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AH— Maths à la carte —ABDELKADER HAMMAMI

Suites arithmétiques

2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Lyoum bech nfassrou m3a b3adhna chapitre jdid : les suites arithmétiques. Bech nchoufou chnowa hiya suite, kifech na7sbou les termes mte3ha, w kifech na3rfou elli hiya arithmétique. W mba3d net3allmou le terme général, la représentation graphique, w la somme mta3 des termes consécutifs. Yalla, nabdew.

عسلامة ! ليوم باش نفسّرو مع بعضنا chapitre جديد : les suites arithmétiques . باش نشوفو شنوّة هي suite ، كيفاش نحسبو les termes متاعها ، w كيفاش نعرفو اللي هي arithmétique . w مبعّد نتعلّمو le terme général ، la représentation graphique ، w la somme متاع des termes consécutifs . يالله ، نبداو .

Bonjour ! Aujourd'hui, on va expliquer ensemble un nouveau chapitre : les suites arithmétiques. Nous verrons ce qu'est une suite, comment calculer ses termes, et comment reconnaître qu'elle est arithmétique. Ensuite, nous apprendrons le terme général, la représentation graphique, et la somme de termes consécutifs. Allez, on commence.

Une liste de nombres rangés dans un ordre précis, où chaque nombre a sa place : c'est une suite. Ce chapitre apprend à la noter, à calculer ses termes et à la représenter.

Il étudie surtout les suites arithmétiques, celles où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre : leur terme général, leur représentation graphique et la somme de leurs termes consécutifs.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

  • Calculer les termes d'une suite donnée par son terme général ou par une relation de récurrenceCalculer les termes d'une suite donnée par son terme général ou par une relation de récurrence.Calculer les termes d'une suite donnée par son terme général ou par une relation de récurrence.
  • Reconnaître une suite arithmétique et déterminer sa raisonReconnaître une suite arithmétique et déterminer sa raison.Reconnaître une suite arithmétique et déterminer sa raison.
  • Utiliser les formules Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr et Un=Up+(n−p) rU_{n} = U_{p} + (n - p)\,rUtiliser les formules U indice n égale U indice zéro plus n fois r, et U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r.Utiliser les formules U indice n égale U indice zéro plus n fois r, et U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r.
  • Représenter graphiquement une suite arithmétique et lire sa raison sur un graphiqueReprésenter graphiquement une suite arithmétique et lire sa raison sur un graphique.Représenter graphiquement une suite arithmétique et lire sa raison sur un graphique.
  • Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétiqueCalculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

1. Activité

Pour comprendre : des listes qui obéissent à une loi

Ce qu’il dit

Chouf les listes hedhom : koll wa7da temchi 3la loi. La liste : cinq, trois, un, moins un, moins trois : koll marra nna9sou deux, idhan elli ba3dhom moins cinq w moins sept. La liste : un, quatre, neuf, seize, vingt-cinq : hedhom les carrés, idhan elli ba3dhom trente-six w quarante-neuf. W la liste : un, deux, trois, cinq, huit : koll terme houwa la somme mta3 ezzouz elli sab9ouh, idhan treize w vingt-et-un. Ki tal9a la loi, tnajjem tkammel la liste 9add ma t7ebb.

شوف الـ listes هاذم : كل وحدة تمشي على loi . الـ liste : cinq ، trois ، un ، moins un ، moins trois : كل مرّة ننقصو deux ، إذن اللي بعدهم moins cinq w moins sept . الـ liste : un ، quatre ، neuf ، seize ، vingt-cinq : هاذم les carrés ، إذن اللي بعدهم trente-six w quarante-neuf . w الـ liste : un ، deux ، trois ، cinq ، huit : كل terme هو la somme متاع الزوز اللي سبقوه ، إذن treize w vingt-et-un . كي تلقى la loi ، تنجّم تكمّل الـ liste قدّ ما تحبّ .

Regarde ces listes : chacune suit une loi. La liste cinq, trois, un, moins un, moins trois : on retranche deux à chaque fois, donc les suivants sont moins cinq et moins sept. La liste un, quatre, neuf, seize, vingt-cinq : ce sont les carrés, donc les suivants sont trente-six et quarante-neuf. Et la liste un, deux, trois, cinq, huit : chaque terme est la somme des deux précédents, donc treize et vingt-et-un. Quand on a trouvé la loi, on peut continuer la liste aussi loin qu'on veut.

Chacune des listes de nombres suivantes obéit à une loi. Découvre cette loi, puis donne les deux termes suivants.

a) 55 ; 33 ; 11 ; −1-1 ; −3-3 ; …

b) 14\dfrac{1}{4} ; 11 ; 74\dfrac{7}{4} ; 52\dfrac{5}{2} ; 134\dfrac{13}{4} ; …

c) 11 ; 22 ; 33 ; 55 ; 88 ; …

d) 11 ; 44 ; 99 ; 1616 ; 2525 ; …

e) −2-2 ; −3-3 ; −5-5 ; −9-9 ; −17-17 ; …

Une liste de nombres rangés dans un ordre précis, où chaque nombre a sa place, c'est l'idée de suite : tout ce chapitre en parle.

Exemple traité

Trouve la loi de chacune des cinq listes et donne ses deux termes suivants.

  1. Liste a — On retranche 22 à chaque fois.5  ;  3  ;  1  ;  −1  ;  −3  ;  −5  ;  −75 \;;\; 3 \;;\; 1 \;;\; -1 \;;\; -3 \;;\; -5 \;;\; -7
  2. Liste b — Tout en quarts : 1=441 = \dfrac{4}{4} et 52=104.\dfrac{5}{2} = \dfrac{10}{4}. On ajoute 34\dfrac{3}{4} à chaque fois.14  ;  44  ;  74  ;  104  ;  134  ;  164=4  ;  194\frac{1}{4} \;;\; \frac{4}{4} \;;\; \frac{7}{4} \;;\; \frac{10}{4} \;;\; \frac{13}{4} \;;\; \frac{16}{4} = 4 \;;\; \frac{19}{4}
  3. Liste c — Chaque terme est la somme des deux précédents.5+8=13;8+13=215 + 8 = 13 \quad ; \quad 8 + 13 = 21
  4. Liste d — Ce sont les carrés des entiers 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5.5.62=36;72=496^{2} = 36 \quad ; \quad 7^{2} = 49
  5. Liste e — On retranche 1,1, puis 2,2, puis 4,4, puis 88 : ce qu'on retranche double à chaque fois.−17−16=−33;−33−32=−65-17 - 16 = -33 \quad ; \quad -33 - 32 = -65

À ne pas faire : Dans la liste 11 ; 44 ; 99 ; 1616 ; 25,25, on ajoute toujours le même nombre — On ajoute 3,3, puis 5,5, puis 7,7, puis 99 : ce sont les carrés 12,1^{2}, 22,2^{2}, 32,3^{2}, 42,4^{2}, 525^{2}. Une loi n'est pas toujours « ajouter le même nombre » : on calcule plusieurs écarts avant de conclure.

2. Activité

Pour comprendre : la population d'une ville

Ce qu’il dit

Chouf le diagramme : la population mta3 bled men mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf l deux mille quatre, bel milliers. Na9raw : cent, cent deux, cent quatre, cent six, cent huit, cent dix. Koll 3am tzid deux milliers, dima nafs ezzyeda. Bech nouslou l deux mille dix, nzidou onze fois deux : cent vingt-deux milliers. W bech tousel l cent cinquante milliers, yelzemha vingt-cinq 3am, ya3ni fi deux mille vingt-quatre.

شوف الـ diagramme : الـ population متاع بلاد من mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf لـ deux mille quatre ، بالـ milliers . نقراو : cent ، cent deux ، cent quatre ، cent six ، cent huit ، cent dix . كل عام تزيد deux milliers ، ديما نفس الزيادة . باش نوصلو لـ deux mille dix ، نزيدو onze fois deux : cent vingt-deux milliers . w باش توصل لـ cent cinquante milliers ، يلزمها vingt-cinq عام ، يعني في deux mille vingt-quatre .

Regarde le diagramme : la population d'une ville de mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf à deux mille quatre, en milliers. On lit : cent, cent deux, cent quatre, cent six, cent huit, cent dix. Chaque année, elle augmente de deux milliers, toujours la même augmentation. Pour arriver à deux mille dix, on ajoute onze fois deux : cent vingt-deux milliers. Et pour atteindre cent cinquante milliers, il lui faut vingt-cinq ans, donc en deux mille vingt-quatre.

Le diagramme en bâtons représente l'évolution de la population d'une ville de 1999 à 2004, en milliers d'habitants.

  1. 1.Lis sur le diagramme la population de chaque année, de 1999 à 2004.
  2. 2.Quelle sera la population de cette ville en 2010, si on suppose qu'elle continue à évoluer de la même façon ?
  3. 3.En quelle année cette population atteindra-t-elle 150 000150\,000 habitants ?
100102104106108110199920002001200220032004
Population de la ville, en milliers d'habitants, de 1999 à 2004.

Un diagramme en bâtons. En abscisse, les années 1999, 2000, 2001, 2002, 2003 et 2004 ; en ordonnée, le nombre d'habitants en milliers, gradué de 100 à 110 de deux en deux. Le bâton de 1999 monte à 100, celui de 2000 à 102, celui de 2001 à 104, celui de 2002 à 106, celui de 2003 à 108 et celui de 2004 à 110 : chaque bâton dépasse le précédent de la même hauteur.

Exemple traité

Les trois questions.

  1. La lecture — En milliers d'habitants, de 1999 à 2004 :100  ;  102  ;  104  ;  106  ;  108  ;  110100 \;;\; 102 \;;\; 104 \;;\; 106 \;;\; 108 \;;\; 110
  2. La loi — Chaque année, la population augmente de 22 milliers d'habitants.
  3. En 2010 — De 1999 à 2010, il s'écoule 1111 années : on ajoute 1111 fois 2.2.100+11×2=122100 + 11 \times 2 = 122
  4. 150 milliers — Il faut gagner 5050 milliers, à raison de 22 par an : 2525 années après 1999.100+2n=150  ⟺  n=25;1999+25=2024100 + 2n = 150 \iff n = 25 \quad ; \quad 1999 + 25 = 2024
122 000 habitants en 2010;150 000 habitants en 2024122\,000 \text{ habitants en 2010} \quad ; \quad 150\,000 \text{ habitants en 2024}

À ne pas faire : En 2010 : 100+10×2=120100 + 10 \times 2 = 120 milliers — En 2010 : 100+11×2=122100 + 11 \times 2 = 122 milliers. De 1999 à 2010 il y a 2010−1999=112010 - 1999 = 11 augmentations, pas 1010 : on compte les pas, pas les années écrites.

3. Activité

Pour comprendre : les nombres triangulaires

Ce qu’il dit

Les nombres triangulaires : nersmou des points 3la chakl triangle. T indice un égale un, T indice deux égale trois, T indice trois égale six, T indice quatre égale dix. Bech net3addew lelli ba3dou, nzidou rangée fiha point zeyed : T indice cinq égale dix plus cinq, ya3ni quinze. W bech na7sbou fisa3, nlasso9ou zouz triangles kif kif : ya3tiwna rectangle fih n lignes w n plus un colonnes. Idhan T indice n égale n fois (n plus un), le tout sur deux.

les nombres triangulaires : نرسمو des points على شكل triangle . T indice un égale un ، T indice deux égale trois ، T indice trois égale six ، T indice quatre égale dix . باش نتعدّاو للّي بعدو ، نزيدو rangée فيها point زايد : T indice cinq égale dix plus cinq ، يعني quinze . w باش نحسبو فيسع ، نلصّقو زوز triangles كيف كيف : يعطيونا rectangle فيه n lignes w n plus un colonnes . إذن T indice n égale n fois (n plus un) ، le tout sur deux .

Les nombres triangulaires : on dessine des points en forme de triangle. T indice un égale un, T indice deux égale trois, T indice trois égale six, T indice quatre égale dix. Pour passer au suivant, on ajoute une rangée qui a un point de plus : T indice cinq égale dix plus cinq, donc quinze. Et pour calculer vite, on colle deux triangles identiques : ils forment un rectangle de n lignes et n plus un colonnes. Donc T indice n égale n fois (n plus un), le tout sur deux.

Les dessins représentent les quatre premiers nombres triangulaires 1,1, 3,3, 66 et 10,10, notés respectivement T1,T_{1}, T2,T_{2}, T3T_{3} et T4.T_{4}.

T1T_{1} se lit « T indice 1 », T2T_{2} se lit « T indice 2 », et plus généralement TnT_{n} se lit « T indice n ».

  1. 1.Représente le cinquième nombre triangulaire T5T_{5} et donne sa valeur. Même question pour T6.T_{6}.
  2. 2.Les Pythagoriciens utilisaient des diagrammes rectangulaires pour calculer les nombres triangulaires. Un rectangle de 1212 lignes et 1313 colonnes de points se partage en deux triangles de points identiques : explique comment il permet de calculer T12.T_{12}.
  3. 3.Donne les valeurs de T20,T_{20}, T125T_{125} et T2006.T_{2006}.
  4. 4.Donne l'expression du nn-ième nombre triangulaire TnT_{n} en fonction de n.n.
T₁ = 1T₂ = 3T₃ = 6T₄ = 10
Les quatre premiers nombres triangulaires.

Quatre dessins de points, de gauche à droite. Le premier a un seul point : T indice 1 égale 1. Le deuxième est un triangle de trois points, deux en bas et un au-dessus : T indice 2 égale 3. Le troisième est un triangle de six points, trois en bas, deux au milieu, un en haut : T indice 3 égale 6. Le quatrième est un triangle de dix points, quatre en bas, puis trois, puis deux, puis un : T indice 4 égale 10. Pour passer d'un triangle au suivant, on ajoute une rangée qui a un point de plus.

le n-ième nombre triangulaire

Tn=n(n+1)2T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}

Exemple traité

Les quatre questions.

  1. T5 et T6 — Pour passer au triangle suivant, on ajoute une rangée qui a un point de plus.T5=10+5=15;T6=15+6=21T_{5} = 10 + 5 = 15 \quad ; \quad T_{6} = 15 + 6 = 21
  2. Le rectangle — Le rectangle compte 12×1312 \times 13 points et il est fait de deux triangles de T12T_{12} points chacun.2×T12=12×13doncT12=12×132=782 \times T_{12} = 12 \times 13 \quad \text{donc} \quad T_{12} = \frac{12 \times 13}{2} = 78
  3. La même idée — T20=20×212=210;T125=125×1262=7875T_{20} = \frac{20 \times 21}{2} = 210 \quad ; \quad T_{125} = \frac{125 \times 126}{2} = 7875
  4. T2006=2006×20072=2 013 021T_{2006} = \frac{2006 \times 2007}{2} = 2\,013\,021
  5. En fonction de n — Un rectangle de nn lignes et n+1n + 1 colonnes contient deux fois Tn.T_{n}.Tn=n(n+1)2T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}
Tn=n(n+1)2T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}

À ne pas faire : T12=12×13=156T_{12} = 12 \times 13 = 156 — T12=12×132=78T_{12} = \dfrac{12 \times 13}{2} = 78. Le rectangle contient deux triangles : 12×1312 \times 13 est le double de T12.T_{12}.

4. Activité

Pour comprendre : une spirale de triangles rectangles

Ce qu’il dit

Chouf la figure : des triangles rectangles deyrin b O, w koll wa7ed rakeb 3la l'hypoténuse mta3 elli sab9ou. Le côté ejjdid dima égale un. B Pythagore : O A deux égale racine carrée de deux, O A trois égale racine carrée de trois, w hakka. L'aire mta3 triangle rectangle hiya la moitié mta3 le produit des deux côtés de l'angle droit. Idhan a indice deux égale racine carrée de deux, le tout sur deux, a indice trois égale racine carrée de trois, le tout sur deux. W netwa993ou : a indice n égale racine carrée de n, le tout sur deux.

شوف الـ figure : des triangles rectangles دايرين بـ O ، w كل واحد راكب على l'hypoténuse متاع اللي سبقو . الـ côté الجديد ديما égale un . بـ Pythagore : O A deux égale racine carrée de deux ، O A trois égale racine carrée de trois ، w هكّا . l'aire متاع triangle rectangle هي la moitié متاع le produit des deux côtés de l'angle droit . إذن a indice deux égale racine carrée de deux ، le tout sur deux ، a indice trois égale racine carrée de trois ، le tout sur deux . w نتوقّعو : a indice n égale racine carrée de n ، le tout sur deux .

Regarde la figure : des triangles rectangles tournent autour de O, et chacun s'appuie sur l'hypoténuse du précédent. Le nouveau côté vaut toujours un. Par Pythagore : O A deux égale racine carrée de deux, O A trois égale racine carrée de trois, et ainsi de suite. L'aire d'un triangle rectangle est la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit. Donc a indice deux égale racine carrée de deux, le tout sur deux, a indice trois égale racine carrée de trois, le tout sur deux. Et on conjecture : a indice n égale racine carrée de n, le tout sur deux.

Dans la figure :

  • le triangle OA1A2OA_{1}A_{2} est rectangle en A1A_{1} et tel que OA1=A1A2=1OA_{1} = A_{1}A_{2} = 1 ;
  • le triangle OA2A3OA_{2}A_{3} est rectangle en A2A_{2} et tel que A2A3=1A_{2}A_{3} = 1 ;
  • et ainsi de suite.

On pose a1=aire(OA1A2),a_{1} = \text{aire}(OA_{1}A_{2}), a2=aire(OA2A3),a_{2} = \text{aire}(OA_{2}A_{3}), …, an=aire(OAnAn+1).a_{n} = \text{aire}(OA_{n}A_{n+1}).

  1. 1.Calcule a2,a_{2}, a3,a_{3}, a4a_{4} et a5.a_{5}.
  2. 2.Conjecture l'expression de ana_{n} en fonction de n.n.
111111OA₁A₂A₃A₄A₅A₆
Chaque triangle s'appuie sur l'hypoténuse du précédent ; les côtés A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄… mesurent tous 1.

Une spirale de triangles rectangles qui ont tous le sommet O. Le premier triangle, O A1 A2, est rectangle en A1, avec O A1 égale 1 et A1 A2 égale 1. Le deuxième, O A2 A3, est rectangle en A2, avec A2 A3 égale 1 : il s'appuie sur l'hypoténuse O A2 du premier. Le troisième, O A3 A4, est rectangle en A3 avec A3 A4 égale 1, et ainsi de suite jusqu'à A6. Les points A1, A2, A3, A4, A5, A6 tournent autour de O en s'en éloignant peu à peu.

la conjecture

an=n2a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}

Exemple traité

Les deux questions.

  1. Les hypoténuses — Par le théorème de Pythagore, de triangle en triangle :OA2=12+12=2;OA3=2+1=3;OA4=4=2;OA5=5OA_{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \quad ; \quad OA_{3} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \quad ; \quad OA_{4} = \sqrt{4} = 2 \quad ; \quad OA_{5} = \sqrt{5}
  2. Les aires — Le triangle OAnAn+1OA_{n}A_{n+1} est rectangle en AnA_{n} : son aire est la moitié du produit de OAnOA_{n} par AnAn+1=1.A_{n}A_{n+1} = 1.a2=22;a3=32;a4=22=1;a5=52a_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad ; \quad a_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad ; \quad a_{4} = \frac{2}{2} = 1 \quad ; \quad a_{5} = \frac{\sqrt{5}}{2}Les aires. Le triangle O A indice n A indice (n plus un) est rectangle en AnA_{n} : son aire est la moitié du produit de OAnOA_{n} par A indice n A indice (n plus un) égale 1.Les aires. Le triangle O A indice n A indice (n plus un) est rectangle en A indice n: son aire est la moitié du produit de O A indice n par A indice n A indice (n plus un) égale 1.
  3. La conjecture — On observe OAn=n,OA_{n} = \sqrt{n}, et a1=12a_{1} = \dfrac{1}{2} suit la même règle.an=n2a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}
an=n2a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}

5. Définition

Suite de nombres réels

Ce qu’il dit

Suite, ma3neha : l koll entier naturel n, men n indice zéro w enti tala3, na3tiw réel wa7ed bark. Le réel hedha nsammiwah U indice n, w houwa le terme général mta3 la suite. W n houwa l'indice. Radd belek lel parenthèses : U indice n blech parenthèses houwa nombre wa7ed, le terme elli l'indice mte3ou n. Ama U indice n bin parenthèses, hiya la suite el koll. Mathalan la suite des entiers pairs : zéro, deux, quatre, six, w le terme général mte3ha U indice n égale deux n.

suite ، معناها : لكل entier naturel n ، من n indice zéro w إنت طالع ، نعطيو réel واحد برك . الـ réel هاذا نسمّيوه U indice n ، w هو le terme général متاع الـ suite . w n هو l'indice . ردّ بالك للـ parenthèses : U indice n بلاش parenthèses هو nombre واحد ، le terme اللي l'indice متاعو n . أما U indice n بين parenthèses ، هي الـ suite الكل . مثلا la suite des entiers pairs : zéro ، deux ، quatre ، six ، w le terme général متاعها U indice n égale deux n .

Une suite, cela veut dire : à chaque entier naturel n, à partir de n indice zéro, on associe un seul réel. Ce réel se note U indice n, et c'est le terme général de la suite. Et n est l'indice. Attention aux parenthèses : U indice n sans parenthèses est un seul nombre, le terme dont l'indice est n. Mais U indice n entre parenthèses, c'est la suite tout entière. Par exemple la suite des entiers pairs : zéro, deux, quatre, six, et son terme général est U indice n égale deux n.

On retient la définition suivante :

Soit n0n_{0} un entier naturel. Lorsqu'à tout entier naturel nn supérieur ou égal à n0n_{0} on associe un réel unique U(n),U(n), on dit que l'on a défini une suite de nombres réels. Le réel U(n)U(n) s'appelle le terme général de la suite et se note Un.U_{n}. La suite se note (Un)n≥n0(U_{n})_{n \ge n_{0}} ou (Un).(U_{n}).

L'entier nn est l'indice du terme Un.U_{n}. Attention aux parenthèses : UnU_{n} est un nombre, le terme d'indice nn ; (Un)(U_{n}) désigne la suite tout entière.

le terme général

Un(n≥n0)U_{n} \quad (n \ge n_{0})

Exemple traité

Pour chacune des suites suivantes, détermine les cinq premiers termes et le terme général : la suite des entiers naturels pairs ; la suite des multiples de 33 ; la suite qui à tout entier naturel non nul associe son inverse ; la suite qui à tout entier naturel associe sa racine carrée.

  1. Les entiers pairs — 0  ;  2  ;  4  ;  6  ;  8;Un=2n0 \;;\; 2 \;;\; 4 \;;\; 6 \;;\; 8 \quad ; \quad U_{n} = 2n
  2. Les multiples de 3 — 0  ;  3  ;  6  ;  9  ;  12;Un=3n0 \;;\; 3 \;;\; 6 \;;\; 9 \;;\; 12 \quad ; \quad U_{n} = 3n
  3. Les inverses — L'inverse de 00 n'existe pas : la suite commence à l'indice 1.1.1  ;  12  ;  13  ;  14  ;  15;Un=1n,  n≥11 \;;\; \frac{1}{2} \;;\; \frac{1}{3} \;;\; \frac{1}{4} \;;\; \frac{1}{5} \quad ; \quad U_{n} = \frac{1}{n}, \; n \ge 1
  4. Les racines carrées — 0  ;  1  ;  2  ;  3  ;  2;Un=n0 \;;\; 1 \;;\; \sqrt{2} \;;\; \sqrt{3} \;;\; 2 \quad ; \quad U_{n} = \sqrt{n}
Un=2n;Un=3n;Un=1n pour n≥1;Un=nU_{n} = 2n \quad ; \quad U_{n} = 3n \quad ; \quad U_{n} = \frac{1}{n} \text{ pour } n \ge 1 \quad ; \quad U_{n} = \sqrt{n}

À ne pas faire : « UnU_{n} est une suite » — « (Un)(U_{n}) est une suite, et UnU_{n} est son terme d'indice nn ». Sans parenthèses, UnU_{n} est un seul nombre ; quand on l'écrit entre parenthèses, on désigne la suite de tous ces nombres.

À ne pas faire : La suite des inverses commence par U0=10U_{0} = \dfrac{1}{0} — Elle commence par U1=1U_{1} = 1 : ici n0=1n_{0} = 1. Une suite ne commence pas toujours à l'indice 00 : elle commence au premier indice n0n_{0} pour lequel le terme existe.

