Problèmes du 1er degré et problèmes du second degré
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Le chapitre numéro deux : problèmes du premier degré w problèmes du second degré. Bech nt3allmou kifech n7ottou problème en équation, w kifech n7ellouha : el premier degré b la valeur absolue w les racines carrées, w ba3d el second degré b la forme canonique w le discriminant delta.
عسلامة ! الـ chapitre numéro deux : problèmes du premier degré w problèmes du second degré . باش نتعلّمو كيفاش نحطّو problème en équation ، w كيفاش نحلّوها : الـ premier degré بـ la valeur absolue w les racines carrées ، w ba3d الـ second degré بـ la forme canonique w le discriminant delta .
Bonjour ! Le chapitre numéro deux : problèmes du premier degré et problèmes du second degré. Nous allons apprendre à mettre un problème en équation, puis à la résoudre : le premier degré avec la valeur absolue et les racines carrées, puis le second degré avec la forme canonique et le discriminant delta.
Ce chapitre apprend à mettre un problème en équation, puis à la résoudre : au premier degré d'abord — avec valeurs absolues, quotients et racines carrées —, puis au second degré, avec la forme canonique et le discriminant.
On y avance par problèmes : des aires, des tarifs, une pierre lancée, un astronaute. Tout se résume dans un seul tableau : racines, factorisation et signe de selon le signe de
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Mettre un problème en équation ou en inéquation, et vérifier que la solution convientMettre un problème en équation ou en inéquation, et vérifier que la solution convient.Mettre un problème en équation ou en inéquation, et vérifier que la solution convient.
- Résoudre des équations et inéquations avec valeur absolue, quotients ou racines carréesRésoudre des équations et des inéquations avec valeur absolue, quotients ou racines carrées.Résoudre des équations et des inéquations avec valeur absolue, quotients ou racines carrées.
- Résoudre une équation du second degré avec une racine évidente ou la somme et le produitRésoudre une équation du second degré avec delta, delta prime, une racine évidente ou la somme et le produit.Résoudre une équation du second degré avec delta, delta prime, une racine évidente ou la somme et le produit.
- Factoriser et donner son signeFactoriser a x carré plus b x plus c et donner son signe.Factoriser a x carré plus b x plus c et donner son signe.
- Résoudre des inéquations du second degré et des problèmes qui y mènentRésoudre des inéquations du second degré et des problèmes qui y mènent.Résoudre des inéquations du second degré et des problèmes qui y mènent.
1. Méthode
Mettre un problème en équation
Ce qu’il dit
Bech n7ellou problème, 3andna quatre étapes : n5tarou l'inconnue w n9oulou chnowa ech-chourout mte3ha, nektbou l'énoncé fi chakl équation, n7ellou l'équation, w fel e5er nthabtou elli la solution tsla7 lel problème. Fi l'exemple du carré w du rectangle, x hiya A M, bin zéro w deux. L'aire du carré x carré, w l'aire du rectangle deux moins x fois trois moins x. Ki ndévelopper, les x carré yemchiw, w yo93ed cinq x égale six : x égale six cinquièmes.
باش نحلّو problème ، عندنا quatre étapes : نختارو l'inconnue w نقولو شنوّة الشروط متاعها ، نكتبو l'énoncé في شكل équation ، نحلّو l'équation ، w في الآخر نثبّتو إلّي la solution تصلح للـ problème . في l'exemple du carré w du rectangle ، x هي A M ، بين zéro w deux . l'aire du carré x carré ، w l'aire du rectangle deux moins x fois trois moins x . كي نـ développer ، les x carré يمشيو ، w يقعد cinq x égale six : x égale six cinquièmes .
Pour résoudre un problème, il y a quatre étapes : choisir l'inconnue en disant ses conditions, traduire l'énoncé par une équation, résoudre l'équation, et enfin vérifier que la solution convient au problème. Dans l'exemple du carré et du rectangle, x est A M, entre zéro et deux. L'aire du carré est x carré, celle du rectangle deux moins x fois trois moins x. En développant, les x carré s'en vont, et il reste cinq x égale six : x égale six cinquièmes.
Pour résoudre un problème, on suit toujours le même chemin :
- 1.choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente — avec ses conditions (une longueur est positive, un point est sur un segment…) ;
- 2.traduire l'énoncé par une équation ;
- 3.résoudre l'équation ;
- 4.vérifier que la solution convient au problème, puis conclure par une phrase.
Exemple : « je pense un nombre, je lui retranche je multiplie le résultat par puis j'ajoute et je divise par : j'obtiens ». Si est le nombre pensé, l'énoncé se traduit par soit d'où
Un rectangle ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche, avec AB = 2 et BC = 3. Le point M est sur le côté [AB], à la distance x de A. Le carré MNPA a pour côté x : N est au-dessus de M, P sur [AD]. Le rectangle NQCR a Q sur [BC] et R sur [DC] : ses côtés mesurent 2 − x et 3 − x.
le nombre pensé
Exemple traité
est un rectangle avec et est un point de ; on construit le carré et le rectangle Où placer pour que le carré et le rectangle aient la même aire ?
- L'inconnue — On pose : comme est sur est entre et
- Les deux aires — Le carré a pour côté ; le rectangle a pour côtés et
- L'équation — Les deux aires sont égales.
- Résoudre — Les s'en vont : il reste une équation du premier degré.
- Vérifier — La solution est bien entre et : elle convient.
À ne pas faire : a deux solutions, puisqu'il y a des carrés — En développant, se réduit à . On développe et on réduit avant de parler de degré : les peuvent s'éliminer.
À ne pas faire : Conclure par la solution de l'équation sans regarder le problème — Vérifier que la solution respecte les conditions de l'inconnue. Une longueur négative, ou un point hors du segment, ne répond pas au problème.
2. Application
Comparer deux tarifs
Ce qu’il dit
L'agence A : trente-six dinars w zéro virgule quatre cent cinquante l koll kilomètre. L'agence B : vingt dinars w zéro virgule six cent cinquante l koll kilomètre. Bech na3rfou chkoun ar5as, n7ellou l'inéquation trente-six plus zéro virgule quarante-cinq x inférieur à vingt plus zéro virgule soixante-cinq x. Ta3tina x supérieur à quatre-vingts. Ya3ni ta7t quatre-vingts kilomètres, B ar5as, w fou9 quatre-vingts, A ar5as.
l'agence A : trente-six dinars w zéro virgule quatre cent cinquante لكل kilomètre . l'agence B : vingt dinars w zéro virgule six cent cinquante لكل kilomètre . باش نعرفو شكون أرخص ، نحلّو l'inéquation trente-six plus zéro virgule quarante-cinq x inférieur à vingt plus zéro virgule soixante-cinq x . تعطينا x supérieur à quatre-vingts . يعني تحت quatre-vingts kilomètres ، B أرخص ، w فوق quatre-vingts ، A أرخص .
Agence A : trente-six dinars plus zéro virgule quatre cent cinquante par kilomètre. Agence B : vingt dinars plus zéro virgule six cent cinquante par kilomètre. Pour savoir laquelle est la moins chère, on résout l'inéquation trente-six plus zéro virgule quarante-cinq x inférieur à vingt plus zéro virgule soixante-cinq x. On obtient x supérieur à quatre-vingts. Donc en dessous de quatre-vingts kilomètres, B est moins chère, et au-delà, c'est A.
Deux agences louent des voitures identiques. Agence A : un forfait de dinars par jour, plus dinar par kilomètre. Agence B : un forfait de dinars par jour, plus dinar par kilomètre.
Pour kilomètres dans la journée, les prix sont et Comparer les deux tarifs, c'est résoudre une inéquation du premier degré : on étudie le signe de la différence
les deux tarifs
Exemple traité
Selon le nombre de kilomètres parcourus dans la journée, quelle agence est la plus avantageuse ?
- Deux essais — Pour km, l'agence B coûte moins cher.
- Pour km, c'est l'agence A.
- L'inéquation — On cherche quand A est moins chère.
- On divise par qui est positif : le sens ne change pas.
À ne pas faire : L'agence B est toujours la moins chère, son forfait est plus petit — Au-delà de km, l'agence A devient moins chère. Le prix au kilomètre de B est plus élevé : sur un long trajet, il finit par l'emporter sur le forfait.
3. Méthode
Inéquations du premier degré
Ce qu’il dit
L'inéquation tet7all kif l'équation, ama b précaution wa7da : ki todhrob walla t9assem ezzouz membres 3la nombre négatif, le sens mta3 l'inégalité yetbaddel. Fi l'exemple du trapèze, l'aire du triangle B M C hiya la parenthèse x moins deux, fois h, le tout sur deux. Ki n7ottouha inférieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze, nal9aw x inférieur ou égal à huit. W 5ater x supérieur à deux, l'ensemble mte3na houwa deux exclu jusqu'à huit inclus.
l'inéquation تتحلّ كيف l'équation ، أما بـ précaution وحدة : كي تضرب ولّا تقسم الزوز membres على nombre négatif ، le sens متاع l'inégalité يتبدّل . في l'exemple du trapèze ، l'aire du triangle B M C هي la parenthèse x moins deux, fois h, le tout sur deux . كي نحطّوها inférieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze ، نلقاو x inférieur ou égal à huit . w خاطر x supérieur à deux ، l'ensemble متاعنا هو deux exclu jusqu'à huit inclus .
Une inéquation se résout comme une équation, avec une seule précaution : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. Dans l'exemple du trapèze, l'aire du triangle B M C vaut la parenthèse x moins deux, fois h, le tout sur deux. En l'écrivant inférieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze, on trouve x inférieur ou égal à huit. Et comme x est supérieur à deux, on obtient l'intervalle de deux exclu à huit inclus.
On résout une inéquation comme une équation, avec une seule précaution : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Ajouter ou retrancher un même nombre, multiplier ou diviser par un nombre positif, ne le change pas.
Dans un problème, l'inconnue a souvent déjà une condition (ici ) : l'ensemble des solutions est la partie commune à cette condition et à la solution de l'inéquation.
Un trapèze ABCD de hauteur h : la grande base [DC] en bas, de longueur x, avec D à gauche et C à droite ; la petite base [AB] en haut, de longueur 4. Le point M est sur [DC], avec DM = 2. Le segment [BM] découpe le triangle BMC, à droite.
on peut ajouter
multiplier
Exemple traité
Un trapèze de hauteur a pour bases et avec ; est le point de tel que Pour quels l'aire du triangle est-elle inférieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze ? comprise entre le quart et le tiers ?
- Les aires — La base vaut et la hauteur est celle du trapèze.
- La moitié — On multiplie par qui est positif.
- Avec :
- Entre le quart et le tiers — Après simplification par
- On résout les deux inégalités, puis on garde les deux à la fois.
À ne pas faire : — . On a divisé par un nombre négatif : le sens de l'inégalité change.
À ne pas faire : Répondre au problème — . L'énoncé impose : on garde la partie commune.
4. Propriété
Valeur absolue et distance
Ce qu’il dit
Valeur absolue de x moins a hiya la distance bin M w le point A elli l'abscisse mte3ou a. Valeur absolue de x moins trois égale deux, ya3ni ennou9at elli 3la distance deux men trois : un w cinq. Inférieur ou égal à r, nob9aw 9rib men A : intervalle fermé. Supérieur ou égal à r, nob3dou : l'extérieur. W redd belek, valeur absolue de x plus deux, le centre mte3ha moins deux, mouch deux.
valeur absolue de x moins a هي la distance بين M w le point A اللي l'abscisse متاعو a . valeur absolue de x moins trois égale deux ، يعني النقاط اللي على distance deux من trois : un w cinq . inférieur ou égal à r ، نبقاو قريب من A : intervalle fermé . supérieur ou égal à r ، نبعدو : l'extérieur . w رد بالك ، valeur absolue de x plus deux ، الـ centre متاعها moins deux ، موش deux .
Valeur absolue de x moins a, c'est la distance entre M et le point A d'abscisse a. Valeur absolue de x moins trois égale deux désigne les points à la distance deux de trois : un et cinq. Inférieur ou égal à r, on reste près de A : un intervalle fermé. Supérieur ou égal à r, on s'éloigne : l'extérieur. Et attention, pour valeur absolue de x plus deux, le centre est moins deux, pas deux.
Sur une droite munie d'un repère si a pour abscisse et pour abscisse alors Ainsi est la distance de au point d'abscisse et la distance de au point d'abscisse
Pour un réel cette lecture donne trois résultats :
- : les deux points à la distance de ;
- : le segment de centre et de « rayon » ;
- : tout ce qui est à l'extérieur de l'intervalle ouvert
Une droite graduée Δ munie du repère (O, I). On y place B d'abscisse moins 2, A d'abscisse moins 1, O d'abscisse 0, I d'abscisse 1, C d'abscisse 3 et D d'abscisse 5. Les points à la distance 2 de C sont I, d'abscisse 1, et D, d'abscisse 5 : ce sont les solutions de |x − 3| = 2.
distance
r > 0
Exemple traité
Déterminer les points de la droite tels que puis ceux tels que puis ceux tels que
- Une égalité — Les points à la distance du point d'abscisse
- Au plus 1/2 — Le centre est le point d'abscisse le rayon
- Au moins 3 — Le centre est le point d'abscisse : on va à de part et d'autre, et on garde l'extérieur.
À ne pas faire : est la distance de au point d'abscisse — : la distance au point d'abscisse . On écrit toujours : avec un le centre est l'opposé.
À ne pas faire : — ou . « Au moins » du centre, c'est à l'extérieur, pas entre les deux points.
5. Méthode
Équations et inéquations avec valeur absolue
Ce qu’il dit
Valeur absolue de A égale k : ken k négatif, ma fammech solution ; w ken le, A égale k walla A égale moins k. Valeur absolue de A égale valeur absolue de B : A w B ya égaux ya opposés, zouz cas. Valeur absolue de A inférieure à k, ya3ni moins k inférieur à A inférieur à k. W valeur absolue de A supérieure à k, A ykoun asghar men moins k walla akbar men k.
valeur absolue de A égale k : كان k négatif ، ما فمّاش solution ؛ w كان لا ، A égale k ولّا A égale moins k . valeur absolue de A égale valeur absolue de B : A w B يا égaux يا opposés ، زوز cas . valeur absolue de A inférieure à k ، يعني moins k inférieur à A inférieur à k . w valeur absolue de A supérieure à k ، A يكون أصغر من moins k ولّا أكبر من k .
Valeur absolue de A égale k : si k est négatif, il n'y a pas de solution ; sinon, A égale k ou A égale moins k. Valeur absolue de A égale valeur absolue de B : A et B sont égaux ou opposés, deux cas. Valeur absolue de A inférieure à k signifie moins k inférieur à A inférieur à k. Et valeur absolue de A supérieure à k, c'est A inférieur à moins k ou A supérieur à k.
Quatre formes reviennent, pour une expression et un réel :
- : pas de solution si ; sinon ou ;
- : ou (deux nombres de même valeur absolue sont égaux ou opposés) ;
- (avec ) : ;
- (avec ) : ou
Quand le coefficient de est négatif, on peut d'abord écrire : un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.
Exemple traité
Résoudre dans : puis puis
- Une valeur absolue égale à un nombre — : deux cas.
- Deux valeurs absolues égales — Les deux nombres sont égaux…
- … ou opposés.
- Une inéquation — La distance de à est inférieure à
À ne pas faire : ou — n'a pas de solution. Une valeur absolue est positive ou nulle : elle ne vaut jamais
À ne pas faire : — ou . On oublie le cas des nombres opposés, et on perd une solution.
6. Méthode
Équations avec des quotients
Ce qu’il dit
Quotient A sur B ma ykoun défini ken ki B mouch nul. Donc 9bal ma t7ell, ekteb les valeurs interdites. Ba3d, A sur B égale C sur D twalli A fois D égale B fois C : hedha le produit en croix. T7ell, w fel e5er tna77i ay solution hiya valeur interdite.
quotient A sur B ما يكون défini كان كي B موش nul . donc قْبَلْ ما تحلّ ، اكتب les valeurs interdites . ba3d ، A sur B égale C sur D تولّي A fois D égale B fois C : هذا le produit en croix . تحلّ ، w في الآخر تنحّي أي solution هي valeur interdite .
Un quotient A sur B n'est défini que si B n'est pas nul. Donc, avant de résoudre, écris les valeurs interdites. Ensuite, A sur B égale C sur D devient A fois D égale B fois C : c'est le produit en croix. On résout, et à la fin on écarte toute solution qui est une valeur interdite.
Un quotient n'est défini que si son dénominateur n'est pas nul. Avant de résoudre, on écrit donc les valeurs interdites.
Pour et : (produit en croix). On résout l'équation obtenue, puis on écarte toute solution qui est une valeur interdite.
produit en croix
Exemple traité
Résoudre dans puis
- Les valeurs interdites — Le premier quotient est défini pour
- Produit en croix — Produit en croix ; la solution convient.
- Les valeurs interdites — Pour la seconde équation, les deux dénominateurs doivent être non nuls.
- Produit en croix — Produit en croix, puis on développe.
- Les s'en vont ; n'est pas interdit.
À ne pas faire : Résoudre sans écrire les valeurs interdites — Écrire d'abord puis vérifier chaque solution. Une solution qui annule un dénominateur rend l'équation de départ sans sens : elle est à rejeter.
7. Méthode
Équations et inéquations avec des racines carrées
Ce qu’il dit
Racine carrée de A ma tkoun définie ken ki A positif ou nul : nebdew dima bech-chourout. Ba3d, zouz nombres positifs yetrattbou kif les carrés mte3hom : racine de A égale racine de B ma3neha A égale B. W racine de A égale k, m3a k positif, ma3neha A égale k carré. W fel e5er, nchoufou elli la solution t7tarem les conditions.
racine carrée de A ما تكون définie كان كي A positif ou nul : نبدأو ديما بالشروط . ba3d ، زوز nombres positifs يتّرتّبو كيف les carrés متاعهم : racine de A égale racine de B معناها A égale B . w racine de A égale k ، مع k positif ، معناها A égale k carré . w في الآخر ، نشوفو إلّي la solution تحترم les conditions .
Racine carrée de A n'est définie que si A est positif ou nul : on commence toujours par ces conditions. Ensuite, deux nombres positifs se rangent comme leurs carrés : racine de A égale racine de B signifie A égale B. Et racine de A égale k, avec k positif, signifie A égale k carré. Enfin, on vérifie que la solution respecte les conditions.
n'est définie que si : on commence par ces conditions.
Pour et deux réels positifs se rangent comme leurs carrés : et Pour un réel : Et si n'a pas de solution.
Exemple traité
Résoudre dans : puis
- Les conditions — Les deux racines doivent être définies.
- On compare les carrés — est bien entre et
- La condition — La racine est définie.
