilatéral, el côtés el koll diagonales de faces, w (HK) hauteur, HK = 4√6. Tawa HD² + DK² = 64 + 32, ya3ni 96, w hedha houwa HK². Donc le triangle HDK rectangle en D. Ya3ni la droite (HD) orthogonale à la droite (DK) zeda.
ناخذو cube d'arête huit ، w K milieu de A C . la droite H D orthogonale à la droite A D w à la droite C D ، خاطر les faces carrés . السؤال : هي orthogonale زادة لـ les autres droites du plan A B C ؟ نجرّبو مع la droite D K . D K égale la moitié de la diagonale A C ، يعني D K égale quatre racine de deux . le triangle A H C équilatéral ، الأضلاع الكل diagonales de faces ، w H K hauteur ، H K égale quatre racine de six . توّة H D au carré plus D K au carré égale soixante-quatre plus trente-deux ، يعني quatre-vingt-seize ، w هذا هو H K au carré . donc le triangle H D K rectangle en D . يعني la droite H D orthogonale à la droite D K زادة .
Prenons un cube d'arête huit, et K le milieu de A C. La droite H D est orthogonale à la droite A D et à la droite C D, parce que les faces sont des carrés. La question : est-elle aussi orthogonale aux autres droites du plan A B C ? Essayons avec la droite D K. D K est la moitié de la diagonale A C, donc D K égale quatre racine de deux. Le triangle A H C est équilatéral, ses côtés sont tous des diagonales de faces, et H K est une hauteur : H K égale quatre racine de six. Or H D au carré plus D K au carré égale soixante-quatre plus trente-deux, c'est-à-dire quatre-vingt-seize, et c'est exactement H K au carré. Donc le triangle H D K est rectangle en D. Autrement dit, la droite H D est aussi orthogonale à la droite D K.
est un cube d'arête et est le milieu de
La droite est orthogonale à et à puisque les faces et sont des carrés. On se demande si elle est aussi orthogonale aux autres droites du plan par exemple à la droite
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. K est le centre de la face ABCD, milieu de la diagonale [AC]. L'arête [HD] est repassée en rouge. Au second temps, les segments [AC], [DK], [AH], [HC] et [HK] sont tracés en pointillés : le triangle AHC et sa médiane [HK].
Exemple traité
1) Calculer 2) Montrer que le triangle est équilatéral et calculer 3) Montrer que le triangle est rectangle en 4) On montre de même que est orthogonale à En déduire que et sont orthogonales, puis que et le sont.
- DK — est une diagonale du carré de côté : Les diagonales du carré ont le même milieu et la même longueur :
- Le triangle AHC — et sont des diagonales de faces : elles mesurent toutes et le triangle est équilatéral. Sa médiane est aussi une hauteur.
- Pythagore — : par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en et est orthogonale à
- Question 4 — est parallèle à qui est orthogonale à : par la propriété 14, est orthogonale à Et est sur la diagonale donc est la droite : parallèle à est orthogonale à
À ne pas faire : est orthogonale à donc elle est orthogonale à toutes les droites du plan — est orthogonale à deux droites sécantes du plan : et . Une seule droite du plan ne suffit pas : il en faut deux qui se coupent.
7. Définition
Droite perpendiculaire à un plan
Ce qu’il dit
Tawa la définition. On dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. W n9oulou zeda la droite est orthogonale au plan. Thabbet mli7 fi kelmet sécantes : zouz droites parallèles ma yekfiwch. W 3andna la propriété 16, na9blouha : si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Mithel fi le cube : la droite (AE) perpendiculaire à la droite (AB) w à la droite (AD), w hedhom sécantes en A fi le plan (ABC). Donc la droite (AE) perpendiculaire au plan (ABC). W b la propriété 16, hiya orthogonale à la droite (BD).
توّة la définition . on dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan . w نقولو زادة la droite est orthogonale au plan . ثبّت مليح في كلمة sécantes : زوز droites parallèles ما يكفيوش . w عندنا la propriété seize ، نقبلوها : si une droite est perpendiculaire à un plan ، alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan . مثال في le cube : la droite A E perpendiculaire à la droite A B w à la droite A D ، w هاذم sécantes en A في le plan A B C . donc la droite A E perpendiculaire au plan A B C . w بـ la propriété seize ، هي orthogonale à la droite B D .
Voici maintenant la définition. On dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. On dit aussi que la droite est orthogonale au plan. Fais bien attention au mot sécantes : deux droites parallèles ne suffisent pas. Et nous avons la propriété seize, que l'on admet : si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Un exemple dans le cube : la droite A E est perpendiculaire à la droite A B et à la droite A D, qui sont sécantes en A dans le plan A B C. Donc la droite A E est perpendiculaire au plan A B C. Et, par la propriété seize, elle est orthogonale à la droite B D.
Définition. On dit qu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. On dit aussi que la droite est orthogonale au plan.
Propriété 16 (admise). Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
Un plan P dessiné comme un parallélogramme. Une droite D, en rouge, traverse le plan au point A, verticalement. Dans le plan, deux droites passent par A : la droite D1, en bleu, et la droite D2, en vert ; un angle droit est marqué entre D et D1. Au second temps, une troisième droite D3 du plan, en orange, est tracée : elle ne passe pas par A.
Exemple traité
Dans le cube montrer que la droite est perpendiculaire au plan puis que les droites et sont orthogonales.
- Deux droites sécantes — Dans le carré est perpendiculaire à ; dans le carré est perpendiculaire à Les droites et sont sécantes en et contenues dans le plan
- Propriété 16 — La droite est contenue dans le plan : lui est orthogonale.
À ne pas faire : Une droite orthogonale à deux droites d’un plan est perpendiculaire à ce plan — Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est perpendiculaire à ce plan. Deux droites parallèles ne suffisent pas : est orthogonale à et à et pourtant elle est contenue dans le plan
8. Application
Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier
Ce qu’il dit
Ne5dhou tétraèdre régulier ABCD : les arêtes el koll nafs et-toul. I milieu de [CD]. N7ebbou nbayynou elli la droite (AB) orthogonale à la droite (CD). El méthode : bech tbayyen deux droites orthogonales, bayyen elli wa7da menhom perpendiculaire à un plan fih lo5ra. Le triangle ACD équilatéral, donc la médiane (AI) hiya zeda hauteur : la droite (CD) perpendiculaire à la droite (AI). Kif kif fi le triangle BCD : la droite (CD) perpendiculaire à la droite (BI). La droite (AI) w la droite (BI) sécantes en I, donc la droite (CD) perpendiculaire au plan (ABI). W la droite (AB) fel plan hedha, donc la droite (AB) orthogonale à la droite (CD).
ناخذو tétraèdre régulier A B C D : les arêtes الكل نفس الطول . I milieu de C D . نحبّو نبيّنو اللي la droite A B orthogonale à la droite C D . الـ méthode : باش تبيّن deux droites orthogonales ، بيّن اللي وحدة منهم perpendiculaire à un plan فيه الأخرى . le triangle A C D équilatéral ، donc la médiane A I هي زادة hauteur : la droite C D perpendiculaire à la droite A I . كيف كيف في le triangle B C D : la droite C D perpendiculaire à la droite B I . la droite A I w la droite B I sécantes en I ، donc la droite C D perpendiculaire au plan A B I . w la droite A B في الـ plan هذا ، donc la droite A B orthogonale à la droite C D .
Prenons un tétraèdre régulier A B C D : toutes ses arêtes ont la même longueur. I est le milieu de C D. Nous voulons montrer que la droite A B est orthogonale à la droite C D. La méthode : pour montrer que deux droites sont orthogonales, montre que l'une est perpendiculaire à un plan qui contient l'autre. Le triangle A C D est équilatéral, donc sa médiane A I est aussi une hauteur : la droite C D est perpendiculaire à la droite A I. De même dans le triangle B C D : la droite C D est perpendiculaire à la droite B I. La droite A I et la droite B I sont sécantes en I, donc la droite C D est perpendiculaire au plan A B I. Et la droite A B est dans ce plan : la droite A B est orthogonale à la droite C D.
est un tétraèdre régulier : toutes ses arêtes ont la même longueur. est le milieu de On veut montrer que deux arêtes opposées, et sont orthogonales.
La méthode. Pour montrer que deux droites sont orthogonales, on peut montrer que l'une est perpendiculaire à un plan qui contient l'autre.
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. I est le milieu de l'arête [CD]. Les arêtes [AB] et [CD] sont repassées en bleu. Au second temps, les segments [AI] et [BI] sont tracés en rouge, [BI] en pointillés : le plan (ABI).
Exemple traité
1) Montrer que la droite est perpendiculaire au plan 2) En déduire que les droites et sont orthogonales.
- Dans la face ACD — Le triangle est équilatéral : sa médiane est aussi une hauteur.
- Dans la face BCD — Le triangle est équilatéral : sa médiane est aussi une hauteur.
- Le plan (ABI) — et sont deux droites du plan sécantes en
- Propriété 16 — La droite est contenue dans le plan : lui est orthogonale. De la même façon, est orthogonale à et est orthogonale à
À ne pas faire : On montre que est perpendiculaire au plan qui contient — On choisit un plan qui contient et auquel est vraiment perpendiculaire : le plan . coupe le plan en sans lui être perpendiculaire : l'angle mesure
9. Propriété
Propriété 17
Ce qu’il dit
La propriété 17 fiha zouz 7ajet. premièrement : si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. deuxièmement : si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. El démonstration sehla : nraj3ou dima l deux droites sécantes du plan, w nesta3mlou les propriétés 13 w 14. Mithel fi le cube : la droite (AE) perpendiculaire au plan (ABC), w la droite (CG) parallèle à la droite (AE). Donc la droite (CG) perpendiculaire au plan (ABC). W le plan (EFG) parallèle au plan (ABC), donc la droite (CG) perpendiculaire au plan (EFG) zeda.
la propriété dix-sept فيها زوز حاجات . premièrement : si deux droites sont parallèles ، tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre . deuxièmement : si deux plans sont parallèles ، toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre . الـ démonstration ساهلة : نرجعو ديما لـ deux droites sécantes du plan ، w نستعملو les propriétés treize w quatorze . مثال في le cube : la droite A E perpendiculaire au plan A B C ، w la droite C G parallèle à la droite A E . donc la droite C G perpendiculaire au plan A B C . w le plan E F G parallèle au plan A B C ، donc la droite C G perpendiculaire au plan E F G زادة .
La propriété dix-sept a deux parties. premièrement : si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. deuxièmement : si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. La démonstration est simple : on revient toujours à deux droites sécantes du plan, et on utilise les propriétés treize et quatorze. Un exemple dans le cube : la droite A E est perpendiculaire au plan A B C, et la droite C G est parallèle à la droite A E. Donc la droite C G est perpendiculaire au plan A B C. Et le plan E F G est parallèle au plan A B C, donc la droite C G est aussi perpendiculaire au plan E F G.
Propriété 17. a) Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
b) Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Un plan P dessiné comme un parallélogramme. Deux droites parallèles D et D′, verticales, le traversent : D en rouge, D′ en bleu. Chacune est perpendiculaire au plan P.
Démonstration
a) Soient et deux droites parallèles et un plan perpendiculaire à est orthogonale à deux droites sécantes et de Comme est parallèle à la propriété 14 donne : est orthogonale à et à Donc est perpendiculaire à
b) Soient et deux plans parallèles et une droite perpendiculaire à Soient et deux droites sécantes de et un point de Les parallèles et à et menées par sont sécantes et contenues dans puisque est parallèle à Par la propriété 16, est orthogonale à et à ; par la propriété 13, elle est orthogonale à et à Donc est perpendiculaire à
Exemple traité
Dans le cube on sait que est perpendiculaire au plan Montrer que est perpendiculaire au plan puis au plan
- Propriété 17 a) — Les droites et sont parallèles, et le plan est perpendiculaire à : il est perpendiculaire à
- Propriété 17 b) — Les plans et des faces opposées sont parallèles : perpendiculaire à l'un, est perpendiculaire à l'autre.
À ne pas faire : est perpendiculaire au plan parce qu'elle est orthogonale à — est perpendiculaire au plan parce qu'elle est orthogonale à et à sécantes en . Une droite orthogonale à une seule droite du plan n’est pas forcément perpendiculaire au plan.
10. Application
Exemple : un tétraèdre trirectangle
Ce qu’il dit
Tawa tétraèdre ABCD trirectangle en A : les faces ABC, ABD w ACD rectangles en A. AB = 3, AD = 4, w AC = 6. La droite (AD) perpendiculaire à la droite (AB) w à la droite (AC), w hedhom sécantes, donc la droite (AD) perpendiculaire au plan (ABC), w AD hiya el hauteur. Le volume : un tiers fois l'aire de la base fois la hauteur. L'aire mta3 ABC égale 3 fois 6 sur 2, ya3ni 9. Donc le volume égale un tiers fois 9 fois 4, ya3ni 12. W BC b Pythagore : √45, ya3ni 3√5. W AH nal9awha b l'aire : AB fois AC égale BC fois AH.
توّة tétraèdre A B C D trirectangle en A : les faces A B C ، A B D w A C D rectangles en A . A B égale trois ، A D égale quatre ، w A C égale six . la droite A D perpendiculaire à la droite A B w à la droite A C ، w هاذم sécantes ، donc la droite A D perpendiculaire au plan A B C ، w A D هي الـ hauteur . le volume : un tiers fois l'aire de la base fois la hauteur . l'aire متاع A B C égale trois fois six sur deux ، يعني neuf . donc le volume égale un tiers fois neuf fois quatre ، يعني douze . w B C بـ Pythagore : racine de quarante-cinq ، يعني trois racine de cinq . w A H نلقاوها بـ l'aire : A B fois A C égale B C fois A H .
Voici un tétraèdre A B C D trirectangle en A : les faces A B C, A B D et A C D sont rectangles en A. A B égale trois, A D égale quatre, et A C égale six. La droite A D est perpendiculaire à la droite A B et à la droite A C, qui sont sécantes, donc la droite A D est perpendiculaire au plan A B C, et A D est la hauteur. Le volume : un tiers fois l'aire de la base fois la hauteur. L'aire de A B C est trois fois six sur deux, c'est-à-dire neuf. Donc le volume est un tiers fois neuf fois quatre, c'est-à-dire douze. Et B C, par Pythagore : racine de quarante-cinq, c'est-à-dire trois racine de cinq. Et A H s'obtient par l'aire : A B fois A C égale B C fois A H.
est un tétraèdre dont les trois faces et sont des triangles rectangles en avec et On dit que ce tétraèdre est trirectangle en
est le pied de la hauteur issue de dans le triangle
Un tétraèdre ABCD : le sommet A est au fond, D juste au-dessus de A, B devant à gauche et C à droite. Les arêtes [AB], [AC] et [AD], issues de A, sont en pointillés ; les arêtes [BC], [BD] et [CD] sont en traits pleins. Au second temps, H est placé sur [BC], le segment [AH] est tracé en pointillés et le segment [DH] en rouge.
Exemple traité
1) Montrer que est perpendiculaire au plan et calculer le volume du tétraèdre. 2) Calculer 3) Calculer
- La hauteur — est perpendiculaire à et à deux droites sécantes du plan : elle est perpendiculaire à ce plan, et est la hauteur issue de
- Le volume — Le volume d'une pyramide est le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur. La base est un triangle rectangle en
- BC — Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en
- AH — L'aire du triangle s'écrit de deux façons : On divise donc par ce qui donne :
À ne pas faire : Le volume est — Le volume est . Un tétraèdre est une pyramide : on multiplie l'aire de la base, ici par la hauteur, et on prend le tiers.
11. Propriété
Propriété 18
Ce qu’il dit
Tawa propriété na9blouha, la propriété 18. premièrement : par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné. W ken A point w P plan, la droite qui passe par A w perpendiculaire à P t9oss P fi point K : K nsammiwh le projeté orthogonal de A sur le plan P. deuxièmement : par un point donné, il passe un plan et un seul perpendiculaire à une droite donnée. troisièmement : si une droite D est orthogonale à un plan P, alors toute droite orthogonale à la droite D et passant par un point du plan P est contenue dans ce plan. Mithel : fi le cube, le plan qui passe par A w perpendiculaire à la droite (AE), houwa le plan (ABC), 5ater yet3adda men A, w ma fammech ghirou.
توّة propriété نقبلوها ، la propriété dix-huit . premièrement : par un point donné ، il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné . w كان A point w P plan ، la droite qui passe par A w perpendiculaire à P تقصّ P في point K : K نسمّيوه le projeté orthogonal de A sur le plan P . deuxièmement : par un point donné ، il passe un plan et un seul perpendiculaire à une droite donnée . troisièmement : si une droite D est orthogonale à un plan P ، alors toute droite orthogonale à la droite D et passant par un point du plan P est contenue dans ce plan . مثال : في le cube ، le plan qui passe par A w perpendiculaire à la droite A E ، هو le plan A B C ، خاطر يتعدّى من A ، w ما فماش غيرو .
Voici une propriété que l'on admet, la propriété dix-huit. premièrement : par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné. Et si A est un point et P un plan, la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à P perce ce plan en un point K : on appelle K le projeté orthogonal de A sur le plan P. deuxièmement : par un point donné, il passe un plan et un seul perpendiculaire à une droite donnée. troisièmement : si une droite D est orthogonale à un plan P, alors toute droite orthogonale à la droite D et passant par un point du plan P est contenue dans ce plan. Un exemple : dans le cube, le plan qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite A E, c'est le plan A B C, parce qu'il passe par A, et qu'il n'y en a pas d'autre.
On admet la propriété suivante.
Propriété 18. a) Par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné.
Projeté orthogonal d'un point sur un plan. La droite passant par un point et perpendiculaire à un plan perce ce plan en un point : le point est appelé projeté orthogonal du point sur le plan
b) Par un point donné, il passe un plan et un seul perpendiculaire à une droite donnée.
c) Si une droite est orthogonale à un plan alors toute droite orthogonale à la droite et passant par un point du plan est contenue dans ce plan.
Un plan P dessiné comme un parallélogramme. Une droite D, en rouge, est perpendiculaire au plan P en un point A. Un point B du plan P est marqué : une droite en bleu passe par B, orthogonale à D ; elle est tout entière dans le plan P.
Exemple traité
Dans le cube quel est le plan passant par et perpendiculaire à la droite ?
- Un plan qui convient — est perpendiculaire au plan et ce plan passe par
- Il est unique — Par la propriété 18 b), il n'y a qu'un seul plan passant par et perpendiculaire à : c'est donc le plan
À ne pas faire : Par un point, il passe plusieurs droites perpendiculaires à un plan donné — Par un point, il passe une seule droite perpendiculaire à un plan donné. C’est la propriété 18 a). Ce sont les droites orthogonales à une droite donnée qui sont nombreuses : elles remplissent tout un plan.
12. Application
Exemple : des arêtes opposées deux à deux orthogonales
Ce qu’il dit
Ne5dhou triangle ABC, w H l'orthocentre mte3ou. T la droite qui passe par H w perpendiculaire au plan (ABC), w M point de T. El hauteur mta3 C tet3adda men H, donc la droite (AB) perpendiculaire à la droite (CH). W la droite (MH) perpendiculaire au plan (ABC), donc orthogonale à la droite (AB). La droite (CH) w la droite (MH) sécantes en H, donc la droite (AB) perpendiculaire au plan (MCH), w orthogonale à la droite (MC). W kif kif lel arêtes le5rin : fi le tétraèdre MABC, les arêtes opposées sont deux à deux orthogonales.
ناخذو triangle A B C ، w H l'orthocentre متاعو . T la droite qui passe par H w perpendiculaire au plan A B C ، w M point de T . الـ hauteur متاع C تتعدّى من H ، donc la droite A B perpendiculaire à la droite C H . w la droite M H perpendiculaire au plan A B C ، donc orthogonale à la droite A B . la droite C H w la droite M H sécantes en H ، donc la droite A B perpendiculaire au plan M C H ، w orthogonale à la droite M C . w كيف كيف للـ arêtes الأخرين : في le tétraèdre M A B C ، les arêtes opposées sont deux à deux orthogonales .
Prenons un triangle A B C, et H son orthocentre. T est la droite qui passe par H et qui est perpendiculaire au plan A B C, et M est un point de T. La hauteur issue de C passe par H, donc la droite A B est perpendiculaire à la droite C H. Et la droite M H est perpendiculaire au plan A B C, donc orthogonale à la droite A B. La droite C H et la droite M H sont sécantes en H, donc la droite A B est perpendiculaire au plan M C H, et orthogonale à la droite M C. Et c'est pareil pour les autres arêtes : dans le tétraèdre M A B C, les arêtes opposées sont deux à deux orthogonales.
est un triangle d'orthocentre On désigne par la droite passant par et perpendiculaire au plan et par un point de distinct de
Un triangle ABC posé à plat : A à gauche, B à droite, C au fond. H, l'orthocentre, est à l'intérieur ; la hauteur [CK] issue de C est tracée en pointillés, K étant sur [AB]. Une droite T verticale, en rouge, passe par H ; le point M est sur T, au-dessus de H. Au second temps, les segments [MA], [MB] et [MC] sont tracés : le tétraèdre MABC.
Exemple traité
1) Montrer que la droite est perpendiculaire au plan 2) En déduire que les droites et sont orthogonales.
- Une hauteur — est l'orthocentre du triangle : la droite est la hauteur issue de
- Propriété 16 — La droite est perpendiculaire au plan qui contient
- Le plan (MCH) — et sont deux droites du plan sécantes en
- Conclusion — est contenue dans le plan De la même façon, est orthogonale à et à : les arêtes opposées du tétraèdre sont deux à deux orthogonales.
À ne pas faire : est orthogonale à donc elle est perpendiculaire au plan — est orthogonale à et à sécantes en : elle est perpendiculaire au plan . Il faut toujours deux droites sécantes du plan.
13. Propriété
Propriété 19
Ce qu’il dit
La propriété 19. premièrement : deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. deuxièmement : deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles. El démonstration tji men la propriété 18 : mathalan, par un point, ma tet3adda ken droite wa7da perpendiculaire au plan. Mithel fi le cube : la droite (BF) w la droite (DH) perpendiculaires au plan (ABC), donc parallèles. W thabbet mli7 : deux droites orthogonales à une même droite, mouch dima parallèles. La droite (AB) w la droite (AD) ez-zouz orthogonales à la droite (AE), w yetle9aw fi A.
la propriété dix-neuf . premièrement : deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles . deuxièmement : deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles . الـ démonstration تجي من la propriété dix-huit : مثلا ، par un point ، ما تتعدّى كان droite وحدة perpendiculaire au plan . مثال في le cube : la droite B F w la droite D H perpendiculaires au plan A B C ، donc parallèles . w ثبّت مليح : deux droites orthogonales à une même droite ، موش ديما parallèles . la droite A B w la droite A D الزوز orthogonales à la droite A E ، w يتلاقاو في A .
La propriété dix-neuf. premièrement : deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. deuxièmement : deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles. La démonstration vient de la propriété dix-huit : par exemple, par un point, il ne passe qu'une seule droite perpendiculaire au plan. Un exemple dans le cube : la droite B F et la droite D H sont perpendiculaires au plan A B C, donc elles sont parallèles. Et fais bien attention : deux droites orthogonales à une même droite ne sont pas toujours parallèles. La droite A B et la droite A D sont toutes les deux orthogonales à la droite A E, et elles se coupent en A.
Propriété 19. a) Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
b) Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
Démonstration
Ces résultats découlent de la propriété 18.
a) Soient et deux droites perpendiculaires à un plan et un point de La parallèle à menée par est perpendiculaire à (propriété 17 a). Or, par il ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à (propriété 18 a) : c'est Donc est parallèle à
b) Soient et deux plans perpendiculaires à une droite S'ils ont un point commun ce sont deux plans passant par et perpendiculaires à : ils sont confondus (propriété 18 b). Sinon, ils n'ont aucun point commun. Dans les deux cas, ils sont parallèles.
Exemple traité
Dans le cube les droites et sont perpendiculaires au plan et les plans et sont perpendiculaires à la droite Que peut-on en déduire ?
- Propriété 19 a) — Deux droites perpendiculaires au même plan sont parallèles.
- Propriété 19 b) — Deux plans perpendiculaires à la même droite sont parallèles.