6. Application

Exemple : calculer des termes et changer d'indice

Ce qu’il dit

3andna U indice n égale (trois n plus un), le tout sur quatre. Bech na7sbou terme, nbaddlou n bel indice elli n7ebbou 3lih : U indice zéro égale un sur quatre, U indice cinq égale seize sur quatre, ya3ni quatre. Radd belek : la suite tabda men U indice zéro, idhan le premier terme houwa U indice zéro, w le cinquième terme houwa U indice quatre, mouch U indice cinq. W U indice (p plus un) : nbaddlou n b p plus un el koll, ya3tina (trois p plus quatre), le tout sur quatre. Mouch U indice p zeyed un.

عندنا U indice n égale (trois n plus un) ، le tout sur quatre . باش نحسبو terme ، نبدّلو n بالـ indice اللي نحبّو عليه : U indice zéro égale un sur quatre ، U indice cinq égale seize sur quatre ، يعني quatre . ردّ بالك : الـ suite تبدا من U indice zéro ، إذن le premier terme هو U indice zéro ، w le cinquième terme هو U indice quatre ، موش U indice cinq . w U indice (p plus un) : نبدّلو n بـ p plus un الكل ، يعطينا (trois p plus quatre) ، le tout sur quatre . موش U indice p زايد un .

Nous avons U indice n égale (trois n plus un), le tout sur quatre. Pour calculer un terme, on remplace n par l'indice voulu : U indice zéro égale un sur quatre, U indice cinq égale seize sur quatre, donc quatre. Attention : la suite commence à U indice zéro, donc le premier terme est U indice zéro, et le cinquième terme est U indice quatre, pas U indice cinq. Et U indice (p plus un) : on remplace n par p plus un tout entier, ce qui donne (trois p plus quatre), le tout sur quatre. Ce n'est pas U indice p augmenté de un.

Soit la suite (Un)(U_{n}) définie pour tout entier naturel nn par Un=3n+14.U_{n} = \dfrac{3n + 1}{4}.

  1. 1.Calcule U0,U_{0}, U1,U_{1}, U5U_{5} et U100.U_{100}.
  2. 2.Détermine le premier terme, le cinquième terme et le centième terme de cette suite.
  3. 3.Détermine l'expression de Up+1,U_{p+1}, U2nU_{2n} et U3k+2.U_{3k+2}.

Quand une suite est donnée par son terme général, on calcule n'importe quel terme en remplaçant nn par l'indice voulu — un nombre, ou une expression tout entière.

Exemple traité

Les trois questions.

  1. On remplace n — U0=14;U1=44=1;U5=164=4;U100=3014U_{0} = \frac{1}{4} \quad ; \quad U_{1} = \frac{4}{4} = 1 \quad ; \quad U_{5} = \frac{16}{4} = 4 \quad ; \quad U_{100} = \frac{301}{4}
  2. Le rang — La suite commence à U0U_{0} : le premier terme est U0,U_{0}, le cinquième est U4,U_{4}, le centième est U99.U_{99}.U0=14;U4=134;U99=2984=1492U_{0} = \frac{1}{4} \quad ; \quad U_{4} = \frac{13}{4} \quad ; \quad U_{99} = \frac{298}{4} = \frac{149}{2}
  3. Changer d'indice — On remplace nn par p+1p + 1 tout entier, entre parenthèses.Up+1=3(p+1)+14=3p+44U_{p+1} = \frac{3(p + 1) + 1}{4} = \frac{3p + 4}{4}
  4. U2n=3×2n+14=6n+14;U3k+2=3(3k+2)+14=9k+74U_{2n} = \frac{3 \times 2n + 1}{4} = \frac{6n + 1}{4} \quad ; \quad U_{3k+2} = \frac{3(3k + 2) + 1}{4} = \frac{9k + 7}{4}
Up+1=3p+44;U2n=6n+14;U3k+2=9k+74U_{p+1} = \frac{3p + 4}{4} \quad ; \quad U_{2n} = \frac{6n + 1}{4} \quad ; \quad U_{3k+2} = \frac{9k + 7}{4}U indice (p plus un) égale 3p plus 4, le tout sur 4; U indice 2n égale 6n plus 1, le tout sur 4; U indice (3k plus deux) égale 9k plus 7, le tout sur 4U indice (p plus un) égale 3p plus 4, le tout sur 4; U indice 2n égale 6n plus 1, le tout sur 4; U indice (3k plus deux) égale 9k plus 7, le tout sur 4

À ne pas faire : Le cinquième terme est U5U_{5} — Le cinquième terme est U4,U_{4}, car la suite commence à U0U_{0}. Quand le premier terme est U0,U_{0}, le terme de rang kk est Uk−1U_{k-1} : l'indice a un de retard sur le rang.Quand le premier terme est U0,U_{0}, le terme de rang kk est U indice (k moins un) : l'indice a un de retard sur le rang.Quand le premier terme est U indice 0, le terme de rang k est U indice (k moins un): l'indice a un de retard sur le rang.

À ne pas faire : Up+1=Up+1=3p+14+1U_{p+1} = U_{p} + 1 = \dfrac{3p + 1}{4} + 1 — Up+1=3(p+1)+14=3p+44U_{p+1} = \dfrac{3(p + 1) + 1}{4} = \dfrac{3p + 4}{4}. On remplace nn par p+1p + 1 dans la formule : on n'ajoute pas 11 au terme Up.U_{p}.

7. Vocabulaire

Deux façons de présenter une suite

Ce qu’il dit

Suite tnajjem tet3ata b zouz tor9. Ya b le terme général, ya3ni formule fiha n, w ta7seb biha ayy terme toul. Ya b le premier terme w relation ta3tik terme men le terme elli sab9ou, w nsammiwha relation de récurrence. Mathalan t indice zéro égale deux, w t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins trois. Houni temchi darja darja : t indice un égale moins deux, t indice deux égale moins quatre, t indice trois égale moins cinq. Bech tousel l terme, lezmek elli sab9ou.

suite تنجّم تتعطى بزوز طرق . يا بـ le terme général ، يعني formule فيها n ، w تحسب بيها أيّ terme طول . يا بـ le premier terme w relation تعطيك terme من le terme اللي سبقو ، w نسمّيوها relation de récurrence . مثلا t indice zéro égale deux ، w t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n ، moins trois . هنا تمشي درجة درجة : t indice un égale moins deux ، t indice deux égale moins quatre ، t indice trois égale moins cinq . باش توصل لـ terme ، لازمك اللي سبقو .

Une suite peut être donnée de deux façons. La première : le terme général, c'est-à-dire une formule en n, qui donne tout de suite n'importe quel terme. L'autre : le premier terme et une relation qui donne un terme à partir du terme précédent ; on l'appelle relation de récurrence. Par exemple t indice zéro égale deux, et t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins trois. Ici on avance pas à pas : t indice un égale moins deux, t indice deux égale moins quatre, t indice trois égale moins cinq. Pour atteindre un terme, il faut celui qui le précède.

Une suite peut être définie par :

  • son terme général ;

ou

  • son premier terme et une relation permettant de calculer un terme à l'aide du terme précédent. Cette relation est appelée relation de récurrence.

Avec le terme général, on calcule directement n'importe quel terme : Un=2n+nU_{n} = 2^{n} + n donne tout de suite U10=1024+10=1034.U_{10} = 1024 + 10 = 1034. Avec une relation de récurrence, on avance de proche en proche : pour connaître un terme, il faut d'abord celui qui le précède.

par le terme général

Un=2n+nU_{n} = 2^{n} + n

par une relation de récurrence

t0=2ettn+1=12 tn−3t_{0} = 2 \quad \text{et} \quad t_{n+1} = \frac{1}{2}\,t_{n} - 3

Exemple traité

On considère la suite (tn)(t_{n}) définie par t0=2t_{0} = 2 et tn+1=12 tn−3t_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,t_{n} - 3 pour tout entier naturel n.n. Calcule t1,t_{1}, t2,t_{2}, t3,t_{3}, t4t_{4} et t5.t_{5}.

On considère la suite (tn)(t_{n}) définie par t0=2t_{0} = 2 et t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins 3 pour tout entier naturel n.n. Calcule t1,t_{1}, t2,t_{2}, t3,t_{3}, t4t_{4} et t5.t_{5}.On considère la suite t indice n définie par t indice 0 égale 2 et t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins 3 pour tout entier naturel n. Calcule t indice 1, t indice 2, t indice 3, t indice 4 et t indice 5.
  1. De t0 à t1 — On prend la moitié du terme précédent, puis on retranche 3.3.t1=12×2−3=−2t_{1} = \frac{1}{2} \times 2 - 3 = -2
  2. De proche en proche — t2=12×(−2)−3=−4;t3=12×(−4)−3=−5t_{2} = \frac{1}{2} \times (-2) - 3 = -4 \quad ; \quad t_{3} = \frac{1}{2} \times (-4) - 3 = -5De proche en proche : t indice 2 égale un demi fois moins 2, moins 3 égale moins 4; t indice 3 égale un demi fois moins 4, moins 3 égale moins 5De proche en proche: t indice 2 égale un demi fois moins 2, moins 3 égale moins 4; t indice 3 égale un demi fois moins 4, moins 3 égale moins 5
  3. t4=12×(−5)−3=−112;t5=12×(−112)−3=−234t_{4} = \frac{1}{2} \times (-5) - 3 = -\frac{11}{2} \quad ; \quad t_{5} = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{11}{2}\right) - 3 = -\frac{23}{4}
t1=−2;t2=−4;t3=−5;t4=−112;t5=−234t_{1} = -2 \quad ; \quad t_{2} = -4 \quad ; \quad t_{3} = -5 \quad ; \quad t_{4} = -\frac{11}{2} \quad ; \quad t_{5} = -\frac{23}{4}

À ne pas faire : t3=12×3−3t_{3} = \dfrac{1}{2} \times 3 - 3 — t3=12×t2−3=12×(−4)−3=−5t_{3} = \dfrac{1}{2} \times t_{2} - 3 = \dfrac{1}{2} \times (-4) - 3 = -5. Dans une relation de récurrence, on remplace tnt_{n} par la valeur du terme précédent, pas par son indice.

8. Activité

Pour comprendre : une aire qui grandit régulièrement

Ce qu’il dit

Chouf la figure : la droite y égale x plus deux, w le domaine elli ta7tha, bin l'abscisse n w l'abscisse n plus un. Hedha trapèze : les côtés el metwazyin toulhom n plus deux w n plus trois, w la hauteur égale un. Idhan l'aire a indice n égale (deux n plus cinq), le tout sur deux, ya3ni n plus cinq demis. W ki na7sbou a indice (n plus un) moins a indice n, nal9aw un. Ya3ni koll ma net3addew l terme elli ba3dou, l'aire tzid dima un. Hedhi hiya el fekra mta3 suite arithmétique.

شوف الـ figure : la droite y égale x plus deux ، w الـ domaine اللي تحتها ، بين l'abscisse n w l'abscisse n plus un . هاذا trapèze : الـ côtés المتوازيين طولهم n plus deux w n plus trois ، w la hauteur égale un . إذن l'aire a indice n égale (deux n plus cinq) ، le tout sur deux ، يعني n plus cinq demis . w كي نحسبو a indice (n plus un) moins a indice n ، نلقاو un . يعني كل ما نتعدّاو لـ terme اللي بعدو ، l'aire تزيد ديما un . هاذي هي الفكرة متاع suite arithmétique .

Regarde la figure : la droite y égale x plus deux, et le domaine situé dessous, entre l'abscisse n et l'abscisse n plus un. C'est un trapèze : ses côtés parallèles mesurent n plus deux et n plus trois, et sa hauteur vaut un. Donc l'aire a indice n égale (deux n plus cinq), le tout sur deux, c'est-à-dire n plus cinq demis. Et quand on calcule a indice (n plus un) moins a indice n, on trouve un. Chaque fois qu'on passe au terme suivant, l'aire augmente toujours de un. C'est l'idée même de suite arithmétique.

Dans un repère, on trace la droite d'équation y=x+2.y = x + 2. Pour tout entier naturel n,n, on désigne par ana_{n} l'aire du domaine limité par cette droite, l'axe des abscisses et les deux verticales passant par les points d'abscisses nn et n+1.n + 1.

  1. 1.Calcule a0.a_{0}.
  2. 2.Donne l'expression de ana_{n} en fonction de n.n.
  3. 3.Calcule an+1−an.a_{n+1} - a_{n}.
n + 2n + 3Oy = x + 22nn + 1
Le domaine d'aire aₙ : sous la droite y = x + 2, entre les abscisses n et n + 1.

Un repère d'origine O. La droite d'équation y égale x plus 2 monte de gauche à droite : elle coupe l'axe des ordonnées à la hauteur 2. Sur l'axe des abscisses, deux points sont marqués, n et n plus 1, à une unité l'un de l'autre. Au-dessus du segment qui les joint, un domaine est hachuré : c'est un trapèze, limité en bas par l'axe des abscisses, à gauche et à droite par deux verticales, et en haut par la droite. Son côté vertical gauche mesure n plus 2, son côté vertical droit mesure n plus 3.

Exemple traité

Les trois questions.

  1. Le domaine — C'est un trapèze : ses deux côtés parallèles sont verticaux, de longueurs n+2n + 2 et n+3,n + 3, et sa hauteur vaut 1.1. Son aire est la demi-somme des côtés parallèles, multipliée par la hauteur.
  2. a0 — Pour n=0,n = 0, les côtés parallèles mesurent 22 et 3.3.a0=2+32=52a_{0} = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}
  3. En fonction de n — an=(n+2)+(n+3)2=2n+52=n+52a_{n} = \frac{(n + 2) + (n + 3)}{2} = \frac{2n + 5}{2} = n + \frac{5}{2}
  4. La différence — Elle ne dépend pas de n.n.an+1−an=(n+1+52)−(n+52)=1a_{n+1} - a_{n} = \left(n + 1 + \frac{5}{2}\right) - \left(n + \frac{5}{2}\right) = 1
an=n+52;an+1−an=1a_{n} = n + \frac{5}{2} \quad ; \quad a_{n+1} - a_{n} = 1a indice n égale n plus 5 sur 2; a indice (n plus un) moins a indice n égale 1a indice n égale n plus 5 sur 2; a indice (n plus un) moins a indice n égale 1

9. Définition

Suite arithmétique

Ce qu’il dit

Suite arithmétique, ma3neha : bech net3addew men ayy terme lelli ba3dou, nzidou dima nafs le réel r. Nektbou : U indice (n plus un) égale U indice n, plus r, pour tout entier naturel n. W r nsammiwah la raison. Bech tal9a la raison, ta7seb le terme elli ba3dou moins le terme elli sab9ou. Mathalan : trois, huit, treize, dix-huit : koll marra nzidou cinq, idhan la raison égale cinq. Radd belek : la raison tnajjem tkoun négative, ki les termes yon9sou.

suite arithmétique ، معناها : باش نتعدّاو من أيّ terme للّي بعدو ، نزيدو ديما نفس الـ réel r . نكتبو : U indice (n plus un) égale U indice n ، plus r ، pour tout entier naturel n . w r نسمّيوه la raison . باش تلقى la raison ، تحسب le terme اللي بعدو moins le terme اللي سبقو . مثلا : trois ، huit ، treize ، dix-huit : كل مرّة نزيدو cinq ، إذن la raison égale cinq . ردّ بالك : la raison تنجّم تكون négative ، كي les termes ينقصو .

Une suite arithmétique, cela veut dire : pour passer de n'importe quel terme au suivant, on ajoute toujours le même réel r. On écrit : U indice (n plus un) égale U indice n, plus r, pour tout entier naturel n. Et r s'appelle la raison. Pour trouver la raison, on calcule le terme suivant moins le terme précédent. Par exemple : trois, huit, treize, dix-huit : on ajoute cinq à chaque fois, donc la raison égale cinq. Attention : la raison peut être négative, quand les termes diminuent.

On retient la définition suivante :

On dit qu'une suite (Un)(U_{n}) est arithmétique s'il existe un réel rr tel que, pour tout entier naturel n,n, on a Un+1=Un+r.U_{n+1} = U_{n} + r. Le nombre réel rr est appelé raison de cette suite.

Remarque. Si a,a, b,b, c,c, d,d, … sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique, on dit qu'ils sont en progression arithmétique.

Autrement dit : on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r,r, et r=Un+1−Un.r = U_{n+1} - U_{n}.

pour tout entier naturel n

Un+1=Un+rU_{n+1} = U_{n} + r

la raison

r=Un+1−Unr = U_{n+1} - U_{n}

Exemple traité

On considère la suite (Un)(U_{n}) des entiers naturels dont le reste de la division euclidienne par 55 est 3,3, rangés par ordre croissant. Détermine U0,U_{0}, U1,U_{1}, U2,U_{2}, U3U_{3} et U4,U_{4}, exprime UnU_{n} en fonction de n,n, puis calcule Un+1−Un.U_{n+1} - U_{n}.

On considère la suite (Un)(U_{n}) des entiers naturels dont le reste de la division euclidienne par 55 est 3,3, rangés par ordre croissant. Détermine U0,U_{0}, U1,U_{1}, U2,U_{2}, U3U_{3} et U4,U_{4}, exprime UnU_{n} en fonction de n,n, puis calcule U indice (n plus un) moins U indice n.On considère la suite U indice n des entiers naturels dont le reste de la division euclidienne par 5 est 3, rangés par ordre croissant. Détermine U indice 0, U indice 1, U indice 2, U indice 3 et U indice 4, exprime U indice n en fonction de n, puis calcule U indice (n plus un) moins U indice n.
  1. Les premiers termes — Un entier de reste 33 dans la division par 55 s'écrit 5q+3.5q + 3.U0=3;U1=8;U2=13;U3=18;U4=23U_{0} = 3 \quad ; \quad U_{1} = 8 \quad ; \quad U_{2} = 13 \quad ; \quad U_{3} = 18 \quad ; \quad U_{4} = 23
  2. Le terme général — Un=5n+3U_{n} = 5n + 3
  3. La différence — Un+1−Un=5(n+1)+3−(5n+3)=5U_{n+1} - U_{n} = 5(n + 1) + 3 - (5n + 3) = 5La différence : U indice (n plus un) moins U indice n égale 5 fois la parenthèse n plus 1, plus 3 moins la parenthèse 5n plus 3, égale 5La différence: U indice (n plus un) moins U indice n égale 5 fois la parenthèse n plus 1, plus 3 moins la parenthèse 5n plus 3, égale 5
  4. Conclusion — Pour tout n,n, Un+1=Un+5U_{n+1} = U_{n} + 5 : la suite est arithmétique de raison 55 et de premier terme U0=3.U_{0} = 3.Conclusion. Pour tout n,n, U indice (n plus un) égale U indice n plus 5 : la suite est arithmétique de raison 55 et de premier terme U0=3.U_{0} = 3.Conclusion. Pour tout n, U indice (n plus un) égale U indice n plus 5: la suite est arithmétique de raison 5 et de premier terme U indice 0 égale 3.
Un+1=Un+5:suite arithmeˊtique de raison 5U_{n+1} = U_{n} + 5 \quad : \quad \text{suite arithmétique de raison } 5U indice (n plus un) égale U indice n plus 5 : suite arithmétique de raison 5U indice (n plus un) égale U indice n plus 5: suite arithmétique de raison 5

À ne pas faire : La raison de la suite 55 ; 33 ; 11 ; −1-1 ; … est 22 — La raison est 3−5=−23 - 5 = -2. La raison est Un+1−UnU_{n+1} - U_{n} : le terme suivant moins le terme d'avant. Quand les termes diminuent, elle est négative.La raison est U indice (n plus un) moins U indice n : le terme suivant moins le terme d'avant. Quand les termes diminuent, elle est négative.La raison est U indice (n plus un) moins U indice n: le terme suivant moins le terme d'avant. Quand les termes diminuent, elle est négative.

À ne pas faire : La suite 11 ; 22 ; 44 ; 88 ; … est arithmétique — 2−1=12 - 1 = 1 mais 4−2=24 - 2 = 2 : elle n'est pas arithmétique. Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre ; ici on multiplie par 2.2.

10. Méthode

Reconnaître une suite arithmétique

Ce qu’il dit

Kifech nbayynou elli suite hiya arithmétique ? Na7sbou la différence : U indice (n plus un) moins U indice n. Ken l9ina réel ma fihech n, la suite arithmétique w houwa la raison. Radd belek : lezem pour tout n, mouch 3la zouz termes bark. W a7fedh el 7ala hedhi : ken U indice n égale a n plus b, la suite arithmétique, la raison hiya a, w le premier terme houwa b. W bech nbayynou elli suite mouch arithmétique, yekfi nal9aw zouz différences mouch kif kif.

كيفاش نبيّنو اللي suite هي arithmétique ؟ نحسبو la différence : U indice (n plus un) moins U indice n . كان لقينا réel ما فيهش n ، الـ suite arithmétique w هو la raison . ردّ بالك : لازم pour tout n ، موش على زوز termes برك . w احفظ الحالة هاذي : كان U indice n égale a n plus b ، الـ suite arithmétique ، la raison هي a ، w le premier terme هو b . w باش نبيّنو اللي suite موش arithmétique ، يكفي نلقاو زوز différences موش كيف كيف .

Comment montrer qu'une suite est arithmétique ? On calcule la différence : U indice (n plus un) moins U indice n. Si on trouve un réel qui ne contient pas n, la suite est arithmétique et ce réel est la raison. Attention : il faut que ce soit pour tout n, pas seulement sur deux termes. Et retiens ce cas : si U indice n égale a n plus b, la suite est arithmétique, la raison est a, et le premier terme est b. Et pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique, il suffit de trouver deux différences qui ne sont pas égales.

Pour montrer qu'une suite (Un)(U_{n}) est arithmétique, on calcule la différence Un+1−UnU_{n+1} - U_{n} pour tout nn : si elle est égale à un même réel r,r, qui ne dépend pas de n,n, la suite est arithmétique de raison r.r.

Un cas à connaître. Soit (Un)(U_{n}) la suite définie pour tout entier naturel nn par Un=an+b,U_{n} = an + b, où aa et bb sont deux réels donnés. Alors Un+1−Un=a(n+1)+b−(an+b)=aU_{n+1} - U_{n} = a(n + 1) + b - (an + b) = a : la suite (Un)(U_{n}) est arithmétique, de raison aa et de premier terme U0=b.U_{0} = b.

Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique, il suffit de trouver deux différences de termes consécutifs qui ne sont pas égales.

le test

Un+1−Un=rpour tout nU_{n+1} - U_{n} = r \quad \text{pour tout } n

un cas à connaître

Un=an+b  ⟹  (Un) arithmeˊtique de raison aU_{n} = an + b \;\Longrightarrow\; (U_{n}) \text{ arithmétique de raison } a

Exemple traité

Indique celles de ces suites qui sont arithmétiques : a) U0=0U_{0} = 0 et Un+1=Un+nU_{n+1} = U_{n} + n ; b) V0=−1V_{0} = -1 et −Vn+1+Vn+3=0-V_{n+1} + V_{n} + 3 = 0 ; c) an=2n2+4n+2n+1a_{n} = \dfrac{2n^{2} + 4n + 2}{n + 1} ; d) b0=2b_{0} = 2 et bn+1=3bn+7.b_{n+1} = 3b_{n} + 7.