- On compare les carrés — On divise par : le sens change.
À ne pas faire : — . On élève les deux membres au carré :
À ne pas faire : — . On oublie la condition d'existence
8. Définition
L'équation du second degré
Ce qu’il dit
A, b w c trois réels, w a différent de zéro. L'équation a x carré plus b x plus c égale zéro nsammiwha équation du second degré. Ech-chart el wa7id houwa a différent de zéro ; b w c ynajmou ykounou zéro. Fi l'exemple du triangle, Pythagore ya3tina six x carré plus dix x égale zéro. Nfactoriser b deux x : x égale zéro walla moins cinq tiers. X positif, donc x égale zéro, w nal9aw le triangle trois, quatre, cinq.
a ، b w c trois réels ، w a différent de zéro . l'équation a x carré plus b x plus c égale zéro نسمّيوها équation du second degré . الشرط الوحيد هو a différent de zéro ؛ b w c ينجّمو يكونو zéro . في l'exemple du triangle ، Pythagore يعطينا six x carré plus dix x égale zéro . نـ factoriser بـ deux x : x égale zéro ولّا moins cinq tiers . x positif ، donc x égale zéro ، w نلقاو le triangle trois ، quatre ، cinq .
Soient a, b et c trois réels, avec a différent de zéro. L'équation a x carré plus b x plus c égale zéro s'appelle une équation du second degré. La seule condition est a différent de zéro ; b et c peuvent être nuls. Dans l'exemple du triangle, Pythagore donne six x carré plus dix x égale zéro. On factorise par deux x : x égale zéro ou moins cinq tiers. Comme x est positif, x égale zéro, et on retrouve le triangle trois, quatre, cinq.
Définition. Soient et trois réels avec L'équation est dite équation du second degré d'inconnue
Beaucoup de problèmes y mènent. Par exemple, la droite est parallèle à avec et ; Thalès donne soit c'est-à-dire et puisque est une longueur.
Deux demi-droites issues du point A. Sur la première, horizontale, on place B puis D, avec AB = x et BD = 9,6. Sur la seconde, on place C puis E, avec AC = 15 et CE = x. La droite (BC) est parallèle à la droite (DE).
équation du second degré
Exemple traité
est un triangle tel que et où est un réel positif. Déterminer pour que ce triangle soit rectangle en
- Pythagore — Le triangle est rectangle en si et seulement si (Pythagore et sa réciproque)…
- Développer — On développe, puis on regroupe tout dans un membre : une équation du second degré, avec
- Factoriser — On factorise par
- Conclure — est positif : seule convient, et l'on retrouve le triangle
À ne pas faire : n'est pas du second degré, il manque le terme en — C'est une équation du second degré, avec et . Seul doit être non nul ; et peuvent valoir
À ne pas faire : — . Diviser par fait perdre la solution : on factorise.
9. Vocabulaire
Forme canonique et discriminant
Ce qu’il dit
Bech nal9aw la forme canonique, n5arrjou a en facteur, w x carré plus b sur a x houwa bidayet carré : x plus b sur deux a, le tout au carré, moins b carré sur quatre a carré. Le réel b carré moins quatre a c nsammiwh le discriminant, w nektbouh delta. La forme canonique : a fois, entre crochets, x plus b sur deux a, le tout au carré, moins delta sur quatre a carré.
باش نلقاو la forme canonique ، نخرّجو a en facteur ، w x carré plus b sur a x هو بداية carré : x plus b sur deux a ، le tout au carré ، moins b carré sur quatre a carré . le réel b carré moins quatre a c نسمّيوه le discriminant ، w نكتبوه delta . la forme canonique : a fois ، entre crochets ، x plus b sur deux a ، le tout au carré ، moins delta sur quatre a carré .
Pour obtenir la forme canonique, on met a en facteur, et x carré plus b sur a x est le début d'un carré : x plus b sur deux a, le tout au carré, moins b carré sur quatre a carré. Le réel b carré moins quatre a c s'appelle le discriminant, et on le note delta. La forme canonique est : a fois, entre crochets, x plus b sur deux a, le tout au carré, moins delta sur quatre a carré.
Pour on met en facteur puis on reconnaît le début d'un carré : On obtient
Vocabulaire. Le réel est noté et appelé le discriminant de l'équation L'écriture ci-dessus est appelée la forme canonique de
forme canonique
discriminant
Démonstration
Exemple traité
Écrire et sous la forme
- Mettre a en facteur — On met en facteur.
- Le début d'un carré — La moitié de est
- Le second — Même méthode avec :
À ne pas faire : — . Dans le carré, on met la MOITIÉ du coefficient de et l'on retranche son carré.
À ne pas faire : pour — . On garde le signe de et de : ici
10. Activité
La méthode géométrique d'Al-Khawarizmi
Ce qu’il dit
Al-Khawarizmi ken y7ell x carré plus dix x égale trente-neuf b figure : carré de côté x, w 7dhah zouz rectangles de côtés x w cinq. L'aire mte3hom x carré plus dix x, w hiya zeda l'aire du grand carré de côté x plus cinq, moins le petit carré de côté cinq. Donc x plus cinq, le tout au carré, égale soixante-quatre, w x égale trois. Hedhi hiya la forme canonique, ama ma9rouya 3la figure.
Al-Khawarizmi كان يحلّ x carré plus dix x égale trente-neuf بـ figure : carré de côté x ، w حذاه زوز rectangles de côtés x w cinq . l'aire متاعهم x carré plus dix x ، w هي زادة l'aire du grand carré de côté x plus cinq ، moins le petit carré de côté cinq . donc x plus cinq ، le tout au carré ، égale soixante-quatre ، w x égale trois . هذي هي la forme canonique ، أما مقروّة على figure .
Al-Khawarizmi résolvait x carré plus dix x égale trente-neuf avec une figure : un carré de côté x, bordé de deux rectangles de côtés x et cinq. Leur aire est x carré plus dix x, et c'est aussi l'aire du grand carré de côté x plus cinq, moins le petit carré de côté cinq. Donc x plus cinq, le tout au carré, égale soixante-quatre, et x égale trois. C'est la forme canonique, lue sur une figure.
Le mathématicien Al-Khawarizmi (780-850) résolvait les équations du type par une figure. Pour :
- il considère un carré de côté bordé de deux rectangles de côtés et ;
- il exprime de deux façons l'aire de la partie colorée : d'une part ; d'autre part l'aire du grand carré de côté moins celle du petit carré de côté D'où ;
- il cherche la solution positive de :
C'est exactement la forme canonique, lue sur une figure. À son époque, on ne connaissait pas les nombres négatifs : il ne cherchait que les racines positives.
Un carré de côté x, en bas à gauche, bordé à droite et en haut de deux rectangles de côtés x et 5. Les trois pièces colorées forment le grand carré de côté x + 5, auquel il manque le petit carré de côté 5, en haut à droite, dessiné en pointillés.
la figure
Exemple traité
Utiliser la méthode d'Al-Khawarizmi pour trouver la solution positive de et de
- Première équation — On borde le carré de côté de deux rectangles de côtés et
- est positif.
- Seconde équation — Des rectangles de côtés et
11. Théorème
Résoudre une équation du second degré
Ce qu’il dit
Bech n7ellou a x carré plus b x plus c égale zéro, na7sbou delta égale b carré moins quatre a c. Ken delta négatif, ma fammech racine. Ken delta égale zéro, famma racine wa7da : moins b sur deux a. W ken delta positif, famma zouz racines : moins b moins racine de delta, le tout sur deux a, w moins b plus racine de delta, le tout sur deux a. W redd belek : sur deux a, mouch sur deux.
باش نحلّو a x carré plus b x plus c égale zéro ، نحسبو delta égale b carré moins quatre a c . كان delta négatif ، ما فمّاش racine . كان delta égale zéro ، فمّا racine وحدة : moins b sur deux a . w كان delta positif ، فمّا زوز racines : moins b moins racine de delta ، le tout sur deux a ، w moins b plus racine de delta ، le tout sur deux a . w رد بالك : sur deux a ، موش sur deux .
Pour résoudre a x carré plus b x plus c égale zéro, on calcule delta égale b carré moins quatre a c. Si delta est négatif, il n'y a pas de racine. Si delta est nul, il y a une seule racine : moins b sur deux a. Et si delta est positif, il y a deux racines : moins b moins racine de delta, le tout sur deux a, et moins b plus racine de delta, le tout sur deux a. Attention : sur deux a, pas sur deux.
Soit l'équation avec et son discriminant. Grâce à la forme canonique, elle équivaut à et tout dépend du signe de :
- si l'équation n'a pas de racine ;
- si elle a une seule racine ;
- si elle a deux racines distinctes et
Remarque. Toute solution de l'équation est aussi appelée racine de cette équation.
pas de racine
une racine
deux racines
Démonstration
Comme Si le second membre est négatif alors qu'un carré est positif ou nul : pas de solution. Si Si donc ou
Exemple traité
Résoudre dans et
- Première équation — Deux racines ;
- Deuxième équation — Pas de racine.
- Troisième équation — Une seule racine.
À ne pas faire : — . Le dénominateur est : on l'oublie dès que
À ne pas faire : donc les racines sont — : pas de racine réelle. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans
À ne pas faire : : calculer obligatoirement — ou . Quand on factorise directement par : c'est plus court.
12. Application
Problèmes : aire d'un rectangle, hauteur d'une pierre
Ce qu’il dit
La forme canonique tnaf3na bech nal9aw maximum. H de t égale moins un demi fois t moins trois, le tout au carré, plus treize demis. Moins un demi fois carré dima négatif walla nul, donc h de t ma yfoutech treize demis, ya3ni six virgule cinq mètres, w youselha ki t égale trois. W la pierre traja3 lel ardh ki h de t égale zéro : t égale trois plus racine carrée de treize.
la forme canonique تنفعنا باش نلقاو maximum . h de t égale moins un demi fois t moins trois ، le tout au carré ، plus treize demis . moins un demi fois carré ديما négatif ولّا nul ، donc h de t ما يفوتش treize demis ، يعني six virgule cinq mètres ، w يوصلها كي t égale trois . w la pierre ترجع للأرض كي h de t égale zéro : t égale trois plus racine carrée de treize .
La forme canonique sert à trouver un maximum. H de t égale moins un demi fois t moins trois, le tout au carré, plus treize demis. Moins un demi fois un carré est toujours négatif ou nul, donc h de t ne dépasse pas treize demis, soit six virgule cinq mètres, atteint pour t égale trois. Et la pierre retombe au sol quand h de t égale zéro : t égale trois plus racine carrée de treize.
Un rectangle de périmètre cm et de longueur cm a pour largeur donc pour aire L'aire vaut cm² si : ou — le rectangle de cm sur cm. Peut-il avoir une aire de cm² ? a pour discriminant : non.
La forme canonique sert aussi à trouver un maximum : avec est le plus grand quand le carré est nul.
la pierre
Exemple traité
Une pierre lancée vers le haut atteint à l'instant (en secondes) une hauteur (en mètres). Écrire sous forme canonique, trouver la hauteur maximale, puis l'instant où la pierre retombe au sol.
- Forme canonique — On met en facteur, puis
- On distribue.
- Le maximum — est négatif ou nul, et nul pour
- Le retour au sol — La pierre est au sol quand
- Le temps est positif : on garde
À ne pas faire : La hauteur maximale est atteinte pour — Elle est atteinte pour . s'annule pour : on lit le signe à l'intérieur de la parenthèse.
13. Propriété
Le discriminant réduit
Ce qu’il dit
Ki b pair, najjmou nesta3mlou le discriminant réduit : b prime égale b sur deux, w delta prime égale b prime carré moins a c. Delta égale quatre delta prime, donc 3andhom nafs le signe. W ki delta prime positif, les racines houma moins b prime moins racine de delta prime, le tout sur a, w moins b prime plus racine de delta prime, le tout sur a. Sur a, mouch sur deux a.
كي b pair ، نجّمو نستعملو le discriminant réduit : b prime égale b sur deux ، w delta prime égale b prime carré moins a c . delta égale quatre delta prime ، donc عندهم نفس le signe . w كي delta prime positif ، les racines هوما moins b prime moins racine de delta prime ، le tout sur a ، w moins b prime plus racine de delta prime ، le tout sur a . sur a ، موش sur deux a .
Quand b est pair, on peut utiliser le discriminant réduit : b prime égale b sur deux, et delta prime égale b prime carré moins a c. Delta égale quatre delta prime, donc ils ont le même signe. Et quand delta prime est positif, les racines sont moins b prime moins racine de delta prime, le tout sur a, et moins b prime plus racine de delta prime, le tout sur a. Sur a, pas sur deux a.
Quand est pair, il est parfois commode d'utiliser le discriminant réduit où On a donc a le même signe que :
- : l'équation n'a pas de racine ;
- : une seule racine ;
- : deux racines distinctes et
discriminant réduit
Δ' > 0
Démonstration
Avec : Alors et
Exemple traité
Résoudre à l'aide du discriminant réduit.
- b prime — est pair.
- Le discriminant réduit — Deux racines, et
- Les racines — et l'on divise par pas par
À ne pas faire : — . Avec le discriminant réduit, le s'est simplifié : on divise par
À ne pas faire : — . Le est déjà pris en compte : le discriminant vaut quatre fois le discriminant réduit.
14. Propriété
Somme et produit des racines
Ce qu’il dit
Ki l'équation 3andha zouz racines x un w x deux : la somme mte3hom moins b sur a, w le produit mte3hom c sur a. Hedha ynaf3na barcha : ki ta3ref racine wa7da, tal9a el o5ra blech ma te7seb delta. Mathalan deux x carré moins quatre x moins six, trois racine, w le produit moins six sur deux, ya3ni moins trois : donc el o5ra moins un.
كي l'équation عندها زوز racines x un w x deux : la somme متاعهم moins b sur a ، w le produit متاعهم c sur a . هذا ينفعنا برشا : كي تعرف racine وحدة ، تلقى الأخرى بلاش ما تحسب delta . مثلا deux x carré moins quatre x moins six ، trois racine ، w le produit moins six sur deux ، يعني moins trois : donc الأخرى moins un .
Quand l'équation a deux racines x un et x deux : leur somme vaut moins b sur a, et leur produit c sur a. C'est très utile : quand tu connais une racine, tu trouves l'autre sans calculer delta. Par exemple pour deux x carré moins quatre x moins six, trois est racine, et le produit vaut moins six sur deux, soit moins trois : l'autre racine est moins un.
Lorsque l'équation admet deux racines et on a
et
Usage : quand on connaît une racine, le produit (ou la somme) donne l'autre sans calculer Par exemple, pour on calcule ; le produit des racines vaut donc l'autre racine est
somme et produit
Démonstration
Avec : la somme vaut ; le produit vaut Si on prend
Exemple traité
Vérifier que est une racine, puis trouver l'autre. a) et ; b) et
- a) Vérifier — est bien racine.
- a) L'autre racine — Le produit des racines.
- b) Vérifier — est bien racine.
- b) L'autre racine — On multiplie haut et bas par :
À ne pas faire : — . Le signe moins est dans la formule : pour la somme vaut
À ne pas faire : Utiliser pour une équation sans racine — Calculer d'abord ou connaître une racine. Les formules valent quand les racines existent.
15. Remarque
Racines évidentes : a + b + c = 0, a − b + c = 0
Ce qu’il dit
9bal ma te7seb delta, chouf a plus b plus c : ken zéro, un racine, w el o5ra c sur a. W ken a moins b plus c égale zéro, moins un racine, w el o5ra moins c sur a. Mathalan trois x carré plus cinq x moins huit : trois plus cinq moins huit égale zéro, donc un w moins huit tiers.
قْبَلْ ما تحسب delta ، شوف a plus b plus c : كان zéro ، un racine ، w الأخرى c sur a . w كان a moins b plus c égale zéro ، moins un racine ، w الأخرى moins c sur a . مثلا trois x carré plus cinq x moins huit : trois plus cinq moins huit égale zéro ، donc un w moins huit tiers .
Avant de calculer delta, regarde a plus b plus c : s'il est nul, un est racine, et l'autre est c sur a. Et si a moins b plus c est nul, moins un est racine, et l'autre est moins c sur a. Par exemple trois x carré plus cinq x moins huit : trois plus cinq moins huit égale zéro, donc un et moins huit tiers.
Deux racines évidentes à repérer avant tout calcul :
- Si alors est une racine de l'équation et l'autre racine est
- Si alors est une racine et l'autre racine est
En effet, et ; l'autre racine vient du produit
Exemple traité
Résoudre et
- Première équation — Donc est racine.
- Seconde équation — Donc est racine.
À ne pas faire : donc les racines sont et — Les racines sont et . Le produit vaut et l'une des racines est : l'autre est l'opposé.
16. Méthode
Deux nombres dont on connaît la somme et le produit
Ce qu’il dit
Bech nal9aw zouz nombres, la somme mte3hom S w le produit mte3hom P, n7ellou X carré moins S X plus P égale zéro : houma les racines mte3ha. Le terrain : périmètre cent vingt-deux, donc L plus l égale soixante et un, w L fois l égale neuf cents. Nal9aw trente-six w vingt-cinq. W ken delta négatif, ezzouz nombres hedhouma ma ywjdouch.
باش نلقاو زوز nombres ، la somme متاعهم S w le produit متاعهم P ، نحلّو X carré moins S X plus P égale zéro : هوما les racines متاعها . الـ terrain : périmètre cent vingt-deux ، donc L plus l égale soixante et un ، w L fois l égale neuf cents . نلقاو trente-six w vingt-cinq . w كان delta négatif ، الزوز nombres هاذوما ما يوجدوش .
Pour trouver deux nombres de somme S et de produit P, on résout X carré moins S X plus P égale zéro : ce sont ses racines. Pour le terrain : périmètre cent vingt-deux, donc L plus l égale soixante et un, et L fois l égale neuf cents. On trouve trente-six et vingt-cinq. Et si delta est négatif, ces deux nombres n'existent pas.
Chercher deux réels et tels que et revient à résoudre l'équation
En effet, si et conviennent, : et en sont les racines. Si de tels nombres n'existent pas.
Exemple traité
Déterminer les dimensions d'un terrain rectangulaire de périmètre m et d'aire m². Existe-t-il un rectangle de périmètre m et d'aire m² ?
- Somme et produit — Le demi-périmètre est
- L'équation —
- Le terrain mesure m sur m.
- Le second rectangle — Somme produit : pas de racine.
À ne pas faire : — . La somme des racines vaut : le coefficient de est
À ne pas faire : La somme vaut pour un périmètre de m — . Le périmètre est
17. Méthode
Équations se ramenant au second degré
Ce qu’il dit
9bal koll chay, chouf l'équation définie wa9tech : les dénominateurs mouch nuls, w elli ta7t la racine positif. Ba3d nraj3ouha lel second degré. Racine de A égale B, ma3neha A égale B carré, w B positif ; w ken tensa B positif, tjik solutions zeyda. W l'équation bicarrée, n7ottou X égale x carré, w ki nal9aw X, nraj3ou l x.
