Relecture — Statistiques — Maths à la carte

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Lyoum bech nfassrou m3a b3adhna chapitre jdid : les statistiques. Bech net3allmou kifech nersmou série, w kifech nlakhssouha b chwaya nombres : le mode, la médiane, les quartiles, la moyenne. W mba3d n9isou 9addech hiya metfarr9a, b la variance w l'écart type. Yalla, nabdew.

عسلامة ! ليوم باش نفسّرو مع بعضنا chapitre جديد : les statistiques . باش نتعلّمو كيفاش نرسمو série ، w كيفاش نلخّصوها بشويّة nombres : le mode ، la médiane ، les quartiles ، la moyenne . w مبعّد نقيسو قدّاش هي متفرّقة ، بـ la variance w l'écart type . يالله ، نبداو .

Bonjour ! Aujourd'hui, on va expliquer ensemble un nouveau chapitre : les statistiques. Nous allons apprendre à représenter une série, et à la résumer par quelques nombres : le mode, la médiane, les quartiles, la moyenne. Ensuite, nous mesurerons sa dispersion, avec la variance et l'écart type. Allez, on commence.

Une enquête, un relevé de températures, la production d'une récolte année après année : la statistique résume une série de données par quelques nombres et quelques dessins.

Ce chapitre apprend à représenter une série, à la situer (mode, médiane, quartiles, moyenne) et à mesurer sa dispersion (étendue, écart interquartile, variance, écart type) — et à se méfier des résumés trop rapides.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

Décrire et représenter une série statistiqueDécrire une série statistique, et la représenter par un diagramme ou un histogramme.Décrire une série statistique, et la représenter par un diagramme ou un histogramme.
Calculer effectifs cumulés, coefficients multiplicateurs et indicesCalculer des effectifs cumulés, des coefficients multiplicateurs et des indices.Calculer des effectifs cumulés, des coefficients multiplicateurs et des indices.
Déterminer mode, médiane et quartiles ; tracer un diagramme en boîteDéterminer le mode, la médiane et les quartiles, et tracer un diagramme en boîte.Déterminer le mode, la médiane et les quartiles, et tracer un diagramme en boîte.
Calculer moyenne, variance et écart type, et utiliser leurs propriétésCalculer une moyenne, une variance et un écart type, et utiliser leurs propriétés.Calculer une moyenne, une variance et un écart type, et utiliser leurs propriétés.
Interpréter un effet de structure et la fluctuation d’échantillonnageInterpréter un effet de structure et la fluctuation d'échantillonnage.Interpréter un effet de structure et la fluctuation d'échantillonnage.

1. Activité

Pour comprendre : deux lycées réunis

Ce qu’il dit

3andna zouz lycéet. Le lycée A fih 450 élèves, menhom 52 % bnet, ya3ni 234 bent. Le lycée B fih 600 élèves, menhom 48 % bnet, ya3ni 288. Ki nlammouhom : 1050 élèves, w 522 bent, ama e-noss houwa 525. Idhan el bnet a9al mel dhkour. 3lech e-tilmidh ghlet ? 5aterou 3mel la moyenne mta3 52 w 48, kif ken e-zouz lycéet 3andhom nafs l'effectif. Bech ykounou b e-noss, yelzem 237 bent fel lycée A.

عندنا زوز ليسيات . الـ lycée A فيه quatre cent cinquante élèves ، منهم cinquante-deux pour cent بنات ، يعني deux cent trente-quatre بنت . الـ lycée B فيه six cents élèves ، منهم quarante-huit pour cent بنات ، يعني deux cent quatre-vingt-huit . كي نلمّوهم : mille cinquante élèves ، w cinq cent vingt-deux بنت ، أما النصّ هو cinq cent vingt-cinq . إذن البنات أقل مالذكور . علاش التلميذ غلط ؟ خاطرو عمل الـ moyenne متاع cinquante-deux w quarante-huit ، كيف كان الزوز ليسيات عندهم نفس الـ effectif . باش يكونو بالنصّ ، يلزم deux cent trente-sept بنت في الـ lycée A .

Nous avons deux lycées. Le lycée A compte quatre cent cinquante élèves, dont cinquante-deux pour cent de filles, soit deux cent trente-quatre filles. Le lycée B compte six cents élèves, dont quarante-huit pour cent de filles, soit deux cent quatre-vingt-huit. Réunis : mille cinquante élèves, et cinq cent vingt-deux filles, alors que la moitié est cinq cent vingt-cinq. Il y a donc moins de filles que de garçons. Pourquoi l'élève se trompe-t-il ? Parce qu'il fait la moyenne de cinquante-deux et de quarante-huit, comme si les deux lycées avaient le même effectif. Pour qu'il y ait autant de filles que de garçons, il faudrait deux cent trente-sept filles au lycée A.

Une enquête statistique portant sur deux lycées d'une même ville a révélé les données suivantes : le lycée A compte $450$ élèves dont $52\,\%$ de filles ; le lycée B compte $600$ élèves dont $48\,\%$ de filles.

1.À la lecture de ces données, un élève prétend que si l'on réunit les élèves des deux lycées, on trouvera autant de filles que de garçons. Explique pourquoi cette affirmation est fausse.
2.Quel doit être le nombre de filles du lycée A pour que, en réunissant les élèves des deux établissements, on trouve autant de filles que de garçons ?

Exemple traité

Le lycée A compte $450$ élèves dont $52\,\%$ de filles, le lycée B $600$ élèves dont $48\,\%$ de filles. Réunis, ont-ils autant de filles que de garçons ? Sinon, combien de filles faudrait-il au lycée A ?

Les filles de A — $450 \times \frac{52}{100} = 234$
Les filles de B — $600 \times \frac{48}{100} = 288$
Réunis — Les deux lycées comptent $450 + 600 = 1050$ élèves, dont $234 + 288 = 522$ filles. Or la moitié de $1050$ est $525$ : il y a donc moins de filles que de garçons. $522 < 525$
Ce qu'il faudrait — Pour avoir $525$ filles en tout, il en faut $525 - 288$ au lycée A. $525 - 288 = 237$
Pourquoi l'élève se trompe — Il fait la moyenne de $52\,\%$ et de $48\,\%,$ comme si les deux lycées avaient le même effectif. Le lycée B, plus grand, pèse davantage.

522 \text{ filles sur } 1050 \text{ élèves} \quad ; \quad \text{il faudrait } 237 \text{ filles au lycée A}

À ne pas faire : $52\,\%$ et $48\,\%$ donnent $50\,\%$ de filles en tout — $\dfrac{234 + 288}{1050} = \dfrac{522}{1050} \approx 49{,}7\,\%$ . On ne fait pas la moyenne de deux pourcentages calculés sur des effectifs différents : chaque pourcentage compte selon la taille de son groupe.

2. Vocabulaire

Population, échantillon, caractère

Ce qu’il dit

Chwaya vocabulaire. La population hiya e-nes el koll elli n7ebbou na3rfou 3lihom 7aja : houni les élèves mta3 l'établissement. L'échantillon houwa el jez2 elli fe3lan sa2alnehom : les 100 élèves internes, w la taille de l'échantillon hiya 100. El 7aja elli nes2lou 3liha nsammiwha caractère. Ken tet9as b nombre, kif l'âge walla le poids, houwa quantitatif. Ken ma tet9asch, kif le groupe sanguin, houwa qualitatif. W le caractère quantitatif ykoun discret ki ye5ou valeurs ma3zoulin, kif l'âge bel snin, w continu ki ye5ou ayy valeur fi intervalle, kif la taille : sa3tha nlammou les valeurs fi des classes. W la fréquence hiya l'effectif sur l'effectif total.

شويّة vocabulaire . الـ population هي الناس الكل اللي نحبّو نعرفو عليهم حاجة : هنا les élèves متاع l'établissement . l'échantillon هو الجزء اللي فعلا سألناهم : les cent élèves internes ، w la taille de l'échantillon هي cent . الحاجة اللي نسألو عليها نسمّيوها caractère . كان تتقاس بـ nombre ، كيف l'âge ولّا le poids ، هو quantitatif . كان ما تتقاسش ، كيف le groupe sanguin ، هو qualitatif . w الـ caractère quantitatif يكون discret كي ياخذ valeurs معزولين ، كيف l'âge بالسنين ، w continu كي ياخذ أيّ valeur في intervalle ، كيف la taille : ساعتها نلمّو les valeurs في des classes . w la fréquence هي l'effectif sur l'effectif total .

Un peu de vocabulaire. La population, c'est l'ensemble des personnes sur lesquelles on veut savoir quelque chose : ici, les élèves de l'établissement. L'échantillon, c'est la partie qu'on a réellement interrogée : les cent élèves internes, et la taille de l'échantillon est cent. Ce qu'on observe s'appelle un caractère. S'il se mesure par un nombre, comme l'âge ou le poids, il est quantitatif. S'il ne se mesure pas, comme le groupe sanguin, il est qualitatif. Un caractère quantitatif est discret quand il prend des valeurs isolées, comme l'âge en années, et continu quand il peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle, comme la taille : on regroupe alors les valeurs en classes. Et la fréquence, c'est l'effectif sur l'effectif total.

Le service de la médecine scolaire a mené une enquête auprès des $100$ élèves internes d'un établissement scolaire, portant sur l'âge, le poids, la taille et le groupe sanguin.

La population est l'ensemble sur lequel porte l'étude : ici, les élèves de l'établissement.
Un échantillon est la partie de la population effectivement observée : ici, les élèves internes. Sa taille est son effectif, $100.$
Un caractère est ce qu'on observe sur chaque individu. Il est quantitatif quand il se mesure par un nombre (l'âge, le poids, la taille), qualitatif sinon (le groupe sanguin).

Un caractère quantitatif est discret quand il ne prend que des valeurs isolées (l'âge en années : $16,$ $17,$ $18$ …) ; il est continu quand il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (le poids, la taille) : on regroupe alors ses valeurs en classes, comme $[155 ; 160[.$

La fréquence d'une valeur (ou d'une classe) est le quotient de son effectif par l'effectif total.

souvent écrite en pourcentage

\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}

Exemple traité

Dans l'enquête de la médecine scolaire, $35$ des $100$ élèves sont du groupe sanguin A+. Quelle est la nature de ce caractère, et quelle est la fréquence de la modalité A+ ?

La nature — Le groupe sanguin ne se mesure pas par un nombre : c'est un caractère qualitatif. Ses valeurs s'appellent des modalités.
La fréquence — $\frac{35}{100} = 0{,}35 = 35\,\%$

\text{caractère qualitatif} \quad ; \quad \text{fréquence de } \text{A+} : 35\,\%

À ne pas faire : Le numéro de téléphone est un caractère quantitatif, puisque c'est un nombre — Le numéro de téléphone est un caractère qualitatif. Un caractère est quantitatif quand le nombre MESURE quelque chose : additionner deux numéros de téléphone ou en faire la moyenne n'a aucun sens.

3. Définition

Série chronologique et indice

Ce qu’il dit

Série chronologique, hiya valeurs mta3 nafs la variable, nchoufouha fi aw9at metba3din bel 9ad, kif koll 3amin. Mathalan la production mta3 le blé dur. Bech net-tab3ou kifech tetratwer, n5tarou année de base, houni 1990. Le coefficient multiplicateur mta3 3am houwa la valeur mte3ou sur la valeur mta3 l'année de base. Fi 1992 : 1323 sur 897, ta9rib 1,47. W l'indice houwa cent fois le coefficient : 147. Rodd belek : indice 49, ma3neha la production n9sset b 51 %, mouch 49. W la courbe d'évolution : les années 3la l'axe des abscisses, w les indices 3la l'axe des ordonnées.

série chronologique ، هي valeurs متاع نفس الـ variable ، نشوفوها في أوقات متباعدين بالقدا ، كيف كل عامين . مثلا la production متاع le blé dur . باش نتبّعو كيفاش تتطوّر ، نختارو année de base ، هنا mille neuf cent quatre-vingt-dix . le coefficient multiplicateur متاع عام هو la valeur متاعو sur la valeur متاع l'année de base . في mille neuf cent quatre-vingt-douze : mille trois cent vingt-trois sur huit cent quatre-vingt-dix-sept ، تقريب un virgule quarante-sept . w l'indice هو cent fois le coefficient : cent quarante-sept . ردّ بالك : indice quarante-neuf ، معناها la production نقصت بـ cinquante et un pour cent ، موش quarante-neuf . w la courbe d'évolution : les années على l'axe des abscisses ، w les indices على l'axe des ordonnées .

Une série chronologique, ce sont les valeurs d'une même variable, observées à des instants régulièrement espacés, par exemple tous les deux ans. Prenons la production de blé dur. Pour suivre son évolution, on choisit une année de base, ici mille neuf cent quatre-vingt-dix. Le coefficient multiplicateur d'une année, c'est sa valeur sur la valeur de l'année de base. En mille neuf cent quatre-vingt-douze : mille trois cent vingt-trois sur huit cent quatre-vingt-dix-sept, environ un virgule quarante-sept. Et l'indice, c'est cent fois le coefficient : cent quarante-sept. Attention : un indice de quarante-neuf signifie que la production a baissé de cinquante et un pour cent, pas de quarante-neuf. Et la courbe d'évolution : les années sur l'axe des abscisses, les indices sur l'axe des ordonnées.

Une série chronologique est une série de valeurs provenant d'une même variable observée à des instants régulièrement espacés dans le temps.

Exemple : la production annuelle de blé dur en Tunisie, en milliers de tonnes, observée tous les deux ans :

Année	1990	1992	1994	1996	1998	2000	2002
Production	897	1323	436	1706	1090	706	371

Année	Production
1990	897
1992	1323
1994	436
1996	1706
1998	1090
2000	706
2002	371

Pour suivre son évolution, on choisit une année de base (ici 1990) et on calcule, pour chaque année, le coefficient multiplicateur qui fait passer de la valeur de l'année de base à celle de l'année : c'est leur quotient. L'indice de l'année, base $100$ en 1990, est ce coefficient multiplié par $100.$

On représente la série par sa courbe d'évolution : les années en abscisse, les indices (ou les coefficients) en ordonnée, et les points joints par des segments.

Blé dur — indice de la production, base 100 en 1990.

La courbe d'évolution de la production de blé dur, en indices, base 100 en 1990. En abscisse, les années 1990, 1992, 1994, 1996, 1998, 2000 et 2002 ; en ordonnée, l'indice, gradué de 50 en 50 jusqu'à 200. Au palier 2, on place les points d'ordonnées 100, 147, 49, 190, 122, 79 et 41, et on les joint par des segments : la courbe monte en 1992, chute en 1994, atteint son maximum, 190, en 1996, puis redescend jusqu'à 41 en 2002.

arrondi au centième

\text{coefficient multiplicateur} = \frac{\text{valeur de l'année}}{\text{valeur de l'année de base}}

\text{indice} = 100 \times \text{coefficient multiplicateur}

Exemple traité

La production de blé dur est de $897$ milliers de tonnes en 1990 et de $1323$ en 1992. Calcule le coefficient multiplicateur de 1990 à 1992, arrondi au centième, et l'indice de 1992, base $100$ en 1990. Fais de même pour 1994, où la production est de $436.$

En 1992 — $\frac{1323}{897} \approx 1{,}47$
L'indice de 1992 est donc $147$ : la production a augmenté de $47\,\%$ depuis 1990.
En 1994 — $\frac{436}{897} \approx 0{,}49$
L'indice de 1994 est $49$ : la production a baissé de $51\,\%$ depuis 1990.

\text{1992 : coefficient } 1{,}47, \text{ indice } 147 \quad ; \quad \text{1994 : coefficient } 0{,}49, \text{ indice } 49

À ne pas faire : L'indice $49$ veut dire que la production a baissé de $49\,\%$ — Elle a baissé de $100 - 49 = 51\,\%$ . L'indice compare à $100$ : un indice de $49$ signifie que la production ne vaut plus que $49\,\%$ de celle de l'année de base.

À ne pas faire : Calculer chaque coefficient par rapport à l'année précédente — Diviser toujours par la valeur de l'année de base, ici celle de 1990. L'indice base 100 compare chaque année à la même année de référence : c'est ce qui rend les années comparables entre elles.

4. Application

Exemple : un diagramme circulaire

Ce qu’il dit

Fel diagramme circulaire, e-dawra el kemla, 360 degrés, hiya l'effectif total. W koll modalité te5ou secteur, l'angle mte3ou proportionnel à son effectif : l'effectif sur l'effectif total, fois 360. Fi 1990, le blé dur : 897 sur 1633, fois 360, ta9rib 198 degrés. L'orge ta9rib 105 degrés, le blé tendre 50, w le triticale 7. W dima net-thabtou : el majmou3 lezem ya3ti 360.

في الـ diagramme circulaire ، الدورة الكاملة ، trois cent soixante degrés ، هي l'effectif total . w كل modalité تاخذ secteur ، الـ angle متاعو proportionnel à son effectif : l'effectif sur l'effectif total ، fois trois cent soixante . في mille neuf cent quatre-vingt-dix ، le blé dur : huit cent quatre-vingt-dix-sept sur mille six cent trente-trois ، fois trois cent soixante ، تقريب cent quatre-vingt-dix-huit degrés . l'orge تقريب cent cinq degrés ، le blé tendre cinquante ، w le triticale sept . w ديما نتثبّتو : المجموع لازم يعطي trois cent soixante .

Dans un diagramme circulaire, le tour complet, trois cent soixante degrés, représente l'effectif total. Chaque modalité reçoit un secteur dont l'angle est proportionnel à son effectif : l'effectif sur l'effectif total, fois trois cent soixante. En mille neuf cent quatre-vingt-dix, le blé dur : huit cent quatre-vingt-dix-sept sur mille six cent trente-trois, fois trois cent soixante, environ cent quatre-vingt-dix-huit degrés. L'orge, environ cent cinq degrés, le blé tendre cinquante, et le triticale sept. Et on vérifie toujours : la somme doit faire trois cent soixante.

En 1990, la production de céréales en Tunisie, en milliers de tonnes, se répartit ainsi : blé dur $897,$ blé tendre $225,$ orge $477,$ triticale $34,$ soit $1633$ en tout.

Dans un diagramme circulaire, chaque modalité reçoit un secteur dont l'angle est proportionnel à son effectif : le disque entier, $360°,$ représente l'effectif total.

\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°

Exemple traité

Calcule, arrondis au degré, les angles des quatre secteurs du diagramme circulaire de la production de 1990.

Blé dur — $\frac{897}{1633} \times 360 \approx 198°$
Blé tendre — $\frac{225}{1633} \times 360 \approx 50°$
Orge — $\frac{477}{1633} \times 360 \approx 105°$
Triticale — $\frac{34}{1633} \times 360 \approx 7°$
Vérification — La somme des angles fait bien $360°$ : $198 + 50 + 105 + 7 = 360.$

198° \quad ; \quad 50° \quad ; \quad 105° \quad ; \quad 7°

À ne pas faire : Angle du blé dur : $897°,$ ou $\dfrac{897}{1633} \approx 0{,}55°$ — $\dfrac{897}{1633} \times 360 \approx 198°$ . La fréquence dit quelle part du disque revient au blé dur ; il faut encore la multiplier par 360 degrés.

5. Activité

Pour comprendre : bâtons et histogramme

Ce qu’il dit

Nafs l'enquête, ama zouz anwe3 mel séries. L'âge bel snin ye5ou valeurs ma3zoulin : 16, 17, 18 : série discrète, nersmouha b diagramme en bâtons, bâton l koll valeur, e-toul mte3ou l'effectif. La taille, tnajjem te5ou ayy valeur : série continue, nlammouha fi classes, w nersmouha b histogramme : rectangles las9in fi b3adhhom. W ki norbtou les milieux mta3 el fou9 mta3 les rectangles, yetla3lna le polygone des effectifs. Mathalan, les élèves elli 3andhom 21 ans walla akthar : 3 plus 2, ya3ni 5 %. W elli toulhom 160 centimètres walla akthar : 28 %.

نفس الـ enquête ، أما زوز أنواع مالـ séries . l'âge بالسنين ياخذ valeurs معزولين : seize ، dix-sept ، dix-huit : série discrète ، نرسموها بـ diagramme en bâtons ، bâton لكل valeur ، الطول متاعو l'effectif . la taille ، تنجّم تاخذ أيّ valeur : série continue ، نلمّوها في classes ، w نرسموها بـ histogramme : rectangles لاصقين في بعضهم . w كي نربطو les milieux متاع الفوق متاع les rectangles ، يطلعلنا le polygone des effectifs . مثلا ، les élèves اللي عندهم vingt et un ans ولّا أكثر : trois plus deux ، يعني cinq pour cent . w اللي طولهم cent soixante centimètres ولّا أكثر : vingt-huit pour cent .

Même enquête, mais deux sortes de séries. L'âge en années prend des valeurs isolées : seize, dix-sept, dix-huit : c'est une série discrète, qu'on représente par un diagramme en bâtons, un bâton par valeur, de hauteur égale à l'effectif. La taille peut prendre n'importe quelle valeur : c'est une série continue, regroupée en classes, et représentée par un histogramme : des rectangles accolés. En joignant les milieux des côtés supérieurs des rectangles, on obtient le polygone des effectifs. Par exemple, les élèves de vingt et un ans ou plus : trois plus deux, soit cinq pour cent. Et ceux qui mesurent cent soixante centimètres ou plus : vingt-huit pour cent.

Les résultats de l'enquête de la médecine scolaire sur les $100$ élèves sont résumés ainsi.

Selon l'âge (série discrète) :

Âge (ans)	16	17	18	19	20	21	22
Effectif	20	45	25	4	1	3	2

Âge (ans)	Effectif
16	20
17	45
18	25
19	4
20	1
21	3
22	2

Selon la taille (série continue, en cm) :

Taille $t$	$[140 ; 145[$	$[145 ; 150[$	$[150 ; 155[$	$[155 ; 160[$	$[160 ; 165[$	$[165 ; 170[$	$[170 ; 175[$
Effectif	2	10	25	35	20	6	2

Taille $t$	Effectif
$[140 ; 145[$	2
$[145 ; 150[$	10
$[150 ; 155[$	25
$[155 ; 160[$	35
$[160 ; 165[$	20
$[165 ; 170[$	6
$[170 ; 175[$	2

Une série discrète se représente par un diagramme en bâtons : un bâton par valeur, de hauteur égale à son effectif. Une série continue se représente par un histogramme : sur chaque classe, un rectangle accolé à ses voisins ; quand les classes ont toutes la même amplitude, sa hauteur est l'effectif de la classe.

En joignant les milieux des côtés supérieurs des rectangles, on obtient le polygone des effectifs.

1.Quel est le pourcentage des élèves âgés de $21$ ans ou plus ?
2.Pour la série des tailles, quelle classe a le plus grand effectif ?

Répartition de 100 élèves par tranche de taille (en cm).

L'histogramme des tailles de 100 élèves. En abscisse, la taille en centimètres, de 140 à 175, découpée en sept classes de même amplitude 5 cm ; en ordonnée, l'effectif. Au palier 2, sur chaque classe on dresse un rectangle dont la hauteur est l'effectif : 2 pour la classe de 140 à 145, 10 de 145 à 150, 25 de 150 à 155, 35 de 155 à 160, 20 de 160 à 165, 6 de 165 à 170 et 2 de 170 à 175. Le rectangle le plus haut est celui de la classe de 155 à 160.

Exemple traité

À partir des deux tableaux, calcule le pourcentage des élèves âgés de $21$ ans ou plus, puis le pourcentage des élèves mesurant au moins $160$ centimètres.

21 ans ou plus — On additionne les effectifs des âges $21$ et $22,$ sur un total de $100.$ $\frac{3 + 2}{100} = 5\,\%$
Au moins 160 centimètres — Ce sont les trois dernières classes de l'histogramme. $\frac{20 + 6 + 2}{100} = 28\,\%$

5\,\% \quad ; \quad 28\,\%

À ne pas faire : Tracer l'histogramme avec des rectangles séparés, comme des bâtons — Les rectangles de l'histogramme sont accolés. Une série continue couvre tout l'intervalle : la classe $[150 ; 155[$ s'arrête exactement où commence $[155 ; 160[.$

6. Définition

Effectifs cumulés croissants

Ce qu’il dit

L'effectif cumulé croissant, y9ollek 9addech men individu 3andou valeur a9al walla kifha. Nrattbou les classes, w nzidou les effectifs wa7ed wra le5er : 2, 12, 37, 72, 92, 98, 100. Mathalan 37, ma3neha 37 élève toulhom a9al men 155 centimètres. W la fréquence cumulée hiya l'effectif cumulé sur l'effectif total. Rodd belek : fi la courbe des fréquences cumulées, e-nou9ta mta3 classe n7ottouha fi la borne supérieure mte3ha, mouch fel wost.

l'effectif cumulé croissant ، يقلّك قدّاش من individu عندو valeur أقل ولّا كيفها . نرتّبو les classes ، w نزيدو les effectifs واحد ورا الآخر : deux ، douze ، trente-sept ، soixante-douze ، quatre-vingt-douze ، quatre-vingt-dix-huit ، cent . مثلا trente-sept ، معناها trente-sept élève طولهم أقل من cent cinquante-cinq centimètres . w la fréquence cumulée هي l'effectif cumulé sur l'effectif total . ردّ بالك : في la courbe des fréquences cumulées ، النقطة متاع classe نحطّوها في la borne supérieure متاعها ، موش في الوسط .

L'effectif cumulé croissant te dit combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale. On range les classes, et on additionne les effectifs les uns après les autres : deux, douze, trente-sept, soixante-douze, quatre-vingt-douze, quatre-vingt-dix-huit, cent. Par exemple, trente-sept signifie que trente-sept élèves mesurent moins de cent cinquante-cinq centimètres. La fréquence cumulée, c'est l'effectif cumulé sur l'effectif total. Attention : sur la courbe des fréquences cumulées, le point d'une classe se place à sa borne supérieure, pas en son milieu.

On range les valeurs (ou les classes) dans l'ordre croissant.

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de toutes les valeurs inférieures ou égales à elle. Pour une classe $[a ; b[,$ c'est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure à $b$ .
La fréquence cumulée croissante est l'effectif cumulé croissant divisé par l'effectif total.

Pour les tailles des $100$ élèves :

Taille	$[140 ; 145[$	$[145 ; 150[$	$[150 ; 155[$	$[155 ; 160[$	$[160 ; 165[$	$[165 ; 170[$	$[170 ; 175[$
Effectif	2	10	25	35	20	6	2
Effectifs cumulés croissants	2	12	37	72	92	98	100

Taille	Effectif	Effectifs cumulés croissants
$[140 ; 145[$	2	2
$[145 ; 150[$	10	12
$[150 ; 155[$	25	37
$[155 ; 160[$	35	72
$[160 ; 165[$	20	92
$[165 ; 170[$	6	98
$[170 ; 175[$	2	100

Pour une série continue, la courbe des fréquences cumulées croissantes joint les points qui ont pour abscisse la borne supérieure de chaque classe et pour ordonnée la fréquence cumulée correspondante ; elle part du point d'abscisse $140$ et d'ordonnée $0.$

Exemple traité

Combien d'élèves mesurent moins de $155$ centimètres ? Quel pourcentage des élèves mesure moins de $165$ centimètres ?

Moins de 155 centimètres — C'est l'effectif cumulé de la classe $[150 ; 155[,$ dont $155$ est la borne supérieure. $2 + 10 + 25 = 37$
Moins de 165 centimètres — L'effectif cumulé de la classe $[160 ; 165[$ est $92,$ sur $100$ élèves. $\frac{92}{100} = 92\,\%$

37 \text{ élèves} \quad ; \quad 92\,\%

À ne pas faire : Placer le point de la classe $[150 ; 155[$ à l'abscisse $150,$ ou au centre $152{,}5$ — Le placer à l'abscisse $155,$ avec l'ordonnée $37$ (ou $0{,}37$ ). 37 élèves mesurent moins de 155 centimètres : ce n'est vrai qu'une fois la classe entièrement parcourue, donc à sa borne supérieure.

7. Définition

Étendue, mode et classe modale

Ce qu’il dit

Zouz 7ajet bsitin. L'étendue hiya akber valeur moins asghar valeur : fi les âges, 22 moins 16, 6 ans. W le mode houwa la valeur elli 3andha akber effectif : 17 ans, 5ater 3andha 45 élève. M3a les classes, n7kiw 3la la classe modale : fi les tailles, hiya [155 ; 160[. W ken le caractère qualitatif, n9oulou la modalité el akthar fréquente : A plus. Rodd belek : le mode houwa valeur, mouch effectif.

زوز حاجات بسيطين . l'étendue هي أكبر valeur moins أصغر valeur : في les âges ، vingt-deux moins seize ، six ans . w le mode هو الـ valeur اللي عندها أكبر effectif : dix-sept ans ، خاطر عندها quarante-cinq élève . مع les classes ، نحكيو على la classe modale : في les tailles ، هي la classe من cent cinquante-cinq لـ cent soixante . w كان الـ caractère qualitatif ، نقولو la modalité الأكثر fréquente : A plus . ردّ بالك : le mode هو valeur ، موش effectif .

Deux notions simples. L'étendue, c'est la plus grande valeur moins la plus petite : pour les âges, vingt-deux moins seize, six ans. Le mode, c'est la valeur qui a le plus grand effectif : dix-sept ans, avec quarante-cinq élèves. Avec des classes, on parle de classe modale : pour les tailles, c'est la classe de cent cinquante-cinq à cent soixante. Et pour un caractère qualitatif, on parle de la modalité la plus fréquente : A plus. Attention : le mode est une valeur, pas un effectif.

L'étendue d'une série est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Le mode d'une série discrète est la valeur qui a le plus grand effectif ; une série peut avoir plusieurs modes.
Pour une série continue dont les classes ont la même amplitude, la classe modale est la classe de plus grand effectif.
Pour un caractère qualitatif, on parle de la modalité la plus fréquente.

Pour l'enquête de la médecine scolaire : l'âge a pour étendue $22 - 16 = 6$ ans et pour mode $17$ ans (effectif $45$ ) ; la classe modale des tailles est $[155 ; 160[$ (effectif $35$ ) ; pour le groupe sanguin, la modalité la plus fréquente est A+ ( $35$ élèves).

\text{étendue} = \text{plus grande valeur} - \text{plus petite valeur}

Exemple traité

Voici une série de notes : $5$ (effectif $2$ ), $6$ ( $1$ ), $8$ ( $7$ ), $10$ ( $12$ ), $11$ ( $15$ ), $14$ ( $11$ ), $15$ ( $1$ ). Donne son étendue et son mode.

L'étendue — $15 - 5 = 10$
Le mode — Le plus grand effectif est $15$ : il revient à la note $11.$

\text{étendue } 10 \quad ; \quad \text{mode } 11

À ne pas faire : Le mode de la série est $15$ — Le mode est $11,$ la valeur dont l'effectif est $15$ . Le mode est une VALEUR du caractère, pas un effectif : on lit le plus grand effectif, puis on donne la valeur qui lui correspond.

8. Définition

La médiane

Ce qu’il dit

La médiane, hiya la valeur elli t9oss la population 3la zouz bel 9ad : e-noss 3andhom valeur a9al menha walla kifha, w e-noss le5er akthar menha walla kifha. Awwel 7aja nrattbou les valeurs. Ken n impair, la médiane hiya la valeur de rang (n + 1)/2. Ken n pair, nekhdhou la moyenne mta3 e-zouz valeurs elli fel rang n/2 w fel rang n/2 + 1. Fi les âges, n égale 100 : les rangs 50 et 51. Les effectifs cumulés : 20, 65... idhan men rang 21 l 65 3andhom 17 ans. La médiane 17 ans. Rodd belek : koll valeur tet7seb 9add ma l'effectif mte3ha.

la médiane ، هي الـ valeur اللي تقصّ الـ population على زوز بالقدا : النصّ عندهم valeur أقل منها ولّا كيفها ، w النصّ لخر أكثر منها ولّا كيفها . أوّل حاجة نرتّبو les valeurs . كان n impair ، la médiane هي الـ valeur de rang n plus un ، le tout sur deux . كان n pair ، ناخذو la moyenne متاع الزوز valeurs اللي في le rang n sur deux ، w في le rang n sur deux ، plus un . في les âges ، n égale cent : les rangs cinquante et cinquante et un . les effectifs cumulés : vingt ، soixante-cinq ... إذن من rang vingt et un لـ soixante-cinq عندهم dix-sept ans . la médiane dix-sept ans . ردّ بالك : كل valeur تتحسب قدّ ما l'effectif متاعها .

La médiane est la valeur qui partage la population en deux parts égales : la moitié a une valeur inférieure ou égale, l'autre moitié une valeur supérieure ou égale. D'abord, on range les valeurs. Si n est impair, la médiane est la valeur de rang n plus un, le tout sur deux. Si n est pair, on prend la moyenne des valeurs de rangs n sur deux et n sur deux plus un. Pour les âges, n égale cent : les rangs cinquante et cinquante et un. Les effectifs cumulés : vingt, soixante-cinq... donc les rangs vingt et un à soixante-cinq ont dix-sept ans. La médiane est dix-sept ans. Attention : chaque valeur compte autant de fois que son effectif.

La médiane $m$ d'une série partage la population en deux parties de même effectif : la moitié des individus ont une valeur inférieure ou égale à $m,$ l'autre moitié une valeur supérieure ou égale à $m.$

Pour une série discrète d'effectif total $n,$ on range les valeurs dans l'ordre croissant : - si $n$ est impair, la médiane est la valeur du milieu, de rang $\dfrac{n + 1}{2}$ ; - si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2} + 1.$

On s'aide des effectifs cumulés croissants pour trouver ces rangs sans tout réécrire.

Exemple traité

Détermine l'âge médian des $100$ élèves internes : $16$ ans (effectif $20$ ), $17$ ( $45$ ), $18$ ( $25$ ), $19$ ( $4$ ), $20$ ( $1$ ), $21$ ( $3$ ), $22$ ( $2$ ).

Les rangs — L'effectif $n = 100$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $50$ et $51.$
Les effectifs cumulés — $20 \quad ; \quad 65 \quad ; \quad 90 \quad ; \quad 94 \quad ; \quad 95 \quad ; \quad 98 \quad ; \quad 100$
Lecture — Les élèves de rangs $21$ à $65$ ont $17$ ans : ceux de rangs $50$ et $51$ aussi.

m = 17 \text{ ans}

À ne pas faire : La médiane des âges est $19,$ la valeur du milieu de la liste $16$ ; $17$ ; … ; $22$ — La médiane est $17$ ans. La médiane partage les INDIVIDUS en deux, pas la liste des valeurs : chaque valeur compte autant de fois que son effectif.

À ne pas faire : Chercher la médiane sans ranger les valeurs — Ranger d'abord les valeurs dans l'ordre croissant. Le rang du milieu n'a de sens que dans une liste ordonnée.