Indique celles de ces suites qui sont arithmétiques : a) U0=0U_{0} = 0 et U indice (n plus un) égale U indice n plus n ; b) V0=−1V_{0} = -1 et moins V indice (n plus un) plus V indice n plus 3 égale 0 ; c) an=2n2+4n+2n+1a_{n} = \dfrac{2n^{2} + 4n + 2}{n + 1} ; d) b0=2b_{0} = 2 et b indice (n plus un) égale 3b indice n plus 7.Indique celles de ces suites qui sont arithmétiques: a) U indice 0 égale 0 et U indice (n plus un) égale U indice n plus n; b) V indice 0 égale moins 1 et moins V indice (n plus un) plus V indice n plus 3 égale 0; c) a indice n égale le quotient de 2n au carré plus 4n plus 2, par la parenthèse n plus 1; d) b indice 0 égale 2 et b indice (n plus un) égale 3b indice n plus 7.
  1. Suite a — La différence Un+1−Un=nU_{n+1} - U_{n} = n dépend de nn : U1−U0=0U_{1} - U_{0} = 0 mais U2−U1=1.U_{2} - U_{1} = 1. Elle n'est pas arithmétique.Un+1−Un=nU_{n+1} - U_{n} = nSuite a. La différence U indice (n plus un) moins U indice n égale n dépend de nn : U1−U0=0U_{1} - U_{0} = 0 mais U2−U1=1.U_{2} - U_{1} = 1. Elle n'est pas arithmétique.Suite a. La différence U indice (n plus un) moins U indice n égale n dépend de n: U indice 1 moins U indice 0 égale 0 mais U indice 2 moins U indice 1 égale 1. Elle n'est pas arithmétique.
  2. Suite b — On isole Vn+1V_{n+1} : la suite est arithmétique de raison 3.3.Vn+1=Vn+3V_{n+1} = V_{n} + 3Suite b. On isole V indice (n plus un) : la suite est arithmétique de raison 3.3.Suite b. On isole V indice (n plus un): la suite est arithmétique de raison 3.
  3. Suite c — On factorise le numérateur avant de conclure : ana_{n} est de la forme an+b,an + b, la suite est arithmétique de raison 2.2.an=2(n+1)2n+1=2(n+1)=2n+2a_{n} = \frac{2(n + 1)^{2}}{n + 1} = 2(n + 1) = 2n + 2
  4. Suite d — Les deux premières différences ne sont pas égales : elle n'est pas arithmétique.b1=13;b2=46;b1−b0=11;b2−b1=33b_{1} = 13 \quad ; \quad b_{2} = 46 \quad ; \quad b_{1} - b_{0} = 11 \quad ; \quad b_{2} - b_{1} = 33
(Vn) et (an) sont arithmeˊtiques, de raisons 3 et 2(V_{n}) \text{ et } (a_{n}) \text{ sont arithmétiques, de raisons } 3 \text{ et } 2

À ne pas faire : « U1−U0=U2−U1,U_{1} - U_{0} = U_{2} - U_{1}, donc la suite est arithmétique » — Il faut Un+1−Un=rU_{n+1} - U_{n} = r pour tout entier naturel nn. Deux différences égales ne prouvent rien pour les suivantes. En revanche, deux différences inégales suffisent à dire non.

À ne pas faire : La suite définie par Un=−2n+18U_{n} = \dfrac{-2n + 1}{8} a pour raison −2-2 — Un=−14n+18U_{n} = -\dfrac{1}{4}n + \dfrac{1}{8} : la raison est −14-\dfrac{1}{4} et U0=18U_{0} = \dfrac{1}{8}. On écrit d'abord UnU_{n} sous la forme an+ban + b : la raison est le coefficient de n,n, une fois la division faite.

11. Théorème

Terme général d'une suite arithmétique

Ce qu’il dit

Ken la suite arithmétique, le premier terme mte3ha U indice zéro w la raison r, wa9tha U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. 3lech ? 5ater bech nouslou men U indice zéro l U indice n, nzidou la raison n marrat. Mathalan U indice zéro égale racine carrée de deux w r égale deux cinquièmes : U indice cinq égale racine carrée de deux, plus cinq fois deux cinquièmes, ya3ni deux plus racine carrée de deux. W U indice mille égale quatre cents plus racine carrée de deux. Ma 3adech lezemna na7sbou les termes el koll wa7ed wa7ed.

كان الـ suite arithmétique ، le premier terme متاعها U indice zéro w la raison r ، وقتها U indice n égale U indice zéro ، plus n fois r . علاش ؟ خاطر باش نوصلو من U indice zéro لـ U indice n ، نزيدو la raison n مرّات . مثلا U indice zéro égale racine carrée de deux w r égale deux cinquièmes : U indice cinq égale racine carrée de deux ، plus cinq fois deux cinquièmes ، يعني deux plus racine carrée de deux . w U indice mille égale quatre cents plus racine carrée de deux . ما عادش لازمنا نحسبو les termes الكل واحد واحد .

Si la suite est arithmétique, de premier terme U indice zéro et de raison r, alors U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. Pourquoi ? Parce que pour aller de U indice zéro à U indice n, on ajoute la raison n fois. Par exemple U indice zéro égale racine carrée de deux et r égale deux cinquièmes : U indice cinq égale racine carrée de deux, plus cinq fois deux cinquièmes, donc deux plus racine carrée de deux. Et U indice mille égale quatre cents plus racine carrée de deux. Plus besoin de calculer tous les termes un par un.

Soit (Un)(U_{n}) une suite arithmétique de premier terme U0U_{0} et de raison r.r. Alors :

Un=U0+nr,U_{n} = U_{0} + nr, pour tout entier naturel n.n.

On le voit sur les premiers termes : U1=U0+r,U_{1} = U_{0} + r, U2=U0+2r,U_{2} = U_{0} + 2r, U3=U0+3r,U_{3} = U_{0} + 3r, … Pour aller de U0U_{0} à Un,U_{n}, on ajoute nn fois la raison. Grâce à cette formule, on calcule un terme lointain sans passer par tous ceux qui le précèdent.

pour tout entier naturel n

Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr

Démonstration

Soit nn un entier naturel non nul. On écrit les nn égalités : U1=U0+rU_{1} = U_{0} + r ; U2=U1+rU_{2} = U_{1} + r ; U3=U2+rU_{3} = U_{2} + r ; … ; Un−1=Un−2+rU_{n-1} = U_{n-2} + r ; Un=Un−1+r.U_{n} = U_{n-1} + r. On les additionne membre à membre : les termes U1,U_{1}, U2,U_{2}, …, Un−1U_{n-1} figurent une fois dans chaque membre et se simplifient. Il reste Un=U0+nr,U_{n} = U_{0} + nr, car la raison a été ajoutée nn fois. Pour n=0,n = 0, l'égalité s'écrit U0=U0.U_{0} = U_{0}.

Exemple traité

Soit (Un)(U_{n}) la suite arithmétique définie par U0=2U_{0} = \sqrt{2} et Un+1=Un+25U_{n+1} = U_{n} + \dfrac{2}{5} pour tout entier naturel n.n. Calcule U1,U_{1}, U2,U_{2}, U3,U_{3}, U4U_{4} et U5,U_{5}, puis U1000.U_{1000}.

Soit (Un)(U_{n}) la suite arithmétique définie par U0=2U_{0} = \sqrt{2} et U indice (n plus un) égale U indice n plus 2 sur 5 pour tout entier naturel n.n. Calcule U1,U_{1}, U2,U_{2}, U3,U_{3}, U4U_{4} et U5,U_{5}, puis U1000.U_{1000}.Soit U indice n la suite arithmétique définie par U indice 0 égale racine carrée de 2 et U indice (n plus un) égale U indice n plus 2 sur 5 pour tout entier naturel n. Calcule U indice 1, U indice 2, U indice 3, U indice 4 et U indice 5, puis U indice 1000.
  1. De proche en proche — On ajoute 25\dfrac{2}{5} à chaque pas.U1=2+25;U2=2+45;U3=2+65U_{1} = \sqrt{2} + \frac{2}{5} \quad ; \quad U_{2} = \sqrt{2} + \frac{4}{5} \quad ; \quad U_{3} = \sqrt{2} + \frac{6}{5}
  2. U4=2+85;U5=2+105=2+2U_{4} = \sqrt{2} + \frac{8}{5} \quad ; \quad U_{5} = \sqrt{2} + \frac{10}{5} = 2 + \sqrt{2}
  3. Le terme général — Premier terme 2,\sqrt{2}, raison 25.\dfrac{2}{5}.Un=25 n+2U_{n} = \frac{2}{5}\,n + \sqrt{2}
  4. U1000 — On ne calcule pas mille termes : on applique la formule.U1000=25×1000+2=400+2U_{1000} = \frac{2}{5} \times 1000 + \sqrt{2} = 400 + \sqrt{2}
Un=25 n+2;U1000=400+2U_{n} = \frac{2}{5}\,n + \sqrt{2} \quad ; \quad U_{1000} = 400 + \sqrt{2}

À ne pas faire : U5=U0+4rU_{5} = U_{0} + 4r — U5=U0+5rU_{5} = U_{0} + 5r. De U0U_{0} à U5U_{5} il y a cinq pas : U1,U_{1}, U2,U_{2}, U3,U_{3}, U4,U_{4}, U5.U_{5}. On ajoute la raison autant de fois que l'indice.

À ne pas faire : Un=(U0+n)×rU_{n} = (U_{0} + n) \times r — Un=U0+n×rU_{n} = U_{0} + n \times r. C'est la raison seule qui est multipliée par nn ; le premier terme s'ajoute ensuite.

12. Propriété

D'un terme à un autre

Ce qu’il dit

Se3at ma na3rfouch U indice zéro, na3rfou terme e5er, U indice p. Wa9tha nesta3mlou : U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r. El fekra : men l'indice p l l'indice n, nzidou la raison n moins p marrat. Mathalan r égale trois quarts w U indice cent égale soixante-quatorze : U indice deux cent quarante-huit égale soixante-quatorze, plus cent quarante-huit fois trois quarts, ya3ni cent quatre-vingt-cinq. W b nafs la formule tal9a la raison ki ta3ref zouz termes : r égale (U indice n moins U indice p), le tout sur (n moins p).

ساعات ما نعرفوش U indice zéro ، نعرفو terme آخر ، U indice p . وقتها نستعملو : U indice n égale U indice p ، plus (n moins p) fois r . الفكرة : من l'indice p لـ l'indice n ، نزيدو la raison n moins p مرّات . مثلا r égale trois quarts w U indice cent égale soixante-quatorze : U indice deux cent quarante-huit égale soixante-quatorze ، plus cent quarante-huit fois trois quarts ، يعني cent quatre-vingt-cinq . w بنفس الـ formule تلقى la raison كي تعرف زوز termes : r égale (U indice n moins U indice p) ، le tout sur (n moins p) .

Parfois on ne connaît pas U indice zéro, mais un autre terme, U indice p. On utilise alors : U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r. L'idée : de l'indice p à l'indice n, on ajoute la raison n moins p fois. Par exemple r égale trois quarts et U indice cent égale soixante-quatorze : U indice deux cent quarante-huit égale soixante-quatorze, plus cent quarante-huit fois trois quarts, donc cent quatre-vingt-cinq. Et la même formule donne la raison quand on connaît deux termes : r égale (U indice n moins U indice p), le tout sur (n moins p).

Soit (Un)(U_{n}) une suite arithmétique de premier terme U0U_{0} et de raison r.r. Alors :

Un=Up+(n−p) r,U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r, où nn et pp sont deux entiers naturels. En particulier, Un=U1+(n−1) r.U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r.

On n'a donc pas besoin de U0U_{0} : un terme quelconque et la raison suffisent. Et lorsque deux termes sont connus, la même égalité donne la raison : pour n≠p,n \ne p, r=Un−Upn−p.r = \dfrac{U_{n} - U_{p}}{n - p}.

n et p entiers naturels

Un=Up+(n−p) rU_{n} = U_{p} + (n - p)\,r

en particulier

Un=U1+(n−1) rU_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r

Démonstration

On a Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr et Up=U0+pr.U_{p} = U_{0} + pr. En retranchant membre à membre : Un−Up=nr−pr=(n−p) r,U_{n} - U_{p} = nr - pr = (n - p)\,r, donc Un=Up+(n−p) r.U_{n} = U_{p} + (n - p)\,r.

Exemple traité

  1. 1.Soit (Un)(U_{n}) la suite arithmétique de raison r=34r = \dfrac{3}{4} et telle que U100=74.U_{100} = 74. Détermine U248.U_{248}. 2. Calcule la raison d'une suite arithmétique (Vn)(V_{n}) sachant que V15=−12V_{15} = -12 et V24=15.V_{24} = 15.
  1. De U100 à U248 — On part de U100U_{100} et on ajoute 248−100=148248 - 100 = 148 fois la raison.U248=U100+(248−100)×34U_{248} = U_{100} + (248 - 100) \times \frac{3}{4}
  2. U248=74+148×34=74+111=185U_{248} = 74 + 148 \times \frac{3}{4} = 74 + 111 = 185
  3. La raison — De V15V_{15} à V24,V_{24}, il y a 24−15=924 - 15 = 9 pas.V24=V15+9r  ⟺  15=−12+9rV_{24} = V_{15} + 9r \iff 15 = -12 + 9r
  4. r=15−(−12)24−15=279=3r = \frac{15 - (-12)}{24 - 15} = \frac{27}{9} = 3
U248=185;r=3U_{248} = 185 \quad ; \quad r = 3

À ne pas faire : U248=74+248×34U_{248} = 74 + 248 \times \dfrac{3}{4} — U248=74+(248−100)×34=185U_{248} = 74 + (248 - 100) \times \dfrac{3}{4} = 185. On part de U100,U_{100}, pas de U0U_{0} : le nombre de pas est la différence des indices, 248−100.248 - 100.

À ne pas faire : U15=−12U_{15} = -12 et U24=15U_{24} = 15 donc r=15−(−12)=27r = 15 - (-12) = 27 — r=2724−15=3r = \dfrac{27}{24 - 15} = 3. 2727 est l'écart entre deux termes séparés par 99 pas : il faut le diviser par le nombre de pas.

13. Propriété

Représentation graphique

Ce qu’il dit

Ki n7ottou fi repère les points A indice n, elli l'abscisse mte3hom n w l'ordonnée mte3hom U indice n, nal9awhom el koll 3la droite wa7da. La pente mta3 la droite hedhi hiya la raison r, w l'ordonnée à l'origine hiya le premier terme U indice zéro. Mathalan V indice zéro égale un w r égale deux : les ordonnées houma un, trois, cinq, sept, w les points el koll 3la la droite y égale deux x plus un. Radd belek : la suite hiya les points bark, mouch la droite el koll.

كي نحطّو في repère les points A indice n ، اللي l'abscisse متاعهم n w l'ordonnée متاعهم U indice n ، نلقاوهم الكل على droite وحدة . la pente متاع الـ droite هاذي هي la raison r ، w l'ordonnée à l'origine هي le premier terme U indice zéro . مثلا V indice zéro égale un w r égale deux : les ordonnées هوما un ، trois ، cinq ، sept ، w les points الكل على la droite y égale deux x plus un . ردّ بالك : الـ suite هي les points برك ، موش الـ droite الكل .

Quand on place dans un repère les points A indice n, d'abscisse n et d'ordonnée U indice n, on les trouve tous sur une même droite. La pente de cette droite est la raison r, et l'ordonnée à l'origine est le premier terme U indice zéro. Par exemple V indice zéro égale un et r égale deux : les ordonnées sont un, trois, cinq, sept, et tous les points sont sur la droite y égale deux x plus un. Attention : la suite, ce sont seulement les points, pas la droite tout entière.

Soit (Un)(U_{n}) une suite arithmétique de premier terme U0U_{0} et de raison r.r.

Les points AnA_{n} de coordonnées (n,Un)(n, U_{n}) sont sur la droite de pente rr et d'ordonnée à l'origine le premier terme U0.U_{0}.

En effet Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr : le point An(n,Un)A_{n}(n, U_{n}) vérifie l'équation y=rx+U0.y = rx + U_{0}.

Représenter graphiquement la suite, c'est placer les points A0,A_{0}, A1,A_{1}, A2,A_{2}, … : des points d'abscisses entières, alignés sur cette droite.

1O1A₀A₁A₂A₃D
Les points Aₙ(n, Vₙ) sont alignés sur la droite D : y = 2x + 1.

Un repère orthonormé d'origine O. Quatre points sont placés : A0 d'abscisse 0 et d'ordonnée 1, A1 d'abscisse 1 et d'ordonnée 3, A2 d'abscisse 2 et d'ordonnée 5, A3 d'abscisse 3 et d'ordonnée 7. Chaque fois que l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée augmente de 2. Au palier 2, une droite D passe par les quatre points : c'est la droite d'équation y égale 2 x plus 1.

la droite qui porte les points Aₙ(n, Uₙ)

D:  y=rx+U0D : \; y = rx + U_{0}

Exemple traité

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Soit (Vn)(V_{n}) la suite arithmétique de premier terme V0=1V_{0} = 1 et de raison r=2.r = 2. Place les points A0,A_{0}, A1,A_{1}, A2A_{2} et A3,A_{3}, où AnA_{n} est le point d'abscisse nn et d'ordonnée Vn.V_{n}. Vérifie qu'ils sont sur une même droite D,D, puis montre que pour tout entier nn le point AnA_{n} appartient à D.D.

  1. Les termes — V0=1;V1=3;V2=5;V3=7V_{0} = 1 \quad ; \quad V_{1} = 3 \quad ; \quad V_{2} = 5 \quad ; \quad V_{3} = 7
  2. La droite — De A0A_{0} à A1,A_{1}, puis de A1A_{1} à A2,A_{2}, puis de A2A_{2} à A3A_{3} : l'abscisse augmente de 11 et l'ordonnée de 2.2. Les quatre points sont sur la droite de pente 22 passant par A0.A_{0}.D:  y=2x+1D : \; y = 2x + 1
  3. Pour tout n — Le terme général est Vn=1+2nV_{n} = 1 + 2n : les coordonnées de AnA_{n} vérifient l'équation de D.D.Vn=2×n+1doncAn∈DV_{n} = 2 \times n + 1 \quad \text{donc} \quad A_{n} \in D
D:  y=2x+1D : \; y = 2x + 1

À ne pas faire : La représentation graphique de la suite est la droite DD tout entière — Ce sont seulement les points A0,A_{0}, A1,A_{1}, A2,A_{2}, … de D,D, d'abscisses entières. Une suite n'a de termes que pour les indices entiers : il n'y a pas de terme d'indice 1,5.1{,}5.

14. Application

Exemple : lire le premier terme et la raison sur un graphique

Ce qu’il dit

Houni bel 3aks : 3andna la droite D, w n7ebbou nal9aw la suite. Na9raw zouz points : D tet3adda men le point d'abscisse zéro et d'ordonnée deux, w men le point d'abscisse quatre et d'ordonnée zéro. La pente égale (zéro moins deux) sur (quatre moins zéro), ya3ni moins un demi. Idhan U indice n égale moins un demi fois n, plus deux. Hedhi men la forme a n plus b, idhan la suite arithmétique : le premier terme U indice zéro égale deux, w la raison égale moins un demi.

هنا بالعكس : عندنا الـ droite D ، w نحبّو نلقاو الـ suite . نقراو زوز points : D تتعدّى من le point d'abscisse zéro et d'ordonnée deux ، w من le point d'abscisse quatre et d'ordonnée zéro . la pente égale (zéro moins deux) sur (quatre moins zéro) ، يعني moins un demi . إذن U indice n égale moins un demi fois n ، plus deux . هاذي من la forme a n plus b ، إذن الـ suite arithmétique : le premier terme U indice zéro égale deux ، w la raison égale moins un demi .

Ici c'est l'inverse : on a la droite D, et on cherche la suite. On lit deux points : D passe par le point d'abscisse zéro et d'ordonnée deux, et par le point d'abscisse quatre et d'ordonnée zéro. La pente égale (zéro moins deux) sur (quatre moins zéro), donc moins un demi. Donc U indice n égale moins un demi fois n, plus deux. C'est de la forme a n plus b, donc la suite est arithmétique : le premier terme U indice zéro égale deux, et la raison égale moins un demi.

Dans le graphique, DD est la droite qui contient les points An(n,Un),A_{n}(n, U_{n}), où (Un)(U_{n}) est une suite.

Montre que (Un)(U_{n}) est une suite arithmétique, et détermine son premier terme U0U_{0} et sa raison r.r.

24O11DA₀A₂A₄A₆
La droite D contient les points Aₙ(n, Uₙ).

Un repère d'origine O, avec l'unité 1 marquée sur chaque axe. Une droite D descend de gauche à droite. Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 2, passe par le point d'abscisse 2 et d'ordonnée 1, coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 4, puis passe par le point d'abscisse 6 et d'ordonnée moins 1. Quand l'abscisse augmente de 2, l'ordonnée diminue de 1.

Exemple traité

Montre que la suite est arithmétique et donne son premier terme et sa raison.

  1. Deux points de D — On lit deux points de la droite : celui d'abscisse 00 a pour ordonnée 2,2, celui d'abscisse 44 a pour ordonnée 0.0.
  2. La pente — 0−24−0=−12\frac{0 - 2}{4 - 0} = -\frac{1}{2}
  3. L'équation de D — L'ordonnée à l'origine est 2.2.D:  y=−12x+2D : \; y = -\frac{1}{2}x + 2
  4. La suite — Le point An,A_{n}, d'abscisse nn et d'ordonnée Un,U_{n}, est sur DD : UnU_{n} est de la forme an+b,an + b, donc la suite est arithmétique.Un=−12n+2U_{n} = -\frac{1}{2}n + 2
U0=2;r=−12U_{0} = 2 \quad ; \quad r = -\frac{1}{2}

À ne pas faire : La droite coupe l'axe des abscisses en 4,4, donc U0=4U_{0} = 4 — U0U_{0} est l'ordonnée du point d'abscisse 00 : U0=2U_{0} = 2. Le premier terme se lit sur l'axe des ordonnées, là où n=0.n = 0. Le point d'abscisse 44 dit seulement que U4=0.U_{4} = 0.

À ne pas faire : La droite descend de 22 à 0,0, donc r=−2r = -2 — Elle descend de 22 en 44 pas : r=−24=−12r = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}. La raison est la variation pour un pas : on divise l'écart des ordonnées par l'écart des abscisses.

15. Activité

Pour comprendre : les huit heures du cycliste

Ce qu’il dit

Cycliste mcha cent quatre-vingts kilomètres fi huit heures, w koll se3a yemchi trois kilomètres a9all mel se3a elli sab9etha. Nsammiw a el masefa mta3 l'heure numéro un. Elli ba3dha : a moins trois, a moins six, 7atta a moins vingt-et-un. Ki njam3ouhom : huit a moins quatre-vingt-quatre égale cent quatre-vingts, idhan a égale trente-trois. Ya3ni : trente-trois, trente, vingt-sept, w hakka 7atta douze. W chouf 7aja behya : le premier plus le dernier égale quarante-cinq, w le deuxième plus l'avant-dernier zeda quarante-cinq.

cycliste مشى cent quatre-vingts kilomètres في huit heures ، w كل ساعة يمشي trois kilomètres أقلّ من الساعة اللي سبقتها . نسمّيو a المسافة متاع l'heure numéro un . اللي بعدها : a moins trois ، a moins six ، حتّى a moins vingt-et-un . كي نجمعوهم : huit a moins quatre-vingt-quatre égale cent quatre-vingts ، إذن a égale trente-trois . يعني : trente-trois ، trente ، vingt-sept ، w هكّا حتّى douze . w شوف حاجة باهية : le premier plus le dernier égale quarante-cinq ، w le deuxième plus l'avant-dernier زادة quarante-cinq .

Un cycliste a parcouru cent quatre-vingts kilomètres en huit heures, et chaque heure il fait trois kilomètres de moins que l'heure précédente. On note a la distance de l'heure numéro un. Les suivantes : a moins trois, a moins six, jusqu'à a moins vingt-et-un. En les additionnant : huit a moins quatre-vingt-quatre égale cent quatre-vingts, donc a égale trente-trois. Cela donne : trente-trois, trente, vingt-sept, et ainsi de suite jusqu'à douze. Et regarde une belle chose : le premier plus le dernier égale quarante-cinq, et le deuxième plus l'avant-dernier aussi quarante-cinq.

Un cycliste a parcouru 180180 km en huit heures, et il a parcouru chaque heure 33 km de moins que l'heure précédente.

Combien de kilomètres a-t-il parcourus chaque heure ?

Exemple traité

Trouve la distance parcourue pendant chacune des huit heures.

  1. Les huit distances — On note aa la distance de la première heure, en kilomètres. Les distances sont huit termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison −3.-3.a  ;  a−3  ;  a−6  ;  a−9  ;  a−12  ;  a−15  ;  a−18  ;  a−21a \;;\; a - 3 \;;\; a - 6 \;;\; a - 9 \;;\; a - 12 \;;\; a - 15 \;;\; a - 18 \;;\; a - 21
  2. Leur somme — Huit fois a,a, moins 3+6+9+12+15+18+21=84.3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 = 84.8a−84=180  ⟺  8a=264  ⟺  a=338a - 84 = 180 \iff 8a = 264 \iff a = 33
  3. Heure par heure — 33  ;  30  ;  27  ;  24  ;  21  ;  18  ;  15  ;  1233 \;;\; 30 \;;\; 27 \;;\; 24 \;;\; 21 \;;\; 18 \;;\; 15 \;;\; 12
  4. Une remarque — Le premier et le dernier, le deuxième et l'avant-dernier… : chaque paire a la même somme.33+12=30+15=27+18=24+21=45;4×45=18033 + 12 = 30 + 15 = 27 + 18 = 24 + 21 = 45 \quad ; \quad 4 \times 45 = 180
33  ;  30  ;  27  ;  24  ;  21  ;  18  ;  15  ;  12 (en kilomeˋtres)33 \;;\; 30 \;;\; 27 \;;\; 24 \;;\; 21 \;;\; 18 \;;\; 15 \;;\; 12 \text{ (en kilomètres)}

16. Méthode

Compter les termes d'une somme

Ce qu’il dit

9bal ma na7sbou somme, lezem na3rfou 9addech fiha men terme. Men un l cent, famma cent termes. Ama men U indice zéro l U indice n, famma n plus un termes, 5ater na7sbou U indice zéro zeda. W fel 3moum : men U indice p l U indice n, famma n moins p plus un termes. Mathalan men U indice quarante-cinq l U indice trois cent quatre-vingt-un : trois cent quatre-vingt-un moins quarante-cinq plus un, ya3ni trois cent trente-sept termes. Ma tensech el plus un.