قْبَلْ كل شي ، شوف l'équation définie وقتاش : les dénominateurs موش nuls ، w اللي تحت la racine positif . ba3d نرجّعوها للـ second degré . racine de A égale B ، معناها A égale B carré ، w B positif ؛ w كان تنسى B positif ، تجيك solutions زايدة . w l'équation bicarrée ، نحطّو X égale x carré ، w ki نلقاو X ، نرجعو لـ x .
Avant tout, regarde quand l'équation est définie : dénominateurs non nuls, et ce qui est sous la racine positif. Ensuite on se ramène au second degré. Racine de A égale B signifie A égale B carré, avec B positif ; si tu oublies B positif, des solutions en trop apparaissent. Et pour une équation bicarrée, on pose X égale x carré, et une fois X trouvé, on revient à x.
On commence toujours par chercher pour quelles valeurs de l'équation est définie (dénominateurs non nuls, expression sous une racine positive ou nulle). Puis on se ramène à une équation du second degré :
- avec des quotients, on réduit au même dénominateur ;
- avec une racine carrée, et ;
- une équation bicarrée devient en posant avec
À la fin, on garde seulement les solutions qui respectent les conditions.
bicarrée
Exemple traité
Résoudre dans et
- Un quotient — On multiplie par non nul.
- Une racine carrée — Le discriminant vaut il est négatif : pas de solution.
- Une bicarrée — : ou tous deux positifs.
À ne pas faire : ou — ou soit quatre solutions. On a trouvé : il reste à revenir à
À ne pas faire : — Il faut aussi . Élever au carré ajoute des solutions : vérifie l'équation au carré, mais pas l'équation de départ.
18. Propriété
Factoriser ax² + bx + c
Ce qu’il dit
Ki l'équation 3andha zouz racines x un w x deux, a x carré plus b x plus c yetekteb a fois x moins x un fois x moins x deux. Ki delta égale zéro, a fois x moins x zéro, le tout au carré. W ki delta négatif, ma najjmouch nfactoriser. W redd belek ma tensech le a elli l9oddem.
كي l'équation عندها زوز racines x un w x deux ، a x carré plus b x plus c يتكتب a fois x moins x un fois x moins x deux . كي delta égale zéro ، a fois x moins x zéro ، le tout au carré . w كي delta négatif ، ما نجّموش نـ factoriser . w رد بالك ما تنساش le a اللي القدّام .
Quand l'équation a deux racines x un et x deux, a x carré plus b x plus c s'écrit a fois x moins x un fois x moins x deux. Quand delta est nul, c'est a fois x moins x zéro, le tout au carré. Et quand delta est négatif, on ne peut pas factoriser. Attention à ne pas oublier le a devant.
Si et sont deux racines de l'équation alors
Selon le signe de (avec ) :
- : on ne peut pas factoriser ;
- : ;
- :
Δ > 0
Démonstration
grâce à la somme et au produit des racines.
Exemple traité
Factoriser et
- Premier — Les racines de ont pour somme et pour produit : ce sont et
- Deuxième — : une seule racine.
- Troisième — Donc est racine, et l'autre vaut
À ne pas faire : — . On oublie le coefficient devant les facteurs.
À ne pas faire : — : on ne peut pas factoriser. Sans racine, pas de facteur
19. Théorème
Signe de ax² + bx + c
Ce qu’il dit
Le signe mta3 a x carré plus b x plus c yet9ra b delta. Ken delta négatif, el trinôme dima b signe de a. Ken delta égale zéro, b signe de a, ella fi x zéro win ywalli zéro. W ken delta positif : b signe de a barra les racines, w b signe de moins a bin les racines. A7fadhha hakka : bin les racines, 3aks a.
le signe متاع a x carré plus b x plus c يتقرا بـ delta . كان delta négatif ، الـ trinôme ديما بـ signe de a . كان delta égale zéro ، بـ signe de a ، إلّا في x zéro وين يولّي zéro . w كان delta positif : بـ signe de a بـرّا les racines ، w بـ signe de moins a بين les racines . احفظها هكّا : بين les racines ، عكس a .
Le signe de a x carré plus b x plus c se lit grâce à delta. Si delta est négatif, le trinôme a toujours le signe de a. Si delta est nul, il a le signe de a, sauf en x zéro où il s'annule. Et si delta est positif : signe de a à l'extérieur des racines, signe de moins a entre les racines. Retiens-le ainsi : entre les racines, le contraire de a.
Soit avec et son discriminant.
- : pour tout réel est du signe de .
- : pour tout réel est du signe de (et ).
- : est du signe de à l'extérieur des racines, et du signe de entre les racines.
| signe de | signe de | signe de |
| signe de | |
| signe de | |
| signe de | |
on lit le signe sur la forme canonique
Démonstration
Si le crochet de la forme canonique est une somme d'un carré et d'un nombre strictement positif : il est positif, et a le signe de Si Si avec : le produit est négatif entre et positif à l'extérieur.
Exemple traité
Déterminer le signe de de et de
- B — Racines et (somme produit ), et
- Signe de à l'extérieur, signe contraire entre.
- C — L'autre racine est et
- Entre les racines, a le signe de : positif.
- P — Pas de racine : a partout le signe de
À ne pas faire : donc — donc a le signe de . Pour le discriminant est négatif, et est toujours négatif, du signe de
À ne pas faire : est négatif à l'extérieur des racines — Il est négatif entre et . Entre les racines, c'est le signe de ; à l'extérieur, celui de
20. Méthode
Inéquations du second degré
Ce qu’il dit
Bech t7ell inéquation du second degré : 7ott koll chay fi membre wa7ed, lawwej 3la les racines, w ba3d e9ra le signe. X carré moins cinq x plus six, les racines deux w trois, a positif, donc négatif bin deux w trois. W ki l'inéquation fiha inférieur ou égal, les racines yodkhlou : crochets fermés.
باش تحلّ inéquation du second degré : حطّ كل شي في membre واحد ، لوّج على les racines ، w ba3d اقرا le signe . x carré moins cinq x plus six ، les racines deux w trois ، a positif ، donc négatif بين deux w trois . w كي l'inéquation فيها inférieur ou égal ، les racines يدخلو : crochets fermés .
Pour résoudre une inéquation du second degré : mets tout dans un seul membre, cherche les racines, puis lis le signe. Pour x carré moins cinq x plus six, les racines sont deux et trois, a est positif, donc le trinôme est négatif entre deux et trois. Et quand l'inéquation contient inférieur ou égal, les racines sont comprises : crochets fermés.
Pour résoudre une inéquation du second degré :
- 1.on ramène tout dans un membre : (ou ) ;
- 2.on cherche les racines ( racine évidente, factorisation) ;
- 3.on lit le signe dans le tableau du signe de et on écrit l'ensemble des solutions — en incluant les racines pour ou
Exemple : un rectangle de côtés et surmonté d'un demi-disque de diamètre L'aire du rectangle est plus grande que celle du demi-disque si soit : pour cela donne
Δ > 0
Exemple traité
Résoudre dans et
- Premier — Racines et : négatif entre les racines.
- Deuxième — : racines et : négatif à l'extérieur, et nul aux racines.
- Troisième — Un carré n'est jamais négatif : il ne reste que le cas où il est nul.
- Quatrième — : racines et ; négatif entre.
À ne pas faire : ou — . : le trinôme est négatif ENTRE les racines.
À ne pas faire : n'a pas de solution — . Avec la valeur où le carré est nul convient.
À ne pas faire : ou — ou . Avec les racines font partie des solutions : crochets fermés.
21. Méthode
Signe d'un produit ou d'un quotient
Ce qu’il dit
Bech tal9a le signe mta3 produit, a3mel tableau de signes : ligne l koll facteur, les racines lkoll mratbin, w ba3d la règle des signes fi koll colonne. W le quotient nafs ech-chay, ama les racines mta3 le dénominateur houma valeurs interdites : dima exclues, double barre fel tableau.
باش تلقى le signe متاع produit ، اعمل tableau de signes : ligne لكل facteur ، les racines الكل مرتّبين ، w ba3d la règle des signes في كل colonne . w le quotient نفس الشي ، أما les racines متاع le dénominateur هوما valeurs interdites : ديما exclues ، double barre في الـ tableau .
Pour trouver le signe d'un produit, fais un tableau de signes : une ligne par facteur, toutes les racines rangées dans l'ordre, puis la règle des signes dans chaque colonne. Pour un quotient, c'est pareil, mais les racines du dénominateur sont des valeurs interdites : toujours exclues, avec une double barre dans le tableau.
Pour le signe d'un produit de facteurs du premier ou du second degré, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, rangée dans l'ordre de toutes leurs racines, puis la règle des signes dans chaque colonne.
Exemple : est positif pour (la droite est au-dessus de l'axe), pour ; le produit est donc positif sur et négatif à l'extérieur.
Pour un quotient, même tableau, mais les racines du dénominateur sont des valeurs interdites : on les exclut toujours (double barre).
Un repère d'origine O. La droite D, représentation de f(x) = x − 1, monte et coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 1. La droite D', représentation de g(x) = −2x + 4, descend : elle coupe l'axe des ordonnées en 4 et l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.
Exemple traité
Résoudre Puis étudier le signe de
- Les racines — On range : est positif entre ses racines.
- Le tableau — La règle des signes, colonne par colonne.
- Le quotient — en haut, en bas ; et sont interdites.
- Le numérateur est positif entre et le dénominateur négatif entre et
À ne pas faire : : on ferme les crochets aux racines de — Les racines de sont toujours exclues. Un quotient n'existe pas quand son dénominateur est nul.
À ne pas faire : et — On fait le tableau de signes. Un produit est négatif quand ses facteurs sont de signes contraires — dans un sens ou dans l'autre.
22. Application
Problèmes : aires et astronaute
Ce qu’il dit
Fel problèmes, l'inéquation mta3 el second degré tji men aire walla poids, w dima 3andha conditions. Fi l'exemple des deux carrés, x carré plus quatre moins x, le tout au carré, supérieur à dix, ta3tina x carré moins quatre x plus trois supérieur à zéro : x asghar men un walla akbar men trois. Ama x bin zéro w quatre, donc n5alliw zéro un w trois quatre, intervalles ouverts.
في الـ problèmes ، l'inéquation متاع الـ second degré تجي من aire ولّا poids ، w ديما عندها conditions . في l'exemple des deux carrés ، x carré plus quatre moins x ، le tout au carré ، supérieur à dix ، تعطينا x carré moins quatre x plus trois supérieur à zéro : x أصغر من un ولّا أكبر من trois . أما x بين zéro w quatre ، donc نخلّيو zéro un w trois quatre ، intervalles ouverts .
Dans les problèmes, l'inéquation du second degré vient d'une aire ou d'un poids, et l'inconnue a toujours des conditions. Dans l'exemple des deux carrés, x carré plus quatre moins x, le tout au carré, supérieur à dix, donne x carré moins quatre x plus trois supérieur à zéro : x inférieur à un ou supérieur à trois. Mais x est entre zéro et quatre, donc on garde de zéro à un et de trois à quatre, intervalles ouverts.
Premier problème : dans un rectangle ( ), milieu de et sur avec on trouve Comme est minimal pour : au milieu de
Deuxième problème : un astronaute qui pèse kg sur terre pèse à l'altitude km. Pour il pèse kg quand soit km, et moins de kg dès que soit km.
Deux carrés posés côte à côte sur un segment [AE] de longueur 4. Le petit carré ABCD a pour côté AB = x ; le grand carré BEFG a pour côté BE = 4 − x. Les points A, B et E sont alignés, dans cet ordre.
le minimum
Exemple traité
et sont des carrés, avec alignés, et Déterminer les réels pour que la somme des aires des deux carrés soit supérieure à
- L'inconnue — est entre et
- L'inéquation — On développe et on divise par positif.
- Le signe — : racines et ; : positif à l'extérieur.
- Conclure — On garde la partie commune avec
À ne pas faire : Répondre — . est une longueur et est sur : on intersecte avec
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Un problème : choisir l'inconnue et ses conditions, traduire, résoudre, vérifier.Fi problème : l'inconnue w ech-chourout mte3ha, nektbou, n7ellou, w nthabtou.Dans un problème : l'inconnue et ses conditions, on traduit, on résout, on vérifie.
- Multiplier ou diviser une inégalité par un négatif change son sens.Ki todhrob inégalité fi nombre négatif, le sens yetbaddel.Multiplier une inégalité par un nombre négatif change son sens.
- est la distance de à ; ou Valeur absolue de x moins a hiya la distance bin x w a ; w zouz valeurs absolues égales, ya3ni les nombres égaux walla opposés.Valeur absolue de x moins a est la distance entre x et a ; deux valeurs absolues égales, c'est deux nombres égaux ou opposés.
- Quotient : dénominateur non nul ; racine carrée : définie si et pour Le dénominateur ma ykounech nul, w elli ta7t la racine lezem positif ; racine de A égale k ma3neha A égale k carré.Le dénominateur n'est jamais nul, et ce qui est sous la racine doit être positif ; racine de A égale k signifie A égale k carré.
- : pas de racine si ; si ; si Delta égale b carré moins quatre a c : négatif, ma fammech racine ; nul, racine wa7da ; positif, zouz racines.Delta égale b carré moins quatre a c : négatif, pas de racine ; nul, une racine ; positif, deux racines.
- avec ; racines Delta prime égale b prime carré moins a c, w les racines sur a, mouch sur deux a.Delta prime égale b prime carré moins a c, et les racines se divisent par a, pas par deux a.
- et ; si les racines sont et La somme des racines moins b sur a, le produit c sur a ; w ken a plus b plus c égale zéro, un racine.La somme des racines vaut moins b sur a, le produit c sur a ; et si a plus b plus c est nul, un est racine.
- ; signe de à l'extérieur des racines, de entre.A x carré plus b x plus c yetekteb a fois x moins x un fois x moins x deux, w bin les racines 3aks a.A x carré plus b x plus c s'écrit a fois x moins x un fois x moins x deux, et entre les racines, le signe est le contraire de a.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna el chapitre. Tfakker : fi koll problème, e5tar l'inconnue w chouf chnowa ech-chourout mte3ha ; w fel second degré, a7seb delta w chouf le signe mte3ou. W dima, ki tal9a solution, thabbet elli hiya tsla7 lel problème. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا الـ chapitre . تفكّر : في كل problème ، اختار l'inconnue w شوف شنوّة الشروط متاعها ؛ w في الـ second degré ، احسب delta w شوف le signe متاعو . w ديما ، كي تلقى solution ، ثبّت إلّي هي تصلح للـ problème . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé ce chapitre. Retiens : dans chaque problème, choisis l'inconnue et regarde ses conditions ; au second degré, calcule delta et regarde son signe. Et toujours, quand tu trouves une solution, vérifie qu'elle convient au problème. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Mettre un problème en équation
- kifech n7ott probleme en equation
- comment mettre un problème en équation
- mise en équation d'un problème kifech
- probleme ma3raftech nektbou equation
Ce qu’il répond
Awwel 7aja e5tar l'inconnue : 9oul chnowa tmathel w chnowa ech-chourout mte3ha. Ba3d ekteb koll jomla men l'énoncé b x, to5rjlek l'équation. 7ellha, w fel e5er thabbet elli la solution tsla7 lel problème.
أوّل حاجة اختار l'inconnue : قول شنوّة تمثّل w شنوّة الشروط متاعها . ba3d اكتب كل جملة من l'énoncé بـ x ، تخرجلك l'équation . حلّها ، w في الآخر ثبّت إلّي la solution تصلح للـ problème .
D'abord, choisis l'inconnue : dis ce qu'elle représente et quelles sont ses conditions. Ensuite, traduis chaque phrase de l'énoncé avec x : tu obtiens l'équation. Résous-la, et à la fin vérifie que la solution convient au problème.
Question 2 · Mettre un problème en équation
- 3lech lezem nverifi la solution
- pourquoi vérifier la solution d'un problème
- est-ce qu'il faut vérifier la solution
- nverifi solution walla le
Ce qu’il répond
5ater l'équation ma ta3refch el problème : tnajjem ta3tik longueur négative walla point barra el segment. W zeda bech tchedd el aghlat mta3 el 7seb. 3awedh la solution fi l'énoncé w chouf idha yemchi.
خاطر l'équation ما تعرفش الـ problème : تنجّم تعطيك longueur négative ولّا point برّا الـ segment . w زادة باش تشدّ الأغلاط متاع الحساب . عوّض la solution في l'énoncé w شوف إذا يمشي .
Parce que l'équation ne connaît pas le problème : elle peut donner une longueur négative ou un point hors du segment. Et cela permet aussi d'attraper les erreurs de calcul. Remplace la solution dans l'énoncé et regarde si tout marche.
Question 3 · Inéquations du premier degré
- 3lech le sens yetbaddel ki nodhrob fi negatif
- pourquoi le sens de l'inégalité change avec un négatif
- diviser par un négatif inégalité sens
- ki n9assem 3la négatif le sens
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater el négatif yo9leb l'ordre : $2 < 3$, ama $-2 > -3$. Donc ki todhrob walla t9assem ezzouz membres 3la nombre négatif, le sens yetbaddel. W ki tzid walla tna99es nombre, ma yetbaddel chay.
خاطر الـ négatif يقلب l'ordre : deux أصغر من trois ، أما moins deux أكبر من moins trois . donc كي تضرب ولّا تقسم الزوز membres على nombre négatif ، le sens يتبدّل . w كي تزيد ولّا تنقص nombre ، ما يتبدّل شي .
Parce que passer à l'opposé inverse l'ordre : deux est inférieur à trois, mais moins deux est supérieur à moins trois. Donc quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens change. Ajouter ou retrancher un nombre ne change rien.
Question 4 · Valeur absolue et distance
- valeur absolue w distance chnowa el 3ala9a
- pourquoi la valeur absolue est une distance
- valeur absolue de x moins 3 distance
- lien entre valeur absolue et distance
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
3la droite graduée, ken M 3andou l'abscisse x w A 3andou l'abscisse a, la distance A M hiya $|x - a|$. Donc $|x - 3|$ hiya la distance bin x w 3, w $|x + 2|$ hiya la distance bin x w $-2$.
على droite graduée ، كان M عندو l'abscisse x w A عندو l'abscisse a ، la distance A M هي valeur absolue de x moins a . donc valeur absolue de x moins trois هي la distance بين x w trois ، w valeur absolue de x plus deux هي la distance بين x w moins deux .