À ne pas faire : Deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles — Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Dans l'espace, deux droites orthogonales à une même droite peuvent se couper : et sont orthogonales à
14. Théorème
Le théorème des trois perpendiculaires
Ce qu’il dit
Tawa théorème mach-hour : le théorème des trois perpendiculaires. T droite perpendiculaire à un plan P en A. D droite du plan P ma tet3addech men A, w H le projeté orthogonal de A sur D. W M point de T. El théorème y9oul : la droite D est perpendiculaire au plan (AHM), donc la droite (MH) w la droite D orthogonales. 3lech ? La droite (AH) perpendiculaire à D, 5ater H houwa le projeté orthogonal. W la droite (AM) perpendiculaire au plan P, donc orthogonale à D. Ez-zouz sécantes en A, donc D perpendiculaire au plan (AHM), w orthogonale à la droite (MH).
توّة théorème مشهور : le théorème des trois perpendiculaires . T droite perpendiculaire à un plan P en A . D droite du plan P ما تتعدّاش من A ، w H le projeté orthogonal de A sur D . w M point de T . الـ théorème يقول : la droite D est perpendiculaire au plan A H M ، donc la droite M H w la droite D orthogonales . علاش ؟ la droite A H perpendiculaire à D ، خاطر H هو le projeté orthogonal . w la droite A M perpendiculaire au plan P ، donc orthogonale à D . الزوز sécantes en A ، donc D perpendiculaire au plan A H M ، w orthogonale à la droite M H .
Voici un théorème célèbre : le théorème des trois perpendiculaires. T est une droite perpendiculaire à un plan P en A. D est une droite du plan P qui ne passe pas par A, et H est le projeté orthogonal de A sur D. Et M est un point de T. Le théorème dit : la droite D est perpendiculaire au plan A H M, donc la droite M H et la droite D sont orthogonales. Pourquoi ? La droite A H est perpendiculaire à D, parce que H est le projeté orthogonal. Et la droite A M est perpendiculaire au plan P, donc orthogonale à D. Ces deux droites sont sécantes en A, donc D est perpendiculaire au plan A H M, et orthogonale à la droite M H.
Soit une droite perpendiculaire à un plan et le point commun à et à Soit une droite du plan ne passant pas par et le projeté orthogonal du point sur la droite Soit un point de distinct de
Théorème. La droite est perpendiculaire au plan Par conséquent, les droites et sont orthogonales.
Un plan P dessiné comme un parallélogramme. Une droite T, en rouge, est perpendiculaire au plan P au point A ; le point M est sur T, au-dessus de A. Une droite D, en bleu, est tracée dans le plan P, sans passer par A. H est le projeté orthogonal de A sur D : le segment [AH] est tracé en vert, avec un angle droit en H. Au second temps, le segment [MH] est tracé en vert.
Démonstration
est perpendiculaire à par définition du projeté orthogonal. est perpendiculaire au plan qui contient : par la propriété 16, est orthogonale à La droite est donc orthogonale à et à deux droites du plan sécantes en : elle est perpendiculaire à ce plan. Enfin, est contenue dans le plan : par la propriété 16, est orthogonale à
Exemple traité
Avec les notations du théorème, on donne et Calculer
- Un angle droit en A — est perpendiculaire au plan qui contient : le triangle est rectangle en
- Pythagore — Le théorème de Pythagore dans le triangle
À ne pas faire : est orthogonale à parce que est au-dessus de — est orthogonale à parce que est perpendiculaire au plan . Sur la figure, M est au-dessus de A, pas de H : l’orthogonalité se démontre, elle ne se lit pas sur le dessin.
15. Exemple
Exemple : une pyramide dont toutes les arêtes sont égales
Ce qu’il dit
Ne5dhou pyramide SABCD, la base carré de centre O, w les arêtes el koll ysewiw 6. Le triangle SBD : SB w SD ysewiw 6, w BD = 6√2. 6² + 6² = 72, w hedha houwa BD² : donc SBD rectangle en S. W la médiane (SO) hiya zeda hauteur, donc la droite (SO) perpendiculaire à la droite (BD). Kif kif perpendiculaire à la droite (AC). Donc la droite (SO) perpendiculaire au plan de la base. SO égale la moitié de BD, ya3ni 3√2. W le volume égale un tiers fois 36 fois 3√2, ya3ni 36√2.
ناخذو pyramide S A B C D ، la base carré de centre O ، w les arêtes الكل يساويو six . le triangle S B D : S B w S D يساويو six ، w B D égale six racine de deux . six au carré plus six au carré égale soixante-douze ، w هذا هو B D au carré : donc S B D rectangle en S . w la médiane S O هي زادة hauteur ، donc la droite S O perpendiculaire à la droite B D . كيف كيف perpendiculaire à la droite A C . donc la droite S O perpendiculaire au plan de la base . S O égale la moitié de B D ، يعني trois racine de deux . w le volume égale un tiers fois trente-six fois trois racine de deux ، يعني trente-six racine de deux .
Prenons une pyramide S A B C D, de base un carré de centre O, dont toutes les arêtes mesurent six. Le triangle S B D : S B et S D valent six, et B D égale six racine de deux. Six au carré plus six au carré égale soixante-douze, et c'est B D au carré : donc S B D est rectangle en S. Et la médiane S O est aussi une hauteur, donc la droite S O est perpendiculaire à la droite B D. De même, elle est perpendiculaire à la droite A C. Donc la droite S O est perpendiculaire au plan de la base. S O est la moitié de B D, c'est-à-dire trois racine de deux. Et le volume est un tiers fois trente-six fois trois racine de deux, c'est-à-dire trente-six racine de deux.
est une pyramide de sommet et de base un carré de centre Toutes ses arêtes ont pour longueur
Une pyramide SABCD : la base carrée ABCD est vue en perspective, A devant à gauche, B devant à droite, C derrière à droite, D derrière à gauche ; le sommet S est en haut, au-dessus du centre O de la base. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [SD] sont en pointillés. Au second temps, les diagonales [AC] et [BD] et le segment [SO] sont tracés en pointillés, [SO] en rouge.
Exemple traité
1) Montrer que le triangle est isocèle et rectangle en 2) Montrer que est perpendiculaire au plan 3) Calculer puis le volume de la pyramide.
- Le triangle SBD — et est la diagonale du carré : par la réciproque du théorème de Pythagore, est isocèle et rectangle en
- Deux médianes — Dans le triangle isocèle la médiane est aussi une hauteur : est perpendiculaire à De même, dans le triangle isocèle est perpendiculaire à Les diagonales et sont sécantes en
- SO — Dans le triangle rectangle en la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
- Le volume — La base est un carré d'aire et est la hauteur.
À ne pas faire : La hauteur de la pyramide est l'arête — La hauteur de la pyramide est . La hauteur est la distance du sommet au plan de la base : elle se mesure sur la perpendiculaire à ce plan.
16. Activité
Pour comprendre : les points équidistants de deux points
Ce qu’il dit
Ne5dhou segment [AB], w I le milieu mte3ou. Nlawjou 3la les points M de l'espace elli MA = MB. W ne5dhou P le plan perpendiculaire à la droite (AB) en I. Awwalan, I yesla7 : IA = IB. Tawa ken M yesla7, fi le plan (MAB), M 3la la médiatrice de [AB], donc la droite (MI) perpendiculaire à la droite (AB). W b la propriété 18 c, la droite (MI) fi le plan P. W el 3aks s7i7 : koll point N fi le plan P, la droite (NI) orthogonale à la droite (AB), donc NA = NB. Ya3ni l'ensemble houwa le plan P.
ناخذو segment A B ، w I le milieu متاعو . نلوّجو على les points M de l'espace اللي M A égale M B . w ناخذو P le plan perpendiculaire à la droite A B en I . أوّلا ، I يصلح : I A égale I B . توّة كان M يصلح ، في le plan M A B ، M على la médiatrice de A B ، donc la droite M I perpendiculaire à la droite A B . w بـ la propriété dix-huit c ، la droite M I في le plan P . w العكس صحيح : كل point N في le plan P ، la droite N I orthogonale à la droite A B ، donc N A égale N B . يعني l'ensemble هو le plan P .
Prenons un segment A B, et I son milieu. Nous cherchons les points M de l'espace tels que M A égale M B. Et appelons P le plan perpendiculaire à la droite A B en I. D'abord, I convient : I A égale I B. Maintenant, si M convient, dans le plan M A B, M est sur la médiatrice de A B, donc la droite M I est perpendiculaire à la droite A B. Et, par la propriété dix-huit c, la droite M I est dans le plan P. La réciproque est vraie : pour tout point N du plan P, la droite N I est orthogonale à la droite A B, donc N A égale N B. L'ensemble cherché est donc le plan P.
est un segment de milieu On cherche l'ensemble des points de l'espace tels que On appelle le plan perpendiculaire à la droite en
Un segment [AB] presque horizontal, de milieu I. Un plan P, dessiné debout comme un parallélogramme vertical, passe par I et coupe le segment. Au second temps, un point M du plan P est marqué, et les segments [MA] et [MB] sont tracés en pointillés, avec une marque d'égalité ; le segment [MI] est tracé en rouge.
Exemple traité
1) Le point appartient-il à ? 2) Soit un point de distinct de : montrer que appartient au plan 3) Soit un point de distinct de : montrer que appartient à
- Le milieu — : le point appartient à
- Un point de E — Dans le plan : est sur la médiatrice de donc est perpendiculaire à Or est orthogonale au plan : par la propriété 18 c), la droite orthogonale à et passant par est contenue dans
- Un point de P — est contenue dans donc orthogonale à (propriété 16). Dans le plan la droite est donc la médiatrice de :
À ne pas faire : L'ensemble des points de l'espace équidistants de et de est la médiatrice de — C'est le plan perpendiculaire à en . La médiatrice n’est qu’une droite de ce plan : celle qui est dans un plan donné contenant A et B.
17. Théorème
Plan médiateur d’un segment
Ce qu’il dit
Tawa la définition : on appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu. W el théorème : l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment. Fi l'espace, el médiatrice wallet plan. Mithel fi tétraèdre régulier ABCD, w I milieu de [BC]. AB = AC, w DB = DC, w IB = IC. Donc A, D w I el koll fi le plan médiateur de [BC], w houma mouch alignés. Donc le plan médiateur de [BC] houwa le plan (ADI).
توّة la définition : on appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu . w الـ théorème : l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment . في l'espace ، الـ médiatrice ولّات plan . مثال في tétraèdre régulier A B C D ، w I milieu de B C . A B égale A C ، w D B égale D C ، w I B égale I C . donc A ، D w I الكل في le plan médiateur de B C ، w هوما موش alignés . donc le plan médiateur de B C هو le plan A D I .
Voici la définition : on appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu. Et le théorème : l'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment. Dans l'espace, la médiatrice devient un plan. Un exemple dans un tétraèdre régulier A B C D, avec I le milieu de B C. A B égale A C, D B égale D C, et I B égale I C. Donc A, D et I sont tous dans le plan médiateur de B C, et ils ne sont pas alignés. Le plan médiateur de B C est donc le plan A D I.
Définition. On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Théorème. L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment.
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. I est le milieu de l'arête [BC], tracée en bleu. Au second temps, le triangle ADI est tracé en rouge, le segment [DI] en pointillés : c'est le plan médiateur de [BC].
Exemple traité
est un tétraèdre régulier et est le milieu de Quel est le plan médiateur de l'arête ?
- Trois points équidistants — et puisque toutes les arêtes sont égales ; et Les points et sont équidistants de et de : ils sont dans le plan médiateur de
- Le plan — Les points et ne sont pas alignés : ils déterminent ce plan.
À ne pas faire : Le plan médiateur de est le plan — Le plan médiateur de est perpendiculaire à en son milieu : il ne contient ni ni . Un point du plan médiateur est à égale distance de B et de C : B lui-même ne l’est pas.
18. Application
Un problème pour aller plus loin : la grande diagonale du cube
Ce qu’il dit
Tawa problème as3eb chwaya. Cube ABCDEFGH d'arête a. Le triangle BDG, el côtés mte3ou diagonales de faces, donc équilatéral, w I centre de gravité mte3ou. EB = EG, CB = CG, w IB = IG. Donc E, C w I fi le plan médiateur de [BG]. W kif kif fi le plan médiateur de [DG]. Ez-zouz plans hedhom yet9at3ou fi droite, donc E, C w I alignés. W la droite (EC) fi ez-zouz plans médiateurs, donc orthogonale à la droite (BG) w à la droite (DG). Donc la droite (EC) perpendiculaire au plan (BDG).
توّة problème أصعب شويّة . cube A B C D E F G H d'arête a . le triangle B D G ، الـ côtés متاعو diagonales de faces ، donc équilatéral ، w I centre de gravité متاعو . E B égale E G ، C B égale C G ، w I B égale I G . donc E ، C w I في le plan médiateur de B G . w كيف كيف في le plan médiateur de D G . الزوز plans هاذم يتقاطعو في droite ، donc E ، C w I alignés . w la droite E C في الزوز plans médiateurs ، donc orthogonale à la droite B G w à la droite D G . donc la droite E C perpendiculaire au plan B D G .
Voici un problème un peu plus difficile. Un cube A B C D E F G H d'arête a. Le triangle B D G a pour côtés des diagonales de faces, donc il est équilatéral, et I est son centre de gravité. E B égale E G, C B égale C G, et I B égale I G. Donc E, C et I sont dans le plan médiateur de B G. Et de même dans le plan médiateur de D G. Ces deux plans se coupent suivant une droite, donc E, C et I sont alignés. Et la droite E C est dans les deux plans médiateurs, donc elle est orthogonale à la droite B G et à la droite D G. Donc la droite E C est perpendiculaire au plan B D G.
est un cube d'arête Le triangle a pour côtés trois diagonales de faces : il est équilatéral. On note son centre de gravité.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le triangle BDG est tracé en bleu, ses côtés [BD] et [DG] en pointillés ; I est son centre de gravité. Au second temps, la grande diagonale [EC] est tracée en rouge, en pointillés : elle passe par I.
Exemple traité
1) Justifier que les points et appartiennent au plan médiateur de et au plan médiateur de 2) En déduire que et sont alignés et que la droite est perpendiculaire au plan
- Plan médiateur de [BG] — car ce sont des diagonales de faces ; la longueur de l'arête ; et car est le centre du triangle équilatéral
- Plan médiateur de [DG] — De même la longueur de l'arête, et
- Alignés — Les deux plans médiateurs sont distincts, puisque et ne sont pas parallèles, et ils ont des points communs : leur intersection est une droite, qui contient et
- Perpendiculaire — est contenue dans le plan médiateur de perpendiculaire à : par la propriété 16, est orthogonale à De même, elle est orthogonale à Ces deux droites du plan sont sécantes en
À ne pas faire : est dans le plan médiateur de car — est dans le plan médiateur de car . Ce qui compte, c’est l’égalité des deux distances aux extrémités du segment.
19. Théorème
Axe d’un cercle
Ce qu’il dit
Tawa l'axe d'un cercle. La définition : on appelle axe d'un cercle la droite passant par le centre de ce cercle et perpendiculaire à son plan. W el théorème : l'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle. 3lech ? Ken N 3la l'axe, w A point du cercle, le triangle NOA rectangle en O, donc NA² = r² + ON², nafs el 7aja l koll point du cercle. Mithel : rayon 3, w ON = 4, donc NA = 5.
توّة l'axe d'un cercle . la définition : on appelle axe d'un cercle la droite passant par le centre de ce cercle et perpendiculaire à son plan . w الـ théorème : l'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle . علاش ؟ كان N على l'axe ، w A point du cercle ، le triangle N O A rectangle en O ، donc N A au carré égale le rayon au carré plus O N au carré ، نفس الحاجة لكل point du cercle . مثال : rayon trois ، w O N égale quatre ، donc N A égale cinq .
Voyons maintenant l'axe d'un cercle. La définition : on appelle axe d'un cercle la droite passant par le centre de ce cercle et perpendiculaire à son plan. Et le théorème : l'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle. Pourquoi ? Si N est sur l'axe et A un point du cercle, le triangle N O A est rectangle en O, donc N A au carré égale le rayon au carré plus O N au carré, la même valeur pour tous les points du cercle. Un exemple : rayon trois et O N égale quatre, donc N A égale cinq.
Définition. On appelle axe d'un cercle la droite passant par le centre de ce cercle et perpendiculaire à son plan.
Théorème. L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle.
Un cercle de centre O, vu en perspective comme une ellipse. Son axe, en rouge, est la droite verticale passant par O ; le point N est sur l'axe, au-dessus de O. A est un point du cercle. Au second temps, le rayon [OA] est tracé en bleu, avec un angle droit en O, et le segment [NA] en vert.
Démonstration
Soit un cercle de centre et de rayon et son axe.
Un point de l'axe convient. Soit un point de avec et un point du cercle. est perpendiculaire au plan du cercle, qui contient : le triangle est rectangle en et Cette distance est la même pour tous les points du cercle.
Seuls les points de l'axe conviennent. Soit un point équidistant de tous les points du cercle, et trois points distincts du cercle. appartient au plan médiateur de et au plan médiateur de Ces deux plans contiennent qui est équidistant de et et ils sont distincts : ils se coupent suivant une droite passant par Cette droite est orthogonale à et à sécantes en dans le plan du cercle : c'est l'axe Donc est sur
Exemple traité
Un cercle a pour centre et pour rayon est un point de son axe tel que Calculer la distance de à un point du cercle.
- Un angle droit — L'axe est perpendiculaire au plan du cercle, qui contient : le triangle est rectangle en
- Pythagore — Le théorème de Pythagore dans le triangle
À ne pas faire : L’axe d’un cercle est un de ses diamètres — L’axe d’un cercle est la perpendiculaire à son plan, menée par son centre. Un diamètre est dans le plan du cercle ; l’axe n’a qu’un point commun avec ce plan, le centre.
20. Application
Un problème pour aller plus loin : la sphère circonscrite à un tétraèdre
Ce qu’il dit
Tawa problème e5er : la sphère circonscrite à un tétraèdre ABCD. Nlawjou 3la point O, b3adou 3la A, B, C w D nafs ech-chay. Les points équidistants de B, C w D, houma l'axe du cercle circonscrit au triangle BCD. W l'axe hedha y9oss le plan médiateur de [AB] fi point O. El point hedha équidistant des quatre sommets, w houwa le centre de la sphère circonscrite.
توّة problème آخر : la sphère circonscrite à un tétraèdre A B C D . نلوّجو على point O ، بعدو على A ، B ، C w D نفس الشي . les points équidistants de B ، C w D ، هوما l'axe du cercle circonscrit au triangle B C D . w l'axe هذا يقصّ le plan médiateur de A B في point O . الـ point هذا équidistant des quatre sommets ، w هو le centre de la sphère circonscrite .
Voici un autre problème : la sphère circonscrite à un tétraèdre A B C D. Nous cherchons un point O qui est à la même distance de A, B, C et D. Les points équidistants de B, C et D forment l'axe du cercle circonscrit au triangle B C D. Et cet axe coupe le plan médiateur de A B en un point O. Ce point est équidistant des quatre sommets : c'est le centre de la sphère circonscrite.
est un tétraèdre. On cherche un point équidistant de ses quatre sommets. La sphère de centre qui passe par et est appelée sphère circonscrite au tétraèdre
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : A en haut, B à gauche, C devant, D à droite ; l'arête cachée [BD] est en pointillés. I est le centre du cercle circonscrit au triangle BCD. La droite T, en rouge, passe par I et est perpendiculaire au plan (BCD) : c'est l'axe de ce cercle. O est sur T. J est le milieu de [AB]. Au second temps, le segment [OJ] est tracé en vert, avec un angle droit en J : O est dans le plan médiateur de [AB] ; puis les segments [OA], [OB], [OC] et [OD] sont tracés en pointillés bleus.
Exemple traité
Démontrer qu'il existe un point équidistant de et
- Équidistant de B, C et D — Les plans médiateurs de et de se coupent suivant une droite orthogonale au plan qui perce ce plan en centre du cercle circonscrit au triangle : est l'axe de ce cercle. Les points de sont exactement les points équidistants de et
- Équidistant aussi de A — Soit le milieu de La droite coupe le plan médiateur de en un point : sinon, serait parallèle à ce plan, donc orthogonale à et serait dans le plan
- Conclusion — est sur et dans le plan médiateur de : il est équidistant des quatre sommets. Il appartient donc au plan médiateur de chaque arête du tétraèdre.
À ne pas faire : Le centre de la sphère circonscrite est le centre de gravité du tétraèdre — Le centre de la sphère circonscrite est le point commun aux plans médiateurs des arêtes. Ce qu’on demande au centre, c’est d’être à la même distance des quatre sommets : c’est le rôle des plans médiateurs.
21. Activité
Pour comprendre : des plans perpendiculaires
Ce qu’il dit
Ne5dhou parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Nlawjou fi plan 3la droite orthogonale à un autre plan. La droite (AB) perpendiculaire à la droite (BC) w à la droite (BF), w hedhom sécantes en B fi le plan (BCG). Donc la droite (AB), elli hiya fi le plan (ABC), orthogonale au plan (BCG). W kif kif la droite (CG), elli fi le plan (BCG), orthogonale au plan (ABC). Ama fi le plan (ACGE), ma fammech 7atta droite orthogonale au plan (ADHE). Hakka nouslou l la définition mta3 deux plans perpendiculaires.
ناخذو parallélépipède rectangle A B C D E F G H . نلوّجو في plan على droite orthogonale à un autre plan . la droite A B perpendiculaire à la droite B C w à la droite B F ، w هاذم sécantes en B في le plan B C G . donc la droite A B ، اللي هي في le plan A B C ، orthogonale au plan B C G . w كيف كيف la droite C G ، اللي في le plan B C G ، orthogonale au plan A B C . أما في le plan A C G E ، ما فماش حتّى droite orthogonale au plan A D H E . هكّا نوصلو لـ la définition متاع deux plans perpendiculaires .
Prenons un parallélépipède rectangle A B C D E F G H. Nous cherchons, dans un plan, une droite orthogonale à un autre plan. La droite A B est perpendiculaire à la droite B C et à la droite B F, qui sont sécantes en B dans le plan B C G. Donc la droite A B, qui est dans le plan A B C, est orthogonale au plan B C G. De même, la droite C G, qui est dans le plan B C G, est orthogonale au plan A B C. En revanche, dans le plan A C G E, il n'y a aucune droite orthogonale au plan A D H E. C'est ce qui nous amène à la définition de deux plans perpendiculaires.
Dans la figure, est un parallélépipède rectangle : ses faces sont des rectangles, et chaque arête « verticale » est perpendiculaire aux plans des deux faces qu'elle relie.
On cherche, dans un plan, une droite orthogonale à un autre plan.
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH vu en perspective, plus long que haut : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [AB] est repassée en rouge, l'arête [CG] en bleu. Au second temps, la face diagonale ACGE est tracée en vert, ses côtés [AC] en pointillés.
Exemple traité
a) Nommer une droite du plan qui est orthogonale au plan b) Nommer une droite du plan qui est orthogonale au plan c) Existe-t-il une droite du plan qui est orthogonale au plan ?
- Question a — est perpendiculaire à dans le rectangle et à dans le rectangle ; et sont sécantes en dans le plan
- Question b — est perpendiculaire à dans le rectangle et à dans le rectangle sécantes en
- Question c — Une telle droite serait orthogonale à ; dans le rectangle elle serait donc parallèle à et serait orthogonale au plan donc à Or l'angle du rectangle n'est pas droit.
À ne pas faire : est une droite du plan orthogonale au plan — est contenue dans le plan : elle ne lui est pas orthogonale. Une droite contenue dans un plan n’est jamais perpendiculaire à ce plan.
22. Définition
Plans perpendiculaires
Ce qu’il dit
Tawa la définition : on dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Mithel fi le cube : la droite (BF) orthogonale au plan (ABC), w hiya fi le plan (ABF). Donc le plan (ABF) w le plan (ABC) perpendiculaires. Thabbet mli7 fi zouz 7ajet. Awwalan : mouch koll droite fi le plan (ABF) orthogonale au plan (ABC), mathalan la droite (AF). W thenyan : deux plans perpendiculaires à un même plan mouch dima parallèles : le plan (ABF) w le plan (BCG) ez-zouz perpendiculaires au plan (ABC), w yet9at3ou.