قْبَلْ ما نحسبو somme ، لازم نعرفو قدّاش فيها من terme . من un لـ cent ، فمّا cent termes . أما من U indice zéro لـ U indice n ، فمّا n plus un termes ، خاطر نحسبو U indice zéro زادة . w في العموم : من U indice p لـ U indice n ، فمّا n moins p plus un termes . مثلا من U indice quarante-cinq لـ U indice trois cent quatre-vingt-un : trois cent quatre-vingt-un moins quarante-cinq plus un ، يعني trois cent trente-sept termes . ما تنساش الـ plus un .

Avant de calculer une somme, il faut savoir combien elle a de termes. De un à cent, il y a cent termes. Mais de U indice zéro à U indice n, il y a n plus un termes, car on compte aussi U indice zéro. Et en général : de U indice p à U indice n, il y a n moins p plus un termes. Par exemple de U indice quarante-cinq à U indice trois cent quatre-vingt-un : trois cent quatre-vingt-un moins quarante-cinq plus un, donc trois cent trente-sept termes. N'oublie pas le plus un.

Avant de calculer une somme, on compte ses termes. Détermine le nombre de termes de chacune des sommes suivantes :

  • A=1+2+3+…+99+100A = 1 + 2 + 3 + \ldots + 99 + 100 ;
  • B=112+113+114+…+1121+1122B = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{13} + \dfrac{1}{14} + \ldots + \dfrac{1}{121} + \dfrac{1}{122} ;
  • C=1+3+5+7+…+73+75C = 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 73 + 75 ;
  • D=1+2+4+…+2n−1+2nD = 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1} + 2^{n} ;
  • E=U0+U1+…+UnE = U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} ;
  • F=U45+U46+…+U381.F = U_{45} + U_{46} + \ldots + U_{381}.

On retient : de l'indice pp à l'indice nn (avec p≤np \le n), il y a n−p+1n - p + 1 termes.

le nombre de termes

Up+Up+1+…+Un:n−p+1 termesU_{p} + U_{p+1} + \ldots + U_{n} \quad : \quad n - p + 1 \text{ termes}

Exemple traité

Compte les termes des six sommes.

  1. A et B — De 11 à 100100 : 100100 termes. De 1212 à 122122 : on compte les dénominateurs.122−12+1=111122 - 12 + 1 = 111
  2. C — Les impairs 1,1, 3,3, …, 7575 s'écrivent 2k+12k + 1 avec kk de 00 à 37.37.75=2×37+1donc37−0+1=38 termes75 = 2 \times 37 + 1 \quad \text{donc} \quad 37 - 0 + 1 = 38 \text{ termes}
  3. D et E — DD est la somme des 2k2^{k} pour kk de 00 à nn ; EE va de l'indice 00 à l'indice n.n.n−0+1=n+1 termesn - 0 + 1 = n + 1 \text{ termes}
  4. F — 381−45+1=337 termes381 - 45 + 1 = 337 \text{ termes}
A:100;B:111;C:38;D:n+1;E:n+1;F:337A : 100 \quad ; \quad B : 111 \quad ; \quad C : 38 \quad ; \quad D : n + 1 \quad ; \quad E : n + 1 \quad ; \quad F : 337

À ne pas faire : U45+U46+…+U381U_{45} + U_{46} + \ldots + U_{381} a 381−45=336381 - 45 = 336 termes — Elle a 381−45+1=337381 - 45 + 1 = 337 termes. La différence des indices compte les pas, pas les termes : de U45U_{45} à U46U_{46} il y a un pas, mais deux termes.

À ne pas faire : U0+U1+…+UnU_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} a nn termes — Elle a n+1n + 1 termes. On commence à l'indice 00 : U0U_{0} compte aussi.

17. Théorème

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

Ce qu’il dit

La somme mta3 n termes consécutifs mta3 suite arithmétique : S égale n fois (a plus b), le tout sur deux. a houwa le premier terme mta3 la somme, w b houwa le dernier. Ya3ni : le nombre de termes, fois le premier plus le dernier, le tout sur deux. 3lech ? Nektbou la somme marrtin, marra men a l b w marra men b l a. Koll zouz termes fou9 b3adhhom ya3tiw a plus b, w 3andna n menhom, idhan deux S égale n fois (a plus b). Mathalan un plus deux plus trois 7atta cent : cent fois cent un, le tout sur deux, ya3ni cinq mille cinquante.

la somme متاع n termes consécutifs متاع suite arithmétique : S égale n fois (a plus b) ، le tout sur deux . a هو le premier terme متاع الـ somme ، w b هو le dernier . يعني : le nombre de termes ، fois le premier plus le dernier ، le tout sur deux . علاش ؟ نكتبو الـ somme مرّتين ، مرّة من a لـ b w مرّة من b لـ a . كل زوز termes فوق بعضهم يعطيو a plus b ، w عندنا n منهم ، إذن deux S égale n fois (a plus b) . مثلا un plus deux plus trois حتّى cent : cent fois cent un ، le tout sur deux ، يعني cinq mille cinquante .

La somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique : S égale n fois (a plus b), le tout sur deux. a est le premier terme de la somme, et b le dernier. Autrement dit : le nombre de termes, fois le premier plus le dernier, le tout sur deux. Pourquoi ? On écrit la somme deux fois, une fois de a à b et une fois de b à a. Deux termes l'un sous l'autre donnent toujours a plus b, et il y en a n, donc deux S égale n fois (a plus b). Par exemple un plus deux plus trois jusqu'à cent : cent fois cent un, le tout sur deux, donc cinq mille cinquante.

La somme SS de nn termes consécutifs d'une suite arithmétique est S=n×a+b2,S = n \times \dfrac{a + b}{2}, où aa est le premier terme de cette somme et bb est le dernier terme.

En mots : SS est égale au nombre de termes multiplié par la demi-somme du premier terme de la somme et du dernier terme.

En particulier, pour tout entier naturel non nul nn : 1+2+3+…+n=n(n+1)2.1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.

n termes, du premier a au dernier b

S=n×a+b2S = n \times \frac{a + b}{2}

les n premiers entiers

1+2+3+…+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}

Démonstration

Soit SS la somme de nn termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison r,r, aa le premier terme de cette somme et bb le dernier. On range les termes de deux manières. Du premier au dernier : S=a+(a+r)+(a+2r)+…+[a+(n−1)r].S = a + (a + r) + (a + 2r) + \ldots + [a + (n - 1)r]. Du dernier au premier : S=b+(b−r)+(b−2r)+…+[b−(n−1)r].S = b + (b - r) + (b - 2r) + \ldots + [b - (n - 1)r]. On ajoute membre à membre, terme à terme : a+b,a + b, puis (a+r)+(b−r)=a+b,(a + r) + (b - r) = a + b, puis (a+2r)+(b−2r)=a+b,(a + 2r) + (b - 2r) = a + b, … Chacune des nn paires vaut a+b.a + b. Donc 2S=n(a+b),2S = n(a + b), d'où S=n×a+b2.S = n \times \dfrac{a + b}{2}.

Exemple traité

  1. 1.Calcule S=1+2+…+99+100.S = 1 + 2 + \ldots + 99 + 100. 2. Calcule S′=500+501+…+1999+2000.S' = 500 + 501 + \ldots + 1999 + 2000.
  1. Deux fois S — On écrit SS dans les deux sens et on ajoute : 1+100,1 + 100, 2+99,2 + 99, …, 100+1.100 + 1. Cela fait 100100 paires de somme 101.101.2S=100×101=10 1002S = 100 \times 101 = 10\,100
  2. S=100×1012=5050S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050
  3. Les termes de la seconde somme — De 500500 à 2000.2000.2000−500+1=1501 termes2000 - 500 + 1 = 1501 \text{ termes}
  4. La formule — Premier terme 500,500, dernier terme 2000.2000.S′=1501×500+20002=1501×1250=1 876 250S' = 1501 \times \frac{500 + 2000}{2} = 1501 \times 1250 = 1\,876\,250
S=5050;S′=1 876 250S = 5050 \quad ; \quad S' = 1\,876\,250S égale 5050; S prime égale 1 876 250S égale 5050; S prime égale un million huit cent soixante-seize mille deux cent cinquante

À ne pas faire : 500+501+…+2000=1500×500+20002500 + 501 + \ldots + 2000 = 1500 \times \dfrac{500 + 2000}{2} — 1501×500+20002=1 876 2501501 \times \dfrac{500 + 2000}{2} = 1\,876\,250. De 500500 à 20002000 il y a 2000−500+1=15012000 - 500 + 1 = 1501 termes : on compte les termes avant d'appliquer la formule.

À ne pas faire : U0+U1+…+Un=n×U0+Un2U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} = n \times \dfrac{U_{0} + U_{n}}{2} — U0+U1+…+Un=(n+1)×U0+Un2U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{n} = (n + 1) \times \dfrac{U_{0} + U_{n}}{2}. Dans la formule, nn désigne le nombre de termes, pas le dernier indice : ici il y en a n+1.n + 1.

18. Application

Exemple : le prix d'un puits

Ce qu’il dit

N7ebbou na7frou puits : le premier mètre b cinquante dinars, w koll mètre yzid dix dinars 3la elli sab9ou. Les prix ya3mlou suite arithmétique, la raison dix. Le quinzième mètre : cinquante plus quatorze fois dix, ya3ni cent quatre-vingt-dix. Radd belek : quatorze, mouch quinze. El puits el koll : quinze fois (cinquante plus cent quatre-vingt-dix), le tout sur deux, ya3ni mille huit cents dinars. W b mille dinars, nouslou l dix mètres bark : dix mètres b neuf cent cinquante, w onze mètres b mille cent.

نحبّو نحفرو puits : le premier mètre بـ cinquante dinars ، w كل mètre يزيد dix dinars على اللي سبقو . les prix يعملو suite arithmétique ، la raison dix . le quinzième mètre : cinquante plus quatorze fois dix ، يعني cent quatre-vingt-dix . ردّ بالك : quatorze ، موش quinze . الـ puits الكل : quinze fois (cinquante plus cent quatre-vingt-dix) ، le tout sur deux ، يعني mille huit cents dinars . w بـ mille dinars ، نوصلو لـ dix mètres برك : dix mètres بـ neuf cent cinquante ، w onze mètres بـ mille cent .

On veut creuser un puits : le premier mètre coûte cinquante dinars, et chaque mètre coûte dix dinars de plus que le précédent. Les prix forment une suite arithmétique de raison dix. Le quinzième mètre : cinquante plus quatorze fois dix, donc cent quatre-vingt-dix. Attention : quatorze, pas quinze. Le puits entier : quinze fois (cinquante plus cent quatre-vingt-dix), le tout sur deux, donc mille huit cents dinars. Et avec mille dinars, on atteint seulement dix mètres : dix mètres coûtent neuf cent cinquante, et onze mètres mille cent.

On veut creuser un puits. Le premier mètre coûte 5050 dinars, le deuxième mètre coûte 6060 dinars, le troisième mètre coûte 7070 dinars et ainsi de suite, en augmentant de 1010 dinars à chaque mètre.

  1. 1.Combien coûtera le puits si l'on creuse 1515 mètres ?
  2. 2.Quelle profondeur, en nombre entier de mètres, pourrait-on atteindre si l'on disposait d'un budget de 10001000 dinars ?

Exemple traité

Les deux questions.

  1. La suite des prix — Les prix des mètres successifs sont les termes d'une suite arithmétique de premier terme 5050 et de raison 10.10. Le 15e15^{\text{e}} mètre est à 1414 pas du premier.50+14×10=19050 + 14 \times 10 = 190
  2. Quinze mètres — Quinze termes, du premier 5050 au dernier 190.190.S=15×50+1902=15×120=1800S = 15 \times \frac{50 + 190}{2} = 15 \times 120 = 1800
  3. n mètres — Le mètre numéro nn coûte 50+10(n−1)=10n+4050 + 10(n - 1) = 10n + 40 dinars.Sn=n×50+10n+402=n(5n+45)S_{n} = n \times \frac{50 + 10n + 40}{2} = n(5n + 45)
  4. Le budget — On cherche le plus grand entier nn tel que n(5n+45)≤1000.n(5n + 45) \le 1000.10×95=950≤1000;11×100=1100>100010 \times 95 = 950 \le 1000 \quad ; \quad 11 \times 100 = 1100 > 1000
1800 dinars pour 15 meˋtres;10 meˋtres avec 1000 dinars1800 \text{ dinars pour } 15 \text{ mètres} \quad ; \quad 10 \text{ mètres avec } 1000 \text{ dinars}

À ne pas faire : Le 15e15^{\text{e}} mètre coûte 50+15×10=20050 + 15 \times 10 = 200 dinars — Il coûte 50+14×10=19050 + 14 \times 10 = 190 dinars. Le premier terme est le prix du mètre numéro 11 : du premier au quinzième il y a 1414 pas. C'est Un=U1+(n−1)r.U_{n} = U_{1} + (n - 1)r.

19. Activité

Un problème pour aller plus loin : des cercles tangents

Ce qu’il dit

3andna des cercles tangents fi O, les diamètres mte3hom un, deux, trois centimètres w hakka. a indice n hiya l'aire mta3 la portion elli bin cercle w elli ba3dou. Na7sbouha bettar7 : l'aire mta3 le disque el kbir moins l'aire mta3 es-sghir. Nal9aw a indice n égale (deux n plus un) fois pi, le tout sur quatre. Hedhi men la forme a n plus b, idhan suite arithmétique : le premier terme pi sur quatre, w la raison pi sur deux. W la somme mta3 les aires el koll hiya l'aire mta3 le disque le5er : pi fois (n plus un) au carré, le tout sur quatre.

عندنا des cercles tangents في O ، les diamètres متاعهم un ، deux ، trois centimètres w هكّا . a indice n هي l'aire متاع la portion اللي بين cercle w اللي بعدو . نحسبوها بالطرح : l'aire متاع الـ disque الكبير moins l'aire متاع الصغير . نلقاو a indice n égale (deux n plus un) fois pi ، le tout sur quatre . هاذي من la forme a n plus b ، إذن suite arithmétique : le premier terme pi sur quatre ، w la raison pi sur deux . w la somme متاع les aires الكل هي l'aire متاع الـ disque الأخير : pi fois (n plus un) au carré ، le tout sur quatre .

Nous avons des cercles tangents en O, de diamètres un, deux, trois centimètres et ainsi de suite. a indice n est l'aire de la portion comprise entre un cercle et le suivant. On la calcule par différence : l'aire du grand disque moins l'aire du petit. On trouve a indice n égale (deux n plus un) fois pi, le tout sur quatre. C'est de la forme a n plus b, donc une suite arithmétique : premier terme pi sur quatre, et raison pi sur deux. Et la somme de toutes ces aires est l'aire du dernier disque : pi fois (n plus un) au carré, le tout sur quatre.

La figure représente des cercles C0,C_{0}, C1,C_{1}, C2,C_{2}, … tangents en O.O. Les diamètres de ces cercles sont respectivement égaux à 11 cm, 22 cm, 33 cm, … On désigne par :

  • a0a_{0} l'aire du disque de frontière C0C_{0} ;
  • a1a_{1} l'aire de la portion du plan comprise entre C0C_{0} et C1C_{1} ;
  • a2a_{2} l'aire de la portion du plan comprise entre C1C_{1} et C2C_{2} ;
  • et, pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1,1, ana_{n} l'aire de la portion du plan comprise entre Cn−1C_{n-1} et Cn.C_{n}.
  1. 1.Calcule ana_{n} en fonction de n.n.
  2. 2.Montre que (an)(a_{n}) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.
  3. 3.Soit S=a0+a1+a2+…+an.S = a_{0} + a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n}. Calcule SS de deux manières différentes.
C₀C₁C₂C₃O1234
Les cercles C₀, C₁, C₂, C₃ sont tangents en O ; leurs diamètres valent 1, 2, 3 et 4 cm.

Quatre cercles C0, C1, C2 et C3, tous tangents en un même point O, placé à gauche. Leurs centres sont sur une même demi-droite horizontale d'origine O, graduée 1, 2, 3, 4 : le cercle C0 a pour diamètre 1, C1 a pour diamètre 2, C2 a pour diamètre 3 et C3 a pour diamètre 4. Chaque cercle contient le précédent. Le disque limité par C0 a pour aire a0 ; la portion du plan comprise entre C0 et C1 a pour aire a1 ; celle comprise entre C1 et C2, a2 ; celle comprise entre C2 et C3, a3.

Exemple traité

Les trois questions.

  1. Le grand disque — Son diamètre est n+1,n + 1, son rayon n+12.\dfrac{n + 1}{2}.π×(n+12)2=π4(n+1)2\pi \times \left(\frac{n + 1}{2}\right)^{2} = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2}
  2. L'aire par différence — Pour n≥1,n \ge 1, on retranche l'aire du disque de frontière Cn−1.C_{n-1}.an=π4(n+1)2−π4n2=π4(2n+1)a_{n} = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2} - \frac{\pi}{4}n^{2} = \frac{\pi}{4}(2n + 1)L'aire par différence. Pour n≥1,n \ge 1, on retranche l'aire du disque de frontière C indice (n moins un).L'aire par différence. Pour n supérieur ou égal à 1, on retranche l'aire du disque de frontière C indice (n moins un).
  3. Une suite arithmétique — La formule donne aussi a0=π4.a_{0} = \dfrac{\pi}{4}. Elle est de la forme an+ban + b : premier terme π4,\dfrac{\pi}{4}, raison π2.\dfrac{\pi}{2}.an=π2 n+π4a_{n} = \frac{\pi}{2}\,n + \frac{\pi}{4}
  4. S, première manière — Les portions réunies remplissent le disque de frontière Cn.C_{n}.S=π4(n+1)2S = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2}
  5. S, seconde manière — Par la formule : n+1n + 1 termes, de a0a_{0} à an.a_{n}.S=(n+1)×a0+an2=(n+1)×π8(2n+2)=π4(n+1)2S = (n + 1) \times \frac{a_{0} + a_{n}}{2} = (n + 1) \times \frac{\pi}{8}(2n + 2) = \frac{\pi}{4}(n + 1)^{2}
an=π×(2n+1)4;S=π×(n+1)24a_{n} = \frac{\pi \times (2n + 1)}{4} \quad ; \quad S = \frac{\pi \times (n + 1)^{2}}{4}

À ne pas faire : Le disque de frontière CnC_{n} a pour aire π(n+1)2\pi (n + 1)^{2} — Son aire est π×(n+12)2=π4(n+1)2\pi \times \left(\dfrac{n + 1}{2}\right)^{2} = \dfrac{\pi}{4}(n + 1)^{2}. n+1n + 1 est le diamètre : l'aire d'un disque se calcule avec le rayon, la moitié du diamètre.

20. Activité

Un problème pour aller plus loin : la somme des cubes

Ce qu’il dit

Nsammiw U indice n la somme : un plus deux plus trois 7atta n. Nersmou carré le côté mte3ou U indice n, w de5lou carré le côté mte3ou U indice (n moins un). La bande elli binethom, l'aire mte3ha hiya U indice n au carré, moins U indice (n moins un) au carré. Nesta3mlou l'identité a au carré moins b au carré : la différence mte3hom n, w la somme mte3hom n au carré. Idhan l'aire mta3 la bande égale n au cube. W ki njam3ou les bandes el koll, nal9aw le carré el kbir : la somme des cubes men un l n égale la somme un plus deux 7atta n, le tout au carré.

نسمّيو U indice n la somme : un plus deux plus trois حتّى n . نرسمو carré الـ côté متاعو U indice n ، w داخلو carré الـ côté متاعو U indice (n moins un) . الـ bande اللي بيناتهم ، l'aire متاعها هي U indice n au carré ، moins U indice (n moins un) au carré . نستعملو l'identité a au carré moins b au carré : la différence متاعهم n ، w la somme متاعهم n au carré . إذن l'aire متاع الـ bande égale n au cube . w كي نجمعو les bandes الكل ، نلقاو الـ carré الكبير : la somme des cubes من un لـ n égale la somme un plus deux حتّى n ، le tout au carré .

On note U indice n la somme : un plus deux plus trois jusqu'à n. On dessine un carré de côté U indice n, et à l'intérieur un carré de côté U indice (n moins un). La bande entre les deux a pour aire U indice n au carré, moins U indice (n moins un) au carré. On utilise l'identité a au carré moins b au carré : leur différence vaut n, et leur somme vaut n au carré. Donc l'aire de la bande égale n au cube. Et en réunissant toutes les bandes, on retrouve le grand carré : la somme des cubes de un à n égale la somme un plus deux jusqu'à n, le tout au carré.

On désigne par UnU_{n} la somme des nn premiers entiers naturels non nuls : Un=1+2+…+n.U_{n} = 1 + 2 + \ldots + n.

  1. 1.Montre que, pour tout entier naturel n>1,n > 1, l'aire de la bande délimitée par les carrés de côtés Un−1U_{n-1} et UnU_{n} est égale à n3.n^{3}.
  2. 2.Déduis-en l'égalité 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2.1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}.

Cette démonstration, à la fois algébrique et géométrique, est due au mathématicien Al Karagi (fin du Xᵉ siècle – début du XIᵉ siècle).

Uₙ₋₁Uₙn
La bande comprise entre le carré de côté Uₙ₋₁ et le carré de côté Uₙ.

Un grand carré de côté U indice n. Dans son coin en bas à gauche, un carré plus petit, de côté U indice n moins 1. La partie du grand carré qui n'est pas dans le petit est hachurée : c'est une bande en forme de L renversé, qui longe le côté droit et le côté du haut du grand carré. Sa largeur est la différence des deux côtés, c'est-à-dire n.

la somme des cubes

13+23+…+n3=(1+2+…+n)21^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}

Exemple traité

Les deux questions.

  1. L'aire de la bande — Elle est la différence des aires des deux carrés.Un2−Un−12=(Un−Un−1)(Un+Un−1)U_{n}^{2} - U_{n-1}^{2} = (U_{n} - U_{n-1})(U_{n} + U_{n-1})
  2. Les deux facteurs — On passe de Un−1U_{n-1} à UnU_{n} en ajoutant nn ; et Un=n(n+1)2,U_{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2}, Un−1=(n−1)n2.U_{n-1} = \dfrac{(n - 1)n}{2}.Un−Un−1=n;Un+Un−1=n(n+1)+n(n−1)2=n2U_{n} - U_{n-1} = n \quad ; \quad U_{n} + U_{n-1} = \frac{n(n + 1) + n(n - 1)}{2} = n^{2}Les deux facteurs. On passe de U indice (n moins un) à UnU_{n} en ajoutant nn ; et Un=n(n+1)2,U_{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2}, U indice (n moins un) égale la parenthèse n moins 1, fois n, le tout sur 2.Les deux facteurs. On passe de U indice (n moins un) à U indice n en ajoutant n; et U indice n égale n fois la parenthèse n plus 1, le tout sur 2, U indice (n moins un) égale la parenthèse n moins 1, fois n, le tout sur 2.
  3. Un2−Un−12=n×n2=n3U_{n}^{2} - U_{n-1}^{2} = n \times n^{2} = n^{3}
  4. On empile les bandes — Le carré de côté UnU_{n} est fait du carré de côté U1=1,U_{1} = 1, d'aire 13,1^{3}, et des bandes d'aires 23,2^{3}, 33,3^{3}, …, n3.n^{3}.Un2=13+23+…+n3U_{n}^{2} = 1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3}
  5. Une vérification — 13+23+33=36;(1+2+3)2=361^{3} + 2^{3} + 3^{3} = 36 \quad ; \quad (1 + 2 + 3)^{2} = 36
13+23+…+n3=(1+2+…+n)21^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu'il faut retenir :

  1. Une suite (Un)(U_{n}) associe à tout entier naturel n≥n0n \ge n_{0} un réel unique Un,U_{n}, son terme général.Suite : l koll entier naturel n, men n indice zéro w enti tala3, 3andna réel wa7ed, U indice n, w houwa le terme général.Une suite : à chaque entier naturel n, à partir de n indice zéro, correspond un seul réel, U indice n ; c'est le terme général.
  2. Une suite est définie par son terme général, ou par son premier terme et une relation de récurrence.Suite tet3ata b le terme général, walla b le premier terme w relation de récurrence.Une suite est donnée par son terme général, ou par son premier terme et une relation de récurrence.
  3. (Un)(U_{n}) est arithmétique de raison rr si Un+1=Un+rU_{n+1} = U_{n} + r pour tout entier naturel n.n.Suite arithmétique de raison r : U indice (n plus un) égale U indice n, plus r, pour tout entier naturel n.Une suite arithmétique de raison r : U indice (n plus un) égale U indice n, plus r, pour tout entier naturel n.
  4. Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr ; Un=Up+(n−p) rU_{n} = U_{p} + (n - p)\,r ; en particulier Un=U1+(n−1) r.U_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r.U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. W U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r.U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. Et U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r.
  5. Les points An(n,Un)A_{n}(n, U_{n}) sont sur la droite de pente rr et d'ordonnée à l'origine U0.U_{0}.Les points A indice n 3la la droite elli la pente mte3ha r, w l'ordonnée à l'origine mte3ha U indice zéro.Les points A indice n sont sur la droite de pente r et d'ordonnée à l'origine U indice zéro.
  6. De UpU_{p} à Un,U_{n}, il y a n−p+1n - p + 1 termes.Men U indice p l U indice n, famma n moins p plus un termes.De U indice p à U indice n, il y a n moins p plus un termes.
  7. Somme de nn termes consécutifs : S=n×a+b2,S = n \times \dfrac{a + b}{2}, où aa est le premier terme de la somme et bb le dernier ; 1+2+3+…+n=n(n+1)2.1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.La somme : le nombre de termes, fois la somme du premier et du dernier, le tout sur deux. W un plus deux plus trois 7atta n égale n fois (n plus un), le tout sur deux.La somme : le nombre de termes, fois la somme du premier et du dernier, le tout sur deux. Et un plus deux plus trois jusqu'à n égale n fois (n plus un), le tout sur deux.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna les suites arithmétiques. Tfakker : bech tet3adda men terme lelli ba3dou, tzid dima la raison r. U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. W la somme hiya le nombre de termes, fois la somme du premier et du dernier, le tout sur deux. Yalla lel exercices.