Sur une droite graduée, si M a pour abscisse x et A pour abscisse a, la distance A M est valeur absolue de x moins a. Donc valeur absolue de x moins trois est la distance entre x et trois, et valeur absolue de x plus deux, la distance entre x et moins deux.
Question 5 · Équations et inéquations avec valeur absolue
- valeur absolue egale a un nombre negatif
- |2x+1| = -3 valeur absolue négative
- valeur absolue tnajjem tkoun negative
- une valeur absolue peut-elle être négative
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le, valeur absolue dima positive walla nulle, 5ater hiya distance. Donc équation kif $|2x + 1| = -3$ ma 3andha 7atta solution. Chouf le signe mta3 el membre le5or 9bal ma t7ell.
لا ، valeur absolue ديما positive ولّا nulle ، خاطر هي distance . donc équation كيف valeur absolue de deux x plus un égale moins trois ما عندها حتّى solution . شوف le signe متاع الـ membre الآخر قْبَلْ ما تحلّ .
Non, une valeur absolue est toujours positive ou nulle, puisque c'est une distance. Donc une équation comme valeur absolue de deux x plus un égale moins trois n'a aucune solution. Regarde le signe du second membre avant de résoudre.
Question 6 · Équations et inéquations avec valeur absolue
- deux valeurs absolues egales kifech n7ell
- |A| = |B| comment résoudre
- résoudre une équation avec deux valeurs absolues
- valeurs absolues egales deux cas
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz nombres 3andhom nafs valeur absolue, ya égaux ya opposés. Donc $|A| = |B|$ ta3tik zouz équations : $A = B$, w $A = -B$. T7ell ezzouz, w tejma3 les solutions.
زوز nombres عندهم نفس valeur absolue ، يا égaux يا opposés . donc valeur absolue de A égale valeur absolue de B تعطيك زوز équations : A égale B ، w A égale moins B . تحلّ الزوز ، w تجمع les solutions .
Deux nombres qui ont la même valeur absolue sont égaux ou opposés. Donc valeur absolue de A égale valeur absolue de B donne deux équations : A égale B, et A égale moins B. On résout les deux et on réunit les solutions.
Question 7 · Équations avec des quotients
- 3lech nchoufou wa9tech le denominateur nul
- pourquoi chercher les valeurs interdites
- valeur interdite c'est quoi
- denominateur zero chnowa na3mel
Ce qu’il répond
5ater ma najjmouch n9asmou 3la zéro : quotient elli le dénominateur mte3ou nul ma 3andou 7atta ma3na. Les valeurs elli ta3mel le dénominateur zéro nsammiwhom valeurs interdites. Nektbouhom mel bdeya, w ken solution tal3et wa7da menhom, nna77iwha.
خاطر ما نجّموش نقسمو على zéro : quotient اللي le dénominateur متاعو nul ما عندو حتّى معنى . les valeurs اللي تعمل le dénominateur zéro نسمّيوهم valeurs interdites . نكتبوهم من البداية ، w كان solution طلعت وحدة منهم ، ننحّيوها .
Parce qu'on ne peut pas diviser par zéro : un quotient dont le dénominateur est nul n'a aucun sens. Les valeurs qui annulent le dénominateur s'appellent valeurs interdites. On les écrit au départ, et si une solution en fait partie, on l'écarte.
Question 8 · Équations avec des quotients
- produit en croix kifech
- quand utiliser le produit en croix
- el produit en croix ya3ni chnowa
- a/b = c/d produit en croix
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki 3andek $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$, w B w D mouch nuls, tnajjem tekteb $AD = BC$. Hedha le produit en croix : yna77i les dénominateurs. Ama ma tensech les valeurs interdites 9bal.
كي عندك A sur B égale C sur D ، w B w D موش nuls ، تنجّم تكتب A fois D égale B fois C . هذا le produit en croix : ينحّي les dénominateurs . أما ما تنساش les valeurs interdites قْبَلْ .
Quand tu as A sur B égale C sur D, avec B et D non nuls, tu peux écrire A fois D égale B fois C. C'est le produit en croix : il fait disparaître les dénominateurs. Mais n'oublie pas d'écrire les valeurs interdites avant.
Question 9 · Équations et inéquations avec des racines carrées
- racine carree definie wa9tech
- quand est-ce qu'une racine carrée est définie
- racine de 3-2x definie pour quelles valeurs
- racine carrée d'un nombre négatif existe
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Racine carrée de A ma tkoun définie ken ki A positif walla nul. Mathalan $\sqrt{3 - 2x}$, lezem $3 - 2x \ge 0$, ya3ni $x \le \frac{3}{2}$. Racine carrée mta3 nombre négatif ma tewjedch.
racine carrée de A ما تكون définie كان كي A positif ولّا nul . مثلا racine de trois moins deux x ، لازم trois moins deux x أكبر ولّا يساوي zéro ، يعني x أصغر ولّا يساوي trois demis . racine carrée متاع nombre négatif ما توجدش .
Racine carrée de A n'est définie que si A est positif ou nul. Par exemple, pour racine de trois moins deux x, il faut trois moins deux x supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire x inférieur ou égal à trois demis. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.
Question 10 · Équations se ramenant au second degré
- 3lech ki nrabba3 tjini solution zeyda
- pourquoi élever au carré ajoute des solutions
- solution parasite apres le carré
- élever au carré une équation avec racine
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
5ater $A^{2} = B^{2}$ tse77 zeda ki $A = -B$. Mathalan $\sqrt{2x + 6} = x - 1$ : ki nrabb3ou nal9aw $-1$ w $5$, ama $-1$ ta3ti $\sqrt{4} = -2$, w hedha ghalet. Donc lezem $x - 1 \ge 0$, walla t3awedh w tthabbet.
خاطر A carré égale B carré تصحّ زادة كي A égale moins B . مثلا racine de deux x plus six égale x moins un : كي نربّعو نلقاو moins un w cinq ، أما moins un تعطي racine de quatre égale moins deux ، w هذا غالط . donc لازم x moins un positif ، ولّا تعوّض w تثبّت .
Parce que A carré égale B carré est vrai aussi quand A égale moins B. Par exemple pour racine de deux x plus six égale x moins un : en élevant au carré, on trouve moins un et cinq, mais moins un donnerait racine de quatre égale moins deux, ce qui est faux. Il faut donc x moins un positif, ou bien remplacer et vérifier.
Question 11 · L'équation du second degré
- 3lech a lezem different de zero fel second degre
- pourquoi a non nul dans une équation du second degré
- si a est nul c'est encore du second degré
- second degre a egal zero
Ce qu’il répond
Ken a égale zéro, le terme $ax^{2}$ yemchi, w yo93ed $bx + c = 0$ : hedhi équation du premier degré. Donc bech tkoun du second degré, lezem $a \ne 0$. Ama b w c ynajjmou ykounou zéro.
كان a égale zéro ، le terme a x carré يمشي ، w يقعد b x plus c égale zéro : هذي équation du premier degré . donc باش تكون du second degré ، لازم a différent de zéro . أما b w c ينجّمو يكونو zéro .
Si a est nul, le terme a x carré disparaît et il reste b x plus c égale zéro : c'est une équation du premier degré. Pour qu'elle soit du second degré, il faut donc a différent de zéro. En revanche, b et c peuvent être nuls.
Question 12 · Forme canonique et discriminant
- chnowa la forme canonique
- à quoi sert la forme canonique
- forme canonique kifech nal9aha
- comment trouver la forme canonique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La forme canonique hiya $a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$. Bech tal9aha, 5arrej a en facteur, w kammel el carré : $x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9$. Tnaf3na bech n7ellou l'équation, w nal9aw maximum walla minimum.
la forme canonique هي a fois ، entre crochets ، x plus b sur deux a ، le tout au carré ، moins delta sur quatre a carré . باش تلقاها ، خرّج a en facteur ، w كمّل الـ carré : x carré moins six x هو x moins trois ، le tout au carré ، moins neuf . تنفعنا باش نحلّو l'équation ، w نلقاو maximum ولّا minimum .
La forme canonique est : a fois, entre crochets, x plus b sur deux a, le tout au carré, moins delta sur quatre a carré. Pour la trouver, on met a en facteur et on complète le carré : x carré moins six x égale x moins trois, le tout au carré, moins neuf. Elle sert à résoudre l'équation et à trouver un maximum ou un minimum.
Question 13 · Forme canonique et discriminant
- chnowa delta
- c'est quoi le discriminant
- discriminant ya3ni chnowa
- delta b2-4ac pourquoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le discriminant houwa le réel $b^{2} - 4ac$, w nektbouh $\Delta$. Esmou jey men « discriminer », ya3ni yfarre9 : le signe mte3ou y9ollek 9addech men racine 3andha l'équation : zéro, wa7da, walla zouz.
le discriminant هو le réel b carré moins quatre a c ، w نكتبوه delta . اسمو جاي من « discriminer » ، يعني يفرّق : le signe متاعو يقلّك قدّاش من racine عندها l'équation : zéro ، وحدة ، ولّا زوز .
Le discriminant est le réel b carré moins quatre a c, noté delta. Son nom vient de « discriminer », distinguer : son signe dit combien de racines a l'équation, zéro, une ou deux.
Question 14 · Résoudre une équation du second degré
- delta negatif chnowa na3mel
- que faire si le discriminant est négatif
- delta inferieur a zero pas de solution
- discriminant négatif racine
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ken $\Delta < 0$, l'équation ma 3andha 7atta racine fi $\mathbb{R}$, 5ater racine carrée mta3 négatif ma tewjedch. Tekteb $S = \varnothing$. W ma najjmouch nfactoriser $ax^{2} + bx + c$, w houwa dima b signe de a.
كان delta négatif ، l'équation ما عندها حتّى racine في R ، خاطر racine carrée متاع négatif ما توجدش . تكتب S égale l'ensemble vide . w ما نجّموش نـ factoriser a x carré plus b x plus c ، w هو ديما بـ signe de a .
Si delta est négatif, l'équation n'a aucune racine dans R, puisque la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. On écrit S égale l'ensemble vide. Et a x carré plus b x plus c ne se factorise pas : il a toujours le signe de a.
Question 15 · Résoudre une équation du second degré
- delta egal zero chnowa
- discriminant nul une seule racine
- si delta = 0 combien de solutions
- delta nul racine double
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ken $\Delta = 0$, l'équation 3andha racine wa7da : $x_{0} = -\frac{b}{2a}$. W $ax^{2} + bx + c$ ywalli $a(x - x_{0})^{2}$. Mathalan $4x^{2} + 12x + 9 = (2x + 3)^{2}$, w la racine $-\frac{3}{2}$.
كان delta égale zéro ، l'équation عندها racine وحدة : x zéro égale moins b sur deux a . w a x carré plus b x plus c يولّي a fois x moins x zéro ، le tout au carré . مثلا quatre x carré plus douze x plus neuf هو deux x plus trois ، le tout au carré ، w la racine moins trois demis .
Si delta est nul, l'équation a une seule racine : x zéro égale moins b sur deux a. Et a x carré plus b x plus c devient a fois x moins x zéro, le tout au carré. Par exemple, quatre x carré plus douze x plus neuf égale deux x plus trois, le tout au carré, de racine moins trois demis.
Question 16 · Résoudre une équation du second degré
- formule des racines second degre
- moins b plus ou moins racine de delta sur 2a
- comment calculer x1 et x2
- kifech na7seb x1 w x2
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki $\Delta > 0$, $x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ w $x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Redd belek men zouz 7ajet : $-b$, ya3ni baddel le signe mta3 b, w t9assem 3la $2a$ kemel, mouch 3la 2.
كي delta positif ، x un égale moins b moins racine de delta ، le tout sur deux a ، w x deux égale moins b plus racine de delta ، le tout sur deux a . رد بالك من زوز حاجات : moins b ، يعني بدّل le signe متاع b ، w تقسم على deux a كامل ، موش على deux .
Quand delta est positif, x un égale moins b moins racine de delta, le tout sur deux a, et x deux égale moins b plus racine de delta, le tout sur deux a. Attention à deux choses : moins b, c'est-à-dire changer le signe de b, et diviser par deux a en entier, pas par deux.
Question 17 · Le discriminant réduit
- delta prime wa9tech nesta3mlou
- quand utiliser le discriminant réduit
- c'est quoi delta prime
- discriminant reduit b'
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\Delta'$ nesta3mlouh ki b pair : $b' = \frac{b}{2}$, w $\Delta' = b'^{2} - ac$. Les nombres ykounou asghar, w les racines $\frac{-b' \mp \sqrt{\Delta'}}{a}$. Mathalan $5x^{2} - 16x + 3$ : $b' = -8$, $\Delta' = 49$.
delta prime نستعملوه كي b pair : b prime égale b sur deux ، w delta prime égale b prime carré moins a c . les nombres يكونو أصغر ، w les racines moins b prime moins ولّا plus racine de delta prime ، le tout sur a . مثلا cinq x carré moins seize x plus trois : b prime moins huit ، delta prime quarante-neuf .
On utilise delta prime quand b est pair : b prime égale b sur deux, et delta prime égale b prime carré moins a c. Les nombres sont plus petits, et les racines valent moins b prime moins ou plus racine de delta prime, le tout sur a. Par exemple pour cinq x carré moins seize x plus trois : b prime vaut moins huit et delta prime quarante-neuf.
Question 18 · Somme et produit des racines
- somme et produit des racines
- formule de la somme des racines et de leur produit
- somme w produit des racines 3lech
- somme w produit mta3 les racines
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ki l'équation 3andha zouz racines, la somme mte3hom $-\frac{b}{a}$, w le produit $\frac{c}{a}$. Hedha yji men la formule : ki tejma3, les racines de delta yemchiw ; w ki todhrob, tal9a $\frac{b^{2} - \Delta}{4a^{2}}$, ya3ni $\frac{c}{a}$. Ynaf3ek bech tal9a racine men o5ra.
كي l'équation عندها زوز racines ، la somme متاعهم moins b sur a ، w le produit c sur a . هذا يجي من la formule : كي تجمع ، les racines de delta يمشيو ؛ w كي تضرب ، تلقى b carré moins delta ، le tout sur quatre a carré ، يعني c sur a . ينفعك باش تلقى racine من أخرى .
Quand l'équation a deux racines, leur somme vaut moins b sur a et leur produit c sur a. Cela vient de la formule : en additionnant, les racines de delta s'en vont ; en multipliant, on trouve b carré moins delta, le tout sur quatre a carré, c'est-à-dire c sur a. C'est utile pour trouver une racine à partir de l'autre.
Question 19 · Racines évidentes : a + b + c = 0, a − b + c = 0
- a+b+c=0 chnowa ya3ni
- racine évidente comment la trouver
- quand 1 est racine evidente
- a moins b plus c egal zero
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ken $a + b + c = 0$, 1 racine, w el o5ra $\frac{c}{a}$. Ken $a - b + c = 0$, $-1$ racine, w el o5ra $-\frac{c}{a}$. 5ater ki t3awedh x b 1, tal9a $a + b + c$, w b $-1$ tal9a $a - b + c$. Choufha dima 9bal delta.
كان a plus b plus c égale zéro ، un racine ، w الأخرى c sur a . كان a moins b plus c égale zéro ، moins un racine ، w الأخرى moins c sur a . خاطر كي تعوّض x بـ un ، تلقى a plus b plus c ، w بـ moins un تلقى a moins b plus c . شوفها ديما قْبَلْ delta .
Si a plus b plus c est nul, un est racine, et l'autre est c sur a. Si a moins b plus c est nul, moins un est racine, et l'autre est moins c sur a. En effet, remplacer x par un donne a plus b plus c, et par moins un, a moins b plus c. Regarde-le toujours avant de calculer delta.
Question 20 · Deux nombres dont on connaît la somme et le produit
- trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
- deux nombres somme 11 produit 30
- deux nombres u et v u+v et uv
- kifech nal9a deux nombres ki na3ref somme w produit
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz nombres, la somme mte3hom S w le produit mte3hom P, houma les racines mta3 $X^{2} - SX + P = 0$. Mathalan somme 11 w produit 30 : $X^{2} - 11X + 30 = 0$, nal9aw 5 w 6. W ken $\Delta$ négatif, ezzouz nombres ma ywjdouch.
زوز nombres ، la somme متاعهم S w le produit متاعهم P ، هوما les racines متاع X carré moins S X plus P égale zéro . مثلا somme onze w produit trente : X carré moins onze X plus trente ، نلقاو cinq w six . w كان delta négatif ، الزوز nombres ما يوجدوش .
Deux nombres de somme S et de produit P sont les racines de X carré moins S X plus P égale zéro. Par exemple, somme onze et produit trente : X carré moins onze X plus trente égale zéro donne cinq et six. Et si delta est négatif, ces deux nombres n'existent pas.
Question 21 · Équations se ramenant au second degré
- chnowa equation bicarree
- comment résoudre une équation bicarrée
- x puissance 4 kifech n7ell
- equation avec x4 et x2
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Équation bicarrée hiya $ax^{4} + bx^{2} + c = 0$. N7ottou $X = x^{2}$, w twalli $aX^{2} + bX + c = 0$. N7ellouha, w ba3d nraj3ou l x : koll X positive ta3ti zouz valeurs, $\pm\sqrt{X}$, w X négative ma ta3ti chay.
équation bicarrée هي a x puissance quatre plus b x carré plus c égale zéro . نحطّو X égale x carré ، w تولّي a X carré plus b X plus c égale zéro . نحلّوها ، w ba3d نرجعو لـ x : كل X positive تعطي زوز valeurs ، plus ولّا moins racine de X ، w X négative ما تعطي شي .
Une équation bicarrée s'écrit a x puissance quatre plus b x carré plus c égale zéro. On pose X égale x carré, et elle devient a X carré plus b X plus c égale zéro. On la résout, puis on revient à x : chaque X positif donne deux valeurs, plus ou moins racine de X, et un X négatif n'en donne aucune.
Question 22 · Factoriser ax² + bx + c
- kifech nfactoriser ax2+bx+c
- comment factoriser un trinôme du second degré
- factoriser avec les racines
- factorisation trinome a(x-x1)(x-x2)
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Tal9a les racines $x_{1}$ w $x_{2}$, w tekteb $a(x - x_{1})(x - x_{2})$. Ma tensech a l9oddem. Ken $\Delta = 0$, $a(x - x_{0})^{2}$. W ken $\Delta < 0$, ma najjmouch nfactoriser.
تلقى les racines x un w x deux ، w تكتب a fois x moins x un fois x moins x deux . ما تنساش a القدّام . كان delta égale zéro ، a fois x moins x zéro ، le tout au carré . w كان delta négatif ، ما نجّموش نـ factoriser .