9. Méthode

La médiane d'une série continue

Ce qu’il dit

Trois cents ouvriers, la médiane hiya el wa9t m elli 150 ouvrier ye5dhou a9al menou, w 150 akthar. Les effectifs cumulés : 21, 74, 157. 74 a9al men 150, w 157 akthar : idhan m fi la classe [60 ; 80[. Nefrdhou elli les effectifs mfarr9in bel 9ad fel classe : sa3tha m bin 60 w 80, fi nafs el blasa mta3 150 bin 74 w 157. Hedhi l'interpolation linéaire : m moins 60, sur 20, égale 76 sur 83. Nal9aw m ta9rib 78,3 minutes. Rodd belek : mouch dima le centre de la classe.

trois cents ouvriers ، الـ médiane هي الوقت m اللي cent cinquante ouvrier ياخذو أقل منو ، w cent cinquante أكثر . les effectifs cumulés : vingt et un ، soixante-quatorze ، cent cinquante-sept . soixante-quatorze أقل من cent cinquante ، w cent cinquante-sept أكثر : إذن m في la classe من soixante لـ quatre-vingts . نفرضو اللي les effectifs مفرّقين بالقدا في الـ classe : ساعتها m bin soixante w quatre-vingts ، في نفس البلاصة متاع cent cinquante bin soixante-quatorze w cent cinquante-sept . هذي l'interpolation linéaire : m moins soixante ، sur vingt ، égale soixante-seize sur quatre-vingt-trois . نلقاو m تقريب soixante-dix-huit virgule trois minutes . ردّ بالك : موش ديما le centre de la classe .

Trois cents ouvriers : la médiane est le temps m tel que cent cinquante ouvriers mettent moins, et cent cinquante mettent plus. Les effectifs cumulés : vingt et un, soixante-quatorze, cent cinquante-sept. Soixante-quatorze est inférieur à cent cinquante, et cent cinquante-sept supérieur : m est donc dans la classe de soixante à quatre-vingts. On suppose les effectifs répartis régulièrement dans la classe : alors m est placé entre soixante et quatre-vingts comme cent cinquante entre soixante-quatorze et cent cinquante-sept. C'est l'interpolation linéaire : m moins soixante, sur vingt, égale soixante-seize sur quatre-vingt-trois. On trouve m environ soixante-dix-huit virgule trois minutes. Attention : ce n'est pas forcément le centre de la classe.

Une enquête étudie le temps consacré chaque jour au transport par les $300$ ouvriers d'une entreprise.

Temps (min)	$[20 ; 40[$	$[40 ; 60[$	$[60 ; 80[$	$[80 ; 100[$	$[100 ; 120[$	$[120 ; 140[$
Effectif	21	53	83	128	12	3
Effectifs cumulés	21	74	157	285	297	300

Temps (min)	Effectif	Effectifs cumulés
$[20 ; 40[$	21	21
$[40 ; 60[$	53	74
$[60 ; 80[$	83	157
$[80 ; 100[$	128	285
$[100 ; 120[$	12	297
$[120 ; 140[$	3	300

On suppose que, dans chaque classe, les effectifs sont répartis de manière régulière. La médiane $m$ est la valeur telle que $150$ ouvriers mettent un temps inférieur à $m$ et $150$ un temps supérieur à $m.$ Comme $74 < 150 \le 157,$ elle appartient à la classe $[60 ; 80[.$

Méthode d'interpolation linéaire. Sur la classe $[60 ; 80[,$ l'effectif cumulé passe de $74$ à $157$ de façon régulière : la position de $m$ entre $60$ et $80$ est la même que celle de $150$ entre $74$ et $157.$ C'est aussi ce qu'on lit sur le polygone des effectifs cumulés croissants, en partant de l'ordonnée $150.$

Temps de transport — effectifs cumulés croissants des 300 ouvriers.

Le polygone des effectifs cumulés croissants du temps de transport de 300 ouvriers. En abscisse, le temps en minutes, de 20 à 140, gradué de 20 en 20 ; en ordonnée, l'effectif cumulé. La ligne brisée joint les points d'abscisses 20, 40, 60, 80, 100, 120 et 140 et d'ordonnées 0, 21, 74, 157, 285, 297 et 300. Au palier 2, on repasse en rouge le segment [AB], où A a pour abscisse 60 et pour ordonnée 74, et B pour abscisse 80 et pour ordonnée 157 : c'est sur ce segment que l'effectif cumulé atteint 150. Au palier 3, on part de 150 sur l'axe des ordonnées, on rejoint le segment [AB] au point M, puis on descend sur l'axe des abscisses : on lit la médiane m, environ 78 minutes.

interpolation linéaire

\frac{m - 60}{80 - 60} = \frac{150 - 74}{157 - 74}

Exemple traité

Calcule, par interpolation linéaire, la médiane $m$ du temps de transport des $300$ ouvriers, arrondie au dixième.

La classe médiane — La moitié de l'effectif est $150$ ; les effectifs cumulés passent de $74$ à $157$ sur la classe $[60 ; 80[.$
L'égalité — $\frac{m - 60}{20} = \frac{76}{83}$
On isole m — $m = 60 + 20 \times \frac{76}{83} \approx 78{,}3$

m \approx 78{,}3 \text{ minutes}

À ne pas faire : La médiane est le centre de la classe médiane : $m = 70$ — $m = 60 + 20 \times \dfrac{76}{83} \approx 78{,}3$ . 150 est bien plus près de 157 que de 74 : la médiane est donc près de la borne 80, pas au milieu de la classe.

À ne pas faire : Écrire $\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150}{157}$ — $\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150 - 74}{157 - 74}$ . On compare des positions dans la classe : on retranche, en haut comme en bas, ce qui est déjà atteint au début de la classe.

10. Définition

Les quartiles

Ce qu’il dit

Les quartiles y9oussou la série 3la arb3a. Le premier quartile Q1, houwa asghar valeur, b 7aythou 3al a9al 25 % men l'effectif 3andhom valeur a9al menha walla kifha. W le troisième quartile Q3, nafs el 7aja m3a 75 %. W le deuxième quartile houwa la médiane. Fi le premier groupe, 20 notes : nrattbouhom. 25 % de 20, 5 : Q1 hiya la note de rang 5, ya3ni 7. 75 % de 20, 15 : Q3 hiya la note de rang 15, ya3ni 11. W la médiane 9. Rodd belek : 5 houwa le rang, mouch Q1.

les quartiles يقصّو la série على أربعة . le premier quartile Q un ، هو أصغر valeur ، بحيث على الأقل vingt-cinq pour cent من l'effectif عندهم valeur أقل منها ولّا كيفها . w le troisième quartile Q trois ، نفس الحاجة مع soixante-quinze pour cent . w le deuxième quartile هو la médiane . في le premier groupe ، vingt notes : نرتّبوهم . vingt-cinq pour cent de vingt ، cinq : Q un هي la note de rang cinq ، يعني sept . soixante-quinze pour cent de vingt ، quinze : Q trois هي la note de rang quinze ، يعني onze . w la médiane neuf . ردّ بالك : cinq هو le rang ، موش Q un .

Les quartiles partagent la série en quatre. Le premier quartile Q un est la plus petite valeur telle qu'au moins vingt-cinq pour cent de l'effectif ont une valeur inférieure ou égale. Le troisième quartile Q trois, c'est la même chose avec soixante-quinze pour cent. Et le deuxième quartile est la médiane. Pour le premier groupe, vingt notes : on les range. Vingt-cinq pour cent de vingt, cinq : Q un est la note de rang cinq, c'est-à-dire sept. Soixante-quinze pour cent de vingt, quinze : Q trois est la note de rang quinze, c'est-à-dire onze. Et la médiane est neuf. Attention : cinq est le rang, pas Q un.

Les quartiles $Q_{1},$ $Q_{2}$ et $Q_{3}$ d'une série la partagent en quatre parties. On convient que le deuxième quartile $Q_{2}$ est la médiane.

Cas d'une série discrète. Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série statistique dont les valeurs $x_{i}$ sont ordonnées par ordre croissant. - Le premier quartile est le nombre noté $Q_{1}$ égal à la plus petite valeur $x_{i}$ telle qu'au moins $25\,\%$ de l'effectif de la série prennent des valeurs inférieures ou égales à $Q_{1}.$ - Le troisième quartile est le nombre noté $Q_{3}$ égal à la plus petite valeur $x_{i}$ telle qu'au moins $75\,\%$ de l'effectif de la série prennent des valeurs inférieures ou égales à $Q_{3}.$

Voici les notes obtenues dans un même devoir par deux groupes de $20$ élèves.

Premier groupe : $7$ ; $7$ ; $8$ ; $11$ ; $10$ ; $7$ ; $12$ ; $14$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $9$ ; $11$ ; $7$ ; $9$ ; $13$ ; $11$ ; $10$ ; $13$ ; $8.$

Deuxième groupe : $6$ ; $7$ ; $11$ ; $11$ ; $17$ ; $4$ ; $10$ ; $5$ ; $2$ ; $7$ ; $4$ ; $17$ ; $8$ ; $19$ ; $5$ ; $15$ ; $5$ ; $17$ ; $6$ ; $14.$

Exemple traité

Détermine la médiane $m_{1}$ et les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ des notes du premier groupe.

Ranger — $6\,;\,7\,;\,7\,;\,7\,;\,7\,;\,8\,;\,8\,;\,8\,;\,9\,;\,9\,;\,9\,;\,10\,;\,10\,;\,11\,;\,11\,;\,11\,;\,12\,;\,13\,;\,13\,;\,14$
La médiane — $20$ est pair : on prend la moyenne des notes de rangs $10$ et $11,$ qui valent toutes deux $9.$
Le premier quartile — $25\,\%$ de $20$ font $5$ : $Q_{1}$ est la note de rang $5,$ soit $7.$
Le troisième quartile — $75\,\%$ de $20$ font $15$ : $Q_{3}$ est la note de rang $15,$ soit $11.$
Lecture — Les notes comprises entre $7$ et $11$ sont au nombre de $15$ sur $20,$ soit $75\,\%$ : elles se serrent autour de la médiane.

m_{1} = 9 \quad ; \quad Q_{1} = 7 \quad ; \quad Q_{3} = 11

À ne pas faire : $25\,\%$ de $20$ font $5,$ donc $Q_{1} = 5$ — $Q_{1}$ est la note de rang $5$ : $Q_{1} = 7$ . Le calcul $25\,\%$ de $n$ donne un rang ; le quartile est la valeur qui occupe ce rang dans la série rangée.

À ne pas faire : $Q_{1}$ est la moyenne des notes de rangs $5$ et $6$ — $Q_{1}$ est la plus petite note qui atteint $25\,\%$ de l'effectif : celle de rang $5$ . Contrairement à la médiane, pour une série discrète, les quartiles sont des valeurs de la série : on ne fait pas de moyenne.

11. Méthode

Quartiles d'une série continue

Ce qu’il dit

M3a série continue, les quartiles nal9awhom kif la médiane : walla b l'interpolation linéaire, walla na9rawhom 3la la courbe des fréquences cumulées croissantes : Q1 houwa l'abscisse mta3 e-nou9ta elli l'ordonnée mte3ha 0,25, w Q3 elli l'ordonnée mte3ha 0,75. Houni l'effectif total 1375. E-roba3 mte3ou 343,75 : hedha fi la classe [10 ; 20[. Na3mlou l'interpolation : Q1 égale 16,875. W nafs el 7aja l la médiane, ta9rib 24,69, w l Q3, ta9rib 35,83.

مع série continue ، les quartiles نلقاوهم كيف la médiane : ولّا بـ l'interpolation linéaire ، ولّا نقراوهم على la courbe des fréquences cumulées croissantes : Q un هو l'abscisse متاع النقطة اللي l'ordonnée متاعها zéro virgule vingt-cinq ، w Q trois اللي l'ordonnée متاعها zéro virgule soixante-quinze . هنا l'effectif total mille trois cent soixante-quinze . الربع متاعو trois cent quarante-trois virgule soixante-quinze : هذا في la classe من dix لـ vingt . نعملو l'interpolation : Q un égale seize virgule huit cent soixante-quinze . w نفس الحاجة لـ la médiane ، تقريب vingt-quatre virgule soixante-neuf ، w لـ Q trois ، تقريب trente-cinq virgule quatre-vingt-trois .

Avec une série continue, on trouve les quartiles comme la médiane : soit par interpolation linéaire, soit en les lisant sur la courbe des fréquences cumulées croissantes : Q un est l'abscisse du point d'ordonnée zéro virgule vingt-cinq, et Q trois celle du point d'ordonnée zéro virgule soixante-quinze. Ici, l'effectif total est mille trois cent soixante-quinze. Son quart, trois cent quarante-trois virgule soixante-quinze, tombe dans la classe de dix à vingt. Par interpolation, Q un égale seize virgule huit cent soixante-quinze. De même, la médiane vaut environ vingt-quatre virgule soixante-neuf, et Q trois environ trente-cinq virgule quatre-vingt-trois.

Pour une série continue, comme la médiane, les quartiles peuvent être obtenus de deux façons : - au moyen d'une interpolation linéaire, en utilisant le tableau des effectifs cumulés ; - en exploitant la courbe des fréquences cumulées croissantes : $Q_{1}$ et $Q_{3}$ sont les abscisses des points de cette courbe dont les ordonnées sont $0{,}25$ et $0{,}75$ (et la médiane, celle du point d'ordonnée $0{,}5$ ).

On considère la série suivante, où la répartition est supposée uniforme à l'intérieur de chaque classe :

Classe	$[10 ; 20[$	$[20 ; 30[$	$[30 ; 40[$	$[40 ; 50[$	$[50 ; 60[$
Effectif	500	400	225	150	100
Effectifs cumulés	500	900	1125	1275	1375

Classe	Effectif	Effectifs cumulés
$[10 ; 20[$	500	500
$[20 ; 30[$	400	900
$[30 ; 40[$	225	1125
$[40 ; 50[$	150	1275
$[50 ; 60[$	100	1375

Exemple traité

L'effectif total est $1375.$ Détermine les classes qui contiennent $m,$ $Q_{1}$ et $Q_{3},$ puis leurs valeurs approchées par interpolation linéaire.

Les seuils — $\frac{1375}{4} = 343{,}75 \quad ; \quad \frac{1375}{2} = 687{,}5 \quad ; \quad \frac{3 \times 1375}{4} = 1031{,}25$
Les classes — $343{,}75 \le 500$ : $Q_{1}$ est dans $[10 ; 20[.$ $500 < 687{,}5 \le 900$ : $m$ est dans $[20 ; 30[.$ $900 < 1031{,}25 \le 1125$ : $Q_{3}$ est dans $[30 ; 40[.$
Premier quartile — $Q_{1} = 10 + 10 \times \frac{343{,}75 - 0}{500} = 16{,}875$
Médiane — $m = 20 + 10 \times \frac{687{,}5 - 500}{400} \approx 24{,}69$
Troisième quartile — $Q_{3} = 30 + 10 \times \frac{1031{,}25 - 900}{225} \approx 35{,}83$

Q_{1} = 16{,}875 \quad ; \quad m \approx 24{,}69 \quad ; \quad Q_{3} \approx 35{,}83

À ne pas faire : $Q_{1}$ est dans la classe où l'effectif cumulé dépasse $25$ — $Q_{1}$ est dans la classe où l'effectif cumulé atteint $25\,\%$ de l'effectif total, ici $343{,}75$ . Le seuil est un QUART de l'effectif total ; on ne le confond avec 25 que lorsque l'effectif total est 100.

12. Vocabulaire

Diagramme en boîte

Ce qu’il dit

L'intervalle interquartile houwa men Q1 l Q3, w l'écart interquartile houwa Q3 moins Q1. Le diagramme en boîte : 3la axe gradué, n7ottou asghar valeur w akber valeur, Q1 w Q3, w la médiane. Nersmou rectangle men Q1 l Q3, w fi wostou trait fi la médiane. W nkammlou b 5att 7atta lel valeurs extrêmes. Fi le premier groupe : 6, 7, 9, 11, 14. Fi le deuxième groupe : 2, 5, 7,5, 14, 19. La boîte mta3 le deuxième groupe atwal barcha : l'écart interquartile 9, w le premier 4. Ya3ni les notes mta3 le deuxième groupe metfarr9in akthar, 7atta ken la moyenne nafsha.

l'intervalle interquartile هو من Q un لـ Q trois ، w l'écart interquartile هو Q trois moins Q un . le diagramme en boîte : على axe gradué ، نحطّو أصغر valeur w أكبر valeur ، Q un w Q trois ، w la médiane . نرسمو rectangle من Q un لـ Q trois ، w في وسطو trait في la médiane . w نكمّلو بخطّ حتّى للـ valeurs extrêmes . في le premier groupe : six ، sept ، neuf ، onze ، quatorze . في le deuxième groupe : deux ، cinq ، sept virgule cinq ، quatorze ، dix-neuf . الـ boîte متاع le deuxième groupe أطول برشا : l'écart interquartile neuf ، w le premier quatre . يعني les notes متاع le deuxième groupe متفرّقين أكثر ، حتّى كان الـ moyenne نفسها .

L'intervalle interquartile va de Q un à Q trois, et l'écart interquartile, c'est Q trois moins Q un. Le diagramme en boîte : sur un axe gradué, on place la plus petite et la plus grande valeur, Q un et Q trois, et la médiane. On dessine un rectangle de Q un à Q trois, avec un trait à la médiane. Puis on prolonge par un trait jusqu'aux valeurs extrêmes. Pour le premier groupe : six, sept, neuf, onze, quatorze. Pour le second : deux, cinq, sept virgule cinq, quatorze, dix-neuf. La boîte du second groupe est bien plus longue : écart interquartile neuf, contre quatre pour le premier. Les notes du second groupe sont donc plus dispersées, même si la moyenne est la même.

Vocabulaire. - L'intervalle $[Q_{1} ; Q_{3}]$ est appelé l'intervalle interquartile. - Le réel $Q_{3} - Q_{1}$ est appelé l'écart interquartile.

Construction d'un diagramme en boîte. Un diagramme en boîte permet de positionner les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ et la médiane $m$ au moyen d'un rectangle de largeur arbitraire et de longueur $Q_{3} - Q_{1}.$ On représente une série par un diagramme en boîte de la manière suivante : - sur un segment gradué, on place les valeurs extrêmes $x_{1}$ et $x_{n}$ de la série, les quartiles $Q_{1}$ et $Q_{3}$ et la médiane $m$ ; - on construit un rectangle dont la longueur est l'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1},$ et de largeur arbitraire ; - un trait vertical, à l'intérieur de ce rectangle, correspond à la médiane.

Pour les deux groupes d'élèves : premier groupe, notes de $6$ à $14,$ $Q_{1} = 7,$ $m_{1} = 9,$ $Q_{3} = 11$ ; deuxième groupe, notes de $2$ à $19,$ $Q_{1} = 5,$ $m_{2} = 7{,}5,$ $Q_{3} = 14.$

Notes du premier et du deuxième groupe : valeurs extrêmes, quartiles et médiane.

Deux diagrammes en boîte tracés au-dessus d'un même axe gradué de 2 à 19, celui des notes. Au palier 2, le diagramme du premier groupe G₁ : un trait part de la note minimale 6 jusqu'à Q₁ = 7, une boîte va de Q₁ = 7 à Q₃ = 11 avec un trait rouge à la médiane m₁ = 9, puis un trait va de 11 jusqu'à la note maximale 14. Au palier 3, en dessous, le diagramme du deuxième groupe G₂ : un trait de 2 à Q₁ = 5, une boîte de 5 à Q₃ = 14 avec un trait rouge à la médiane m₂ = 7,5, puis un trait de 14 à 19. La boîte du deuxième groupe est bien plus longue : ses notes sont plus dispersées.

Exemple traité

Les notes du deuxième groupe, rangées, sont : $2$ ; $4$ ; $4$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $6$ ; $6$ ; $7$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $11$ ; $11$ ; $14$ ; $15$ ; $17$ ; $17$ ; $17$ ; $19.$ Retrouve les cinq nombres de son diagramme en boîte et compare les écarts interquartiles des deux groupes.

Valeurs extrêmes — La plus petite note est $2,$ la plus grande $19.$
Médiane — Les notes de rangs $10$ et $11$ sont $7$ et $8$ : leur moyenne est $7{,}5.$
Quartiles — Les notes de rangs $5$ et $15$ donnent $Q_{1} = 5$ et $Q_{3} = 14.$
Écarts interquartiles — $14 - 5 = 9 \quad ; \quad 11 - 7 = 4$
Lecture — La boîte du deuxième groupe est plus de deux fois plus longue : ses notes sont beaucoup plus dispersées autour de la médiane.

2 \;;\; 5 \;;\; 7{,}5 \;;\; 14 \;;\; 19 \quad ; \quad \text{écarts interquartiles : } 9 \text{ et } 4

À ne pas faire : Les deux groupes ont la même moyenne, donc des résultats semblables — Les deux moyennes valent $9{,}5,$ mais les écarts interquartiles valent $4$ et $9$ . Un résumé de position ne dit rien de la dispersion : c'est la longueur de la boîte qui montre si les notes sont serrées ou étalées.

13. Application

Exemple : comparer deux villes

Ce qu’il dit

Zouz mdon, les précipitations fi 9 mois. Nrattbou koll série. 9 valeurs : la médiane hiya la valeur de rang 5. 25 % de 9, 2,25 : Q1 hiya la valeur de rang 3. 75 % de 9, 6,75 : Q3 hiya la valeur de rang 7. Lel ville A : 7, 47, 51, 63, 89. Lel ville B : 10, 28, 33, 34, 41. Ki nchoufou e-zouz boîtes : A fiha mtar akthar, ama mouch mriglla : la boîte mte3ha twila. B la boîte mte3ha 9sira : el mtar fiha montadham akthar.

زوز مدن ، les précipitations في neuf mois . نرتّبو كل série . neuf valeurs : la médiane هي la valeur de rang cinq . vingt-cinq pour cent de neuf ، deux virgule vingt-cinq : Q un هي la valeur de rang trois . soixante-quinze pour cent de neuf ، six virgule soixante-quinze : Q trois هي la valeur de rang sept . للـ ville A : sept ، quarante-sept ، cinquante et un ، soixante-trois ، quatre-vingt-neuf . للـ ville B : dix ، vingt-huit ، trente-trois ، trente-quatre ، quarante et un . كي نشوفو الزوز boîtes : A فيها مطر أكثر ، أما موش مريقلة : الـ boîte متاعها طويلة . B الـ boîte متاعها قصيرة : المطر فيها منتظم أكثر .

Deux villes, les précipitations sur neuf mois. On range chaque série. Neuf valeurs : la médiane est la valeur de rang cinq. Vingt-cinq pour cent de neuf, deux virgule vingt-cinq : Q un est la valeur de rang trois. Soixante-quinze pour cent de neuf, six virgule soixante-quinze : Q trois est la valeur de rang sept. Pour la ville A : sept, quarante-sept, cinquante et un, soixante-trois, quatre-vingt-neuf. Pour la ville B : dix, vingt-huit, trente-trois, trente-quatre, quarante et un. En regardant les deux boîtes : A reçoit plus de pluie, mais de façon irrégulière : sa boîte est longue. La boîte de B est courte : la pluie y est plus régulière.

Les séries suivantes donnent les précipitations moyennes mensuelles, en millimètres, dans deux villes A et B pendant $9$ mois :

Mois	Sep	Oct	Nov	Déc	Jan	Fév	Mars	Avril	Mai
Ville A	47	63	51	50	63	89	72	9	7
Ville B	33	28	41	34	33	37	34	20	10

Mois	Ville A	Ville B
Sep	47	33
Oct	63	28
Nov	51	41
Déc	50	34
Jan	63	33
Fév	89	37
Mars	72	34
Avril	9	20
Mai	7	10

On construit le diagramme en boîte de chaque série, puis on compare les deux séries à l'aide de leurs diagrammes.

Précipitations mensuelles des villes A et B, en millimètres.

Deux diagrammes en boîte au-dessus d'un même axe gradué de 0 à 90 millimètres. Au palier 2, celui de la ville A : un trait de 7 à Q₁ = 47, une boîte de 47 à Q₃ = 63 avec la médiane 51 en rouge, puis un trait de 63 à 89. Au palier 3, celui de la ville B : un trait de 10 à Q₁ = 28, une boîte de 28 à Q₃ = 34 avec la médiane 33 en rouge, puis un trait de 34 à 41. La boîte de B est plus à gauche et beaucoup plus courte que celle de A.

Exemple traité

Détermine les valeurs extrêmes, la médiane et les quartiles de chaque série, puis compare les deux villes.

Ville A rangée — $7\,;\,9\,;\,47\,;\,50\,;\,51\,;\,63\,;\,63\,;\,72\,;\,89$
Les rangs — $n = 9$ : la médiane est la valeur de rang $5$ ; $25\,\%$ de $9$ font $2{,}25,$ donc $Q_{1}$ est la valeur de rang $3$ ; $75\,\%$ de $9$ font $6{,}75,$ donc $Q_{3}$ est celle de rang $7.$
Ville A — On lit $m = 51,$ $Q_{1} = 47$ et $Q_{3} = 63,$ avec des valeurs extrêmes $7$ et $89.$
Ville B rangée — $10\,;\,20\,;\,28\,;\,33\,;\,33\,;\,34\,;\,34\,;\,37\,;\,41$
Ville B — On lit $m = 33,$ $Q_{1} = 28$ et $Q_{3} = 34,$ avec des valeurs extrêmes $10$ et $41.$
Comparaison — La ville A est plus pluvieuse (médiane $51$ contre $33$ ) mais beaucoup plus irrégulière : écart interquartile $16$ contre $6,$ étendue $82$ contre $31.$

A : 7 \;;\; 47 \;;\; 51 \;;\; 63 \;;\; 89 \qquad B : 10 \;;\; 28 \;;\; 33 \;;\; 34 \;;\; 41

14. Définition

La moyenne

Ce qu’il dit

La moyenne x barre : nadhrbou koll valeur fi l'effectif mte3ha, nzidou el koll, w ndivisiw 3la l'effectif total. Nektbou : x barre égale n1 x1 plus n2 x2, et ainsi de suite, le tout sur n. W m3a série continue, koll classe n3awdhouha b le centre mte3ha, ya3ni la moyenne mta3 les bornes. Les voitures : les centres 8,5, 9,5... nadhrbou w nzidou : 1583. Sur 150 : ta9rib 10,6 litres. Rodd belek : ndivisiw 3la l'effectif total, mouch 3la 3adad les classes.

la moyenne x barre : نضربو كل valeur في l'effectif متاعها ، نزيدو الكل ، w نديفيزيو على l'effectif total . نكتبو : x barre égale n un x un plus n deux x deux ، et ainsi de suite ، le tout sur n . w مع série continue ، كل classe نعوّضوها بـ le centre متاعها ، يعني la moyenne متاع les bornes . les voitures : les centres huit virgule cinq ، neuf virgule cinq ... نضربو w نزيدو : mille cinq cent quatre-vingt-trois . sur cent cinquante : تقريب dix virgule six litres . ردّ بالك : نديفيزيو على l'effectif total ، موش على عدد les classes .

La moyenne x barre : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tout, et on divise par l'effectif total. On écrit : x barre égale n un x un plus n deux x deux, et ainsi de suite, le tout sur n. Avec une série continue, on remplace chaque classe par son centre, c'est-à-dire la moyenne de ses bornes. Pour les voitures : les centres huit virgule cinq, neuf virgule cinq... On multiplie et on additionne : mille cinq cent quatre-vingt-trois. Sur cent cinquante : environ dix virgule six litres. Attention : on divise par l'effectif total, pas par le nombre de classes.

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série de valeurs $x_{1},$ $x_{2},$ …, $x_{p}$ d'effectifs $n_{1},$ $n_{2},$ …, $n_{p},$ et d'effectif total $n = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{p}.$ Sa moyenne est le nombre noté $\overline{x}$ :

$\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}$

Pour une série continue, on remplace chaque classe par son centre (la moyenne de ses deux bornes) : on suppose ainsi les valeurs uniformément réparties dans chaque classe. La moyenne obtenue est une valeur approchée.

Exemple : en testant $150$ voitures pour étudier leur consommation d'essence, en litres aux $100$ km, on a obtenu :

Consommation	$[8 ; 9[$	$[9 ; 10[$	$[10 ; 11[$	$[11 ; 12[$	$[12 ; 13[$
Effectif	32	27	20	43	28

Consommation	Effectif
$[8 ; 9[$	32
$[9 ; 10[$	27
$[10 ; 11[$	20
$[11 ; 12[$	43
$[12 ; 13[$	28

\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}

Exemple traité

Calcule la consommation moyenne d'une voiture, arrondie à $10^{-1}$ près.

Les centres — $8{,}5 \quad ; \quad 9{,}5 \quad ; \quad 10{,}5 \quad ; \quad 11{,}5 \quad ; \quad 12{,}5$
La somme des produits — $32 \times 8{,}5 + 27 \times 9{,}5 + 20 \times 10{,}5 + 43 \times 11{,}5 + 28 \times 12{,}5 = 1583$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{1583}{150} \approx 10{,}6$

\overline{x} \approx 10{,}6 \text{ litres aux } 100 \text{ km}

À ne pas faire : $\overline{x} = \dfrac{8{,}5 + 9{,}5 + 10{,}5 + 11{,}5 + 12{,}5}{5} = 10{,}5$ — $\overline{x} = \dfrac{1583}{150} \approx 10{,}6$ . Chaque centre compte autant de fois que l'effectif de sa classe : la moyenne est pondérée par les effectifs.

À ne pas faire : Diviser la somme $1583$ par le nombre de classes, $5$ — Diviser par l'effectif total, $150$ . On partage le total entre les 150 voitures, pas entre les 5 classes.

15. Remarque

Une moyenne qui ne dit pas tout

Ce qu’il dit

La moyenne tet2aththar barcha b les valeurs extrêmes. Zouz groupes, koll wa7ed 14 personne. Le groupe I, l'âge moyen 19 ans, ama ma fammech 7atta 7add 3andou 19 ans : sghar men 2 l 11 ans, w kbar men 34 l 58. La moyenne houni ma te7kich 3la 7atta 7add. W les précipitations : nhar wa7ed fih 150 millimètres, ytalla3 la moyenne l 23,8, ama 9 ayyem men 10 jew 20 walla a9al. Ken nna77iw les valeurs extrêmes, 0 w 150, w na7sbou 3la 7 jours elli b9aw, nal9aw la moyenne élaguée : ta9rib 12,57.

la moyenne تتأثّر برشا بـ les valeurs extrêmes . زوز groupes ، كل واحد quatorze personne . الـ groupe I ، l'âge moyen dix-neuf ans ، أما ما فمّا حتّى حدّ عندو dix-neuf ans : صغار من deux لـ onze ans ، w كبار من trente-quatre لـ cinquante-huit . الـ moyenne هنا ما تحكيش على حتّى حدّ . w les précipitations : نهار واحد فيه cent cinquante millimètres ، يطلّع la moyenne لـ vingt-trois virgule huit ، أما neuf أيّام من dix جاو vingt ولّا أقل . كان ننحّيو les valeurs extrêmes ، zéro w cent cinquante ، w نحسبو على sept jours اللي بقاو ، نلقاو la moyenne élaguée : تقريب douze virgule cinquante-sept .

La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes. Deux groupes de quatorze personnes. Pour le groupe I, l'âge moyen est dix-neuf ans, mais personne n'a dix-neuf ans : des enfants de deux à onze ans, et des adultes de trente-quatre à cinquante-huit ans. La moyenne ne décrit ici personne. Et pour les précipitations : un seul jour à cent cinquante millimètres fait monter la moyenne à vingt-trois virgule huit, alors que neuf jours sur dix ont reçu vingt millimètres ou moins. Si l'on retire les valeurs extrêmes, zéro et cent cinquante, et qu'on calcule sur les sept jours restants, on obtient la moyenne élaguée : environ douze virgule cinquante-sept.

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Deux groupes de $14$ personnes ont pour âges (en années) :

Groupe I	2	4	5	7	10	11	34	35	50	58
Effectif	3	1	1	1	1	2	1	2	1	1

Groupe I	Effectif
2	3
4	1
5	1
7	1
10	1
11	2
34	1
35	2
50	1
58	1

Groupe II	18	19	20	45	46	47	48	50
Effectif	1	5	2	2	1	1	1	1

Groupe II	Effectif
18	1
19	5
20	2
45	2
46	1
47	1
48	1
50	1

L'âge moyen du groupe I est $\dfrac{266}{14} = 19$ ans, celui du groupe II est $\dfrac{434}{14} = 31$ ans. Ces moyennes sont peu significatives : aucune personne du groupe I n'a $19$ ans (des enfants et des adultes), aucune du groupe II n'a $31$ ans.

Quand une valeur isolée fausse la moyenne, on peut calculer une moyenne élaguée : on supprime les valeurs extrêmes, puis on calcule la moyenne des valeurs restantes.

Exemple traité

Les précipitations, en millimètres, enregistrées dans une région pendant $10$ jours sont : $0$ millimètre ( $2$ jours), $10$ millimètres ( $2$ jours), $11$ millimètres ( $3$ jours), $15$ millimètres ( $1$ jour), $20$ millimètres ( $1$ jour), $150$ millimètres ( $1$ jour). Calcule la précipitation moyenne, puis la moyenne élaguée des sept jours qui restent quand on supprime les deux valeurs extrêmes, $0$ et $150.$

La moyenne — $\frac{2 \times 0 + 2 \times 10 + 3 \times 11 + 15 + 20 + 150}{10} = \frac{238}{10} = 23{,}8$
Les sept jours restants — $\frac{2 \times 10 + 3 \times 11 + 15 + 20}{7} = \frac{88}{7} \approx 12{,}57$
Lecture — Un seul jour d'orage, à $150$ millimètres, tirait la moyenne vers le haut : $23{,}8$ millimètres, alors que neuf jours sur dix ont reçu $20$ millimètres ou moins.

\overline{x} = 23{,}8 \text{ mm} \quad ; \quad \text{moyenne élaguée} \approx 12{,}57 \text{ mm}

À ne pas faire : La moyenne des âges du groupe I est 19 ans : c'est un groupe de jeunes de 19 ans — Le groupe I mêle des enfants de 2 à 11 ans et des adultes de 34 à 58 ans. Une moyenne seule ne décrit pas une série : il faut regarder aussi la répartition des valeurs autour d'elle.

16. Propriété

Moyennes partielles

Ce qu’il dit

Ki série tet9ass 3la zouz : p valeur b moyenne x barre, w q valeur b moyenne y barre, la moyenne el koll hiya p x barre plus q y barre, le tout sur (p plus q). 3lech ? 5ater p fois x barre houwa el majmou3 mta3 la première série. Fel 9ism : 20 filles b moyenne 9,55, w 15 garçons b moyenne ta9rib 11,07. Mouch na3mlou la moyenne mta3 e-zouz ! Narj3ou lel majemi3 : 191 plus 166, 357, sur 35 : 10,2.

كي série تتقصّ على زوز : p valeur بـ moyenne x barre ، w q valeur بـ moyenne y barre ، la moyenne الكل هي p x barre plus q y barre ، le tout sur p plus q . علاش ؟ خاطر p fois x barre هو المجموع متاع la première série . في القسم : vingt filles بـ moyenne neuf virgule cinquante-cinq ، w quinze garçons بـ moyenne تقريب onze virgule zéro sept . موش نعملو la moyenne متاع الزوز ! نرجعو للمجاميع : cent quatre-vingt-onze plus cent soixante-six ، trois cent cinquante-sept ، sur trente-cinq : dix virgule deux .