هكّا كمّلنا les suites arithmétiques . تفكّر : باش تتعدّى من terme للّي بعدو ، تزيد ديما la raison r . U indice n égale U indice zéro ، plus n fois r . w la somme هي le nombre de termes ، fois la somme du premier et du dernier ، le tout sur deux . يالله للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé les suites arithmétiques. Retiens : pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours la raison r. U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. Et la somme, c'est le nombre de termes, fois la somme du premier et du dernier, le tout sur deux. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Suite de nombres réels

  • chnowa hiya suite
  • c'est quoi une suite
  • définition d'une suite
  • suite ma3neha chnowa

Ce qu’il répond

Suite hiya liste mta3 réels mrattbin : l koll entier naturel n, men $n_{0}$ w enti tala3, 3andna réel wa7ed, nsammiwah $U_{n}$. Mathalan les entiers pairs : 0, 2, 4, 6, w hakka.

suite هي liste متاع réels مرتّبين : لكل entier naturel n ، من n indice zéro w إنت طالع ، عندنا réel واحد ، نسمّيوه U indice n . مثلا les entiers pairs : zéro ، deux ، quatre ، six ، w هكّا .

Une suite est une liste de réels rangés : à chaque entier naturel n, à partir de n indice zéro, correspond un seul réel, noté U indice n. Par exemple les entiers pairs : zéro, deux, quatre, six, et ainsi de suite.

Question 2 · Suite de nombres réels

  • chnowa ma3neha l'indice
  • c'est quoi l'indice dans Un
  • comment lire U indice n
  • kifech na9ra l'indice

Ce qu’il répond

$U_{n}$ na9rawha « U indice n ». n houwa l'indice : y9oul le terme hedha fi ayy blasa. $U_{3}$ houwa le terme elli l'indice mte3ou 3. L'indice yetekteb sghir w louta, mouch puissance.

U indice n نقراوها « U indice n » . n هو l'indice : يقول الـ terme هاذا في أيّ بلاصة . U indice trois هو le terme اللي l'indice متاعو trois . l'indice يتكتب صغير w لوطة ، موش puissance .

U indice n se lit « U indice n ». n est l'indice : il dit à quelle place se trouve ce terme. U indice trois est le terme dont l'indice est trois. L'indice s'écrit petit et en bas, ce n'est pas une puissance.

Question 3 · Suite de nombres réels

  • 3lech n7ottou parenthèses
  • différence entre Un avec parenthèses et sans parenthèses
  • Un bel parenthèses w blech parenthèses chnowa el far9

Ce qu’il répond

Blech parenthèses, $U_{n}$ houwa nombre wa7ed : le terme elli l'indice mte3ou n. Bel parenthèses, $(U_{n})$, na7kiw 3la la suite el koll, ya3ni les termes el koll m3a b3adhhom.

بلاش parenthèses ، U indice n هو nombre واحد : le terme اللي l'indice متاعو n . بالـ parenthèses ، نحكيو على الـ suite الكل ، يعني les termes الكل مع بعضهم .

Sans parenthèses, U indice n est un seul nombre : le terme d'indice n. Avec les parenthèses, on parle de la suite tout entière, c'est-à-dire de tous ses termes ensemble.

Question 4 · Exemple : calculer des termes et changer d'indice

  • 3lech le cinquième terme houwa U4
  • le cinquième terme c'est U5 ou U4
  • 3lech le centième terme houwa U99
  • cinquième terme kifech nal9ah

Ce qu’il répond

5ater la suite tabda men $U_{0}$. Le premier terme houwa $U_{0}$, elli ba3dou $U_{1}$, w ki tousel l le cinquième terme tal9a $U_{4}$. L'indice dima ne9es 1 3la le rang : le centième terme houwa $U_{99}$. W ken la suite tabda men $U_{1}$, wa9tha le cinquième terme houwa $U_{5}$.

خاطر الـ suite تبدا من U indice zéro . le premier terme هو U indice zéro ، اللي بعدو U indice un ، w كي توصل لـ le cinquième terme تلقى U indice quatre . l'indice ديما ناقص un على le rang : le centième terme هو U indice quatre-vingt-dix-neuf . w كان الـ suite تبدا من U indice un ، وقتها le cinquième terme هو U indice cinq .

Parce que la suite commence à U indice zéro. Le premier terme est U indice zéro, le suivant U indice un, et en arrivant au cinquième terme on trouve U indice quatre. L'indice a toujours un de moins que le rang : le centième terme est U indice quatre-vingt-dix-neuf. Et si la suite commence à U indice un, alors le cinquième terme est U indice cinq.

Question 5 · Exemple : calculer des termes et changer d'indice

  • différence entre U(n+1) et Un + 1
  • U indice n+1 kif kif Un + 1 ?
  • chnowa el far9 bin U(n+1) w Un+1

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un=n2:Un+1=(n+1)2≠n2+1U_{n} = n^{2} \quad : \quad U_{n+1} = (n + 1)^{2} \ne n^{2} + 1

Ce qu’il répond

Mouch kif kif. $U_{n+1}$ houwa le terme elli ba3d $U_{n}$ : nbaddlou n b n + 1 fel formule. Ama $U_{n} + 1$, houwa le terme $U_{n}$ w nzidouh 1. Mathalan ken $U_{n} = n^{2}$ : $U_{n+1} = (n + 1)^{2}$, mouch $n^{2} + 1$.

موش كيف كيف . U indice (n plus un) هو le terme اللي بعد U indice n : نبدّلو n بـ n plus un في الـ formule . أما U indice n ، plus un ، هو le terme U indice n w نزيدوه un . مثلا كان U indice n égale n au carré : U indice (n plus un) égale (n plus un) au carré ، موش n au carré plus un .

Ce n'est pas la même chose. U indice (n plus un) est le terme qui suit U indice n : on remplace n par n plus un dans la formule. Alors que U indice n, plus un, c'est le terme U indice n auquel on ajoute un. Par exemple si U indice n égale n au carré : U indice (n plus un) égale (n plus un) au carré, et non n au carré plus un.

Question 6 · Suite de nombres réels

  • c'est quoi le terme général
  • chnowa le terme général
  • terme général ma3neha chnowa

Ce qu’il répond

Le terme général houwa $U_{n}$ maktoub b n : formule ta3tik ayy terme ki tbaddel n b l'indice elli t7ebb. Mathalan $U_{n} = 2n$ : $U_{10} = 20$.

le terme général هو U indice n مكتوب بـ n : formule تعطيك أيّ terme كي تبدّل n بـ l'indice اللي تحبّ . مثلا U indice n égale deux n : U indice dix égale vingt .

Le terme général, c'est U indice n écrit en fonction de n : une formule qui donne n'importe quel terme quand on remplace n par l'indice voulu. Par exemple U indice n égale deux n : U indice dix égale vingt.

Question 7 · Deux façons de présenter une suite

  • c'est quoi une relation de récurrence
  • chnowa relation de récurrence
  • récurrence ma3neha chnowa

Ce qu’il répond

Relation de récurrence hiya relation ta3tik terme men le terme elli sab9ou. Mathalan $t_{n+1} = \frac{1}{2}t_{n} - 3$. M3aha lezmek le premier terme, w temchi darja darja : bech ta7seb $t_{3}$, lezmek $t_{2}$.

relation de récurrence هي relation تعطيك terme من le terme اللي سبقو . مثلا t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n ، moins trois . معاها لازمك le premier terme ، w تمشي درجة درجة : باش تحسب t indice trois ، لازمك t indice deux .

Une relation de récurrence est une relation qui donne un terme à partir du terme précédent. Par exemple t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins trois. Il faut aussi le premier terme, et on avance pas à pas : pour calculer t indice trois, il faut t indice deux.

Question 8 · Deux façons de présenter une suite

  • différence entre terme général et relation de récurrence
  • chnowa el far9 bin terme général w récurrence
  • terme général walla récurrence chnowa a7sen

Ce qu’il répond

B le terme général, ta7seb ayy terme toul : tbaddel n w kahaw. B la relation de récurrence, lezmek ta7seb les termes wa7ed wa7ed, men le premier terme. Ezzouz y3arrfou nafs la suite, ama le terme général asra3 ki t7ebb terme b3id, kima $U_{1000}$.

بـ le terme général ، تحسب أيّ terme طول : تبدّل n w كهو . بـ la relation de récurrence ، لازمك تحسب les termes واحد واحد ، من le premier terme . الزوز يعرّفو نفس الـ suite ، أما le terme général أسرع كي تحبّ terme بعيد ، كيما U indice mille .

Avec le terme général, on calcule directement n'importe quel terme : on remplace n, c'est tout. Avec la relation de récurrence, il faut calculer les termes un par un, à partir du premier terme. Les deux définissent la même suite, mais le terme général est plus rapide pour un terme lointain, comme U indice mille.

Question 9 · Suite arithmétique

  • c'est quoi une suite arithmétique
  • chnowa suite arithmétique
  • définition d'une suite arithmétique

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un+1=Un+rU_{n+1} = U_{n} + r

Ce qu’il répond

Suite arithmétique hiya suite net3addew fiha men ayy terme lelli ba3dou b zyedet nafs le réel r, w r nsammiwah la raison. Nektbou : $U_{n+1} = U_{n} + r$. Mathalan 3, 8, 13, 18 : la raison 5.

suite arithmétique هي suite نتعدّاو فيها من أيّ terme للّي بعدو بزيادة نفس الـ réel r ، w r نسمّيوه la raison . نكتبو : U indice (n plus un) égale U indice n ، plus r . مثلا trois ، huit ، treize ، dix-huit : la raison cinq .

Une suite arithmétique est une suite où l'on passe de chaque terme au suivant en ajoutant le même réel r, appelé la raison. On écrit : U indice (n plus un) égale U indice n, plus r. Par exemple trois, huit, treize, dix-huit : la raison est cinq.

Question 10 · Suite arithmétique

  • c'est quoi la raison
  • chnowa la raison mta3 suite
  • la raison ma3neha chnowa

Ce qu’il répond

La raison hiya le réel r elli nzidouh koll marra bech net3addew men terme lelli ba3dou fi suite arithmétique. Ya3ni $r = U_{n+1} - U_{n}$. Mathalan fi 5, 3, 1 : la raison −2.

la raison هي الـ réel r اللي نزيدوه كل مرّة باش نتعدّاو من terme للّي بعدو في suite arithmétique . يعني r égale U indice (n plus un) moins U indice n . مثلا في cinq ، trois ، un : la raison moins deux .

La raison est le réel r qu'on ajoute à chaque fois pour passer d'un terme au suivant dans une suite arithmétique. Autrement dit, r égale U indice (n plus un) moins U indice n. Par exemple dans cinq, trois, un : la raison est moins deux.

Question 11 · D'un terme à un autre

  • kifech nal9a la raison
  • comment calculer la raison
  • comment trouver la raison avec deux termes

Ce qu’il écrit au tableau

  • r=Un−Upn−pr = \frac{U_{n} - U_{p}}{n - p}

Ce qu’il répond

Ta7seb terme moins le terme elli sab9ou, mathalan $U_{1} - U_{0}$. W ken ta3ref zouz termes b3ad 3la b3adhhom, tdivisi la différence mte3hom 3la la différence mta3 les indices : $r = \frac{U_{n} - U_{p}}{n - p}$.

تحسب terme moins le terme اللي سبقو ، مثلا U indice un moins U indice zéro . w كان تعرف زوز termes بعاد على بعضهم ، تديفيزي la différence متاعهم على la différence متاع les indices : r égale (U indice n moins U indice p) ، le tout sur (n moins p) .

On calcule un terme moins le terme précédent, par exemple U indice un moins U indice zéro. Et si on connaît deux termes éloignés, on divise leur différence par la différence des indices : r égale (U indice n moins U indice p), le tout sur (n moins p).

Question 12 · Suite arithmétique

  • la raison tnajjem tkoun négative ?
  • est-ce que la raison peut être négative
  • raison négative chnowa ma3neha

Ce qu’il répond

Ey, la raison tnajjem tkoun négative. Wa9tha les termes yon9sou : koll terme asghar men elli sab9ou. Mathalan 5, 3, 1, −1 : la raison −2. W ken la raison 0, les termes el koll kif kif.

إي ، la raison تنجّم تكون négative . وقتها les termes ينقصو : كل terme أصغر من اللي سبقو . مثلا cinq ، trois ، un ، moins un : la raison moins deux . w كان la raison zéro ، les termes الكل كيف كيف .

Oui, la raison peut être négative. Dans ce cas les termes diminuent : chaque terme est plus petit que le précédent. Par exemple cinq, trois, un, moins un : la raison est moins deux. Et si la raison est zéro, tous les termes sont égaux.

Question 13 · Reconnaître une suite arithmétique

  • kifech nbayyen elli suite arithmétique
  • comment montrer qu'une suite est arithmétique
  • comment prouver qu'une suite est arithmétique

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un+1−Un=rU_{n+1} - U_{n} = r

Ce qu’il répond

Ta7seb la différence : $U_{n+1} - U_{n}$. Ken tal9a réel ma fihech n, la suite arithmétique w le réel hedha houwa la raison. W ken $U_{n}$ men la forme $an + b$, hiya arithmétique w la raison a.

تحسب la différence : U indice (n plus un) moins U indice n . كان تلقى réel ما فيهش n ، الـ suite arithmétique w الـ réel هاذا هو la raison . w كان U indice n من la forme a n plus b ، هي arithmétique w la raison a .

On calcule la différence : U indice (n plus un) moins U indice n. Si on trouve un réel qui ne dépend pas de n, la suite est arithmétique et ce réel est la raison. Et si U indice n est de la forme a n plus b, elle est arithmétique de raison a.

Question 14 · Reconnaître une suite arithmétique

  • comment montrer qu'une suite n'est pas arithmétique
  • kifech nbayyen elli suite mouch arithmétique
  • suite pas arithmétique kifech na3ref

Ce qu’il répond

Yekfi contre-exemple : ta7seb trois termes wra b3adhhom, w tchouf les deux différences. Ken mouch kif kif, la suite mouch arithmétique. Mathalan 1, 2, 4 : $2 - 1 = 1$, ama $4 - 2 = 2$.

يكفي contre-exemple : تحسب trois termes ورا بعضهم ، w تشوف les deux différences . كان موش كيف كيف ، الـ suite موش arithmétique . مثلا un ، deux ، quatre : deux moins un égale un ، أما quatre moins deux égale deux .

Un contre-exemple suffit : on calcule trois termes qui se suivent et on regarde les deux différences. Si elles ne sont pas égales, la suite n'est pas arithmétique. Par exemple un, deux, quatre : deux moins un égale un, mais quatre moins deux égale deux.

Question 15 · Terme général d'une suite arithmétique

  • formule du terme général d'une suite arithmétique
  • kifech nal9a le terme général mta3 suite arithmétique
  • Un en fonction de n pour une suite arithmétique

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr

Ce qu’il répond

Ken le premier terme $U_{0}$ w la raison r : $U_{n} = U_{0} + nr$. Mathalan $U_{0} = 3$ w $r = 5$ : $U_{n} = 3 + 5n$, w $U_{10} = 53$.

كان le premier terme U indice zéro w la raison r : U indice n égale U indice zéro ، plus n fois r . مثلا U indice zéro égale trois w r égale cinq : U indice n égale trois plus cinq n ، w U indice dix égale cinquante-trois .

Si le premier terme est U indice zéro et la raison r : U indice n égale U indice zéro, plus n fois r. Par exemple U indice zéro égale trois et r égale cinq : U indice n égale trois plus cinq n, et U indice dix égale cinquante-trois.

Question 16 · D'un terme à un autre

  • ken le premier terme U1 chnowa la formule
  • si la suite commence à U1 quelle formule
  • le premier terme U0 walla U1

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un=U1+(n−1) rU_{n} = U_{1} + (n - 1)\,r

Ce qu’il répond

Ken la suite tabda men $U_{1}$, nesta3mlou : $U_{n} = U_{1} + (n - 1)r$. 5ater men $U_{1}$ l $U_{n}$, famma n − 1 pas bark. Dima chouf la suite mnin tabda, men $U_{0}$ walla men $U_{1}$, 9bal ma tekteb la formule.

كان الـ suite تبدا من U indice un ، نستعملو : U indice n égale U indice un ، plus (n moins un) fois r . خاطر من U indice un لـ U indice n ، فمّا n moins un pas برك . ديما شوف الـ suite منين تبدا ، من U indice zéro ولّا من U indice un ، قْبَلْ ما تكتب الـ formule .

Si la suite commence à U indice un, on utilise : U indice n égale U indice un, plus (n moins un) fois r. Car de U indice un à U indice n, il n'y a que n moins un pas. Regarde toujours où commence la suite, à U indice zéro ou à U indice un, avant d'écrire la formule.

Question 17 · D'un terme à un autre

  • wa9tech nesta3mel la formule Un = Up + (n-p)r
  • à quoi sert la formule avec Up
  • Up plus n moins p fois r kifech nesta3melha

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un=Up+(n−p) rU_{n} = U_{p} + (n - p)\,r

Ce qu’il répond

Nesta3mlouha ki ma na3rfouch $U_{0}$, ama na3rfou terme e5er $U_{p}$. Men l'indice p l l'indice n, nzidou la raison n − p marrat : $U_{n} = U_{p} + (n - p)r$. Mathalan $U_{8} = -31$ w $r = -4$ : $U_{10} = -31 + 2 \times (-4) = -39$.

نستعملوها كي ما نعرفوش U indice zéro ، أما نعرفو terme آخر U indice p . من l'indice p لـ l'indice n ، نزيدو la raison n moins p مرّات : U indice n égale U indice p ، plus (n moins p) fois r . مثلا U indice huit égale moins trente-et-un w r égale moins quatre : U indice dix égale moins trente-et-un plus deux fois moins quatre ، يعني moins trente-neuf .

On l'utilise quand on ne connaît pas U indice zéro, mais un autre terme U indice p. De l'indice p à l'indice n, on ajoute la raison n moins p fois : U indice n égale U indice p, plus (n moins p) fois r. Par exemple U indice huit égale moins trente-et-un et r égale moins quatre : U indice dix égale moins trente-et-un plus deux fois moins quatre, donc moins trente-neuf.

Question 18 · Terme général d'une suite arithmétique

  • kifech nal9a l'indice n ki na3ref Un
  • comment trouver l'indice d'un terme
  • comment trouver n sachant que Un égale 24

Ce qu’il répond

Tekteb la formule $U_{n} = U_{0} + nr$, w t7ellha kima équation fiha n. Mathalan $U_{0} = -2$, $r = \frac{1}{4}$, w $U_{n} = 24$ : $\frac{n}{4} = 26$, idhan $n = 104$.

تكتب الـ formule U indice n égale U indice zéro plus n fois r ، w تحلّها كيما équation فيها n . مثلا U indice zéro égale moins deux ، r égale un quart ، w U indice n égale vingt-quatre : n sur quatre égale vingt-six ، إذن n égale cent quatre .

On écrit la formule U indice n égale U indice zéro plus n fois r, et on la résout comme une équation d'inconnue n. Par exemple U indice zéro égale moins deux, r égale un quart, et U indice n égale vingt-quatre : n sur quatre égale vingt-six, donc n égale cent quatre.

Question 19 · Reconnaître une suite arithmétique

  • 3lech Un = an + b suite arithmétique
  • suite de la forme an + b arithmétique ?
  • an+b chnowa la raison mte3ha

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un=an+b  ⟹  r=a,U0=bU_{n} = an + b \;\Longrightarrow\; r = a, \quad U_{0} = b

Ce qu’il répond

5ater $U_{n+1} - U_{n} = a(n + 1) + b - (an + b) = a$. La différence ma fihech n, idhan la suite arithmétique : la raison hiya a, w le premier terme houwa b.

خاطر U indice (n plus un) moins U indice n égale a fois (n plus un) plus b ، moins (a n plus b) ، w هاذا égale a . la différence ما فيهاش n ، إذن الـ suite arithmétique : la raison هي a ، w le premier terme هو b .

Parce que U indice (n plus un) moins U indice n égale a fois (n plus un) plus b, moins (a n plus b), et cela égale a. La différence ne dépend pas de n, donc la suite est arithmétique : la raison est a, et le premier terme est b.

Question 20 · Représentation graphique

  • 3lech les points alignés
  • pourquoi les points An sont sur une droite
  • représentation graphique d'une suite arithmétique kifech

Ce qu’il écrit au tableau

  • D:  y=rx+U0D : \; y = rx + U_{0}

Ce qu’il répond

5ater $U_{n} = U_{0} + nr$. Le point $A_{n}$, l'abscisse mte3ou n w l'ordonnée mte3ou $U_{n}$, tsa77 fih l'équation $y = rx + U_{0}$. Idhan les points el koll 3la nafs la droite. W bech tersem la représentation graphique, t7ott les points bark.

خاطر U indice n égale U indice zéro plus n fois r . le point A indice n ، l'abscisse متاعو n w l'ordonnée متاعو U indice n ، تصحّ فيه l'équation y égale r x plus U indice zéro . إذن les points الكل على نفس الـ droite . w باش ترسم الـ représentation graphique ، تحطّ les points برك .

Parce que U indice n égale U indice zéro plus n fois r. Le point A indice n, d'abscisse n et d'ordonnée U indice n, vérifie l'équation y égale r x plus U indice zéro. Donc tous les points sont sur la même droite. Et pour tracer la représentation graphique, on place seulement les points.

Question 21 · Représentation graphique

  • la pente hiya la raison ?
  • chnowa la pente mta3 la droite
  • pente w ordonnée à l'origine chnowa ya3tiw

Ce qu’il répond

Ey : la pente mta3 la droite elli fiha les points hiya la raison r, w l'ordonnée à l'origine hiya le premier terme $U_{0}$. Ya3ni ki l'abscisse tzid 1, l'ordonnée tzid r.

إي : la pente متاع la droite اللي فيها les points هي la raison r ، w l'ordonnée à l'origine هي le premier terme U indice zéro . يعني كي l'abscisse تزيد un ، l'ordonnée تزيد r .

Oui : la pente de la droite qui porte les points est la raison r, et l'ordonnée à l'origine est le premier terme U indice zéro. Autrement dit, quand l'abscisse augmente de un, l'ordonnée augmente de r.

Question 22 · Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

  • kifech na7seb la somme mta3 suite arithmétique
  • formule de la somme des termes
  • comment calculer la somme de termes consécutifs

Ce qu’il écrit au tableau

  • S=n×a+b2S = n \times \frac{a + b}{2}

Ce qu’il répond

S = le nombre de termes, fois la somme du premier terme et du dernier, le tout sur deux. Ya3ni $S = n \times \frac{a + b}{2}$. 9bal koll chay a7seb 9addech men terme, w mba3d tabba9 la formule.