On cherche les racines x un et x deux, et on écrit a fois x moins x un fois x moins x deux. N'oublie pas le a devant. Si delta est nul, c'est a fois x moins x zéro, le tout au carré. Et si delta est négatif, on ne peut pas factoriser.
Question 23 · Signe de ax² + bx + c
- signe de ax2+bx+c
- comment trouver le signe d'un trinôme
- signe du trinome kifech
- tableau de signe second degre
Ce qu’il répond
Chouf $\Delta$. Ken $\Delta < 0$, el trinôme dima b signe de a. Ken $\Delta = 0$, b signe de a w ywalli zéro fi $x_{0}$. W ken $\Delta > 0$, b signe de a barra les racines, w b signe de $-a$ bin les racines.
شوف delta . كان delta négatif ، الـ trinôme ديما بـ signe de a . كان delta nul ، بـ signe de a w يولّي zéro في x zéro . w كان delta positif ، بـ signe de a برّا les racines ، w بـ signe de moins a بين les racines .
Regarde delta. Si delta est négatif, le trinôme a toujours le signe de a. Si delta est nul, il a le signe de a et s'annule en x zéro. Et si delta est positif, il a le signe de a à l'extérieur des racines, et le signe de moins a entre les racines.
Question 24 · Signe de ax² + bx + c
- 3lech bin les racines signe contraire de a
- pourquoi entre les racines c'est le signe de moins a
- signe entre les racines
- a l'exterieur des racines signe de a pourquoi
Ce qu’il répond
5ater $ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})$. Bin $x_{1}$ w $x_{2}$, $x - x_{1}$ positif w $x - x_{2}$ négatif, donc le produit négatif, w lkoll b signe de $-a$. Barra, ezzouz facteurs 3andhom nafs le signe, donc lkoll b signe de a.
خاطر a x carré plus b x plus c égale a fois x moins x un fois x moins x deux . بين x un w x deux ، x moins x un positif w x moins x deux négatif ، donc le produit négatif ، w الكل بـ signe de moins a . برّا ، الزوز facteurs عندهم نفس le signe ، donc الكل بـ signe de a .
Parce que a x carré plus b x plus c égale a fois x moins x un fois x moins x deux. Entre x un et x deux, x moins x un est positif et x moins x deux négatif : leur produit est négatif, et le tout a le signe de moins a. À l'extérieur, les deux facteurs ont le même signe : le tout a le signe de a.
Question 25 · Inéquations du second degré
- kifech n7ell inequation du second degre
- comment résoudre une inéquation du second degré
- résoudre l'inéquation x2-5x+6<0
- inequation avec x carre
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
7ott koll chay fi membre wa7ed, lawwej 3la les racines, w e9ra le signe : b signe de a barra les racines, b signe de $-a$ bin. Mathalan $x^{2} - 5x + 6 < 0$ : les racines 2 w 3, a positif, donc $S = \,]2 ; 3[$.
حطّ كل شي في membre واحد ، لوّج على les racines ، w اقرا le signe : بـ signe de a برّا les racines ، بـ signe de moins a بين . مثلا x carré moins cinq x plus six inférieur à zéro : les racines deux w trois ، a positif ، donc S égale l'intervalle ouvert deux trois .
Mets tout dans un seul membre, cherche les racines et lis le signe : signe de a à l'extérieur des racines, signe de moins a entre. Par exemple, pour x carré moins cinq x plus six inférieur à zéro : les racines sont deux et trois, a est positif, donc S est l'intervalle ouvert de deux à trois.
Question 26 · Inéquations du second degré
- crochet ouvert ou fermé aux racines
- kifech na3ref crochet ferme walla ouvert
- inférieur ou égal crochets fermés
- crochets ouverts ou fermes
Ce qu’il répond
Ken l'inéquation fiha $\le$ walla $\ge$, les racines y7a99ouha, donc crochets fermés. Ken strictement, les racines ma yodkhlouch, crochets ouverts. W dima ouvert 3and l'infini, w 3and valeur interdite.
كان l'inéquation فيها inférieur ou égal ولّا supérieur ou égal ، les racines يحقّقوها ، donc crochets fermés . كان strictement ، les racines ما يدخلوش ، crochets ouverts . w ديما ouvert عند l'infini ، w عند valeur interdite .
Si l'inéquation contient inférieur ou égal ou supérieur ou égal, les racines la vérifient : crochets fermés. Si elle est stricte, les racines ne sont pas comprises : crochets ouverts. Et toujours ouvert en l'infini et en une valeur interdite.
Question 27 · Signe d'un produit ou d'un quotient
- signe d'un quotient tableau
- comment étudier le signe d'un quotient
- inequation avec quotient kifech
- signe d'un produit de deux facteurs
Ce qu’il répond
A3mel tableau de signes : ligne l koll facteur, les racines lkoll mratbin, w la règle des signes fi koll colonne. Le quotient kif le produit, ama les racines mta3 le dénominateur valeurs interdites : double barre, w dima exclues.
اعمل tableau de signes : ligne لكل facteur ، les racines الكل مرتّبين ، w la règle des signes في كل colonne . le quotient كيف le produit ، أما les racines متاع le dénominateur valeurs interdites : double barre ، w ديما exclues .
Fais un tableau de signes : une ligne par facteur, toutes les racines rangées dans l'ordre, puis la règle des signes dans chaque colonne. Un quotient se traite comme un produit, mais les racines du dénominateur sont des valeurs interdites : double barre, et toujours exclues.
Question 28 · La méthode géométrique d'Al-Khawarizmi
- chkoun al khawarizmi
- qui était Al-Khawarizmi
- méthode d'Al Khawarizmi
- al-khawarizmi algebre
Ce qu’il répond
Al-Khawarizmi 3alem, tewled fi 780 w met fi Bagdad fi 850. Kteb ktab el jabr, w mennou jet el kelma « algèbre », w men esmou jet « algorithme ». Ken y7ell les équations b des figures, w ma ye9bel ken les racines positives.
Al-Khawarizmi عالم ، تولد في sept cent quatre-vingts w مات في Bagdad في huit cent cinquante . كتب كتاب الجبر ، w منّو جات الكلمة « algèbre » ، w من اسمو جات « algorithme » . كان يحلّ les équations بـ des figures ، w ما يقبل كان les racines positives .
Al-Khawarizmi est un savant né en sept cent quatre-vingts et mort à Bagdad en huit cent cinquante. Il a écrit le livre d'al-jabr, d'où vient le mot « algèbre », et son nom a donné « algorithme ». Il résolvait les équations par des figures et n'acceptait que les racines positives.
Question 29 · Problèmes : aire d'un rectangle, hauteur d'une pierre
- kifech nal9a hauteur maximale
- comment trouver le maximum d'une expression
- maximum d'un trinôme
- valeur minimale ax2+bx+c
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ekteb bel forme canonique, w wazza3 a : tal9a a fois un carré, plus un nombre. El carré dima positif walla nul. Ken a négatif, l'expression ma tfoutech el nombre hedha, w twoslou ki el carré ywalli nul : hedha le maximum. Ken a positif, el nombre hedha houwa le minimum. Mathalan $h(t) = -\frac{1}{2}(t - 3)^{2} + \frac{13}{2}$ : le maximum $\frac{13}{2}$, ki $t = 3$.
اكتبو بالـ forme canonique ، w وزّع a : تلقى a fois un carré ، plus un nombre . الـ carré ديما positif ولّا nul . كان a négatif ، l'expression ما تفوتش الـ nombre هذا ، w توصلو كي الـ carré يولّي nul : هذا le maximum . كان a positif ، الـ nombre هذا هو le minimum . مثلا h de t égale moins un demi fois ، t moins trois ، le tout au carré ، plus treize demis : le maximum treize demis ، كي t égale trois .
Écris-le sous forme canonique, puis distribue a : tu obtiens a fois un carré, plus un nombre. Le carré est toujours positif ou nul. Si a est négatif, l'expression ne dépasse jamais ce nombre, et elle l'atteint quand le carré est nul : c'est le maximum. Si a est positif, ce nombre est le minimum. Par exemple, h de t égale moins un demi fois, t moins trois, le tout au carré, plus treize demis : le maximum est treize demis, pour t égale trois.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Le nombre pensé
Je pense un nombre, je lui retranche je multiplie le résultat obtenu par puis j'ajoute et je divise le résultat par : j'obtiens Quel nombre ai-je pensé ?
Donne le nombre pensé.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Appelle le nombre pensé et suis les opérations dans l'ordre.
- L'énoncé se traduit par :
- Multiplie les deux membres par puis développe
Correction
- Traduire —
- Multiplier par 5 —
- Vérifier — On vérifie.
Le nombre pensé est
Pièges anticipés
4.5→ Tu as multiplié seulement par : c'est tout le résultat qui est multiplié,
Exercice 2 · base
Ajouter le même entier en haut et en bas
Quel entier faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de pour obtenir ?
Donne l'entier à ajouter.
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Appelle l'entier ajouté : la nouvelle fraction est
- Écris l'égalité avec et fais le produit en croix.
- Le résultat peut être négatif : « ajouter » un entier négatif, c'est retrancher.
Correction
- L'équation —
- Produit en croix — Produit en croix ().
- Vérifier —
Il faut ajouter c'est-à-dire retrancher
Pièges anticipés
-0.5→ Tu as ajouté au numérateur seulement : l'énoncé l'ajoute aussi au dénominateur.
Exercice 3 · base
Thalès dans un triangle
Dans le triangle est sur sur et est parallèle à On donne et Déterminer
Un triangle ABC, A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite, avec BC = 13. Le point M est sur [AB], le point N sur [AC], et la droite (MN) est parallèle à (BC), avec MN = 8. On note AN = x et NC = 5.
Donne la valeur de x.
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Applique le théorème de Thalès dans le triangle
- Attention :
- Le rapport s'écrit :
Correction
- Thalès — est parallèle à
- Produit en croix —
donc : le triangle a ici
Pièges anticipés
40/13→ Tu as écrit : Thalès compare à pas à
Exercice 4 · pratique
Deux agences de location
Agence A : dinars par jour plus dinar par km. Agence B : dinars par jour plus dinar par km. Pour quel nombre de kilomètres parcourus dans la journée les deux tarifs sont-ils égaux ? Au-delà, quelle agence est la moins chère ?
Donne le nombre de kilomètres où les deux prix sont égaux.
Réponse attendue : 80
Indices, dans l’ordre
- Écris le prix de chaque agence en fonction de
- Les deux prix sont égaux quand :
- Regroupe les d'un côté et les nombres de l'autre.
Correction
- L'équation —
- Au-delà — Au-delà de km, A est la moins chère.
Les tarifs sont égaux pour km ; au-delà, l'agence A est plus avantageuse, en deçà l'agence B.
Pièges anticipés
3.2→ Tu as multiplié par : pour isoler dans on divise par
Exercice 5 · pratique
Entre le quart et le tiers
Un trapèze de hauteur a pour bases et avec ; est le point de tel que Déterminer les réels tels que l'aire du triangle soit comprise (au sens large) entre le quart et le tiers de l'aire du trapèze.
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : [4;5] — aussi acceptées : [4,5]
Indices, dans l’ordre
- L'aire de vaut et celle de vaut
- Après simplification par il faut :
- Résous chaque inégalité séparément, puis garde les qui vérifient les deux.
Correction
- Traduire —
- Le quart —
- Le tiers —
- Ces valeurs vérifient bien
Pièges anticipés
]4;5[→ « Au sens large » : et conviennent, les crochets sont fermés.
Exercice 6 · pratique
Une valeur absolue majorée
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [-1/2;3/4] ».
Réponse attendue : [-7/8;-1/8] — aussi acceptées : [-0.875;-0.125]
Indices, dans l’ordre
- avec équivaut à
- Écris l'encadrement :
- Retranche puis divise par (positif) dans les trois membres.
Correction
- Encadrer —
- On retranche
- On divise par
Pièges anticipés
[-7/4;-1/4]→ Tu t'es arrêté à l'encadrement de : il reste à diviser par
Exercice 7 · pratique
Une valeur absolue minorée
Résoudre dans l'inéquation
Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;1[U]2;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;-3[U]-1;+inf[ — aussi acceptées : ]-∞;-3[∪]-1;+∞[ · ]-inf;-3[ U ]-1;+inf[ · x<-3 ou x>-1
Indices, dans l’ordre
- est la distance de au réel
- « Plus de » de : on est à l'extérieur de l'intervalle
- équivaut à ou
Correction
- Deux cas —
Pièges anticipés
]-3;-1[→ Tu as donné les points à moins de de : l'inéquation demande ceux à plus de donc l'extérieur.
Exercice 8 · pratique
Deux quotients égaux
Résoudre dans l'équation
Donne la solution.
Réponse attendue : -4/9
Indices, dans l’ordre
- Commence par les valeurs interdites : et
- Fais le produit en croix :
- Développe : les s'en vont.
Correction
- Valeurs interdites —
- Produit en croix —
- Ce n'est pas une valeur interdite.
Pièges anticipés
4/9→ Vérifie le signe : donne
Exercice 9 · pratique
Une racine d'une valeur absolue
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {-41/4;31/4} — aussi acceptées : {-10.25;7.75}
Indices, dans l’ordre
- La racine est toujours définie :
- : on obtient une équation avec valeur absolue.
- ou
Correction
- Élever au carré — : on élève au carré.
- Premier cas —
- Second cas —
Pièges anticipés
{31/4}→ Une valeur absolue égale à : le nombre vaut OU Il manque un cas.{-11/4;1/4}→ Tu as écrit : pour enlever la racine, on élève au carré,
Exercice 10 · raisonnement
Comparer deux racines
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [2;+inf[ ».
Réponse attendue : [5/4;+inf[ — aussi acceptées : [1.25;+inf[ · [5/4;+∞[
Indices, dans l’ordre
- Les deux racines doivent être définies : et
- Deux nombres positifs se rangent comme leurs carrés.
- Il reste à résoudre puis à garder la partie commune avec les conditions.
Correction
- Les conditions —
- Les carrés —
- La condition est automatiquement vérifiée.
Pièges anticipés
[4/5;+inf[→ Tu as gardé seulement la condition d'existence : il faut aussi
Exercice 11 · base
Un triangle rectangle
est un triangle tel que et où est un réel positif. Déterminer pour que ce triangle soit rectangle en
Donne la valeur de x.
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en si et seulement si
- Développe : tu dois obtenir
- Factorise par puis regarde la condition « positif ».
Correction
- Pythagore —
- Factoriser —
- est positif ; on obtient
: c'est le triangle
Pièges anticipés
-5/3→ est bien solution de l'équation, mais l'énoncé impose positif.
Exercice 12 · base
Un discriminant nul
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {2} ».
Réponse attendue : {-3/2} — aussi acceptées : {-1.5} · -1,5 · x=-1,5
Indices, dans l’ordre
- Calcule le discriminant
- Tu peux aussi reconnaître une identité remarquable :
- Si le discriminant est nul, la racine est
Correction
- Le discriminant —
- Une racine —
- On le vérifie avec l'identité remarquable.
Pièges anticipés
{3/2}→ donne : la racine est négative.
Exercice 13 · pratique
Deux racines irrationnelles
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble, par exemple « {2-√5;2+√5} ».
Réponse attendue : {-1-√3;-1+√3} — aussi acceptées : {-1-sqrt(3);-1+sqrt(3)} · {-1-sqrt3;-1+sqrt3} · {-1-√(3);-1+√(3)} · -1±√3 · {-1±√3}
Indices, dans l’ordre
- Calcule le discriminant avec
- Le discriminant vaut et
- Les racines s'écrivent moins plus ou moins la racine carrée du discriminant, le tout sur : simplifie par
Correction
- Le discriminant —
- Les racines —
Pièges anticipés
{-2-2√3;-2+2√3}→ Tu as oublié de diviser par{1-√3;1+√3}→ Le numérateur commence par pas par
Exercice 14 · pratique
Avec le discriminant réduit
Résoudre dans l'équation à l'aide du discriminant réduit.
Écris l'ensemble, par exemple « {1/2;4} ».
Réponse attendue : {1/5;3} — aussi acceptées : {0.2;3}
Indices, dans l’ordre
- est pair :
- Calcule le discriminant réduit
- Les racines s'écrivent moins plus ou moins la racine carrée du discriminant réduit, le tout sur et non sur
Correction
- Le discriminant réduit — Avec :
- Les racines —
On vérifie :
Pièges anticipés
{1/10;3/2}→ Avec le discriminant réduit, on divise par pas par
Exercice 15 · base
Sans calculer le discriminant
Résoudre l'équation sans calculer son discriminant.
Écris l'ensemble, par exemple « {2;5} ».
Réponse attendue : {1;6} — aussi acceptées : x=1 ou x=6
Indices, dans l’ordre
- Calcule
- Si est racine.
- L'autre racine est
Correction
- Racine évidente —
: la somme et le produit sont bien et
Pièges anticipés
{-1;-6}→ La somme des racines vaut : elles sont positives.
Exercice 16 · pratique
L'autre racine
Vérifier que est une racine de l'équation puis déterminer l'autre racine
Donne x₂, sans racine au dénominateur.
Réponse attendue : -3*sqrt(3)/4
Indices, dans l’ordre
- Remplace par : tu dois trouver
- Utilise le produit des racines :
- : multiplie haut et bas par
Correction
- Vérifier —
- Le produit —
; la somme vaut bien
Pièges anticipés
3*sqrt(3)/4→ Le produit est négatif : les deux racines sont de signes contraires.
Exercice 17 · pratique
Un terrain rectangulaire
Un terrain rectangulaire a pour périmètre m et pour aire m². Déterminer sa longueur.
Donne la longueur en mètres.
Réponse attendue : 36
Indices, dans l’ordre
- Le demi-périmètre donne la somme
- et sont les racines de :
- La longueur est la plus grande des deux racines.
Correction
- Somme et produit —
- Le discriminant —
- Les racines —
Le terrain mesure m sur m.
Pièges anticipés
25→ m est la largeur : la longueur est la plus grande des deux dimensions.
Exercice 18 · pratique
Somme et somme des inverses
Trouver deux nombres dont la somme est et dont la somme des inverses est
Écris les deux nombres entre accolades, par exemple « {2;9} ».
Réponse attendue : {5;6} — aussi acceptées : 5 et 6
Indices, dans l’ordre
- Avec la somme des inverses donne le produit
- et sont les racines de
Correction
- Le produit —
- L'équation —
- Le discriminant —
Les deux nombres sont et :
Pièges anticipés
{-5;-6}→ La somme doit valoir : l'équation est de racines positives.
Exercice 19 · raisonnement
Les bandes du peintre
Un peintre dispose d'un tissu rectangulaire de longueur m et de largeur m. Il veut y dessiner deux bandes de même largeur l'une le long d'une longueur et l'autre le long d'une largeur, de sorte que l'aire des deux bandes soit égale à l'aire de la partie restante. Déterminer la largeur
Donne la valeur exacte de x, en mètres.