توّة la définition : on dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre . مثال في le cube : la droite B F orthogonale au plan A B C ، w هي في le plan A B F . donc le plan A B F w le plan A B C perpendiculaires . ثبّت مليح في زوز حاجات . أوّلا : موش كل droite في le plan A B F orthogonale au plan A B C ، مثلا la droite A F . w ثانيا : deux plans perpendiculaires à un même plan موش ديما parallèles : le plan A B F w le plan B C G الزوز perpendiculaires au plan A B C ، w يتقاطعو .
Voici la définition : on dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Un exemple dans le cube : la droite B F est orthogonale au plan A B C, et elle est dans le plan A B F. Donc le plan A B F et le plan A B C sont perpendiculaires. Fais bien attention à deux choses. D'abord : toute droite du plan A B F n'est pas orthogonale au plan A B C, par exemple la droite A F. Ensuite : deux plans perpendiculaires à un même plan ne sont pas toujours parallèles : le plan A B F et le plan B C G sont tous les deux perpendiculaires au plan A B C, et ils se coupent.
Définition. On dit que deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre.
Un plan P horizontal, dessiné comme un parallélogramme, et un plan Q debout, dessiné comme un rectangle, qui le coupe suivant la droite D, en rouge.
Exemple traité
Dans le cube montrer que les plans et sont perpendiculaires.
- Une droite orthogonale — est perpendiculaire à et à sécantes en : elle est orthogonale au plan
- Contenue dans l’autre plan — La droite est contenue dans le plan
À ne pas faire : Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite de l’un est orthogonale à l’autre — Seules certaines droites de l’un sont orthogonales à l’autre. Les plans et sont perpendiculaires, mais la droite du plan n'est pas orthogonale au plan
À ne pas faire : Deux plans perpendiculaires à un même plan sont parallèles — Deux plans perpendiculaires à un même plan peuvent être sécants. Les plans et sont tous deux perpendiculaires au plan et ils se coupent suivant
23. Théorème
Propriétés 20, 21 et 22
Ce qu’il dit
Tawa trois propriétés. La propriété 20 : si D est la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires, alors toute droite D' contenue dans l'un de ces deux plans et perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. La propriété 21 : si deux plans sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. W la propriété 22 : si deux plans sécants P et Q sont perpendiculaires à un même plan R, alors leur droite d'intersection D est orthogonale au plan R. Mithel fi le cube : le plan (ABF) w le plan (ADH) ez-zouz perpendiculaires au plan (ABC), w yet9at3ou fi la droite (AE). Donc la droite (AE) orthogonale au plan (ABC). W men hedhom nestantjou zeda : si deux droites sont orthogonales, alors tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. W si deux plans P et Q sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à Q menée par un point de P est contenue dans P, w toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.
توّة trois propriétés . la propriété vingt : si D est la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires ، alors toute droite D prime contenue dans l'un de ces deux plans et perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre . la propriété vingt-et-un : si deux plans sont parallèles ، alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre . w la propriété vingt-deux : si deux plans sécants P et Q sont perpendiculaires à un même plan R ، alors leur droite d'intersection D est orthogonale au plan R . مثال في le cube : le plan A B F w le plan A D H الزوز perpendiculaires au plan A B C ، w يتقاطعو في la droite A E . donc la droite A E orthogonale au plan A B C . w من هاذم نستنتجو زادة : si deux droites sont orthogonales ، alors tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre . w si deux plans P et Q sont perpendiculaires ، toute droite perpendiculaire à Q menée par un point de P est contenue dans P ، w toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre .
Voici trois propriétés. La propriété vingt : si D est la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires, alors toute droite D prime contenue dans l'un de ces deux plans et perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. La propriété vingt et un : si deux plans sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre. Et la propriété vingt-deux : si deux plans sécants P et Q sont perpendiculaires à un même plan R, alors leur droite d'intersection D est orthogonale au plan R. Un exemple dans le cube : le plan A B F et le plan A D H sont tous les deux perpendiculaires au plan A B C, et ils se coupent suivant la droite A E. Donc la droite A E est orthogonale au plan A B C. On en déduit aussi : si deux droites sont orthogonales, alors tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. Et si deux plans P et Q sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à Q menée par un point de P est contenue dans P, et toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.
Propriété 20. Si est la droite d'intersection de deux plans perpendiculaires, alors toute droite contenue dans l'un de ces deux plans et perpendiculaire à la droite d'intersection est orthogonale à l'autre.
Propriété 21. Si deux plans sont parallèles, alors tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
Propriété 22. Si deux plans sécants et sont perpendiculaires à un même plan alors leur droite d'intersection est orthogonale au plan
Conséquences. La synthèse du manuel (p.158-159) donne aussi les trois énoncés suivants ; ils sont démontrés plus bas.
1) Si deux droites sont orthogonales, alors tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre.
2) Si deux plans et sont perpendiculaires, alors toute droite perpendiculaire à menée par un point de est contenue dans
3) Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.
Un plan P horizontal et un plan Q debout, perpendiculaires, qui se coupent suivant la droite D, en rouge. Au second temps, une droite D′ du plan P, en bleu, est tracée : elle coupe D au point K, à angle droit.
Démonstration
Propriété 20. Soient et deux plans perpendiculaires, sécants suivant et une droite de perpendiculaire à Le plan contient une droite orthogonale à Par la propriété 16, est orthogonale à qui est dans Dans le plan et sont donc perpendiculaires à la même droite : elles sont parallèles. Par la propriété 17 a), est orthogonale à
Propriété 21. Soient et deux plans parallèles, et un plan perpendiculaire à contient une droite orthogonale à ; par la propriété 17 b), est orthogonale à Donc est perpendiculaire à
Propriété 22. Soit un point de et la droite passant par et perpendiculaire à Le plan contient une droite orthogonale à ; et sont parallèles (propriété 19 a), et passe par le point de : est contenue dans De même, est contenue dans Donc est la droite d'intersection : est orthogonale au plan
Conséquence 1. Soient et deux droites orthogonales, et un plan perpendiculaire à Soit un point de et la parallèle à menée par Par la propriété 13, est orthogonale à ; elle passe par le point du plan : par la propriété 18 c), est contenue dans La droite parallèle à une droite de est donc parallèle à
Conséquence 2. Le plan contient une droite orthogonale à La parallèle à menée par est perpendiculaire à (propriété 17 a) ; par la propriété 18 a), c'est la droite Parallèle à la droite de et passant par le point de elle est contenue dans
Conséquence 3. Soit une droite perpendiculaire à un point de et la parallèle à menée par est perpendiculaire à (propriété 17 a) : par la conséquence 2, elle est contenue dans La droite parallèle à une droite de est parallèle à
Exemple traité
Dans le cube les plans et sont tous deux perpendiculaires au plan Quelle est leur droite d'intersection, et que peut-on en dire ?
- L’intersection — Les plans et sont ceux des faces et : ils se coupent suivant l'arête
- Propriété 22 — Deux plans sécants perpendiculaires au plan : leur droite d'intersection est orthogonale à ce plan.
À ne pas faire : Toute droite du plan qui coupe est orthogonale au plan — Seule une droite de perpendiculaire à est orthogonale au plan . La propriété 20 exige l’angle droit avec la droite d’intersection.
24. Exemple
Exemple : deux plans diagonaux du cube
Ce qu’il dit
Tawa exemple fi le cube : le plan (ACGE) w le plan (BDHF). N7ebbou nbayynou elli houma perpendiculaires. Les diagonales du carré ABCD perpendiculaires : la droite (AC) perpendiculaire à la droite (BD). W la droite (BF) perpendiculaire au plan (ABC), donc orthogonale à la droite (AC). Ez-zouz droites (BD) w (BF) sécantes en B fi le plan (BDHF). Donc la droite (AC) orthogonale au plan (BDHF). W la droite (AC) fi le plan (ACGE), donc les deux plans sont perpendiculaires.
توّة exemple في le cube : le plan A C G E w le plan B D H F . نحبّو نبيّنو اللي هوما perpendiculaires . les diagonales du carré A B C D perpendiculaires : la droite A C perpendiculaire à la droite B D . w la droite B F perpendiculaire au plan A B C ، donc orthogonale à la droite A C . الزوز droites B D w B F sécantes en B في le plan B D H F . donc la droite A C orthogonale au plan B D H F . w la droite A C في le plan A C G E ، donc les deux plans sont perpendiculaires .
Voici un exemple dans le cube : le plan A C G E et le plan B D H F. Nous voulons montrer qu'ils sont perpendiculaires. Les diagonales du carré A B C D sont perpendiculaires : la droite A C est perpendiculaire à la droite B D. Et la droite B F est perpendiculaire au plan A B C, donc orthogonale à la droite A C. Les deux droites B D et B F sont sécantes en B dans le plan B D H F. Donc la droite A C est orthogonale au plan B D H F. Et la droite A C est dans le plan A C G E : les deux plans sont perpendiculaires.
est un cube. Ses plans diagonaux et coupent le cube suivant deux rectangles.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le rectangle ACGE est tracé en rouge : ses côtés [AC] et [EG] sont des diagonales de faces, [AC] en pointillés. Au second temps, le rectangle BDHF est tracé en bleu, ses côtés [BD] et [HF] ; [BD] est en pointillés.
Exemple traité
Montrer que le plan est perpendiculaire au plan
- Dans la base — Les diagonales du carré sont perpendiculaires.
- L’arête (BF) — est perpendiculaire au plan qui contient : par la propriété 16, est orthogonale à
- Une droite orthogonale au plan — et sont sécantes en dans le plan : est orthogonale à ce plan.
- Conclusion — Le plan contient la droite orthogonale au plan
À ne pas faire : est perpendiculaire à donc les plans et sont perpendiculaires — est orthogonale à et à donc au plan : les deux plans sont perpendiculaires. Il faut une droite d’un plan orthogonale à l’autre plan tout entier, pas à une seule de ses droites.
25. Application
Un problème pour aller plus loin : la hauteur d’un tétraèdre trirectangle
Ce qu’il dit
Tawa e5er problème : tétraèdre OABC trirectangle en O, w H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Awwalan, la droite (BC) orthogonale à la droite (OA) w à la droite (OH), donc perpendiculaire au plan (OAH), w orthogonale à la droite (AH). Ya3ni (AH) hauteur du triangle ABC, w H houwa l'orthocentre. Ba3d, b zouz triangles rectangles, nal9aw : 1/OH² = 1/OA² + 1/OB² + 1/OC². Mithel : OA = 3, OB w OC ysewiw 6 : 1/OH² = 1/6, donc OH = √6.
توّة آخر problème : tétraèdre O A B C trirectangle en O ، w H le projeté orthogonal de O sur le plan A B C . أوّلا ، la droite B C orthogonale à la droite O A w à la droite O H ، donc perpendiculaire au plan O A H ، w orthogonale à la droite A H . يعني A H hauteur du triangle A B C ، w H هو l'orthocentre . بعد ، بزوز triangles rectangles ، نلقاو : un sur O H au carré égale un sur O A au carré plus un sur O B au carré plus un sur O C au carré . مثال : O A égale trois ، O B w O C يساويو six : un sur O H au carré égale un sixième ، donc O H égale racine de six .
Voici un dernier problème : un tétraèdre O A B C trirectangle en O, et H le projeté orthogonal de O sur le plan A B C. D'abord, la droite B C est orthogonale à la droite O A et à la droite O H, donc perpendiculaire au plan O A H, et orthogonale à la droite A H. Ainsi A H est une hauteur du triangle A B C, et H est l'orthocentre. Ensuite, avec deux triangles rectangles, on trouve : un sur O H au carré égale un sur O A au carré plus un sur O B au carré plus un sur O C au carré. Un exemple : O A égale trois, O B et O C valent six : un sur O H au carré égale un sixième, donc O H égale racine de six.
est un tétraèdre trirectangle en : les triangles et sont rectangles en est le projeté orthogonal du point sur le plan
On rappelle que si est un triangle rectangle en et le pied de la hauteur issue de alors
Un tétraèdre OABC : O est au fond, A juste au-dessus de O, B devant à gauche, C à droite. Les arêtes [OA], [OB] et [OC], issues de O, sont en pointillés. Au second temps, le point H est placé à l'intérieur du triangle ABC, et le segment [OH] est tracé en rouge, en pointillés.
Exemple traité
1) Montrer que est l'orthocentre du triangle 2) En déduire que 3) Calculer lorsque et
- Une hauteur — est orthogonale à et à : elle est perpendiculaire au plan donc orthogonale à est perpendiculaire au plan donc orthogonale à Ainsi est perpendiculaire au plan et orthogonale à : est la hauteur issue de De même pour : est l'orthocentre.
- Deux triangles rectangles — coupe en est perpendiculaire au plan : est la hauteur du triangle rectangle en et Le triangle est rectangle en de hauteur :
- Le calcul — Avec et :
À ne pas faire : — . La hauteur est plus courte que chacune des arêtes OA, OB et OC : ce sont les inverses des carrés qui s’ajoutent.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes ; deux droites orthogonales peuvent ne pas se couper.Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. W deux droites perpendiculaires houma orthogonales et sécantes, ama deux droites orthogonales ynajjmou ma yetle9awch.Deux droites de l'espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes, mais deux droites orthogonales peuvent ne pas se couper.
- Si deux droites sont orthogonales, toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.Si deux droites sont orthogonales, toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. W si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.Si deux droites sont orthogonales, toute droite parallèle à l'une est orthogonale à l'autre. Et si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre.
- Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. W wa9tha hiya orthogonale à toute droite de ce plan.Une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.
- Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. W si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Et si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
- Par un point passe une unique droite perpendiculaire à un plan donné, et un unique plan perpendiculaire à une droite donnée.Par un point passe une unique droite perpendiculaire à un plan donné, w un unique plan perpendiculaire à une droite donnée.Par un point passe une unique droite perpendiculaire à un plan donné, et un unique plan perpendiculaire à une droite donnée.
- Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. W deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Et deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles.
- Théorème des trois perpendiculaires : si T est perpendiculaire au plan P en A et si H est le projeté orthogonal de A sur une droite D de P, alors pour tout point M de T, la droite (MH) est orthogonale à D.Le théorème des trois perpendiculaires : ken T perpendiculaire au plan P en A, w H le projeté orthogonal de A sur une droite D de P, alors pour tout point M de T, la droite (MH) est orthogonale à D.Le théorème des trois perpendiculaires : si T est perpendiculaire au plan P en A et si H est le projeté orthogonal de A sur une droite D de P, alors pour tout point M de T, la droite M H est orthogonale à D.
- L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment : le plan perpendiculaire au segment en son milieu.L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment : le plan perpendiculaire au segment en son milieu.L'ensemble des points équidistants des extrémités d'un segment est le plan médiateur de ce segment : le plan perpendiculaire au segment en son milieu.
- L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle : la perpendiculaire à son plan menée par son centre.L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle : la perpendiculaire à son plan menée par son centre.L'ensemble des points équidistants de tous les points d'un cercle est l'axe de ce cercle : la perpendiculaire à son plan menée par son centre.
- Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même plan, leur droite d'intersection est orthogonale à ce plan.Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. W si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même plan, leur droite d'intersection est orthogonale à ce plan.Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Et si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même plan, leur droite d'intersection est orthogonale à ce plan.
- Si deux plans sont perpendiculaires suivant une droite D, toute droite de l'un perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. Si deux plans sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.Si deux plans sont perpendiculaires suivant une droite D, toute droite de l'un perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. W si deux plans sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.Si deux plans sont perpendiculaires suivant une droite D, toute droite de l'un perpendiculaire à D est orthogonale à l'autre. Et si deux plans sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
- Si deux droites sont orthogonales, tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. Si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.Si deux droites sont orthogonales, tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. W si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.Si deux droites sont orthogonales, tout plan perpendiculaire à l'une est parallèle à l'autre. Et si deux plans sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna el chapitre. Tfakker : deux droites orthogonales mouch lezem yetle9aw. Bech tbayyen droite perpendiculaire à un plan, lawwej 3la deux droites sécantes du plan orthogonales liha. W ki droite perpendiculaire à un plan, hiya orthogonale à toute droite de ce plan : hedhi elli ta3tik les angles droits w Pythagore. W deux plans perpendiculaires, wa7ed fihom fih droite orthogonale à l'autre. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا الـ chapitre . تفكّر : deux droites orthogonales موش لازم يتلاقاو . باش تبيّن droite perpendiculaire à un plan ، لوّج على deux droites sécantes du plan orthogonales ليها . w كي droite perpendiculaire à un plan ، هي orthogonale à toute droite de ce plan : هاذي اللي تعطيك les angles droits w Pythagore . w deux plans perpendiculaires ، واحد فيهم فيه droite orthogonale à l'autre . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé ce chapitre. Retiens : deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément. Pour montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan, cherche deux droites sécantes du plan qui lui sont orthogonales. Et quand une droite est perpendiculaire à un plan, elle est orthogonale à toute droite de ce plan : c'est ce qui te donne les angles droits et Pythagore. Et deux plans sont perpendiculaires quand l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Droites orthogonales
- c'est quoi deux droites orthogonales
- chnowa ma3neha droites orthogonales
- définition de deux droites orthogonales
- droites orthogonales ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Deux droites orthogonales, ma3neha : ne5dhou point, w nrasmou mennou parallèle l koll droite. Ken ez-zouz parallèles hedhom perpendiculaires, les deux droites sont orthogonales.
deux droites orthogonales ، معناها : ناخذو point ، w نرسمو منّو parallèle لكل droite . كان الزوز parallèles هاذم perpendiculaires ، les deux droites sont orthogonales .
Deux droites sont orthogonales quand on prend un point, qu'on trace par ce point une parallèle à chacune, et que ces deux parallèles sont perpendiculaires.
Question 2 · Droites orthogonales
- quelle est la différence entre orthogonales et perpendiculaires
- chnowa el far9 bin orthogonales w perpendiculaires
- différence entre droites perpendiculaires et droites orthogonales
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Deux droites perpendiculaires houma orthogonales w yetle9aw. Ama deux droites orthogonales, ynajjmou ma yetle9awch. Ya3ni perpendiculaires ma3neha orthogonales et sécantes.
deux droites perpendiculaires هوما orthogonales w يتلاقاو . أما deux droites orthogonales ، ينجّمو ما يتلاقاوش . يعني perpendiculaires معناها orthogonales et sécantes .
Deux droites perpendiculaires sont orthogonales et se coupent. Deux droites orthogonales, elles, peuvent ne pas se couper. Autrement dit, perpendiculaires veut dire orthogonales et sécantes.
Question 3 · Droites orthogonales
- deux droites orthogonales se coupent toujours
- est ce que deux droites orthogonales yetle9aw
- droites orthogonales sans point commun possible
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, mouch dima. Fi le cube, la droite (AE) w la droite (BC) orthogonales, w ma yetle9awch : mouch fi nafs el plan.
لا ، موش ديما . في le cube ، la droite A E w la droite B C orthogonales ، w ما يتلاقاوش : موش في نفس الـ plan .
Non, pas toujours. Dans le cube, la droite A E et la droite B C sont orthogonales, et elles ne se coupent pas : elles ne sont pas dans un même plan.
Question 4 · Droite perpendiculaire à un plan
- c'est quoi une droite perpendiculaire à un plan
- chnowa ma3neha droite perpendiculaire à un plan
- définition droite orthogonale à un plan
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Droite perpendiculaire à un plan, ma3neha orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. W wa9tha twalli orthogonale à toute droite du plan.
droite perpendiculaire à un plan ، معناها orthogonale à deux droites sécantes de ce plan . w وقتها تولّي orthogonale à toute droite du plan .
Une droite est perpendiculaire à un plan quand elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toute droite du plan.
Question 5 · Droite perpendiculaire à un plan
- comment montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan
- kifech nbayyen droite perpendiculaire au plan
- méthode pour démontrer qu une droite est orthogonale à un plan
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Lawwej fel plan 3la deux droites sécantes, w bayyen elli el droite orthogonale à chacune. Walla bayyen elli hiya parallèle à une droite perpendiculaire au plan.
لوّج في الـ plan على deux droites sécantes ، w بيّن اللي الـ droite orthogonale à chacune . ولّا بيّن اللي هي parallèle à une droite perpendiculaire au plan .
Cherche dans le plan deux droites sécantes, et montre que la droite est orthogonale à chacune. Ou bien montre qu'elle est parallèle à une droite perpendiculaire au plan.
Question 6 · Droite perpendiculaire à un plan
- pourquoi les deux droites doivent être sécantes
- 3lech lezem sécantes
- pourquoi il faut deux droites sécantes du plan
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater zouz droites parallèles ma yekfiwch. Fi le cube, la droite (AB) orthogonale à la droite (AD) w à la droite (BC), w hiya fi le plan (ABC) nafsou.
خاطر زوز droites parallèles ما يكفيوش . في le cube ، la droite A B orthogonale à la droite A D w à la droite B C ، w هي في le plan A B C نفسو .
Parce que deux droites parallèles ne suffisent pas. Dans le cube, la droite A B est orthogonale à la droite A D et à la droite B C, et pourtant elle est dans le plan A B C lui-même.
Question 7 · Droite perpendiculaire à un plan
- une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites du plan
- est ce que elle est orthogonale à toute droite du plan
- koll droite fel plan orthogonale liha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, hedhi la propriété 16 : si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan, 7atta elli ma tetle9ech m3aha.
إيه ، هاذي la propriété seize : si une droite est perpendiculaire à un plan ، alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan ، حتّى اللي ما تتلاقاش معاها .
Oui, c'est la propriété seize : si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan, même celles qu'elle ne coupe pas.
Question 8 · Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier
- comment montrer que deux droites sont orthogonales
- kifech nbayyen elli zouz droites orthogonales
- méthode pour démontrer deux droites orthogonales
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
3andek zouz torq. Ya tbaddel wa7da menhom b parallèle t9oss lo5ra, w tal9a angle droit. Ya tbayyen elli wa7da menhom perpendiculaire à un plan fih lo5ra.
عندك زوز طرق . يا تبدّل وحدة منهم بـ parallèle تقصّ الأخرى ، w تلقى angle droit . يا تبيّن اللي وحدة منهم perpendiculaire à un plan فيه الأخرى .
Tu as deux méthodes. Soit tu remplaces l'une par une parallèle qui coupe l'autre, et tu trouves un angle droit. Soit tu montres que l'une est perpendiculaire à un plan qui contient l'autre.
Question 9 · Propriété 18
- combien de droites perpendiculaires à un plan passent par un point
- 9adech men droite perpendiculaire à un plan tet3adda men point
- une seule droite perpendiculaire à un plan par un point
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Wa7da bark : par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné. W kif kif, par un point, il passe un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.
وحدة برك : par un point donné ، il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné . w كيف كيف ، par un point ، il passe un seul plan perpendiculaire à une droite donnée .
Une seule : par un point donné, il passe une droite et une seule perpendiculaire à un plan donné. Et de même, par un point, il passe un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.
Question 10 · Propriété 19
- deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles
- zouz droites perpendiculaires à nafs el plan parallèles
- que dire de deux droites perpendiculaires au même plan
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. Hedhi la propriété 19. Mathalan fi le cube, la droite (BF) w la droite (DH).
إيه ، deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles . هاذي la propriété dix-neuf . مثلا في le cube ، la droite B F w la droite D H .
Oui, deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles. C'est la propriété dix-neuf. Par exemple, dans le cube, la droite B F et la droite D H.
Question 11 · Propriété 19
- deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles ?
- zouz droites orthogonales à nafs el droite parallèles ?
- deux droites orthogonales à la même droite sont-elles parallèles
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La, mouch dima. Fi le cube, la droite (AB) w la droite (AD) ez-zouz orthogonales à la droite (AE), w yetle9aw fi A. Elli s7i7 : deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
لا ، موش ديما . في le cube ، la droite A B w la droite A D الزوز orthogonales à la droite A E ، w يتلاقاو في A . اللي صحيح : deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles .
Non, pas toujours. Dans le cube, la droite A B et la droite A D sont toutes les deux orthogonales à la droite A E, et elles se coupent en A. Ce qui est vrai : deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
Question 12 · Plans perpendiculaires
- deux plans perpendiculaires à un même plan sont parallèles
- zouz plans perpendiculaires à nafs el plan parallèles
- deux plans perpendiculaires au même plan forcément parallèles
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, mouch dima. Le plan (ABF) w le plan (BCG) ez-zouz perpendiculaires au plan (ABC), w yet9at3ou fi la droite (BF). Deux plans perpendiculaires à une même droite, hedhouma elli parallèles.