Quand une série est partagée en deux : p valeurs de moyenne x barre, et q valeurs de moyenne y barre, la moyenne totale est p x barre plus q y barre, le tout sur p plus q. Pourquoi ? Parce que p fois x barre est la somme de la première série. Dans la classe : vingt filles de moyenne neuf virgule cinquante-cinq, et quinze garçons de moyenne environ onze virgule zéro sept. On ne fait pas la moyenne des deux ! On revient aux sommes : cent quatre-vingt-onze plus cent soixante-six, trois cent cinquante-sept, sur trente-cinq : dix virgule deux.

Si une série est partagée en deux séries d'effectifs $p$ et $q$ et de moyennes $\overline{x}$ et $\overline{y},$ alors la moyenne de la série totale est :

$\overline{z} = \frac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}$

En effet, $p\,\overline{x}$ est la somme des valeurs de la première série, $q\,\overline{y}$ celle de la seconde, et la série totale compte $p + q$ valeurs.

Voici les notes obtenues dans un devoir par les $35$ élèves d'une classe de 2ᵉ sciences ( $20$ filles et $15$ garçons) : - filles : $12$ ; $10$ ; $10$ ; $6$ ; $8$ ; $13$ ; $11$ ; $8$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $10$ ; $10$ ; $4$ ; $7$ ; $15$ ; $14$ ; $9$ ; $12$ ; $8$ ; - garçons : $8$ ; $11$ ; $11$ ; $9$ ; $15$ ; $14$ ; $13$ ; $10$ ; $10$ ; $9$ ; $7$ ; $6$ ; $15$ ; $14$ ; $14.$

\overline{z} = \frac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}

Exemple traité

Ici, comme dans l'activité, $\overline{x}$ désigne la moyenne de la classe, $\overline{y}$ celle des filles et $\overline{z}$ celle des garçons : la formule devient $\overline{x} = \dfrac{20\,\overline{y} + 15\,\overline{z}}{35}.$ Calcule la moyenne $\overline{y}$ des filles, la moyenne $\overline{z}$ des garçons, puis retrouve la moyenne $\overline{x}$ de la classe à partir de $\overline{y}$ et $\overline{z}.$

Les filles — La somme des $20$ notes des filles est $191.$ $\overline{y} = \frac{191}{20} = 9{,}55$
Les garçons — La somme des $15$ notes des garçons est $166.$ $\overline{z} = \frac{166}{15} \approx 11{,}07$
La classe — On recombine les deux sommes, sans arrondir : $20 \times 9{,}55 = 191$ et $15 \times \dfrac{166}{15} = 166.$ $\overline{x} = \frac{191 + 166}{35} = \frac{357}{35} = 10{,}2$

\overline{y} = 9{,}55 \quad ; \quad \overline{z} \approx 11{,}07 \quad ; \quad \overline{x} = 10{,}2

À ne pas faire : $\overline{x} = \dfrac{9{,}55 + 11{,}07}{2} \approx 10{,}31$ — $\overline{x} = \dfrac{20 \times 9{,}55 + 15 \times \dfrac{166}{15}}{35} = 10{,}2$ . Les deux groupes n'ont pas le même effectif : chaque moyenne partielle compte selon le nombre d'élèves qu'elle résume.

17. Propriété

Moyenne et application affine

Ce qu’il dit

Ken nzidou b l les valeurs el koll, la moyenne tzid b. Ken nadhrbou les valeurs el koll fi a, la moyenne tetdhreb fi a. W fel 3am : la moyenne mta3 a x plus b, hiya a fois x barre plus b. Mathalan, ken nzidou 2 points l koll tilmidh, la moyenne tzid 2, ma kthorch. W ken la moyenne 14 sur 20, sur 40 twalli 28, sur 10 7, w sur 100 70. W hedhi 7ila bech na7sbou bel 5iffa : 8, 13, 12, 9, 14, 10 : non9sou 10, nal9aw des écarts sghar, la moyenne mte3hom 1, w nraj3ou 10 : la moyenne 11.

كان نزيدو b لـ les valeurs الكل ، la moyenne تزيد b . كان نضربو les valeurs الكل في a ، la moyenne تتضرب في a . w في العام : la moyenne متاع a x plus b ، هي a fois x barre plus b . مثلا ، كان نزيدو deux points لكل تلميذ ، la moyenne تزيد deux ، ماكثرش . w كان la moyenne quatorze sur vingt ، sur quarante تولّي vingt-huit ، sur dix sept ، w sur cent soixante-dix . w هذي حيلة باش نحسبو بالخفّة : huit ، treize ، douze ، neuf ، quatorze ، dix : ننقصو dix ، نلقاو des écarts صغار ، la moyenne متاعهم un ، w نرجعو dix : la moyenne onze .

Si on ajoute b à toutes les valeurs, la moyenne augmente de b. Si on multiplie toutes les valeurs par a, la moyenne est multipliée par a. Et en général : la moyenne de a x plus b, c'est a fois x barre plus b. Par exemple, si on ajoute deux points à chaque élève, la moyenne augmente de deux, pas plus. Et si la moyenne est quatorze sur vingt, elle devient vingt-huit sur quarante, sept sur dix, et soixante-dix sur cent. C'est aussi une astuce de calcul : huit, treize, douze, neuf, quatorze, dix : on retranche dix, on obtient de petits écarts, de moyenne un, et on rajoute dix : la moyenne est onze.

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série et soit $\overline{x}$ sa moyenne. - Si on ajoute un nombre réel $b$ à toutes les valeurs de cette série, alors la moyenne de la nouvelle série $(x_{i} + b ; n_{i})$ est $\overline{x} + b.$ - Si on multiplie toutes les valeurs de cette série par un même nombre réel non nul $a,$ alors la moyenne de la nouvelle série $(a\,x_{i} ; n_{i})$ est $a\,\overline{x}.$ - Plus généralement, soit $a$ et $b$ deux nombres réels : si $\overline{x}$ est la moyenne de la série $(x_{i} ; n_{i}),$ alors $a\,\overline{x} + b$ est la moyenne de la série $(a\,x_{i} + b ; n_{i}).$

C'est utile pour simplifier un calcul : on retranche un nombre commode à toutes les valeurs, on calcule la moyenne des écarts, puis on rajoute ce nombre.

\overline{a\,x + b} = a\,\overline{x} + b

Exemple traité

Les notes d'un élève dans six devoirs sont $8$ ; $13$ ; $12$ ; $9$ ; $14$ et $10.$ Calcule sa moyenne en retranchant d'abord $10$ à chaque note. Puis : dans un devoir noté sur $20,$ la moyenne d'une classe est $14$ ; quelle serait-elle si le devoir était noté sur $40,$ sur $10,$ sur $100$ ?

Les écarts à 10 — $-2 \quad ; \quad 3 \quad ; \quad 2 \quad ; \quad -1 \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 0$
Leur moyenne — $\frac{-2 + 3 + 2 - 1 + 4 + 0}{6} = \frac{6}{6} = 1$
On rajoute 10 — $\overline{x} = 1 + 10 = 11$
Changer de barème — Noter sur $40,$ c'est multiplier chaque note par $2$ ; sur $10,$ par $\dfrac{1}{2}$ ; sur $100,$ par $5.$ $2 \times 14 = 28 \quad ; \quad \frac{14}{2} = 7 \quad ; \quad 5 \times 14 = 70$

\overline{x} = 11 \quad ; \quad 28 \text{ sur } 40, \; 7 \text{ sur } 10, \; 70 \text{ sur } 100

À ne pas faire : Si on ajoute 2 points à chaque élève, la moyenne augmente de 2 multiplié par le nombre d'élèves — La moyenne augmente de 2 points, exactement. La somme augmente de 2 fois n, mais on la divise par n : la moyenne augmente de 2.

18. Activité

Pour comprendre : la dispersion

Ce qu’il dit

Zouz mdon, nafs la moyenne, 11 degrés. Ama fi A, les températures 6, 5, 17, 16 : b3ad barcha 3la 11. W fi B : 10, 11, 11, 12 : las9in fiha. Kifech n9isou hedha b nombre wa7ed ? Ma najjmouch nekhdhou la moyenne mta3 les écarts, 5ater les positifs w les négatifs yetna77aw b3adhhom, w ta3ti dima 0. Nekhdhou la moyenne mta3 les carrés des écarts : fi A, 30,5, w fi B, 0,5. W el 7aja e-zina : ki na7sbou la moyenne des carrés des écarts à n'importe quel x, asghar valeur tji bedhabt fi x égale la moyenne. Hedha le minimum houwa elli bech nsammiwh la variance.

زوز مدن ، نفس الـ moyenne ، onze degrés . أما في A ، les températures six ، cinq ، dix-sept ، seize : بعاد برشا على onze . w في B : dix ، onze ، onze ، douze : لاصقين فيها . كيفاش نقيسو هذا بـ nombre واحد ؟ ما ننجّموش ناخذو la moyenne متاع les écarts ، خاطر les positifs w les négatifs يتنحّاو بعضهم ، w تعطي ديما zéro . ناخذو la moyenne متاع les carrés des écarts : في A ، trente virgule cinq ، w في B ، zéro virgule cinq . w الحاجة الزينة : كي نحسبو la moyenne des carrés des écarts à n'importe quel x ، أصغر valeur تجي بالضبط في x égale la moyenne . هذا الـ minimum هو اللي باش نسمّيوه la variance .

Deux villes, même moyenne, onze degrés. Mais à A, les températures six, cinq, dix-sept, seize s'éloignent beaucoup de onze. À B : dix, onze, onze, douze : elles en sont tout près. Comment mesurer cela par un seul nombre ? On ne peut pas prendre la moyenne des écarts, car les écarts positifs et négatifs se compensent : elle vaut toujours zéro. On prend la moyenne des carrés des écarts : trente virgule cinq pour A, et zéro virgule cinq pour B. Et le plus beau : si l'on calcule la moyenne des carrés des écarts à un nombre x quelconque, la plus petite valeur est atteinte exactement quand x égale la moyenne. Ce minimum, c'est ce qu'on va appeler la variance.

Les températures, en degrés Celsius, prises à la même heure pendant quatre jours dans deux villes A et B sont :

Jour	J1	J2	J3	J4
Ville A	6	5	17	16
Ville B	10	11	11	12

Jour	Ville A	Ville B
J1	6	10
J2	5	11
J3	17	11
J4	16	12

Les deux villes ont la même température moyenne, $11°.$ Mais si l'on remplace la température de chaque jour par la moyenne, on commet pour la ville A des erreurs de $5,$ $6,$ $6$ et $5$ degrés, et pour la ville B des erreurs de $1,$ $0,$ $0$ et $1$ degré.

Pour mesurer ces erreurs d'un seul nombre, on considère, pour tout réel $x,$ la moyenne des carrés des écarts à $x$ :

$f(x) = \frac{(x - 6)^{2} + (x - 5)^{2} + (x - 17)^{2} + (x - 16)^{2}}{4}$

En développant, $f(x) = x^{2} - 22x + 151{,}5 = (x - 11)^{2} + 30{,}5$ : $f$ est minimale pour $x = 11,$ la moyenne, et son minimum vaut $30{,}5.$ Pour la ville B, la fonction $g$ analogue s'écrit $g(x) = (x - 11)^{2} + 0{,}5$ : minimum $0{,}5,$ atteint encore en $x = 11.$

Plus généralement, pour une série de moyenne $\overline{x},$ la moyenne des carrés des écarts à $x$ s'écrit $(x - \overline{x})^{2} + V$ : elle est minimale en $x = \overline{x},$ et son minimum $V$ mesure la dispersion de la série autour de sa moyenne.

Exemple traité

Calcule, pour chaque ville, la moyenne des carrés des écarts à la moyenne $11.$

Ville A — $\frac{(6 - 11)^{2} + (5 - 11)^{2} + (17 - 11)^{2} + (16 - 11)^{2}}{4} = \frac{25 + 36 + 36 + 25}{4} = 30{,}5$
Ville B — $\frac{(10 - 11)^{2} + (11 - 11)^{2} + (11 - 11)^{2} + (12 - 11)^{2}}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5$
Lecture — Même moyenne, mais les températures de A s'éloignent bien plus de cette moyenne : $30{,}5$ contre $0{,}5.$

30{,}5 \text{ pour A} \quad ; \quad 0{,}5 \text{ pour B}

À ne pas faire : Mesurer la dispersion par la moyenne des écarts $x_{i} - \overline{x}$ — Prendre la moyenne des CARRÉS des écarts. Les écarts positifs et négatifs se compensent : leur moyenne vaut toujours 0. Le carré les rend tous positifs.

19. Définition

Variance et écart type

Ce qu’il dit

La variance V : na7sbou la moyenne mta3 les carrés, ya3ni n1 fois x1 au carré, plus n2 fois x2 au carré, et ainsi de suite, le tout sur n, w non9sou menha x barre au carré. W l'écart type sigma houwa la racine carrée de V. M3a série continue, nafs la formule, ama x i houma les centres des classes. Mathal : la ville A, la moyenne 1 degré. La moyenne des carrés : 34 sur 10, 3,4. Non9sou 1 au carré : V égale 2,4. W sigma ta9rib 1,55 degré. Rodd belek : moins 1 au carré ya3ti 1, mouch moins 1. W koll ma sigma kbir, la série metfarr9a akthar.

la variance V : نحسبو la moyenne متاع les carrés ، يعني n un fois x un au carré ، plus n deux fois x deux au carré ، et ainsi de suite ، le tout sur n ، w ننقصو منها x barre au carré . w l'écart type sigma هو la racine carrée de V . مع série continue ، نفس الـ formule ، أما x i هوما les centres des classes . مثال : la ville A ، la moyenne un degré . la moyenne des carrés : trente-quatre sur dix ، trois virgule quatre . ننقصو un au carré : V égale deux virgule quatre . w sigma تقريب un virgule cinquante-cinq degré . ردّ بالك : moins un au carré يعطي un ، موش moins un . w كل ما sigma كبير ، la série متفرّقة أكثر .

La variance V : on calcule la moyenne des carrés, c'est-à-dire n un fois x un au carré, plus n deux fois x deux au carré, et ainsi de suite, le tout sur n, et on en retranche x barre au carré. L'écart type sigma est la racine carrée de V. Pour une série continue, même formule, mais les x i sont les centres des classes. Exemple : la ville A, de moyenne un degré. La moyenne des carrés : trente-quatre sur dix, trois virgule quatre. On retranche un au carré : V égale deux virgule quatre. Et sigma vaut environ un virgule cinquante-cinq degré. Attention : moins un au carré donne un, pas moins un. Et plus sigma est grand, plus la série est dispersée.

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série discrète définie par ses valeurs $x_{1},$ $x_{2},$ …, $x_{p}$ et par les effectifs correspondants $n_{1},$ $n_{2},$ …, $n_{p}.$ - La variance de la série est le nombre noté $V$ et défini par $V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + n_{2}(x_{2})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2},$ où $n$ est l'effectif total ( $n = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{p}$ ). - L'écart type de la série est le nombre noté $\sigma$ et défini par $\sigma = \sqrt{V}.$

Remarque. La variance et l'écart type d'une série continue sont définis par les mêmes formules, où $x_{1},$ $x_{2},$ …, $x_{p}$ sont les centres des classes et $n_{1},$ $n_{2},$ …, $n_{p}$ les effectifs respectifs de ces classes.

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; elle est donc positive, et nulle seulement quand toutes les valeurs sont égales. L'écart type s'exprime dans la même unité que les valeurs : plus il est grand, plus la série est dispersée autour de sa moyenne.

Exemple : les températures relevées pendant dix jours dans une ville A.

Température	$-1$	$0$	$1$	$2$	$5$
Nombre de jours	1	3	4	1	1

Température	Nombre de jours
$-1$	1
$0$	3
$1$	4
$2$	1
$5$	1

V = \frac{n_{1}(x_{1})^{2} + n_{2}(x_{2})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}

l'écart type

\sigma = \sqrt{V}

Exemple traité

Calcule la température moyenne de la ville A, la variance $V$ et l'écart type de la série, arrondi au centième.

La moyenne — $\overline{x} = \frac{1 \times (-1) + 3 \times 0 + 4 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 5}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Les carrés — $\frac{1 \times 1 + 3 \times 0 + 4 \times 1 + 1 \times 4 + 1 \times 25}{10} = \frac{34}{10} = 3{,}4$
La variance — $V = 3{,}4 - 1^{2} = 2{,}4$
L'écart type — L'écart type est la racine carrée de la variance : l'écart type $\sigma = \sqrt{2{,}4} \approx 1{,}55$ degré.

\overline{x} = 1 \quad ; \quad V = 2{,}4 \quad ; \quad \text{écart type } \sigma \approx 1{,}55

À ne pas faire : $V = 3{,}4,$ en oubliant de retrancher $(\overline{x})^{2}$ — $V = 3{,}4 - 1^{2} = 2{,}4$ . 3,4 est la moyenne des carrés ; la variance retranche encore le carré de la moyenne.

À ne pas faire : Écrire $(-1)^{2} = -1$ dans la somme des carrés — $(-1)^{2} = 1$ . Un carré est toujours positif : c'est même pour cela que la variance ne peut pas être négative.

À ne pas faire : Donner la variance comme écart type — L'écart type est la racine carrée de la variance. La variance est dans l'unité au carré (des degrés au carré) ; l'écart type revient à l'unité des valeurs.

20. Propriété

Écart type et application affine

Ce qu’il dit

Ken nzidou b l les valeurs el koll, la moyenne tzid b, ama l'écart type ma yetbaddelch : la série tet7arrek, ama ma tetfarr9ch akthar. W ken nadhrbou fi a, l'écart type yetdhreb fi la valeur absolue de a, w la variance fi a au carré. La ville B hiya A plus 1 : la moyenne 2, w la variance nafsha, 2,4. La ville C hiya 2 fois A : la moyenne 2, w la variance 4 fois 2,4, 9,6, w sigma yetdhreb fi 2.

كان نزيدو b لـ les valeurs الكل ، la moyenne تزيد b ، أما l'écart type ما يتبدّلش : الـ série تتحرّك ، أما ما تتفرّقش أكثر . w كان نضربو في a ، l'écart type يتضرب في la valeur absolue de a ، w la variance في a au carré . la ville B هي A plus un : la moyenne deux ، w la variance نفسها ، deux virgule quatre . la ville C هي deux fois A : la moyenne deux ، w la variance quatre fois deux virgule quatre ، neuf virgule six ، w sigma يتضرب في deux .

Si on ajoute b à toutes les valeurs, la moyenne augmente de b, mais l'écart type ne change pas : la série se déplace sans s'étaler davantage. Si on multiplie par a, l'écart type est multiplié par la valeur absolue de a, et la variance par a au carré. La ville B, c'est A plus un : moyenne deux, et la même variance, deux virgule quatre. La ville C, c'est deux fois A : moyenne deux, variance quatre fois deux virgule quatre, soit neuf virgule six, et sigma est multiplié par deux.

Soit $(x_{i} ; n_{i})$ une série et $\sigma$ son écart type. Soit $a$ et $b$ deux nombres réels. - L'écart type de la série $(a\,x_{i} ; n_{i})$ est $|a|\,\sigma.$ - L'écart type de la série $(x_{i} + b ; n_{i})$ est $\sigma.$

Ajouter un même nombre à toutes les valeurs déplace la série sans changer sa dispersion ; multiplier toutes les valeurs par $a$ multiplie les écarts à la moyenne par $a,$ donc la variance par $a^{2}$ et l'écart type par $|a|.$

Les températures de trois villes pendant les mêmes dix jours :

Ville A	$-1$	$0$	$1$	$2$	$5$
Ville B	$0$	$1$	$2$	$3$	$6$
Ville C	$-2$	$0$	$2$	$4$	$10$
Nombre de jours	1	3	4	1	1

Ville A	Ville B	Ville C	Nombre de jours
$-1$	$0$	$-2$	1
$0$	$1$	$0$	3
$1$	$2$	$2$	4
$2$	$3$	$4$	1
$5$	$6$	$10$	1

\sigma_{(a\,x_{i} + b)} = |a| \times \sigma_{(x_{i})}

Exemple traité

La ville A a pour moyenne $1$ et pour variance $2{,}4.$ Déduis-en la moyenne, la variance et l'écart type des villes B et C.

Ville B — Chaque température de B est celle de A augmentée de $1$ : la moyenne augmente de $1,$ la dispersion ne change pas. $\overline{x}_{B} = 1 + 1 = 2 \quad ; \quad V_{B} = 2{,}4$
Ville C — Chaque température de C est le double de celle de A : la moyenne double, la variance est multipliée par $2^{2} = 4.$ $\overline{x}_{C} = 2 \times 1 = 2 \quad ; \quad V_{C} = 4 \times 2{,}4 = 9{,}6$
Les écarts types — L'écart type de B vaut celui de A, environ $1{,}55$ ; celui de C est le double, $2\sqrt{2{,}4} \approx 3{,}10.$

B : \overline{x} = 2,\ V = 2{,}4 \qquad C : \overline{x} = 2,\ V = 9{,}6,\ \text{écart type } \sigma \approx 3{,}10

À ne pas faire : Ajouter 1 à chaque valeur augmente l'écart type de 1 — L'écart type ne change pas. Toutes les valeurs ET la moyenne augmentent de 1 : les écarts à la moyenne restent les mêmes.

À ne pas faire : Doubler les valeurs double la variance — Doubler les valeurs multiplie la variance par 4, et l'écart type par 2. La variance est une moyenne de CARRÉS d'écarts : un écart doublé donne un carré multiplié par 4.

21. Application

Exemple : une série continue

Ce qu’il dit

M3a série continue, nekhdmou b les centres des classes. Na3mlou tableau : n i x i, w n i x i au carré. Les sommes : 622,5, w 12 818,75, w l'effectif total 35. La moyenne ta9rib 17,79. La variance : 12 818,75 sur 35, moins la moyenne au carré : ta9rib 49,92, w sigma ta9rib 7,07. W les tailles ? Koll valeur zedet 140 : la moyenne tzid 140, w l'écart type yo93ed kif ma houwa. Rodd belek : ma t9arrebch la moyenne 9bal ma te7seb la variance.

مع série continue ، نخدمو بـ les centres des classes . نعملو tableau : n i x i ، w n i x i au carré . les sommes : six cent vingt-deux virgule cinq ، w douze mille huit cent dix-huit virgule soixante-quinze ، w l'effectif total trente-cinq . la moyenne تقريب dix-sept virgule soixante-dix-neuf . la variance : douze mille huit cent dix-huit virgule soixante-quinze sur trente-cinq ، moins la moyenne au carré : تقريب quarante-neuf virgule quatre-vingt-douze ، w sigma تقريب sept virgule zéro sept . w les tailles ؟ كل valeur زادت cent quarante : la moyenne تزيد cent quarante ، w l'écart type يقعد كيف ما هو . ردّ بالك : ما تقرّبش la moyenne قْبَلْ ما تحسب la variance .

Avec une série continue, on travaille avec les centres des classes. On dresse le tableau : n i x i, et n i x i au carré. Les sommes : six cent vingt-deux virgule cinq, et douze mille huit cent dix-huit virgule soixante-quinze, pour un effectif total de trente-cinq. La moyenne vaut environ dix-sept virgule soixante-dix-neuf. La variance : douze mille huit cent dix-huit virgule soixante-quinze sur trente-cinq, moins la moyenne au carré : environ quarante-neuf virgule quatre-vingt-douze, et sigma vaut environ sept virgule zéro sept. Et les tailles ? Chaque valeur a augmenté de cent quarante : la moyenne augmente de cent quarante, et l'écart type reste le même. Attention : n'arrondis pas la moyenne avant de calculer la variance.

On considère la série continue suivante :

Classe	$[0 ; 5[$	$[5 ; 10[$	$[10 ; 15[$	$[15 ; 20[$	$[20 ; 25[$	$[25 ; 30[$	$[30 ; 35[$
Effectif $n_{i}$	1	4	7	10	8	3	2
Centre $x_{i}$	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5

Classe	Effectif $n_{i}$	Centre $x_{i}$
$[0 ; 5[$	1	2,5
$[5 ; 10[$	4	7,5
$[10 ; 15[$	7	12,5
$[15 ; 20[$	10	17,5
$[20 ; 25[$	8	22,5
$[25 ; 30[$	3	27,5
$[30 ; 35[$	2	32,5

On dresse le tableau des produits $n_{i}\,x_{i}$ et $n_{i}\,(x_{i})^{2}$ : leurs sommes sont $622{,}5$ et $12\,818{,}75,$ pour un effectif total de $35.$

Les tailles, en cm, des $35$ élèves d'une classe de deuxième année se répartissent avec les mêmes effectifs dans les classes $[140 ; 145[,$ …, $[170 ; 175[$ : chaque centre est augmenté de $140.$

Exemple traité

Calcule la moyenne, la variance et l'écart type de la série, arrondis au centième, puis déduis-en ceux de la série des tailles.

La moyenne — $\overline{x} = \frac{622{,}5}{35} \approx 17{,}79$
La variance — $V = \frac{12\,818{,}75}{35} - \left(\frac{622{,}5}{35}\right)^{2} \approx 49{,}92$
L'écart type — On prend la racine carrée de la variance : l'écart type $\sigma \approx 7{,}07.$
Les tailles — Chaque valeur est augmentée de $140$ : la moyenne aussi, mais la variance et l'écart type ne changent pas. $\overline{y} \approx 17{,}79 + 140 = 157{,}79$

\overline{x} \approx 17{,}79 \;;\; V \approx 49{,}92 \;;\; \text{écart type } \sigma \approx 7{,}07 \qquad \overline{y} \approx 157{,}79 \;;\; \text{même écart type}

À ne pas faire : Arrondir la moyenne à $17{,}8,$ puis calculer $V = 366{,}25 - 17{,}8^{2}$ — Garder la valeur exacte $\dfrac{622{,}5}{35}$ jusqu'au bout. On retranche deux grands nombres voisins : un arrondi trop tôt fausse nettement la variance.

22. Application

Exemple : autour de la moyenne

Ce qu’il dit

Vingt simulations, koll we7da 100 lancers, w n3addou 9addech men marra ta7et pile. La moyenne 50,85, w l'écart type ta9rib 5,53. Tawa nchoufou 9addech men valeur 9riba mel moyenne : bin x barre moins sigma w x barre plus sigma, ya3ni men ta9rib 45,32 l 56,38 : 13 valeur men 20, 65 %. W bin x barre moins 2 sigma w x barre plus 2 sigma : 19 valeur, 95 %, ken 62 barka elli 5arjet.

vingt simulations ، كل وحدة cent lancers ، w نعدّو قدّاش من مرّة طاحت pile . la moyenne cinquante virgule quatre-vingt-cinq ، w l'écart type تقريب cinq virgule cinquante-trois . توّة نشوفو قدّاش من valeur قريبة مالـ moyenne : بين x barre moins sigma w x barre plus sigma ، يعني من تقريب quarante-cinq virgule trente-deux لـ cinquante-six virgule trente-huit : treize valeur من vingt ، soixante-cinq pour cent . w بين x barre moins deux sigma w x barre plus deux sigma : dix-neuf valeur ، quatre-vingt-quinze pour cent ، كان soixante-deux بركا اللي خرجت .

Vingt simulations de cent lancers chacune, et on compte combien de fois pile est sorti. La moyenne est cinquante virgule quatre-vingt-cinq, et l'écart type vaut environ cinq virgule cinquante-trois. Voyons combien de valeurs sont proches de la moyenne : entre x barre moins sigma et x barre plus sigma, c'est-à-dire d'environ quarante-cinq virgule trente-deux à cinquante-six virgule trente-huit : treize valeurs sur vingt, soixante-cinq pour cent. Et entre x barre moins deux sigma et x barre plus deux sigma : dix-neuf valeurs, quatre-vingt-quinze pour cent ; seule soixante-deux en sort.

Le tableau suivant fournit les nombres d'apparitions de pile après $20$ simulations de $100$ lancers d'une pièce de monnaie :

$46$ ; $48$ ; $51$ ; $62$ ; $45$ ; $47$ ; $57$ ; $59$ ; $49$ ; $53$ ; $56$ ; $44$ ; $49$ ; $50$ ; $41$ ; $58$ ; $47$ ; $56$ ; $53$ ; $46.$

La moyenne et l'écart type permettent de délimiter une zone « autour de la moyenne » : on compte les valeurs de l'intervalle d'extrémités $\overline{x} - \sigma$ et $\overline{x} + \sigma,$ puis celles de l'intervalle d'extrémités $\overline{x} - 2\sigma$ et $\overline{x} + 2\sigma.$

[\overline{x} - \sigma ; \overline{x} + \sigma] \qquad [\overline{x} - 2\sigma ; \overline{x} + 2\sigma]

Exemple traité

Calcule la moyenne et l'écart type de la série, puis compte les simulations dans chacun des deux intervalles.

La moyenne — La somme des $20$ valeurs est $1017.$ $\overline{x} = \frac{1017}{20} = 50{,}85$
La variance — La somme des carrés des $20$ valeurs est $52\,327.$ $V = \frac{52\,327}{20} - 50{,}85^{2} = 30{,}6275$
L'écart type — L'écart type $\sigma = \sqrt{30{,}6275} \approx 5{,}53.$
À un écart type — L'intervalle va d'environ $45{,}32$ à $56{,}38$ : il contient $13$ des $20$ valeurs, soit $65\,\%.$
À deux écarts types — L'intervalle va d'environ $39{,}78$ à $61{,}92$ : seule la valeur $62$ en sort ; il contient $19$ valeurs, soit $95\,\%.$

\overline{x} = 50{,}85 \;;\; \text{écart type } \sigma \approx 5{,}53 \quad ; \quad 13 \text{ simulations, puis } 19

À ne pas faire : Compter 46 dans l'intervalle à un écart type parce que 46 est proche de 45,32 — $46 > 45{,}32$ : $46$ est bien dans l'intervalle ; mais $45$ et $44$ n'y sont pas. On compare chaque valeur aux bornes exactes de l'intervalle, sans « à peu près ».

23. Activité

Pour comprendre : l'effet de structure

Ce qu’il dit

Hedhi 7aja ghriba fi les statistiques. Fi 2005, le taux de réussite el koll tla3 : men 60 % l 68. Ama ki nchoufou koll catégorie wa7edha : les non redoublants hbtou chwaya, w les redoublants hbtou men 100 % l 90. Kifech el koll yetla3 w koll jez2 yahbet ? 5ater fi 2005, les redoublants, elli yenaj7ou akthar, walleou 100 sur 250, mouch 30. Hedha esmou effet de structure. W chkoun 3andou el 7a9 ? El koll : le directeur ye7ki 3la 3adad les admis, le professeur 3la le taux, w l'élève w le redoublant 3la koll catégorie.

هذي حاجة غريبة في les statistiques . في deux mille cinq ، le taux de réussite الكل طلع : من soixante pour cent لـ soixante-huit . أما كي نشوفو كل catégorie وحدها : les non redoublants هبطو شويّة ، w les redoublants هبطو من cent pour cent لـ quatre-vingt-dix . كيفاش الكل يطلع w كل جزء يهبط ؟ خاطر في deux mille cinq ، les redoublants ، اللي ينجحو أكثر ، ولّاو cent sur deux cent cinquante ، موش trente . هذا اسمو effet de structure . w شكون عندو الحقّ ؟ الكل : le directeur يحكي على عدد les admis ، le professeur على le taux ، w l'élève w le redoublant على كل catégorie .

Voici une chose étonnante en statistiques. En deux mille cinq, le taux de réussite global monte : de soixante pour cent à soixante-huit. Mais si l'on regarde chaque catégorie séparément : les non-redoublants baissent un peu, et les redoublants passent de cent pour cent à quatre-vingt-dix. Comment le tout peut-il monter quand chaque partie baisse ? Parce qu'en deux mille cinq, les redoublants, qui réussissent mieux, sont cent sur deux cent cinquante, et non plus trente. C'est ce qu'on appelle un effet de structure. Et qui a raison ? Tout le monde : le directeur parle du nombre d'admis, le professeur du taux, l'élève et le redoublant de chaque catégorie.

Voici les résultats au baccalauréat d'un lycée en 2004 puis en 2005 :

	Présentés 2004	Admis 2004	Présentés 2005	Admis 2005
Non redoublants	220	120	150	80
Redoublants	30	30	100	90
Total	250	150	250	170

	Non redoublants	Redoublants	Total
Présentés 2004	220	30	250
Admis 2004	120	30	150
Présentés 2005	150	100	250
Admis 2005	80	90	170

Le directeur : « L'année 2005 marque une progression de $13\,\%$ dans la réussite au bac. »
Un professeur : « Le taux de réussite n'a progressé que de $8\,\%.$ »
Un élève : « Qu'on soit redoublant ou pas, les résultats de 2004 sont meilleurs que ceux de 2005. »
Un redoublant : « Dans ce lycée, en redoublant, les chances de réussir ont diminué de $10\,\%.$ »

Qui a raison ? Tous, chacun à sa façon. Le taux global monte alors que chaque catégorie recule : c'est un effet de structure. En 2005, les redoublants, qui réussissent beaucoup mieux, forment une part bien plus grande des candidats ( $100$ sur $250$ au lieu de $30$ sur $250$ ).

Exemple traité

Calcule le taux de réussite global, celui des non redoublants et celui des redoublants, en 2004 puis en 2005, et vérifie chacune des quatre affirmations.

Global — $\frac{150}{250} = 60\,\% \quad ; \quad \frac{170}{250} = 68\,\%$
Non redoublants — $\frac{120}{220} \approx 54{,}5\,\% \quad ; \quad \frac{80}{150} \approx 53{,}3\,\%$
Redoublants — $\frac{30}{30} = 100\,\% \quad ; \quad \frac{90}{100} = 90\,\%$
Le directeur — Le nombre d'admis passe de $150$ à $170$ : $\dfrac{170}{150} \approx 1{,}13,$ soit environ $13\,\%$ d'admis en plus.
Le professeur — Le taux passe de $60\,\%$ à $68\,\%$ : il gagne $8$ points.
L'élève et le redoublant — Les deux catégories reculent ; pour les redoublants, le taux passe de $100\,\%$ à $90\,\%$ : $10$ points de moins.

60\,\% \to 68\,\% \text{ au total, alors que chaque catégorie recule}

À ne pas faire : Le taux global a augmenté, donc les candidats ont mieux réussi dans chaque catégorie — Les deux catégories ont reculé ; c'est la composition des candidats qui a changé. Un taux global est une moyenne des taux de chaque catégorie, pondérée par leurs effectifs : il bouge aussi quand ces effectifs changent.

24. Application

Un problème pour aller plus loin : le médicament

Ce qu’il dit

Nafs el 7aja m3a médicament. Fi la zone rurale, les hommes yebraw akthar men les femmes. W fi la zone urbaine zeda, les hommes yebraw akthar. Ama ki nlammou e-zouz zones : les hommes ta9rib 53,85 %, w les femmes 57,14. En9lbet ! 3lech ? 5ater les femmes aghlebhom tdewew fi la zone urbaine, w ghadi e-nes tebra akthar barcha. Ma najjmouch na7kmou 3la el far9 bin les hommes w les femmes, ken ma na7sbouch 7sab la zone.