Réponse attendue : 5/2-sqrt(13)/2
Indices, dans l’ordre
- La partie restante est un rectangle de côtés et
- Les bandes et la partie restante ont la même aire : chacune vaut la moitié de m².
- Résous puis garde la solution compatible avec
Correction
- L'équation —
- Les racines — Le discriminant vaut
- Choisir — Une bande ne peut pas être plus large que le tissu.
m.
Pièges anticipés
(5+sqrt(13))/2→ Cette racine vaut environ m : plus que la largeur du tissu, elle ne convient pas.
Exercice 20 · pratique
Une équation bicarrée
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble, par exemple « {-2;2;-√5;√5} ».
Réponse attendue : {-1;1;-√6/3;√6/3} — aussi acceptées : {-1;1;-sqrt(6)/3;sqrt(6)/3}
Indices, dans l’ordre
- Pose : l'équation devient
- Regarde
- Reviens à : chaque valeur positive de donne deux valeurs de
Correction
- Changer d'inconnue —
- Racine évidente —
- Revenir à x —
: quatre solutions.
Pièges anticipés
{1;2/3}→ Ce sont les valeurs de : il reste à revenir à
Exercice 21 · pratique
Une racine égale à une expression
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {2} ».
Réponse attendue : {5} — aussi acceptées : 5
Indices, dans l’ordre
- Une racine est positive : il faut
- Élève au carré :
- Résous, puis garde seulement les solutions telles que
Correction
- La condition —
- Élever au carré —
- Les racines —
- Trier — ne vérifie pas :
; on vérifie :
Pièges anticipés
{-1;5}→ est solution de l'équation élevée au carré, pas de l'équation de départ : pas
Exercice 22 · pratique
Factoriser un trinôme
Factoriser
Donne A(x) sous forme d'un produit de facteurs.
Réponse attendue : (5x-1)*(x+2) — aussi acceptées : 5*(x-1/5)*(x+2)
Indices, dans l’ordre
- Cherche les racines : calcule le discriminant
- Le discriminant vaut et sa racine carrée vaut
- Puis sans oublier
Correction
- Le discriminant —
- Les racines —
- Factoriser —
Pièges anticipés
(x-1/5)*(x+2)→ Il manque le coefficient devant les facteurs.
Exercice 23 · base
Tout dans un membre
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;3] ».
Réponse attendue : [0;7] — aussi acceptées : [0,7]
Indices, dans l’ordre
- Ramène tout dans le premier membre.
- Tu obtiens que l'on factorise par
- : le trinôme est négatif entre ses racines.
Correction
- Un seul membre —
- Factoriser — Racines et
- Le signe —
Pièges anticipés
]-inf;0]U[7;+inf[→ Avec le trinôme est négatif ENTRE les racines.
Exercice 24 · pratique
Un trinôme positif ou nul
Résoudre dans l'inéquation
Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;1]U[3;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;0]U[4;+inf[ — aussi acceptées : ]-∞;0]∪[4;+∞[ · ]-inf;0] U [4;+inf[ · x<=0 ou x>=4 · x≤0 ou x≥4
Indices, dans l’ordre
- Factorise :
- Les racines sont et et
- Le trinôme a le signe de à l'extérieur des racines, et s'annule aux racines.
Correction
- Factoriser —
- Le signe — Signe de positif, à l'extérieur ; les racines conviennent.
Pièges anticipés
[0;4]→ Entre et est négatif : c'est l'extérieur qui convient.
Exercice 25 · base
Un discriminant négatif
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'ensemble des solutions ; « ∅ » ou « pas de solution » s'il est vide.
Réponse attendue : ∅
Indices, dans l’ordre
- Calcule le discriminant.
- Le discriminant vaut il est négatif : pas de racine.
- Sans racine, le trinôme a partout le signe de
Correction
- Le discriminant —
- Le signe — Signe de
Le trinôme est toujours strictement négatif :
Exercice 26 · raisonnement
Un produit positif
Résoudre dans l'inéquation
Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;-2]U[0;1] ».
Réponse attendue : ]-inf;-1]U[-1/4;3/2] — aussi acceptées : ]-∞;-1]∪[-1/4;3/2] · ]-inf;-1]U[-0.25;1.5] · ]-inf;-1]U[-0,25;1,5] · ]-inf;-1]U[-0,25;3/2] · ]-inf;-1]U[-1/4;1,5] · ]-∞;-1]∪[-1/4;1,5] · ]-∞;-1]∪[-0,25;1,5] · x<=-1 ou -1/4<=x<=3/2
Indices, dans l’ordre
- Cherche les racines de chaque facteur : s'annule en
- Pour regarde
- Range et dans un tableau de signes.
Correction
- Premier facteur — Positif pour
- Second facteur — est négatif entre et positif ailleurs.
- Le tableau —
racines comprises.
Pièges anticipés
[-1;-1/4]U[3/2;+inf[→ Tu as pris les colonnes où le produit est négatif : l'inéquation demande
Exercice 27 · pratique
La hauteur du trapèze
Le trapèze rectangle a pour grande base un angle de en et un angle droit en Déterminer sa hauteur sachant que son aire est égale à
Un trapèze rectangle ABCD : la grande base [AB], en bas, mesure 3 ; le côté [BC], à droite, est vertical, perpendiculaire à (AB), et sa longueur est la hauteur h ; la petite base [DC] est en haut. L'angle en A, entre [AB] et [AD], mesure 45°.
Donne la hauteur h.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- L'angle de fait de la partie gauche un triangle rectangle isocèle : la petite base vaut
- Aire d'un trapèze : (grande base petite base) hauteur
- Tu obtiens ; garde la racine compatible avec
Correction
- La petite base — Le triangle rectangle de sommet a deux côtés égaux à
- L'aire —
- Les racines — Le discriminant réduit vaut
- Choisir — Il faut pour que la petite base soit positive.
La hauteur vaut (et la petite base ).
Pièges anticipés
4→ Avec la petite base serait négative : cette racine ne convient pas.
Exercice 28 · raisonnement
Le cycliste
Un cycliste effectue un trajet aller et retour entre deux endroits A et B distants de km. Il met au total heures et minutes. Calculer sa vitesse moyenne à l'aller, sachant qu'elle est supérieure de km/h à celle du retour.
Donne la vitesse à l'aller, en km/h.
Réponse attendue : 40
Indices, dans l’ordre
- Appelle la vitesse du retour : à l'aller, c'est Et h min h.
- Temps distance vitesse :
- En chassant les dénominateurs, tu dois obtenir
Correction
- L'équation —
- Chasser les dénominateurs — On multiplie par
- Résoudre — On divise par
- Le discriminant réduit — Avec :
- Une vitesse est positive.
- L'aller —
À l'aller, il roule à km/h (et à km/h au retour) : h.
Pièges anticipés
30→ km/h est la vitesse du retour : l'aller est plus rapide de km/h.
Exercice 29 · raisonnement
Un triangle rectangle de périmètre 56
Déterminer la longueur des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont le périmètre est égal à et l'hypoténuse à
Écris les deux longueurs entre accolades, par exemple « {5;12} ».
Réponse attendue : {7;24} — aussi acceptées : 7 et 24
Indices, dans l’ordre
- Si et sont les côtés de l'angle droit : et
- donne le produit
- et sont alors les racines de
Correction
- Les données —
- Le produit —
- L'équation —
- Le discriminant —
Les côtés mesurent et : et
Exercice 30 · defi
La pierre dans le puits
Je laisse tomber une pierre dans un puits et, au bout de secondes, j'entends le « plouf ». Un caillou lâché sans vitesse initiale parcourt en secondes la distance (en mètres), et le son va à m/s. Quelle est la profondeur du puits ?
Donne la profondeur en mètres, arrondie au dixième.
Réponse attendue : 41.4
Indices, dans l’ordre
- Appelle la durée de la chute : le son remonte pendant secondes.
- La pierre et le son parcourent la même distance :
- Résous avec le discriminant réduit, garde la racine positive, puis calcule
Correction
- L'équation — On divise par
- La durée de la chute — Le discriminant réduit vaut et l'autre racine est négative.
- La profondeur —
Le puits a une profondeur d'environ m.
Pièges anticipés
45→ Tu as compté secondes de chute : une partie de ces s sert au son pour remonter.41.41 / 41.42→ La valeur est la bonne, mais on la demande arrondie au dixième : m.
Exercice 31 · defi
Un facteur commun caché
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble, par exemple « {-2;0;2} ».
Réponse attendue : {-√3;1;√3} — aussi acceptées : {-sqrt(3);1;sqrt(3)}
Indices, dans l’ordre
- annule les deux membres : factorise chacun par
- et
- Mets en facteur dans la différence des deux membres — sans diviser par
Correction
- Factoriser —
- Produit nul —
Pièges anticipés
{-√3;√3}→ En divisant par tu as perdu la solution : on factorise, on ne divise pas.
Exercice 32 · raisonnement
Le carré inscrit
est un carré de côté On place respectivement sur avec On note l'aire du quadrilatère Déterminer pour que
Un carré ABCD de côté 7 : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. M est sur [AB], N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [DA], avec AM = BN = CP = DQ = x. Le quadrilatère MNPQ est dessiné à l'intérieur.
Écris l'ensemble des valeurs de x, par exemple « {1;6} ».
Réponse attendue : {3;4} — aussi acceptées : x=3 ou x=4
Indices, dans l’ordre
- est l'aire du carré moins celle des quatre triangles rectangles des coins.
- Chaque triangle a pour côtés de l'angle droit et :
- Résous
Correction
- L'aire —
- L'équation —
- Somme produit ; les deux sont entre et
pour ou :
Exercice 33 · defi
Le poids de l'astronaute
Un astronaute qui pèse kg sur terre pèse kg à l'altitude km. À quelle altitude pèsera-t-il kg ?
Donne l'altitude en kilomètres.
Réponse attendue : 5120
Indices, dans l’ordre
- Écris puis divise par
- et le quotient est positif.
- : fais le produit en croix.
Correction
- L'équation —
- Le quotient est positif ().
- Produit en croix —
Il pèsera kg à km d'altitude.
Pièges anticipés
14336→ Tu as oublié le carré : vaut pas
Exercice 34 · base
L'âge du père
Un père a ans et son fils ans. Déterminer dans combien d'années l'âge du père sera le triple de celui de son fils.
Donne le nombre d'années.
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Appelle le nombre d'années cherché : dans ans, le père aura ans. Et le fils ?
- Les deux âges augmentent de :
- Développe puis regroupe les dans un membre.
Correction
- Traduire — Dans ans, le père aura ans et le fils ans.
- Résoudre —
- Vérifier — Dans ans : ans et ans.
Dans ans. On fait vieillir les deux personnes de ans, puis on vérifie.
Pièges anticipés
14/3→ Le père vieillit aussi : dans ans, il a ans, pas
Exercice 35 · pratique
Le réservoir
Un réservoir d'eau est rempli aux de sa capacité. On y verse L : il est alors rempli aux Déterminer la capacité du réservoir en litres.
Donne la capacité en litres.
Réponse attendue : 400
Indices, dans l’ordre
- Appelle la capacité en litres et traduis : ce qu'il y avait, plus égale ce qu'il y a.
- L'équation :
- Les L représentent la différence de la capacité.
Correction
- Traduire —
- La différence —
- Résoudre —
- Vérifier —
La capacité est L : la quantité ajoutée correspond à la différence des deux fractions.
Pièges anticipés
300→ L ne sont pas les du réservoir : ils font passer de à soit de la capacité.
Exercice 36 · base
La salle de sport
Une salle de sport propose deux formules. Formule A : dinars la séance. Formule B : un abonnement de dinars, puis dinars la séance. Déterminer à partir de combien de séances la formule B est strictement moins chère.
Donne le nombre de séances.
Réponse attendue : 16
Indices, dans l’ordre
- Pour séances, écris le prix et le prix
- Résous l'inéquation :
- Le nombre de séances est un entier : prends le premier entier qui convient.
Correction
- Les prix —
- L'inéquation —
- Un nombre entier — Pour séances, les deux prix valent dinars ; la formule B gagne dès la séance suivante.
À partir de séances. On résout puis on prend le premier entier strictement au-delà de
Pièges anticipés
15→ Pour séances les deux formules coûtent autant ( dinars) : B n'est pas encore strictement moins chère.
Exercice 37 · pratique
Deux forfaits téléphoniques
Un opérateur A facture dinars par mois plus dinar par minute d'appel. Un opérateur B facture seulement dinar par minute. Déterminer la durée mensuelle d'appel, en minutes, pour laquelle les deux factures sont égales.
Donne la durée en minutes.
Réponse attendue : 120
Indices, dans l’ordre
- Pour minutes : et
- Écris puis regroupe les termes en
- Il reste
Correction
- Les prix —
- Égalité —
- Vérifier —
minutes : en dessous, B est moins cher ; au-delà, c'est A. On égale les deux prix et l'on résout.
Pièges anticipés
48→ ne tient pas compte des dinar par minute de A : c'est la différence des prix par minute, qui compense le forfait.80→ ne compare pas les deux tarifs : écris
Exercice 38 · defi
Trois tarifs pour imprimer
Une imprimerie propose trois tarifs. Tarif A : dinar la page. Tarif B : dinars de forfait plus dinar la page. Tarif C : dinars de forfait plus dinar la page. Déterminer le plus grand nombre de pages pour lequel le tarif B est strictement le moins cher des trois.
Donne le nombre de pages.
Réponse attendue : 1333
Indices, dans l’ordre
- Pour pages, B doit battre A et battre C : deux inéquations.
- B moins cher que C :
- Garde les qui vérifient les deux conditions, puis le plus grand entier.
Correction
- B contre A —
- B contre C —
- Les deux à la fois —
- Le plus grand entier —
pages. Pour être le moins cher des trois, un tarif doit gagner chaque comparaison : on résout les deux inéquations et on garde la partie commune.
Pièges anticipés
1334→ Pour pages, : C est déjà moins cher. On garde l'entier en dessous de500→ est le seuil entre A et B : en dessous de pages, A est moins cher. La question demande la limite du côté de C.
Exercice 39 · base
Diviser par un négatif
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]-inf;-2] — aussi acceptées : ]-∞;-2] · ]-inf,-2]
Indices, dans l’ordre
- Retranche aux deux membres.
- Tu obtiens : par quel nombre divises-tu, et quel est son signe ?
Correction
- Retrancher 3 —
- Diviser par −2 — On divise par qui est négatif : le sens change.
Diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
Pièges anticipés
[-2;+inf[→ Tu as divisé par sans changer le sens : diviser par un nombre négatif retourne l'inégalité.
Exercice 40 · pratique
Une inéquation avec des fractions
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]-15;+inf[ — aussi acceptées : ]-15;+∞[ · ]-15,+inf[
Indices, dans l’ordre
- Multiplie les deux membres par positif : le sens ne change pas.
- Attention au signe moins devant la deuxième fraction :
- Tu obtiens : divise par
Correction
- Multiplier par 12 —
- Développer —
- Diviser par −1 — Le sens change.
On chasse les dénominateurs avec un multiple commun positif, et le moins devant une fraction porte sur tout son numérateur.
Pièges anticipés
]-inf;-15[→ donne : diviser par change le sens.]-11;+inf[→ Le moins devant porte sur tout le numérateur :
Exercice 41 · raisonnement
La note du troisième devoir
Une élève a obtenu et à deux devoirs de coefficient Le troisième devoir a le coefficient Déterminer la note minimale qu'elle doit obtenir au troisième devoir pour que sa moyenne soit au moins égale à
Donne la note minimale.
Réponse attendue : 29/2 — aussi acceptées : 14.5
Indices, dans l’ordre
- Avec les coefficients et la moyenne se calcule sur :
- Écris que cette moyenne est supérieure ou égale à puis multiplie par
Correction
- L'inéquation —
- Multiplier par 4 —
- Vérifier —
Il lui faut au moins Une moyenne pondérée divise par la somme des coefficients.
Pièges anticipés
17→ Le troisième devoir compte double : la moyenne est pas8.5→ Avec le coefficient on divise par pas par
Exercice 42 · pratique
Un segment de centre 1/2
Sur une droite graduée, a pour abscisse Déterminer l'ensemble des réels tels que
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]-2;3[ — aussi acceptées : ]-2,3[
Indices, dans l’ordre
- est la distance de au point d'abscisse
- On cherche les points à moins de de ce centre :
Correction
- Lire une distance — Le centre est le point d'abscisse le « rayon »
- Ajouter 1/2 —
: l'intervalle ouvert de centre et de rayon
Pièges anticipés
[-2;3]→ L'inégalité est stricte : les bornes et à la distance exactement ne conviennent pas.]-3;2[→ est la distance au point d'abscisse pas
Exercice 43 · raisonnement
Deux fois plus loin
Sur une droite graduée, et ont pour abscisses et et a pour abscisse Déterminer les abscisses des points tels que
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {3;11}
Indices, dans l’ordre
- Traduis les distances : et
- : deux nombres de même valeur absolue sont égaux ou opposés.
- Résous puis
Correction
- Les distances —
- L'équation —
- Égaux —
- Opposés —
- Vérifier — Pour : Pour :
ou : un point entre et un autre au-delà de Avec on n'oublie jamais le cas « opposés ».
Pièges anticipés
{11} / {3}→ Deux nombres de même valeur absolue sont égaux ou opposés : il y a deux points
Exercice 44 · defi
Une somme de deux distances
Sur une droite graduée, a pour abscisse Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {0;6}
Indices, dans l’ordre
- est la somme des distances de aux points d'abscisses et
- Si est entre et la somme vaut toujours Où doit-il donc être ?
- Pour les deux valeurs absolues s'enlèvent sans changer de signe :
Correction
- Entre 1 et 5 — Pour la somme des distances est la longueur du segment.
- À droite de 5 —
- À gauche de 1 —
- Conclure —
: deux points symétriques par rapport au milieu On découpe la droite selon les points où chaque valeur absolue change d'écriture.
Pièges anticipés
{6} / {0}→ La situation est symétrique par rapport au point d'abscisse : regarde aussi à gauche de
Exercice 45 · base
Une valeur absolue égale à 9
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {-1;5}
Indices, dans l’ordre
- : le nombre vaut ou
- Résous les deux équations du premier degré.
Correction
- Deux cas —
- Résoudre —
avec donne deux équations : ou
Pièges anticipés
{5}→ Une valeur absolue égale à : le nombre vaut ou Il manque une solution.
Exercice 46 · base
Une valeur absolue négative ?
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions ; « ∅ » ou « pas de solution » s'il est vide.