لا ، موش ديما . le plan A B F w le plan B C G الزوز perpendiculaires au plan A B C ، w يتقاطعو في la droite B F . deux plans perpendiculaires à une même droite ، هاذوما اللي parallèles .
Non, pas toujours. Le plan A B F et le plan B C G sont tous les deux perpendiculaires au plan A B C, et ils se coupent suivant la droite B F. Ce sont deux plans perpendiculaires à une même droite qui sont parallèles.
Question 13 · Le théorème des trois perpendiculaires
- c'est quoi le théorème des trois perpendiculaires
- chnowa théorème des trois perpendiculaires
- explique le théorème des trois perpendiculaires
- le théorème des 3 perpendiculaires
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
T perpendiculaire au plan P en A, w H le projeté orthogonal de A sur une droite D du plan. El théorème y9oul : pour tout point M de T, la droite (MH) est orthogonale à D.
T perpendiculaire au plan P en A ، w H le projeté orthogonal de A sur une droite D du plan . الـ théorème يقول : pour tout point M de T ، la droite M H est orthogonale à D .
T est perpendiculaire au plan P en A, et H est le projeté orthogonal de A sur une droite D du plan. Le théorème dit : pour tout point M de T, la droite M H est orthogonale à D.
Question 14 · Plan médiateur d’un segment
- c'est quoi le plan médiateur d'un segment
- chnowa le plan médiateur
- définition du plan médiateur
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le plan médiateur d'un segment houwa le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu. W houwa l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
le plan médiateur d'un segment هو le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu . w هو l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment .
Le plan médiateur d'un segment est le plan perpendiculaire à ce segment en son milieu. C'est aussi l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
Question 15 · Pour comprendre : les points équidistants de deux points
- la médiatrice d'un segment dans l'espace c'est quoi
- pourquoi pas la médiatrice dans l'espace
- el médiatrice fi l'espace wallet chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi l'espace, les points équidistants de A w B ya3mlou plan, mouch droite. La médiatrice de [AB] hiya la trace mta3 el plan hedha fi plan fih A w B.
في l'espace ، les points équidistants de A w B يعملو plan ، موش droite . la médiatrice de A B هي la trace متاع الـ plan هذا في plan فيه A w B .
Dans l'espace, les points équidistants de A et de B forment un plan, pas une droite. La médiatrice de A B, c'est la trace de ce plan dans un plan qui contient A et B.
Question 16 · Axe d’un cercle
- c'est quoi l'axe d'un cercle
- chnowa l'axe du cercle
- définition de l'axe d'un cercle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'axe d'un cercle houwa la droite qui passe par le centre du cercle w perpendiculaire à son plan. Koll point mte3ou b3adou nafs ech-chay 3la les points du cercle.
l'axe d'un cercle هو la droite qui passe par le centre du cercle w perpendiculaire à son plan . كل point متاعو بعدو نفس الشي على les points du cercle .
L'axe d'un cercle est la droite qui passe par le centre du cercle et qui est perpendiculaire à son plan. Chacun de ses points est à la même distance de tous les points du cercle.
Question 17 · Plans perpendiculaires
- c'est quoi deux plans perpendiculaires
- chnowa ma3neha plans perpendiculaires
- définition de deux plans perpendiculaires
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Deux plans perpendiculaires, ma3neha wa7ed fihom fih droite orthogonale à l'autre. Mathalan le plan (ABF) w le plan (ABC) fi le cube.
deux plans perpendiculaires ، معناها واحد فيهم فيه droite orthogonale à l'autre . مثلا le plan A B F w le plan A B C في le cube .
Deux plans sont perpendiculaires quand l'un contient une droite orthogonale à l'autre. Par exemple le plan A B F et le plan A B C dans le cube.
Question 18 · Exemple : deux plans diagonaux du cube
- comment montrer que deux plans sont perpendiculaires
- kifech nbayyen elli deux plans perpendiculaires
- méthode pour démontrer deux plans perpendiculaires
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Lawwej fi wa7ed menhom 3la droite, w bayyen elli hiya orthogonale à deux droites sécantes du deuxième plan. W wa9tha les deux plans sont perpendiculaires.
لوّج في واحد منهم على droite ، w بيّن اللي هي orthogonale à deux droites sécantes du deuxième plan . w وقتها les deux plans sont perpendiculaires .
Cherche dans l'un des plans une droite, et montre qu'elle est orthogonale à deux droites sécantes du deuxième plan. Alors les deux plans sont perpendiculaires.
Question 19 · Propriété 18
- c'est quoi le projeté orthogonal d'un point sur un plan
- chnowa el projeté orthogonal
- projeté orthogonal sur un plan ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le projeté orthogonal d'un point A sur un plan P, houwa le point où la perpendiculaire à P menée par A perce le plan P.
le projeté orthogonal d'un point A sur un plan P ، هو le point où la perpendiculaire à P menée par A perce le plan P .
Le projeté orthogonal d'un point A sur un plan P est le point où la perpendiculaire à P menée par A perce le plan P.
Question 20 · Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier
- c'est quoi un tétraèdre régulier
- chnowa tétraèdre régulier
- définition tétraèdre régulier
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Tétraèdre régulier, les arêtes mte3ou el koll nafs et-toul, w les faces mte3ou el koll triangles équilatéraux. W les arêtes opposées mte3ou orthogonales.
tétraèdre régulier ، les arêtes متاعو الكل نفس الطول ، w les faces متاعو الكل triangles équilatéraux . w les arêtes opposées متاعو orthogonales .
Dans un tétraèdre régulier, toutes les arêtes ont la même longueur, et toutes les faces sont des triangles équilatéraux. Et ses arêtes opposées sont orthogonales.
Question 21 · Exemple : un tétraèdre trirectangle
- c'est quoi un tétraèdre trirectangle
- chnowa trirectangle
- tétraèdre trirectangle ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Tétraèdre trirectangle en A, ma3neha les trois faces elli yetle9aw fi A, el koll rectangles en A. Kima coin de cube.
tétraèdre trirectangle en A ، معناها les trois faces اللي يتلاقاو في A ، الكل rectangles en A . كيما coin de cube .
Un tétraèdre trirectangle en A a ses trois faces qui se rencontrent en A toutes rectangles en A, comme un coin de cube.
Question 22 · Exemple : des arêtes opposées deux à deux orthogonales
- c'est quoi l'orthocentre d'un triangle
- chnowa l'orthocentre
- définition de l'orthocentre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
L'orthocentre d'un triangle houwa le point de concours des trois hauteurs mte3ou.
l'orthocentre d'un triangle هو le point de concours des trois hauteurs متاعو .
L'orthocentre d'un triangle est le point de concours de ses trois hauteurs.
Question 23 · Un problème pour aller plus loin : la sphère circonscrite à un tétraèdre
- c'est quoi la sphère circonscrite à un tétraèdre
- chnowa sphère circonscrite
- sphère circonscrite ma3neha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La sphère circonscrite à un tétraèdre hiya la sphère qui passe par ses quatre sommets. El centre mte3ha fi le plan médiateur de chaque arête.
la sphère circonscrite à un tétraèdre هي la sphère qui passe par ses quatre sommets . الـ centre متاعها في le plan médiateur de chaque arête .
La sphère circonscrite à un tétraèdre est la sphère qui passe par ses quatre sommets. Son centre est dans le plan médiateur de chaque arête.
Question 24 · Exemple : un tétraèdre trirectangle
- comment calculer le volume d'une pyramide
- kifech na7sbou le volume mta3 pyramide
- formule du volume d une pyramide
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le volume d'une pyramide, walla tétraèdre, égale un tiers fois l'aire de la base fois la hauteur. W el hauteur tet9es 3la la perpendiculaire au plan de la base.
le volume d'une pyramide ، ولّا tétraèdre ، égale un tiers fois l'aire de la base fois la hauteur . w الـ hauteur تتقاس على la perpendiculaire au plan de la base .
Le volume d'une pyramide, ou d'un tétraèdre, est égal à un tiers fois l'aire de la base fois la hauteur. Et la hauteur se mesure sur la perpendiculaire au plan de la base.
Question 25 · Pour comprendre : une droite orthogonale à tout un plan
- on peut utiliser Pythagore dans l'espace
- est ce que Pythagore tekhdem fi l'espace
- théorème de Pythagore dans l'espace
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ih, ama fi triangle rectangle. Fi l'espace, nal9aw l'angle droit b l'orthogonalité : mathalan ken droite perpendiculaire à un plan, ta3tik angle droit m3a koll droite du plan elli t9os-ha.
إيه ، أما في triangle rectangle . في l'espace ، نلقاو l'angle droit بـ l'orthogonalité : مثلا كان droite perpendiculaire à un plan ، تعطيك angle droit مع كل droite du plan اللي تقصّها .
Oui, mais dans un triangle rectangle. Dans l'espace, on trouve l'angle droit grâce à l'orthogonalité : par exemple, une droite perpendiculaire à un plan fait un angle droit avec toute droite du plan qu'elle coupe.
Question 26 · Un problème pour aller plus loin : la grande diagonale du cube
- combien mesure la diagonale d'un cube
- longueur de la grande diagonale du cube
- 9adech toul el diagonale fel cube
- quelle est la diagonale du cube
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi cube d'arête a, la diagonale d'une face égale a√2, w la grande diagonale égale a√3.
في cube d'arête a ، la diagonale d'une face égale a racine de deux ، w la grande diagonale égale a racine de trois .
Dans un cube d'arête a, la diagonale d'une face mesure a racine de deux, et la grande diagonale mesure a racine de trois.
Question 27 · Exemple : les arêtes opposées d’un tétraèdre régulier
- hauteur d'un triangle équilatéral
- kifech na7sbou la hauteur mta3 triangle équilatéral
- combien mesure la hauteur du triangle équilatéral
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Triangle équilatéral de côté c, la hauteur mte3ou égale c fois √3 sur 2. W hiya zeda médiane.
triangle équilatéral de côté c ، la hauteur متاعو égale c fois racine de trois sur deux . w هي زادة médiane .
Dans un triangle équilatéral de côté c, la hauteur mesure c fois racine de trois sur deux. C'est aussi une médiane.
Question 28 · Droites orthogonales
- quel est le symbole de orthogonal
- comment on note deux droites orthogonales
- chnowa el signe mta3 perpendiculaire
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Nektbou b le symbole « perpendiculaire », elli houwa trait vertical sur un trait horizontal, kima fi le plan. Ama fel cours nektbou bel klem : orthogonale à, bech ma n5altouch bin orthogonales w perpendiculaires.
نكتبو بـ le symbole « perpendiculaire » ، اللي هو trait vertical sur un trait horizontal ، كيما في le plan . أما في الـ cours نكتبو بالكلام : orthogonale à ، باش ما نخلطوش بين orthogonales w perpendiculaires .
On note avec le symbole perpendiculaire, un trait vertical posé sur un trait horizontal, comme dans le plan. Mais dans le cours on l'écrit en toutes lettres, orthogonale à, pour ne pas confondre orthogonales et perpendiculaires.
Question 29 · Droite perpendiculaire à un plan
- pourquoi on admet la propriété 16
- chnowa ma3neha propriété admise
- 3lech na9blou propriété men ghir démonstration
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Propriété admise, ma3neha nesta3mlouha men ghir démonstration, 5ater el démonstration mte3ha as3eb men el programme. Ama hiya s7i7a, w nesta3mlouha fi les démonstrations.
propriété admise ، معناها نستعملوها من غير démonstration ، خاطر الـ démonstration متاعها أصعب من الـ programme . أما هي صحيحة ، w نستعملوها في les démonstrations .
Une propriété admise est une propriété qu'on utilise sans la démontrer, parce que sa démonstration dépasse le programme. Mais elle est vraie, et on s'en sert dans les démonstrations.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Une arête et une arête du dessus
Dans le cube de la figure, réponds par vrai ou faux : « la droite est orthogonale à la droite ».
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [DH] est repassée en rouge, l'arête [EF] en bleu.
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : vrai — aussi acceptées : c'est vrai · il est vrai · oui · oui c'est vrai · oui elles sont orthogonales · oui, elles sont orthogonales · elles sont orthogonales · orthogonales · oui orthogonales · vrai elles sont orthogonales · vrai, elles sont orthogonales · c'est vrai elles sont orthogonales · oui elles le sont · oui, c'est vrai · oui c'est vraie · oui, c'est vraie · vraie · c'est vraie · vrai, c'est vrai · oui, vrai
Indices, dans l’ordre
- Cherche une droite parallèle à qui coupe
- est parallèle à Que sait-on de et dans la face ?
Correction
- Une parallèle — est parallèle à et dans le carré est perpendiculaire à
- Propriété 13 — Toute droite parallèle à est orthogonale à
Vrai : est orthogonale à sans la couper.
Pièges anticipés
faux / non / c'est faux / pas orthogonales / elles ne sont pas orthogonales / non elles ne sont pas orthogonales / non, elles ne sont pas orthogonales / faux elles ne sont pas orthogonales / faux, elles ne sont pas orthogonales / non pas orthogonales→ et ne se coupent pas, mais ce n'est pas nécessaire : la parallèle est perpendiculaire à
Exercice 2 · base
Une diagonale de face et une arête
Dans le cube de la figure, réponds par vrai ou faux : « la droite est orthogonale à la droite ».
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La diagonale [AF] de la face ABFE est tracée en rouge ; l'arête [CD] est repassée en bleu.
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : c'est faux · il est faux · non · non c'est faux · pas orthogonales · elles ne sont pas orthogonales · non elles ne sont pas orthogonales · non, elles ne sont pas orthogonales · faux elles ne sont pas orthogonales · faux, elles ne sont pas orthogonales · non pas orthogonales · non, c'est faux · fausse · c'est fausse · non, c'est fausse · non c'est fausse · non, faux
Indices, dans l’ordre
- Remplace par une droite qui lui est parallèle et qui passe par
- est parallèle à Quel angle font et dans le carré ?
Correction
- Par le point A — La parallèle à menée par est
- Dans le carré ABFE — La diagonale fait un angle de avec le côté : elles ne sont pas perpendiculaires.
Faux : et ne sont pas orthogonales.
Pièges anticipés
vrai / oui / c'est vrai / oui elles sont orthogonales / oui, elles sont orthogonales / elles sont orthogonales / orthogonales / oui orthogonales / vrai elles sont orthogonales / vrai, elles sont orthogonales / c'est vrai elles sont orthogonales→ Elles ne se coupent pas, mais ce n'est pas la question : par la parallèle à est et l'angle mesure
Exercice 3 · pratique
Deux diagonales de faces
Dans le cube de la figure, réponds par vrai ou faux : « la droite est orthogonale à la droite ».
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La diagonale [AF] est tracée en rouge, la diagonale [CH] de la face DCGH en bleu, en pointillés, et la diagonale [BE] de la face ABFE en vert.
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : vrai — aussi acceptées : c'est vrai · il est vrai · oui · oui c'est vrai · oui elles sont orthogonales · oui, elles sont orthogonales · elles sont orthogonales · orthogonales · oui orthogonales · vrai elles sont orthogonales · vrai, elles sont orthogonales · c'est vrai elles sont orthogonales · oui elles le sont · oui, c'est vrai · oui c'est vraie · oui, c'est vraie · vraie · c'est vraie · vrai, c'est vrai · oui, vrai
Indices, dans l’ordre
- Cherche, dans la face une parallèle à
- est un parallélogramme : est parallèle à Que sait-on des diagonales d'un carré ?
Correction
- Une parallèle — : est parallèle à
- Les diagonales du carré — Dans le carré les diagonales et sont perpendiculaires.
- Propriété 13 — est parallèle à qui est orthogonale à
Vrai : et sont orthogonales.
Pièges anticipés
faux / non / c'est faux / pas orthogonales / elles ne sont pas orthogonales / non elles ne sont pas orthogonales / non, elles ne sont pas orthogonales / faux elles ne sont pas orthogonales / faux, elles ne sont pas orthogonales / non pas orthogonales→ Elles sont dans des faces différentes, mais est parallèle à perpendiculaire à
Exercice 4 · base
La parallèle par un sommet
Dans le cube de la figure, quelle est la droite passant par et parallèle à la droite ?
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [BF] est repassée en rouge.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (HD) — aussi acceptées : HD · la droite (HD) · la droite HD · droite (HD) · droite HD · c'est (HD) · c'est la droite (HD) · (DH) · DH · la droite (DH) · la droite DH · droite (DH) · droite DH · c'est (DH) · c'est la droite (DH)
Indices, dans l’ordre
- Les arêtes « verticales » du cube sont toutes parallèles.
- Quelle arête verticale part du sommet ?
Correction
- Les arêtes verticales — et sont parallèles.
- Unicité — Par il passe une seule parallèle à : c'est
La droite cherchée est
Pièges anticipés
(HG) / HG / (HE) / HE→ et sont dans la face du dessus : elles sont orthogonales à pas parallèles.
Exercice 5 · pratique
Dans un parallélépipède rectangle
est un parallélépipède rectangle (figure). Les droites et sont-elles orthogonales ?
Un parallélépipède rectangle ABCDEFGH vu en perspective, plus long que haut : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [EH] est repassée en rouge, l'arête [CG] en bleu.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui ils le sont · c'est oui · vrai · oui elles sont orthogonales · oui, elles sont orthogonales · elles sont orthogonales · orthogonales · oui orthogonales · vrai elles sont orthogonales · vrai, elles sont orthogonales · c'est vrai elles sont orthogonales · oui, c'est vrai · oui c'est vrai · c'est vrai · oui, elles le sont
Indices, dans l’ordre
- Remplace par une arête parallèle qui passe par
- est parallèle à Quel angle fait-elle avec dans la face ?
Correction
- Une parallèle — est parallèle à et dans le rectangle est perpendiculaire à
- Propriété 13 — parallèle à est orthogonale à
Oui : et sont orthogonales.
Pièges anticipés
non / faux / pas orthogonales / elles ne sont pas orthogonales / non elles ne sont pas orthogonales / non, elles ne sont pas orthogonales / faux elles ne sont pas orthogonales / faux, elles ne sont pas orthogonales / non pas orthogonales→ Elles ne se coupent pas, mais deux droites orthogonales n'ont pas besoin de se couper : regarde la parallèle
Exercice 6 · pratique
Une demi-diagonale
est un cube d'arête et est le milieu de Calcule
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. K est le centre de la face ABCD ; les segments [AC], [DK] et [HK] sont tracés en pointillés, ainsi que [AH] et [HC] : le triangle AHC.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 3*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- et sont les diagonales du carré : elles ont la même longueur et le même milieu
- La diagonale d'un carré de côté mesure
Correction
- La diagonale — Dans le carré de côté :
- La moitié — est le milieu de
Pièges anticipés
6*sqrt(2) / 6sqrt(2)→ est la diagonale entière ; est son milieu.
Exercice 7 · raisonnement
La hauteur du triangle AHC
est un cube d'arête et est le milieu de Calcule
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. K est le centre de la face ABCD ; les segments [AC], [DK] et [HK] sont tracés en pointillés, ainsi que [AH] et [HC] : le triangle AHC.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 3*sqrt(6)
Indices, dans l’ordre
- Les côtés du triangle sont tous des diagonales de faces : quelle est sa nature ?
- La hauteur d'un triangle équilatéral de côté mesure
Correction
- Un triangle équilatéral — : le triangle est équilatéral, et sa médiane est une hauteur.
- La hauteur — On multiplie le côté par
; on vérifie que
Pièges anticipés
6*sqrt(2) / 6sqrt(2)→ est le côté du triangle ; est sa hauteur.
Exercice 8 · base
Une arête perpendiculaire à une face
Dans le cube de la figure, la droite est-elle perpendiculaire au plan ?
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [BF] est repassée en rouge, les arêtes [AB] et [BC] en bleu.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui ils le sont · c'est oui · vrai · oui elle est perpendiculaire · oui, elle est perpendiculaire · elle est perpendiculaire · elle est perpendiculaire au plan · oui elle est perpendiculaire au plan · oui, elle est perpendiculaire au plan · perpendiculaire · oui perpendiculaire · oui elle l'est
Indices, dans l’ordre
- Il suffit de trouver deux droites sécantes du plan orthogonales à
- Regarde les faces et
Correction
- Deux droites sécantes — Dans le carré est perpendiculaire à ; dans le carré à et sont sécantes en dans le plan
Oui : est perpendiculaire au plan
Pièges anticipés
non / faux / elle n'est pas perpendiculaire / non elle n'est pas perpendiculaire / non, elle n'est pas perpendiculaire / pas perpendiculaire / elle n'est pas perpendiculaire au plan→ est orthogonale à et à deux droites sécantes du plan : c'est la définition.
Exercice 9 · pratique
Deux droites parallèles ne suffisent pas
Réponds par vrai ou faux : « Si une droite est orthogonale à deux droites parallèles d'un plan, alors elle est perpendiculaire à ce plan ».
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : c'est faux · il est faux · non · non c'est faux · non, c'est faux · fausse · c'est fausse · non, c'est fausse · non c'est fausse · non, faux
Indices, dans l’ordre
- Relis la définition : quelles droites du plan faut-il ?
- Dans un cube est orthogonale à et à Est-elle perpendiculaire au plan ?
Correction
- Un contre-exemple — Dans un cube, est orthogonale à et à qui sont parallèles et contenues dans le plan Pourtant est contenue dans ce plan : elle ne lui est pas perpendiculaire.
- La définition — Il faut deux droites sécantes du plan.
Faux : il faut deux droites sécantes du plan.
Pièges anticipés
vrai / oui / c'est vrai→ Avec deux droites parallèles, la droite peut même être contenue dans le plan : pense à orthogonale à et à
Exercice 10 · pratique
Deux autres arêtes opposées
est un tétraèdre régulier et est le milieu de Les droites et sont-elles orthogonales ?
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. J est le milieu de l'arête [BC]. Les segments [AJ] et [DJ] sont tracés en rouge, [DJ] en pointillés.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui ils le sont · c'est oui · vrai · oui elles sont orthogonales · oui, elles sont orthogonales · elles sont orthogonales · orthogonales · oui orthogonales · vrai elles sont orthogonales · vrai, elles sont orthogonales · c'est vrai elles sont orthogonales
Indices, dans l’ordre
- Montre que est perpendiculaire à un plan qui contient
- Dans les triangles équilatéraux et que sont les médianes et ?
Correction
- Deux hauteurs — Les triangles et sont équilatéraux : leurs médianes et sont des hauteurs.
- Le plan (ADJ) — et sont sécantes en
- Propriété 16 — est contenue dans le plan
Oui : et sont orthogonales.
Pièges anticipés
non / faux / pas orthogonales / elles ne sont pas orthogonales / non elles ne sont pas orthogonales / non, elles ne sont pas orthogonales / faux elles ne sont pas orthogonales / faux, elles ne sont pas orthogonales / non pas orthogonales→ Elles ne se coupent pas, mais est perpendiculaire au plan qui contient
Exercice 11 · pratique
Le pied de la hauteur
est un tétraèdre trirectangle en avec et est le pied de la hauteur issue de dans le triangle On sait que Calcule
Un tétraèdre ABCD trirectangle en A : A est au fond, D juste au-dessus de A, B devant à gauche et C à droite. Les arêtes issues de A sont en pointillés. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC, sur [BC] ; les segments [AH] et [DH] sont tracés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 12*sqrt(5)/5
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle rectangle en exprime de deux façons.
- donc
Correction
- Le cosinus — Dans les triangles rectangles et :
- Le calcul — On divise par ce qui donne puis on rend le dénominateur rationnel :
Pièges anticipés
6*sqrt(5)/5 / 6/sqrt(5)→ c'est ; on demande
Exercice 12 · raisonnement
La distance DH
est un tétraèdre trirectangle en avec et est le pied de la hauteur issue de dans le triangle et Calcule
Un tétraèdre ABCD trirectangle en A : A est au fond, D juste au-dessus de A, B devant à gauche et C à droite. Les arêtes issues de A sont en pointillés. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC, sur [BC] ; les segments [AH] et [DH] sont tracés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 2*sqrt(145)/5
Indices, dans l’ordre
- est perpendiculaire au plan : quelle est la nature du triangle ?