نفس الحاجة مع médicament . في la zone rurale ، les hommes يبراو أكثر من les femmes . w في la zone urbaine زادة ، les hommes يبراو أكثر . أما كي نلمّو الزوز zones : les hommes تقريب cinquante-trois virgule quatre-vingt-cinq pour cent ، w les femmes cinquante-sept virgule quatorze . انقلبت ! علاش ؟ خاطر les femmes أغلبهم تداواو في la zone urbaine ، w غادي الناس تبرا أكثر برشا . ما ننجّموش نحكمو على الفرق بين les hommes w les femmes ، كان ما نحسبوش حساب la zone .

Même phénomène avec un médicament. En zone rurale, les hommes guérissent mieux que les femmes. En zone urbaine aussi, les hommes guérissent mieux. Mais quand on réunit les deux zones : les hommes, environ cinquante-trois virgule quatre-vingt-cinq pour cent, et les femmes, cinquante-sept virgule quatorze. Le résultat s'inverse ! Pourquoi ? Parce que les femmes ont surtout été soignées en zone urbaine, où l'on guérit beaucoup mieux. On ne peut pas juger la différence entre hommes et femmes sans tenir compte de la zone.

Pour tester l'efficacité d'un médicament et comparer les taux de guérison chez l'homme et chez la femme, on a procédé à deux expérimentations, en zone rurale et en zone urbaine :

Zone rurale	Hommes	Femmes	Total
Effectif	3500	1500	5000
Guérisons	1500	500	2000
% de guérisons	42,86 %	33,33 %	40 %

Zone rurale	Effectif	Guérisons	% de guérisons
Hommes	3500	1500	42,86 %
Femmes	1500	500	33,33 %
Total	5000	2000	40 %

Zone urbaine	Hommes	Femmes	Total
Effectif	3000	5500	8500
Guérisons	2000	3500	5500
% de guérisons	66,67 %	63,64 %	64,71 %

Zone urbaine	Effectif	Guérisons	% de guérisons
Hommes	3000	2000	66,67 %
Femmes	5500	3500	63,64 %
Total	8500	5500	64,71 %

1.L'affirmation « le médicament est légèrement plus efficace chez les hommes que chez les femmes » ne paraît-elle pas légitime ?
2.Regroupe toutes les données dans un seul tableau. Quelle est ta conclusion ?

Exemple traité

Regroupe les deux zones et calcule, arrondis au centième, les pourcentages de guérison des hommes, des femmes et de l'ensemble.

Hommes — $\frac{1500 + 2000}{3500 + 3000} = \frac{3500}{6500} \approx 53{,}85\,\%$
Femmes — $\frac{500 + 3500}{1500 + 5500} = \frac{4000}{7000} \approx 57{,}14\,\%$
Ensemble — $\frac{7500}{13\,500} \approx 55{,}56\,\%$
Conclusion — Dans chaque zone, les hommes guérissent un peu mieux ; mais, toutes zones réunies, ce sont les femmes. Les femmes ont été soignées surtout en zone urbaine, où l'on guérit beaucoup mieux : on ne peut pas conclure à une différence entre hommes et femmes sans tenir compte de la zone.

\text{hommes} \approx 53{,}85\,\% \;;\; \text{femmes} \approx 57{,}14\,\% \;;\; \text{ensemble} \approx 55{,}56\,\%

25. Remarque

Fluctuation d'échantillonnage

Ce qu’il dit

Bel calculatrice, la touche Random ta3tina nombre bel sodfa, w menou ntalla3ou pile ou face, walla wejh mta3 dé. Ki n3awdou simulation, les fréquences tetbaddel : marra 40 % pile, marra 60. Hedha esmou la fluctuation d'échantillonnage. Ama koll ma nzidou fi 3adad les lancers, les fréquences tet9arreb akthar : m3a 1000 lancers mta3 dé, koll wejh yetla3 ta9rib marra 3la 6. W 7aja ghriba : fi barcha données s7a7, le premier chiffre houwa 1 ta9rib 30 % mel marrat : hedhi la loi de Benford.

بالـ calculatrice ، الـ touche Random تعطينا nombre بالصدفة ، w منو نطلّعو pile ou face ، ولّا وجه متاع dé . كي نعاودو simulation ، les fréquences تتبدّل : مرّة quarante pour cent pile ، مرّة soixante . هذا اسمو la fluctuation d'échantillonnage . أما كل ما نزيدو في عدد les lancers ، les fréquences تتقارب أكثر : مع mille lancers متاع dé ، كل وجه يطلع تقريب مرّة على six . w حاجة غريبة : في برشا données صحاح ، le premier chiffre هو un تقريب trente pour cent مالمرّات : هذي la loi de Benford .

Avec la calculatrice, la touche Random donne un nombre au hasard, d'où l'on tire pile ou face, ou une face de dé. Quand on refait une simulation, les fréquences changent : une fois quarante pour cent de pile, une autre fois soixante. C'est la fluctuation d'échantillonnage. Mais plus on augmente le nombre de lancers, moins les fréquences fluctuent : avec mille lancers de dé, chaque face sort environ une fois sur six. Et une curiosité : dans beaucoup de données réelles, le premier chiffre est un environ trente pour cent des fois : c'est la loi de Benford.

La touche Random (ou Ran#) de la calculatrice donne un nombre « au hasard » de l'intervalle $[0 ; 1[.$ On en tire un entier au hasard : par exemple, la partie entière de $2 \times \text{Ran\#}$ donne $0$ ou $1$ (pile ou face), et la partie entière de $6 \times \text{Ran\#},$ augmentée de $1,$ donne un entier de $1$ à $6$ (un dé cubique équilibré).

On peut ainsi simuler $100$ jets d'une pièce de monnaie, ou $1000$ jets d'un dé, et résumer les résultats dans un tableau des fréquences.

D'une simulation à l'autre, les fréquences obtenues changent : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Deux séries de $20$ lancers d'une pièce peuvent donner $40\,\%$ de pile, puis $60\,\%.$
Plus l'échantillon est grand, plus les fréquences fluctuent peu : avec $1000$ jets d'un dé équilibré, chaque face sort avec une fréquence proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167.$

Une observation surprenante, la loi de Benford : dans beaucoup de données réelles, le premier chiffre significatif n'est pas équiréparti. Le chiffre $1$ apparaît avec une fréquence voisine de $0{,}301,$ le chiffre $2$ de $0{,}176,$ …, et le chiffre $9$ seulement de $0{,}045$ ; un tirage au hasard d'un chiffre de $1$ à $9,$ lui, donne des fréquences proches de $\dfrac{1}{9} \approx 0{,}111.$

Exemple traité

Quatre simulations de $20$ lancers d'une pièce ont donné $9,$ $12,$ $8$ et $11$ fois pile. Calcule les quatre fréquences de pile et l'étendue de cette série de fréquences.

Les fréquences — $\frac{9}{20} = 0{,}45 \quad ; \quad \frac{12}{20} = 0{,}6 \quad ; \quad \frac{8}{20} = 0{,}4 \quad ; \quad \frac{11}{20} = 0{,}55$
L'étendue — $0{,}6 - 0{,}4 = 0{,}2$
Lecture — Sur $20$ lancers seulement, la fréquence de pile varie nettement autour de $0{,}5$ : elle fluctue d'un échantillon à l'autre.

0{,}45 \;;\; 0{,}6 \;;\; 0{,}4 \;;\; 0{,}55 \quad ; \quad \text{étendue } 0{,}2

À ne pas faire : La pièce est truquée, puisqu'on a obtenu 12 pile sur 20 lancers — Sur 20 lancers, 12 pile est tout à fait possible avec une pièce équilibrée. Sur un petit échantillon, la fréquence fluctue beaucoup ; c'est sur un grand nombre de lancers qu'elle se rapproche de 0,5.

26. Remarque

Pour la culture : les pièges de la moyenne

Ce qu’il dit

Chwaya culture : la moyenne tnajjem tghallthek. Bayya3 3andou mizen dhra3atou mouch kif kif. Youzen marra yal9a 900 grammes, w marra 961, w ya3tik la moyenne : 930,5. Ghalet ! El 7seb e-s7i7 ya3ti la racine carrée de 900 fois 961, ya3ni 30 fois 31 : 930 grammes. W el 7keya mta3 les deux chasseurs : wa7ed dhrab 3 mètres 3al limin, w le5er 3 mètres 3al lisar. En moyenne, el cerf madhroub ! Ma yekfich na7sbou moyenne : lezem nefhmou chnowa te7ki.

شويّة culture : la moyenne تنجّم تغلّطك . بيّاع عندو ميزان ذراعاتو موش كيف كيف . يوزن مرّة يلقى neuf cents grammes ، w مرّة neuf cent soixante et un ، w يعطيك la moyenne : neuf cent trente virgule cinq . غالط ! الحساب الصحيح يعطي la racine carrée de neuf cents fois neuf cent soixante et un ، يعني trente fois trente et un : neuf cent trente grammes . w الحكاية متاع les deux chasseurs : واحد ضرب trois mètres على اليمين ، w لاخر trois mètres على اليسار . en moyenne ، الـ cerf مضروب ! ما يكفيش نحسبو moyenne : لازم نفهمو شنوّة تحكي .

Un peu de culture : la moyenne peut tromper. Un marchand a une balance aux bras inégaux. Une pesée donne neuf cents grammes, l'autre neuf cent soixante et un, et il annonce la moyenne : neuf cent trente virgule cinq. Faux ! Le bon calcul donne la racine carrée de neuf cents fois neuf cent soixante et un, c'est-à-dire trente fois trente et un : neuf cent trente grammes. Et l'histoire des deux chasseurs : l'un tire trois mètres à droite, l'autre trois mètres à gauche. En moyenne, le cerf est touché ! Il ne suffit pas de calculer une moyenne : il faut comprendre ce qu'elle dit.

La balance truquée. Un marchand dispose d'une balance dont les deux bras n'ont pas tout à fait la même longueur. Pour une pesée, il fait deux mesures : en plaçant les masses marquées à gauche, il trouve $900$ grammes ; en les plaçant à droite, il trouve $961$ grammes. Il annonce alors la masse exacte $930{,}5$ grammes, la moyenne des deux résultats. Vrai ou faux ?

Faux. Si les bras ont pour longueurs $\ell_{1}$ et $\ell_{2}$ et si $M$ est la vraie masse, l'équilibre du levier donne $M\,\ell_{1} = 900\,\ell_{2}$ et $M\,\ell_{2} = 961\,\ell_{1}.$ En multipliant membre à membre, $M^{2} = 900 \times 961,$ donc $M = 30 \times 31 = 930$ grammes : la bonne moyenne n'est pas la moyenne arithmétique, mais la moyenne géométrique $\sqrt{900 \times 961}.$

La langue de bois. Cent bûcherons partirent un jour vers la forêt, accompagnés de deux femmes chargées de l'intendance. Avant la fin de l'hiver, deux des hommes épousèrent les deux femmes. Un statisticien résuma : « $2\,\%$ des hommes ont épousé $100\,\%$ des femmes. » Exact… et trompeur.

La cible. Deux chasseurs tirent sur un cerf : la flèche du premier passe trois mètres à droite, celle du second trois mètres à gauche. « En moyenne », l'animal est touché !

Exemple traité

Avec la balance truquée, les deux pesées donnent $900$ grammes et $961$ grammes. Quelle est la vraie masse ?

Les deux équilibres — $M \times \ell_{1} = 900 \times \ell_{2} \quad ; \quad M \times \ell_{2} = 961 \times \ell_{1}$
Membre à membre — On multiplie les deux égalités et on simplifie par le produit des longueurs, qui n'est pas nul. $M^{2} = 900 \times 961$
La vraie masse — $M = \sqrt{900 \times 961} = 30 \times 31 = 930$

M = 930 \text{ grammes, et non } 930{,}5 \text{ grammes}

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

Une série chronologique est une série de valeurs d’une même variable observée à des instants régulièrement espacés ; indice $= 100 \times$ coefficient multiplicateur.Série chronologique : valeurs mta3 nafs la variable fi aw9at metba3din bel 9ad. L'indice égale cent fois le coefficient multiplicateur.Une série chronologique : les valeurs d'une même variable à des instants régulièrement espacés. L'indice égale cent fois le coefficient multiplicateur.
Le mode est la valeur de plus grand effectif ; l’étendue est la plus grande valeur moins la plus petite.Le mode houwa la valeur elli 3andha akber effectif, w l'étendue hiya akber valeur moins asghar valeur.Le mode est la valeur de plus grand effectif, et l'étendue est la plus grande valeur moins la plus petite.
La médiane partage la population en deux parties de même effectif ; pour une série continue, on l’obtient par interpolation linéaire.La médiane t9oss la population 3la zouz bel 9ad ; m3a série continue, nal9awha b l'interpolation linéaire.La médiane partage la population en deux parts égales ; pour une série continue, on l'obtient par interpolation linéaire.
$Q_{1}$ (resp. $Q_{3}$ ) est la plus petite valeur telle qu’au moins $25\,\%$ (resp. $75\,\%$ ) de l’effectif ait une valeur inférieure ou égale ; $Q_{3} - Q_{1}$ est l’écart interquartile.Q1 houwa asghar valeur b 7aythou 3al a9al 25 % a9al menha walla kifha, w Q3 m3a 75 %. Q3 moins Q1 houwa l'écart interquartile.Q un est la plus petite valeur telle qu'au moins vingt-cinq pour cent soient inférieures ou égales, et Q trois avec soixante-quinze pour cent. Q trois moins Q un est l'écart interquartile.
Le diagramme en boîte place les valeurs extrêmes, $Q_{1},$ la médiane et $Q_{3}.$ Le diagramme en boîte fih les valeurs extrêmes, Q1, la médiane w Q3.Le diagramme en boîte place les valeurs extrêmes, Q un, la médiane et Q trois.
$\overline{x} = \dfrac{n_{1}x_{1} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}$ ; moyennes partielles : $\overline{z} = \dfrac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}.$ x barre égale n1 x1 plus et ainsi de suite, le tout sur n. W les moyennes partielles : p x barre plus q y barre, le tout sur (p plus q).x barre égale n un x un plus et ainsi de suite, le tout sur n. Et les moyennes partielles : p x barre plus q y barre, le tout sur p plus q.
$V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}$ et l’écart type $\sigma = \sqrt{V}.$ La variance : la moyenne des carrés moins x barre au carré, w l'écart type sigma houwa la racine carrée de V.La variance : la moyenne des carrés moins x barre au carré, et l'écart type sigma est la racine carrée de V.
La série $(a\,x_{i} + b)$ a pour moyenne $a\,\overline{x} + b$ ; la série $(a\,x_{i})$ a pour écart type $|a|\,\sigma$ et la série $(x_{i} + b)$ garde l’écart type $\sigma.$ La moyenne mta3 a x plus b hiya a x barre plus b. Ki nadhrbou fi a, l'écart type yetdhreb fi la valeur absolue de a, w ki nzidou b, ma yetbaddelch.La moyenne de a x plus b est a x barre plus b. En multipliant par a, l'écart type est multiplié par la valeur absolue de a ; en ajoutant b, il ne change pas.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna les statistiques. Tfakker : 9bal ma te7seb la médiane walla les quartiles, rattab les valeurs ; la moyenne tet7seb b les effectifs, w tet2aththar b les valeurs extrêmes ; w l'écart type y9is la dispersion. W rodd belek men effet de structure. Yalla lel exercices.

هكّا كمّلنا les statistiques . تفكّر : قْبَلْ ما تحسب la médiane ولّا les quartiles ، رتّب les valeurs ؛ la moyenne تتحسب بـ les effectifs ، w تتأثّر بـ les valeurs extrêmes ؛ w l'écart type يقيس الـ dispersion . w ردّ بالك من effet de structure . يالله للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé les statistiques. Retiens : avant de calculer la médiane ou les quartiles, range les valeurs ; la moyenne se calcule avec les effectifs, et les valeurs extrêmes la déplacent ; et l'écart type mesure la dispersion. Et méfie-toi de l'effet de structure. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Population, échantillon, caractère

c'est quoi un échantillon
echantillon chnowa
la taille de l'échantillon ma3neha
différence entre population et échantillon

Ce qu’il répond

La population hiya e-nes el koll elli n7ebbou na3rfou 3lihom, w l'échantillon houwa el jez2 menhom elli fe3lan sa2alnehom. La taille de l'échantillon hiya 3adad e-nes elli fih. Mathalan, les élèves mta3 l'établissement houma la population, w les 100 internes houma l'échantillon.

la population هي الناس الكل اللي نحبّو نعرفو عليهم ، w l'échantillon هو الجزء منهم اللي فعلا سألناهم . la taille de l'échantillon هي عدد الناس اللي فيه . مثلا ، les élèves متاع l'établissement هوما la population ، w les cent internes هوما l'échantillon .

La population, c'est l'ensemble des personnes qu'on veut étudier, et l'échantillon, c'est la partie qu'on a réellement interrogée. La taille de l'échantillon, c'est son effectif. Par exemple, les élèves de l'établissement forment la population, et les cent internes l'échantillon.

Question 2 · Population, échantillon, caractère

quantitatif ou qualitatif comment savoir
c'est quoi un caractère qualitatif
caractere quantitatif ma3neha chnowa
qualitatif w quantitatif chnowa el far9

Ce qu’il répond

Le caractère quantitatif yet9as b nombre, kif l'âge, le poids walla la taille. Le caractère qualitatif ma yet9asch b nombre, kif le groupe sanguin walla la couleur. W 7atta ken nektbouh b chiffres, kif numéro de téléphone, yo93ed qualitatif : ma 3andou 7atta ma3na na3mlou 3lih moyenne.

الـ caractère quantitatif يتقاس بـ nombre ، كيف l'âge ، le poids ولّا la taille . الـ caractère qualitatif ما يتقاسش بـ nombre ، كيف le groupe sanguin ولّا la couleur . w حتّى كان نكتبوه بـ chiffres ، كيف numéro de téléphone ، يقعد qualitatif : ما عندو حتّى معنى نعملو عليه moyenne .

Un caractère quantitatif se mesure par un nombre, comme l'âge, le poids ou la taille. Un caractère qualitatif ne se mesure pas par un nombre, comme le groupe sanguin ou la couleur. Même écrit avec des chiffres, comme un numéro de téléphone, il reste qualitatif : en faire la moyenne n'aurait aucun sens.

Question 3 · Pour comprendre : bâtons et histogramme

série discrète ou continue
c'est quoi une série continue
serie discrete chnowa
discret w continu chnowa el far9

Ce qu’il répond

Série discrète, les valeurs ma3zoulin, kif l'âge bel snin : 16, 17, 18. Série continue, le caractère ynajjem ye5ou ayy valeur fi intervalle, kif la taille walla le poids : nlammou les valeurs fi des classes. La série discrète nersmouha b diagramme en bâtons, w la série continue b histogramme.

série discrète ، les valeurs معزولين ، كيف l'âge بالسنين : seize ، dix-sept ، dix-huit . série continue ، الـ caractère ينجّم ياخذ أيّ valeur في intervalle ، كيف la taille ولّا le poids : نلمّو les valeurs في des classes . la série discrète نرسموها بـ diagramme en bâtons ، w la série continue بـ histogramme .

Dans une série discrète, les valeurs sont isolées, comme l'âge en années : seize, dix-sept, dix-huit. Dans une série continue, le caractère peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle, comme la taille ou le poids : on regroupe les valeurs en classes. La première se représente par un diagramme en bâtons, la seconde par un histogramme.

Question 4 · Série chronologique et indice

c'est quoi une série chronologique
serie chronologique chnowa
chronologique ma3neha
exemple de série chronologique

Ce qu’il répond

Série chronologique hiya valeurs mta3 nafs la variable, nchoufouha fi aw9at metba3din bel 9ad, kif koll 3am walla koll chhar. Mathalan la production mta3 le blé dur 3am ba3d 3am. Nersmouha b courbe d'évolution : les années 3la l'axe des abscisses.

série chronologique هي valeurs متاع نفس الـ variable ، نشوفوها في أوقات متباعدين بالقدا ، كيف كل عام ولّا كل شهر . مثلا la production متاع le blé dur عام بعد عام . نرسموها بـ courbe d'évolution : les années على l'axe des abscisses .

Une série chronologique, ce sont les valeurs d'une même variable observées à des instants régulièrement espacés, par exemple chaque année ou chaque mois. Par exemple, la production de blé dur année après année. On la représente par une courbe d'évolution, avec les années en abscisse.

Question 5 · Série chronologique et indice

c'est quoi l'indice base 100
indice kifech na7sbou
comment calculer l'indice d'une année
indice 49 ma3neha chnowa

Ce qu’il écrit au tableau

$\text{indice} = 100 \times \dfrac{\text{valeur de l'année}}{\text{valeur de l'année de base}}$

Ce qu’il répond

L'indice base 100 y9ayyes koll 3am b l'année de base. Na7sbou le coefficient multiplicateur, la valeur mta3 el 3am sur la valeur mta3 l'année de base, w nadhrbouh fi 100. Indice 147, ma3neha zedet 47 %. W indice 49, ma3neha n9sset 51 %.

l'indice base cent يقارن كل عام بـ l'année de base . نحسبو le coefficient multiplicateur ، la valeur متاع العام sur la valeur متاع l'année de base ، w نضربوه في cent . indice cent quarante-sept ، معناها زادت quarante-sept pour cent . w indice quarante-neuf ، معناها نقصت cinquante et un pour cent .

L'indice base cent situe chaque année par rapport à l'année de base. On calcule le coefficient multiplicateur, la valeur de l'année sur la valeur de l'année de base, et on le multiplie par cent. Un indice de cent quarante-sept signifie une hausse de quarante-sept pour cent, et un indice de quarante-neuf une baisse de cinquante et un pour cent.

Question 6 · Série chronologique et indice

c'est quoi le coefficient multiplicateur
coefficient multiplicateur kifech nal9ah
comment trouver le coefficient multiplicateur

Ce qu’il répond

Le coefficient multiplicateur houwa le nombre elli nadhrbou fih la valeur mta3 l'année de base bech nousslou l la valeur mta3 el 3am. Na7sbouh b quotient : la valeur mta3 el 3am sur la valeur de base. Ken akber men 1, zedet, w ken asghar men 1, n9sset.

le coefficient multiplicateur هو الـ nombre اللي نضربو فيه la valeur متاع l'année de base باش نوصلو لـ la valeur متاع العام . نحسبوه بـ quotient : la valeur متاع العام sur la valeur de base . كان أكبر من un ، زادت ، w كان أصغر من un ، نقصت .

Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel on multiplie la valeur de l'année de base pour obtenir celle de l'année. On le calcule par un quotient : la valeur de l'année sur la valeur de base. S'il est plus grand que un, il y a eu hausse ; plus petit que un, baisse.

Question 7 · Exemple : un diagramme circulaire

diagramme circulaire comment calculer les angles
l'angle d'un secteur kifech na7sbou
comment faire un diagramme circulaire

Ce qu’il écrit au tableau

$\text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°$

Ce qu’il répond

Fel diagramme circulaire, 360 degrés hiya l'effectif total. L'angle mta3 koll secteur : l'effectif mte3ou sur l'effectif total, fois 360. W fel le5er net-thabtou elli el majmou3 ya3ti 360.

في الـ diagramme circulaire ، trois cent soixante degrés هي l'effectif total . الـ angle متاع كل secteur : l'effectif متاعو sur l'effectif total ، fois trois cent soixante . w في الآخر نتثبّتو اللي المجموع يعطي trois cent soixante .

Dans un diagramme circulaire, trois cent soixante degrés représentent l'effectif total. L'angle de chaque secteur est son effectif sur l'effectif total, fois trois cent soixante. À la fin, on vérifie que la somme des angles fait bien trois cent soixante.

Question 8 · Pour comprendre : bâtons et histogramme

c'est quoi un histogramme
histogramme ou diagramme en bâtons
histogramme kifech nersmouh

Ce qu’il répond

L'histogramme ymaththel série continue : 3la koll classe nersmou rectangle, w les rectangles las9in fi b3adhhom. Ki les classes 3andhom nafs l'amplitude, e-toul mta3 le rectangle houwa l'effectif. Ama série discrète nersmouha b diagramme en bâtons, bâton l koll valeur.

الـ histogramme يمثّل série continue : على كل classe نرسمو rectangle ، w les rectangles لاصقين في بعضهم . كي les classes عندهم نفس l'amplitude ، الطول متاع الـ rectangle هو l'effectif . أما série discrète نرسموها بـ diagramme en bâtons ، bâton لكل valeur .

Un histogramme représente une série continue : sur chaque classe, on dessine un rectangle, et les rectangles sont accolés. Quand les classes ont la même amplitude, la hauteur du rectangle est l'effectif. Une série discrète, elle, se représente par un diagramme en bâtons, un bâton par valeur.

Question 9 · Effectifs cumulés croissants

effectifs cumulés croissants kifech
c'est quoi l'effectif cumulé
comment calculer les effectifs cumulés
courbe des fréquences cumulées croissantes

Ce qu’il répond

L'effectif cumulé croissant y9ollek 9addech men individu 3andou valeur a9al walla kifha. Nrattbou les valeurs, w nzidou les effectifs wa7ed wra le5er. La fréquence cumulée hiya l'effectif cumulé sur l'effectif total. W fi la courbe, e-nou9ta mta3 koll classe n7ottouha fi la borne supérieure mte3ha.

l'effectif cumulé croissant يقلّك قدّاش من individu عندو valeur أقل ولّا كيفها . نرتّبو les valeurs ، w نزيدو les effectifs واحد ورا الآخر . la fréquence cumulée هي l'effectif cumulé sur l'effectif total . w في la courbe ، النقطة متاع كل classe نحطّوها في la borne supérieure متاعها .

L'effectif cumulé croissant te dit combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale. On range les valeurs et on additionne les effectifs les uns après les autres. La fréquence cumulée, c'est l'effectif cumulé sur l'effectif total. Et sur la courbe, le point de chaque classe se place à sa borne supérieure.

Question 10 · Population, échantillon, caractère

c'est quoi la fréquence d'une valeur
frequence kifech na7sbouha
comment calculer une fréquence

Ce qu’il répond

La fréquence mta3 valeur hiya l'effectif mte3ha sur l'effectif total. Dima bin 0 w 1, w najjmou nektbouha pour cent. Mathalan 35 élève 3la 100 : 0,35, ya3ni 35 %. W majmou3 les fréquences el koll ya3ti 1.

la fréquence متاع valeur هي l'effectif متاعها sur l'effectif total . ديما بين zéro w un ، w نجّمو نكتبوها pour cent . مثلا trente-cinq élève على cent : zéro virgule trente-cinq ، يعني trente-cinq pour cent . w مجموع les fréquences الكل يعطي un .

La fréquence d'une valeur, c'est son effectif sur l'effectif total. Elle est toujours entre zéro et un, et on peut l'écrire en pourcentage. Par exemple trente-cinq élèves sur cent : zéro virgule trente-cinq, soit trente-cinq pour cent. Et la somme de toutes les fréquences vaut un.

Question 11 · Étendue, mode et classe modale

c'est quoi le mode d'une série
mode chnowa
classe modale kifech nal9aha
une série peut avoir deux modes

Ce qu’il répond

Le mode houwa la valeur elli 3andha akber effectif. Rodd belek : houwa valeur, mouch effectif. Série tnajjem ykoun 3andha zouz modes, ken zouz valeurs 3andhom nafs akber effectif. W m3a les classes, n7kiw 3la la classe modale, la classe elli 3andha akber effectif.

le mode هو الـ valeur اللي عندها أكبر effectif . ردّ بالك : هو valeur ، موش effectif . série تنجّم يكون عندها زوز modes ، كان زوز valeurs عندهم نفس أكبر effectif . w مع les classes ، نحكيو على la classe modale ، الـ classe اللي عندها أكبر effectif .

Le mode est la valeur qui a le plus grand effectif. Attention : c'est une valeur, pas un effectif. Une série peut avoir deux modes, si deux valeurs ont le même plus grand effectif. Avec des classes, on parle de classe modale : la classe de plus grand effectif.

Question 12 · Étendue, mode et classe modale

c'est quoi l'étendue
etendue kifech na7sbouha
l'étendue d'une série statistique

Ce qu’il répond

L'étendue hiya akber valeur moins asghar valeur. Mathalan les âges men 16 l 22 : l'étendue 6 ans. Ta3tik fekra 3la 9addech la série metfarr9a, ama valeur we7da chadhdha tnajjem tkabbarha barcha.

l'étendue هي أكبر valeur moins أصغر valeur . مثلا les âges من seize لـ vingt-deux : l'étendue six ans . تعطيك فكرة على قدّاش la série متفرّقة ، أما valeur وحدة شاذّة تنجّم تكبّرها برشا .

L'étendue, c'est la plus grande valeur moins la plus petite. Par exemple, des âges de seize à vingt-deux ans : l'étendue est six ans. Elle donne une idée de la dispersion, mais une seule valeur isolée peut la gonfler beaucoup.

Question 13 · La médiane

c'est quoi la médiane
mediane chnowa
comment trouver la médiane
la médiane kifech nal9aha

Ce qu’il répond

La médiane hiya la valeur elli t9oss la population 3la zouz bel 9ad : e-noss 3andhom valeur a9al menha walla kifha, w e-noss le5er akthar. Bech nal9awha, awwel 7aja nrattbou les valeurs, w nesta3mlou les effectifs cumulés bech nal9aw le rang mta3 el wost.

la médiane هي الـ valeur اللي تقصّ الـ population على زوز بالقدا : النصّ عندهم valeur أقل منها ولّا كيفها ، w النصّ لخر أكثر . باش نلقاوها ، أوّل حاجة نرتّبو les valeurs ، w نستعملو les effectifs cumulés باش نلقاو الـ rang متاع الوسط .

La médiane est la valeur qui partage la population en deux parts égales : la moitié a une valeur inférieure ou égale, l'autre moitié une valeur supérieure ou égale. Pour la trouver, on range d'abord les valeurs, et on utilise les effectifs cumulés pour repérer le rang du milieu.

Question 14 · La médiane

médiane quand l effectif est pair
mediane ken n pair kifech
effectif impair rang de la médiane

Ce qu’il répond

Ken n impair, la médiane hiya la valeur de rang (n + 1)/2. Ken n pair, nekhdhou la moyenne mta3 les valeurs de rang n/2 et n/2 + 1. Mathalan 20 notes : les rangs 10 et 11.

كان n impair ، la médiane هي الـ valeur de rang n plus un ، le tout sur deux . كان n pair ، ناخذو la moyenne متاع les valeurs de rang n sur deux et n sur deux plus un . مثلا vingt notes : les rangs dix et onze .

Si n est impair, la médiane est la valeur de rang n plus un, le tout sur deux. Si n est pair, on prend la moyenne des valeurs de rangs n sur deux et n sur deux plus un. Par exemple, pour vingt notes : les rangs dix et onze.

Question 15 · La médiane d'une série continue

c'est quoi l'interpolation linéaire
interpolation lineaire kifech
comment faire une interpolation

Ce qu’il écrit au tableau

$\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150 - 74}{157 - 74}$

Ce qu’il répond

M3a série continue, nefrdhou elli les valeurs mfarr9in bel 9ad fi koll classe. Nal9aw la classe elli fiha la médiane, w nektbou : m moins la borne inférieure, sur l'amplitude, égale l'effectif elli yelzemna moins l'effectif cumulé fi awwel la classe, sur l'effectif mta3 la classe. Mathalan : (m − 60)/20 = 76/83.

مع série continue ، نفرضو اللي les valeurs مفرّقين بالقدا في كل classe . نلقاو la classe اللي فيها la médiane ، w نكتبو : m moins la borne inférieure ، sur l'amplitude ، égale الـ effectif اللي يلزمنا moins l'effectif cumulé في أوّل الـ classe ، sur l'effectif متاع الـ classe . مثلا : m moins soixante ، sur vingt ، égale soixante-seize sur quatre-vingt-trois .

Avec une série continue, on suppose les valeurs réparties régulièrement dans chaque classe. On repère la classe qui contient la médiane, et on écrit : m moins la borne inférieure, sur l'amplitude, égale l'effectif visé moins l'effectif cumulé au début de la classe, sur l'effectif de la classe. Par exemple : m moins soixante, sur vingt, égale soixante-seize sur quatre-vingt-trois.

Question 16 · Les quartiles

c'est quoi un quartile
quartile kifech nal9ah
comment calculer Q1 et Q3
premier quartile chnowa

Ce qu’il répond

Q1 houwa asghar valeur, b 7aythou 3al a9al 25 % men l'effectif 3andhom valeur a9al menha walla kifha. W Q3 nafs el 7aja m3a 75 %. Na7sbou 25 % de n, hedha rang, w nekhdhou la valeur elli fel rang hedheka. Ken mouch entier, nekhdhou le rang entier elli fou9ou toul : 2,25 ya3ti le rang 3. W le deuxième quartile houwa la médiane.

Q un هو أصغر valeur ، بحيث على الأقل vingt-cinq pour cent من l'effectif عندهم valeur أقل منها ولّا كيفها . w Q trois نفس الحاجة مع soixante-quinze pour cent . نحسبو vingt-cinq pour cent de n ، هذا rang ، w ناخذو la valeur اللي في الـ rang هذاكا . كان موش entier ، ناخذو le rang entier اللي فوقو طول : deux virgule vingt-cinq يعطي le rang trois . w le deuxième quartile هو la médiane .

Q un est la plus petite valeur telle qu'au moins vingt-cinq pour cent de l'effectif ont une valeur inférieure ou égale. Q trois, c'est la même chose avec soixante-quinze pour cent. On calcule vingt-cinq pour cent de n, ce qui donne un rang, et on prend la valeur qui occupe ce rang. Si ce n'est pas un entier, on prend le rang entier juste au-dessus : deux virgule vingt-cinq donne le rang trois. Le deuxième quartile, c'est la médiane.

Question 17 · Diagramme en boîte

c'est quoi l'écart interquartile
intervalle interquartile chnowa
interquartile kifech na7sbou

Ce qu’il écrit au tableau

$Q_{3} - Q_{1}$

Ce qu’il répond

L'intervalle interquartile houwa men Q1 l Q3, w l'écart interquartile houwa Q3 moins Q1. Fih ta9rib e-noss elli fel wost mel série. Koll ma ykoun sghir, les valeurs mlammin 7dhe la médiane.

l'intervalle interquartile هو من Q un لـ Q trois ، w l'écart interquartile هو Q trois moins Q un . فيه تقريب النصّ اللي في الوسط مالـ série . كل ما يكون صغير ، les valeurs ملمومين حذا la médiane .

L'intervalle interquartile va de Q un à Q trois, et l'écart interquartile, c'est Q trois moins Q un. Il contient à peu près la moitié centrale de la série. Plus il est petit, plus les valeurs sont serrées autour de la médiane.