S égale le nombre de termes ، fois la somme du premier terme et du dernier ، le tout sur deux . يعني S égale n fois (a plus b) ، le tout sur deux . قْبَلْ كل شي احسب قدّاش من terme ، w مبعّد طبّق الـ formule .

S égale le nombre de termes, fois la somme du premier terme et du dernier, le tout sur deux. Autrement dit, S égale n fois (a plus b), le tout sur deux. Avant tout, compte les termes, puis applique la formule.

Question 23 · Compter les termes d'une somme

  • kifech na7seb le nombre de termes
  • comment compter les termes
  • 9addech men terme men U5 l U50

Ce qu’il écrit au tableau

  • Up+…+Un:n−p+1 termesU_{p} + \ldots + U_{n} \quad : \quad n - p + 1 \text{ termes}

Ce qu’il répond

Men $U_{p}$ l $U_{n}$, famma $n - p + 1$ termes. Ma tensech el plus un. Mathalan men $U_{5}$ l $U_{50}$ : $50 - 5 + 1 = 46$ termes. W men $U_{0}$ l $U_{n}$ : $n + 1$ termes.

من U indice p لـ U indice n ، فمّا n moins p plus un termes . ما تنساش الـ plus un . مثلا من U indice cinq لـ U indice cinquante : cinquante moins cinq plus un ، يعني quarante-six termes . w من U indice zéro لـ U indice n : n plus un termes .

De U indice p à U indice n, il y a n moins p plus un termes. N'oublie pas le plus un. Par exemple de U indice cinq à U indice cinquante : cinquante moins cinq plus un, donc quarante-six termes. Et de U indice zéro à U indice n : n plus un termes.

Question 24 · Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

  • 1+2+3+...+n 9addech
  • somme des n premiers entiers
  • formule de 1 + 2 + ... + n

Ce qu’il écrit au tableau

  • 1+2+3+…+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}

Ce qu’il répond

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$. 5ater famma n termes, le premier 1 w le dernier n. Mathalan men 1 l 100 : $\frac{100 \times 101}{2} = 5050$.

un plus deux plus trois حتّى n égale n fois (n plus un) ، le tout sur deux . خاطر فمّا n termes ، le premier un w le dernier n . مثلا من un لـ cent : cent fois cent un ، le tout sur deux ، يعني cinq mille cinquante .

Un plus deux plus trois jusqu'à n égale n fois (n plus un), le tout sur deux. Car il y a n termes, le premier vaut un et le dernier n. Par exemple de un à cent : cent fois cent un, le tout sur deux, donc cinq mille cinquante.

Question 25 · Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

  • somme des nombres impairs
  • 1+3+5 les impairs 9addech ysewiw
  • la somme des n premiers impairs

Ce qu’il écrit au tableau

  • 1+3+5+…+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^{2}

Ce qu’il répond

La somme mta3 les n premiers impairs, $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1)$, égale $n^{2}$. 5ater famma n termes, le premier 1 w le dernier $2n - 1$ : $\frac{n \times 2n}{2}$. Mathalan $1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$.

la somme متاع les n premiers impairs ، un plus trois plus cinq حتّى deux n moins un ، égale n au carré . خاطر فمّا n termes ، le premier un w le dernier deux n moins un : n fois deux n ، le tout sur deux . مثلا un plus trois plus cinq égale neuf ، يعني trois au carré .

La somme des n premiers impairs, un plus trois plus cinq jusqu'à deux n moins un, égale n au carré. Car il y a n termes, le premier vaut un et le dernier deux n moins un : n fois deux n, le tout sur deux. Par exemple un plus trois plus cinq égale neuf, c'est-à-dire trois au carré.

Question 26 · Suite arithmétique

  • chnowa la moyenne arithmétique
  • c'est quoi la moyenne arithmétique
  • moyenne arithmétique de a et c kifech

Ce qu’il écrit au tableau

  • b=a+c2b = \frac{a + c}{2}

Ce qu’il répond

Ken a, b w c trois termes consécutifs mta3 suite arithmétique, wa9tha $b = \frac{a + c}{2}$. 5ater $b - a = c - b$, w hiya la raison. N9oulou b houwa la moyenne arithmétique mta3 a w c. W bel 3aks : ken $b = \frac{a + c}{2}$, a, b w c fi progression arithmétique.

كان a ، b w c trois termes consécutifs متاع suite arithmétique ، وقتها b égale (a plus c) ، le tout sur deux . خاطر b moins a égale c moins b ، w هي la raison . نقولو b هو la moyenne arithmétique متاع a w c . w بالعكس : كان b égale (a plus c) sur deux ، a ، b w c في progression arithmétique .

Si a, b et c sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors b égale (a plus c), le tout sur deux. En effet b moins a égale c moins b : c'est la raison. On dit que b est la moyenne arithmétique de a et c. Et réciproquement : si b égale (a plus c) sur deux, alors a, b et c sont en progression arithmétique.

Question 27 · Pour comprendre : les nombres triangulaires

  • chnowa les nombres triangulaires
  • c'est quoi un nombre triangulaire
  • formule des nombres triangulaires

Ce qu’il écrit au tableau

  • Tn=n(n+1)2T_{n} = \frac{n(n + 1)}{2}

Ce qu’il répond

Les nombres triangulaires houma 1, 3, 6, 10, 15 : koll wa7ed houwa le nombre mta3 les points elli ya3mlou triangle. $T_{n} = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$.

les nombres triangulaires هوما un ، trois ، six ، dix ، quinze : كل واحد هو le nombre متاع les points اللي يعملو triangle . T indice n égale un plus deux حتّى n ، يعني n fois (n plus un) ، le tout sur deux .

Les nombres triangulaires sont un, trois, six, dix, quinze : chacun est le nombre de points qui forment un triangle. T indice n égale un plus deux jusqu'à n, c'est-à-dire n fois (n plus un), le tout sur deux.

Question 28 · Suite arithmétique

  • chnowa progression arithmétique
  • c'est quoi une progression arithmétique
  • en progression arithmétique ma3neha

Ce qu’il répond

Ki n9oulou a, b, c, d fi progression arithmétique, ma3neha houma termes consécutifs mta3 suite arithmétique : net3addew men wa7ed lelli ba3dou b zyedet nafs le réel. Mathalan 2, 5, 8, 11.

كي نقولو a ، b ، c ، d في progression arithmétique ، معناها هوما termes consécutifs متاع suite arithmétique : نتعدّاو من واحد للّي بعدو بزيادة نفس الـ réel . مثلا deux ، cinq ، huit ، onze .

Dire que a, b, c, d sont en progression arithmétique signifie que ce sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique : on passe de l'un au suivant en ajoutant le même réel. Par exemple deux, cinq, huit, onze.

Question 29 · Compter les termes d'une somme

  • 3lech men U0 l Un fiha n+1 termes
  • pourquoi n+1 termes et pas n
  • de U0 à Un 3lech n+1 termes

Ce qu’il répond

5ater les indices yabdew men 0 : 0, 1, 2, 7atta n. Men 1 l n famma n indices, w nzidou l'indice 0, ywalliw $n + 1$. Mathalan men $U_{0}$ l $U_{3}$ : 4 termes, mouch 3.

خاطر les indices يبداو من zéro : zéro ، un ، deux ، حتّى n . من un لـ n فمّا n indices ، w نزيدو l'indice zéro ، يولّيو n plus un . مثلا من U indice zéro لـ U indice trois : quatre termes ، موش trois .

Parce que les indices commencent à zéro : zéro, un, deux, jusqu'à n. De un à n il y a n indices, et on ajoute l'indice zéro, ce qui fait n plus un. Par exemple de U indice zéro à U indice trois : quatre termes, pas trois.

Question 30 · D'un terme à un autre

  • kifech nal9a le terme précédent
  • comment calculer le terme précédent
  • le terme elli 9bal kifech na7sbou

Ce qu’il écrit au tableau

  • Un−1=Un−rU_{n-1} = U_{n} - r

Ce qu’il répond

Bech tarja3 l le terme elli sba9, tna99es la raison : $U_{n-1} = U_{n} - r$. Mathalan $r = 0{,}5$ w $U_{30} = 5{,}5$ : $U_{29} = 5$, w $U_{20} = 5{,}5 - 10 \times 0{,}5 = 0{,}5$.

باش ترجع لـ le terme اللي سبق ، تنقّص la raison : U indice (n moins un) égale U indice n ، moins r . مثلا r égale un demi w U indice trente égale cinq virgule cinq : U indice vingt-neuf égale cinq ، w U indice vingt égale cinq virgule cinq moins dix fois un demi ، يعني un demi .

Pour revenir au terme précédent, on retranche la raison : U indice (n moins un) égale U indice n, moins r. Par exemple r égale un demi et U indice trente égale cinq virgule cinq : U indice vingt-neuf égale cinq, et U indice vingt égale cinq virgule cinq moins dix fois un demi, donc un demi.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

Continuer une liste

La liste de nombres 55 ; 33 ; 11 ; −1-1 ; −3-3 ; … obéit à une loi. Quel est le nombre qui vient juste après −3-3 ?

Réponse attendue : -5

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule l'écart entre deux nombres qui se suivent : est-il toujours le même ?
  2. On passe d'un nombre au suivant en retranchant 2.2.

Correction

  1. L'écart — 3−5=−2;1−3=−2;−1−1=−23 - 5 = -2 \quad ; \quad 1 - 3 = -2 \quad ; \quad -1 - 1 = -2
  2. Le suivant — −3−2=−5-3 - 2 = -5

On retranche 22 à chaque fois : c'est une suite arithmétique de raison −2.-2.

Pièges anticipés

  • -4 → L'écart n'est pas 11 : de 55 à 3,3, de 33 à 1,1, on retranche 2.2.
  • -1 → Tu es reparti en arrière : la liste descend, le nombre suivant est plus petit que −3.-3.

Exercice 2 · base

Lire des ordonnées sur une droite

La figure représente une droite DD dans un repère. Elle passe par le point d'abscisse 00 et d'ordonnée 1,1, et par le point d'abscisse 22 et d'ordonnée 2.2. Quelle est l'ordonnée du point de DD d'abscisse 100100 ?

O11D
La droite D.

Un repère d'origine O, avec l'unité 1 marquée sur chaque axe. Une droite D monte de gauche à droite. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse moins 2, coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 1, puis passe par le point d'abscisse 2 et d'ordonnée 2, par le point d'abscisse 4 et d'ordonnée 3 et par le point d'abscisse 6 et d'ordonnée 4. Quand l'abscisse augmente de 2, l'ordonnée augmente de 1.

Réponse attendue : 51

Indices, dans l’ordre

  1. Lis les ordonnées des points d'abscisses 0,0, 2,2, 4,4, 66 : de combien augmentent-elles quand l'abscisse augmente de 22 ?
  2. Quand l'abscisse augmente de 1,1, l'ordonnée augmente d'un demi. Le point d'abscisse nn a pour ordonnée :n2+1\frac{n}{2} + 1

Correction

  1. La loi — De 00 à 2,2, l'ordonnée passe de 11 à 22 : elle augmente de 12\dfrac{1}{2} par unité.y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1
  2. L'abscisse 100 — 1002+1=51\frac{100}{2} + 1 = 51

Les ordonnées des points d'abscisses 0,0, 1,1, 2,2, 3,3, … sont 11 ; 1,51{,}5 ; 22 ; 2,52{,}5 ; … : une suite arithmétique de raison 12.\dfrac{1}{2}.

Pièges anticipés

  • 101 → L'ordonnée n'augmente pas de 11 par unité, mais de 11 quand l'abscisse augmente de 2.2.
  • 50 → Tu as bien pris la moitié de 100,100, mais la droite part de l'ordonnée 11 : il faut l'ajouter.

Exercice 3 · base

La population en 2010

La population d'une ville, en milliers d'habitants, était de 100100 en 1999, 102102 en 2000, 104104 en 2001, 106106 en 2002, 108108 en 2003 et 110110 en 2004. On suppose qu'elle continue à évoluer de la même façon. Quelle sera-t-elle en 2010, en milliers d'habitants ?

Donne le nombre de milliers d'habitants.

Réponse attendue : 122

Indices, dans l’ordre

  1. De combien la population augmente-t-elle chaque année ?
  2. Compte le nombre d'années écoulées entre 1999 et 2010, puis ajoute autant de fois l'augmentation annuelle.

Correction

  1. La loi — Chaque année, la population augmente de 22 milliers.
  2. De 1999 à 2010 — Il s'écoule 2010−1999=112010 - 1999 = 11 années.100+11×2=122100 + 11 \times 2 = 122

En 2010, la ville comptera 122122 milliers d'habitants.

Pièges anticipés

  • 120 → De 1999 à 2010 il y a 1111 augmentations, pas 1010 : 2010−1999=11.2010 - 1999 = 11.
  • 122000 → C'est le bon nombre d'habitants, mais on le demande en milliers : écris seulement le nombre de milliers.
  • 132 → Tu as ajouté 1111 augmentations à la population de 2004. Pars de 1999, ou n'ajoute que 66 augmentations à 110.110.

Exercice 4 · pratique

L'année des 150 000 habitants

La population d'une ville était de 100100 milliers d'habitants en 1999, et elle augmente de 22 milliers d'habitants chaque année. En quelle année atteindra-t-elle 150150 milliers d'habitants ?

Donne seulement l'année, par exemple 2015.

Réponse attendue : 2024

Indices, dans l’ordre

  1. Combien de milliers d'habitants faut-il gagner pour passer de 100100 à 150150 ?
  2. nn années après 1999, la population est de 100+2n100 + 2n milliers.

Correction

  1. L'équation — 100+2n=150  ⟺  n=25100 + 2n = 150 \iff n = 25
  2. L'année — 1999+25=20241999 + 25 = 2024

La population atteindra 150 000150\,000 habitants en 2024.

Pièges anticipés

  • 25 → 2525 est le nombre d'années à attendre : ajoute-le à 1999 pour avoir l'année.
  • 2025 / 2023 → Recompte : il faut 2525 augmentations de 22 milliers à partir de 1999.

Exercice 5 · base

Calculer un terme

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=2n+nU_{n} = 2^{n} + n pour tout entier naturel n.n. Calcule U5.U_{5}.

Réponse attendue : 37

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace nn par 55 partout dans l'expression.
  2. 25=2×2×2×2×2.2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2.

Correction

  1. On remplace n — U5=25+5U_{5} = 2^{5} + 5
  2. U5=32+5=37U_{5} = 32 + 5 = 37

De la même façon, U1=3U_{1} = 3 et U10=1024+10=1034.U_{10} = 1024 + 10 = 1034.

Pièges anticipés

  • 15 → 252^{5} n'est pas 2×52 \times 5 : c'est 22 multiplié cinq fois par lui-même, soit 32.32.
  • 30 → Tu as calculé 525^{2} : ici c'est 25=32.2^{5} = 32.

Exercice 6 · pratique

Trouver l'indice

Soit (Vn)(V_{n}) la suite définie par Vn=n+21n+3V_{n} = \dfrac{n + 21}{n + 3} pour tout entier naturel n.n. Détermine nn pour que Vn=2.V_{n} = 2.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Écris l'équation n+21n+3=2\dfrac{n + 21}{n + 3} = 2 et multiplie les deux membres par n+3.n + 3.
  2. Attention : 22 multiplie n+3n + 3 tout entier.n+21=2(n+3)n + 21 = 2(n + 3)

Correction

  1. L'équation — n+21n+3=2  ⟺  n+21=2n+6\frac{n + 21}{n + 3} = 2 \iff n + 21 = 2n + 6
  2. n=21−6=15n = 21 - 6 = 15
  3. Vérification — V15=3618=2V_{15} = \frac{36}{18} = 2

C'est le terme d'indice 1515 qui vaut 2.2.

Pièges anticipés

  • 18 → Tu as écrit n+21=2n+3n + 21 = 2n + 3 : le 22 doit multiplier aussi le 3,3, ce qui donne 2n+6.2n + 6.

Exercice 7 · base

Une relation de récurrence

On considère la suite (tn)(t_{n}) définie par t0=2t_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, tn+1=12 tn−3.t_{n+1} = \dfrac{1}{2}\,t_{n} - 3. Calcule t3.t_{3}.

On considère la suite (tn)(t_{n}) définie par t0=2t_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins 3. Calcule t3.t_{3}.On considère la suite t indice n définie par t indice 0 égale 2 et, pour tout entier naturel n, t indice (n plus un) égale un demi fois t indice n, moins 3. Calcule t indice 3.

Réponse attendue : -5

Indices, dans l’ordre

  1. Avance de proche en proche : calcule d'abord t1,t_{1}, puis t2.t_{2}.
  2. À chaque pas : la moitié du terme précédent, moins 3.3.t1=12×2−3t_{1} = \frac{1}{2} \times 2 - 3À chaque pas : la moitié du terme précédent, moins 3.3. t indice 1 égale un demi fois 2, moins 3À chaque pas: la moitié du terme précédent, moins 3. t indice 1 égale un demi fois 2, moins 3

Correction

  1. t1 — t1=12×2−3=−2t_{1} = \frac{1}{2} \times 2 - 3 = -2t1 : t indice 1 égale un demi fois 2, moins 3 égale moins 2t1 : t indice 1 égale un demi fois 2, moins 3 égale moins 2
  2. t2 — t2=12×(−2)−3=−4t_{2} = \frac{1}{2} \times (-2) - 3 = -4t2 : t indice 2 égale un demi fois moins 2, moins 3 égale moins 4t2 : t indice 2 égale un demi fois moins 2, moins 3 égale moins 4
  3. t3 — t3=12×(−4)−3=−5t_{3} = \frac{1}{2} \times (-4) - 3 = -5t3 : t indice 3 égale un demi fois moins 4, moins 3 égale moins 5t3 : t indice 3 égale un demi fois moins 4, moins 3 égale moins 5

Avec une relation de récurrence, on a besoin de t2t_{2} pour calculer t3.t_{3}.

Pièges anticipés

  • -1.5 / -3/2 → Tu as mis l'indice 33 à la place d'un terme : dans la relation, on met la valeur du terme précédent, t2=−4.t_{2} = -4.
  • -4 → C'est t2.t_{2}. Il reste un pas à faire pour arriver à t3.t_{3}.
  • -2 → C'est t1t_{1} : il reste deux pas à faire pour arriver à t3.t_{3}.

Exercice 8 · pratique

Un signe qui alterne

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par son terme général Un=(−1)nn+1,U_{n} = \dfrac{(-1)^{n}}{n + 1}, pour tout entier naturel n.n. Calcule U2005.U_{2005}.

Réponse attendue : -1/2006

Indices, dans l’ordre

  1. Que vaut (−1)n(-1)^{n} quand nn est pair ? Quand nn est impair ?
  2. 20052005 est impair, et le dénominateur est n+1.n + 1.

Correction

  1. Le numérateur — 20052005 est impair.(−1)2005=−1(-1)^{2005} = -1
  2. Le terme — U2005=−12005+1=−12006U_{2005} = \frac{-1}{2005 + 1} = -\frac{1}{2006}

Les premiers termes sont 11 ; −12-\dfrac{1}{2} ; 13\dfrac{1}{3} ; … : le signe change à chaque pas.

Pièges anticipés

  • 1/2006 → 20052005 est impair : (−1)2005=−1,(-1)^{2005} = -1, le terme est négatif.
  • -1/2005 → Le dénominateur est n+1,n + 1, donc 2006.2006.

Exercice 9 · pratique

Changer d'indice

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=n2−3nU_{n} = n^{2} - 3n pour tout entier naturel n.n. Exprime Un+1U_{n+1} en fonction de n,n, sous forme développée et réduite.

Écris seulement l'expression développée, sans rien devant.

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=n2−3nU_{n} = n^{2} - 3n pour tout entier naturel n.n. Exprime U indice (n plus un) en fonction de n,n, sous forme développée et réduite. Écris seulement l'expression développée, sans rien devant.Soit U indice n la suite définie par U indice n égale n au carré moins 3n pour tout entier naturel n. Exprime U indice (n plus un) en fonction de n, sous forme développée et réduite. Écris seulement l'expression développée, sans rien devant.

Réponse attendue : n^2-n-2

Indices, dans l’ordre

  1. Dans l'expression n2−3n,n^{2} - 3n, remplace chaque nn par n+1n + 1 tout entier, entre parenthèses.
  2. Développe (n+1)2(n + 1)^{2} avec l'identité remarquable, puis réduis.

Correction

  1. On remplace — Un+1=(n+1)2−3(n+1)U_{n+1} = (n + 1)^{2} - 3(n + 1)On remplace : U indice (n plus un) égale la parenthèse n plus 1, au carré moins 3 fois la parenthèse n plus 1On remplace : U indice (n plus un) égale la parenthèse n plus 1, au carré moins 3 fois la parenthèse n plus 1
  2. On développe — Un+1=n2+2n+1−3n−3U_{n+1} = n^{2} + 2n + 1 - 3n - 3On développe : U indice (n plus un) égale n au carré plus 2n plus 1 moins 3n moins 3On développe : U indice (n plus un) égale n au carré plus 2n plus 1 moins 3n moins 3
  3. On réduit — Un+1=n2−n−2U_{n+1} = n^{2} - n - 2On réduit : U indice (n plus un) égale n au carré moins n moins 2On réduit : U indice (n plus un) égale n au carré moins n moins 2

De même, Un−1=n2−5n+4U_{n-1} = n^{2} - 5n + 4 et U2n=4n2−6n.U_{2n} = 4n^{2} - 6n.

De même, U indice (n moins un) égale n au carré moins 5n plus 4 et U2n=4n2−6n.U_{2n} = 4n^{2} - 6n.De même, U indice (n moins un) égale n au carré moins 5n plus 4 et U indice 2n égale 4n au carré moins 6n.

Pièges anticipés

  • n^2-3n+1 → Tu as seulement ajouté 11 au terme Un.U_{n}. Le terme suivant s'obtient en remplaçant nn par n+1n + 1 dans la formule.
  • n^2-3n-2 → (n+1)2=n2+2n+1(n + 1)^{2} = n^{2} + 2n + 1 : il ne faut pas oublier le double produit 2n.2n.

Exercice 10 · base

Lire la raison

La suite (Un)(U_{n}) définie par Un=−2n+18,U_{n} = \dfrac{-2n + 1}{8}, pour tout entier naturel n,n, est arithmétique. Quelle est sa raison ?

Réponse attendue : -1/4 — aussi acceptées : -0.25 · -2/8

Indices, dans l’ordre

  1. Écris UnU_{n} sous la forme an+ban + b en séparant la fraction en deux.
  2. Ou bien calcule U0U_{0} et U1,U_{1}, puis leur différence U1−U0.U_{1} - U_{0}.

Correction

  1. On sépare la fraction — Un=−28 n+18=−14 n+18U_{n} = -\frac{2}{8}\,n + \frac{1}{8} = -\frac{1}{4}\,n + \frac{1}{8}
  2. La raison — C'est le coefficient de n.n.r=−14r = -\frac{1}{4}

La suite est arithmétique de premier terme U0=18U_{0} = \dfrac{1}{8} et de raison −14.-\dfrac{1}{4}.

Pièges anticipés

  • -2 → −2-2 est le coefficient de nn au numérateur : il reste à le diviser par 8.8.
  • 1/8 / 0.125 → 18\dfrac{1}{8} est le premier terme U0.U_{0}. La raison est le coefficient de n.n.
  • 1/4 / 0.25 → Les termes diminuent : la raison est négative.

Exercice 11 · base

Arithmétique ou pas ?

La suite (bn)(b_{n}) est définie par b0=2b_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, bn+1=3bn+7.b_{n+1} = 3b_{n} + 7. Est-elle arithmétique ?

Réponds par oui ou par non.

La suite (bn)(b_{n}) est définie par b0=2b_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, b indice (n plus un) égale 3b indice n plus 7. Est-elle arithmétique ? Réponds par oui ou par non.La suite b indice n est définie par b indice 0 égale 2 et, pour tout entier naturel n, b indice (n plus un) égale 3b indice n plus 7. Est-elle arithmétique? Réponds par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas arithmetique · elle n'est pas arithmetique · non elle n'est pas arithmetique · non, elle n'est pas arithmetique · n'est pas arithmetique · la suite n'est pas arithmetique · non, la suite n'est pas arithmetique · non arithmetique · non, pas arithmetique · ce n'est pas une suite arithmetique

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule b1b_{1} et b2.b_{2}.
  2. Compare les deux écarts b1−b0b_{1} - b_{0} et b2−b1.b_{2} - b_{1}.