- Le triangle est rectangle en : applique le théorème de Pythagore, avec
Correction
- Un angle droit — est perpendiculaire au plan qui contient : le triangle est rectangle en
- Le calcul —
- La racine —
Exercice 13 · raisonnement
L’aire de la face BCD
Dans le même tétraèdre, et On admet que le triangle est rectangle en Calcule l'aire du triangle
Un tétraèdre ABCD trirectangle en A : A est au fond, D juste au-dessus de A, B devant à gauche et C à droite. Les arêtes issues de A sont en pointillés. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC, sur [BC] ; les segments [AH] et [DH] sont tracés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 3*sqrt(29)
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en : que représente pour le triangle ?
- L'aire vaut Simplifie
Correction
- Une hauteur — est perpendiculaire à : c'est la hauteur issue de dans le triangle
- Le calcul —
L'aire du triangle est
Exercice 14 · defi
La hauteur issue de A
Le tétraèdre trirectangle en a pour volume et l'aire de sa face est Calcule la longueur de la hauteur du tétraèdre issue de
Un tétraèdre ABCD trirectangle en A : A est au fond, D juste au-dessus de A, B devant à gauche et C à droite. Les arêtes issues de A sont en pointillés. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC, sur [BC] ; les segments [AH] et [DH] sont tracés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 12*sqrt(29)/29
Indices, dans l’ordre
- Écris le volume avec la base :
- Rends le dénominateur rationnel.
Correction
- Le volume, autrement — On prend pour base : la hauteur est la distance de au plan
- Le calcul —
La hauteur issue de mesure
Pièges anticipés
4*sqrt(29)/29 / 4/sqrt(29)→ N'oublie pas le facteur :
Exercice 15 · raisonnement
Le pied de la hauteur d’un tétraèdre
est un tétraèdre tel que les droites et d'une part, et les droites et d'autre part, sont orthogonales. est le projeté orthogonal du point sur le plan Que représente le point pour le triangle ?
Écris le nom du point remarquable, par exemple : le centre de gravité.
Réponse attendue : l'orthocentre — aussi acceptées : orthocentre · c'est l'orthocentre · K est l'orthocentre · l'orthocentre du triangle BCD · l'orthocentre de BCD · orthocentre de BCD · orthocentre du triangle BCD · K est l'orthocentre du triangle BCD · K est l'orthocentre de BCD · c'est l'orthocentre du triangle BCD · son orthocentre · c'est son orthocentre · K est son orthocentre
Indices, dans l’ordre
- Montre que est perpendiculaire au plan : est orthogonale à et à quelle autre droite de ce plan ?
- Alors est orthogonale à : est une hauteur du triangle Fais de même avec et le plan
Correction
- Le plan (ABK) — est perpendiculaire au plan qui contient : est orthogonale à Elle est aussi orthogonale à et et sont sécantes en
- Une hauteur — est contenue dans le plan : elle est orthogonale à et elle est dans le plan C'est la hauteur issue de du triangle
- Une deuxième hauteur — De même, est orthogonale à et à sécantes en : elle est perpendiculaire au plan donc à C'est la hauteur issue de
est sur deux hauteurs du triangle : c'est son orthocentre.
Pièges anticipés
centre de gravité / le centre de gravité / c'est le centre de gravité / centre du cercle circonscrit / le centre du cercle circonscrit / c'est le centre du cercle circonscrit→ Ici ce sont des droites orthogonales, donc des angles droits : et sont des hauteurs du triangle pas des médianes ni des médiatrices.
Exercice 16 · defi
La troisième paire d’arêtes
est un tétraèdre tel que les droites et d'une part, et les droites et d'autre part, sont orthogonales. est le projeté orthogonal du point sur le plan On admet que est l'orthocentre du triangle Les droites et sont-elles orthogonales ?
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui ils le sont · c'est oui · vrai · oui elles sont orthogonales · oui, elles sont orthogonales · elles sont orthogonales · orthogonales · oui orthogonales · vrai elles sont orthogonales · vrai, elles sont orthogonales · c'est vrai elles sont orthogonales · oui, c'est vrai · oui c'est vrai · c'est vrai · oui, elles le sont
Indices, dans l’ordre
- Montre que est perpendiculaire au plan
- est l'orthocentre de : que dire de et ? Et de et ?
Correction
- Une hauteur — est l'orthocentre du triangle : est la hauteur issue de
- Propriété 16 — est perpendiculaire au plan qui contient
- Le plan (ACK) — et sont sécantes en : est perpendiculaire au plan qui contient
Oui : et sont orthogonales. Si deux paires d'arêtes opposées sont orthogonales, la troisième l'est aussi.
Pièges anticipés
non / faux / pas orthogonales / elles ne sont pas orthogonales / non elles ne sont pas orthogonales / non, elles ne sont pas orthogonales / faux elles ne sont pas orthogonales / faux, elles ne sont pas orthogonales / non pas orthogonales→ Elles ne se coupent pas, mais est perpendiculaire au plan qui contient
Exercice 17 · pratique
Une section diagonale de la pyramide
est une pyramide de base carrée dont toutes les arêtes mesurent Calcule l'aire du triangle
Une pyramide SABCD : la base carrée ABCD est vue en perspective, de centre O ; le sommet S est au-dessus de O. Les arêtes cachées sont en pointillés.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- Compare et
- : le triangle est rectangle en
Correction
- Un triangle rectangle — et : le triangle est rectangle en
- L’aire —
L'aire du triangle est
Pièges anticipés
9*sqrt(3) / 9sqrt(3)→ n'est pas équilatéral : pas
Exercice 18 · raisonnement
Une double pyramide
est une pyramide de base carrée de centre dont toutes les arêtes mesurent ; son volume est est le symétrique de par rapport à Calcule le volume du solide
Une pyramide SABCD : la base carrée ABCD est vue en perspective, de centre O ; le sommet S est au-dessus de O. Les arêtes cachées sont en pointillés. S′, le symétrique de S par rapport à O, est sous la base : les segments [S′A], [S′B], [S′C] et [S′D] sont tracés en bleu.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 72*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Le solide est formé de deux pyramides de même base
- : les deux pyramides ont la même hauteur.
Correction
- Deux pyramides — a la même base que et la même hauteur : elle a le même volume.
- Le total —
Le volume de est
Exercice 19 · pratique
Un triangle dans l’espace
et sont trois points d'un plan étant un point du cercle de diamètre distinct de et de La droite est perpendiculaire au plan Quelle est la nature du triangle ?
Un plan P dessiné comme un parallélogramme. Dans ce plan, un cercle de diamètre [AB], vu comme une ellipse, et un point M du cercle. La droite (SB), en rouge, est perpendiculaire au plan P en B ; S est au-dessus de B. Les segments [AM], [MB], [SM] et [SA] sont tracés.
Écris la nature du triangle, par exemple : isocèle en A.
Réponse attendue : rectangle en M — aussi acceptées : triangle rectangle en M · un triangle rectangle en M · il est rectangle en M · AMS est rectangle en M · rectangle M · triangle rectangle M · le triangle AMS est rectangle en M · triangle AMS rectangle en M · AMS est un triangle rectangle en M · AMS rectangle en M · le triangle AMS est un triangle rectangle en M · c'est un triangle rectangle en M · il est rectangle en M.
Indices, dans l’ordre
- Montre d'abord que est perpendiculaire au plan : est orthogonale à et à quelle autre droite ?
- est sur le cercle de diamètre : l'angle est droit. Puis est dans le plan
Correction
- (SB) et (AM) — est perpendiculaire au plan qui contient : par la propriété 16, elles sont orthogonales.
- Le cercle — est sur le cercle de diamètre : est perpendiculaire à
- Le plan (SBM) — et sont sécantes en
- Conclusion — est contenue dans le plan : est perpendiculaire à
Le triangle est rectangle en
Pièges anticipés
rectangle en A / rectangle en S→ L'angle droit est en : c'est qui est perpendiculaire au planrectangle / triangle rectangle / un triangle rectangle / il est rectangle / c'est un triangle rectangle→ Il est bien rectangle : mais en quel sommet ? Dis où est l'angle droit.
Exercice 20 · raisonnement
Trois perpendiculaires et deux Pythagore
est une droite perpendiculaire à un plan en est une droite du plan ne passant pas par et est le projeté orthogonal de sur est un point de et un point de avec et Calcule
Un plan P. Une droite T perpendiculaire au plan P en A, avec M au-dessus de A. Une droite D du plan, H le projeté orthogonal de A sur D, et K un autre point de D. Les segments [AH], [MH] et [MK] sont tracés.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord dans le triangle rectangle en
- Par le théorème des trois perpendiculaires, est orthogonale à : le triangle est rectangle en
Correction
- MH — est perpendiculaire au plan : le triangle est rectangle en
- Trois perpendiculaires — est perpendiculaire au plan donc à : le triangle est rectangle en
- Le calcul —
Pièges anticipés
2*sqrt(5)→ c'est ; il reste à utiliser le triangle rectangle en
Exercice 21 · base
Un point du plan médiateur
est un segment de longueur et de milieu est un point du plan médiateur de tel que Calcule
Écris un nombre.
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- Le plan médiateur est perpendiculaire à en : quel angle font et ?
- Le triangle est rectangle en avec
Correction
- Un angle droit — est contenue dans le plan médiateur, perpendiculaire à : le triangle est rectangle en
- Le calcul —
et aussi
Pièges anticipés
2*sqrt(61) / sqrt(244)→ est la moitié de : pas
Exercice 22 · pratique
Le plan médiateur de la base
est un triangle isocèle en et est le milieu de est la perpendiculaire au plan en et est un point de distinct de Quel est le plan médiateur de ?
Un triangle ABC posé à plat, isocèle en A : A au fond à droite, B devant à gauche, C devant à droite ; I est le milieu de [BC]. La droite T, en rouge, est perpendiculaire au plan (ABC) en A ; D est sur T, au-dessus de A. Les segments [DB], [DC], [DI] et [AI] sont tracés.
Écris le nom du plan, par exemple (ABC).
Réponse attendue : (ADI) — aussi acceptées : ADI · le plan (ADI) · le plan ADI · plan (ADI) · plan ADI · (AID) · AID · le plan (AID) · le plan AID · plan (AID) · plan AID · (DAI) · DAI · le plan (DAI) · le plan DAI · plan (DAI) · plan DAI · (DIA) · DIA · le plan (DIA) · le plan DIA · plan (DIA) · plan DIA · (IAD) · IAD · le plan (IAD) · le plan IAD · plan (IAD) · plan IAD · (IDA) · IDA · le plan (IDA) · le plan IDA · plan (IDA) · plan IDA
Indices, dans l’ordre
- Cherche trois points non alignés équidistants de et de
- et Pour utilise les triangles et rectangles en
Correction
- A et I — (triangle isocèle) et ( milieu de ).
- Le point D — est perpendiculaire au plan : les triangles et sont rectangles en et
- Le plan — et ne sont pas alignés et sont équidistants de et de
Le plan médiateur de est le plan
Pièges anticipés
(ABC) / ABC / le plan (ABC)→ Le plan contient et : il ne peut pas être leur plan médiateur.
Exercice 23 · pratique
Le plan médiateur d’une arête
est un tétraèdre régulier et est le milieu de Quel est le plan médiateur de ?
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. M est le milieu de l'arête [CD], tracée en bleu.
Écris le nom du plan, par exemple (ABC).
Réponse attendue : (ABM) — aussi acceptées : ABM · le plan (ABM) · le plan ABM · plan (ABM) · plan ABM · (AMB) · AMB · le plan (AMB) · le plan AMB · plan (AMB) · plan AMB · (BAM) · BAM · le plan (BAM) · le plan BAM · plan (BAM) · plan BAM · (BMA) · BMA · le plan (BMA) · le plan BMA · plan (BMA) · plan BMA · (MAB) · MAB · le plan (MAB) · le plan MAB · plan (MAB) · plan MAB · (MBA) · MBA · le plan (MBA) · le plan MBA · plan (MBA) · plan MBA
Indices, dans l’ordre
- Quels sommets du tétraèdre sont à égale distance de et de ?
- et ; et ?
Correction
- Trois points — Toutes les arêtes sont égales : et Et
- Le plan — et ne sont pas alignés.
Le plan médiateur de est le plan
Pièges anticipés
(ACD) / ACD / (BCD) / BCD→ Ce plan contient et : le plan médiateur de ne contient ni ni
Exercice 24 · base
Un point de l’axe
Un cercle a pour centre et pour rayon est un point de son axe, et un point du cercle tel que Calcule
Écris un nombre.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- L'axe est perpendiculaire au plan du cercle : quelle est la nature du triangle ?
- avec
Correction
- Un angle droit — L'axe est perpendiculaire au plan du cercle, qui contient : le triangle est rectangle en
- Le calcul —
Pièges anticipés
sqrt(194)→ L'hypoténuse est : on soustrait,
Exercice 25 · pratique
La grande diagonale
est un cube d'arête Calcule la longueur de la grande diagonale
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La diagonale [AC] de la face ABCD et la grande diagonale [EC] sont tracées en pointillés, [EC] en rouge.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 3*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- est perpendiculaire au plan qui contient : quel est l'angle ?
- Dans le triangle rectangle en et
Correction
- Un angle droit — est perpendiculaire au plan donc orthogonale à : le triangle est rectangle en
- Le calcul —
- La racine —
Pièges anticipés
3*sqrt(2) / 3sqrt(2)→ est la diagonale d'une face ; la grande diagonale traverse le cube.
Exercice 26 · base
Deux faces voisines
Dans le cube de la figure, les plans et sont-ils perpendiculaires ?
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [AB] est repassée en rouge.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui ils le sont · c'est oui · vrai · oui ils sont perpendiculaires · oui, ils sont perpendiculaires · ils sont perpendiculaires · perpendiculaires · oui perpendiculaires
Indices, dans l’ordre
- Cherche, dans le plan une droite orthogonale au plan
- est perpendiculaire à et à
Correction
- Une droite orthogonale — est perpendiculaire à et à sécantes en dans le plan
- La définition — est contenue dans le plan
Oui : les plans et sont perpendiculaires.
Pièges anticipés
non / faux / ils ne sont pas perpendiculaires / non ils ne sont pas perpendiculaires / non, ils ne sont pas perpendiculaires / pas perpendiculaires→ Ils se coupent suivant et c'est permis : le plan contient orthogonale au plan
Exercice 27 · pratique
Perpendiculaires à un même plan
Réponds par vrai ou faux : « Deux plans perpendiculaires à un même plan sont parallèles ».
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : c'est faux · il est faux · non · non c'est faux · non, c'est faux · fausse · c'est fausse · non, c'est fausse · non c'est fausse · non, faux
Indices, dans l’ordre
- Pense aux faces d'un cube qui touchent la face
- Les plans et sont-ils perpendiculaires au plan ? Sont-ils parallèles ?
Correction
- Un contre-exemple — Dans le cube les plans et sont perpendiculaires au plan : ils contiennent orthogonale à ce plan.
- Sécants — Ces deux plans se coupent suivant : ils ne sont pas parallèles.
Faux. Ce sont deux plans perpendiculaires à une même droite qui sont parallèles.
Pièges anticipés
vrai / oui / c'est vrai→ C'est vrai pour deux plans perpendiculaires à une même droite, pas à un même plan : et se coupent.
Exercice 28 · base
Un plan diagonal et la base
Dans le cube de la figure, le plan est-il perpendiculaire au plan ?
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le rectangle ACGE est tracé : [AC] en pointillés et [EG] en trait plein ; l'arête [CG] est repassée en rouge.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui ils le sont · c'est oui · vrai · oui il est perpendiculaire · oui, il est perpendiculaire · il est perpendiculaire · il est perpendiculaire au plan · oui il est perpendiculaire au plan · perpendiculaire · oui perpendiculaire · oui il l'est
Indices, dans l’ordre
- Le plan contient-il une droite orthogonale au plan ?
- Regarde l'arête
Correction
- L’arête (CG) — est perpendiculaire à et à : elle est orthogonale au plan
- La définition — est contenue dans le plan
Oui : le plan est perpendiculaire au plan
Pièges anticipés
non / faux / il n'est pas perpendiculaire / non il n'est pas perpendiculaire / non, il n'est pas perpendiculaire / pas perpendiculaire→ Ce n'est pas une face, mais il contient l'arête orthogonale au plan
Exercice 29 · pratique
Le périmètre du triangle DIA
est un tétraèdre régulier d'arête et est le milieu de Calcule le périmètre du triangle
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. I est le milieu de l'arête [BC] et J le milieu de l'arête [AD]. Le triangle DIA est tracé en rouge, [DI] en pointillés ; le segment [IJ] est tracé en bleu, en pointillés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 4+4*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- et sont des hauteurs de triangles équilatéraux de côté
- La hauteur d'un triangle équilatéral de côté mesure
Correction
- Deux hauteurs — Dans les triangles équilatéraux et les médianes et sont des hauteurs : le triangle est isocèle en
- Le périmètre —
Le périmètre du triangle est
Exercice 30 · raisonnement
Le cosinus de l’angle en D
est un tétraèdre régulier d'arête est le milieu de et Calcule
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. I est le milieu de l'arête [BC] et J le milieu de l'arête [AD]. Le triangle DIA est tracé en rouge, [DI] en pointillés ; le segment [IJ] est tracé en bleu, en pointillés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : sqrt(3)/3
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est isocèle en : sa médiane avec milieu de est aussi une hauteur.
- Dans le triangle rectangle en avec
Correction
- Un triangle rectangle — est le milieu de ; dans le triangle isocèle est perpendiculaire à
- Le calcul — Avec et on simplifie par puis on rend le dénominateur rationnel :
; la calculatrice donne un angle d'environ
Pièges anticipés
1/2 / 0.5→ serait le cosinus de mais le triangle n'est pas équilatéral : et
Exercice 31 · raisonnement
La distance de deux arêtes opposées
est un tétraèdre régulier d'arête et sont les milieux respectifs de et et Calcule
Un tétraèdre ABCD vu en perspective : le sommet A est en haut, B à gauche, C en bas devant, D à droite. L'arête cachée [BD] est en pointillés. I est le milieu de l'arête [BC] et J le milieu de l'arête [AD]. Le triangle DIA est tracé en rouge, [DI] en pointillés ; le segment [IJ] est tracé en bleu, en pointillés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 2*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en car est la hauteur du triangle isocèle
- avec
Correction
- Un triangle rectangle — Dans le triangle isocèle en la médiane est perpendiculaire à
- Le calcul —
- La racine —
Pièges anticipés
4→ est l'hypoténuse du triangle : on soustrait,
Exercice 32 · defi
Trois angles de 60 degrés
est un tétraèdre tel que et On pose et soit la longueur On admet que le triangle est rectangle en si et seulement si On suppose que est rectangle en et que Calcule
Écris la longueur : un nombre.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Remplace par dans la relation.
- : développe et résous cette équation du premier degré.
Correction
- La relation — Avec :
- L’équation —
- Vérification — Par la formule d'El Kashi, et : on a bien
Exercice 33 · raisonnement
La hauteur d’un coin de cube
est un tétraèdre trirectangle en avec et est le projeté orthogonal de sur le plan On admet que Calcule
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 2*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord
Correction
- La relation —
- OH —
Pièges anticipés
6*sqrt(3) / sqrt(108)→ On additionne les inverses des carrés, pas les carrés : est plus court que chaque arête.
Exercice 34 · defi
L’angle AIC dans un cube
est un cube d'arête et est le pied de la hauteur issue de dans le triangle rectangle en On admet que est perpendiculaire au plan que le triangle est isocèle en et que Donne la mesure en radian de l'angle sans écrire rad.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La grande diagonale [BH] est tracée en pointillés ; I est sur [BH]. Les segments [AH], [AI], [IC] et [AC] sont tracés en pointillés.
Écris la mesure en radian, sans l'unité, par exemple
Réponse attendue : 2*pi/3
Indices, dans l’ordre
- Calcule puis
- Avec milieu de le triangle est rectangle en : calcule
Correction
- AI — et où est la longueur de l'arête. On divise par et on simplifie par :
- Le demi-angle — est le milieu de et ; dans le triangle isocèle est perpendiculaire à On divise par et les se simplifient :
- L’angle — et l'angle est le double de l'angle
Pièges anticipés
pi/3→ est l'angle ; l'angle est le double.120→ c'est la bonne mesure en degrés : on la demande en radian. valent radians.
Exercice 35 · defi
La hauteur d’un tétraèdre régulier
est un tétraèdre régulier d'arête et est le projeté orthogonal de sur le plan Calcule
Un tétraèdre régulier SABC vu en perspective : le sommet S est en haut, A à gauche, B en bas devant, C à droite. L'arête cachée [AC] est en pointillés. H, le centre du triangle ABC, est marqué, et la hauteur [SH] est tracée en rouge, en pointillés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 2*sqrt(6)
Indices, dans l’ordre
- : est équidistant de et Que représente pour le triangle équilatéral ?
- est le centre du triangle : vaut les deux tiers de la hauteur Puis Pythagore dans le triangle
Correction
- Le centre — Les triangles et sont rectangles en avec la même hypoténuse : est le centre du triangle équilatéral
- Pythagore —
- La racine —
Pièges anticipés
3*sqrt(3) / 3sqrt(3)→ est la hauteur d'une face ; la hauteur du tétraèdre est
Exercice 36 · defi
Le volume d’un tétraèdre régulier
est un tétraèdre régulier d'arête et de hauteur Calcule son volume.
Un tétraèdre régulier SABC vu en perspective : le sommet S est en haut, A à gauche, B en bas devant, C à droite. L'arête cachée [AC] est en pointillés. H, le centre du triangle ABC, est marqué, et la hauteur [SH] est tracée en rouge, en pointillés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 18*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- L'aire d'un triangle équilatéral de côté est
Correction
- La base —
- Le volume —
Le volume du tétraèdre est
Pièges anticipés
54*sqrt(2)→ Le volume d'une pyramide prend le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.
Exercice 37 · base
La parallèle menée par G
Dans le cube de la figure, nommer la droite passant par et parallèle à la droite
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [AD] est repassée en rouge.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (GF) — aussi acceptées : GF · la droite (GF) · la droite GF · droite (GF) · droite GF · c'est (GF) · c'est la droite (GF) · (FG) · FG · la droite (FG) · la droite FG · droite (FG) · droite FG · c'est (FG) · c'est la droite (FG)
Indices, dans l’ordre
- Les arêtes et sont parallèles : ce sont les côtés opposés de faces carrées.
- Parmi elles, laquelle a pour extrémité ?
Correction
- Deux faces — est un carré : est parallèle à est un carré : est parallèle à
- Une seule parallèle — Par le point il passe une seule parallèle à
La droite cherchée est : pour passer d'une face à l'autre, on enchaîne les parallèles.
Pièges anticipés
(GH) / GH / (HG) / HG→ est parallèle à pas à(GC) / GC / (CG) / CG→ est une arête « verticale » : elle est parallèle à
Exercice 38 · base
Une perpendiculaire dans la face du dessus
Dans le cube de la figure, nommer la droite du plan qui passe par et qui est perpendiculaire à la droite
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [EF] est repassée en bleu.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (EH) — aussi acceptées : EH · la droite (EH) · la droite EH · droite (EH) · droite EH · c'est (EH) · c'est la droite (EH) · (HE) · HE · la droite (HE) · la droite HE · droite (HE) · droite HE · c'est (HE) · c'est la droite (HE)
Indices, dans l’ordre
- Le plan est celui de la face qui est un carré.
- Dans un carré, deux côtés consécutifs sont perpendiculaires. Quel autre côté du carré part de ?
Correction
- La face EFGH — est un carré du plan : ses côtés consécutifs et sont perpendiculaires.
- Une seule — Dans un plan, par un point, il passe une seule perpendiculaire à une droite.
C'est la droite : dans une face, on retrouve la géométrie plane.
Pièges anticipés
(EA) / EA / (AE) / AE→ est bien perpendiculaire à mais elle n'est pas dans le plan(EG) / EG / (GE) / GE→ est une diagonale du carré : elle fait un angle de avec
Exercice 39 · pratique
Orthogonales à une même droite
Réponds par vrai ou faux : « Deux droites de l'espace orthogonales à une même droite sont parallèles ».
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : c'est faux · il est faux · non · non c'est faux · non, c'est faux · fausse · c'est fausse · non, c'est fausse · non c'est fausse · non, faux
Indices, dans l’ordre
- Cherche un contre-exemple dans un cube avec la droite
- Les droites et sont-elles orthogonales à ? Sont-elles parallèles ?