Question 18 · Diagramme en boîte

comment construire un diagramme en boîte
diagramme en boite kifech nersmouh
la boîte à moustaches

Ce qu’il répond

3la axe gradué n7ottou 5amsa nombres : asghar valeur, Q1, la médiane, Q3, w akber valeur. Nersmou rectangle men Q1 l Q3, w trait fi la médiane. W men koll jiha, 5att 7atta lel valeur extrême. La boîte e-twila ma3neha série metfarr9a.

على axe gradué نحطّو خمسة nombres : أصغر valeur ، Q un ، la médiane ، Q trois ، w أكبر valeur . نرسمو rectangle من Q un لـ Q trois ، w trait في la médiane . w من كل جيهة ، خطّ حتّى للـ valeur extrême . الـ boîte الطويلة معناها série متفرّقة .

Sur un axe gradué, on place cinq nombres : la plus petite valeur, Q un, la médiane, Q trois et la plus grande valeur. On dessine un rectangle de Q un à Q trois, avec un trait à la médiane, puis de chaque côté un trait jusqu'à la valeur extrême. Une boîte longue signale une série dispersée.

Question 19 · La moyenne

comment calculer la moyenne
moyenne kifech na7sbouha
formule de la moyenne

Ce qu’il écrit au tableau

$\overline{x} = \dfrac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}$

Ce qu’il répond

Nadhrbou koll valeur fi l'effectif mte3ha, nzidou el koll, w ndivisiw 3la l'effectif total. x barre égale n1 x1 plus n2 x2, et ainsi de suite, le tout sur n. M3a série continue, nekhdhou le centre mta3 koll classe.

نضربو كل valeur في l'effectif متاعها ، نزيدو الكل ، w نديفيزيو على l'effectif total . x barre égale n un x un plus n deux x deux ، et ainsi de suite ، le tout sur n . مع série continue ، ناخذو le centre متاع كل classe .

On multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne tout, et on divise par l'effectif total. x barre égale n un x un plus n deux x deux, et ainsi de suite, le tout sur n. Avec une série continue, on prend le centre de chaque classe.

Question 20 · La moyenne

centre de la classe kifech
c'est quoi le centre d'une classe
pourquoi on prend le centre des classes

Ce qu’il répond

Le centre mta3 classe houwa la moyenne mta3 e-zouz bornes : la classe [8 ; 9[, le centre mte3ha 8,5. Nekhdhouh fi blaset les valeurs mta3 la classe, 5ater nefrdhou elli houma mfarr9in bel 9ad fiha. Hakka la moyenne elli nal9awha ta9ribiya.

le centre متاع classe هو la moyenne متاع الزوز bornes : la classe من huit لـ neuf ، le centre متاعها huit virgule cinq . ناخذوه في بلاصة les valeurs متاع الـ classe ، خاطر نفرضو اللي هوما مفرّقين بالقدا فيها . هكّا la moyenne اللي نلقاوها تقريبية .

Le centre d'une classe est la moyenne de ses deux bornes : la classe de huit à neuf a pour centre huit virgule cinq. On le prend à la place des valeurs de la classe, en les supposant réparties régulièrement. La moyenne obtenue est donc une valeur approchée.

Question 21 · Une moyenne qui ne dit pas tout

c'est quoi une moyenne élaguée
moyenne elaguee chnowa
pourquoi élaguer une série

Ce qu’il répond

La moyenne tet2aththar barcha b valeur extrême. Ken famma valeur chadhdha, kif nhar fih 150 millimètres mtar, nna77iw les valeurs extrêmes w na7sbou la moyenne mta3 elli b9aw : hedhi la moyenne élaguée. Ta3ti soura asa77 3la la série.

la moyenne تتأثّر برشا بـ valeur extrême . كان فمّا valeur شاذّة ، كيف نهار فيه cent cinquante millimètres مطر ، ننحّيو les valeurs extrêmes w نحسبو la moyenne متاع اللي بقاو : هذي la moyenne élaguée . تعطي صورة أصحّ على الـ série .

La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes. Quand une valeur est isolée, comme un jour à cent cinquante millimètres de pluie, on retire les valeurs extrêmes et on calcule la moyenne de celles qui restent : c'est la moyenne élaguée. Elle donne une image plus fidèle de la série.

Question 22 · Moyennes partielles

moyennes partielles kifech
moyenne de deux groupes réunis
filles et garçons moyenne de la classe

Ce qu’il écrit au tableau

$\overline{z} = \dfrac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}$

Ce qu’il répond

Ma na3mlouch la moyenne mta3 e-zouz moyennes ! Narj3ou lel majemi3 : p fois x barre, plus q fois y barre, le tout sur (p plus q). 5ater koll groupe lezem yet7seb 9add ma 3andou men e-nes.

ما نعملوش la moyenne متاع الزوز moyennes ! نرجعو للمجاميع : p fois x barre ، plus q fois y barre ، le tout sur p plus q . خاطر كل groupe لازم يتحسب قدّ ما عندو مالناس .

On ne fait pas la moyenne des deux moyennes ! On revient aux sommes : p fois x barre, plus q fois y barre, le tout sur p plus q. Car chaque groupe doit compter selon son effectif.

Question 23 · Moyenne et application affine

si on ajoute 2 points à chaque note la moyenne
application affine moyenne et écart type
nzidou nafs el nombre l koll valeur

Ce qu’il écrit au tableau

$\overline{a\,x + b} = a\,\overline{x} + b$

Ce qu’il répond

Ken nzidou b l les valeurs el koll, la moyenne tzid b, w l'écart type ma yetbaddelch. Ken nadhrbou les valeurs el koll fi a, la moyenne tetdhreb fi a, w l'écart type fi la valeur absolue de a. Mathalan 2 points l koll tilmidh : la moyenne tzid 2.

كان نزيدو b لـ les valeurs الكل ، la moyenne تزيد b ، w l'écart type ما يتبدّلش . كان نضربو les valeurs الكل في a ، la moyenne تتضرب في a ، w l'écart type في la valeur absolue de a . مثلا deux points لكل تلميذ : la moyenne تزيد deux .

Si on ajoute b à toutes les valeurs, la moyenne augmente de b, et l'écart type ne change pas. Si on multiplie toutes les valeurs par a, la moyenne est multipliée par a, et l'écart type par la valeur absolue de a. Par exemple, deux points de plus pour chaque élève : la moyenne augmente de deux.

Question 24 · Variance et écart type

c'est quoi la variance
variance kifech na7sbouha
formule de la variance

Ce qu’il écrit au tableau

$V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}$

Ce qu’il répond

La variance V hiya la moyenne mta3 les carrés des écarts à la moyenne. Bech na7sbouha : la moyenne des carrés, ya3ni n1 x1 au carré plus... le tout sur n, w non9sou x barre au carré. Dima positive walla nulle.

la variance V هي la moyenne متاع les carrés des écarts à la moyenne . باش نحسبوها : la moyenne des carrés ، يعني n un x un au carré plus ... le tout sur n ، w ننقصو x barre au carré . ديما positive ولّا nulle .

La variance V est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Pour la calculer : on prend la moyenne des carrés, c'est-à-dire n un x un au carré plus... le tout sur n, et on retranche x barre au carré. Elle est toujours positive ou nulle.

Question 25 · Variance et écart type

c'est quoi l'écart type
ecart type chnowa
sigma ma3neha chnowa
à quoi sert l'écart type

Ce qu’il répond

L'écart type sigma houwa la racine carrée de la variance. Y9is 9addech les valeurs b3ad 3la la moyenne, w 3andou nafs l'unité mta3 les valeurs. Koll ma sigma kbir, la série metfarr9a. Koll ma sghir, les valeurs mlammin 7dhe la moyenne.

l'écart type sigma هو la racine carrée de la variance . يقيس قدّاش les valeurs بعاد على la moyenne ، w عندو نفس الـ unité متاع les valeurs . كل ما sigma كبير ، الـ série متفرّقة . كل ما صغير ، les valeurs ملمومين حذا la moyenne .

L'écart type sigma est la racine carrée de la variance. Il mesure à quel point les valeurs s'écartent de la moyenne, dans la même unité que les valeurs. Plus sigma est grand, plus la série est dispersée ; plus il est petit, plus les valeurs sont serrées autour de la moyenne.

Question 26 · Variance et écart type

variance négative c est possible
j'ai trouvé une variance negative
el variance tla3et négative

Ce qu’il répond

La, la variance ma tnajjemch tkoun négative : hiya moyenne mta3 des carrés. Ken l9itha négative, famma ghalta : walla nsit trabba3 valeur négative, walla n9asst x barre blech carré, walla 9arrabt la moyenne bekri barcha.

لا ، la variance ما تنجّمش تكون négative : هي moyenne متاع des carrés . كان لقيتها négative ، فمّا غلطة : ولّا نسيت تربّع valeur négative ، ولّا نقصت x barre بلاش carré ، ولّا قرّبت la moyenne بكري برشا .

Non, une variance ne peut pas être négative : c'est une moyenne de carrés. Si tu en trouves une négative, il y a une erreur : un carré de nombre négatif mal calculé, la moyenne retranchée sans être élevée au carré, ou une moyenne arrondie trop tôt.

Question 27 · Une moyenne qui ne dit pas tout

moyenne ou médiane laquelle choisir
el far9 bin la moyenne w la médiane
différence entre moyenne et médiane

Ce qu’il répond

La moyenne ta7seb les valeurs el koll, w tet2aththar barcha b valeur extrême. La médiane t9oss la population 3la zouz, w les valeurs extrêmes ma yba3douhech ken chwaya. Ken famma valeurs chadhdha, la médiane ta3ti soura asa77.

la moyenne تحسب الـ valeurs الكل ، w تتأثّر برشا بـ valeur extrême . la médiane تقصّ الـ population على زوز ، w les valeurs extrêmes ما يبعّدوهاش كان شويّة . كان فمّا valeurs شاذّة ، la médiane تعطي صورة أصحّ .

La moyenne tient compte de toutes les valeurs, et une valeur extrême la déplace beaucoup. La médiane partage la population en deux, et les valeurs extrêmes la déplacent très peu. Quand une série a des valeurs isolées, la médiane la résume plus fidèlement.

Question 28 · Pour comprendre : l'effet de structure

c'est quoi l'effet de structure
effet de structure ma3neha
le taux global monte mais chaque groupe baisse

Ce qu’il répond

Effet de structure, ki le taux el koll yetla3, w koll catégorie wa7edha tahbet. 3lech ? 5ater la composition tbaddlet : la catégorie elli tenja7 akthar wallet akber. Le taux global houwa moyenne mta3 les taux, pondérée b les effectifs.

effet de structure ، كي le taux الكل يطلع ، w كل catégorie وحدها تهبط . علاش ؟ خاطر la composition تبدّلت : الـ catégorie اللي تنجح أكثر ولّات أكبر . le taux global هو moyenne متاع les taux ، pondérée بـ les effectifs .

On parle d'effet de structure quand le taux global monte alors que chaque catégorie, prise seule, baisse. Pourquoi ? Parce que la composition a changé : la catégorie qui réussit le mieux est devenue plus nombreuse. Le taux global est une moyenne des taux, pondérée par les effectifs.

Question 29 · Fluctuation d'échantillonnage

c'est quoi la fluctuation d'échantillonnage
pourquoi la simulation change a chaque fois
fluctuation chnowa

Ce qu’il répond

Ki n3awdou nafs la simulation, les fréquences ma yjiwch kif kif : hedhi la fluctuation d'échantillonnage. 3adi. Ama koll ma nkabbrou l'échantillon, les fréquences tet9arreb akthar, w t9arreb men la valeur e-nadhariya, kif 0,5 l pile.

كي نعاودو نفس الـ simulation ، les fréquences ما يجيوش كيف كيف : هذي la fluctuation d'échantillonnage . عادي . أما كل ما نكبّرو الـ échantillon ، les fréquences تتقارب أكثر ، w تقرب من la valeur النظرية ، كيف zéro virgule cinq لـ pile .

Quand on refait la même simulation, les fréquences ne sont pas les mêmes : c'est la fluctuation d'échantillonnage. C'est normal. Mais plus l'échantillon est grand, moins les fréquences varient, et plus elles se rapprochent de la valeur théorique, comme zéro virgule cinq pour pile.

Question 30 · Fluctuation d'échantillonnage

avec la calculatrice comment tirer un nombre au hasard
calculatrice random kifech
la touche random de la calculatrice

Ce qu’il répond

La touche Random, walla Ran, ta3tik nombre bel sodfa bin 0 w 1. Bech te5ou entier men 1 l 6 kif le dé : la partie entière de 6 fois Random, plus 1. W l pile ou face : la partie entière de 2 fois Random, ta3ti 0 walla 1.

الـ touche Random ، ولّا Ran ، تعطيك nombre بالصدفة بين zéro w un . باش تاخذ entier من un لـ six كيف الـ dé : la partie entière de six fois Random ، plus un . w لـ pile ou face : la partie entière de deux fois Random ، تعطي zéro ولّا un .

La touche Random, ou Ran, donne un nombre au hasard entre zéro et un. Pour un entier de un à six, comme un dé : la partie entière de six fois Random, plus un. Et pour pile ou face : la partie entière de deux fois Random, qui donne zéro ou un.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

Les filles des deux lycées

Le lycée A compte $450$ élèves dont $52\,\%$ de filles ; le lycée B compte $600$ élèves dont $48\,\%$ de filles. On réunit les élèves des deux lycées. Combien de filles y a-t-il en tout ?

Donne le nombre total de filles : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 522

Indices, dans l’ordre

Calcule séparément le nombre de filles de chaque lycée : $52\,\%$ de $450,$ puis $48\,\%$ de $600.$
Additionne ensuite les deux nombres de filles.

Correction

Lycée A — $450 \times 0{,}52 = 234$
Lycée B — $600 \times 0{,}48 = 288$
En tout — $234 + 288 = 522$

Il y a $522$ filles, sur $1050$ élèves : un peu moins de la moitié, qui serait $525.$

Pièges anticipés

525 → $525$ est la moitié des $1050$ élèves : c'est ce qu'on obtiendrait avec $50\,\%$ de filles partout. Calcule les filles de chaque lycée avec son propre pourcentage.

Exercice 2 · pratique

Autant de filles que de garçons

Le lycée A compte $450$ élèves, le lycée B $600$ élèves dont $48\,\%$ de filles. Combien de filles faudrait-il au lycée A pour que, en réunissant les deux lycées, il y ait autant de filles que de garçons ?

Donne le nombre de filles du lycée A.

Réponse attendue : 237

Indices, dans l’ordre

Les deux lycées réunis comptent $1050$ élèves : combien de filles faut-il en tout pour en avoir la moitié ?
Le lycée B a déjà $600 \times 0{,}48$ filles.

Correction

La moitié — $\frac{450 + 600}{2} = 525$
Les filles de B — $600 \times 0{,}48 = 288$
Il en faut à A — $525 - 288 = 237$

Il faudrait $237$ filles au lycée A, soit environ $52{,}7\,\%$ de ses élèves.

Pièges anticipés

234 → $234,$ ce sont les filles actuelles du lycée A : avec elles, on n'a que $522$ filles sur $1050$ élèves. Il en manque.
225 → $225$ est la moitié des élèves de A ; mais le lycée B n'a pas moitié de filles : il faut compenser son manque.

Exercice 3 · base

Un coefficient multiplicateur

La production de blé dur est de $897$ milliers de tonnes en 1990 et de $1706$ milliers de tonnes en 1996. Calcule le coefficient multiplicateur qui fait passer de 1990 à 1996, arrondi au centième.

Donne le coefficient arrondi au centième, par exemple 1,25.

Réponse attendue : 1.9 — aussi acceptées : 1.90

Indices, dans l’ordre

Le coefficient multiplicateur est le quotient de la valeur de 1996 par celle de l'année de base.
Calcule $1706 \div 897,$ puis arrondis au centième.

Correction

Le quotient — $\frac{1706}{897} \approx 1{,}9019$

Le coefficient multiplicateur est environ $1{,}90$ : l'indice de 1996, base $100$ en 1990, est $190.$

Pièges anticipés

0.53 → Tu as divisé dans l'autre sens : on divise la valeur de 1996 par celle de 1990, l'année de base.
190 → $190$ est l'indice ; le coefficient est cent fois plus petit.

Exercice 4 · base

L'indice de l'an 2000

La production de blé dur est de $897$ milliers de tonnes en 1990 et de $706$ milliers de tonnes en 2000. Quel est l'indice de l'année 2000, base $100$ en 1990 ? On arrondira le coefficient multiplicateur au centième.

Donne l'indice, un nombre entier.

Réponse attendue : 79

Indices, dans l’ordre

Calcule d'abord le coefficient multiplicateur $\dfrac{706}{897},$ arrondi au centième.
L'indice est ce coefficient multiplié par $100.$

Correction

Le coefficient — $\frac{706}{897} \approx 0{,}79$
L'indice — $100 \times 0{,}79 = 79$

L'indice de 2000 est $79$ : la production a baissé d'environ $21\,\%$ depuis 1990.

Pièges anticipés

21 → $21$ est le pourcentage de baisse ; l'indice compare à $100$ : c'est $100 - 21.$
0.79 → C'est le coefficient multiplicateur ; l'indice est cent fois plus grand.

Exercice 5 · base

Le secteur de l'orge

En 1990, la production de céréales était de $1633$ milliers de tonnes, dont $477$ milliers de tonnes d'orge. Dans un diagramme circulaire de cette production, quel est l'angle du secteur de l'orge, arrondi au degré ?

Donne l'angle en degrés, arrondi à l'unité.

Réponse attendue : 105

Indices, dans l’ordre

Le disque entier, $360°,$ représente la production totale.
L'angle est proportionnel à l'effectif : $\dfrac{477}{1633} \times 360.$

Correction

L'angle — $\frac{477}{1633} \times 360 \approx 105{,}2$

Le secteur de l'orge mesure environ $105°.$

Pièges anticipés

29 → $29$ est (environ) le pourcentage de l'orge ; un angle se calcule sur $360°,$ pas sur $100.$

Exercice 6 · base

Quantitatif ou qualitatif ?

Dans l'enquête de la médecine scolaire, on étudie l'âge, le poids, la taille et le groupe sanguin des élèves. Le caractère « groupe sanguin » est-il quantitatif ou qualitatif ?

Réponds par « quantitatif » ou « qualitatif ».

Réponse attendue : qualitatif

Indices, dans l’ordre

Un caractère est quantitatif quand on le mesure par un nombre.
Peut-on additionner deux groupes sanguins, ou en faire la moyenne ?

Correction

Le groupe sanguin (A+, O-…) ne se mesure pas par un nombre : ses valeurs sont des modalités.

Le groupe sanguin est un caractère qualitatif.

Pièges anticipés

quantitatif → L'âge, le poids et la taille sont quantitatifs ; le groupe sanguin ne se mesure pas par un nombre.

Exercice 7 · base

Rhésus plus

Sur $100$ élèves, la répartition selon le groupe sanguin est : A+ : $35$ ; A- : $10$ ; B+ : $10$ ; B- : $5$ ; AB+ : $5$ ; AB- : $0$ ; O+ : $30$ ; O- : $5.$ Quel est le pourcentage des élèves ayant un rhésus plus ?

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 80

Indices, dans l’ordre

Les groupes de rhésus plus sont ceux marqués du signe $+.$
Additionne leurs effectifs, sur un total de $100$ élèves.

Correction

Rhésus plus — $35 + 10 + 5 + 30 = 80$

$80$ élèves sur $100,$ soit $80\,\%,$ ont un rhésus plus.

Pièges anticipés

20 → $20\,\%,$ ce sont les élèves de rhésus moins.

Exercice 8 · base

L'âge médian

Les âges des $100$ élèves internes sont : $16$ ans ( $20$ élèves), $17$ ans ( $45$ ), $18$ ans ( $25$ ), $19$ ans ( $4$ ), $20$ ans ( $1$ ), $21$ ans ( $3$ ), $22$ ans ( $2$ ). Détermine l'âge médian.

Donne l'âge médian, en années : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 17

Indices, dans l’ordre

L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des âges de rangs $50$ et $51.$
Calcule les effectifs cumulés croissants pour situer ces rangs.

Correction

Les effectifs cumulés — $20 \;;\; 65 \;;\; 90 \;;\; 94 \;;\; 95 \;;\; 98 \;;\; 100$
Les rangs 50 et 51 — Les élèves de rangs $21$ à $65$ ont tous le même âge.

L'âge médian est $17$ ans.

Pièges anticipés

19 → $19$ est au milieu de la liste des âges $16$ à $22$ ; mais la médiane partage les ÉLÈVES en deux : chaque âge compte autant de fois que son effectif.
17.38 → Tu as calculé (environ) la moyenne ; la médiane se lit sur la série rangée.

Exercice 9 · pratique

La taille médiane

Les tailles de $100$ élèves sont réparties ainsi : $[140 ; 145[$ : $2$ ; $[145 ; 150[$ : $10$ ; $[150 ; 155[$ : $25$ ; $[155 ; 160[$ : $35$ ; $[160 ; 165[$ : $20$ ; $[165 ; 170[$ : $6$ ; $[170 ; 175[$ : $2.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, calcule par interpolation linéaire la taille médiane, en centimètres, arrondie au dixième.

Répartition de 100 élèves par tranche de taille (en cm).

Donne la taille médiane en centimètres, arrondie au dixième.

Réponse attendue : 156.9

Indices, dans l’ordre

Les effectifs cumulés sont $2$ ; $12$ ; $37$ ; $72$ ; … : dans quelle classe l'effectif cumulé atteint-il $50$ ?
Sur la classe $[155 ; 160[,$ l'effectif cumulé passe de $37$ à $72$ : écris $\dfrac{m - 155}{160 - 155} = \dfrac{50 - 37}{72 - 37}.$

Correction

La classe médiane — $37 < 50 \le 72$ : la médiane est dans $[155 ; 160[.$
Interpolation — $\frac{m - 155}{5} = \frac{13}{35}$
On isole m — $m = 155 + 5 \times \frac{13}{35} \approx 156{,}86$

La taille médiane est environ $156{,}9$ centimètres.

Pièges anticipés

157.5 → $157{,}5$ est le centre de la classe médiane ; l'interpolation tient compte de la position de $50$ entre $37$ et $72.$
156.86 / 156.857 → Ton calcul est juste, mais arrondis au dixième : $156{,}86 \approx 156{,}9.$
155+5*13/35 → C'est la bonne valeur, écrite exactement ; il reste à l'arrondir au dixième : $155 + 5 \times \dfrac{13}{35} \approx 156{,}9.$

Exercice 10 · pratique

Le temps de transport médian

Le temps de transport quotidien de $300$ ouvriers se répartit ainsi (en minutes) : $[20 ; 40[$ : $21$ ; $[40 ; 60[$ : $53$ ; $[60 ; 80[$ : $83$ ; $[80 ; 100[$ : $128$ ; $[100 ; 120[$ : $12$ ; $[120 ; 140[$ : $3.$ Calcule la médiane par interpolation linéaire, arrondie au dixième.

Donne la médiane en minutes, arrondie au dixième.

Réponse attendue : 78.3

Indices, dans l’ordre

La moitié de l'effectif est $150.$ Les effectifs cumulés valent $21$ ; $74$ ; $157$ ; …
Utilise la relation $\dfrac{m - 60}{80 - 60} = \dfrac{150 - 74}{157 - 74}.$

Correction

La classe — $74 < 150 \le 157$ : la médiane est dans $[60 ; 80[.$
Interpolation — $m = 60 + 20 \times \frac{76}{83} \approx 78{,}31$

La médiane du temps de transport est environ $78{,}3$ minutes.

Pièges anticipés

70 → $70$ est le centre de la classe ; or $150$ est bien plus proche de $157$ que de $74$ : la médiane est près de $80.$
79.1 → Tu as écrit $\dfrac{150}{157}$ ; il faut retrancher ce qui est déjà atteint au début de la classe : $\dfrac{150 - 74}{157 - 74}.$
78.31 / 78.313 → Ton calcul est juste, mais arrondis au dixième : $78{,}31 \approx 78{,}3.$
60+20*76/83 → C'est la bonne valeur, écrite exactement ; il reste à l'arrondir au dixième : $60 + 20 \times \dfrac{76}{83} \approx 78{,}3.$

Exercice 11 · base

Médiane du premier groupe

Les notes d'un groupe de $20$ élèves sont : $7$ ; $7$ ; $8$ ; $11$ ; $10$ ; $7$ ; $12$ ; $14$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $9$ ; $11$ ; $7$ ; $9$ ; $13$ ; $11$ ; $10$ ; $13$ ; $8.$ Calcule la médiane de cette série.

Donne la note médiane.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

Range d'abord les notes dans l'ordre croissant.
$20$ est pair : prends la moyenne des notes de rangs $10$ et $11.$

Correction

Ranger — $6\,;\,7\,;\,7\,;\,7\,;\,7\,;\,8\,;\,8\,;\,8\,;\,9\,;\,9\,;\,9\,;\,10\,;\,\ldots$
Rangs 10 et 11 — Les notes de rangs $10$ et $11$ sont égales.

La médiane est $m_{1} = 9.$

Pièges anticipés

9.5 → $9{,}5$ est la moyenne de la série ; la médiane est la note du milieu de la série rangée.

Exercice 12 · base

Écart interquartile du deuxième groupe

Les notes d'un groupe de $20$ élèves, rangées, sont : $2$ ; $4$ ; $4$ ; $5$ ; $5$ ; $5$ ; $6$ ; $6$ ; $7$ ; $7$ ; $8$ ; $10$ ; $11$ ; $11$ ; $14$ ; $15$ ; $17$ ; $17$ ; $17$ ; $19.$ Calcule l'écart interquartile de cette série.

Donne l'écart interquartile.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

$25\,\%$ de $20$ font $5$ : $Q_{1}$ est la note de rang $5.$ $75\,\%$ de $20$ font $15.$
L'écart interquartile est $Q_{3} - Q_{1}.$

Correction

Premier quartile — La note de rang $5$ : $Q_{1} = 5.$
Troisième quartile — La note de rang $15$ : $Q_{3} = 14.$
L'écart — $14 - 5 = 9$

L'écart interquartile est $9.$

Pièges anticipés

17 → $17$ est l'étendue, $19 - 2$ ; l'écart interquartile n'utilise que $Q_{1}$ et $Q_{3}.$
10 → $15 - 5 = 10$ est l'écart entre les RANGS ; prends les notes qui occupent ces rangs.

Exercice 13 · pratique

Entre 7 et 11

Les notes d'un groupe de $20$ élèves, rangées, sont : $6$ ; $7$ ; $7$ ; $7$ ; $7$ ; $8$ ; $8$ ; $8$ ; $9$ ; $9$ ; $9$ ; $10$ ; $10$ ; $11$ ; $11$ ; $11$ ; $12$ ; $13$ ; $13$ ; $14.$ Quel est le pourcentage des élèves dont la note est comprise entre $7$ et $11,$ bornes comprises ?

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 75

Indices, dans l’ordre

Compte les notes supérieures ou égales à $7$ et inférieures ou égales à $11.$
Il y a $20$ élèves en tout.

Correction

Le compte — Seules les notes $6,$ $12,$ $13,$ $13$ et $14$ sont en dehors : il en reste $15.$
Le pourcentage — $\frac{15}{20} = 75\,\%$

$75\,\%$ des notes sont entre $Q_{1} = 7$ et $Q_{3} = 11.$

Pièges anticipés

40 → Tu as exclu les notes $7$ et $11$ ; l'énoncé dit « bornes comprises ».

Exercice 14 · pratique

Premier quartile par interpolation

Une série continue a pour effectifs : $[10 ; 20[$ : $500$ ; $[20 ; 30[$ : $400$ ; $[30 ; 40[$ : $225$ ; $[40 ; 50[$ : $150$ ; $[50 ; 60[$ : $100.$ On suppose la répartition uniforme dans chaque classe. Calcule le premier quartile $Q_{1}$ par interpolation linéaire.

Donne la valeur exacte de $Q_{1}.$

Réponse attendue : 16.875

Indices, dans l’ordre

L'effectif total est $1375$ ; son quart est $343{,}75.$
$343{,}75 \le 500$ : $Q_{1}$ est dans la classe $[10 ; 20[,$ où l'effectif cumulé passe de $0$ à $500.$

Correction

Le seuil — $\frac{1375}{4} = 343{,}75$
Interpolation — $\frac{Q_{1} - 10}{20 - 10} = \frac{343{,}75 - 0}{500 - 0}$
On isole — $Q_{1} = 10 + 10 \times 0{,}6875 = 16{,}875$

$Q_{1} = 16{,}875.$

Pièges anticipés

10.5 → Tu as pris le seuil $25$ : il faut le quart de l'effectif total, $343{,}75.$
16.88 / 16.9 → C'est une valeur arrondie ; on demande la valeur exacte : $Q_{1} = 16{,}875.$

Exercice 15 · base

Médiane des pluies de la ville A

Les précipitations moyennes mensuelles d'une ville A, en millimètres, pendant $9$ mois, sont : $47$ ; $63$ ; $51$ ; $50$ ; $63$ ; $89$ ; $72$ ; $9$ ; $7.$ Détermine la médiane de cette série.

Donne la médiane, en millimètres : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 51

Indices, dans l’ordre

Range les neuf valeurs dans l'ordre croissant.
$9$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{9 + 1}{2}.$

Correction

Ranger — $7\,;\,9\,;\,47\,;\,50\,;\,51\,;\,63\,;\,63\,;\,72\,;\,89$
Rang 5 — La médiane est la cinquième valeur.

La médiane est $51$ millimètres.

Pièges anticipés

63 → Tu as pris la valeur du milieu sans ranger la série : $63$ est la cinquième valeur dans l'ordre des mois, pas dans l'ordre croissant.

Exercice 16 · pratique

La boîte de la ville B

Les précipitations moyennes mensuelles d'une ville B, en millimètres, pendant $9$ mois, sont : $33$ ; $28$ ; $41$ ; $34$ ; $33$ ; $37$ ; $34$ ; $20$ ; $10.$ Calcule l'écart interquartile, c'est-à-dire la longueur de la boîte de son diagramme en boîte.

Donne l'écart interquartile, en millimètres : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

Range la série. $25\,\%$ de $9$ font $2{,}25$ : $Q_{1}$ est la valeur de rang $3.$
$75\,\%$ de $9$ font $6{,}75$ : $Q_{3}$ est la valeur de rang $7.$

Correction

Ranger — $10\,;\,20\,;\,28\,;\,33\,;\,33\,;\,34\,;\,34\,;\,37\,;\,41$
Les quartiles — $Q_{1} = 28$ (rang $3$ ) et $Q_{3} = 34$ (rang $7$ ).

L'écart interquartile est $34 - 28 = 6$ millimètres.

Pièges anticipés

31 → $31$ est l'étendue, $41 - 10$ ; la boîte va de $Q_{1}$ à $Q_{3}.$
14 → Tu as pris $Q_{1}$ au rang $2$ ; le rang doit atteindre au moins $2{,}25,$ donc c'est le rang $3.$

Exercice 17 · base

La consommation moyenne

On a testé $150$ voitures. Leur consommation, en litres aux $100$ kilomètres, se répartit ainsi : $[8 ; 9[$ : $32$ ; $[9 ; 10[$ : $27$ ; $[10 ; 11[$ : $20$ ; $[11 ; 12[$ : $43$ ; $[12 ; 13[$ : $28.$ Calcule la consommation moyenne, arrondie à $10^{-1}$ près.

Donne la moyenne arrondie au dixième.

Réponse attendue : 10.6

Indices, dans l’ordre

Remplace chaque classe par son centre : $8{,}5$ ; $9{,}5$ ; …
Multiplie chaque centre par l'effectif de sa classe, additionne, puis divise par l'effectif total.

Correction

La somme — $32 \times 8{,}5 + 27 \times 9{,}5 + 20 \times 10{,}5 + 43 \times 11{,}5 + 28 \times 12{,}5 = 1583$
La moyenne — $\frac{1583}{150} \approx 10{,}55$

La consommation moyenne est environ $10{,}6$ litres aux $100$ kilomètres.

Pièges anticipés

10.5 → Tu as fait la moyenne des cinq centres sans tenir compte des effectifs.

Exercice 18 · base

Kilomètres par mois

Une voiture a parcouru, mois par mois pendant douze mois, les distances suivantes (en kilomètres) : $1400$ ; $2600$ ; $1800$ ; $2300$ ; $2400$ ; $1600$ ; $2800$ ; $2900$ ; $2100$ ; $1500$ ; $2000$ ; $1200.$ Quel est le nombre moyen de kilomètres parcourus en un mois ?

Donne la distance moyenne en kilomètres : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 2050

Indices, dans l’ordre

Additionne les douze distances.
Divise la somme par le nombre de mois.

Correction

La somme — La somme des douze distances est $24\,600$ kilomètres.
La moyenne — $\frac{24\,600}{12} = 2050$

La voiture parcourt en moyenne $2050$ kilomètres par mois.

Exercice 19 · pratique

La moyenne élaguée

Les précipitations d'une région pendant $10$ jours sont : $0$ millimètre ( $2$ jours), $10$ millimètres ( $2$ jours), $11$ millimètres ( $3$ jours), $15$ millimètres ( $1$ jour), $20$ millimètres ( $1$ jour), $150$ millimètres ( $1$ jour). On supprime les deux valeurs extrêmes, $0$ et $150.$ Calcule la précipitation moyenne des sept jours restants, arrondie au centième.

Donne la moyenne élaguée, arrondie au centième.

Réponse attendue : 12.57

Indices, dans l’ordre

Il reste $2 + 3 + 1 + 1 = 7$ jours.
La somme des précipitations de ces jours est $2 \times 10 + 3 \times 11 + 15 + 20.$

Correction

La somme — $2 \times 10 + 3 \times 11 + 15 + 20 = 88$
La moyenne élaguée — $\frac{88}{7} \approx 12{,}571$

La moyenne élaguée est environ $12{,}57$ millimètres, contre $23{,}8$ millimètres pour la moyenne des dix jours.

Pièges anticipés

23.8 → $23{,}8$ est la moyenne des dix jours ; on demande celle des sept jours qui restent.
11 → En retirant les deux jours sans pluie et le jour à $150$ millimètres, il reste sept jours, pas huit.
12.571 / 12.5714 → Ton calcul est juste, mais arrondis au centième : $12{,}571 \approx 12{,}57.$
88/7 → C'est la bonne valeur, écrite exactement ; il reste à l'arrondir au centième : $\dfrac{88}{7} \approx 12{,}57.$

Exercice 20 · base

La moyenne des filles

Les notes des $20$ filles d'une classe sont : $12$ ; $10$ ; $10$ ; $6$ ; $8$ ; $13$ ; $11$ ; $8$ ; $6$ ; $8$ ; $10$ ; $10$ ; $10$ ; $4$ ; $7$ ; $15$ ; $14$ ; $9$ ; $12$ ; $8.$ Calcule leur moyenne.

Donne la moyenne exacte.

Réponse attendue : 9.55

Indices, dans l’ordre

Additionne les vingt notes.
Divise la somme par $20.$

Correction

La somme — La somme des $20$ notes est $191.$
La moyenne — $\frac{191}{20} = 9{,}55$

La moyenne des filles est $9{,}55.$

Exercice 21 · pratique

Moyenne de la classe

Dans une classe, les $20$ filles ont une moyenne de $9{,}55$ et les $15$ garçons ont obtenu en tout $166$ points. Calcule la moyenne de la classe.