Réponse attendue : ∅
Indices, dans l’ordre
- Quel est le signe d'une valeur absolue ?
- Une valeur absolue peut-elle être égale à ?
Correction
- Le signe — Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
- Conclure —
Avant d'écrire deux cas, on regarde le signe du second membre : avec n'a pas de solution.
Pièges anticipés
{-2;-5}→ Tu as résolu ou : mais l'équation demande une valeur absolue égale à ce qui est impossible.
Exercice 47 · pratique
Deux valeurs absolues égales
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {-3;1/2} — aussi acceptées : {-3;0.5}
Indices, dans l’ordre
- Deux nombres de même valeur absolue sont égaux ou opposés.
- Résous puis
Correction
- Égaux —
- Opposés —
- Vérifier —
ou
Pièges anticipés
{-3} / {1/2}→ Deux nombres de même valeur absolue peuvent aussi être opposés : il manque un cas.{-3;3/2}→ : le moins porte sur les deux termes.
Exercice 48 · pratique
Au moins à distance 3
Résoudre dans l'inéquation
Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;1]U[2;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;1]U[4;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;1]U[4;+inf[ · ]-∞;1]U[4;+∞[ · ]-inf;1]∪[4;+inf[ · ]-∞;1]∪[4;+∞[ · x<=1 ou x>=4 · x≤1 ou x≥4 · [4;+inf[U]-inf;1] · [4;+∞[∪]-∞;1]
Indices, dans l’ordre
- : un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.
- : ou
- Résous puis
Correction
- Retourner le signe —
- Deux inéquations —
- Réunir —
: donne l'extérieur de l'intervalle, bornes comprises.
Pièges anticipés
[1;4] / ]1;4[→ : on garde les nombres loin de à l'extérieur, pas ceux de l'intérieur.
Exercice 49 · pratique
Un quotient égal à 4
Résoudre dans l'équation
Donne la solution x.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Écris d'abord la valeur interdite : le dénominateur ne doit pas être nul.
- Pour multiplie les deux membres par :
- Vérifie que la solution trouvée n'est pas la valeur interdite.
Correction
- Valeur interdite —
- Chasser le dénominateur —
- Vérifier — et :
Valeur interdite d'abord, puis produit en croix, puis vérification.
Pièges anticipés
3→ Tout le dénominateur est multiplié par : pas
Exercice 50 · pratique
Deux quotients égaux
Résoudre dans l'équation
Donne la solution x, sous forme de fraction irréductible.
Réponse attendue : -7/11
Indices, dans l’ordre
- Valeurs interdites : et
- Produit en croix :
- Développe : les disparaissent.
Correction
- Valeurs interdites —
- Produit en croix —
- Développer —
- Conclure — n'est pas une valeur interdite.
Après le produit en croix, on développe avant de parler de degré : ici les carrés s'éliminent.
Pièges anticipés
7/11→ donne : le signe compte.-0.64 / -0.63 / -0.6→ On demande la valeur exacte :
Exercice 51 · raisonnement
Une solution interdite
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions ; « ∅ » ou « pas de solution » s'il est vide.
Réponse attendue : ∅
Indices, dans l’ordre
- Quelle est la valeur interdite ?
- Pour les dénominateurs sont égaux : il reste
- La valeur trouvée est-elle permise ?
Correction
- Valeur interdite —
- Les numérateurs —
- Écarter — est la valeur interdite : les deux quotients n'existent pas pour
Une solution de l'équation « sans dénominateur » qui est une valeur interdite s'écarte.
Pièges anticipés
{1} / 1→ Pour le dénominateur est nul : les quotients n'existent pas. Cette valeur est interdite.
Exercice 52 · raisonnement
Deux robinets
Un robinet A remplit seul un bassin en heures. Avec un second robinet B ouvert en même temps, le bassin se remplit en heures. Déterminer le temps, en heures, que mettrait B pour remplir seul le bassin.
Donne le temps en heures, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- En une heure, A remplit du bassin. Si B le remplit seul en heures, il en remplit par heure.
- Ensemble, ils remplissent du bassin par heure :
- Isole
Correction
- Par heure —
- Isoler —
- Conclure —
B seul met heures. Dans un problème de débits, ce sont les fractions remplies par heure qui s'ajoutent, pas les durées.
Pièges anticipés
2→ Les durées ne se soustraient pas : ce sont les débits et (fractions du bassin par heure) qui s'additionnent.10→ Avec deux robinets, on va plus vite : B seul met plus de heures, mais on ne l'obtient pas en ajoutant les durées.
Exercice 53 · base
Une racine égale à 3
Résoudre dans l'équation
Donne la solution x.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- La racine est définie pour
- :
Correction
- La condition —
- Élever au carré —
- Vérifier —
avec équivaut à
Pièges anticipés
2→ Pour enlever la racine, on élève au carré : pas
Exercice 54 · raisonnement
Comparer deux racines
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : [1;4] — aussi acceptées : [1,4]
Indices, dans l’ordre
- Les deux racines doivent être définies : et
- Deux nombres positifs se rangent comme leurs carrés :
- Garde les qui vérifient les conditions et l'inéquation.
Correction
- Les conditions —
- Comparer les carrés —
- Partie commune —
On écrit les conditions d'existence, on compare les carrés, puis on prend la partie commune.
Pièges anticipés
[1;+inf[→ Pour n'existe pas : il faut garder la condition
Exercice 55 · raisonnement
Où la racine existe
Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels l'expression est définie.
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : [-3;7] — aussi acceptées : [-3,7]
Indices, dans l’ordre
- Une racine carrée est définie quand le nombre sous la racine est positif ou nul.
- : une distance au point d'abscisse
Correction
- La condition —
- Une distance — Les points à au plus du point d'abscisse
- Conclure —
L'expression est définie sur : la condition d'une racine devient ici une inéquation avec une valeur absolue.
Pièges anticipés
]-3;7[→ Pour ou on a : la racine existe, les bornes sont comprises.[-7;3]→ est la distance au point d'abscisse : le centre est pas
Exercice 56 · defi
Une somme de deux racines
Résoudre dans l'équation
Donne la solution x.
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Conditions : Élève au carré les deux membres (ils sont positifs).
- : isole la racine qui reste.
- Élève encore au carré, en exigeant : les s'éliminent.
Correction
- Conditions —
- Premier carré —
- Second carré — Avec :
- Vérifier —
Le carré d'une somme a un double produit : on isole la racine restante, on élève encore au carré, et l'on vérifie.
Pièges anticipés
12→ : il manque le double produit D'ailleurs
Exercice 57 · base
Factoriser par x
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {0;4}
Indices, dans l’ordre
- Il n'y a pas de terme constant : mets en facteur.
- Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul.
Correction
- Factoriser —
- Produit nul —
Quand on factorise par ; on ne divise jamais par
Pièges anticipés
{4}→ En divisant par tu as perdu la solution : on factorise.
Exercice 58 · raisonnement
Un carré dont l'aire quadruple
Quand on augmente de cm le côté d'un carré, son aire est multipliée par Déterminer le côté du carré de départ, en cm.
Donne le côté en cm.
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Appelle le côté (en cm, ) : la nouvelle aire est
- L'équation :
- : deux carrés égaux, et des nombres positifs.
Correction
- Traduire —
- Des longueurs positives — et sont positifs : leurs carrés sont égaux si et seulement s'ils sont égaux.
- Vérifier —
Le carré mesure cm de côté. On aurait aussi pu développer : a pour racines et et une longueur est positive.
Pièges anticipés
4/sqrt(3) / 4*sqrt(3)/3→ : il manque le double produit-4/3→ est bien une racine de l'équation, mais une longueur est positive.
Exercice 59 · defi
Deux robinets, une équation du second degré
Deux robinets ouverts ensemble remplissent un bassin en heures. Seul, le robinet A met heures de moins que le robinet B. Déterminer le temps, en heures, que met B seul pour remplir le bassin.
Donne le temps en heures, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- Si B met heures, A met heures (donc ). Additionne les fractions remplies en une heure.
- L'équation :
- Multiplie par : tu obtiens une équation du second degré. Garde la racine qui respecte
Correction
- Par heure —
- Chasser les dénominateurs —
- Résoudre —
- Choisir — donnerait à A un temps négatif ; on garde et A met heures.
B seul met heures. Le problème mène à une équation du second degré : on vérifie chaque racine contre les conditions du problème.
Pièges anticipés
2→ Avec A mettrait heures : cette racine ne convient pas au problème.10→ heures, c'est le temps de A. La question porte sur B, qui met heures de plus.
Exercice 60 · base
Le début d'un carré
On écrit sous la forme Déterminer le réel
Donne la valeur de q.
Réponse attendue : -13
Indices, dans l’ordre
- La moitié de est : développe
- : ajoute ensuite
Correction
- Le début du carré —
- Ajouter 3 —
(et ) : on prend la moitié du coefficient de et l'on retranche son carré.
Pièges anticipés
-5→ Tu as retranché : c'est le carré de soit qu'il faut retrancher.19→ : il y a de trop, on le retranche.
Exercice 61 · pratique
Mettre a en facteur
On écrit sous la forme Déterminer le réel en valeur exacte.
Donne la valeur de q.
Réponse attendue : -11/2 — aussi acceptées : -5.5
Indices, dans l’ordre
- Mets en facteur :
Correction
- Mettre 2 en facteur —
- Le début du carré —
- Réduire —
et On met d'abord en facteur — y compris devant le terme constant.
Pièges anticipés
-2→ En mettant en facteur, le terme constant devient pas
Exercice 62 · base
Calculer un discriminant
Calculer le discriminant de l'équation
Donne la valeur de Δ.
Réponse attendue : 49
Indices, dans l’ordre
- avec
- Garde le signe de :
Correction
- Les coefficients —
- Le discriminant —
On remplace et avec leurs signes.
Pièges anticipés
1→ est négatif :
Exercice 63 · raisonnement
Une valeur maximale
Soit En écrivant sous forme canonique, déterminer la plus grande valeur que peut prendre en valeur exacte.
Donne la valeur maximale.
Réponse attendue : 11/2 — aussi acceptées : 5.5
Indices, dans l’ordre
- Mets en facteur, puis
- Tu dois trouver :
- est négatif ou nul : quand est-il nul ?
Correction
- Mettre −2 en facteur —
- Le début du carré —
- Le maximum — Le carré est nul pour positif sinon.
Le maximum vaut atteint pour : avec la forme canonique est la plus grande quand le carré est nul.
Pièges anticipés
3/2→ est la valeur de où le maximum est atteint ; la question demande la valeur de1→ mais est plus grand : regarde la forme canonique.
Exercice 64 · base
À la manière d'Al-Khawarizmi
Utiliser la méthode d'Al-Khawarizmi pour trouver la solution positive de l'équation
Donne la solution positive.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Borde le carré de côté de deux rectangles de côtés et : il manque un petit carré de côté
- La figure donne :
Correction
- La figure —
- L'équation —
- La solution positive — est positif.
Compléter le carré, c'est ajouter le petit carré de côté la moitié du coefficient de
Pièges anticipés
-8→ vérifie bien l'équation, mais on demande la solution positive.5→ est le côté du grand carré : il reste à retrancher
Exercice 65 · pratique
Le grand carré
Pour résoudre on borde un carré de côté de deux rectangles de côtés et puis on complète la figure par un petit carré pour obtenir un grand carré de côté Calculer l'aire du grand carré, sans écrire l'unité.
Donne l'aire du grand carré.
Réponse attendue : 100
Indices, dans l’ordre
- La partie colorée (le carré et les deux rectangles) a pour aire c'est-à-dire
- Le grand carré, c'est la partie colorée plus le petit carré de côté
Correction
- La partie colorée —
- Ajouter le petit carré —
- La solution — On en déduit soit
Le grand carré a pour aire donc pour côté et L'aire du grand carré, c'est le second membre plus le petit carré.
Pièges anticipés
51→ est l'aire de la partie colorée seulement ; il faut lui ajouter le petit carré de côté65→ Le petit carré a pour côté donc pour aire pas
Exercice 66 · raisonnement
Des rectangles de largeur 3/2
Utiliser la méthode d'Al-Khawarizmi pour trouver la solution positive de l'équation
Donne la solution positive.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Les deux rectangles ont pour côtés et : le petit carré a pour côté
- La figure donne :
Correction
- La figure —
- L'équation —
- La solution positive —
Même avec un coefficient impair, chaque rectangle a pour largeur la moitié du coefficient de
Pièges anticipés
-5→ vérifie l'équation, mais Al-Khawarizmi ne cherchait que la solution positive.sqrt(19)-3→ Chaque rectangle a pour largeur pas : le petit carré a pour aire
Exercice 67 · pratique
Avec la formule des racines
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {-2;1/2} — aussi acceptées : {-2;0.5}
Indices, dans l’ordre
- Calcule
- : deux racines
- Le dénominateur est
Correction
- Le discriminant —
- Les racines —
: deux racines,
Pièges anticipés
{2;-1/2}→ Le numérateur commence par pas par{-4;1}→ On divise par pas par
Exercice 68 · pratique
Des racines irrationnelles
Résoudre dans l'équation Donner les valeurs exactes.
Écris l'ensemble, par exemple « {(1-√5)/2;(1+√5)/2} ».
Réponse attendue : {(2-√10)/3;(2+√10)/3} — aussi acceptées : {(2-sqrt(10))/3;(2+sqrt(10))/3} · {(2-√(10))/3;(2+√(10))/3} · (2±√10)/3 · {(4-2√10)/6;(4+2√10)/6} · {2/3-√10/3;2/3+√10/3}
Indices, dans l’ordre
- et
- Simplifie par
Correction
- Le discriminant —
- Les racines —
- Conclure —
Deux racines irrationnelles : on simplifie puis la fraction.
Pièges anticipés
{(-2-√10)/3;(-2+√10)/3}→ Le numérateur commence par : les racines sont{-0.39;1.72} / {-0.4;1.7}→ On demande les valeurs exactes : garde
Exercice 69 · raisonnement
Une seule racine
Déterminer le réel pour lequel l'équation admet une seule racine.
Donne la valeur de m.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Une seule racine : le discriminant est nul.
Correction
- Le discriminant —
- Une seule racine —
- Vérifier — La racine est
: l'équation devient Une seule racine
Pièges anticipés
36→ s'annule pour : il faut diviser par-9→ donne : est positif.
Exercice 70 · raisonnement
L'enclos contre le mur
Un éleveur dispose de m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur : le grillage ne couvre que trois côtés, deux largeurs et une longueur. Déterminer l'aire maximale de l'enclos, sans écrire l'unité.
Donne l'aire maximale.
Réponse attendue : 450
Indices, dans l’ordre
- La longueur vaut donc l'aire vaut avec
- Forme canonique :
- Le carré est nul pour
Correction
- L'aire —
- Forme canonique —
- Le maximum — Pour m, la longueur vaut m.
L'aire maximale est m², pour un enclos de m sur m. La forme canonique avec donne le maximum
Pièges anticipés
225→ Le mur sert de quatrième côté : le grillage ne fait que trois côtés, la longueur vaut15→ m est la largeur qui donne le maximum ; on demande l'aire.
Exercice 71 · defi
La recette maximale
Un commerçant vend articles par jour au prix de dinars. Il constate que chaque baisse de dinar du prix lui fait vendre articles de plus. Déterminer sa recette journalière maximale, en dinars.
Donne la recette maximale en dinars.
Réponse attendue : 1225
Indices, dans l’ordre
- Après baisses, le prix est et il vend articles.
- La recette :
- Écris sous forme canonique.
Correction
- La recette —
- Forme canonique —
- Le maximum — Pour : prix dinars, articles.
La recette maximale est dinars, au prix de dinars. On exprime la grandeur en fonction d'une seule inconnue, puis on lit le maximum sur la forme canonique.
Pièges anticipés
1000→ dinars est la recette sans baisse ; en baissant un peu le prix, il vend davantage et gagne plus.3.5→ dinars est le meilleur prix ; la question demande la recette.
Exercice 72 · base
Calculer Δ'
Calculer le discriminant réduit de l'équation
Donne la valeur de Δ'.
Réponse attendue : 19
Indices, dans l’ordre
- est pair :
Correction
- b prime —
- Le discriminant réduit —
(et ). Avec on retranche sans le facteur
Pièges anticipés
76→ est ; le discriminant réduit est31→ : on retranche
Exercice 73 · pratique
Deux racines avec Δ'
Résoudre dans l'équation à l'aide du discriminant réduit.
Écris l'ensemble, par exemple « {1-√2;1+√2} ».
Réponse attendue : {-2-√5;-2+√5} — aussi acceptées : {-2-sqrt(5);-2+sqrt(5)} · {-2-√(5);-2+√(5)} · -2±√5 · {-2±√5}
Indices, dans l’ordre
- puis
- : on divise par pas par
Correction
- b prime —
- Les racines —
Avec :
Pièges anticipés
{2-√5;2+√5}→ Le numérateur commence par{(-2-√5)/2;(-2+√5)/2}→ Avec le discriminant réduit, on divise par pas par
Exercice 74 · pratique
Un coefficient en racine
Résoudre dans l'équation à l'aide du discriminant réduit.
Écris l'ensemble, par exemple « {-√3;2√3} ».
Réponse attendue : {-√2;3√2} — aussi acceptées : {-sqrt(2);3sqrt(2)} · {-sqrt(2);3*sqrt(2)} · {-√(2);3√(2)}
Indices, dans l’ordre
- donc
Correction
- b prime —
- Les racines —
Le discriminant réduit est commode dès que s'écrit même avec une racine.
Pièges anticipés
{-√2/2;3√2/2}→ Avec on divise par pas par{√2;-3√2}→ : les racines sont
Exercice 75 · base
Le produit des racines
L'équation admet deux racines et Sans les calculer, déterminer le produit en valeur exacte.
Donne la valeur de P.
Réponse attendue : -5/4 — aussi acceptées : -1.25
Indices, dans l’ordre
- Le produit des racines vaut
- Ici et
Correction
- Deux racines — et sont de signes contraires, donc
- Le produit —
(et ). Le produit est la somme
Pièges anticipés
5/4→ : le produit est négatif.2→ est la somme ; le produit est
Exercice 76 · defi
La somme des cubes
L'équation admet deux racines et Sans les calculer, déterminer
Donne la valeur de x₁³ + x₂³.
Réponse attendue : 280
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord et
- Développe :
- Donc
Correction
- Deux racines —
- Somme et produit —
- Le cube de la somme —
- Conclure —
Une expression symétrique des racines s'écrit avec et seulement.
Pièges anticipés
322→ contient : le facteur compte.343→ : il faut retrancher
Exercice 77 · raisonnement
Le paramètre, puis l'autre racine
On sait que est une racine de l'équation où est un réel. Déterminer l'autre racine
Donne x₂, l'autre racine.