Correction
- Un contre-exemple — Dans un cube et sont toutes deux perpendiculaires à dans les faces et
- Pas parallèles — Pourtant et sont sécantes en
Faux : dans l'espace, deux droites orthogonales à une même droite peuvent être sécantes. La propriété du plan ne se transporte pas.
Pièges anticipés
vrai / oui / c'est vrai→ C'est vrai dans un plan, pas dans l'espace : et sont orthogonales à et sécantes.
Exercice 40 · pratique
Une diagonale de face et une arête
Dans le cube de la figure, dire si les droites et sont orthogonales.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La diagonale [BG] de la face BCGF est tracée en bleu, l'arête [AD] est repassée en rouge.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · non ils ne le sont pas · non, ils ne le sont pas · elles ne le sont pas · ils ne le sont pas · c'est non · faux · le · lé · la · pas orthogonales · non pas orthogonales · non, pas orthogonales · elles ne sont pas orthogonales · non elles ne sont pas orthogonales · non, elles ne sont pas orthogonales · ils ne sont pas orthogonales · non ils ne sont pas orthogonales · non, ils ne sont pas orthogonales · non orthogonales
Indices, dans l’ordre
- Mène par la parallèle à : c'est une arête du cube.
- Dans le carré quel angle la diagonale fait-elle avec le côté ?
Correction
- La parallèle par B — La parallèle à menée par est
- Dans le carré BCGF — est une diagonale du carré : elle fait avec le côté un angle de
Non : les parallèles menées par ne sont pas perpendiculaires, donc et ne sont pas orthogonales.
Pièges anticipés
oui / oui elles le sont / oui, elles le sont / oui ils le sont / oui, ils le sont / c'est oui / vrai / ouii / yes / ey / eyh / ih / iyeh / orthogonales / oui orthogonales / oui, orthogonales / elles sont orthogonales / oui elles sont orthogonales / oui, elles sont orthogonales / ils sont orthogonales / oui ils sont orthogonales / oui, ils sont orthogonales→ Ramène-toi en : et la parallèle à font un angle de pas
Exercice 41 · base
Une arête parallèle à (BC) issue de H
Dans le cube de la figure, les droites et sont orthogonales. Nommer l'arête issue de qui est parallèle à et qui est donc, par la propriété 13, orthogonale à
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [AE] est repassée en rouge, l'arête [BC] en bleu.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (HE) — aussi acceptées : HE · la droite (HE) · la droite HE · droite (HE) · droite HE · c'est (HE) · c'est la droite (HE) · (EH) · EH · la droite (EH) · la droite EH · droite (EH) · droite EH · c'est (EH) · c'est la droite (EH)
Indices, dans l’ordre
- Trois arêtes partent de : et
- Laquelle est parallèle à donc à ?
Correction
- La parallèle — et sont des carrés : est parallèle à elle-même parallèle à
- Propriété 13 — et sont orthogonales : toute parallèle à est orthogonale à
C'est l'arête : ici elle coupe même en et lui est perpendiculaire.
Pièges anticipés
(HG) / HG / (GH) / GH→ est parallèle à pas à(HD) / HD / (DH) / DH→ est parallèle à elle-même : elle ne lui est pas orthogonale.
Exercice 42 · pratique
Deux diagonales de faces opposées
Dans le cube de la figure, dire si les droites et sont orthogonales.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La diagonale [EG] de la face du dessus est tracée en bleu, la diagonale [BD] de la face du dessous en rouge.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui, elles le sont · oui ils le sont · oui, ils le sont · c'est oui · vrai · ouii · yes · ey · eyh · ih · iyeh · orthogonales · oui orthogonales · oui, orthogonales · elles sont orthogonales · oui elles sont orthogonales · oui, elles sont orthogonales · ils sont orthogonales · oui ils sont orthogonales · oui, ils sont orthogonales
Indices, dans l’ordre
- Remplace par une diagonale parallèle, dans la face
- est un rectangle : est parallèle à Comment sont les diagonales d'un carré ?
Correction
- Une parallèle — est un rectangle : est parallèle à
- Dans le carré ABCD — Les diagonales du carré sont perpendiculaires.
- Propriété 13 — et sont orthogonales, et est parallèle à
Oui : et sont orthogonales, sans avoir de point commun.
Pièges anticipés
non / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non ils ne le sont pas / non, ils ne le sont pas / elles ne le sont pas / ils ne le sont pas / c'est non / faux / le / lé / la / pas orthogonales / non pas orthogonales / non, pas orthogonales / elles ne sont pas orthogonales / non elles ne sont pas orthogonales / non, elles ne sont pas orthogonales / ils ne sont pas orthogonales / non ils ne sont pas orthogonales / non, ils ne sont pas orthogonales / non orthogonales→ Elles ne se coupent pas, mais ce n'est pas exigé : est parallèle à perpendiculaire à
Exercice 43 · pratique
Les arêtes orthogonales à (AB)
Dans le cube de la figure, déterminer le nombre d'arêtes du cube qui sont orthogonales à la droite
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [AB] est repassée en rouge.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Les arêtes se rangent en trois paquets de arêtes parallèles.
- Les arêtes parallèles à ne lui sont pas orthogonales. Et les autres ? Pense à la propriété 13.
Correction
- Trois directions — Les arêtes parallèles à sont et ; celles parallèles à sont ; celles parallèles à sont
- Propriété 13 — et sont perpendiculaires à : toutes les arêtes qui leur sont parallèles sont orthogonales à qu'elles la coupent ou non.
Il y a arêtes orthogonales à : quatre la coupent, quatre ne la coupent pas.
Pièges anticipés
4→ Tu n'as compté qu'une partie : ou par exemple, ne coupent pas mais lui sont orthogonales.3→ ce sont les autres arêtes parallèles à : elles ne lui sont pas orthogonales.
Exercice 44 · raisonnement
Les diagonales de faces orthogonales à (AE)
est un cube. Parmi les diagonales de ses faces, déterminer le nombre de celles qui sont orthogonales à la droite
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [AE] est repassée en rouge.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Les faces et sont perpendiculaires à : que dire de leurs diagonales ?
- Dans une face latérale, comme la diagonale fait avec un angle de ; et ?
Correction
- Le dessous et le dessus — Dans la face et sont orthogonales à : est perpendiculaire au plan et leur sont parallèles.
- Les faces latérales — Chaque diagonale d'une face latérale fait un angle de avec l'arête verticale de cette face, parallèle à : elle n'est pas orthogonale à
- Le compte —
Il y a diagonales de faces orthogonales à : celles des faces perpendiculaires à
Pièges anticipés
2→ Il n'y a pas que la face : les diagonales de la face sont aussi orthogonales à8→ ce sont les diagonales des faces latérales : elles font avec les arêtes verticales.
Exercice 45 · pratique
Quand la section devient un carré
est un tétraèdre tel que les droites et soient orthogonales. est un point de l'arête ; le plan passant par et parallèle à et à coupe en en et en On admet que est parallèle à que est parallèle à et que est un parallélogramme. On donne et est le milieu de Déterminer la nature exacte du quadrilatère
Écris la nature du quadrilatère, par exemple : losange.
Réponse attendue : carré — aussi acceptées : un carré · c'est un carré · MNPQ est un carré · carre · un carre
Indices, dans l’ordre
- Que dit la propriété 15 des droites et parallèles à deux droites orthogonales ?
- est le milieu de : calcule dans la face et dans la face
Correction
- Propriété 15 — et sont orthogonales ; et leur sont respectivement parallèles : elles sont orthogonales, et sécantes en
- Deux côtés consécutifs — Par la droite des milieux, dans le triangle puis dans le triangle :
- La nature — Un parallélogramme qui a un angle droit et deux côtés consécutifs égaux est un carré.
est un carré : l'orthogonalité de et donne l'angle droit, l'égalité avec le milieu donne les côtés égaux.
Pièges anticipés
rectangle / un rectangle / c'est un rectangle / MNPQ est un rectangle→ C'est vrai, mais incomplet : ici le rectangle a deux côtés consécutifs égaux.losange / un losange / c'est un losange / parallélogramme / un parallélogramme / c'est un parallélogramme→ C'est vrai, mais incomplet : avec et orthogonales, l'angle en est droit, et
Exercice 46 · pratique
Le périmètre de la section au milieu
est un tétraèdre tel que les droites et soient orthogonales. est un point de l'arête ; le plan passant par et parallèle à et à coupe en en et en On admet que est un rectangle, avec parallèle à et parallèle à On donne et est le milieu de Calculer le périmètre du rectangle
Écris un nombre.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle est parallèle à et est le milieu de : que vaut ?
- De même, dans le triangle est parallèle à
Correction
- MQ — Dans le triangle la droite passant par le milieu de et parallèle à coupe en son milieu
- MN — De même dans le triangle est le milieu de
- Le périmètre —
Le périmètre vaut : chaque côté de la section se calcule par la droite des milieux, dans une face du tétraèdre.
Pièges anticipés
7.5 / 7,5→ c'est : le périmètre compte les quatre côtés.30→ Les côtés du rectangle sont la moitié de et de puisque est un milieu.
Exercice 47 · pratique
L’aire de la section au milieu
est un tétraèdre tel que les droites et soient orthogonales. est un point de l'arête ; le plan passant par et parallèle à et à coupe en en et en On admet que est un rectangle, avec parallèle à et parallèle à On donne et est le milieu de Calculer l'aire du rectangle sans écrire l'unité.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 27/2 — aussi acceptées : 13.5
Indices, dans l’ordre
- Calcule les deux côtés et par la propriété de la droite des milieux, dans les faces et
- L'aire d'un rectangle est le produit de ses deux dimensions.
Correction
- Les côtés — est le milieu de : et sont les milieux de et de
- L'aire —
L'aire de vaut
Pièges anticipés
27→ Les deux côtés sont divisés par : et54→ : ce sont les arêtes du tétraèdre, pas les côtés de la section.
Exercice 48 · raisonnement
Un périmètre qui ne bouge pas
est un tétraèdre tel que les droites et soient orthogonales. est un point de l'arête ; le plan passant par et parallèle à et à coupe en en et en On admet que est un rectangle, avec parallèle à et parallèle à On donne et Calculer le périmètre du rectangle
Écris un nombre.
Réponse attendue : 16
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle le théorème de Thalès donne Que vaut ?
- Dans le triangle
Correction
- MQ — Dans le triangle est parallèle à et
- MN — Dans le triangle est parallèle à et
- Le périmètre —
Le périmètre vaut Quand on trouve toujours où que soit : les deux rapports se complètent.
Pièges anticipés
8→ c'est : le périmètre compte les quatre côtés.
Exercice 49 · defi
Quand la section est un carré
est un tétraèdre tel que les droites et soient orthogonales. est un point de l'arête ; le plan passant par et parallèle à et à coupe en en et en On admet que est un rectangle, avec parallèle à et parallèle à On donne et et on pose Déterminer la valeur de pour laquelle est un carré.
Écris la valeur de t, par exemple 2/5.
Réponse attendue : 1/3
Indices, dans l’ordre
- Exprime et en fonction de avec le théorème de Thalès dans les faces et
- Le rectangle est un carré lorsque
Correction
- MN — Dans le triangle est parallèle à
- MQ — Dans le triangle est parallèle à et
- Un carré — Le rectangle est un carré lorsque
: le carré a alors pour côté On traduit la condition géométrique par une équation en
Pièges anticipés
1/2 / 0.5→ Au milieu, et : les arêtes et n'ont pas la même longueur.2/3→ Avec et : tu as échangé les rapports. est proportionnel à0.33 / 0,33 / 0.333 / 0,333 / 0.3 / 0,3→ C'est une valeur approchée : donne la valeur exacte de une fraction.
Exercice 50 · defi
La plus grande section
est un tétraèdre tel que les droites et soient orthogonales. est un point de l'arête ; le plan passant par et parallèle à et à coupe en en et en On admet que est un rectangle, avec parallèle à et parallèle à On donne et et décrit l'arête Déterminer l'aire maximale du rectangle sans écrire l'unité.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- Pose : par le théorème de Thalès, et
- L'aire vaut : pour quelle valeur de ce trinôme est-il le plus grand ?
Correction
- Les côtés — Avec entre et :
- L'aire —
- Le maximum — Le carré est nul pour c'est-à-dire quand est le milieu de
L'aire maximale vaut atteinte quand est le milieu de : on écrit l'aire comme un trinôme en et on cherche son sommet.
Pièges anticipés
72→ : les côtés de la section sont plus courts que les arêtes.1/2 / 0.5→ est la position de qui donne le maximum : on demande l'aire.
Exercice 51 · base
La parallèle à (IJ) menée par A
est un cube. et sont les milieux respectifs de et de On admet que est un parallélogramme. Nommer la droite passant par et parallèle à la droite
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. I est le milieu de [AD], J celui de [FG] ; le segment [IJ], qui traverse le cube, est tracé en bleu, en pointillés.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (AF) — aussi acceptées : AF · la droite (AF) · la droite AF · droite (AF) · droite AF · c'est (AF) · c'est la droite (AF) · (FA) · FA · la droite (FA) · la droite FA · droite (FA) · droite FA · c'est (FA) · c'est la droite (FA)
Indices, dans l’ordre
- Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles.
- Dans quel côté est opposé à ?
Correction
- Les côtés opposés — Dans le parallélogramme les côtés et sont opposés.
C'est la droite diagonale de la face : pour étudier la direction de on peut la remplacer par
Pièges anticipés
(AI) / AI / (IA) / IA / (AD) / AD / (DA) / DA→ est un côté consécutif à : la droite c'est-à-dire coupe en(AJ) / AJ / (JA) / JA→ est une diagonale du parallélogramme : elle coupe en
Exercice 52 · pratique
La longueur IJ
est un cube. et sont les milieux respectifs de et L'arête du cube mesure Calculer la valeur exacte de
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. I est le milieu de [FB], J celui de [CD], K celui de [BE].
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : sqrt(6)
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en : est perpendiculaire au plan qui contient
- Calcule d'abord dans le triangle rectangle en
Correction
- IC — Le triangle est rectangle en avec et
- Un angle droit en C — est perpendiculaire à et à : elle est perpendiculaire au plan donc à Le triangle est rectangle en avec
- La longueur —
: une droite perpendiculaire à un plan donne un angle droit avec toute droite de ce plan, et Pythagore s'applique.
Pièges anticipés
2.45 / 2,45 / 2.4 / 2,4 / 2.449→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte,sqrt(5)→ c'est : il reste le triangle rectangle en
Exercice 53 · raisonnement
La hauteur du triangle BDE
est un cube. et sont les milieux respectifs de et L'arête du cube mesure Calculer la valeur exacte de
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. I est le milieu de [FB], J celui de [CD], K celui de [BE]. Le triangle BDE est tracé, [BD] et [DE] en pointillés ; le segment [DK] est tracé en rouge, en pointillés.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 2*sqrt(6)
Indices, dans l’ordre
- et sont trois diagonales de faces : quelle est la nature du triangle ?
- Dans un triangle équilatéral de côté la médiane mesure
Correction
- Le triangle BDE — et sont des diagonales de faces carrées de côté : le triangle est équilatéral.
- La médiane — est le milieu de : est une médiane, donc une hauteur.
Comme est aussi une hauteur, elle est perpendiculaire à : c'est ainsi qu'on montre que parallèle à est orthogonale à
Pièges anticipés
4*sqrt(2)→ est le côté du triangle : en est la hauteur.2*sqrt(2)→ c'est la moitié du côté : se calcule par Pythagore dans le triangle4.9 / 4,9 / 4.90 / 4,90 / 4.89 / 4,89 / 4.899 / 4,899→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 54 · base
L’arête (HD) et la diagonale (AC)
Dans le cube de la figure, on sait que la droite est perpendiculaire au plan Dire si les droites et sont orthogonales.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [DH] est repassée en rouge ; la diagonale [AC] de la face ABCD est tracée en bleu.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui, elles le sont · oui ils le sont · oui, ils le sont · c'est oui · vrai · ouii · yes · ey · eyh · ih · iyeh · orthogonales · oui orthogonales · oui, orthogonales · elles sont orthogonales · oui elles sont orthogonales · oui, elles sont orthogonales · ils sont orthogonales · oui ils sont orthogonales · oui, ils sont orthogonales
Indices, dans l’ordre
- La droite est-elle contenue dans le plan ?
- Une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Correction
- Dans le plan — et sont deux points du plan : la droite y est contenue.
- Propriété 16 — est perpendiculaire au plan : elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
Oui : et sont orthogonales, bien qu'elles ne se coupent pas.
Pièges anticipés
non / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non ils ne le sont pas / non, ils ne le sont pas / elles ne le sont pas / ils ne le sont pas / c'est non / faux / le / lé / la / pas orthogonales / non pas orthogonales / non, pas orthogonales / elles ne sont pas orthogonales / non elles ne sont pas orthogonales / non, elles ne sont pas orthogonales / ils ne sont pas orthogonales / non ils ne sont pas orthogonales / non, ils ne sont pas orthogonales→ Elles ne se coupent pas, mais est perpendiculaire au plan qui contient
Exercice 55 · pratique
L’aire du triangle AHC
est un cube d'arête Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle sans écrire l'unité.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le triangle AHC est tracé en bleu : [AC] dans la face du dessous, [AH] dans la face de gauche, [HC] dans la face de derrière.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 8*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- et sont des diagonales de faces : quelle est la nature du triangle ?
- L'aire d'un triangle équilatéral de côté vaut
Correction
- Équilatéral — Les trois côtés sont des diagonales de carrés de côté
- L'aire —
L'aire du triangle vaut
Pièges anticipés
8→ est l'aire du triangle la moitié d'une face : le triangle n'est pas dans une face.16*sqrt(3)→ Tu as oublié de diviser par : l'aire est la moitié de la base fois la hauteur.13.86 / 13,86 / 13.9 / 13,9 / 13.85→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 56 · base
Une arête perpendiculaire à la face de droite
Dans le cube de la figure, nommer une arête du cube perpendiculaire au plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La face BCGF est la face de droite.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (AB) — aussi acceptées : AB · la droite (AB) · la droite AB · droite (AB) · droite AB · c'est (AB) · c'est la droite (AB) · (BA) · BA · la droite (BA) · la droite BA · droite (BA) · droite BA · c'est (BA) · c'est la droite (BA) · (DC) · DC · la droite (DC) · la droite DC · droite (DC) · droite DC · c'est (DC) · c'est la droite (DC) · (CD) · CD · la droite (CD) · la droite CD · droite (CD) · droite CD · c'est (CD) · c'est la droite (CD) · (EF) · EF · la droite (EF) · la droite EF · droite (EF) · droite EF · c'est (EF) · c'est la droite (EF) · (FE) · FE · la droite (FE) · la droite FE · droite (FE) · droite FE · c'est (FE) · c'est la droite (FE) · (HG) · HG · la droite (HG) · la droite HG · droite (HG) · droite HG · c'est (HG) · c'est la droite (HG) · (GH) · GH · la droite (GH) · la droite GH · droite (GH) · droite GH · c'est (GH) · c'est la droite (GH)
Indices, dans l’ordre
- Cherche une arête orthogonale à deux droites sécantes du plan par exemple et
- Quelle arête part de sans être dans la face ?
Correction
- Deux droites sécantes — Dans le carré est perpendiculaire à ; dans le carré à et sont sécantes en dans le plan
- Les autres — et sont parallèles à : elles aussi sont perpendiculaires au plan
Les arêtes et conviennent : chacune est orthogonale à deux droites sécantes de la face
Pièges anticipés
(BF) / BF / (FB) / FB / (BC) / BC / (CB) / CB / (CG) / CG / (GC) / GC / (FG) / FG / (GF) / GF→ Cette arête est contenue dans le plan : elle ne peut pas lui être perpendiculaire.
Exercice 57 · pratique
Une diagonale et un plan diagonal
Dans le cube de la figure, dire si la droite est perpendiculaire au plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le rectangle BDHF est tracé : [BD] en pointillés, [FH] en trait plein. La diagonale [EG] de la face du dessus est tracée en rouge.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elle l'est · oui, elle l'est · c'est oui · vrai · ouii · yes · ey · eyh · ih · iyeh · perpendiculaire · oui perpendiculaire · oui, perpendiculaire · elle est perpendiculaire · oui elle est perpendiculaire · oui, elle est perpendiculaire · elle est perpendiculaire au plan · oui elle est perpendiculaire au plan · oui, elle est perpendiculaire au plan
Indices, dans l’ordre
- Le plan contient les droites et sécantes en
- est-elle perpendiculaire à dans le carré ? Est-elle orthogonale à perpendiculaire au plan ?
Correction
- Dans le carré EFGH — Les diagonales du carré sont perpendiculaires.
- L'arête (HD) — est perpendiculaire à et à : elle est perpendiculaire au plan donc orthogonale à (propriété 16).
- Deux droites sécantes — et sont sécantes en et contenues dans le plan
Oui : est orthogonale à deux droites sécantes du plan elle lui est perpendiculaire.
Pièges anticipés
non / non elle ne l'est pas / non, elle ne l'est pas / elle ne l'est pas / c'est non / faux / le / lé / la / pas perpendiculaire / non pas perpendiculaire / elle n'est pas perpendiculaire / non elle n'est pas perpendiculaire / non, elle n'est pas perpendiculaire / elle n'est pas perpendiculaire au plan→ est perpendiculaire à et orthogonale à : deux droites sécantes du plan
Exercice 58 · pratique
Deux poteaux
Sur un terrain plat, un poteau est perpendiculaire au sol, son pied étant au sol. Un second poteau de pied au sol, est parallèle au premier. On donne m, m et m. Calculer la distance entre les sommets des deux poteaux, en m.
Donne la longueur en m.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Par la propriété 17 a), le poteau est lui aussi perpendiculaire au sol : il est orthogonal à
- Place le point de tel que : est un rectangle et le triangle est rectangle en
Correction
- Propriété 17 a) — et sont parallèles, et le sol est perpendiculaire à : il est perpendiculaire à Les angles en et en du quadrilatère sont droits.
- Un rectangle — Soit le point de tel que : est un rectangle, et
- Pythagore — Dans le triangle rectangle en :
Les sommets des poteaux sont à m l'un de l'autre.
Pièges anticipés
sqrt(109)→ Tu as ajouté les hauteurs : la différence de hauteur entre les sommets est m.sqrt(58)→ c'est la distance du sommet au pied : on demande la distance entre les sommets.
Exercice 59 · raisonnement
Un plan parallèle à la base
est un cube d'arête et est le milieu de Le plan passant par et parallèle au plan coupe la droite en Calculer
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. I est le milieu de [AE] ; J est le point de [CG] situé à la même hauteur. Le segment [AJ] est tracé en rouge.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Par la propriété 17 b), est perpendiculaire au plan comme au plan : est un rectangle. Que vaut ?
- Le triangle est rectangle en : calcule d'abord
Correction
- Le point J — Les plans et sont parallèles : ils coupent le plan suivant deux droites parallèles, et est un parallélogramme, donc
- Un angle droit en C — est perpendiculaire au plan qui contient : le triangle est rectangle en avec
- La longueur —
: est le milieu de et l'angle droit en vient de l'arête perpendiculaire à la base.
Pièges anticipés
6*sqrt(3)→ c'est : n'est pas en mais au milieu de6*sqrt(2)→ c'est : il reste à monter de
Exercice 60 · base
Le volume d’un tétraèdre trirectangle
est un tétraèdre trirectangle en : les triangles et sont rectangles en On donne et Calculer le volume du tétraèdre, sans écrire l'unité.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- est orthogonale à et à sécantes en : elle est perpendiculaire au plan
- Le volume d'une pyramide est le tiers de l'aire de la base fois la hauteur.
Correction
- La hauteur — est perpendiculaire au plan : est la hauteur issue de
- La base — Le triangle est rectangle en
- Le volume —
Le volume vaut : dans un tétraèdre trirectangle, une arête issue du sommet de l'angle droit est une hauteur.
Pièges anticipés
30→ c'est l'aire de la base fois la hauteur : le volume d'une pyramide en est le tiers.20→ La base est un triangle : son aire est pas60→ c'est le volume d'un pavé : le tétraèdre en est le sixième.
Exercice 61 · base
Le projeté d’un sommet sur la base
Dans le cube de la figure, déterminer le projeté orthogonal du point sur le plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés.
Écris le nom du point.