Correction

  1. Les premiers termes — b1=3×2+7=13;b2=3×13+7=46b_{1} = 3 \times 2 + 7 = 13 \quad ; \quad b_{2} = 3 \times 13 + 7 = 46
  2. Les écarts — b1−b0=11;b2−b1=33b_{1} - b_{0} = 11 \quad ; \quad b_{2} - b_{1} = 33

Les deux écarts ne sont pas égaux : la suite n'est pas arithmétique.

Pièges anticipés

  • oui → Le « +7+ 7 » ne suffit pas : on multiplie d'abord bnb_{n} par 3.3. Calcule b1−b0b_{1} - b_{0} et b2−b1b_{2} - b_{1} : ils ne sont pas égaux.

Exercice 12 · base

Un pas en avant, un pas en arrière

La suite (Un)(U_{n}) est définie par U0=2U_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, Un+1=1−Un.U_{n+1} = 1 - U_{n}. Est-elle arithmétique ?

Réponds par oui ou par non.

La suite (Un)(U_{n}) est définie par U0=2U_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, U indice (n plus un) égale 1 moins U indice n. Est-elle arithmétique ? Réponds par oui ou par non.La suite U indice n est définie par U indice 0 égale 2 et, pour tout entier naturel n, U indice (n plus un) égale 1 moins U indice n. Est-elle arithmétique? Réponds par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : pas arithmetique · elle n'est pas arithmetique · non elle n'est pas arithmetique · non, elle n'est pas arithmetique · n'est pas arithmetique · la suite n'est pas arithmetique · non, la suite n'est pas arithmetique · non arithmetique · non, pas arithmetique · ce n'est pas une suite arithmetique

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule U1U_{1} et U2.U_{2}.
  2. Compare les deux écarts U1−U0U_{1} - U_{0} et U2−U1.U_{2} - U_{1}.

Correction

  1. Les premiers termes — U1=1−2=−1;U2=1−(−1)=2U_{1} = 1 - 2 = -1 \quad ; \quad U_{2} = 1 - (-1) = 2
  2. Les écarts — U1−U0=−3;U2−U1=3U_{1} - U_{0} = -3 \quad ; \quad U_{2} - U_{1} = 3

Les deux écarts ne sont pas égaux : la suite n'est pas arithmétique. Ses termes valent tour à tour 22 et −1.-1.

Pièges anticipés

  • oui → On ne retranche pas un nombre fixe : on retranche le terme lui-même, qui change à chaque pas. Calcule U1−U0U_{1} - U_{0} et U2−U1U_{2} - U_{1} : ils ne sont pas égaux.

Exercice 13 · pratique

Une fraction qui cache une suite arithmétique

La suite (an)(a_{n}) définie par an=2n2+4n+2n+1,a_{n} = \dfrac{2n^{2} + 4n + 2}{n + 1}, pour tout entier naturel n,n, est arithmétique. Quelle est sa raison ?

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Mets 22 en facteur au numérateur : que reconnais-tu ?
  2. Le numérateur est 2(n+1)22(n + 1)^{2} : simplifie par n+1.n + 1.

Correction

  1. Le numérateur — 2n2+4n+2=2(n2+2n+1)=2(n+1)22n^{2} + 4n + 2 = 2(n^{2} + 2n + 1) = 2(n + 1)^{2}
  2. On simplifie — an=2(n+1)2n+1=2n+2a_{n} = \frac{2(n + 1)^{2}}{n + 1} = 2n + 2
  3. La raison — ana_{n} est de la forme an+ban + b : la raison est le coefficient de n.n.

La suite est arithmétique de premier terme a0=2a_{0} = 2 et de raison 2.2.

Pièges anticipés

  • 4 → 44 est un coefficient du numérateur. Simplifie d'abord la fraction : an=2n+2.a_{n} = 2n + 2.

Exercice 14 · base

Appliquer la formule du terme général

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de premier terme U0=−1U_{0} = -1 et de raison r=−3.r = -3. Détermine U23.U_{23}.

Réponse attendue : -70

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise la formule du terme général :Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr
  2. Ici n=23n = 23 : on ajoute 2323 fois la raison.

Correction

  1. La formule — U23=U0+23rU_{23} = U_{0} + 23r
  2. U23=−1+23×(−3)=−1−69=−70U_{23} = -1 + 23 \times (-3) = -1 - 69 = -70

De U0U_{0} à U23,U_{23}, on ajoute 2323 fois la raison.

Pièges anticipés

  • -67 → Tu as ajouté 2222 fois la raison : en partant de U0,U_{0}, c'est 2323 fois.
  • 68 → La raison est négative : 23×(−3)=−69.23 \times (-3) = -69.

Exercice 15 · pratique

Un terme avec une racine

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de premier terme U0=−16U_{0} = -\dfrac{1}{6} et de raison r=23.r = 2\sqrt{3}. Détermine U23.U_{23}.

Donne la valeur exacte, avec la racine carrée de 3.

Réponse attendue : -1/6+46*sqrt(3) — aussi acceptées : 46*sqrt(3)-1/6

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr avec n=23.n = 23.
  2. 23×2323 \times 2\sqrt{3} : multiplie 2323 par 22 et garde 3.\sqrt{3}.

Correction

  1. La formule — U23=−16+23×23U_{23} = -\frac{1}{6} + 23 \times 2\sqrt{3}
  2. U23=−16+463U_{23} = -\frac{1}{6} + 46\sqrt{3}

On ne peut pas réduire davantage : −16-\dfrac{1}{6} et 46346\sqrt{3} ne sont pas de même nature.

Pièges anticipés

  • -1/6+44*sqrt(3) → Tu as ajouté 2222 fois la raison : en partant de U0,U_{0}, c'est 2323 fois.
  • -1/6+23*sqrt(3) → La raison est 232\sqrt{3} : 23×23=463.23 \times 2\sqrt{3} = 46\sqrt{3}.

Exercice 16 · base

La raison à partir de deux termes

Détermine la raison rr d'une suite arithmétique (Un)(U_{n}) sachant que U0=8U_{0} = 8 et U7=−13.U_{7} = -13.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Écris U7U_{7} en fonction de U0U_{0} et de r.r.U7=U0+7rU_{7} = U_{0} + 7r
  2. Résous l'équation −13=8+7r.-13 = 8 + 7r.

Correction

  1. L'équation — −13=8+7r  ⟺  7r=−21-13 = 8 + 7r \iff 7r = -21
  2. r=−3r = -3

De U0U_{0} à U7U_{7} il y a 77 pas : l'écart −21-21 se partage en 7.7.

Pièges anticipés

  • -21 → −21-21 est l'écart entre U7U_{7} et U0U_{0} : il faut le diviser par le nombre de pas, 7.7.
  • 3 → Les termes diminuent de 88 à −13-13 : la raison est négative.

Exercice 17 · pratique

Retrouver l'indice d'un terme

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de premier terme U0=−2U_{0} = -2 et de raison r=14.r = \dfrac{1}{4}. Détermine nn sachant que Un=24.U_{n} = 24.

Réponse attendue : 104

Indices, dans l’ordre

  1. Écris Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr avec les valeurs données : tu obtiens une équation d'inconnue n.n.
  2. −2+n4=24-2 + \dfrac{n}{4} = 24 : isole n4,\dfrac{n}{4}, puis multiplie par 4.4.

Correction

  1. L'équation — −2+14 n=24  ⟺  14 n=26-2 + \frac{1}{4}\,n = 24 \iff \frac{1}{4}\,n = 26
  2. n=26×4=104n = 26 \times 4 = 104

C'est le terme d'indice 104104 qui vaut 24.24.

Pièges anticipés

  • 88 → U0=−2U_{0} = -2 : en le passant de l'autre côté on obtient 24+2=26,24 + 2 = 26, pas 22.22.
  • 6.5 / 13/2 → n4=26\dfrac{n}{4} = 26 donne n=26×4n = 26 \times 4 : on multiplie par 4.4.

Exercice 18 · pratique

D'un terme à un autre

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de raison −4-4 et telle que U8=−31.U_{8} = -31. Calcule U57.U_{57}.

Réponse attendue : -227

Indices, dans l’ordre

  1. Inutile de chercher U0U_{0} : pars de U8.U_{8}.Un=Up+(n−p) rU_{n} = U_{p} + (n - p)\,r
  2. De l'indice 88 à l'indice 57,57, il y a 57−857 - 8 pas.

Correction

  1. La formule — U57=U8+(57−8)×(−4)U_{57} = U_{8} + (57 - 8) \times (-4)
  2. U57=−31+49×(−4)=−31−196=−227U_{57} = -31 + 49 \times (-4) = -31 - 196 = -227

On ajoute la raison autant de fois qu'il y a de pas entre les deux indices.

Pièges anticipés

  • -259 → Tu as ajouté 5757 fois la raison, comme si tu partais de U0.U_{0}. On part de U8U_{8} : il y a 57−8=4957 - 8 = 49 pas.
  • 165 → La raison est −4-4 : 49×(−4)=−196.49 \times (-4) = -196.

Exercice 19 · pratique

Avancer de vingt pas

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de raison r=0,5r = 0{,}5 et telle que U30=112.U_{30} = \dfrac{11}{2}. Détermine U50.U_{50}.

Réponse attendue : 31/2 — aussi acceptées : 15.5

Indices, dans l’ordre

  1. Pars de U30U_{30} : combien de pas jusqu'à U50U_{50} ?
  2. U50=U30+20r,U_{50} = U_{30} + 20r, et 112=5,5.\dfrac{11}{2} = 5{,}5.

Correction

  1. La formule — U50=U30+(50−30)×0,5U_{50} = U_{30} + (50 - 30) \times 0{,}5
  2. U50=5,5+10=15,5U_{50} = 5{,}5 + 10 = 15{,}5

Dans l'autre sens, U20=U30−10×0,5=0,5U_{20} = U_{30} - 10 \times 0{,}5 = 0{,}5 : on retranche la raison quand on recule.

Pièges anticipés

  • 30.5 / 61/2 → Tu as ajouté 5050 fois la raison. On part de U30U_{30} : il n'y a que 2020 pas.
  • 0.5 / 1/2 → C'est U20U_{20} : tu as reculé de 2020 pas au lieu d'avancer.

Exercice 20 · pratique

La raison lue sur un graphique

Dans le graphique, DD est la droite qui contient les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée Un,U_{n}, où (Un)(U_{n}) est une suite arithmétique. La droite DD passe par le point d'abscisse 11 et d'ordonnée 2,2, et par le point d'abscisse 33 et d'ordonnée 3.3. Détermine la raison rr de cette suite.

O11D
La droite D contient les points Aₙ(n, Uₙ).

Un repère d'origine O, avec l'unité 1 marquée sur chaque axe. Une droite D monte de gauche à droite. Elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse moins 3, passe par le point d'abscisse moins 1 et d'ordonnée 1, par le point d'abscisse 1 et d'ordonnée 2, par le point d'abscisse 3 et d'ordonnée 3 et par le point d'abscisse 5 et d'ordonnée 4. Elle coupe l'axe des ordonnées entre les ordonnées 1 et 2, exactement au milieu.

Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5

Indices, dans l’ordre

  1. La raison est la pente de la droite.
  2. Entre les deux points lus, l'abscisse augmente de 22 : de combien augmente l'ordonnée ?

Correction

  1. La pente — r=3−23−1=12r = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}
  2. Le premier terme — On recule d'un pas à partir de U1=2.U_{1} = 2.U0=2−12=32U_{0} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

La suite a pour premier terme U0=32U_{0} = \dfrac{3}{2} et pour raison 12\dfrac{1}{2} : Un=12 n+32.U_{n} = \dfrac{1}{2}\,n + \dfrac{3}{2}.

Pièges anticipés

  • 3/2 / 1.5 → 32\dfrac{3}{2} est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le premier terme U0.U_{0}. La raison est la pente.
  • 2 → La pente est l'écart des ordonnées divisé par l'écart des abscisses, pas l'inverse.
  • 1 → L'ordonnée augmente de 11 quand l'abscisse augmente de 22 : pour un seul pas, c'est la moitié.

Exercice 21 · pratique

Placer les points

On veut représenter graphiquement la suite arithmétique (Un)(U_{n}) de premier terme U0=−2U_{0} = -2 et de raison 3.3. Dans un repère, on place pour cela les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée Un.U_{n}. Quelle est l'ordonnée du point A4A_{4} ?

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. L'ordonnée du point A4A_{4} est le terme U4.U_{4}.
  2. Utilise Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr avec n=4.n = 4.

Correction

  1. Les premiers points — D'un point au suivant, l'abscisse augmente de 11 et l'ordonnée de 3.3.U0=−2;U1=1;U2=4;U3=7U_{0} = -2 \quad ; \quad U_{1} = 1 \quad ; \quad U_{2} = 4 \quad ; \quad U_{3} = 7
  2. Le point cherché — U4=−2+4×3=10U_{4} = -2 + 4 \times 3 = 10

Le point A4A_{4} a pour abscisse 44 et pour ordonnée 10.10. Tous les points sont sur la droite d'équation y=3x−2y = 3x - 2 : sa pente est la raison 3,3, son ordonnée à l'origine est le premier terme −2.-2.

Pièges anticipés

  • 7 → 77 est l'ordonnée de A3.A_{3}. De U0U_{0} à U4U_{4} il y a quatre pas : on ajoute 44 fois la raison.
  • 12 → Tu as calculé 4×34 \times 3 : il faut partir du premier terme U0=−2.U_{0} = -2.
  • 14 → Le premier terme est −2,-2, pas 22 : −2+12=10.-2 + 12 = 10.
  • 4 → 44 est l'abscisse du point A4.A_{4}. Son ordonnée est le terme U4.U_{4}.

Exercice 22 · base

Compter les termes

Combien de termes la somme C=1+3+5+7+…+73+75C = 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 73 + 75 compte-t-elle ?

Donne seulement le nombre.

Réponse attendue : 38

Indices, dans l’ordre

  1. Les termes sont les impairs : ils forment une suite arithmétique de premier terme 11 et de raison 2.2.
  2. Compte les pas de 11 à 75,75, puis ajoute 11 pour avoir le nombre de termes.

Correction

  1. Les pas — De 11 à 75,75, on avance de 22 en 2.2.75−12=37 pas\frac{75 - 1}{2} = 37 \text{ pas}
  2. Les termes — 37+1=38 termes37 + 1 = 38 \text{ termes}

Le nombre de termes est le nombre de pas, plus un.

Pièges anticipés

  • 37 → 3737 est le nombre de pas de 11 à 75.75. Il y a un terme de plus que de pas.
  • 75 → 7575 est le dernier terme, pas le nombre de termes : on ne compte que les impairs.

Exercice 23 · pratique

Une somme de cinq en cinq

Calcule la somme A=3+8+13+18+…+103+108.A = 3 + 8 + 13 + 18 + \ldots + 103 + 108.

Réponse attendue : 1221

Indices, dans l’ordre

  1. Les termes forment une suite arithmétique de raison 5.5. Compte-les d'abord.
  2. De 33 à 108108 il y a 108−35=21\dfrac{108 - 3}{5} = 21 pas. Applique ensuite :S=n×a+b2S = n \times \frac{a + b}{2}

Correction

  1. Le nombre de termes — 108−35+1=22\frac{108 - 3}{5} + 1 = 22
  2. La somme — A=22×3+1082=11×111=1221A = 22 \times \frac{3 + 108}{2} = 11 \times 111 = 1221

Le nombre de termes, fois la demi-somme du premier et du dernier.

Pièges anticipés

  • 1165.5 / 2331/2 → Tu as pris 2121 termes : 2121 est le nombre de pas, il y a 2222 termes.
  • 2442 → Tu as multiplié 2222 par 3+1083 + 108 : il reste à diviser par 2.2.

Exercice 24 · pratique

Une somme de décimaux

Calcule la somme S=1+2,01+3,02+4,03+…+24,23+25,24.S = 1 + 2{,}01 + 3{,}02 + 4{,}03 + \ldots + 24{,}23 + 25{,}24.

Réponse attendue : 328

Indices, dans l’ordre

  1. On passe d'un terme au suivant en ajoutant 1,011{,}01 : c'est une suite arithmétique.
  2. La partie entière augmente de 11 à chaque terme, de 11 à 2525 : compte les termes, puis applique la formule de la somme.

Correction

  1. La raison — 2,01−1=1,01;3,02−2,01=1,012{,}01 - 1 = 1{,}01 \quad ; \quad 3{,}02 - 2{,}01 = 1{,}01
  2. Le nombre de termes — 25,24−11,01+1=24+1=25\frac{25{,}24 - 1}{1{,}01} + 1 = 24 + 1 = 25
  3. La somme — S=25×1+25,242=25×13,12=328S = 25 \times \frac{1 + 25{,}24}{2} = 25 \times 13{,}12 = 328

Même avec des décimaux, la méthode ne change pas : la raison, le nombre de termes, puis la formule.

Pièges anticipés

  • 314.88 → Tu as pris 2424 termes : 2424 est le nombre de pas, il y a 2525 termes.
  • 656 → Tu as multiplié 2525 par 1+25,241 + 25{,}24 : il reste à diviser par 2.2.

Exercice 25 · pratique

Une somme qui ne commence pas au début

Soit (Un)(U_{n}) la suite arithmétique définie par U0=2U_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, Un+1=Un+5.U_{n+1} = U_{n} + 5. Calcule S=U5+U6+…+U50.S = U_{5} + U_{6} + \ldots + U_{50}.

Soit (Un)(U_{n}) la suite arithmétique définie par U0=2U_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, U indice (n plus un) égale U indice n plus 5. Calcule S=U5+U6+…+U50.S = U_{5} + U_{6} + \ldots + U_{50}.Soit U indice n la suite arithmétique définie par U indice 0 égale 2 et, pour tout entier naturel n, U indice (n plus un) égale U indice n plus 5. Calcule S égale U indice 5 plus U indice 6 plus et ainsi de suite plus U indice 50.

Réponse attendue : 6417

Indices, dans l’ordre

  1. Il te faut trois choses : le premier terme de la somme U5,U_{5}, le dernier U50,U_{50}, et le nombre de termes.
  2. Un=2+5n,U_{n} = 2 + 5n, et de l'indice 55 à l'indice 5050 il y a 50−5+150 - 5 + 1 termes.

Correction

  1. Les deux bouts — U5=2+5×5=27;U50=2+5×50=252U_{5} = 2 + 5 \times 5 = 27 \quad ; \quad U_{50} = 2 + 5 \times 50 = 252
  2. Le nombre de termes — 50−5+1=4650 - 5 + 1 = 46
  3. La somme — S=46×27+2522=23×279=6417S = 46 \times \frac{27 + 252}{2} = 23 \times 279 = 6417

Dans la formule, aa est le premier terme de la somme, ici U5,U_{5}, pas U0.U_{0}.

Pièges anticipés

  • 6277.5 / 12555/2 → Tu as pris 4545 termes : de l'indice 55 à l'indice 5050 il y en a 50−5+1=46.50 - 5 + 1 = 46.
  • 6477 → Tu as calculé U0+U1+…+U50U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{50} : la somme demandée commence à U5.U_{5}.

Exercice 26 · raisonnement

Deux informations, deux inconnues

Soit (Un)(U_{n}) une suite arithmétique de premier terme U0U_{0} et de raison r.r. On donne U5=6U_{5} = 6 et S=48,S = 48, où S=U0+U1+…+U11.S = U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{11}. Détermine le premier terme U0.U_{0}.

Donne seulement le premier terme.

Réponse attendue : 26

Indices, dans l’ordre

  1. Traduis chaque information par une équation d'inconnues U0U_{0} et r.r.
  2. SS a 1212 termes, de U0U_{0} à U11=U0+11r.U_{11} = U_{0} + 11r.12×U0+U0+11r2=4812 \times \frac{U_{0} + U_{0} + 11r}{2} = 48
  3. Tu obtiens le système U0+5r=6U_{0} + 5r = 6 et 2×U0+11r=8.2 \times U_{0} + 11r = 8.

Correction

  1. Le terme U5 — U0+5r=6U_{0} + 5r = 6
  2. La somme — 6×(2×U0+11r)=48  ⟺  2×U0+11r=86 \times (2 \times U_{0} + 11r) = 48 \iff 2 \times U_{0} + 11r = 8
  3. La raison — On double la première équation, 2×U0+10r=12,2 \times U_{0} + 10r = 12, et on la retranche de la seconde.r=8−12=−4r = 8 - 12 = -4
  4. Le premier terme — U0=6−5×(−4)=26U_{0} = 6 - 5 \times (-4) = 26

Vérification : U11=26−44=−18U_{11} = 26 - 44 = -18 et 12×26−182=48.12 \times \dfrac{26 - 18}{2} = 48.

Pièges anticipés

  • -4 → −4-4 est la raison r.r. On demande le premier terme : U0=6−5r.U_{0} = 6 - 5r.

Exercice 27 · pratique

Retrouver la suite, puis sommer

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique telle que U3=2U_{3} = 2 et U11=26.U_{11} = 26. On pose S=U0+U1+…+U15.S = U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{15}. Calcule S.S.

Réponse attendue : 248

Indices, dans l’ordre

  1. Commence par la raison : de U3U_{3} à U11U_{11} il y a 88 pas.
  2. Avec r=3,r = 3, calcule U0U_{0} en reculant de 33 pas depuis U3,U_{3}, et U15U_{15} en avançant de 44 pas depuis U11.U_{11}.

Correction

  1. La raison — r=26−211−3=3r = \frac{26 - 2}{11 - 3} = 3
  2. Les deux bouts — U0=2−3×3=−7;U15=26+4×3=38U_{0} = 2 - 3 \times 3 = -7 \quad ; \quad U_{15} = 26 + 4 \times 3 = 38
  3. La somme — De U0U_{0} à U15U_{15} : 1616 termes.S=16×−7+382=8×31=248S = 16 \times \frac{-7 + 38}{2} = 8 \times 31 = 248

On retrouve d'abord la raison et les deux termes extrêmes, puis on applique la formule.

Pièges anticipés

  • 232.5 / 465/2 → De U0U_{0} à U15U_{15} il y a 1616 termes, pas 15.15.
  • 496 → Tu as multiplié 1616 par −7+38-7 + 38 : il reste à diviser par 2.2.

Exercice 28 · pratique

Une somme de termes négatifs

(Vn)(V_{n}) est une suite arithmétique de premier terme V0=12V_{0} = \dfrac{1}{2} et de raison r=−1.r = -1. Calcule la somme T=V9+V10+…+V15.T = V_{9} + V_{10} + \ldots + V_{15}.

Réponse attendue : -161/2 — aussi acceptées : -80.5

Indices, dans l’ordre

  1. Le terme général est Vn=12−nV_{n} = \dfrac{1}{2} - n : calcule V9V_{9} et V15.V_{15}.
  2. De l'indice 99 à l'indice 15,15, il y a 15−9+115 - 9 + 1 termes.

Correction

  1. Les deux bouts — V9=12−9=−172;V15=12−15=−292V_{9} = \frac{1}{2} - 9 = -\frac{17}{2} \quad ; \quad V_{15} = \frac{1}{2} - 15 = -\frac{29}{2}
  2. Le nombre de termes — 15−9+1=715 - 9 + 1 = 7
  3. La somme — Les deux bouts ajoutés donnent −462=−23.-\dfrac{46}{2} = -23.T=7×V9+V152=7×−232=−1612T = 7 \times \frac{V_{9} + V_{15}}{2} = 7 \times \frac{-23}{2} = -\frac{161}{2}

T=−80,5.T = -80{,}5. Pour comparer, la somme V0+V1+…+V15,V_{0} + V_{1} + \ldots + V_{15}, qui a 1616 termes, vaut −112.-112.

Pièges anticipés

  • -69 → De l'indice 99 à l'indice 1515 il y a 77 termes, pas 6.6.
  • -112 → C'est la somme depuis V0V_{0} : celle qu'on demande commence à V9.V_{9}.

Exercice 29 · base

Les économies de huit mois

Une mère de famille a économisé 1010 dinars le premier mois, puis 1515 dinars le mois suivant, et ainsi de suite, en économisant chaque mois 55 dinars de plus que le mois précédent. Combien a-t-elle économisé en tout au bout de huit mois ?

Donne la somme en dinars.

Réponse attendue : 220

Indices, dans l’ordre

  1. Les sommes mises de côté chaque mois forment une suite arithmétique de premier terme 1010 et de raison 5.5.
  2. Calcule ce qu'elle économise le huitième mois (77 pas après le premier), puis additionne les huit termes.

Correction

  1. Le huitième mois — 10+7×5=4510 + 7 \times 5 = 45
  2. Le total — 8×10+452=4×55=2208 \times \frac{10 + 45}{2} = 4 \times 55 = 220

En huit mois, elle a économisé 220220 dinars.