Donne la moyenne exacte de la classe.

Réponse attendue : 10.2

Indices, dans l’ordre

La somme des notes des filles est $20 \times 9{,}55.$
La classe compte $20 + 15 = 35$ élèves.

Correction

Les filles — $20 \times 9{,}55 = 191$
La classe — $\frac{191 + 166}{35} = \frac{357}{35} = 10{,}2$

La moyenne de la classe est $10{,}2.$

Pièges anticipés

10.31 → Tu as fait la moyenne des deux moyennes ; les deux groupes n'ont pas le même effectif.

Exercice 22 · base

Changer de barème

Dans un devoir noté sur $20,$ la moyenne d'une classe est de $14.$ Quelle serait la moyenne de cette classe si l'on avait noté sur $40$ ?

Donne la moyenne sur 40.

Réponse attendue : 28

Indices, dans l’ordre

Noter sur $40$ au lieu de $20,$ c'est multiplier chaque note par le même nombre.
Si toutes les valeurs sont multipliées par $a,$ la moyenne est multipliée par $a.$

Correction

Le coefficient — Chaque note est multipliée par $2,$ donc la moyenne aussi. $2 \times 14 = 28$

La moyenne serait $28$ sur $40.$

Pièges anticipés

34 → Changer de barème multiplie les notes, il ne leur ajoute pas $20.$
28/40 → On demande la moyenne sur $40$ : écris seulement $28.$

Exercice 23 · pratique

L'âge moyen du groupe

Dans un groupe de $60$ personnes, la moyenne d'âge est de $22$ ans pour les femmes et de $28$ ans pour les hommes. Sachant qu'il y a $60\,\%$ d'hommes dans ce groupe, quelle est la moyenne d'âge du groupe ?

Donne l'âge moyen en années : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 25.6

Indices, dans l’ordre

Le groupe compte $60 \times 0{,}6 = 36$ hommes et $24$ femmes.
Utilise la formule des moyennes partielles : $\dfrac{p\,\overline{x} + q\,\overline{y}}{p + q}.$

Correction

Les effectifs — $36 \text{ hommes} \quad ; \quad 24 \text{ femmes}$
La moyenne — $\frac{24 \times 22 + 36 \times 28}{60} = \frac{528 + 1008}{60} = \frac{1536}{60} = 25{,}6$

La moyenne d'âge du groupe est $25{,}6$ ans.

Pièges anticipés

25 → $25$ est la moyenne de $22$ et $28$ ; mais il y a plus d'hommes que de femmes : leur âge pèse davantage.

Exercice 24 · raisonnement

Combien de filles ?

Une classe de 2ᵉ sciences compte $35$ élèves. L'âge moyen des filles est $17$ ans $2$ mois, celui des garçons $17$ ans $7$ mois, et la moyenne d'âge de la classe est $17$ ans $4$ mois. Combien y a-t-il de filles dans cette classe ?

Donne le nombre de filles : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 21

Indices, dans l’ordre

Compte les âges en mois : $17$ ans $2$ mois font $206$ mois, $17$ ans $7$ mois $211$ mois, $17$ ans $4$ mois $208$ mois.
Avec $f$ filles et $35 - f$ garçons : $206\,f + 211\,(35 - f) = 208 \times 35.$

Correction

L'équation — $206\,f + 211\,(35 - f) = 208 \times 35$
On développe — $7385 - 5f = 7280$
On résout — $5f = 105 \iff f = 21$

La classe compte $21$ filles et $14$ garçons.

Pièges anticipés

14 → $14$ est le nombre de garçons ; on demande les filles.

Exercice 25 · base

Les températures de la ville A

Les températures prises à la même heure pendant quatre jours dans une ville sont $6°,$ $5°,$ $17°$ et $16°.$ Leur moyenne est $11°.$ Calcule la variance $V$ de cette série.

Donne la variance exacte.

Réponse attendue : 30.5

Indices, dans l’ordre

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
Les écarts à $11$ sont $-5,$ $-6,$ $6$ et $5.$

Correction

Les carrés des écarts — $25 \;;\; 36 \;;\; 36 \;;\; 25$
Leur moyenne — $V = \frac{122}{4} = 30{,}5$
Par la formule — La moyenne des carrés des valeurs : $\frac{36 + 25 + 289 + 256}{4} = \frac{606}{4} = 151{,}5$
Moins le carré de la moyenne — $151{,}5 - 11^{2} = 151{,}5 - 121 = 30{,}5$

La variance est $V = 30{,}5.$

Pièges anticipés

0 → La moyenne des écarts vaut toujours $0$ : il faut prendre les CARRÉS des écarts.
151.5 → $151{,}5$ est la moyenne des carrés ; il faut encore retrancher le carré de la moyenne, $11^{2}.$

Exercice 26 · pratique

Variance des températures

Pendant dix jours, les températures d'une ville ont été : $-1$ degré ( $1$ jour), $0$ degré ( $3$ jours), $1$ degré ( $4$ jours), $2$ degrés ( $1$ jour), $5$ degrés ( $1$ jour). Calcule la variance $V$ de cette série.

Donne la variance exacte.

Réponse attendue : 2.4

Indices, dans l’ordre

Calcule d'abord la moyenne : la somme des températures est $10.$
La moyenne des carrés est $\dfrac{1 + 0 + 4 + 4 + 25}{10}.$

Correction

La moyenne — $\overline{x} = \frac{10}{10} = 1$
La moyenne des carrés — $\frac{34}{10} = 3{,}4$
La variance — $V = 3{,}4 - 1 = 2{,}4$

La variance est $V = 2{,}4.$

Pièges anticipés

3.4 → $3{,}4$ est la moyenne des carrés : retranche le carré de la moyenne.
2.2 → Attention au carré de $-1$ : $(-1)^{2} = 1,$ et non $-1.$

Exercice 27 · pratique

Des températures doublées

Une série de températures a pour variance $2{,}4.$ Une autre ville a, chaque jour, une température double de celle de la première. Calcule l'écart type des températures de cette seconde ville, arrondi au centième.

Donne l'écart type arrondi au centième.

Réponse attendue : 3.1 — aussi acceptées : 3.10

Indices, dans l’ordre

Si on multiplie toutes les valeurs par $a,$ l'écart type est multiplié par $|a|.$
L'écart type de la première série est la racine carrée de $2{,}4.$

Correction

Première ville — L'écart type est la racine carrée de la variance : environ $1{,}549.$
Seconde ville — $2 \times \sqrt{2{,}4} \approx 3{,}098$

L'écart type des températures doublées est environ $3{,}10.$

Pièges anticipés

4.8 → $4{,}8$ est le double de la variance ; or on demande un écart type, et doubler les valeurs multiplie la variance par $4.$
2.19 → Tu as pris la racine de $2 \times 2{,}4$ ; la variance est multipliée par $2^{2} = 4,$ pas par $2.$
3.098 / 3.0984 → Ton calcul est juste, mais arrondis au centième : $3{,}098 \approx 3{,}10.$
2*sqrt(2.4) / sqrt(9.6) → C'est la bonne valeur, écrite exactement ; il reste à l'arrondir au centième : $2\sqrt{2{,}4} \approx 3{,}10.$

Exercice 28 · pratique

Les loyers augmentent

Les loyers mensuels des appartements d'un ensemble d'immeubles sont : $5$ studios à $100$ dinars, $10$ appartements « 1 + S » à $120$ dinars, $30$ « 2 + S » à $150$ dinars et $10$ « 3 + S » à $200$ dinars. Quel serait le loyer moyen si tous les loyers augmentaient de $5\,\%$ ? Arrondis au centième.

Donne le loyer moyen en dinars, arrondi au centième.

Réponse attendue : 156.55

Indices, dans l’ordre

Le loyer moyen actuel est $\dfrac{5 \times 100 + 10 \times 120 + 30 \times 150 + 10 \times 200}{55}.$
Augmenter tous les loyers de $5\,\%,$ c'est les multiplier par $1{,}05$ : la moyenne est multipliée par $1{,}05.$

Correction

Loyer moyen actuel — $\frac{500 + 1200 + 4500 + 2000}{55} = \frac{8200}{55} \approx 149{,}09$
Après hausse — $1{,}05 \times \frac{8200}{55} \approx 156{,}545$

Le loyer moyen serait environ $156{,}55$ dinars.

Pièges anticipés

149.09 → C'est le loyer moyen actuel ; applique encore la hausse de $5\,\%.$
154.09 → Tu as ajouté $5$ dinars ; une hausse de $5\,\%$ multiplie par $1{,}05.$
156.545 / 156.5454 → Ton calcul est juste, mais arrondis au centième : $156{,}545 \approx 156{,}55.$
1.05*8200/55 → C'est la bonne valeur, écrite exactement ; il reste à l'arrondir au centième : $1{,}05 \times \dfrac{8200}{55} \approx 156{,}55.$

Exercice 29 · raisonnement

À un écart type de la moyenne

Vingt simulations de $100$ lancers d'une pièce ont donné les nombres de pile suivants : $46$ ; $48$ ; $51$ ; $62$ ; $45$ ; $47$ ; $57$ ; $59$ ; $49$ ; $53$ ; $56$ ; $44$ ; $49$ ; $50$ ; $41$ ; $58$ ; $47$ ; $56$ ; $53$ ; $46.$ Leur moyenne est $50{,}85$ et leur écart type environ $5{,}53.$ Combien de simulations donnent un nombre de pile compris entre la moyenne moins l'écart type et la moyenne plus l'écart type ?

Donne le nombre de simulations : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

Calcule les bornes de l'intervalle : la moyenne moins l'écart type, et la moyenne plus l'écart type.
L'intervalle va d'environ $45{,}32$ à $56{,}38$ : compte les valeurs de $46$ à $56.$

Correction

Les bornes — $50{,}85 - 5{,}53 = 45{,}32 \quad ; \quad 50{,}85 + 5{,}53 = 56{,}38$
Hors de l'intervalle — Sont en dehors : $41,$ $44,$ $45$ (trop petites) et $57,$ $58,$ $59,$ $62$ (trop grandes), soit $7$ valeurs.

$20 - 7 = 13$ simulations sont dans l'intervalle, soit $65\,\%.$

Pièges anticipés

19 → $19$ valeurs sont à moins de deux écarts types de la moyenne ; on demande à un écart type.

Exercice 30 · base

Le taux de réussite de 2005

En 2005, $250$ élèves d'un lycée se sont présentés au baccalauréat et $170$ ont été admis. Quel est le taux de réussite, en pourcentage ?

Donne le taux de réussite en pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 68

Indices, dans l’ordre

Le taux de réussite est le nombre d'admis sur le nombre de présentés.
Exprime ce quotient en pourcentage.

Correction

Le taux — $\frac{170}{250} = 0{,}68 = 68\,\%$

Le taux de réussite de 2005 est $68\,\%.$

Exercice 31 · raisonnement

Le médicament et les femmes

Un médicament a été testé sur $1500$ femmes en zone rurale ( $500$ guérisons) et sur $5500$ femmes en zone urbaine ( $3500$ guérisons). Quel est le pourcentage de guérison des femmes, toutes zones réunies, arrondi au centième ?

Donne le pourcentage arrondi au centième, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 57.14

Indices, dans l’ordre

Additionne les guérisons des deux zones, puis les effectifs des deux zones.
On ne fait pas la moyenne des deux pourcentages : les deux effectifs sont très différents.

Correction

Les totaux — $500 + 3500 = 4000 \quad ; \quad 1500 + 5500 = 7000$
Le pourcentage — $\frac{4000}{7000} \approx 0{,}5714$

Toutes zones réunies, environ $57{,}14\,\%$ des femmes guérissent — plus que les hommes ( $53{,}85\,\%$ ), alors que les hommes guérissent mieux dans chaque zone.

Pièges anticipés

48.48 → Tu as fait la moyenne des deux pourcentages ; chaque zone compte selon son effectif.

Exercice 32 · defi

La balance truquée

Un marchand pèse un objet sur une balance dont les bras n'ont pas la même longueur. Avec les masses marquées à gauche, il trouve $900$ grammes ; avec les masses marquées à droite, $961$ grammes. L'équilibre donne $M^{2} = 900 \times 961,$ où $M$ est la vraie masse. Quelle est la vraie masse, en grammes ?

Donne la masse en grammes : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 930

Indices, dans l’ordre

$900 = 30^{2}$ et $961 = 31^{2}.$
La masse est positive : $M = \sqrt{900 \times 961}.$

Correction

La racine — $M = \sqrt{30^{2} \times 31^{2}} = 30 \times 31 = 930$

La vraie masse est $930$ grammes : la moyenne géométrique des deux pesées, et non leur moyenne arithmétique $930{,}5$ grammes.

Pièges anticipés

930.5 → C'est la moyenne arithmétique, celle du marchand ; l'équilibre de la balance donne un produit, pas une somme.

Exercice 33 · base

Le nombre d'enfants médian

Dans une classe de $36$ élèves, la répartition du nombre d'enfants par famille est : $2$ enfants ( $12$ familles), $3$ ( $15$ ), $4$ ( $5$ ), $5$ ( $2$ ), $6$ ( $2$ ). Détermine la médiane de cette série.

Donne le nombre d'enfants médian.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

$36$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $18$ et $19.$
Les effectifs cumulés sont $12$ ; $27$ ; $32$ ; $34$ ; $36.$

Correction

Rangs 18 et 19 — Les familles de rangs $13$ à $27$ ont $3$ enfants : celles de rangs $18$ et $19$ aussi.

La médiane est $3$ enfants, et le mode aussi.

Pièges anticipés

4 → $4$ est au milieu de la liste $2$ à $6$ ; mais chaque valeur compte autant de fois que son effectif.

Exercice 34 · pratique

Le salaire moyen

Les salaires mensuels, en dinars, des $110$ employés d'une entreprise se répartissent ainsi : $[350 ; 400[$ : $6$ ; $[400 ; 450[$ : $22$ ; $[450 ; 500[$ : $36$ ; $[500 ; 550[$ : $24$ ; $[550 ; 600[$ : $12$ ; $[600 ; 650[$ : $10.$ Calcule le salaire moyen.

Donne le salaire moyen en dinars.

Réponse attendue : 495

Indices, dans l’ordre

Remplace chaque classe par son centre : $375$ ; $425$ ; …
Multiplie chaque centre par l'effectif de sa classe, additionne et divise par $110.$

Correction

La somme — $6 \times 375 + 22 \times 425 + 36 \times 475 + 24 \times 525 + 12 \times 575 + 10 \times 625 = 54\,450$
La moyenne — $\frac{54\,450}{110} = 495$

Le salaire moyen est $495$ dinars.

Pièges anticipés

500 → Tu as fait la moyenne des centres sans tenir compte des effectifs.

Exercice 35 · pratique

Le régime A

Cent personnes suivent un régime A. Leur perte de poids, en kilogrammes, se répartit ainsi : $[0 ; 2[$ : $11$ ; $[2 ; 4[$ : $18$ ; $[4 ; 6[$ : $30$ ; $[6 ; 8[$ : $29$ ; $[8 ; 10[$ : $10$ ; $[10 ; 12[$ : $2.$ Calcule la perte de poids moyenne.

Donne la moyenne en kilogrammes : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 5.3

Indices, dans l’ordre

Les centres des classes sont $1$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $9$ ; $11.$
Calcule la somme des produits effectif fois centre, puis divise par $100.$

Correction

La somme — $11 \times 1 + 18 \times 3 + 30 \times 5 + 29 \times 7 + 10 \times 9 + 2 \times 11 = 530$
La moyenne — $\frac{530}{100} = 5{,}3$

La perte de poids moyenne avec le régime A est $5{,}3$ kilogrammes.

Pièges anticipés

4.3 → Tu as pris les bornes inférieures des classes ; on prend leurs centres.

Exercice 36 · raisonnement

L'écart interquartile d'une classe

Dans une classe de $30$ élèves, les notes d'un devoir se répartissent ainsi : $4$ ( $1$ élève), $7$ ( $1$ ), $8$ ( $3$ ), $9$ ( $4$ ), $10$ ( $6$ ), $11$ ( $2$ ), $12$ ( $5$ ), $13$ ( $3$ ), $14$ ( $2$ ), $16$ ( $2$ ), $18$ ( $1$ ). Calcule l'écart interquartile.

Donne l'écart interquartile.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

$25\,\%$ de $30$ font $7{,}5$ : $Q_{1}$ est la plus petite note dont l'effectif cumulé atteint $7{,}5.$ De même avec $75\,\%$ de $30,$ $22{,}5.$
Les effectifs cumulés sont $1$ ; $2$ ; $5$ ; $9$ ; $15$ ; $17$ ; $22$ ; $25$ ; $27$ ; $29$ ; $30.$

Correction

Premier quartile — L'effectif cumulé atteint $7{,}5$ à la note $9$ (cumul $9$ ) : $Q_{1} = 9.$
Troisième quartile — Il atteint $22{,}5$ à la note $13$ (cumul $25$ ) : $Q_{3} = 13.$
L'écart — $13 - 9 = 4$

L'écart interquartile est $4.$

Pièges anticipés

3 → À la note $12,$ l'effectif cumulé n'est que $22$ : il n'atteint pas $22{,}5.$ $Q_{3}$ est la note suivante.
14 → $14$ est l'étendue, $18 - 4.$

Exercice 37 · raisonnement

Harmoniser les notes d'un jury

Pour harmoniser les notes de plusieurs jurys, on transforme les notes $x_{i}$ d'un jury en $y_{i} = a\,x_{i} + b,$ avec $a > 0.$ Les notes de ce jury ont une moyenne de $9$ et un écart type de $4{,}5.$ On veut que les nouvelles notes aient une moyenne de $10$ et un écart type de $3.$ Calcule $a,$ puis $b.$

Donne la valeur de $b.$

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

L'écart type est multiplié par $a$ (car $a > 0$ ) : $4{,}5 \times a = 3.$
La moyenne devient $a \times 9 + b$ : elle doit valoir $10.$

Correction

L'écart type — L'écart type des $y_{i}$ est $a$ fois celui des $x_{i}.$ $4{,}5\,a = 3 \quad \text{donc} \quad a = \frac{3}{4{,}5} = \frac{2}{3}$
La moyenne — La moyenne des $y_{i}$ est $a$ fois celle des $x_{i},$ plus $b.$ $\frac{2}{3} \times 9 + b = 10 \quad \text{donc} \quad b = 10 - 6 = 4$

On prend $a = \dfrac{2}{3}$ et $b = 4$ : par exemple, une note de $15$ devient $\dfrac{2}{3} \times 15 + 4 = 14.$

Pièges anticipés

1 → Tu as seulement décalé la moyenne de $9$ à $10$ ; il faut d'abord trouver $a$ avec l'écart type, puis $b = 10 - 9a.$
-3.5 → Tu as pris $a = \dfrac{4{,}5}{3}$ ; or l'écart type est multiplié par $a$ : $4{,}5\,a = 3,$ donc $a = \dfrac{2}{3}.$

Exercice 38 · pratique

Deux sections d'un club

Un club sportif a deux sections. La section A compte $40$ membres dont $35\,\%$ de filles ; la section B compte $60$ membres dont $55\,\%$ de filles. Calculer le pourcentage de filles dans l'ensemble du club.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 47

Indices, dans l’ordre

Calcule d'abord le nombre de filles de chaque section, avec son propre pourcentage.
Divise ensuite le nombre total de filles par le nombre total de membres.

Correction

Section A — $40 \times 0{,}35 = 14$
Section B — $60 \times 0{,}55 = 33$
Dans le club — $\frac{14 + 33}{40 + 60} = \frac{47}{100} = 47\,\%$

Un pourcentage global se calcule avec les effectifs : on revient aux nombres de filles, puis on divise par l'effectif total.

Pièges anticipés

45 → $45\,\%$ est la moyenne de $35\,\%$ et $55\,\%$ : elle traite les deux sections comme si elles avaient le même effectif. La section B, plus nombreuse, pèse davantage.

Exercice 39 · raisonnement

Les internes du second lycée

Le lycée A compte $300$ élèves, dont $40\,\%$ d'internes ; le lycée B compte $200$ élèves. Dans l'ensemble des deux lycées, $46\,\%$ des élèves sont internes. Calculer le pourcentage d'internes du lycée B.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 55

Indices, dans l’ordre

Combien y a-t-il d'internes en tout dans les deux lycées ? Et combien dans le lycée A ?
Le reste des internes est dans le lycée B : rapporte-le à l'effectif de B.

Correction

En tout — $500 \times 0{,}46 = 230$
Lycée A — $300 \times 0{,}40 = 120$
Lycée B — $\frac{230 - 120}{200} = \frac{110}{200} = 55\,\%$

On ne raisonne pas sur les pourcentages directement : on revient aux effectifs, qui s'additionnent.

Pièges anticipés

52 → $52\,\%$ suppose que $46\,\%$ est la moyenne simple de $40\,\%$ et du pourcentage de B. Or les deux lycées n'ont pas le même effectif : reviens aux nombres d'internes.
110 → $110$ est le nombre d'internes du lycée B. On demande un pourcentage : rapporte-le aux $200$ élèves de B.

Exercice 40 · base

La fréquence d'une modalité

Une enquête est menée auprès de $250$ foyers d'une ville : $85$ d'entre eux possèdent un ordinateur portable. Calculer la fréquence des foyers possédant un ordinateur portable, sous forme décimale.

Donne la fréquence sous forme décimale, par exemple 0,25.

Réponse attendue : 0.34

Indices, dans l’ordre

La fréquence d'une modalité est son effectif divisé par l'effectif total.
Ici l'effectif total est la taille de l'échantillon : le nombre de foyers interrogés.

Correction

La formule — $\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la modalité}}{\text{effectif total}}$
Ici — $\frac{85}{250} = 0{,}34$

Une fréquence est un nombre entre $0$ et $1$ ; multipliée par $100,$ elle donne le pourcentage, ici $34\,\%.$

Pièges anticipés

34 → $34$ est le pourcentage. La fréquence s'écrit sous forme décimale : divise par $100.$
250/85 / 2.94 → Tu as divisé l'effectif total par l'effectif de la modalité : c'est l'inverse. La fréquence est toujours inférieure ou égale à $1.$

Exercice 41 · pratique

Retrouver un prix avec l'indice

Le prix moyen d'un kilogramme de tomates était de $0{,}800$ dinar en 2015. L'indice de ce prix en 2020, base $100$ en 2015, est $135.$ Calculer le prix moyen d'un kilogramme de tomates en 2020, en dinars.

Donne le prix en dinars, par exemple 1,25.

Réponse attendue : 1.08

Indices, dans l’ordre

Un indice $135$ correspond à un coefficient multiplicateur de $\dfrac{135}{100}.$
Multiplie le prix de l'année de base par ce coefficient.

Correction

Le coefficient — $\frac{135}{100} = 1{,}35$
Le prix en 2020 — $0{,}800 \times 1{,}35 = 1{,}080$

Valeur d'une année = valeur de l'année de base $\times \dfrac{\text{indice}}{100}.$ Le prix a augmenté de $35\,\%,$ et non de $0{,}35$ dinar.

Pièges anticipés

1.15 → Tu as ajouté $0{,}35$ dinar au prix. L'indice $135$ signifie une hausse de $35\,\%$ : on multiplie par $1{,}35.$
1.35 → $1{,}35$ est le coefficient multiplicateur : multiplie-le par le prix de 2015.

Exercice 42 · raisonnement

D'un indice à l'autre

Le chiffre d'affaires d'une entreprise a pour indice $120$ en 2018 et $150$ en 2022, base $100$ en 2015. Calculer le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires entre 2018 et 2022.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 25

Indices, dans l’ordre

Les indices sont proportionnels aux valeurs : le coefficient multiplicateur de 2018 à 2022 est le quotient des deux indices.
Un coefficient multiplicateur $k$ correspond à une évolution de $(k - 1) \times 100\,\%.$

Correction

Le coefficient — $\frac{150}{120} = 1{,}25$
Le pourcentage — $(1{,}25 - 1) \times 100 = 25$

La différence de deux indices n'est un pourcentage que si l'on part de l'année de base. Entre deux autres années, on fait le quotient des indices.

Pièges anticipés

30 → $150 - 120 = 30$ points d'indice : c'est un pourcentage de la valeur de 2015, pas de celle de 2018. Fais le quotient des indices.
50 → $50\,\%$ est la hausse depuis 2015, l'année de base. On demande la hausse depuis 2018.

Exercice 43 · raisonnement

Deux indices enchaînés

Une coopérative a produit $2400$ tonnes d'olives en 2019. L'indice de sa production en 2021, base $100$ en 2019, est $115$ ; l'indice de 2023, base $100$ en 2021, est $110.$ Calculer la production de 2023, en tonnes.

Donne la production en tonnes : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 3036

Indices, dans l’ordre

Commence par la production de 2021 : c'est $2400$ multiplié par le coefficient qui correspond à l'indice $115.$
Le second indice a pour base 2021 : il s'applique à la production de 2021, pas à celle de 2019.

Correction

Production 2021 — $2400 \times 1{,}15 = 2760$
Production 2023 — $2760 \times 1{,}10 = 3036$

Quand les bases changent, les coefficients multiplicateurs se multiplient : $1{,}15 \times 1{,}10 = 1{,}265,$ soit une hausse de $26{,}5\,\%$ en quatre ans.

Pièges anticipés

3000 → Tu as ajouté $15\,\%$ et $10\,\%$ de $2400.$ Mais la seconde hausse porte sur la production de 2021, déjà augmentée : les coefficients se multiplient.
2760 → $2760$ tonnes, c'est la production de 2021. Il reste à appliquer l'indice $110$ de 2023.

Exercice 44 · base

Le secteur des marcheurs

Dans une classe de $40$ élèves, $13$ élèves viennent au lycée à pied. On représente les modes de transport de la classe par un diagramme circulaire. Calculer l'angle du secteur des élèves qui viennent à pied, en degrés.

Donne l'angle en degrés : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 117

Indices, dans l’ordre

Le disque entier, $360°,$ représente les $40$ élèves.
L'angle d'un secteur est proportionnel à son effectif.

Correction

La formule — $\text{angle} = \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}} \times 360°$
Ici — $\frac{13}{40} \times 360 = 117°$

Chaque élève occupe $\dfrac{360}{40} = 9°$ du disque : $13$ élèves en occupent $117°.$

Pièges anticipés

32.5 → $32{,}5\,\%$ est la part des élèves à pied. Pour l'angle, multiplie la fréquence par $360,$ pas par $100.$

Exercice 45 · pratique

De l'angle à l'effectif

Dans un diagramme circulaire représentant les $450$ adhérents d'une association selon leur activité préférée, le secteur « théâtre » a un angle de $72°.$ Calculer le nombre d'adhérents qui préfèrent le théâtre.

Donne le nombre d'adhérents : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 90

Indices, dans l’ordre

Quelle fraction du disque représente un angle de $72°$ ?
Cette fraction est aussi la fréquence de la modalité : applique-la à l'effectif total.

Correction

La fréquence — $\frac{72}{360} = \frac{1}{5} = 0{,}2$
L'effectif — $0{,}2 \times 450 = 90$

On remonte de l'angle à l'effectif par la même proportionnalité : effectif $= \dfrac{\text{angle}}{360} \times$ effectif total.

Pièges anticipés

324 → Tu as pris $72°$ pour $72\,\%.$ Le disque complet fait $360°,$ pas $100$ : divise l'angle par $360.$

Exercice 46 · raisonnement

Le secteur manquant

Les élèves d'un lycée ont choisi un sport : football, handball ou volley-ball. Dans le diagramme circulaire de cette répartition, le secteur du football mesure $150°$ et celui du handball $90°$ ; $60$ élèves ont choisi le volley-ball. Calculer le nombre d'élèves qui ont choisi le football.

Donne le nombre d'élèves : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 75

Indices, dans l’ordre

Commence par l'angle du secteur du volley-ball : les trois angles font $360°$ en tout.
Les $60$ élèves du volley-ball correspondent à cet angle : déduis-en l'effectif total, puis celui du football.

Correction

Angle du volley-ball — $360 - 150 - 90 = 120°$
Effectif total — $60 \times \frac{360}{120} = 180$
Football — $\frac{150}{360} \times 180 = 75$

Les effectifs sont proportionnels aux angles : on pouvait aussi écrire directement $60 \times \dfrac{150}{120} = 75.$

Pièges anticipés

180 → $180$ est l'effectif total du lycée. Il reste à calculer la part du football, $\dfrac{150}{360}$ de ce total.
120 → $120°$ est l'angle du secteur du volley-ball, pas un effectif.

Exercice 47 · pratique

Lire un histogramme

Un histogramme représente la durée du trajet quotidien de $80$ élèves, en minutes. Ses rectangles ont pour hauteurs les effectifs : $[0 ; 10[$ : $12$ ; $[10 ; 20[$ : $26$ ; $[20 ; 30[$ : $22$ ; $[30 ; 40[$ : $14$ ; $[40 ; 50[$ : $6.$ Calculer le pourcentage des élèves dont le trajet dure au moins $30$ minutes.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 25

Indices, dans l’ordre

« Au moins $30$ minutes » : quelles classes cela concerne-t-il ?
Additionne les effectifs de ces classes, puis rapporte la somme à l'effectif total.

Correction

Les classes — $[30 ; 40[ \quad \text{et} \quad [40 ; 50[$
L'effectif — $14 + 6 = 20$
Le pourcentage — $\frac{20}{80} = 25\,\%$

Sur un histogramme à classes de même amplitude, on lit les effectifs des classes, puis on les additionne sur la partie demandée.

Pièges anticipés

75 → $75\,\%$ est la part des élèves dont le trajet dure moins de $30$ minutes : c'est le contraire de ce qu'on demande.
20 → $20$ est le nombre d'élèves concernés. On demande un pourcentage : rapporte-le aux $80$ élèves.

Exercice 48 · base

Un effectif cumulé croissant

Les pointures de $50$ élèves se répartissent ainsi : $38$ ( $5$ élèves), $39$ ( $9$ ), $40$ ( $14$ ), $41$ ( $11$ ), $42$ ( $7$ ), $43$ ( $4$ ). Calculer l'effectif cumulé croissant de la pointure $41.$

Donne l'effectif cumulé : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 39

Indices, dans l’ordre

L'effectif cumulé croissant d'une valeur compte les individus dont la valeur est inférieure ou égale à elle.
Additionne les effectifs des pointures $38,$ $39,$ $40$ et $41.$

Correction

Les pointures concernées — $38 \;;\; 39 \;;\; 40 \;;\; 41$
La somme — $5 + 9 + 14 + 11 = 39$

$39$ élèves ont une pointure inférieure ou égale à $41.$ L'effectif cumulé de la dernière valeur est toujours l'effectif total, ici $50.$

Pièges anticipés

11 → $11$ est l'effectif de la seule pointure $41.$ L'effectif cumulé ajoute aussi les pointures plus petites.
22 → $22$ compte les élèves de pointure $41$ ou plus : c'est un cumul décroissant. On demande le cumul croissant.
28 → $28$ compte les pointures strictement inférieures à $41.$ L'effectif cumulé de $41$ inclut la pointure $41$ elle-même.

Exercice 49 · pratique

La fréquence cumulée des oranges

On a pesé $200$ oranges. Leurs masses, en grammes, se répartissent ainsi : $[100 ; 120[$ : $18$ ; $[120 ; 140[$ : $46$ ; $[140 ; 160[$ : $70$ ; $[160 ; 180[$ : $44$ ; $[180 ; 200[$ : $22.$ Calculer la fréquence cumulée croissante de la classe $[140 ; 160[,$ en pourcentage.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 67

Indices, dans l’ordre

Pour une classe $[a ; b[,$ l'effectif cumulé croissant compte les individus dont la valeur est inférieure à $b.$
Divise l'effectif cumulé par l'effectif total.

Correction

Effectif cumulé — $18 + 46 + 70 = 134$
Fréquence cumulée — $\frac{134}{200} = 0{,}67 = 67\,\%$

$67\,\%$ des oranges pèsent moins de $160$ grammes : c'est le sens d'une fréquence cumulée croissante.

Pièges anticipés

35 → $35\,\%$ est la fréquence de la seule classe $[140 ; 160[.$ La fréquence cumulée ajoute les classes précédentes.
89 → $89\,\%$ est la fréquence cumulée de la classe $[160 ; 180[$ : tu as ajouté une classe de trop.

Exercice 50 · raisonnement

Lire les effectifs cumulés

Les âges des $125$ participants à un marathon, regroupés en classes, ont pour effectifs cumulés croissants : $[20 ; 30[$ : $15$ ; $[30 ; 40[$ : $42$ ; $[40 ; 50[$ : $90$ ; $[50 ; 60[$ : $118$ ; $[60 ; 70[$ : $125.$ Calculer le nombre de participants âgés d'au moins $40$ ans.

Donne le nombre de participants : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 83

Indices, dans l’ordre

L'effectif cumulé $42$ de la classe $[30 ; 40[$ compte les participants de moins de $40$ ans.
Les autres ont au moins $40$ ans : retire-les de l'effectif total.

Correction

Moins de 40 ans — $42$
Au moins 40 ans — $125 - 42 = 83$

Avec les effectifs cumulés croissants, « au moins $b$ » s'obtient par différence : effectif total moins l'effectif cumulé jusqu'à $b.$

Pièges anticipés

90 → $90$ est l'effectif cumulé de $[40 ; 50[$ : il compte les moins de $50$ ans, y compris ceux de moins de $40$ ans.
35 → $125 - 90 = 35$ compte les participants d'au moins $50$ ans. La limite demandée est $40$ ans.
48 → $48$ est l'effectif de la seule classe $[40 ; 50[.$ Il faut aussi compter les participants de $50$ ans et plus.

Exercice 51 · base

L'étendue des températures

Les températures maximales, en degrés Celsius, relevées pendant une semaine dans une ville sont : $23$ ; $27$ ; $19$ ; $31$ ; $25$ ; $18$ ; $29.$ Calculer l'étendue de cette série, en degrés.

Donne l'étendue en degrés : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Les valeurs ne sont pas rangées : cherche d'abord le maximum et le minimum.

Correction

Les extrêmes — $\max = 31 \quad ; \quad \min = 18$
L'étendue — $31 - 18 = 13$

L'étendue mesure la largeur de la série ; elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes.

Pièges anticipés

6 → $29 - 23$ : tu as pris la dernière et la première valeur de la liste. L'étendue utilise la plus grande et la plus petite.

Exercice 52 · base

Le nombre de frères et sœurs

On a demandé à $38$ élèves leur nombre de frères et sœurs : $0$ ( $6$ élèves), $1$ ( $14$ ), $2$ ( $11$ ), $3$ ( $5$ ), $4$ ( $2$ ). Déterminer le mode de cette série.

Donne le mode : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 1

Indices, dans l’ordre

Le mode est une valeur de la série, pas un effectif.
Cherche la valeur qui a le plus grand effectif.

Correction

Le plus grand effectif — $14$
Le mode — $\text{mode} = 1$

Le mode est la valeur la plus fréquente : ici, le plus souvent, un élève a un frère ou une sœur.