Réponse attendue : C — aussi acceptées : le point C · point C · c'est C · c'est le point C · en C · au point C
Indices, dans l’ordre
- Cherche la droite passant par et perpendiculaire au plan : c'est une arête.
- Où cette arête perce-t-elle le plan ?
Correction
- La perpendiculaire — est perpendiculaire à et à sécantes en : elle est perpendiculaire au plan
- Le point de percée — Elle perce le plan en
Le projeté orthogonal de sur le plan est le point
Pièges anticipés
H / F→ Ce point n'est pas dans le plan : le projeté est sur la face du dessous.A→ traverse le cube en diagonale : elle n'est pas perpendiculaire au plan
Exercice 62 · pratique
Le sommet d’une pyramide régulière
est une pyramide de sommet dont la base est un carré de côté et de centre Le projeté orthogonal de sur le plan est et Calculer la valeur exacte de
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : sqrt(41)
Indices, dans l’ordre
- est perpendiculaire au plan qui contient : le triangle est rectangle en
- est la moitié de la diagonale du carré.
Correction
- OA — La diagonale du carré de côté mesure et en est le milieu.
- Un angle droit en O — est perpendiculaire au plan : elle est orthogonale à
- La longueur —
: le projeté orthogonal donne un triangle rectangle avec toute droite du plan qui passe par lui.
Pièges anticipés
5→ vient de : mais est la moitié du côté, pas la moitié de la diagonale.sqrt(137)→ Tu as pris la diagonale entière : est le milieu de6.4 / 6,4 / 6.40 / 6,40 / 6.403→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 63 · pratique
Orthogonale à une droite perpendiculaire
Réponds par vrai ou faux : « Si une droite est perpendiculaire à un plan alors toute droite orthogonale à est contenue dans ».
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : c'est faux · il est faux · non · non c'est faux · non, c'est faux · fausse · c'est fausse · non, c'est fausse · non c'est fausse · non, faux
Indices, dans l’ordre
- Relis la propriété 18 c) : quelle condition manque-t-il sur la droite orthogonale à ?
- Dans un cube est perpendiculaire au plan La droite est-elle orthogonale à ? Est-elle dans le plan ?
Correction
- Un contre-exemple — Dans un cube, est perpendiculaire au plan et est orthogonale à Mais est dans le plan de la face du dessus, parallèle à
- La propriété 18 c) — Il faut en plus que la droite passe par un point du plan
Faux : une droite orthogonale à est contenue dans seulement si elle passe par un point de ; sinon elle lui est parallèle.
Pièges anticipés
vrai / oui / c'est vrai→ Il manque une condition : est orthogonale à sans être dans le plan
Exercice 64 · pratique
Une lampe au-dessus d’une table
Une lampe est suspendue au-dessus d'une table horizontale. Son projeté orthogonal sur le plan de la table est le point avec m. Un verre posé en un point de la table est à m de Calculer la distance entre la lampe et le verre, en m.
Donne la longueur en m.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- est perpendiculaire au plan de la table, qui contient : quel angle fait-elle avec ?
- Applique le théorème de Pythagore dans le triangle
Correction
- Un angle droit — est perpendiculaire au plan de la table : elle est orthogonale à la droite de ce plan.
- Pythagore —
- La distance —
La lampe est à m du verre.
Pièges anticipés
4.2 / 4,2→ Les longueurs ne s'ajoutent pas : et forment un triangle rectangle en9→ c'est : il reste à prendre la racine carrée.
Exercice 65 · raisonnement
Quand l’orthocentre est un sommet
est un triangle rectangle en avec et est son orthocentre. est la droite passant par et perpendiculaire au plan et est le point de tel que Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- Où se coupent les hauteurs d'un triangle rectangle ?
- Les côtés et sont deux hauteurs : Le triangle est alors rectangle en
Correction
- L'orthocentre — Dans le triangle rectangle en est la hauteur issue de et celle issue de : elles se coupent en
- Un angle droit — est perpendiculaire au plan qui contient : le triangle est rectangle en
- La longueur —
: reconnaître l'orthocentre d'un triangle rectangle, c'est reconnaître le sommet de l'angle droit.
Pièges anticipés
17→ Les longueurs ne s'ajoutent pas : le triangle est rectangle ensqrt(119)→ est l'hypoténuse : on ajoute les carrés.
Exercice 66 · base
Deux arêtes perpendiculaires à la base
Dans le cube de la figure, les droites et sont toutes deux perpendiculaires au plan Déterminer la position relative des droites et
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Les arêtes [AE] et [CG] sont repassées en rouge.
Écris la position relative, par exemple : sécantes.
Réponse attendue : parallèles — aussi acceptées : elles sont parallèles · parallèle · les droites sont parallèles · les droites (AE) et (CG) sont parallèles · (AE) et (CG) sont parallèles · elles sont parallèles entre elles · strictement parallèles · elles sont strictement parallèles · parallèles et distinctes · elles sont parallèles et distinctes
Indices, dans l’ordre
- Relis la propriété 19 a) : deux droites perpendiculaires à un même plan…
Correction
- Propriété 19 a) — Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
et sont parallèles : d'ailleurs est un rectangle.
Pièges anticipés
orthogonales / elles sont orthogonales / perpendiculaires / elles sont perpendiculaires→ Elles sont perpendiculaires au plan mais entre elles, elles sont parallèles.sécantes / elles sont sécantes / non coplanaires→ Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles, donc coplanaires et sans point commun ici.
Exercice 67 · pratique
Deux poteaux dans un même plan
Sur un terrain plat, deux poteaux et sont plantés perpendiculairement au sol, leurs pieds et étant au sol. Dire si les points et sont coplanaires.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui, elles le sont · oui ils le sont · oui, ils le sont · c'est oui · vrai · ouii · yes · ey · eyh · ih · iyeh · coplanaires · oui coplanaires · oui, coplanaires · elles sont coplanaires · oui elles sont coplanaires · oui, elles sont coplanaires · ils sont coplanaires · oui ils sont coplanaires · oui, ils sont coplanaires
Indices, dans l’ordre
- Que dit la propriété 19 a) des droites et ?
- Deux droites parallèles sont-elles contenues dans un même plan ?
Correction
- Propriété 19 a) — et sont perpendiculaires au même plan, le sol : elles sont parallèles.
- Un plan — Deux droites parallèles distinctes déterminent un plan, qui contient et
Oui : les quatre points sont coplanaires, ce qui permet ensuite de raisonner dans le plan des deux poteaux.
Pièges anticipés
non / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non ils ne le sont pas / non, ils ne le sont pas / elles ne le sont pas / ils ne le sont pas / c'est non / faux / le / lé / la / pas coplanaires / non pas coplanaires / non, pas coplanaires / elles ne sont pas coplanaires / non elles ne sont pas coplanaires / non, elles ne sont pas coplanaires / ils ne sont pas coplanaires / non ils ne sont pas coplanaires / non, ils ne sont pas coplanaires→ Les deux poteaux sont parallèles (propriété 19 a) : deux parallèles sont toujours dans un même plan.
Exercice 68 · raisonnement
Deux points du même côté d’un plan
et sont deux points situés du même côté d'un plan et sont leurs projetés orthogonaux sur On donne et Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- et sont perpendiculaires à : elles sont parallèles, et est un trapèze rectangle en et
- Place le point de tel que : le triangle est rectangle en
Correction
- Propriété 19 a) — et sont perpendiculaires au plan : elles sont parallèles, et coplanaires. Elles sont orthogonales à contenue dans
- Un rectangle — Soit le point de tel que : est un rectangle, et
- Pythagore —
: deux perpendiculaires au même plan sont parallèles, et on se ramène à un trapèze rectangle.
Pièges anticipés
sqrt(65)→ Les points sont du même côté du plan : on retranche les hauteurs,sqrt(41)→ c'est : il faut tenir compte de la hauteur de
Exercice 69 · raisonnement
Deux points de part et d’autre d’un plan
et sont deux points situés de part et d'autre d'un plan et sont leurs projetés orthogonaux sur On donne et Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- et sont parallèles et coplanaires ; dans leur plan, prolonge au-delà de
- Place le point de la droite de l'autre côté de tel que : est un rectangle et
Correction
- Propriété 19 a) — et sont perpendiculaires au plan : elles sont parallèles, donc coplanaires, et orthogonales à
- Un rectangle — Soit le point de du côté de tel que : est un rectangle, et est entre et
- Pythagore —
: de part et d'autre du plan, les hauteurs s'ajoutent.
Pièges anticipés
2*sqrt(10)→ Tu as retranché les hauteurs, comme si et étaient du même côté de : ici elles s'ajoutent,14→ Les longueurs ne s'ajoutent pas : on se ramène à un triangle rectangle de côtés et
Exercice 70 · pratique
Retrouver AH
est une droite perpendiculaire à un plan en est une droite du plan ne passant pas par est le projeté orthogonal de sur et est un point de distinct de On donne et Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- est perpendiculaire au plan qui contient : où est l'angle droit du triangle ?
- L'hypoténuse est
Correction
- Un angle droit en A — est perpendiculaire au plan : elle est orthogonale à
- Pythagore —
- La longueur —
: est l'hypoténuse du triangle rectangle en
Pièges anticipés
2*sqrt(34)→ est l'hypoténuse : on retranche les carrés,4→ Les longueurs ne se retranchent pas : ce sont leurs carrés.
Exercice 71 · raisonnement
L’aire d’une face
est un triangle rectangle en avec et La droite est perpendiculaire au plan et Calculer l'aire du triangle sans écrire l'unité.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- est le projeté orthogonal de sur : que dit le théorème des trois perpendiculaires des droites et ?
- Le triangle est rectangle en ; calcule dans le triangle
Correction
- Trois perpendiculaires — est perpendiculaire au plan et est le projeté orthogonal de sur : est perpendiculaire au plan donc à
- SB — Le triangle est rectangle en
- L'aire —
L'aire de vaut : le théorème des trois perpendiculaires donne l'angle droit en
Pièges anticipés
18→ est l'aire du triangle : on demande celle de la face60→ L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des côtés de l'angle droit.24→ n'est pas un côté du triangle : l'angle droit est en entre et
Exercice 72 · defi
La distance d’un point à une diagonale
est un carré de côté et de centre La droite est perpendiculaire au plan et Calculer la valeur exacte de la distance du point à la droite c'est-à-dire la longueur où est le point de tel que soit perpendiculaire à
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : sqrt(82)
Indices, dans l’ordre
- Quel est le projeté orthogonal de sur la droite ? Pense aux diagonales du carré.
- Par le théorème des trois perpendiculaires, est perpendiculaire à :
Correction
- Le projeté de A — Les diagonales du carré sont perpendiculaires et se coupent en : est le projeté orthogonal de sur
- Trois perpendiculaires — est perpendiculaire au plan donc est perpendiculaire à : le point est
- Pythagore — et le triangle est rectangle en
La distance de à vaut : le pied de la perpendiculaire se trouve en projetant d'abord sur la droite.
Pièges anticipés
10→ c'est : n'est pas perpendiculaire à Le pied est en2*sqrt(34)→ Tu as pris : c'est Le pied est le centre avec9.06 / 9,06 / 9.1 / 9,1 / 9.055→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 73 · pratique
La hauteur d’une pyramide aux arêtes égales
est une pyramide de sommet et de base un carré de centre ; toutes ses arêtes mesurent On admet que est perpendiculaire au plan Calculer la valeur exacte de
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 5*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en Que vaut ?
- est la moitié de la diagonale du carré de côté
Correction
- OA — La diagonale du carré mesure et en est le milieu.
- Pythagore — est perpendiculaire au plan : le triangle est rectangle en
- La hauteur —
: le point est à la même distance des cinq sommets de la pyramide.
Pièges anticipés
5*sqrt(3)→ Tu as pris la moitié du côté : est la moitié de la diagonale,7.07 / 7,07 / 7.1 / 7,1 / 7.071→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 74 · raisonnement
Le volume d’une pyramide régulière
est une pyramide de sommet et de base un carré de côté et de centre dont les quatre arêtes latérales mesurent Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide, sans écrire l'unité.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 32*sqrt(7)/3
Indices, dans l’ordre
- Montre que est perpendiculaire au plan : dans les triangles isocèles et la médiane est une hauteur.
- Calcule dans le triangle rectangle en avec
Correction
- La hauteur — et : les médianes des triangles isocèles et sont des hauteurs. est orthogonale à et à sécantes en
- SO — moitié de la diagonale.
- Le volume —
Le volume vaut : on prouve d'abord que est la hauteur, puis Pythagore donne sa longueur.
Pièges anticipés
32*sqrt(7)→ Le volume d'une pyramide est le tiers de l'aire de la base fois la hauteur.32→ : l'arête latérale n'est pas la hauteur.28.22 / 28,22 / 28.2 / 28,2 / 28.221→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 75 · base
La distance au milieu
est un segment de longueur et de milieu est un point de l'espace tel que Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Dans le plan le triangle est isocèle en : que dire de la médiane ?
- Le triangle est rectangle en avec
Correction
- Un angle droit — : est sur le plan médiateur de et est perpendiculaire à
- Pythagore —
- La longueur —
Pièges anticipés
2*sqrt(34)→ est l'hypoténuse du triangle : on retranche les carrés.
Exercice 76 · pratique
Les sommets équidistants de A et de C
est un cube. Déterminer le nombre de sommets du cube qui sont équidistants de et de
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La diagonale [AC] de la face du dessous est tracée en rouge.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Dans la face quels sommets sont à la même distance de et de ?
- Compare aussi et et et
Correction
- Dans la base — et : ce sont des arêtes.
- Au-dessus — et : ce sont des diagonales de faces. En revanche est une arête et une grande diagonale ; de même pour
- Le compte —
Il y a sommets : et Ils sont tous dans le plan médiateur de qui est le plan
Pièges anticipés
2→ Il n'y a pas que et : et sont aussi équidistants de et de6→ mais : et ne sont pas équidistants de et de
Exercice 77 · pratique
Le plan médiateur d’une diagonale
Dans le cube de la figure, déterminer le plan médiateur du segment
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La diagonale [BD] de la face du dessous est tracée en rouge.
Écris le nom du plan, par exemple (ABC).
Réponse attendue : (ACG) — aussi acceptées : ACG · le plan (ACG) · le plan ACG · plan (ACG) · plan ACG · c'est (ACG) · c'est le plan (ACG) · (AGC) · AGC · le plan (AGC) · le plan AGC · plan (AGC) · plan AGC · c'est (AGC) · c'est le plan (AGC) · (CAG) · CAG · le plan (CAG) · le plan CAG · plan (CAG) · plan CAG · c'est (CAG) · c'est le plan (CAG) · (CGA) · CGA · le plan (CGA) · le plan CGA · plan (CGA) · plan CGA · c'est (CGA) · c'est le plan (CGA) · (GAC) · GAC · le plan (GAC) · le plan GAC · plan (GAC) · plan GAC · c'est (GAC) · c'est le plan (GAC) · (GCA) · GCA · le plan (GCA) · le plan GCA · plan (GCA) · plan GCA · c'est (GCA) · c'est le plan (GCA) · (ACE) · ACE · le plan (ACE) · le plan ACE · plan (ACE) · plan ACE · c'est (ACE) · c'est le plan (ACE) · (AEC) · AEC · le plan (AEC) · le plan AEC · plan (AEC) · plan AEC · c'est (AEC) · c'est le plan (AEC) · (CAE) · CAE · le plan (CAE) · le plan CAE · plan (CAE) · plan CAE · c'est (CAE) · c'est le plan (CAE) · (CEA) · CEA · le plan (CEA) · le plan CEA · plan (CEA) · plan CEA · c'est (CEA) · c'est le plan (CEA) · (EAC) · EAC · le plan (EAC) · le plan EAC · plan (EAC) · plan EAC · c'est (EAC) · c'est le plan (EAC) · (ECA) · ECA · le plan (ECA) · le plan ECA · plan (ECA) · plan ECA · c'est (ECA) · c'est le plan (ECA) · (AGE) · AGE · le plan (AGE) · le plan AGE · plan (AGE) · plan AGE · c'est (AGE) · c'est le plan (AGE) · (AEG) · AEG · le plan (AEG) · le plan AEG · plan (AEG) · plan AEG · c'est (AEG) · c'est le plan (AEG) · (GAE) · GAE · le plan (GAE) · le plan GAE · plan (GAE) · plan GAE · c'est (GAE) · c'est le plan (GAE) · (GEA) · GEA · le plan (GEA) · le plan GEA · plan (GEA) · plan GEA · c'est (GEA) · c'est le plan (GEA) · (EAG) · EAG · le plan (EAG) · le plan EAG · plan (EAG) · plan EAG · c'est (EAG) · c'est le plan (EAG) · (EGA) · EGA · le plan (EGA) · le plan EGA · plan (EGA) · plan EGA · c'est (EGA) · c'est le plan (EGA) · (CGE) · CGE · le plan (CGE) · le plan CGE · plan (CGE) · plan CGE · c'est (CGE) · c'est le plan (CGE) · (CEG) · CEG · le plan (CEG) · le plan CEG · plan (CEG) · plan CEG · c'est (CEG) · c'est le plan (CEG) · (GCE) · GCE · le plan (GCE) · le plan GCE · plan (GCE) · plan GCE · c'est (GCE) · c'est le plan (GCE) · (GEC) · GEC · le plan (GEC) · le plan GEC · plan (GEC) · plan GEC · c'est (GEC) · c'est le plan (GEC) · (ECG) · ECG · le plan (ECG) · le plan ECG · plan (ECG) · plan ECG · c'est (ECG) · c'est le plan (ECG) · (EGC) · EGC · le plan (EGC) · le plan EGC · plan (EGC) · plan EGC · c'est (EGC) · c'est le plan (EGC) · (ACGE) · ACGE · le plan (ACGE) · le plan ACGE · plan (ACGE) · plan ACGE · c'est (ACGE) · c'est le plan (ACGE) · (CGEA) · CGEA · le plan (CGEA) · le plan CGEA · plan (CGEA) · plan CGEA · c'est (CGEA) · c'est le plan (CGEA) · (GEAC) · GEAC · le plan (GEAC) · le plan GEAC · plan (GEAC) · plan GEAC · c'est (GEAC) · c'est le plan (GEAC) · (EACG) · EACG · le plan (EACG) · le plan EACG · plan (EACG) · plan EACG · c'est (EACG) · c'est le plan (EACG) · (EGCA) · EGCA · le plan (EGCA) · le plan EGCA · plan (EGCA) · plan EGCA · c'est (EGCA) · c'est le plan (EGCA) · (GCAE) · GCAE · le plan (GCAE) · le plan GCAE · plan (GCAE) · plan GCAE · c'est (GCAE) · c'est le plan (GCAE) · (CAEG) · CAEG · le plan (CAEG) · le plan CAEG · plan (CAEG) · plan CAEG · c'est (CAEG) · c'est le plan (CAEG) · (AEGC) · AEGC · le plan (AEGC) · le plan AEGC · plan (AEGC) · plan AEGC · c'est (AEGC) · c'est le plan (AEGC)
Indices, dans l’ordre
- Cherche trois sommets non alignés équidistants de et de
- et Et ?
Correction
- Des points équidistants — et sont des arêtes ; et sont des diagonales de faces.
- Le plan — et ne sont pas alignés : ils déterminent le plan médiateur de
Le plan médiateur de est le plan celui du rectangle
Pièges anticipés
(BDH) / BDH / le plan (BDH) / le plan BDH / plan (BDH) / plan BDH / c'est (BDH) / c'est le plan (BDH) / (BHD) / BHD / le plan (BHD) / le plan BHD / plan (BHD) / plan BHD / c'est (BHD) / c'est le plan (BHD) / (DBH) / DBH / le plan (DBH) / le plan DBH / plan (DBH) / plan DBH / c'est (DBH) / c'est le plan (DBH) / (DHB) / DHB / le plan (DHB) / le plan DHB / plan (DHB) / plan DHB / c'est (DHB) / c'est le plan (DHB) / (HBD) / HBD / le plan (HBD) / le plan HBD / plan (HBD) / plan HBD / c'est (HBD) / c'est le plan (HBD) / (HDB) / HDB / le plan (HDB) / le plan HDB / plan (HDB) / plan HDB / c'est (HDB) / c'est le plan (HDB) / (BDF) / BDF / le plan (BDF) / le plan BDF / plan (BDF) / plan BDF / c'est (BDF) / c'est le plan (BDF) / (BFD) / BFD / le plan (BFD) / le plan BFD / plan (BFD) / plan BFD / c'est (BFD) / c'est le plan (BFD) / (DBF) / DBF / le plan (DBF) / le plan DBF / plan (DBF) / plan DBF / c'est (DBF) / c'est le plan (DBF) / (DFB) / DFB / le plan (DFB) / le plan DFB / plan (DFB) / plan DFB / c'est (DFB) / c'est le plan (DFB) / (FBD) / FBD / le plan (FBD) / le plan FBD / plan (FBD) / plan FBD / c'est (FBD) / c'est le plan (FBD) / (FDB) / FDB / le plan (FDB) / le plan FDB / plan (FDB) / plan FDB / c'est (FDB) / c'est le plan (FDB) / (BDHF) / BDHF / le plan (BDHF) / le plan BDHF / plan (BDHF) / plan BDHF / c'est (BDHF) / c'est le plan (BDHF) / (DHFB) / DHFB / le plan (DHFB) / le plan DHFB / plan (DHFB) / plan DHFB / c'est (DHFB) / c'est le plan (DHFB) / (HFBD) / HFBD / le plan (HFBD) / le plan HFBD / plan (HFBD) / plan HFBD / c'est (HFBD) / c'est le plan (HFBD) / (FBDH) / FBDH / le plan (FBDH) / le plan FBDH / plan (FBDH) / plan FBDH / c'est (FBDH) / c'est le plan (FBDH) / (FHDB) / FHDB / le plan (FHDB) / le plan FHDB / plan (FHDB) / plan FHDB / c'est (FHDB) / c'est le plan (FHDB) / (HDBF) / HDBF / le plan (HDBF) / le plan HDBF / plan (HDBF) / plan HDBF / c'est (HDBF) / c'est le plan (HDBF) / (DBFH) / DBFH / le plan (DBFH) / le plan DBFH / plan (DBFH) / plan DBFH / c'est (DBFH) / c'est le plan (DBFH) / (BFHD) / BFHD / le plan (BFHD) / le plan BFHD / plan (BFHD) / plan BFHD / c'est (BFHD) / c'est le plan (BFHD)→ Ce plan contient : le plan médiateur coupe le segment en son milieu, perpendiculairement.
Exercice 78 · raisonnement
Un point d’une arête équidistant de A et de B
est un cube d'arête est le point de l'arête tel que Calculer
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [GH] est repassée en bleu.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- est dans le plan médiateur de Ce plan passe aussi par les milieux de et
- est le milieu de Soit le milieu de : calcule puis utilise le triangle rectangle en
Correction
- Le point M — Les points de équidistants de et de sont dans le plan médiateur de perpendiculaire à en son milieu : il coupe parallèle à en son milieu. Donc est le milieu de
- Le milieu L de [DC] — est parallèle à : elle est perpendiculaire au plan et le triangle est rectangle en Dans le triangle rectangle en :
- Pythagore —
: le plan médiateur situe le point, puis deux triangles rectangles donnent la distance.
Pièges anticipés
sqrt(5)→ c'est dans la base : il faut encore monter de2*sqrt(3)→ c'est : est au milieu de pas en
Exercice 79 · raisonnement
La grande diagonale et le triangle BDE
Dans le cube de la figure, dire si la grande diagonale est perpendiculaire au plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le triangle BDE est tracé en bleu ; la grande diagonale [AG] est tracée en rouge.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elle l'est · oui, elle l'est · c'est oui · vrai · ouii · yes · ey · eyh · ih · iyeh · perpendiculaire · oui perpendiculaire · oui, perpendiculaire · elle est perpendiculaire · oui elle est perpendiculaire · oui, elle est perpendiculaire · elle est perpendiculaire au plan · oui elle est perpendiculaire au plan · oui, elle est perpendiculaire au plan
Indices, dans l’ordre
- Montre que et sont tous deux dans le plan médiateur de puis dans celui de
- Si la droite est contenue dans le plan médiateur de elle est orthogonale à
Correction
- Plan médiateur de [BD] — (arêtes) et (diagonales de faces) : et sont dans le plan médiateur de perpendiculaire à
- Plan médiateur de [BE] — De même et
- Conclusion — et sont sécantes en dans le plan
Oui : la grande diagonale est perpendiculaire au plan Deux points équidistants des extrémités d'un segment donnent une droite orthogonale à ce segment.