Réponse attendue : 3
Indices, dans l’ordre
- Le produit des racines vaut quel que soit
Correction
- Le produit —
- Le paramètre — La somme donne :
- Vérifier —
L'autre racine est (et ). Le produit ne dépend pas de : il donne l'autre racine directement.
Pièges anticipés
-3→ donne : le produit de deux nombres négatifs serait positif.-1→ est la valeur de ; la question demande l'autre racine.
Exercice 78 · base
a + b + c = 0
Résoudre dans sans calculer le discriminant, l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {-1;2} ».
Réponse attendue : {-2/5;1} — aussi acceptées : {-0.4;1}
Indices, dans l’ordre
- Calcule
- Si alors est racine et l'autre racine est
Correction
- Racine évidente —
- L'autre racine —
On teste et avant tout calcul.
Pièges anticipés
{2/5;1}→ L'autre racine est : est négatif.
Exercice 79 · raisonnement
Une racine évidente avec √2
Résoudre dans l'équation Donner les valeurs exactes, sans racine au dénominateur.
Écris l'ensemble, par exemple « {-√3/3;1} ».
Réponse attendue : {-√2/2;1} — aussi acceptées : {-sqrt(2)/2;1} · {-√(2)/2;1}
Indices, dans l’ordre
- Calcule avec
- L'autre racine est : rends le dénominateur rationnel.
Correction
- Racine évidente —
- L'autre racine —
La règle marche aussi avec des coefficients irrationnels.
Pièges anticipés
{√2/2;1}→ et : l'autre racine est négative.
Exercice 80 · defi
Une racine pour tout m
Pour un réel on considère l'équation Vérifier que en est une racine quel que soit puis déterminer pour que l'autre racine soit égale à
Donne la valeur de m.
Réponse attendue : -7/2 — aussi acceptées : -3.5
Indices, dans l’ordre
- Calcule : les s'éliminent.
- L'autre racine vaut
- Résous avec
Correction
- Racine évidente —
- L'autre racine —
- L'équation en m —
- Vérifier — Pour :
Une racine évidente « pour tout » se repère avec ; l'autre racine se lit ensuite sur
Pièges anticipés
5/2→ L'autre racine est pas
Exercice 81 · base
Somme 13, produit 40
Déterminer deux réels dont la somme vaut et le produit
Écris les deux nombres, par exemple « {2;7} ».
Réponse attendue : {5;8}
Indices, dans l’ordre
- Ces deux nombres sont les racines de
- L'équation :
Correction
- L'équation —
- Les racines —
- Vérifier —
Les deux nombres sont et Somme et produit : on résout
Pièges anticipés
{-5;-8}→ L'équation est avec un moins devant : et ont pour somme
Exercice 82 · defi
Périmètre et diagonale
Un rectangle a pour périmètre cm et sa diagonale mesure cm. Déterminer sa longueur, en cm.
Donne la longueur en cm.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Avec et ses dimensions : et, par Pythagore,
- : déduis-en le produit
- et sont les racines de
Correction
- Somme —
- Pythagore —
- Produit —
- L'équation —
- Les dimensions —
Le rectangle mesure cm sur cm. Une somme et une somme de carrés donnent le produit :
Pièges anticipés
5→ cm est la largeur ; la longueur est la plus grande dimension.
Exercice 83 · raisonnement
Le plus grand produit possible
Déterminer le plus grand réel pour lequel il existe deux réels de somme et de produit
Donne la valeur de P.
Réponse attendue : 25
Indices, dans l’ordre
- Les deux réels sont les racines de
- Ils existent si et seulement si le discriminant est positif ou nul.
Correction
- L'équation —
- Existence —
- Le cas limite — Pour les deux nombres sont égaux.
atteint pour et Deux nombres de somme et de produit existent si et seulement si
Pièges anticipés
100→ : il faut diviser par50→ Le discriminant est avec un : donne
Exercice 84 · pratique
Une bicarrée à quatre racines
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble, par exemple « {-5;-1;1;5} ».
Réponse attendue : {-3;-2;2;3}
Indices, dans l’ordre
- Pose avec : tu obtiens
- Deux nombres de somme et de produit
- Reviens à : chaque valeur positive de donne deux valeurs de
Correction
- Poser X = x² —
- Les valeurs de X — Toutes deux positives.
- Revenir à x —
Une bicarrée se résout en puis on revient à
Pièges anticipés
{4;9}→ Ce sont les valeurs de : il reste à revenir à{2;3}→ a deux solutions, et : il en manque.
Exercice 85 · raisonnement
Des quotients et une valeur interdite
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble des solutions, par exemple « {2} ».
Réponse attendue : {0}
Indices, dans l’ordre
- Valeurs interdites : et
- Multiplie par :
- Compare les solutions aux valeurs interdites.
Correction
- Valeurs interdites —
- Même dénominateur —
- Factoriser —
- Écarter — est interdite.
On garde seulement les solutions qui ne sont pas des valeurs interdites.
Pièges anticipés
{0;3}→ Pour le dénominateur est nul : cette valeur est interdite.
Exercice 86 · defi
Un changement de variable
Résoudre dans l'équation
Écris l'ensemble, par exemple « {-2;0;4} ».
Réponse attendue : {-1;1;3}
Indices, dans l’ordre
- Pose : tu obtiens
- : ou
- Résous ensuite et
Correction
- Poser X —
- Les valeurs de X —
- X = 3 —
- X = −1 —
- Conclure —
Ici peut être négatif : chaque valeur de redonne une équation en à résoudre.
Pièges anticipés
{-1;3}→ Il manque l'équation soit : elle donne
Exercice 87 · base
Factoriser avec somme et produit
Factoriser
Donne A(x) sous forme d'un produit de facteurs.
Réponse attendue : (x-7)*(x+2)
Indices, dans l’ordre
- Cherche deux racines de somme et de produit
- ici avec
Correction
- Les racines — Somme produit : ce sont et
- Factoriser —
On trouve les racines, puis
Pièges anticipés
(x+7)*(x-2)→ Les racines sont et : le facteur est et
Exercice 88 · pratique
Sans oublier a
Factoriser
Donne B(x) sous forme d'un produit de facteurs.
Réponse attendue : (2x-1)*(x-3) — aussi acceptées : 2*(x-1/2)*(x-3)
Indices, dans l’ordre
- Les racines sont et ; n'oublie pas le coefficient devant.
Correction
- Les racines —
- Factoriser —
Le coefficient reste devant :
Pièges anticipés
(x-1/2)*(x-3)→ Il manque le coefficient : en développant, tu trouverais pas
Exercice 89 · pratique
Un discriminant nul
Factoriser
Donne C(x) sous forme d'un produit de facteurs.
Réponse attendue : (5x+2)^2 — aussi acceptées : 25*(x+2/5)^2 · (5x+2)*(5x+2)
Indices, dans l’ordre
- Avec :
- : une seule racine et
Correction
- Le discriminant réduit —
- Factoriser —
: une identité remarquable, que permet de reconnaître.
Pièges anticipés
(5x-2)^2→ La racine est : le facteur est d'où
Exercice 90 · base
Toujours du même signe
Soit Déterminer le signe de pour tout réel
Réponds par un mot : positif ou négatif.
Réponse attendue : négatif — aussi acceptées : strictement négatif · toujours négatif · négatif sur r · négatif pour tout x
Indices, dans l’ordre
- Calcule le discriminant.
- Si a partout le signe de
Correction
- Le discriminant —
- Le signe de a —
est négatif pour tout réel : le trinôme a partout le signe de
Pièges anticipés
positif / strictement positif / toujours positif→ Le signe se lit sur quand ; ici le confirme.
Exercice 91 · raisonnement
Retrouver a
Un trinôme s'annule pour et pour et Déterminer le réel
Donne la valeur de a.
Réponse attendue : -2
Indices, dans l’ordre
- Avec ses deux racines,
- Remplace par
Correction
- Factoriser —
- La condition —
- Le signe — : est positif entre et négatif à l'extérieur.
Les racines donnent la forme ; une valeur de plus fixe
Pièges anticipés
2→ : donne
Exercice 92 · raisonnement
Compter des entiers
Déterminer le nombre d'entiers relatifs qui vérifient
Donne le nombre d'entiers.
Réponse attendue : 9
Indices, dans l’ordre
- Cherche les racines : somme produit
- : le trinôme est négatif entre les racines, bornes exclues.
Correction
- Les racines —
- Le signe —
- Compter — Les entiers de à
entiers : . Les racines sont exclues car l'inégalité est stricte.
Pièges anticipés
11→ Pour ou le trinôme vaut qui n'est pas : les bornes sont exclues.10→ De à l'écart est ; mais on compte les entiers strictement entre les deux, de à
Exercice 93 · defi
Positif pour tout x
Déterminer l'ensemble des réels pour lesquels pour tout réel
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]-4;4[ — aussi acceptées : ]-4,4[
Indices, dans l’ordre
- : le trinôme est strictement positif partout si et seulement s'il n'a pas de racine.
- : c'est une inéquation du second degré en .
- est négatif entre ses racines et
Correction
- Pas de racine — Si le trinôme s'annule une fois : il n'est pas strictement positif partout.
- Résoudre en m —
« Du signe de partout, sans s'annuler »
Pièges anticipés
[-4;4]→ Pour s'annule en : il n'est pas strictement positif partout.]-inf;-4[U]4;+inf[→ C'est pour ces que : le trinôme a alors deux racines et devient négatif entre elles.
Exercice 94 · base
Négatif entre les racines
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]-3;2[ — aussi acceptées : ]-3,2[
Indices, dans l’ordre
- Les racines : somme produit
- : le trinôme est négatif entre les racines.
Correction
- Les racines —
- Le signe —
Avec on prend l'intervalle entre les racines, ouvert pour
Pièges anticipés
]-inf;-3[U]2;+inf[→ Avec le trinôme est négatif entre les racines, positif à l'extérieur.[-3;2]→ L'inégalité est stricte : en et en le trinôme vaut qui n'est pas
Exercice 95 · pratique
Avec a négatif
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : [-1/2;2] — aussi acceptées : [-0.5;2] · [-0,5;2]
Indices, dans l’ordre
- : deux racines.
- : le trinôme est positif entre les racines.
Correction
- Les racines —
- Le signe — Signe de donc positif, entre les racines ; nul aux racines.
Avec le trinôme est positif entre les racines.
Pièges anticipés
]-inf;-1/2]U[2;+inf[→ Avec le trinôme est négatif à l'extérieur des racines : c'est entre elles qu'il est positif.
Exercice 96 · raisonnement
Tout dans un membre
Résoudre dans l'inéquation
Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;1]U[2;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;1[U]5/2;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;1[U]5/2;+inf[ · ]-∞;1[U]5/2;+∞[ · ]-inf;1[∪]5/2;+inf[ · ]-∞;1[∪]5/2;+∞[ · ]-inf;1[U]2.5;+inf[ · ]-∞;1[U]2.5;+∞[ · ]-inf;1[∪]2.5;+inf[ · ]-∞;1[∪]2.5;+∞[ · ]-inf;1[U]2,5;+inf[ · ]-∞;1[U]2,5;+∞[ · ]-inf;1[∪]2,5;+inf[ · ]-∞;1[∪]2,5;+∞[ · x<1 ou x>5/2 · x<1 ou x>2,5 · x<1 ou x>2.5 · ]5/2;+inf[U]-inf;1[ · ]5/2;+∞[∪]-∞;1[
Indices, dans l’ordre
- Développe et ramène tout dans le premier membre.
- Tu obtiens : calcule
- Les racines sont et ; : positif à l'extérieur.
Correction
- Un seul membre —
- Les racines —
- Le signe — : positif à l'extérieur des racines.
On ramène tout dans un membre, on cherche les racines, puis on lit le signe : ici l'extérieur, bornes exclues.
Pièges anticipés
]1;5/2[→ : le trinôme est négatif entre les racines ; l'inéquation demande l'extérieur.
Exercice 97 · pratique
Un quotient négatif
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]-1;3] — aussi acceptées : ]-1,3]
Indices, dans l’ordre
- Le numérateur s'annule en le dénominateur en : valeur interdite.
- Dresse le tableau de signes : une ligne par facteur.
- La valeur interdite est toujours exclue ; convient car l'inégalité est large.
Correction
- Les racines —
- Le tableau —
- Conclure —
Dans un quotient, la racine du dénominateur est exclue, même pour
Pièges anticipés
[-1;3]→ Pour le dénominateur est nul : le quotient n'existe pas. Le crochet est ouvert en]-1;3[→ Pour le quotient vaut et : est solution.
Exercice 98 · pratique
Un produit de trois facteurs
Résoudre dans l'inéquation
Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;1]U[2;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;-2[U]1;3[ — aussi acceptées : ]-inf;-2[U]1;3[ · ]-∞;-2[U]1;3[ · ]-inf;-2[∪]1;3[ · ]-∞;-2[∪]1;3[ · x<-2 ou 1<x<3 · ]1;3[U]-inf;-2[ · ]1;3[∪]-∞;-2[
Indices, dans l’ordre
- Racines : pour le premier facteur ; et pour le trinôme ().
- Le trinôme () est négatif entre et positif ailleurs.
- Règle des signes, colonne par colonne :
Correction
- Les racines —
- Le tableau —
- Conclure —
Un tableau de signes : une ligne par facteur, toutes les racines rangées, puis la règle des signes.
Pièges anticipés
]-2;1[U]3;+inf[→ Tu as pris les colonnes où le produit est positif : l'inéquation demande
Exercice 99 · raisonnement
Ne pas multiplier en croix
Résoudre dans l'inéquation
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]1;5] — aussi acceptées : ]1,5]
Indices, dans l’ordre
- On ne connaît pas le signe de : on ne multiplie pas par lui. Passe dans le premier membre.
- Réduis au même dénominateur :
- Étudie le signe du quotient
Correction
- Un seul membre —
- Le tableau — s'annule en en (interdite).
- Conclure —
Pour comparer un quotient à un nombre, on ramène tout à un seul quotient comparé à .
Pièges anticipés
]-inf;5]→ En multipliant par tu as supposé ce facteur positif : pour le sens change. Ramène tout à un quotient comparé à[1;5]→ Pour le dénominateur est nul : est exclu.
Exercice 100 · defi
Le signe d'un quotient de trinômes
Résoudre dans l'inéquation
Écris la réunion d'intervalles, par exemple « ]-inf;1]U[2;+inf[ ».
Réponse attendue : ]-inf;-3[U[-1;2]U]3;+inf[ — aussi acceptées : ]-inf;-3[U[-1;2]U]3;+inf[ · ]-∞;-3[U[-1;2]U]3;+∞[ · ]-inf;-3[∪[-1;2]∪]3;+inf[ · ]-∞;-3[∪[-1;2]∪]3;+∞[
Indices, dans l’ordre
- Numérateur : racines et Dénominateur : racines et interdites.
- Range les quatre racines : puis fais le tableau de signes.
- Les racines du numérateur sont solutions () ; celles du dénominateur jamais.
Correction
- Le numérateur — : racines et
- Le dénominateur —
- Le tableau —
- Conclure —
Les racines du numérateur sont incluses pour celles du dénominateur toujours exclues.
Pièges anticipés
]-3;-1]U[2;3[→ Ce sont les colonnes où le quotient est négatif ou nul : l'inéquation demande]-inf;-3]U[-1;2]U[3;+inf[→ Pour le dénominateur est nul : ces valeurs sont interdites.
Exercice 101 · pratique
Un jardin d'au moins 27 m²
Un jardin rectangulaire a pour périmètre m ; on note la longueur, en mètres, de l'un de ses côtés, avec de sorte que le côté voisin mesure Déterminer les valeurs de pour lesquelles l'aire du jardin est supérieure ou égale à m².
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : [3;9] — aussi acceptées : [3,9]
Indices, dans l’ordre
- L'inéquation :
- Ramène tout dans un membre :
- Racines : somme produit
Correction
- L'inéquation —
- Les racines —
- Le signe — : négatif ou nul entre les racines, qui sont bien dans
On traduit, on ramène à puis on croise avec les conditions du problème.
Pièges anticipés
]0;3]U[9;12[→ : avec c'est entre les racines.]3;9[→ L'aire peut être égale à : pour ou les bornes sont comprises.
Exercice 102 · raisonnement
Au-dessus de 40 mètres
Un projectile lancé vers le haut est, à l'instant (en secondes), à la hauteur (en mètres). Déterminer pendant combien de secondes sa hauteur dépasse mètres.
Donne la durée en secondes, sans écrire l'unité.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Résous
- Divise par (le sens change) :
- La durée est la longueur de l'intervalle des solutions.
Correction
- L'inéquation —
- Les racines —
- Le signe —
- La durée —
Pendant secondes, de à On résout l'inéquation, puis on lit la longueur de l'intervalle.
Pièges anticipés
4→ s est l'instant où le projectile redescend sous m ; la durée va de à6→ s est la durée du vol entier () ; on demande le temps passé au-dessus de m.
Exercice 103 · defi
La boîte en carton
Dans une plaque de carton de cm sur cm, on découpe aux quatre coins des carrés de côté cm, puis on relève les bords pour faire une boîte sans couvercle. Déterminer les valeurs de pour lesquelles l'aire du fond de la boîte est supérieure ou égale à cm².
Écris l'intervalle, par exemple « [1;2] ».
Réponse attendue : ]0;2] — aussi acceptées : ]0,2]
Indices, dans l’ordre
- Le fond mesure sur avec
- Développe et divise par :
- Racines : somme produit Croise ensuite avec
Correction
- L'inconnue —
- L'inéquation —
- Les racines —
- Le signe — : positif ou nul à l'extérieur des racines.
- Partie commune —
La solution de l'inéquation se croise avec les conditions du problème : ici est impossible.
Pièges anticipés
]-inf;2]U[14;+inf[→ Une découpe de cm ou une longueur négative n'ont pas de sens : il faut[2;14] / [2;6[→ Avec le trinôme est positif à l'extérieur des racines.
Exercice 104 · defi
Le cadre photo
Une photo de cm sur cm est entourée d'une bordure de largeur constante cm. Déterminer la plus grande largeur en cm, pour laquelle l'aire de la bordure ne dépasse pas l'aire de la photo.
Donne la largeur en cm.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Le cadre entier mesure sur ; l'aire de la bordure est la différence avec la photo.
- L'inéquation :
- Tu obtiens :
Correction
- La bordure —
- L'inéquation —
- Les racines —
- Conclure — Négatif entre les racines, et :
La bordure peut mesurer au plus cm. Les quatre coins de la bordure comptent : c'est le terme
Pièges anticipés
6→ La bordure n'est pas seulement quatre bandes et : il faut ajouter les quatre coins carrés de côté-30→ est une racine du trinôme, mais une largeur est positive.