Pièges anticipés

14 → $14$ est le plus grand effectif. Le mode est la valeur qui lui correspond.
2 → $2$ est la valeur du milieu de la liste $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4.$ Le mode est la valeur de plus grand effectif.

Exercice 53 · pratique

La classe modale des vitesses

Un radar a mesuré la vitesse de $125$ véhicules, en kilomètres par heure : $[50 ; 60[$ : $14$ ; $[60 ; 70[$ : $31$ ; $[70 ; 80[$ : $45$ ; $[80 ; 90[$ : $27$ ; $[90 ; 100[$ : $8.$ Déterminer la classe modale, puis calculer son centre.

Donne le centre de la classe modale : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 75

Indices, dans l’ordre

Les classes ont toutes la même amplitude : la classe modale est celle du plus grand effectif.
Le centre d'une classe $[a ; b[$ est $\dfrac{a + b}{2}.$

Correction

La classe modale — $45 \text{ véhicules dans } [70 ; 80[$
Son centre — $\frac{70 + 80}{2} = 75$

Pour une série continue à classes de même amplitude, on parle de classe modale ; son centre la représente dans les calculs.

Pièges anticipés

45 → $45$ est l'effectif de la classe modale. On demande son centre.
70 → $70$ est la borne inférieure de la classe modale. Le centre est au milieu des deux bornes.

Exercice 54 · raisonnement

Une note retrouvée

Les notes de cinq élèves sont $6$ ; $9$ ; $12$ ; $15$ et $x,$ où $x$ est un nombre entier. On sait que la série a pour étendue $11$ et pour médiane $12.$ Déterminer $x.$

Donne la valeur de $x.$

Réponse attendue : 17

Indices, dans l’ordre

Si $x$ n'est pas une valeur extrême, l'étendue vaut $15 - 6$ : est-ce possible ?
Il reste deux cas : $x$ est la plus grande note, ou la plus petite. Calcule la médiane dans chacun.

Correction

x est extrême — $15 - 6 = 9 \neq 11$ : $x$ est la plus grande ou la plus petite note. $x = 6 + 11 = 17 \quad \text{ou} \quad x = 15 - 11 = 4$
Si x = 4 — Les notes rangées sont $4$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; $15$ : la médiane est $9.$ $m = 9 \neq 12$
Si x = 17 — Les notes rangées sont $6$ ; $9$ ; $12$ ; $15$ ; $17$ : la médiane est $12.$ $x = 17$

Deux renseignements, deux filtres : l'étendue laisse deux possibilités, la médiane en élimine une.

Pièges anticipés

4 → Avec $x = 4,$ l'étendue vaut bien $11,$ mais les notes rangées $4$ ; $6$ ; $9$ ; $12$ ; $15$ ont pour médiane $9,$ pas $12.$

Exercice 55 · pratique

La masse médiane des colis

Les masses, en kilogrammes, de $10$ colis expédiés par un bureau de poste sont : $4{,}2$ ; $3{,}8$ ; $5{,}1$ ; $2{,}9$ ; $6{,}4$ ; $4{,}7$ ; $3{,}3$ ; $5{,}6$ ; $4{,}0$ ; $7{,}2.$ Déterminer la masse médiane, en kilogrammes.

Donne la médiane en kg : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 4.45

Indices, dans l’ordre

Commence par ranger les masses dans l'ordre croissant.
L'effectif $10$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $5$ et $6.$

Correction

Les masses rangées — $2{,}9 \,;\, 3{,}3 \,;\, 3{,}8 \,;\, 4{,}0 \,;\, 4{,}2 \,;\, 4{,}7 \,;\, 5{,}1 \,;\, 5{,}6 \,;\, 6{,}4 \,;\, 7{,}2$
Rangs 5 et 6 — $4{,}2 \quad \text{et} \quad 4{,}7$
La médiane — $m = \frac{4{,}2 + 4{,}7}{2} = 4{,}45$

Pour un effectif pair, on range, puis on prend la moyenne des deux valeurs du milieu, de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2} + 1.$

Pièges anticipés

5.55 → Tu as pris les cinquième et sixième valeurs de la liste telle qu'elle est donnée. Il faut d'abord ranger les masses.
4.2 / 4.7 → L'effectif est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs de rangs $5$ et $6,$ pas l'une d'elles.

Exercice 56 · pratique

Les buts d'un championnat

Pendant une saison, une équipe a joué $30$ matchs. Le nombre de buts qu'elle a marqués par match se répartit ainsi : $0$ but ( $7$ matchs), $1$ but ( $8$ ), $2$ buts ( $9$ ), $3$ buts ( $4$ ), $4$ buts ( $2$ ). Déterminer la médiane de cette série.

Donne la médiane.

Réponse attendue : 1.5

Indices, dans l’ordre

L'effectif $30$ est pair : il te faut les valeurs de rangs $15$ et $16.$
Calcule les effectifs cumulés croissants pour situer ces deux rangs.

Correction

Effectifs cumulés — $7 \quad ; \quad 15 \quad ; \quad 24 \quad ; \quad 28 \quad ; \quad 30$
Les deux rangs — Les matchs de rangs $8$ à $15$ ont $1$ but ; ceux de rangs $16$ à $24$ en ont $2.$ $\text{rang } 15 : 1 \quad ; \quad \text{rang } 16 : 2$
La médiane — $m = \frac{1 + 2}{2} = 1{,}5$

Les deux rangs du milieu peuvent tomber sur deux valeurs différentes : la médiane est alors leur moyenne, même si elle n'est pas une valeur de la série.

Pièges anticipés

2 → $2$ est la valeur de rang $16$ (et le mode). Avec $30$ matchs, la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $15$ et $16.$
1 → $1$ est la valeur de rang $15$ seulement : celle de rang $16$ vaut $2.$ Fais la moyenne des deux.

Exercice 57 · defi

Faire bouger la médiane

Les notes d'un groupe de $18$ élèves se répartissent ainsi : $8$ ( $5$ élèves), $10$ ( $6$ ), $12$ ( $4$ ), $14$ ( $3$ ). Des élèves ayant tous obtenu $14$ rejoignent le groupe. Calculer le nombre d'élèves qui doivent le rejoindre pour que la médiane du nouveau groupe soit égale à $11.$

Donne le nombre d'élèves à ajouter : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

Une médiane égale à $11,$ alors qu'aucune note ne vaut $11$ : l'effectif doit être pair, et les deux valeurs du milieu doivent être $10$ et $12.$
Les notes $8$ et $10$ occupent les rangs $1$ à $11$ : quels doivent être les deux rangs du milieu ?

Correction

Médiane actuelle — $n = 18$ : les rangs $9$ et $10$ ont la note $10.$ $m = 10$
Ce qu'il faut — La médiane $11$ doit être la moyenne de $10$ (rang $11,$ la dernière note $10$ ) et de $12$ (rang $12$ ) : les rangs du milieu sont $11$ et $12.$ $\frac{n}{2} = 11 \iff n = 22$
Le nombre d'élèves — $22 - 18 = 4$

On vérifie : avec $22$ élèves, les rangs $11$ et $12$ ont les notes $10$ et $12,$ de moyenne $11.$ Avec $3$ ou $5$ élèves ajoutés, l'effectif est impair et la médiane est une note de la série.

Pièges anticipés

3 / 5 → Avec un effectif impair, la médiane est une note de la série : $10$ ou $12,$ jamais $11.$ Il faut un effectif pair, avec $10$ et $12$ au milieu.

Exercice 58 · pratique

La durée médiane des appels

Les durées, en minutes, de $200$ appels reçus par un standard téléphonique se répartissent ainsi : $[0 ; 4[$ : $30$ ; $[4 ; 8[$ : $52$ ; $[8 ; 12[$ : $64$ ; $[12 ; 16[$ : $36$ ; $[16 ; 20[$ : $18.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, calculer la durée médiane par interpolation linéaire, en valeur exacte.

Donne la valeur exacte de la médiane.

Réponse attendue : 9.125

Indices, dans l’ordre

La moitié de l'effectif est $100$ : dans quelle classe les effectifs cumulés franchissent-ils $100$ ?
Dans cette classe, écris l'égalité des rapports entre les bornes et les effectifs cumulés.

Correction

Effectifs cumulés — $30 \quad ; \quad 82 \quad ; \quad 146 \quad ; \quad 182 \quad ; \quad 200$
La classe — $82 < 100 \le 146$ : la médiane est dans $[8 ; 12[.$ $\frac{m - 8}{12 - 8} = \frac{100 - 82}{146 - 82}$
La médiane — $m = 8 + 4 \times \frac{18}{64} = 9{,}125$

Interpolation linéaire : on situe la moitié de l'effectif entre deux effectifs cumulés, et la médiane au même endroit entre les bornes de la classe.

Pièges anticipés

9.13 / 9.12 / 9.1 → C'est une valeur approchée. Le calcul tombe juste : donne la valeur exacte.
10 → $10$ est le centre de la classe $[8 ; 12[.$ L'interpolation situe la médiane plus précisément dans la classe.
8+4*100/64 / 14.25 → Tu as utilisé $100$ au lieu de $100 - 82$ : il faut retrancher les $82$ appels des classes précédentes.

Exercice 59 · raisonnement

Combien de visites de moins de 36 minutes ?

Les durées de visite, en minutes, des $250$ visiteurs d'un musée se répartissent ainsi : $[0 ; 15[$ : $40$ ; $[15 ; 30[$ : $85$ ; $[30 ; 45[$ : $75$ ; $[45 ; 60[$ : $50.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, estimer par interpolation linéaire le nombre de visiteurs restés moins de $36$ minutes.

Donne le nombre de visiteurs : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 155

Indices, dans l’ordre

Les visiteurs des deux premières classes sont tous restés moins de $30$ minutes.
Dans la classe $[30 ; 45[,$ la durée $36$ est aux $\dfrac{6}{15}$ de la classe : quelle part de ses $75$ visiteurs cela représente-t-il ?

Correction

Moins de 30 minutes — $40 + 85 = 125$
Entre 30 et 36 minutes — $75 \times \frac{36 - 30}{45 - 30} = 75 \times \frac{6}{15} = 30$
Moins de 36 minutes — $125 + 30 = 155$

L'interpolation linéaire marche dans les deux sens : d'un effectif cumulé vers une valeur (la médiane), ou d'une valeur vers un effectif cumulé.

Pièges anticipés

125 → $125$ visiteurs sont restés moins de $30$ minutes. Il faut ajouter ceux de la classe $[30 ; 45[$ restés moins de $36$ minutes.
200 → $200$ compte toute la classe $[30 ; 45[,$ jusqu'à $45$ minutes. Seule une partie de ses visiteurs est restée moins de $36$ minutes.

Exercice 60 · defi

Un effectif à retrouver

Une série continue a pour effectifs : $[0 ; 20[$ : $30$ ; $[20 ; 40[$ : $x$ ; $[40 ; 60[$ : $20,$ où $x$ est un entier non nul. On suppose la répartition uniforme dans chaque classe, et la médiane obtenue par interpolation linéaire est égale à $25.$ Déterminer $x.$

Donne la valeur de $x.$

Réponse attendue : 20

Indices, dans l’ordre

La médiane $25$ est dans la classe $[20 ; 40[$ : la moitié de l'effectif total, $\dfrac{50 + x}{2},$ est entre $30$ et $30 + x.$
Écris l'égalité de l'interpolation linéaire dans la classe $[20 ; 40[,$ puis résous l'équation d'inconnue $x.$

Correction

La moitié de l'effectif — $\frac{n}{2} = \frac{50 + x}{2}$
L'interpolation — $\frac{25 - 20}{40 - 20} = \frac{\frac{50 + x}{2} - 30}{x}$
L'équation — $\frac{1}{4} = \frac{x - 10}{2x} \iff 2x = 4x - 40$
La solution — $x = 20$

On vérifie : $n = 70,$ la moitié est $35,$ et $20 + 20 \times \dfrac{35 - 30}{20} = 25.$ Une équation du premier degré suffit à remonter de la médiane à l'effectif.

Exercice 61 · pratique

Une médiane à partir des pourcentages

Une enquête sur le temps quotidien passé devant les écrans, en heures, donne la répartition suivante en pourcentages : $[0 ; 2[$ : $10\,\%$ ; $[2 ; 4[$ : $25\,\%$ ; $[4 ; 6[$ : $35\,\%$ ; $[6 ; 8[$ : $20\,\%$ ; $[8 ; 10[$ : $10\,\%.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, calculer la médiane par interpolation linéaire, en heures, arrondie au centième.

Donne la médiane en heures, arrondie au centième.

Réponse attendue : 4.86

Indices, dans l’ordre

Avec des fréquences, la moitié de la population correspond à $50\,\%$ : utilise les fréquences cumulées croissantes.
Dans quelle classe les fréquences cumulées franchissent-elles $50\,\%$ ?

Correction

Fréquences cumulées — $10 \quad ; \quad 35 \quad ; \quad 70 \quad ; \quad 90 \quad ; \quad 100$
La classe — $35 < 50 \le 70$ : la médiane est dans $[4 ; 6[.$ $\frac{m - 4}{6 - 4} = \frac{50 - 35}{70 - 35}$
La médiane — $m = 4 + 2 \times \frac{15}{35} \approx 4{,}86$

L'interpolation se fait aussi bien avec les fréquences cumulées qu'avec les effectifs cumulés : on vise $50\,\%$ au lieu de $\dfrac{n}{2}.$

Pièges anticipés

4.85 → $4{,}857\ldots$ arrondi au centième donne $4{,}86$ : le chiffre suivant est $7,$ on arrondit au-dessus.
4.857 / 4.8571 → On demande un arrondi au centième : deux chiffres après la virgule.
5 → $5$ est le centre de la classe $[4 ; 6[.$ L'interpolation situe la médiane plus précisément dans la classe.

Exercice 62 · base

Un premier quartile

Les nombres de livres empruntés en un mois par $12$ lecteurs d'une bibliothèque sont : $5$ ; $8$ ; $3$ ; $9$ ; $12$ ; $7$ ; $6$ ; $10$ ; $4$ ; $11$ ; $8$ ; $7.$ Déterminer le premier quartile $Q_{1}$ de cette série.

Donne la valeur de $Q_{1}.$

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

Range les valeurs dans l'ordre croissant.
$Q_{1}$ est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\,\%$ des valeurs lui sont inférieures ou égales : calcule $25\,\%$ de $12.$

Correction

Les valeurs rangées — $3 \,;\, 4 \,;\, 5 \,;\, 6 \,;\, 7 \,;\, 7 \,;\, 8 \,;\, 8 \,;\, 9 \,;\, 10 \,;\, 11 \,;\, 12$
Le rang — $25\,\% \times 12 = 3$
Le quartile — $Q_{1} = 5$

$Q_{1}$ est la valeur dont le rang est le premier entier supérieur ou égal à $\dfrac{n}{4}$ ; on ne fait pas de moyenne de deux valeurs comme pour la médiane.

Pièges anticipés

5.5 → Pour un quartile, on ne fait pas la moyenne des valeurs de rangs $3$ et $4$ : $Q_{1}$ est la valeur de rang $3,$ car $25\,\%$ de $12$ font exactement $3.$
3 → Tu as pris la troisième valeur de la liste donnée. Il faut d'abord ranger les valeurs.

Exercice 63 · pratique

Le troisième quartile des lectures

On a demandé à $40$ élèves combien de romans ils ont lus pendant les vacances : $0$ ( $4$ élèves), $1$ ( $9$ ), $2$ ( $10$ ), $3$ ( $7$ ), $4$ ( $6$ ), $5$ ( $4$ ). Déterminer le troisième quartile $Q_{3}$ de cette série.

Donne la valeur de $Q_{3}.$

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

$75\,\%$ de $40$ font $30$ : $Q_{3}$ est la valeur de rang $30.$
Calcule les effectifs cumulés croissants pour trouver la valeur de rang $30.$

Correction

Le rang — $75\,\% \times 40 = 30$
Effectifs cumulés — $4 \quad ; \quad 13 \quad ; \quad 23 \quad ; \quad 30 \quad ; \quad 36 \quad ; \quad 40$
Le quartile — Les élèves de rangs $24$ à $30$ ont lu $3$ romans. $Q_{3} = 3$

Au moins $75\,\%$ des élèves ( $30$ sur $40$ ) ont lu $3$ romans ou moins, et $3$ est la plus petite valeur qui le permet.

Pièges anticipés

3.5 → Pour un quartile, on ne fait pas la moyenne des valeurs de rangs $30$ et $31$ : $Q_{3}$ est la plus petite valeur dont l'effectif cumulé atteint $75\,\%,$ soit $30.$
4 → $4$ est la valeur de rang $31.$ L'effectif cumulé de $3$ atteint déjà $30,$ c'est-à-dire $75\,\%$ de l'effectif.

Exercice 64 · pratique

Un quartile quand n/4 n'est pas entier

Les temps, en minutes, de $23$ coureurs sur une course de $3$ kilomètres sont : $12$ ( $2$ coureurs), $13$ ( $3$ ), $14$ ( $5$ ), $15$ ( $6$ ), $16$ ( $4$ ), $17$ ( $3$ ). Déterminer le premier quartile $Q_{1}$ de cette série.

Donne la valeur de $Q_{1},$ en minutes : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

Calcule $25\,\%$ de $23$ : le résultat n'est pas entier.
Il faut au moins $25\,\%$ de l'effectif : prends le premier rang entier qui dépasse ce nombre.

Correction

Le seuil — $25\,\% \times 23 = 5{,}75$
Le rang — Le rang $5$ ne suffit pas : $5 < 5{,}75.$ On prend le rang $6.$ $\text{rang } 6$
Effectifs cumulés — $2 \quad ; \quad 5 \quad ; \quad 10 \quad ; \quad 16 \quad ; \quad 20 \quad ; \quad 23$
Le quartile — $Q_{1} = 14$

Quand $\dfrac{n}{4}$ n'est pas entier, on prend le rang entier immédiatement supérieur : c'est la plus petite valeur qui atteint $25\,\%.$

Pièges anticipés

13 → $13$ est la valeur de rang $5.$ Or $5$ coureurs sur $23$ ne font que $21{,}7\,\%$ : il faut aller au rang $6.$
15 → $15$ est la médiane, la valeur de rang $12.$ $Q_{1}$ est la valeur de rang $6.$

Exercice 65 · defi

Dans l'intervalle interquartile

Les temps de trajet, en minutes, de $40$ élèves sont : $10$ ( $3$ élèves), $12$ ( $6$ ), $15$ ( $9$ ), $18$ ( $8$ ), $20$ ( $7$ ), $25$ ( $5$ ), $30$ ( $2$ ). Calculer le pourcentage des élèves dont le temps de trajet appartient à l'intervalle interquartile $[Q_{1} ; Q_{3}].$

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

Commence par $Q_{1}$ et $Q_{3}$ : ce sont les valeurs de rangs $10$ et $30,$ à lire sur les effectifs cumulés.
Compte ensuite les élèves dont le temps est compris entre $Q_{1}$ et $Q_{3},$ bornes comprises.

Correction

Effectifs cumulés — $3 \quad ; \quad 9 \quad ; \quad 18 \quad ; \quad 26 \quad ; \quad 33 \quad ; \quad 38 \quad ; \quad 40$
Les quartiles — $Q_{1} = 15 \quad (\text{rang } 10) \quad ; \quad Q_{3} = 20 \quad (\text{rang } 30)$
Dans [Q1 ; Q3] — $9 + 8 + 7 = 24$
Le pourcentage — $\frac{24}{40} = 60\,\%$

L'intervalle interquartile contient au moins la moitié des valeurs, souvent plus quand des valeurs se répètent aux bornes : ici $60\,\%.$

Pièges anticipés

50 → $50\,\%$ serait la part d'une série sans valeurs répétées. Ici, plusieurs élèves ont exactement $15$ ou $20$ minutes : compte-les.
20 → Tu as exclu les bornes $Q_{1}$ et $Q_{3}.$ L'intervalle $[Q_{1} ; Q_{3}]$ est fermé : les élèves de $15$ et de $20$ minutes y sont.

Exercice 66 · pratique

Le premier quartile des spectateurs

Les âges des $400$ spectateurs d'un concert se répartissent ainsi : $[10 ; 20[$ : $60$ ; $[20 ; 30[$ : $110$ ; $[30 ; 40[$ : $130$ ; $[40 ; 50[$ : $70$ ; $[50 ; 60[$ : $30.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, calculer le premier quartile $Q_{1}$ par interpolation linéaire, arrondi au dixième.

Donne $Q_{1}$ arrondi au dixième.

Réponse attendue : 23.6

Indices, dans l’ordre

Le quart de l'effectif est $\dfrac{400}{4}$ : dans quelle classe les effectifs cumulés franchissent-ils ce nombre ?
Interpole dans cette classe, comme pour la médiane.

Correction

Le quart — $\frac{400}{4} = 100$
Effectifs cumulés — $60 \quad ; \quad 170 \quad ; \quad 300 \quad ; \quad 370 \quad ; \quad 400$
La classe — $60 < 100 \le 170$ : $Q_{1}$ est dans $[20 ; 30[.$ $\frac{Q_{1} - 20}{10} = \frac{100 - 60}{110}$
Le quartile — $Q_{1} = 20 + \frac{400}{110} \approx 23{,}6$

Pour une série continue, $Q_{1}$ s'obtient comme la médiane, en visant le quart de l'effectif au lieu de la moitié.

Pièges anticipés

23.64 / 23.636 → On demande un arrondi au dixième : un seul chiffre après la virgule.
25 → $25$ est le centre de la classe $[20 ; 30[.$ L'interpolation situe $Q_{1}$ plus précisément.
29.1 / 20+10*100/110 → Tu as utilisé $100$ au lieu de $100 - 60$ : retranche les $60$ spectateurs de la première classe.

Exercice 67 · raisonnement

Un quartile sur une borne

Les âges des $400$ spectateurs d'un concert se répartissent ainsi : $[10 ; 20[$ : $60$ ; $[20 ; 30[$ : $110$ ; $[30 ; 40[$ : $130$ ; $[40 ; 50[$ : $70$ ; $[50 ; 60[$ : $30.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, calculer le troisième quartile $Q_{3}$ par interpolation linéaire.

Donne la valeur de $Q_{3}.$

Réponse attendue : 40

Indices, dans l’ordre

Calcule les trois quarts de l'effectif, puis les effectifs cumulés.
Regarde bien l'effectif cumulé de la classe $[30 ; 40[$ : que remarques-tu ?

Correction

Les trois quarts — $\frac{3 \times 400}{4} = 300$
Effectifs cumulés — $60 \quad ; \quad 170 \quad ; \quad 300 \quad ; \quad 370 \quad ; \quad 400$
L'interpolation — $170 < 300 \le 300$ : $Q_{3}$ est dans $[30 ; 40[,$ et l'effectif cumulé atteint $300$ exactement à la borne $40.$ $Q_{3} = 30 + 10 \times \frac{130}{130} = 40$

Quand un effectif cumulé tombe exactement sur le seuil, le quartile est la borne supérieure de la classe : $75\,\%$ des spectateurs ont moins de $40$ ans.

Pièges anticipés

35 → $35$ est le centre de la classe $[30 ; 40[.$ L'interpolation donne la valeur exacte du quartile : ici, la borne $40.$
32.3 / 32.31 → Tu as interpolé la médiane, avec la moitié de l'effectif. Pour $Q_{3},$ vise les trois quarts : $300.$

Exercice 68 · defi

L'écart interquartile des retards

Les retards, en minutes, de $160$ trains se répartissent ainsi : $[0 ; 5[$ : $16$ ; $[5 ; 10[$ : $40$ ; $[10 ; 15[$ : $56$ ; $[15 ; 20[$ : $32$ ; $[20 ; 25[$ : $16.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, calculer l'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1},$ les quartiles étant obtenus par interpolation linéaire.

Donne l'écart interquartile, en valeur exacte.

Réponse attendue : 8.25

Indices, dans l’ordre

Le quart de l'effectif est $40$ et les trois quarts $120$ : situe-les dans les effectifs cumulés.
Fais deux interpolations, une dans chaque classe trouvée, puis la différence.

Correction

Effectifs cumulés — $16 \quad ; \quad 56 \quad ; \quad 112 \quad ; \quad 144 \quad ; \quad 160$
Premier quartile — $16 < 40 \le 56 : \quad Q_{1} = 5 + 5 \times \frac{40 - 16}{40} = 8$
Troisième quartile — $112 < 120 \le 144 : \quad Q_{3} = 15 + 5 \times \frac{120 - 112}{32} = 16{,}25$
L'écart — $Q_{3} - Q_{1} = 8{,}25$

La moitié centrale des retards tient dans un intervalle de $8{,}25$ minutes, alors que l'étendue de la série est de $25$ minutes.

Pièges anticipés

10 → $17{,}5 - 7{,}5 = 10$ : tu as pris les centres des classes. Les quartiles s'obtiennent par interpolation dans chaque classe.
8.3 / 8.2 → C'est une valeur approchée. Le calcul tombe juste : donne la valeur exacte.

Exercice 69 · raisonnement

Ce que dit une boîte

Le diagramme en boîte des notes de $120$ élèves à un concours a pour valeurs extrêmes $4$ et $19,$ pour quartiles $Q_{1} = 8$ et $Q_{3} = 15,$ et pour médiane $11.$ Déterminer le nombre minimal d'élèves dont la note est inférieure ou égale à $15.$

Donne le nombre d'élèves : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 90

Indices, dans l’ordre

$15$ est le troisième quartile : que dit sa définition sur la part des élèves dont la note est inférieure ou égale à $Q_{3}$ ?
Applique ce pourcentage à l'effectif total.

Correction

La définition — $Q_{3}$ est la plus petite note telle qu'au moins $75\,\%$ des élèves ont une note inférieure ou égale à elle. $75\,\%$
Le nombre d'élèves — $0{,}75 \times 120 = 90$

Un diagramme en boîte ne donne pas les effectifs exacts, mais des garanties : au moins $25\,\%,$ $50\,\%,$ $75\,\%$ de l'effectif jusqu'à $Q_{1},$ $m,$ $Q_{3}.$

Pièges anticipés

30 → $30,$ c'est un quart des élèves : la part au-dessus de $Q_{3},$ pas en dessous.
60 → $60$ est la moitié des élèves : c'est ce que garantit la médiane, $11.$ Ici, la note $15$ est le troisième quartile.

Exercice 70 · pratique

La moustache de droite

Le nombre de messages envoyés en une journée par $15$ élèves est : $31$ ; $24$ ; $45$ ; $38$ ; $27$ ; $52$ ; $33$ ; $40$ ; $29$ ; $36$ ; $48$ ; $22$ ; $35$ ; $41$ ; $30.$ Dans le diagramme en boîte de cette série, la moustache de droite va de $Q_{3}$ à la plus grande valeur. Calculer sa longueur.

Donne la longueur de la moustache : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

Range les valeurs, puis calcule $75\,\%$ de $15$ pour trouver le rang de $Q_{3}.$
$75\,\%$ de $15$ n'est pas un entier : prends le premier rang entier supérieur.

Correction

Les valeurs rangées — $22 \,;\, 24 \,;\, 27 \,;\, 29 \,;\, 30 \,;\, 31 \,;\, 33 \,;\, 35 \,;\, 36 \,;\, 38 \,;\, 40 \,;\, 41 \,;\, 45 \,;\, 48 \,;\, 52$
Le rang de Q3 — $75\,\% \times 15 = 11{,}25 \;\Rightarrow\; \text{rang } 12 : Q_{3} = 41$
La moustache — $52 - 41 = 11$

Dans un diagramme en boîte, la boîte va de $Q_{1}$ à $Q_{3}$ ; les moustaches la prolongent jusqu'aux valeurs extrêmes.

Pièges anticipés

17 → $52 - 35$ part de la médiane. La moustache commence au bord de la boîte, en $Q_{3}.$
12 → $52 - 40$ : $40$ est la valeur de rang $11.$ Or $11 < 11{,}25$ : $Q_{3}$ est la valeur de rang $12.$

Exercice 71 · raisonnement

Deux groupes, deux boîtes

Les notes de deux groupes de $8$ élèves sont, pour le groupe A : $12$ ; $9$ ; $17$ ; $6$ ; $11$ ; $14$ ; $10$ ; $12$ et, pour le groupe B : $15$ ; $2$ ; $11$ ; $19$ ; $7$ ; $13$ ; $9$ ; $16.$ Calculer la différence entre l'écart interquartile du groupe B et celui du groupe A.

Donne la différence des écarts interquartiles.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

Range chaque série. Avec $8$ valeurs, $Q_{1}$ est la valeur de rang $2$ et $Q_{3}$ celle de rang $6.$
Calcule l'écart interquartile de chaque groupe, puis la différence.

Correction

Groupe A rangé — $6 \,;\, 9 \,;\, 10 \,;\, 11 \,;\, 12 \,;\, 12 \,;\, 14 \,;\, 17 \quad Q_{3} - Q_{1} = 12 - 9 = 3$
Groupe B rangé — $2 \,;\, 7 \,;\, 9 \,;\, 11 \,;\, 13 \,;\, 15 \,;\, 16 \,;\, 19 \quad Q_{3} - Q_{1} = 15 - 7 = 8$
La différence — $8 - 3 = 5$

Les médianes sont proches ( $11{,}5$ et $12$ ), mais la boîte du groupe B est presque trois fois plus longue : ses notes sont bien plus dispersées.

Pièges anticipés

6 → $17 - 11 = 6$ est la différence des étendues ; on l'obtient aussi en lisant les rangs $2$ et $6$ sans ranger les notes. On demande les écarts interquartiles, sur les séries rangées.

Exercice 72 · base

Les buts par match

Lors d'un tournoi de $25$ matchs, le nombre de buts marqués par match se répartit ainsi : $0$ but ( $5$ matchs), $1$ but ( $8$ ), $2$ buts ( $6$ ), $3$ buts ( $4$ ), $4$ buts ( $2$ ). Calculer le nombre moyen de buts par match.

Donne la moyenne.

Réponse attendue : 1.6

Indices, dans l’ordre

Multiplie chaque valeur par son effectif et additionne les produits.
Divise la somme par l'effectif total, $25.$

Correction

Les produits — $0 \times 5 + 1 \times 8 + 2 \times 6 + 3 \times 4 + 4 \times 2 = 40$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{40}{25} = 1{,}6$

La moyenne pondère chaque valeur par son effectif : $\overline{x} = \dfrac{n_{1}x_{1} + \ldots + n_{p}x_{p}}{n}.$

Pièges anticipés

2 → $2$ est la moyenne des cinq valeurs $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ sans tenir compte des effectifs. Chaque valeur compte autant de fois que son effectif.
8 → Tu as divisé par le nombre de valeurs, $5.$ On divise par l'effectif total, $25$ matchs.

Exercice 73 · pratique

La note du dernier devoir

Un élève a obtenu $12$ ; $9$ ; $14$ et $11$ à ses quatre premiers devoirs. Calculer la note qu'il doit obtenir au cinquième devoir pour que la moyenne de ses cinq notes soit égale à $12.$

Donne la note du cinquième devoir.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

Une moyenne de $12$ sur cinq devoirs, quelle somme de notes cela représente-t-il ?
Retire de cette somme les points déjà obtenus.

Correction

La somme visée — $5 \times 12 = 60$
Déjà obtenu — $12 + 9 + 14 + 11 = 46$
La note — $x = 60 - 46 = 14$

Moyenne $\times$ effectif $=$ somme des valeurs : c'est le chemin le plus court pour retrouver une valeur manquante.

Pièges anticipés

12 → Avec $12,$ la somme serait $58$ et la moyenne $11{,}6$ : les quatre premières notes ont une moyenne de $11{,}5,$ inférieure à $12,$ il faut compenser.

Exercice 74 · raisonnement

Un effectif inconnu

Une série statistique prend les valeurs $10,$ $12$ et $15,$ avec les effectifs respectifs $4,$ $n$ et $6.$ Sa moyenne est $12{,}5.$ Déterminer $n.$

Donne la valeur de $n.$

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Écris la moyenne avec la formule : la somme des produits, divisée par l'effectif total $10 + n.$
Tu obtiens une équation du premier degré d'inconnue $n.$

Correction

La moyenne — $\frac{4 \times 10 + 12n + 6 \times 15}{4 + n + 6} = 12{,}5$
L'équation — $130 + 12n = 12{,}5\,(10 + n) = 125 + 12{,}5n$
La solution — $0{,}5n = 5 \iff n = 10$

On vérifie : $\dfrac{40 + 120 + 90}{20} = 12{,}5.$ Une moyenne connue donne une équation sur l'effectif inconnu.

Pièges anticipés

20 → $20$ est l'effectif total $4 + n + 6.$ On demande $n,$ l'effectif de la valeur $12.$

Exercice 75 · raisonnement

Une note mal saisie

La moyenne des notes de $25$ élèves a été calculée : $11{,}2.$ On s'aperçoit ensuite qu'une note de $17$ avait été saisie $7$ par erreur. Calculer la moyenne corrigée.

Donne la moyenne corrigée.

Réponse attendue : 11.6

Indices, dans l’ordre

Retrouve d'abord la somme des $25$ notes saisies, à partir de la moyenne.
La correction ajoute $17 - 7$ points à cette somme ; l'effectif ne change pas.

Correction

La somme saisie — $25 \times 11{,}2 = 280$
La somme corrigée — $280 + (17 - 7) = 290$
La moyenne — $\frac{290}{25} = 11{,}6$

Corriger une seule valeur de $10$ points change la moyenne de $\dfrac{10}{25} = 0{,}4$ point : l'écart est réparti sur tout l'effectif.

Pièges anticipés

21.2 → Tu as ajouté les $10$ points à la moyenne. Ils s'ajoutent à la somme des notes, puis se partagent entre les $25$ élèves.

Exercice 76 · defi

Moyenne ou médiane ?

Les salaires mensuels, en dinars, des $100$ employés d'une entreprise se répartissent ainsi : $[400 ; 600[$ : $30$ ; $[600 ; 800[$ : $50$ ; $[800 ; 1000[$ : $15$ ; $[1000 ; 1600[$ : $5.$ En supposant la répartition uniforme dans chaque classe, calculer l'écart entre le salaire moyen et le salaire médian (obtenu par interpolation linéaire), en dinars.

Donne l'écart en dinars : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 20

Indices, dans l’ordre

Pour la moyenne, remplace chaque classe par son centre ; attention, la dernière classe est plus large.
Pour la médiane, cherche la classe où les effectifs cumulés franchissent $50,$ puis interpole.

Correction

Les centres — $500 \quad ; \quad 700 \quad ; \quad 900 \quad ; \quad 1300$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{30 \times 500 + 50 \times 700 + 15 \times 900 + 5 \times 1300}{100} = 700$
La médiane — $30 < 50 \le 80 : \quad m = 600 + 200 \times \frac{50 - 30}{50} = 680$
L'écart — $700 - 680 = 20$

Les quelques hauts salaires de la dernière classe tirent la moyenne vers le haut ; la médiane, elle, n'en dépend presque pas.