Pièges anticipés
non / non elle ne l'est pas / non, elle ne l'est pas / elle ne l'est pas / c'est non / faux / le / lé / la / pas perpendiculaire / non pas perpendiculaire / elle n'est pas perpendiculaire / non elle n'est pas perpendiculaire / non, elle n'est pas perpendiculaire / elle n'est pas perpendiculaire au plan→ et sont équidistants de et de et de et de : est orthogonale à et à
Exercice 80 · defi
La distance d’un sommet au plan BDG
est un cube d'arête et est le centre du triangle équilatéral On admet que la droite est perpendiculaire au plan Calculer la valeur exacte de
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le triangle BDG est tracé en bleu.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 3*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en avec Il reste à calculer
- Dans un triangle équilatéral de côté le centre est aux deux tiers de la médiane :
Correction
- IB — Le triangle a pour côté diagonale de face. Sa médiane mesure
- Un angle droit en I — est perpendiculaire au plan qui contient
- La distance —
soit le tiers de la grande diagonale
Pièges anticipés
9*sqrt(3)→ est toute la grande diagonale : est entre et3*sqrt(6)→ c'est : il reste le triangle rectangle en5.2 / 5,2 / 5.20 / 5,20 / 5.19 / 5,19 / 5.196 / 5,196→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 81 · defi
Le point I sur la grande diagonale
est un cube d'arête et est le centre du triangle équilatéral On admet que les points et sont alignés, que est entre et et que Calculer la valeur exacte de
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le triangle BDG est tracé en bleu ; la grande diagonale [EC] est tracée en rouge.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 4*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Calcule la grande diagonale : le triangle est rectangle en
Correction
- EC — est perpendiculaire au plan : le triangle est rectangle en avec
- EI — est entre et
: le plan coupe la grande diagonale au tiers de sa longueur, à partir de
Pièges anticipés
6*sqrt(3)→ est toute la diagonale : il faut retrancher6*sqrt(2)-2*sqrt(3)→ La grande diagonale ne mesure pas : c'est une diagonale de face.6.93 / 6,93 / 6.9 / 6,9 / 6.928→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 82 · base
Un point de l’axe et un point du cercle
Un cercle a pour centre et pour rayon est le point de son axe tel que et est un point du cercle. Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 17
Indices, dans l’ordre
- L'axe est perpendiculaire au plan du cercle, qui contient : où est l'angle droit du triangle ?
Correction
- Un angle droit en O — L'axe est perpendiculaire au plan du cercle : il est orthogonal à
- Pythagore —
et c'est vrai pour tous les points du cercle : en est équidistant.
Pièges anticipés
23→ Les longueurs ne s'ajoutent pas : on ajoute leurs carrés.sqrt(161)→ est l'hypoténuse : on ajoute les carrés,
Exercice 83 · pratique
Retrouver le cercle
est un point de l'axe d'un cercle de centre avec et la distance de à chaque point du cercle vaut Calculer la valeur exacte de la longueur du cercle.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 16*pi
Indices, dans l’ordre
- Pour un point du cercle, le triangle est rectangle en : calcule le rayon
- La longueur d'un cercle de rayon vaut
Correction
- Le rayon — L'axe est perpendiculaire au plan du cercle : le triangle est rectangle en
- La longueur —
Le cercle a pour longueur
Pièges anticipés
64*pi→ est l'aire du disque : on demande la longueur du cercle,8→ est le rayon : il reste à calculer la longueur50.27 / 50,27 / 50.3 / 50,3 / 50.26→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte, avec
Exercice 84 · raisonnement
Au-dessus d’un triangle rectangle
est un triangle rectangle en contenu dans un plan avec et est le centre de son cercle circonscrit, et est un point de l'axe de ce cercle tel que Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Où est le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ? Quel est son rayon ?
- Le rayon est la moitié de l'hypoténuse Le triangle est rectangle en
Correction
- Le rayon — Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
- Un angle droit en O — L'axe est perpendiculaire au plan qui contient
- La longueur —
: on repère d'abord le centre du cercle circonscrit, puis l'axe donne un triangle rectangle.
Pièges anticipés
sqrt(69)→ Le rayon est la moitié de : passqrt(194)→ est l'hypoténuse du triangle : on retranche les carrés.
Exercice 85 · pratique
La sphère circonscrite à un cube
est un cube d'arête On admet que le milieu de la grande diagonale est équidistant des huit sommets du cube. Calculer la valeur exacte du rayon de la sphère qui passe par les huit sommets.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La grande diagonale [AG] est tracée en rouge.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- Le rayon vaut
- Le triangle est rectangle en : calcule d'abord diagonale d'une face.
Correction
- AG — est perpendiculaire au plan : le triangle est rectangle en avec
- Le rayon —
Le rayon de la sphère circonscrite au cube vaut la moitié de la grande diagonale.
Pièges anticipés
2*sqrt(3)→ est la grande diagonale, donc le diamètre : le rayon en est la moitié.sqrt(2)→ est la moitié d'une diagonale de face : le centre est au milieu de la grande diagonale.1.73 / 1,73 / 1.7 / 1,7 / 1.732→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 86 · raisonnement
La sphère d’un tétraèdre trirectangle
est un tétraèdre trirectangle en avec et On le complète en un parallélépipède rectangle d'arêtes et on note le sommet opposé à On admet que le milieu de est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre. Calculer le rayon de cette sphère.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le rayon est la moitié de la grande diagonale du parallélépipède.
- Comme pour un cube, deux Pythagore donnent
Correction
- La grande diagonale — Soit le sommet du parallélépipède tel que soit un rectangle : est parallèle à perpendiculaire au plan : le triangle est rectangle en
- Le rayon —
Le rayon vaut : la sphère circonscrite au tétraèdre trirectangle est celle du parallélépipède.
Pièges anticipés
6→ est la grande diagonale c'est-à-dire le diamètre : le rayon en est la moitié.9→ c'est : il reste à prendre la racine carrée.
Exercice 87 · raisonnement
La sphère d’une pyramide aux arêtes égales
est une pyramide de sommet et de base un carré de centre ; toutes ses arêtes mesurent et est perpendiculaire au plan Calculer la valeur exacte du rayon de la sphère qui passe par et sachant que son centre est sur la droite
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 2*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Calcule puis dans le triangle rectangle en
- Compare et : le point lui-même ne serait-il pas le centre ?
Correction
- OA — est le milieu de la diagonale qui mesure :
- SO — Le triangle est rectangle en
- Le centre — est sur et à la distance des cinq sommets : c'est le centre de la sphère.
Le rayon vaut : quand toutes les arêtes sont égales, le centre de la base est équidistant des cinq sommets.
Pièges anticipés
4→ est l'arête : le centre est à de chaque sommet.4*sqrt(2)→ est la diagonale donc le diamètre : le rayon en est la moitié.2.83 / 2,83 / 2.8 / 2,8 / 2.828→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 88 · defi
La sphère d’un tétraèdre régulier
est un tétraèdre régulier d'arête et est le projeté orthogonal de sur le plan ; on sait que et Le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre est sur le segment Calculer la valeur exacte du rayon de cette sphère.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 3*sqrt(6)/2
Indices, dans l’ordre
- On a et
- Le triangle est rectangle en : écris le théorème de Pythagore et résous l'équation en
Correction
- Un angle droit en H — est perpendiculaire au plan : le triangle est rectangle en avec
- L'équation — Les termes en s'éliminent.
- Le rayon —
soit les trois quarts de la hauteur : le centre est l'intersection de l'axe du cercle circonscrit à avec le plan médiateur d'une arête.
Pièges anticipés
2*sqrt(3)→ est le rayon du cercle circonscrit à la base : le centre de la sphère est plus haut, sursqrt(6)→ Le centre n'est pas au milieu de : écris3.67 / 3,67 / 3.7 / 3,7 / 3.674→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 89 · base
Une droite de la base orthogonale à une face
Dans le cube de la figure, nommer une arête contenue dans le plan et orthogonale au plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. La face ADHE est la face de gauche, ABCD la face du dessous.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (AB) — aussi acceptées : AB · la droite (AB) · la droite AB · droite (AB) · droite AB · c'est (AB) · c'est la droite (AB) · (BA) · BA · la droite (BA) · la droite BA · droite (BA) · droite BA · c'est (BA) · c'est la droite (BA) · (DC) · DC · la droite (DC) · la droite DC · droite (DC) · droite DC · c'est (DC) · c'est la droite (DC) · (CD) · CD · la droite (CD) · la droite CD · droite (CD) · droite CD · c'est (CD) · c'est la droite (CD)
Indices, dans l’ordre
- Le plan est celui de la face Cherche une arête de la face orthogonale à et à
- Quelle arête de la base part de sans être dans la face ?
Correction
- L'arête (AB) — est perpendiculaire à dans le carré et à dans le carré et sont sécantes en dans le plan
- Une autre — est parallèle à et contenue dans le plan : elle convient aussi.
ou : le plan contient une droite orthogonale au plan les deux plans sont donc perpendiculaires.
Pièges anticipés
(AD) / AD / (DA) / DA→ est contenue dans les deux plans : elle n'est pas orthogonale au plan(EF) / EF / (FE) / FE / (HG) / HG / (GH) / GH→ Cette arête est bien orthogonale au plan mais elle n'est pas dans le plan
Exercice 90 · pratique
Une droite d’un plan diagonal
Dans le cube de la figure, nommer une droite passant par deux sommets du cube, contenue dans le plan et orthogonale au plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le rectangle BCHE est tracé : sa diagonale de face [BE] en bleu, en trait plein, et [CH] en bleu, en pointillés.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (BC) — aussi acceptées : BC · la droite (BC) · la droite BC · droite (BC) · droite BC · c'est (BC) · c'est la droite (BC) · (CB) · CB · la droite (CB) · la droite CB · droite (CB) · droite CB · c'est (CB) · c'est la droite (CB) · (EH) · EH · la droite (EH) · la droite EH · droite (EH) · droite EH · c'est (EH) · c'est la droite (EH) · (HE) · HE · la droite (HE) · la droite HE · droite (HE) · droite HE · c'est (HE) · c'est la droite (HE)
Indices, dans l’ordre
- Le plan est celui du rectangle Le plan contient et sécantes en
- Parmi les côtés du rectangle lequel part de sans être dans la face ?
Correction
- L'arête (BC) — est perpendiculaire à dans le carré et à dans le carré et sont sécantes en dans le plan
- Une autre — est parallèle à et contenue dans le plan : elle convient aussi.
ou : le plan contient une droite orthogonale au plan les deux plans sont donc perpendiculaires.
Pièges anticipés
(BE) / BE / (EB) / EB→ est la diagonale de la face : elle est contenue dans le plan(CH) / CH / (HC) / HC→ est parallèle à donc parallèle au plan : elle ne lui est pas orthogonale.(BH) / BH / (HB) / HB / (CE) / CE / (EC) / EC→ Une grande diagonale n'est orthogonale ni à ni à : cherche parmi les côtés du rectangle(AD) / AD / (DA) / DA / (FG) / FG / (GF) / GF→ Cette arête est bien orthogonale au plan mais elle n'est pas contenue dans le plan : cherche parmi les côtés du rectangle
Exercice 91 · base
Deux faces opposées
Dans le cube de la figure, dire si les plans et sont perpendiculaires.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : non — aussi acceptées : non elles ne le sont pas · non, elles ne le sont pas · non ils ne le sont pas · non, ils ne le sont pas · elles ne le sont pas · ils ne le sont pas · c'est non · faux · le · lé · la · pas perpendiculaires · non pas perpendiculaires · non, pas perpendiculaires · elles ne sont pas perpendiculaires · non elles ne sont pas perpendiculaires · non, elles ne sont pas perpendiculaires · ils ne sont pas perpendiculaires · non ils ne sont pas perpendiculaires · non, ils ne sont pas perpendiculaires · parallèles · ils sont parallèles · elles sont parallèles · non ils sont parallèles · non, ils sont parallèles · non elles sont parallèles · non, elles sont parallèles · les plans sont parallèles · non, les plans sont parallèles
Indices, dans l’ordre
- Les faces et sont opposées : ont-elles un point commun ?
- Deux plans perpendiculaires sont sécants : l'un contient une droite orthogonale à l'autre, qui le perce.
Correction
- Des faces opposées — Les plans et des faces opposées sont parallèles.
- Pas perpendiculaires — Une droite orthogonale à comme est perpendiculaire aussi à (propriété 17 b) : elle n'est pas contenue dans Aucune droite de n'est orthogonale à
Non : les plans et sont parallèles, pas perpendiculaires.
Pièges anticipés
oui / oui elles le sont / oui, elles le sont / oui ils le sont / oui, ils le sont / c'est oui / vrai / ouii / yes / ey / eyh / ih / iyeh / perpendiculaires / oui perpendiculaires / oui, perpendiculaires / elles sont perpendiculaires / oui elles sont perpendiculaires / oui, elles sont perpendiculaires / ils sont perpendiculaires / oui ils sont perpendiculaires / oui, ils sont perpendiculaires→ Ce sont deux faces opposées : leurs plans sont parallèles. C'est et qui sont perpendiculaires.
Exercice 92 · defi
Deux plans diagonaux qui se croisent
Dans le cube de la figure, dire si les plans et sont perpendiculaires.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Les diagonales [BG] et [CF] de la face BCGF sont tracées en bleu.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elles le sont · oui, elles le sont · oui ils le sont · oui, ils le sont · c'est oui · vrai · ouii · yes · ey · eyh · ih · iyeh · perpendiculaires · oui perpendiculaires · oui, perpendiculaires · elles sont perpendiculaires · oui elles sont perpendiculaires · oui, elles sont perpendiculaires · ils sont perpendiculaires · oui ils sont perpendiculaires · oui, ils sont perpendiculaires
Indices, dans l’ordre
- Le plan est celui du rectangle le plan celui du rectangle Cherche dans une droite orthogonale à
- Essaie : elle est perpendiculaire à dans le carré Est-elle orthogonale à ?
Correction
- Dans le carré BCGF — Les diagonales du carré sont perpendiculaires.
- L'arête (AB) — est perpendiculaire au plan qui contient
- Une droite orthogonale — et sont sécantes en dans le plan : est orthogonale à ce plan. Or et sont dans le plan celui du rectangle
Oui : le plan contient la droite orthogonale au plan Les deux plans sont perpendiculaires.
Pièges anticipés
non / non elles ne le sont pas / non, elles ne le sont pas / non ils ne le sont pas / non, ils ne le sont pas / elles ne le sont pas / ils ne le sont pas / c'est non / faux / le / lé / la / pas perpendiculaires / non pas perpendiculaires / non, pas perpendiculaires / elles ne sont pas perpendiculaires / non elles ne sont pas perpendiculaires / non, elles ne sont pas perpendiculaires / ils ne sont pas perpendiculaires / non ils ne sont pas perpendiculaires / non, ils ne sont pas perpendiculaires→ Cherche dans le plan la diagonale : elle est orthogonale à et à
Exercice 93 · base
Perpendiculaire à l’intersection
Dans le cube de la figure, les plans et sont perpendiculaires et se coupent suivant la droite La droite contenue dans le plan est perpendiculaire à Dire si la droite est orthogonale au plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. L'arête [AB] est repassée en bleu, l'arête [AD] en rouge.
Réponds par oui ou par non.
Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui elle l'est · oui, elle l'est · c'est oui · vrai · ouii · yes · ey · eyh · ih · iyeh · orthogonale · oui orthogonale · oui, orthogonale · elle est orthogonale · oui elle est orthogonale · oui, elle est orthogonale · elle est orthogonale au plan · oui elle est orthogonale au plan · oui, elle est orthogonale au plan
Indices, dans l’ordre
- Relis la propriété 20 : une droite d'un des deux plans, perpendiculaire à leur droite d'intersection…
Correction
- Propriété 20 — et sont perpendiculaires, d'intersection est contenue dans et perpendiculaire à
Oui : est orthogonale au plan celui de la face
Pièges anticipés
non / non elle ne l'est pas / non, elle ne l'est pas / elle ne l'est pas / c'est non / faux / le / lé / la / pas orthogonale / non pas orthogonale / elle n'est pas orthogonale / non elle n'est pas orthogonale / non, elle n'est pas orthogonale / elle n'est pas orthogonale au plan→ C'est exactement la situation de la propriété 20 : est dans un des plans et perpendiculaire à l'intersection
Exercice 94 · base
L’intersection de deux faces latérales
Dans le cube de la figure, les plans et sont tous deux perpendiculaires au plan Nommer leur droite d'intersection, qui est donc, par la propriété 22, orthogonale au plan
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés.
Écris le nom de la droite, par exemple (AB).
Réponse attendue : (BF) — aussi acceptées : BF · la droite (BF) · la droite BF · droite (BF) · droite BF · c'est (BF) · c'est la droite (BF) · (FB) · FB · la droite (FB) · la droite FB · droite (FB) · droite FB · c'est (FB) · c'est la droite (FB)
Indices, dans l’ordre
- Le plan est celui de la face le plan celui de la face
- Quelle arête ces deux faces ont-elles en commun ?
Correction
- L'arête commune — Les faces et ont en commun l'arête
- Propriété 22 — Deux plans sécants perpendiculaires au plan : leur intersection lui est orthogonale.
C'est la droite orthogonale au plan
Pièges anticipés
B / F→ Deux plans sécants se coupent suivant une droite, pas en un point : nomme-la avec deux points.(EF) / EF / (FE) / FE / (FG) / FG / (GF) / GF→ Cette arête est dans le plan : elle ne peut pas lui être orthogonale.
Exercice 95 · pratique
Perpendiculaires à un même plan
Réponds par vrai ou faux : « Deux plans perpendiculaires à un même plan sont perpendiculaires entre eux ».
Réponds par vrai ou par faux.
Réponse attendue : faux — aussi acceptées : c'est faux · il est faux · non · non c'est faux · non, c'est faux · fausse · c'est fausse · non, c'est fausse · non c'est fausse · non, faux
Indices, dans l’ordre
- Cherche un contre-exemple dans un cube avec le plan de la base.
- Les plans et sont-ils perpendiculaires à ? Le sont-ils entre eux ?
Correction
- Un contre-exemple — Dans un cube, les plans et des faces avant et arrière sont perpendiculaires à la base
- Parallèles — Pourtant ce sont deux faces opposées : leurs plans sont parallèles.
Faux : deux plans perpendiculaires à un même plan peuvent être parallèles. S'ils sont sécants, c'est leur droite d'intersection qui est orthogonale au plan (propriété 22).
Pièges anticipés
vrai / oui / c'est vrai→ Les faces et sont toutes deux perpendiculaires à la base, et pourtant parallèles.
Exercice 96 · raisonnement
Deux points sur deux plans perpendiculaires
Deux plans et sont perpendiculaires et se coupent suivant la droite est un point de et un point de ; et sont les projetés orthogonaux respectifs de et de sur la droite On donne et Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 13
Indices, dans l’ordre
- Par la propriété 20, contenue dans et perpendiculaire à est orthogonale au plan Le triangle est donc rectangle en
- Calcule d'abord dans le triangle rectangle en dans le plan
Correction
- Dans le plan Q — Le triangle est rectangle en
- Propriété 20 — est dans et perpendiculaire à l'intersection : elle est orthogonale au plan qui contient Le triangle est rectangle en
- La longueur —
: la propriété 20 fournit le deuxième angle droit, et on enchaîne deux fois Pythagore.
Pièges anticipés
4*sqrt(10)→ c'est : il reste le triangle rectangle en3*sqrt(17)→ Tu as oublié : n'est pas sur la droite
Exercice 97 · pratique
L’aire d’un rectangle diagonal
est un cube d'arête Calculer la valeur exacte de l'aire du rectangle sans écrire l'unité.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le rectangle ACGE est tracé en bleu : [AC] en pointillés, [EG] en trait plein.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 25*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Les côtés du rectangle sont une diagonale de face et une arête.
- La diagonale d'un carré de côté mesure
Correction
- Les côtés — est la diagonale du carré une arête.
- L'aire —
L'aire du rectangle vaut
Pièges anticipés
25→ est l'aire d'une face : le côté est une diagonale, plus longue que l'arête.35.36 / 35,36 / 35.4 / 35,4 / 35.35→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 98 · raisonnement
La distance d’un sommet à un plan diagonal
est un cube d'arête Calculer la valeur exacte de la distance du point au plan c'est-à-dire la longueur où est le projeté orthogonal de sur ce plan.
Un cube ABCDEFGH vu en perspective : A est devant en bas à gauche, B devant en bas à droite, C derrière à droite et D derrière à gauche ; E, F, G et H sont juste au-dessus de A, B, C et D. Les arêtes cachées [AD], [DC] et [DH] sont en pointillés. Le rectangle ACGE est tracé en bleu ; la diagonale [BD] de la face du dessous est tracée en rouge.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 5*sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- Montre que est perpendiculaire au plan : elle est perpendiculaire à et orthogonale à
- La perpendiculaire au plan menée par est donc : où perce-t-elle le plan ?
Correction
- (BD) et le plan — est perpendiculaire à (diagonales du carré) et orthogonale à perpendiculaire au plan et sont sécantes en dans le plan
- Le projeté — perce le plan au point commun des diagonales et le centre du carré.
- La distance —
La distance de au plan vaut la demi-diagonale du carré.
Pièges anticipés
10*sqrt(2)→ c'est : le plan coupe en son milieu.10→ est la distance de à ou à : le point le plus proche du plan est le centre du carré.7.07 / 7,07 / 7.1 / 7,1 / 7.071→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 99 · base
Le volume d’un coin de cube
est un tétraèdre trirectangle en avec Calculer son volume, sans écrire l'unité.
Écris un nombre.
Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5
Indices, dans l’ordre
- est perpendiculaire au plan : c'est une hauteur du tétraèdre.
- La base est un triangle rectangle en
Correction
- La base —
- Le volume — est orthogonale à et à : est la hauteur.
Le volume vaut le sixième du cube d'arête
Pièges anticipés
27/2 / 13.5→ Le volume d'une pyramide est le tiers de l'aire de la base fois la hauteur.9→ La base est un triangle, pas un carré : son aire est27→ est le volume du cube d'arête : le tétraèdre en est le sixième.
Exercice 100 · pratique
La hauteur issue du sommet trirectangle
est un tétraèdre trirectangle en avec et est le projeté orthogonal de sur le plan et on admet que Calculer
Écris un nombre.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Calcule chaque inverse : et
- Ajoute, puis inverse et prends la racine carrée.
Correction
- Les inverses —
- OH —
Pièges anticipés
4→ c'est : il reste à prendre la racine carrée.1/4 / 0.25 / 1/2 / 0.5→ est la valeur de : il faut l'inverser.
Exercice 101 · defi
L’aire de la face ABC par le volume
est un tétraèdre trirectangle en avec et est le projeté orthogonal de sur le plan et on admet que En calculant de deux façons le volume du tétraèdre, calculer la valeur exacte de l'aire du triangle sans écrire l'unité.
Écris la valeur exacte, par exemple 5 racine 3.
Réponse attendue : 4*sqrt(6)
Indices, dans l’ordre
- Avec la base et la hauteur :
- Avec la base et la hauteur : Calcule par la relation donnée.
Correction
- Le volume — est perpendiculaire au plan
- OH —
- L'aire — Avec la base et la hauteur :
L'aire de vaut : le volume, calculé avec deux bases, relie l'aire d'une face à la hauteur correspondante.
Pièges anticipés
4*sqrt(6)/3→ Le tiers apparaît des deux côtés :9.8 / 9,8 / 9.80 / 9,80 / 9.798→ C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte.
Exercice 102 · defi
Retrouver l’arête d’un coin de cube
est un tétraèdre trirectangle en avec est le projeté orthogonal de sur le plan et on admet que Sachant que déterminer
Écris la valeur de a.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Avec trois arêtes égales, la relation devient
- Remplace par et résous l'équation, avec
Correction
- La relation —
- L'équation — est une longueur, donc positive.
: dans un coin de cube d'arête la hauteur issue du sommet vaut
Pièges anticipés
9→ c'est : il reste à prendre la racine carrée.3*sqrt(3)→ Tu as utilisé au lieu de :sqrt(3)→ Il y a trois termes dans la somme :