Pièges anticipés

1300 → $1300$ est le centre de la dernière classe. Calcule la moyenne et la médiane, puis leur différence.
10 → Le centre de $[1000 ; 1600[$ est $\dfrac{1000 + 1600}{2} = 1300,$ pas $1100$ : la classe est plus large que les autres.
-20 → $680 - 700 = -20$ : tu as retranché la moyenne à la médiane. Un écart entre deux nombres est positif : la moyenne dépasse la médiane de $20$ dinars.

Exercice 77 · pratique

Les notes d'un jury de sept juges

Dans une compétition de gymnastique, sept juges ont noté un passage : $8{,}5$ ; $9$ ; $7{,}5$ ; $9{,}5$ ; $6$ ; $8$ ; $9.$ Le règlement retire la note la plus haute et la note la plus basse, puis fait la moyenne des notes restantes. Calculer la note obtenue.

Donne la note obtenue.

Réponse attendue : 8.4

Indices, dans l’ordre

Repère la note la plus haute et la note la plus basse, et retire-les.
Il reste cinq notes : fais leur moyenne.

Correction

Notes retirées — $9{,}5 \quad \text{et} \quad 6$
Notes restantes — $8{,}5 + 9 + 7{,}5 + 8 + 9 = 42$
La moyenne élaguée — $\frac{42}{5} = 8{,}4$

Une moyenne élaguée écarte les valeurs extrêmes : un juge trop sévère ou trop généreux ne fausse plus le résultat.

Pièges anticipés

8.21 → $8{,}21$ est la moyenne des sept notes. Le règlement retire d'abord la plus haute et la plus basse.
6 → Après avoir retiré deux notes, il en reste cinq : divise par $5,$ pas par $7.$

Exercice 78 · raisonnement

Un salaire qui tire la moyenne

Une petite entreprise compte six personnes dont les salaires mensuels, en dinars, sont : $600$ ; $650$ ; $700$ ; $720$ ; $780$ et $4550$ (celui du gérant). Calculer l'écart entre le salaire moyen et le salaire médian, arrondi au dinar.

Donne l'écart en dinars, arrondi à l'unité.

Réponse attendue : 623

Indices, dans l’ordre

La médiane d'un effectif pair est la moyenne des deux valeurs du milieu.
Calcule la moyenne des six salaires, puis retranche la médiane.

Correction

La médiane — $m = \frac{700 + 720}{2} = 710$
La moyenne — $\overline{x} = \frac{8000}{6} \approx 1333{,}33$
L'écart — $1333{,}33 - 710 \approx 623$

Cinq salaires sur six sont inférieurs à $800$ dinars, mais la moyenne dépasse $1300$ : une seule valeur extrême suffit à la déplacer, pas la médiane.

Pièges anticipés

623.33 / 623.3 → On demande un arrondi au dinar : donne un nombre entier.
633.33 / 633 → Avec six salaires, la médiane est la moyenne des troisième et quatrième, $700$ et $720$ : $710,$ pas $700.$

Exercice 79 · pratique

Trois groupes réunis

Un professeur a trois groupes : $12$ élèves de moyenne $10,$ $18$ élèves de moyenne $12{,}5$ et $10$ élèves de moyenne $9.$ Calculer la moyenne de l'ensemble de ses $40$ élèves, en valeur exacte.

Donne la moyenne exacte.

Réponse attendue : 10.875

Indices, dans l’ordre

Effectif $\times$ moyenne donne la somme des notes d'un groupe.
Additionne les trois sommes et divise par l'effectif total.

Correction

Les sommes — $12 \times 10 = 120 \quad ; \quad 18 \times 12{,}5 = 225 \quad ; \quad 10 \times 9 = 90$
La moyenne — $\frac{120 + 225 + 90}{40} = \frac{435}{40} = 10{,}875$

La formule des moyennes partielles s'étend à autant de groupes qu'on veut : chaque moyenne compte avec le poids de son effectif.

Pièges anticipés

10.5 → $10{,}5$ est la moyenne des trois moyennes. Les groupes n'ont pas le même effectif : pondère chaque moyenne par son effectif.
10.88 / 10.9 / 10.87 → C'est une valeur approchée. Le calcul tombe juste : donne la valeur exacte.

Exercice 80 · raisonnement

La moyenne des garçons

Une classe de $32$ élèves a obtenu une moyenne de $11$ à un devoir. Les $20$ filles de la classe ont une moyenne de $11{,}6.$ Calculer la moyenne des garçons.

Donne la moyenne des garçons.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Calcule la somme des notes de la classe, puis celle des filles.
La différence est la somme des notes des garçons : combien sont-ils ?

Correction

Toute la classe — $32 \times 11 = 352$
Les filles — $20 \times 11{,}6 = 232$
Les garçons — $\frac{352 - 232}{32 - 20} = \frac{120}{12} = 10$

On repasse par les sommes : moyenne de la classe $\times$ effectif $=$ somme des filles $+$ somme des garçons.

Pièges anticipés

10.4 → $10{,}4$ suppose que $11$ est au milieu de $11{,}6$ et de la moyenne des garçons : ce serait vrai avec autant de filles que de garçons. Repasse par les sommes.
120 → $120$ est la somme des notes des garçons. Divise-la par leur nombre, $12.$

Exercice 81 · raisonnement

La part des filles

Dans un lycée, à un concours de mathématiques, la moyenne des filles est $13$ et celle des garçons $10$ ; la moyenne de l'ensemble des candidats est $11{,}8.$ Calculer le pourcentage de filles parmi les candidats.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 60

Indices, dans l’ordre

Appelle $p$ la proportion de filles : celle des garçons est alors $1 - p.$
La moyenne générale est la moyenne des deux moyennes pondérées par $p$ et $1 - p$ : écris l'équation.

Correction

L'équation — $13p + 10(1 - p) = 11{,}8$
La résoudre — $3p + 10 = 11{,}8 \iff p = 0{,}6$
Le pourcentage — $p = 60\,\%$

La moyenne générale est plus proche de $13$ que de $10$ : les filles sont les plus nombreuses. Pas besoin de l'effectif total, les proportions suffisent.

Pièges anticipés

40 → $40\,\%$ est la part des garçons. Vérifie à quel groupe correspond ta proportion $p.$
0.6 → $0{,}6$ est la proportion de filles : on la demande en pourcentage.

Exercice 82 · pratique

Changer d'origine pour calculer

Les masses, en grammes, de six paquets de farine sont : $1005$ ; $998$ ; $1002$ ; $1010$ ; $995$ ; $1006.$ En posant $y_{i} = x_{i} - 1000,$ calculer la masse moyenne $\overline{x},$ en grammes, arrondie au centième.

Donne la masse moyenne en grammes, arrondie au centième.

Réponse attendue : 1002.67

Indices, dans l’ordre

Calcule les six valeurs $y_{i}$ : ce sont de petits nombres, positifs ou négatifs.
La moyenne de $x_{i} = y_{i} + 1000$ est $\overline{y} + 1000.$

Correction

Les valeurs y — $5 \quad ; \quad -2 \quad ; \quad 2 \quad ; \quad 10 \quad ; \quad -5 \quad ; \quad 6$
Leur moyenne — $\overline{y} = \frac{16}{6} \approx 2{,}67$
La masse moyenne — $\overline{x} = \overline{y} + 1000 \approx 1002{,}67$

Retrancher un même nombre à toutes les valeurs simplifie les calculs : la moyenne est décalée du même nombre, $\overline{x + b} = \overline{x} + b.$

Pièges anticipés

1002.66 → $1002{,}666\ldots$ arrondi au centième donne $1002{,}67$ : le chiffre suivant est $6,$ on arrondit au-dessus.
2.67 → $2{,}67$ est la moyenne $\overline{y}.$ Il reste à ajouter $1000$ pour revenir aux masses.
1002.667 → On demande un arrondi au centième : deux chiffres après la virgule.

Exercice 83 · base

La moyenne des écarts

Une série a pour valeurs $3$ ; $7$ ; $8$ ; $10,$ et pour moyenne $7.$ Calculer la moyenne des écarts $x_{i} - \overline{x}.$

Donne la moyenne des écarts.

Réponse attendue : 0

Indices, dans l’ordre

Calcule les quatre écarts $x_{i} - 7,$ en gardant leur signe.
Additionne-les, puis divise par $4.$

Correction

Les écarts — $-4 \quad ; \quad 0 \quad ; \quad 1 \quad ; \quad 3$
Leur moyenne — $\frac{-4 + 0 + 1 + 3}{4} = 0$

Les écarts positifs et négatifs se compensent toujours : leur moyenne est nulle. C'est pourquoi on mesure la dispersion avec la moyenne des carrés des écarts, la variance.

Pièges anticipés

2 → Tu as pris les écarts sans leur signe. Avec le signe, $-4 + 0 + 1 + 3 = 0.$

Exercice 84 · pratique

La moyenne des carrés des écarts

Les notes de cinq élèves sont $12$ ; $15$ ; $9$ ; $14$ ; $10,$ de moyenne $12.$ Calculer la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, c'est-à-dire la variance $V$ de cette série.

Donne la variance exacte.

Réponse attendue : 5.2

Indices, dans l’ordre

Calcule les écarts $x_{i} - 12,$ puis leurs carrés.
Fais la moyenne des cinq carrés.

Correction

Les écarts — $0 \quad ; \quad 3 \quad ; \quad -3 \quad ; \quad 2 \quad ; \quad -2$
Leurs carrés — $0 \quad ; \quad 9 \quad ; \quad 9 \quad ; \quad 4 \quad ; \quad 4$
La variance — $V = \frac{26}{5} = 5{,}2$

En élevant au carré, les écarts ne se compensent plus : la variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

Pièges anticipés

0 → Sans carrés, les écarts se compensent et leur moyenne est nulle. Élève chaque écart au carré.
26 → $26$ est la somme des carrés des écarts. Divise-la par l'effectif, $5.$

Exercice 85 · pratique

Le nombre de passagers

On a compté le nombre de personnes à bord de $20$ voitures : $1$ personne ( $2$ voitures), $2$ ( $5$ ), $3$ ( $8$ ), $4$ ( $3$ ), $5$ ( $2$ ). Calculer la variance $V$ de cette série, en valeur exacte.

Donne la variance exacte.

Réponse attendue : 1.19

Indices, dans l’ordre

Calcule d'abord la moyenne $\overline{x},$ puis la moyenne des carrés $\dfrac{\sum n_{i}(x_{i})^{2}}{n}.$
La variance est la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.

Correction

La moyenne — $\overline{x} = \frac{2 + 10 + 24 + 12 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2{,}9$
Moyenne des carrés — $\frac{2 \times 1 + 5 \times 4 + 8 \times 9 + 3 \times 16 + 2 \times 25}{20} = \frac{192}{20} = 9{,}6$
La variance — $V = 9{,}6 - 2{,}9^{2} = 9{,}6 - 8{,}41 = 1{,}19$

$V = \dfrac{n_{1}(x_{1})^{2} + \ldots + n_{p}(x_{p})^{2}}{n} - (\overline{x})^{2}$ : n'oublie jamais le carré de la moyenne.

Pièges anticipés

9.6 → $9{,}6$ est la moyenne des carrés. Il faut encore retrancher le carré de la moyenne, $2{,}9^{2}.$
6.7 → Tu as retranché $2{,}9$ au lieu de $2{,}9^{2}$ : c'est le carré de la moyenne qu'on retranche.

Exercice 86 · raisonnement

Retrouver la somme des carrés

Une série de $25$ valeurs a pour moyenne $8$ et pour écart type $3.$ Calculer la somme des carrés des $25$ valeurs.

Donne la somme des carrés : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 1825

Indices, dans l’ordre

L'écart type est la racine carrée de la variance : commence par la variance.
Écris $V = \dfrac{\text{somme des carrés}}{25} - 8^{2}$ et isole la somme des carrés.

Correction

La variance — $V = 3^{2} = 9$
La relation — $9 = \frac{S}{25} - 64$
La somme des carrés — $S = 25 \times 73 = 1825$

La formule de la variance se lit dans les deux sens : connaissant $\overline{x}$ et l'écart type, on retrouve la somme des carrés.

Pièges anticipés

1675 → Tu as utilisé l'écart type $3$ à la place de la variance. La variance est son carré, $9.$
225 → $25 \times 9$ oublie le carré de la moyenne : la variance est la moyenne des carrés moins $\overline{x}^{2}.$

Exercice 87 · defi

Une valeur ajoutée à la moyenne

Une série de $9$ valeurs a pour moyenne $12$ et pour variance $4.$ On lui ajoute une dixième valeur, égale à $12.$ Calculer la variance de la nouvelle série.

Donne la variance exacte.

Réponse attendue : 3.6

Indices, dans l’ordre

La nouvelle valeur est égale à la moyenne : la moyenne change-t-elle ?
La variance est la moyenne des carrés des écarts : que vaut la somme des carrés des écarts des $9$ premières valeurs ? Que lui ajoute la dixième ?

Correction

La moyenne — $\overline{x}' = \frac{9 \times 12 + 12}{10} = 12$
Somme des carrés des écarts — $9 \times 4 = 36$
La nouvelle variance — $V' = \frac{36 + (12 - 12)^{2}}{10} = 3{,}6$

Ajouter une valeur égale à la moyenne ne change pas la moyenne, mais resserre la série : la même somme des carrés des écarts est partagée entre plus de valeurs.

Pièges anticipés

4 → La somme des carrés des écarts ne change pas, mais elle est divisée par $10$ au lieu de $9$ : la variance diminue.

Exercice 88 · defi

Deux valeurs à retrouver

Une série est formée de deux valeurs $a$ et $b,$ avec $a < b.$ Sa moyenne est $10$ et son écart type est $3.$ Déterminer $b.$

Donne la valeur de $b.$

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

Avec deux valeurs de moyenne $10,$ elles sont symétriques par rapport à $10$ : écris $a = 10 - d$ et $b = 10 + d,$ avec $d > 0.$
Calcule la variance en fonction de $d$ : les deux écarts à la moyenne valent $-d$ et $d.$

Correction

Les deux valeurs — $a = 10 - d \quad ; \quad b = 10 + d \quad (d > 0)$
La variance — $V = \frac{(-d)^{2} + d^{2}}{2} = d^{2}$
L'écart type — $\sqrt{d^{2}} = d = 3$
La valeur b — $b = 10 + 3 = 13$

Pour deux valeurs, l'écart type est la moitié de leur différence : $a = 7$ et $b = 13$ sont à $3$ de la moyenne, de part et d'autre.

Pièges anticipés

11.5 → Tu as pris $b - a = 3.$ Pour deux valeurs, chacune est à la distance de l'écart type de la moyenne : $b - a = 2 \times 3.$
19 → Tu as écarté $b$ de $9$ de la moyenne : $9$ est la variance. L'écart type, $3,$ mesure l'écart à la moyenne.

Exercice 89 · defi

L'écart type de deux classes réunies

À un même devoir, une classe de $20$ élèves a obtenu une moyenne de $10$ avec un écart type de $2,$ et une classe de $30$ élèves une moyenne de $12$ avec un écart type de $3.$ Calculer l'écart type des notes des $50$ élèves réunis, arrondi au centième.

Donne l'écart type arrondi au centième.

Réponse attendue : 2.82

Indices, dans l’ordre

Pour chaque classe, retrouve la somme des carrés des notes : $n\,(V + \overline{x}^{2}).$
Calcule la moyenne des $50$ élèves, la moyenne de tous les carrés, puis la variance de l'ensemble.

Correction

Sommes des carrés — $20 \times (4 + 100) = 2080 \quad ; \quad 30 \times (9 + 144) = 4590$
Moyenne générale — $\overline{x} = \frac{200 + 360}{50} = 11{,}2$
Variance — $V = \frac{2080 + 4590}{50} - 11{,}2^{2} = 133{,}4 - 125{,}44 = 7{,}96$
Écart type — $\sqrt{7{,}96} \approx 2{,}82$

Les moyennes se combinent par les sommes, les variances par les sommes de carrés. L'écart type de l'ensemble, environ $2{,}82,$ dépasse la moyenne pondérée des écarts types, $2{,}6$ : les deux classes n'ont pas la même moyenne, et cet écart entre elles ajoute de la dispersion.

Pièges anticipés

2.6 → $2{,}6$ est la moyenne des écarts types pondérée par les effectifs. Les écarts types ne se combinent pas ainsi : passe par les sommes des carrés.
7.96 → $7{,}96$ est la variance de l'ensemble. L'écart type est sa racine carrée.

Exercice 90 · base

Tout le monde gagne cinq points

Les résultats d'un test ont un écart type de $2{,}3$ points. On ajoute $5$ points à chaque résultat. Calculer l'écart type des nouveaux résultats.

Donne le nouvel écart type.

Réponse attendue : 2.3

Indices, dans l’ordre

Ajouter $5$ à chaque valeur déplace la série : que deviennent les écarts à la moyenne ?
La moyenne augmente aussi de $5$ : chaque écart $x_{i} - \overline{x}$ reste le même.

Correction

La propriété — $\sigma_{(x_{i} + b)} = \sigma_{(x_{i})}$
Ici — $\sigma' = 2{,}3$

Ajouter un même nombre à toutes les valeurs déplace la série sans l'étaler : la moyenne change, l'écart type non.

Pièges anticipés

7.3 → La moyenne augmente de $5,$ mais pas l'écart type : les valeurs et leur moyenne se déplacent ensemble, les écarts ne changent pas.

Exercice 91 · raisonnement

Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit

Les températures d'un mois, en degrés Celsius, ont un écart type de $2{,}5.$ Une température $C$ en degrés Celsius s'écrit $F = 1{,}8\,C + 32$ en degrés Fahrenheit. Calculer l'écart type de ces températures exprimées en degrés Fahrenheit.

Donne l'écart type en degrés Fahrenheit : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 4.5

Indices, dans l’ordre

La conversion est une application affine $x \mapsto a\,x + b$ : identifie $a$ et $b.$
Seul le coefficient $a$ agit sur l'écart type.

Correction

L'application — $a = 1{,}8 \quad ; \quad b = 32$
L'écart type — $\sigma_{F} = |1{,}8| \times 2{,}5 = 4{,}5$

L'écart type de $(a\,x_{i} + b)$ est $|a|\,\sigma$ : le changement d'unité multiplie la dispersion, le décalage de $32$ ne la change pas.

Pièges anticipés

36.5 → Tu as converti l'écart type comme une température, en ajoutant $32.$ Ajouter $32$ à toutes les valeurs ne change pas leur dispersion.
8.1 → L'écart type est multiplié par $|a| = 1{,}8,$ pas par $a^{2}$ : c'est la variance qui est multipliée par $a^{2}.$

Exercice 92 · raisonnement

Une note qui baisse avec les fautes

Dans une dictée, la note $y$ d'un élève est calculée à partir de son nombre $x$ de fautes par $y = 20 - 1{,}5\,x.$ Dans une classe, le nombre de fautes a pour moyenne $4{,}2$ et pour écart type $1{,}6.$ Calculer l'écart type des notes de la classe.

Donne l'écart type des notes.

Réponse attendue : 2.4

Indices, dans l’ordre

La note est une application affine du nombre de fautes : $y = a\,x + b$ avec $a = -1{,}5$ et $b = 20.$
Un écart type n'est jamais négatif : regarde bien la propriété, avec la valeur absolue.

Correction

L'application — $a = -1{,}5 \quad ; \quad b = 20$
L'écart type — $\sigma_{y} = |a| \times \sigma_{x} = 1{,}5 \times 1{,}6 = 2{,}4$

Avec $a < 0,$ la série est retournée, mais sa dispersion est multipliée par $|a|.$ La moyenne, elle, vaut $20 - 1{,}5 \times 4{,}2 = 13{,}7.$

Pièges anticipés

-2.4 → Un écart type est toujours positif : on multiplie par $|a| = 1{,}5,$ pas par $a = -1{,}5.$
17.6 → Tu as transformé l'écart type comme une note, avec $20 - 1{,}5 \times 1{,}6.$ Le terme $20$ déplace les notes sans changer leur dispersion.
13.7 → $13{,}7$ est la moyenne des notes. On demande leur écart type.

Exercice 93 · pratique

La variance d'une série par classes

Les durées, en minutes, que $20$ clients ont passées dans une boutique se répartissent ainsi : $[0 ; 10[$ : $3$ ; $[10 ; 20[$ : $7$ ; $[20 ; 30[$ : $6$ ; $[30 ; 40[$ : $4.$ Calculer la variance $V$ de cette série, en remplaçant chaque classe par son centre, en valeur exacte.

Donne la variance exacte.

Réponse attendue : 94.75

Indices, dans l’ordre

Les centres des classes sont $5,$ $15,$ $25$ et $35$ : calcule la moyenne avec eux.
Calcule ensuite la moyenne des carrés des centres, pondérée par les effectifs, et retranche le carré de la moyenne.

Correction

La moyenne — $\overline{x} = \frac{3 \times 5 + 7 \times 15 + 6 \times 25 + 4 \times 35}{20} = \frac{410}{20} = 20{,}5$
Moyenne des carrés — $\frac{3 \times 25 + 7 \times 225 + 6 \times 625 + 4 \times 1225}{20} = \frac{10\,300}{20} = 515$
La variance — $V = 515 - 20{,}5^{2} = 515 - 420{,}25 = 94{,}75$

Pour une série continue, on calcule la variance avec la même formule, en prenant pour $x_{i}$ les centres des classes.

Pièges anticipés

515 → $515$ est la moyenne des carrés. Il faut encore retrancher le carré de la moyenne.

Exercice 94 · raisonnement

L'écart type des âges

Les âges des $50$ membres d'une association se répartissent ainsi : $[5 ; 15[$ : $8$ ; $[15 ; 25[$ : $12$ ; $[25 ; 35[$ : $20$ ; $[35 ; 45[$ : $10.$ En remplaçant chaque classe par son centre, calculer l'écart type de cette série, arrondi au centième.

Donne l'écart type arrondi au centième.

Réponse attendue : 9.75

Indices, dans l’ordre

Calcule la moyenne avec les centres $10,$ $20,$ $30$ et $40.$
Calcule la variance avec la moyenne des carrés, puis prends sa racine carrée.

Correction

La moyenne — $\overline{x} = \frac{80 + 240 + 600 + 400}{50} = 26{,}4$
Moyenne des carrés — $\frac{800 + 4800 + 18\,000 + 16\,000}{50} = 792$
La variance — $V = 792 - 26{,}4^{2} = 95{,}04$
L'écart type — $\sqrt{95{,}04} \approx 9{,}75$

L'écart type s'exprime dans la même unité que les valeurs : environ $9{,}75$ ans autour d'une moyenne de $26{,}4$ ans.

Pièges anticipés

95.04 → $95{,}04$ est la variance. L'écart type est sa racine carrée.
9.74 → $\sqrt{95{,}04} = 9{,}748\ldots$ : arrondi au centième, cela donne $9{,}75.$
9.749 / 9.7488 → On demande un arrondi au centième : deux chiffres après la virgule.

Exercice 95 · defi

Les clients de la boulangerie

Un relevé du nombre de clients servis par heure dans une boulangerie, sur $10$ heures, donne : $16$ ; $11$ ; $24$ ; $12$ ; $15$ ; $8$ ; $14$ ; $13$ ; $15$ ; $12.$ Calculer le pourcentage des valeurs comprises entre $\overline{x} - \sigma$ et $\overline{x} + \sigma,$ où $\overline{x}$ est la moyenne et $\sigma$ l'écart type de la série.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 80

Indices, dans l’ordre

Calcule d'abord la moyenne, puis la variance par la moyenne des carrés des écarts.
L'écart type tombe juste : déduis-en les bornes de l'intervalle, puis compte les valeurs, bornes comprises.

Correction

La moyenne — $\overline{x} = \frac{140}{10} = 14$
La variance — $V = \frac{4 + 9 + 100 + 4 + 1 + 36 + 0 + 1 + 1 + 4}{10} = 16$
L'intervalle — L'écart type est $\sqrt{16} = 4$ : l'intervalle va de $14 - 4$ à $14 + 4.$ $[10 ; 18]$
Le pourcentage — Seules $24$ et $8$ en sortent. $\frac{8}{10} = 80\,\%$

Moyenne et écart type délimitent une zone « autour de la moyenne » ; une grande partie des valeurs s'y trouve, ici $80\,\%.$

Pièges anticipés

90 → $90\,\%$ est la part des valeurs entre $\overline{x} - 2\sigma$ et $\overline{x} + 2\sigma,$ de $6$ à $22.$ On demande l'intervalle à un seul écart type.
100 → Tu as pris la variance $16$ pour l'écart type. L'écart type est sa racine carrée, $4.$

Exercice 96 · raisonnement

Meilleur partout, moins bon au total

Au baccalauréat, le lycée P a présenté $200$ filles ( $160$ admises) et $50$ garçons ( $35$ admis). Le lycée Q a présenté $60$ filles ( $51$ admises) et $200$ garçons ( $150$ admis). Le taux de réussite du lycée P est de $78\,\%.$ Calculer le taux de réussite global du lycée Q, en pourcentage, arrondi au dixième.

Donne le pourcentage arrondi au dixième, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 77.3

Indices, dans l’ordre

Le taux global se calcule avec le nombre total d'admis et le nombre total de présentés du lycée Q.
Compare ensuite, catégorie par catégorie, les taux des deux lycées.

Correction

Admis du lycée Q — $51 + 150 = 201 \text{ sur } 260$
Le taux global — $\frac{201}{260} \approx 77{,}3\,\%$
Par catégorie — Filles : $85\,\%$ à Q contre $80\,\%$ à P ; garçons : $75\,\%$ à Q contre $70\,\%$ à P. $\frac{201}{260} \approx 77{,}3\,\%$

Le lycée Q réussit mieux dans chaque catégorie, mais moins bien au total : il présente surtout des garçons, la catégorie qui réussit le moins. C'est l'effet de structure.

Pièges anticipés

80 → $80\,\%$ est la moyenne des taux $85\,\%$ et $75\,\%.$ Les deux catégories n'ont pas le même effectif : reviens au nombre total d'admis.
77.31 / 77.308 → On demande un arrondi au dixième : un seul chiffre après la virgule.

Exercice 97 · defi

Combien de patients dans le second service ?

Dans un hôpital, le service X a soigné $300$ patients, dont $90\,\%$ ont guéri. Le service Y a soigné $n$ patients, dont $60\,\%$ ont guéri. Pour l'ensemble des deux services, le taux de guérison est de $80\,\%.$ Déterminer $n.$

Donne le nombre de patients du service Y.

Réponse attendue : 150

Indices, dans l’ordre

Exprime le nombre total de guérisons en fonction de $n,$ puis le nombre total de patients.
Le quotient doit valoir $0{,}8$ : écris l'équation et résous-la.

Correction

Les guérisons — $300 \times 0{,}9 + 0{,}6\,n = 270 + 0{,}6\,n$
L'équation — $270 + 0{,}6\,n = 0{,}8\,(300 + n)$
La résoudre — $270 + 0{,}6\,n = 240 + 0{,}8\,n \iff 30 = 0{,}2\,n$
La solution — $n = 150$

Le taux global, $80\,\%,$ est plus près de $90\,\%$ que de $60\,\%$ : le service X pèse deux fois plus, avec $300$ patients contre $150.$

Pièges anticipés

300 → Avec $300$ patients dans chaque service, le taux global serait $75\,\%,$ la moyenne des deux taux. Écris l'équation sur les guérisons.
450 → $450$ est le nombre total de patients des deux services. On demande celui du service Y.

Exercice 98 · defi

Tous augmentés, et pourtant…

En 2023, une entreprise employait $80$ ouvriers au salaire moyen de $600$ dinars et $20$ cadres au salaire moyen de $1500$ dinars. En 2024, elle emploie $120$ ouvriers au salaire moyen de $630$ dinars et $10$ cadres au salaire moyen de $1575$ dinars : les deux salaires moyens ont augmenté de $5\,\%.$ Calculer le salaire moyen de l'ensemble du personnel en 2024, arrondi au dinar.

Donne le salaire moyen en dinars, arrondi à l'unité.

Réponse attendue : 703

Indices, dans l’ordre

Calcule la masse salariale de chaque catégorie en 2024 : effectif $\times$ salaire moyen.
Divise la masse salariale totale par l'effectif total, puis compare au salaire moyen de 2023.

Correction

Masses salariales 2024 — $120 \times 630 = 75\,600 \quad ; \quad 10 \times 1575 = 15\,750$
En 2023 — Avec les effectifs de 2023, le salaire moyen était : $\frac{80 \times 600 + 20 \times 1500}{100} = \frac{78\,000}{100} = 780$
Salaire moyen 2024 — En 2024, il baisse donc, de $780$ à environ $703$ dinars. $\frac{91\,350}{130} \approx 702{,}69 \approx 703$

Chaque catégorie gagne $5\,\%,$ mais le salaire moyen global baisse : la part des cadres, mieux payés, a diminué. C'est un effet de structure.

Pièges anticipés

819 → $819 = 780 \times 1{,}05$ suppose que la composition du personnel n'a pas changé. Or il y a plus d'ouvriers et moins de cadres : recalcule avec les effectifs de 2024.
702 → $702{,}69$ arrondi au dinar donne $703$ : le chiffre des dixièmes est $6.$
1102.5 → $1102{,}5$ est la moyenne des deux salaires moyens. Les catégories n'ont pas le même effectif : pondère par les effectifs.

Exercice 99 · pratique

Un dé simulé à la calculatrice

Pour simuler le lancer d'un dé cubique équilibré, on calcule la partie entière de $6 \times \text{Ran\#},$ augmentée de $1.$ La calculatrice affiche $\text{Ran\#} = 0{,}7341.$ Déterminer la face du dé obtenue.

Donne la face obtenue.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

Calcule d'abord $6 \times 0{,}7341.$
Prends la partie entière du résultat, sans arrondir, puis ajoute $1.$

Correction

Le produit — $6 \times 0{,}7341 = 4{,}4046$
La partie entière — $E(4{,}4046) = 4$
La face — $4 + 1 = 5$

La partie entière de $6 \times \text{Ran\#}$ prend les valeurs $0$ à $5$ ; en ajoutant $1,$ on obtient un entier de $1$ à $6,$ chacun avec la même chance.

Pièges anticipés

4 → $4$ est la partie entière de $6 \times \text{Ran\#}.$ Il faut encore ajouter $1,$ sinon on obtiendrait des faces de $0$ à $5.$
5.4046 / 5.4 → La face d'un dé est un entier : prends la partie entière de $4{,}4046$ avant d'ajouter $1.$

Exercice 100 · raisonnement

Quand le dé simulé donne six

On simule un dé avec la partie entière de $6 \times \text{Ran\#},$ augmentée de $1,$ où Ran# est un nombre de l'intervalle $[0 ; 1[.$ Déterminer, en valeur exacte, la plus petite valeur de Ran# pour laquelle la face obtenue est $6.$

Donne la valeur exacte, sous forme de fraction irréductible.

Réponse attendue : 5/6

Indices, dans l’ordre

La face vaut $6$ lorsque la partie entière de $6 \times \text{Ran\#}$ vaut $5.$
La partie entière d'un nombre $t$ vaut $5$ lorsque $5 \le t < 6$ : résous cette double inégalité pour $t = 6 \times \text{Ran\#}.$

Correction

La condition — $E(6 \times \text{Ran\#}) = 5 \iff 5 \le 6 \times \text{Ran\#} < 6$
En divisant par 6 — $\frac{5}{6} \le \text{Ran\#} < 1$
La plus petite valeur — $\frac{5}{6}$

Chaque face correspond à un intervalle de longueur $\dfrac{1}{6}$ : la face $6$ à $\left[\dfrac{5}{6} ; 1\right[.$ C'est pourquoi les six faces ont la même chance.

Pièges anticipés

0.83 / 0.833 / 0.8333 / 0.8 → C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte, sous forme de fraction.
1/6 → $\dfrac{1}{6}$ est la plus petite valeur qui donne la face $2.$ Pour la face $6,$ la partie entière doit valoir $5.$

Exercice 101 · defi

La vitesse moyenne d'un aller-retour

Un automobiliste fait l'aller d'un trajet de $120$ kilomètres à la vitesse moyenne de $60$ kilomètres par heure, et le retour à $40$ kilomètres par heure. Calculer sa vitesse moyenne sur l'aller-retour, en kilomètres par heure.

Donne la vitesse moyenne : écris le nombre seul.

Réponse attendue : 48

Indices, dans l’ordre

La vitesse moyenne est la distance totale divisée par la durée totale.
Calcule la durée de l'aller et celle du retour.

Correction

Les durées — $\frac{120}{60} = 2 \text{ h} \quad ; \quad \frac{120}{40} = 3 \text{ h}$
La vitesse moyenne — $\frac{120 + 120}{2 + 3} = \frac{240}{5} = 48$

Le retour, plus lent, dure plus longtemps : il pèse davantage. La moyenne des deux vitesses, $50,$ est un piège.

Pièges anticipés

50 → $50$ est la moyenne des deux vitesses. Mais l'automobiliste roule $3$ heures à $40$ et seulement $2$ heures à $60$ : divise la distance totale par la durée totale.

Exercice 102 · defi

Un taux annuel moyen

Le prix d'un article a augmenté de $21\,\%$ en deux ans. On suppose qu'il a augmenté du même pourcentage $t$ chaque année. Calculer ce pourcentage annuel.

Donne le pourcentage, sans le signe $\%.$

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

Une hausse de $t$ multiplie le prix par $1 + t$ ; deux hausses successives le multiplient par $(1 + t)^{2}.$
Une hausse de $21\,\%$ correspond au coefficient $1{,}21$ : de quel nombre positif est-il le carré ?

Correction

Les coefficients — $(1 + t)^{2} = 1{,}21$
La racine — $1 + t = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$
Le pourcentage — $t = 0{,}1 = 10\,\%$

Des hausses successives se multiplient : le taux moyen n'est pas la moitié du taux global. C'est le même piège que la balance truquée, où la bonne moyenne est une racine carrée.

Pièges anticipés

10.5 → $10{,}5\,\%$ par an donnerait $1{,}105^{2} \approx 1{,}221,$ soit plus de $22\,\%$ : les hausses successives se multiplient, elles ne s'ajoutent pas.

Exercice 103 · defi

Revenir au prix de départ

Le prix d'un appareil augmente de $25\,\%.$ Calculer le pourcentage de baisse qu'il faut ensuite appliquer pour revenir au prix initial.

Donne le pourcentage de baisse, sans le signe $%.$

Réponse attendue : 20

Indices, dans l’ordre

Après la hausse, le prix est multiplié par $1{,}25$ : par quel coefficient faut-il le multiplier pour revenir au départ ?
Un coefficient multiplicateur $k < 1$ correspond à une baisse de $(1 - k) \times 100\,\%.$

Correction

Le coefficient de retour — $1{,}25 \times k = 1 \iff k = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$
La baisse — $(1 - 0{,}8) \times 100 = 20$

Une hausse de $25\,\%$ ne s'annule pas par une baisse de $25\,\%$ : la baisse porte sur un prix plus élevé. Les pourcentages successifs se combinent par multiplication.

Pièges anticipés

25 → Une baisse de $25\,\%$ multiplierait par $0{,}75$ : $1{,}25 \times 0{,}75 = 0{,}9375,$ on ne revient pas au prix initial.