Pièges anticipés

  • 45 → 4545 dinars est ce qu'elle économise le huitième mois. On demande le total des huit mois.
  • 240 → Le huitième mois est à 77 pas du premier : elle économise 4545 dinars ce mois-là, pas 50.50.

Exercice 30 · raisonnement

L'aspirateur

Une mère de famille économise 1010 dinars le premier mois, puis chaque mois 55 dinars de plus que le mois précédent. À la fin de quel mois ses économies suffiront-elles pour acheter un aspirateur qui coûte 205205 dinars ?

Écris seulement le numéro du mois, en chiffres, par exemple 5.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. C'est le total des économies qui doit atteindre le prix, pas le versement d'un seul mois.
  2. Au bout de nn mois, le dernier versement est 10+5(n−1)10 + 5(n - 1) et le total est :n×10+10+5(n−1)2n \times \frac{10 + 10 + 5(n - 1)}{2}
  3. Calcule le total au bout de 77 mois, puis au bout d'un mois de plus.

Correction

  1. Au bout de 7 mois — 7×10+402=175<2057 \times \frac{10 + 40}{2} = 175 < 205
  2. Un mois de plus — 175+45=220≥205175 + 45 = 220 \ge 205

Ses économies suffisent à la fin du huitième mois.

Pièges anticipés

  • 40 → Tu as cherché le mois où le versement vaut 205205 dinars. C'est le total des économies qui doit atteindre 205.205.
  • 7 → Au bout de 77 mois, elle n'a que 175175 dinars : ce n'est pas encore assez.

Exercice 31 · raisonnement

Des vingt premiers aux cent premiers

La somme des 2020 premiers termes d'une suite arithmétique de raison 33 est 610.610. Calcule la somme des 100100 premiers termes de cette suite.

Réponse attendue : 15050

Indices, dans l’ordre

  1. Appelle aa le premier terme. Le vingtième terme est à 1919 pas du premier : a+57.a + 57.
  2. Résous 20×a+a+572=61020 \times \dfrac{a + a + 57}{2} = 610 pour trouver a.a.
  3. Le centième terme est à 9999 pas du premier.

Correction

  1. Le premier terme — 10 (2a+57)=610  ⟺  2a+57=61  ⟺  a=210\,(2a + 57) = 610 \iff 2a + 57 = 61 \iff a = 2
  2. Le centième terme — 2+99×3=2992 + 99 \times 3 = 299
  3. La somme — 100×2+2992=50×301=15 050100 \times \frac{2 + 299}{2} = 50 \times 301 = 15\,050

Le premier terme vaut 2,2, et la somme des cent premiers termes 15 050.15\,050.

Pièges anticipés

  • 2 → 22 est le premier terme de la suite. Il reste à calculer la somme des 100100 premiers termes.
  • 15200 → Le centième terme est à 9999 pas du premier : il vaut 2+99×3=299,2 + 99 \times 3 = 299, pas 302.302.

Exercice 32 · raisonnement

Les multiples de 7

Calcule la somme de tous les multiples de 77 compris entre 100100 et 1000.1000.

Réponse attendue : 70336

Indices, dans l’ordre

  1. Cherche le plus petit et le plus grand multiple de 77 entre 100100 et 1000.1000.
  2. Ce sont 105=7×15105 = 7 \times 15 et 994=7×142.994 = 7 \times 142. Combien y en a-t-il de 7×157 \times 15 à 7×1427 \times 142 ?

Correction

  1. Les deux bouts — 105=7×15;994=7×142105 = 7 \times 15 \quad ; \quad 994 = 7 \times 142
  2. Le nombre de multiples — 142−15+1=128142 - 15 + 1 = 128
  3. La somme — Ce sont 128128 termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 7.7.128×105+9942=64×1099=70 336128 \times \frac{105 + 994}{2} = 64 \times 1099 = 70\,336

Il y a 128128 multiples de 77 entre 100100 et 1000,1000, et leur somme vaut 70 336.70\,336.

Pièges anticipés

  • 128 → 128128 est le nombre de multiples de 7.7. On demande leur somme.
  • 69786.5 / 139573/2 → Tu as pris 127127 termes : de 7×157 \times 15 à 7×1427 \times 142 il y en a 142−15+1=128.142 - 15 + 1 = 128.

Exercice 33 · raisonnement

Les pièces partagées

Un homme donne une pièce à une première personne, deux pièces à une deuxième, trois à une troisième, et ainsi de suite, en donnant chaque fois une pièce de plus, jusqu'à ce qu'il n'ait plus rien en poche. Il se dit alors : « Si j'avais donné autant de pièces à chacun, chacun aurait reçu 88 pièces. » Combien de personnes a-t-il rencontrées ?

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Appelle nn le nombre de personnes. Combien de pièces a-t-il données en tout ?
  2. Le total est 1+2+…+n,1 + 2 + \ldots + n, et il vaut aussi 88 fois le nombre de personnes.n(n+1)2=8n\frac{n(n + 1)}{2} = 8n

Correction

  1. Le total, de deux façons — n(n+1)2=8n\frac{n(n + 1)}{2} = 8n
  2. On simplifie par n — nn n'est pas nul.n+12=8  ⟺  n=15\frac{n + 1}{2} = 8 \iff n = 15
  3. Vérification — 1+2+…+15=15×162=120=8×151 + 2 + \ldots + 15 = \frac{15 \times 16}{2} = 120 = 8 \times 15

Il a rencontré 1515 personnes et distribué 120120 pièces.

Pièges anticipés

  • 16 → n+12=8\dfrac{n + 1}{2} = 8 donne n+1=16n + 1 = 16 : il reste à retrancher 1.1.
  • 8 → 88 est le nombre de pièces que chacun aurait reçu, pas le nombre de personnes.

Exercice 34 · raisonnement

La table de multiplication

On rassemble dans un tableau carré toutes les tables de multiplication de 11 à nn : la première ligne contient 1,1, 2,2, 3,3, …, nn ; la deuxième contient 2,2, 4,4, 6,6, …, 2n2n ; … ; la dernière contient n,n, 2n,2n, 3n,3n, …, n2.n^{2}. La somme de tous les nombres du tableau est égale à 2025.2025. Détermine n.n.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. La ligne numéro kk est kk fois la première ligne : sa somme est k×(1+2+…+n).k \times (1 + 2 + \ldots + n).
  2. La somme du tableau est donc (1+2+…+n)2.(1 + 2 + \ldots + n)^{2}. Or 2025=452.2025 = 45^{2}.

Correction

  1. Ligne par ligne — La ligne numéro kk a pour somme k×(1+2+…+n).k \times (1 + 2 + \ldots + n).
  2. Le tableau — (1+2+…+n)×(1+2+…+n)=(n(n+1)2)2(1 + 2 + \ldots + n) \times (1 + 2 + \ldots + n) = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^{2}
  3. L'équation — (n(n+1)2)2=2025=452  ⟺  n(n+1)=90  ⟺  n=9\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^{2} = 2025 = 45^{2} \iff n(n + 1) = 90 \iff n = 9

Pour n=9n = 9 : 1+2+…+9=451 + 2 + \ldots + 9 = 45 et 452=2025.45^{2} = 2025. De même, la somme vaut 100100 pour n=4.n = 4.

Pièges anticipés

  • 45 → 4545 est la somme 1+2+…+n.1 + 2 + \ldots + n. Il reste à trouver nn tel que n(n+1)2=45.\dfrac{n(n + 1)}{2} = 45.

Exercice 35 · raisonnement

Trois grands nombres

Les nombres 3 529 4613\,529\,461 ; 4 539 5624\,539\,562 et 5 549 6635\,549\,663 sont-ils trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ?

Réponds par oui ou par non.

Les nombres 3 529 461 ; 4 539 562 et 5 549 663 sont-ils trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ? Réponds par oui ou par non.Les nombres trois millions cinq cent vingt-neuf mille quatre cent soixante-et-un; quatre millions cinq cent trente-neuf mille cinq cent soixante-deux et cinq millions cinq cent quarante-neuf mille six cent soixante-trois sont-ils trois termes consécutifs d'une suite arithmétique? Réponds par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui ils le sont · ils le sont · oui ce sont trois termes consecutifs · oui ce sont trois termes consecutifs d'une suite arithmetique

Indices, dans l’ordre

  1. Trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique quand on passe du premier au deuxième, puis du deuxième au troisième, en ajoutant le même nombre.
  2. Calcule les deux différences et compare-les.

Correction

  1. Première différence — 4 539 562−3 529 461=1 010 1014\,539\,562 - 3\,529\,461 = 1\,010\,101Première différence : 4 539 562 moins 3 529 461 égale 1 010 101Première différence : quatre millions cinq cent trente-neuf mille cinq cent soixante-deux moins trois millions cinq cent vingt-neuf mille quatre cent soixante-et-un égale un million dix mille cent un
  2. Seconde différence — 5 549 663−4 539 562=1 010 1015\,549\,663 - 4\,539\,562 = 1\,010\,101Seconde différence : 5 549 663 moins 4 539 562 égale 1 010 101Seconde différence : cinq millions cinq cent quarante-neuf mille six cent soixante-trois moins quatre millions cinq cent trente-neuf mille cinq cent soixante-deux égale un million dix mille cent un

Les deux différences sont égales : ce sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 1 010 101.1\,010\,101.

Les deux différences sont égales : ce sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 1 010 101.Les deux différences sont égales: ce sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison un million dix mille cent un.

Pièges anticipés

  • non → Calcule les deux différences : elles valent toutes les deux 1 010 101.1\,010\,101.Calcule les deux différences : elles valent toutes les deux 1 010 101.Calcule les deux différences: elles valent toutes les deux un million dix mille cent un.

Exercice 36 · raisonnement

Un triangle de nombres

On écrit les entiers naturels non nuls en triangle : la ligne 11 contient seulement 11 ; la ligne 22 contient 2,2, 3,3, 44 ; la ligne 33 contient 5,5, 6,6, 7,7, 8,8, 99 ; la ligne 44 contient les entiers de 1010 à 1616 ; et ainsi de suite, chaque ligne ayant deux nombres de plus que la précédente. Dans quelle ligne se trouve le nombre 20052005 ?

Écris seulement le numéro de la ligne, en chiffres, par exemple 5.

Réponse attendue : 45

Indices, dans l’ordre

  1. Regarde le dernier nombre de chaque ligne : 1,1, 4,4, 9,9, 16,16, …
  2. La ligne kk contient 2k−12k - 1 nombres, et 1+3+5+…+(2k−1)=k21 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) = k^{2} : la ligne kk finit par k2.k^{2}.

Correction

  1. La fin de chaque ligne — Les lignes ont 1,1, 3,3, 5,5, … nombres : la ligne kk finit par la somme des kk premiers impairs.1+3+5+…+(2k−1)=k×1+(2k−1)2=k21 + 3 + 5 + \ldots + (2k - 1) = k \times \frac{1 + (2k - 1)}{2} = k^{2}
  2. On encadre 2005 — 442=1936<2005≤452=202544^{2} = 1936 < 2005 \le 45^{2} = 2025

La ligne 4444 finit à 19361936 et la ligne 4545 à 20252025 : le nombre 20052005 est dans la ligne 45.45.

Pièges anticipés

  • 44 → La ligne 4444 s'arrête à 442=193644^{2} = 1936 : 20052005 est plus loin, dans la ligne suivante.

Exercice 37 · pratique

Le dernier jeton

Un sac contient 2020 jetons numérotés de 11 à 20.20. À chaque fois, on tire deux jetons du sac et on les remplace par un seul jeton, qui porte la somme des numéros des deux jetons tirés. Quel est le numéro inscrit sur le dernier jeton qui reste dans le sac ?

Réponse attendue : 210

Indices, dans l’ordre

  1. Quand on remplace deux jetons par leur somme, la somme de tous les numéros du sac change-t-elle ?
  2. La somme des numéros reste la même du début à la fin : c'est 1+2+…+20.1 + 2 + \ldots + 20.

Correction

  1. Ce qui ne change pas — Remplacer deux jetons par leur somme ne change pas la somme de tous les numéros du sac.
  2. Le dernier jeton — Il porte donc la somme de départ.1+2+…+20=20×212=2101 + 2 + \ldots + 20 = \frac{20 \times 21}{2} = 210

Quel que soit l'ordre des tirages, le dernier jeton porte le numéro 210.210.

Pièges anticipés

  • 420 → 20×21=42020 \times 21 = 420 est le double de la somme : il reste à diviser par 2.2.
  • 190 → Tu as additionné de 11 à 1919 : le jeton 2020 compte aussi.

Exercice 38 · defi

L'arroseur des peupliers

Un fermier verse un seau d'eau au pied de chacun des 100100 peupliers qui bordent son champ. Les peupliers sont en ligne droite, espacés de 22 mètres, et le puits est au pied du premier. Le fermier ne porte qu'un seau à la fois, et il revient au puits après chaque arbre, y compris le dernier. Quelle distance, en mètres, parcourt-il en tout ?

Donne seulement le nombre de mètres.

Réponse attendue : 19800

Indices, dans l’ordre

  1. Le peuplier numéro kk est à 2(k−1)2(k - 1) mètres du puits. Quelle distance fait-il pour l'arroser, aller et retour ?
  2. Les trajets aller-retour sont 00 ; 44 ; 88 ; … : une suite arithmétique de raison 4,4, avec 100100 termes.

Correction

  1. Un aller-retour — Pour le peuplier numéro kk : deux fois 2(k−1)2(k - 1) mètres.4(k−1)4(k - 1)
  2. Le dernier — 4×99=3964 \times 99 = 396
  3. Le total — 100100 termes, de 00 à 396.396.100×0+3962=19 800100 \times \frac{0 + 396}{2} = 19\,800

Il parcourt 19 80019\,800 mètres, presque 2020 kilomètres : plus que l'aller-retour à pied jusqu'à une ville située à 99 kilomètres.

Pièges anticipés

  • 9900 → Tu as compté seulement les allers : il revient au puits à chaque fois, la distance est double.
  • 20200 → Le puits est au pied du premier peuplier : pour celui-là il ne marche pas. Les trajets vont de 00 à 396396 mètres.
  • 19602 → Ici le fermier revient au puits même après le dernier peuplier : il faut compter ce retour de 198198 mètres.

Exercice 39 · defi

Un terme commun à trois suites

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de premier terme 66 et de raison 1111 ; (Vn)(V_{n}) est une suite arithmétique de premier terme −8-8 et de raison 1313 ; (Tn)(T_{n}) est une suite arithmétique de premier terme 2929 et de raison 17.17. Quel est le plus petit entier naturel qui est à la fois un terme de (Un),(U_{n}), de (Vn)(V_{n}) et de (Tn)(T_{n}) ?

Réponse attendue : 369

Indices, dans l’ordre

  1. Vérifie que, pour tout n,n, Un+5U_{n} + 5 est un multiple de 11.11. Que peux-tu dire de Tn+5T_{n} + 5 ?
  2. Si xx est un terme commun, x+5x + 5 est un multiple de 1111 et de 17,17, donc de 187.187. Et x+8x + 8 doit être un multiple de 13.13.
  3. Essaie x=187k−5x = 187k - 5 pour k=1,k = 1, puis k=2.k = 2.

Correction

  1. Les termes de U et de T — Un+5=11(n+1);Tn+5=17(n+2)U_{n} + 5 = 11(n + 1) \quad ; \quad T_{n} + 5 = 17(n + 2)
  2. Un terme commun x — x+5x + 5 est multiple de 1111 et de 17,17, qui sont premiers entre eux : c'est un multiple de 187.187.x=187k−5x = 187k - 5
  3. La suite V — Il faut aussi que x+8=13n.x + 8 = 13n. Pour k=1k = 1 : 182+8=190,182 + 8 = 190, qui n'est pas multiple de 13.13. Pour k=2k = 2 :369+8=377=13×29369 + 8 = 377 = 13 \times 29

Le plus petit terme commun est 369=U33=V29=T20.369 = U_{33} = V_{29} = T_{20}.

Pièges anticipés

  • 182 → 182182 est bien un terme de (Un)(U_{n}) et de (Tn),(T_{n}), mais pas de (Vn)(V_{n}) : 182+8=190182 + 8 = 190 n'est pas un multiple de 13.13.

Exercice 40 · defi

Dix millions

Une suite arithmétique (an)(a_{n}) a pour terme général an=π×(2n+1)4.a_{n} = \dfrac{\pi \times (2n + 1)}{4}. Détermine le plus petit entier naturel nn tel que an≥107.a_{n} \ge 10^{7}. Tu peux utiliser la calculatrice.

Réponse attendue : 6366198

Indices, dans l’ordre

  1. Isole nn dans l'inéquation : multiplie par 4,4, divise par π,\pi, retranche 1,1, divise par 2.2.
  2. Divise 4×1074 \times 10^{7} par π,\pi, retranche 1,1, puis prends la moitié : nn doit être supérieur ou égal à ce nombre, qui n'est pas entier. Lequel des deux entiers voisins convient ?

Correction

  1. L'inéquation — π×(2n+1)4≥107  ⟺  2n+1≥4×107π\frac{\pi \times (2n + 1)}{4} \ge 10^{7} \iff 2n + 1 \ge \frac{4 \times 10^{7}}{\pi}
  2. À la calculatrice — 4×107π≈12 732 395,4doncn≥6 366 197,2\frac{4 \times 10^{7}}{\pi} \approx 12\,732\,395{,}4 \quad \text{donc} \quad n \ge 6\,366\,197{,}2À la calculatrice : 4 fois 10 puissance 7, le tout sur pie vaut environ 12 732 395,4 donc n supérieur ou égal à 6 366 197,2À la calculatrice : 4 fois 10 puissance 7, le tout sur pie vaut environ douze millions sept cent trente-deux mille trois cent quatre-vingt-quinze virgule quatre donc n supérieur ou égal à six millions trois cent soixante-six mille cent quatre-vingt-dix-sept virgule deux
  3. L'entier — nn est un entier : le plus petit qui convient est le premier entier au-dessus.n=6 366 198n = 6\,366\,198L'entier. nn est un entier : le plus petit qui convient est le premier entier au-dessus. n égale 6 366 198L'entier. n est un entier: le plus petit qui convient est le premier entier au-dessus. n égale six millions trois cent soixante-six mille cent quatre-vingt-dix-huit

À partir de n=6 366 198,n = 6\,366\,198, tous les termes dépassent 10710^{7} : la suite est croissante, car sa raison π2\dfrac{\pi}{2} est positive.

À partir de n égale 6 366 198, tous les termes dépassent 10710^{7} : la suite est croissante, car sa raison π2\dfrac{\pi}{2} est positive.À partir de n égale six millions trois cent soixante-six mille cent quatre-vingt-dix-huit, tous les termes dépassent 10 puissance 7: la suite est croissante, car sa raison pie sur 2 est positive.

Pièges anticipés

  • 6366197 → Pour n=6 366 197,n = 6\,366\,197, ana_{n} est encore un peu en dessous de 10710^{7} : il faut prendre l'entier suivant.Pour n égale 6 366 197, ana_{n} est encore un peu en dessous de 10710^{7} : il faut prendre l'entier suivant.Pour n égale six millions trois cent soixante-six mille cent quatre-vingt-dix-sept, a indice n est encore un peu en dessous de 10 puissance 7: il faut prendre l'entier suivant.

Exercice 41 · base

Un terme par le terme général

Soit (Vn)(V_{n}) la suite définie par Vn=3n2−5V_{n} = 3n^{2} - 5 pour tout entier naturel n.n. Calculer V4.V_{4}.

Réponse attendue : 43

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace nn par 44 dans l'expression de Vn.V_{n}.
  2. Calcule d'abord le carré, 42,4^{2}, puis multiplie par 3.3.

Correction

  1. On remplace n par 4 — V4=3×42−5V_{4} = 3 \times 4^{2} - 5
  2. Le calcul — V4=3×16−5=43V_{4} = 3 \times 16 - 5 = 43

Avec le terme général, on obtient un terme en remplaçant nn par son indice : le carré se calcule avant le produit.

Pièges anticipés

  • 139 → Tu as calculé (3×4)2(3 \times 4)^{2} : seul nn est au carré, on calcule 3×42=48.3 \times 4^{2} = 48.
  • 19 → 424^{2} ne vaut pas 2×42 \times 4 : c'est 4×4=16.4 \times 4 = 16.

Exercice 42 · base

Le troisième terme

Soit (Wn)n≥1(W_{n})_{n \ge 1} la suite définie par Wn=n−1nW_{n} = \dfrac{n - 1}{n} pour tout entier naturel n≥1.n \ge 1. Calculer le troisième terme de cette suite, en valeur exacte.

Donner la valeur exacte, sous forme de fraction.

Réponse attendue : 2/3

Indices, dans l’ordre

  1. La suite commence à l'indice 11 : son premier terme est W1.W_{1}.
  2. Le troisième terme est donc W3W_{3} : remplace nn par 3.3.

Correction

  1. Les premiers termes — Le premier terme est W1,W_{1}, le deuxième W2,W_{2}, le troisième W3.W_{3}.
  2. Le calcul — W3=3−13=23W_{3} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}

Le rang d'un terme dépend de l'indice de départ : ici la suite commence à n=1,n = 1, donc le troisième terme est W3.W_{3}.

Pièges anticipés

  • 1/2 / 0.5 → 12\dfrac{1}{2} est W2W_{2} : tu as compté comme si la suite commençait à W0.W_{0}. Elle commence à W1.W_{1}.
  • 3/4 / 0.75 → 34\dfrac{3}{4} est W4,W_{4}, le quatrième terme.
  • 0.67 / 0.66 / 0.7 / 0.667 / 0.666 → C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte, sous forme de fraction.

Exercice 43 · base

Trois pas de récurrence

On considère la suite (un)(u_{n}) définie par u0=4u_{0} = 4 et, pour tout entier naturel n,n, un+1=2un−5.u_{n+1} = 2u_{n} - 5. Calculer u3.u_{3}.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Avec une relation de récurrence, on calcule les termes l'un après l'autre : d'abord u1,u_{1}, puis u2.u_{2}.
  2. u1=2×4−5.u_{1} = 2 \times 4 - 5. Continue de la même façon.

Correction

  1. u1 — u1=2×4−5=3u_{1} = 2 \times 4 - 5 = 3
  2. u2 — u2=2×3−5=1u_{2} = 2 \times 3 - 5 = 1
  3. u3 — u3=2×1−5=−3u_{3} = 2 \times 1 - 5 = -3

Pour atteindre u3u_{3} à partir de u0,u_{0}, on applique trois fois la relation de récurrence.

Pièges anticipés

  • 1 → 11 est u2u_{2} : il reste encore un pas pour arriver à u3.u_{3}.
  • -11 → −11-11 est u4u_{4} : tu as fait un pas de trop.

Exercice 44 · pratique

Retrouver l'indice

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=n2−6n+10U_{n} = n^{2} - 6n + 10 pour tout entier naturel n.n. Déterminer l'entier naturel nn tel que Un=26.U_{n} = 26.

Donner la valeur de n.n.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Écris l'équation n2−6n+10=26,n^{2} - 6n + 10 = 26, puis ramène tout dans un membre.
  2. Résous l'équation du second degré n2−6n−16=0.n^{2} - 6n - 16 = 0.
  3. nn est un entier naturel : garde seulement la solution qui convient.

Correction

  1. L'équation — n2−6n+10=26  ⟺  n2−6n−16=0n^{2} - 6n + 10 = 26 \iff n^{2} - 6n - 16 = 0
  2. Les solutions — Le discriminant vaut 36+64=100.36 + 64 = 100.n=6+102=8oun=6−102=−2n = \frac{6 + 10}{2} = 8 \quad \text{ou} \quad n = \frac{6 - 10}{2} = -2
  3. L'indice — −2-2 n'est pas un entier naturel.n=8n = 8

Chercher l'indice d'un terme donné, c'est résoudre une équation d'inconnue nn ; on ne garde que les entiers naturels.

Pièges anticipés

  • -2 → −2-2 est bien solution de l'équation, mais un indice est un entier naturel : il ne peut pas être négatif.

Exercice 45 · pratique

Des signes qui alternent

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=(−1)n×(2n+1)U_{n} = (-1)^{n} \times (2n + 1) pour tout entier naturel n.n. Calculer U10+U11.U_{10} + U_{11}.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. (−1)n(-1)^{n} vaut 11 quand nn est pair et −1-1 quand nn est impair.
  2. Calcule séparément U10U_{10} et U11,U_{11}, en faisant attention à leur signe.

Correction

  1. U10 — 1010 est pair.U10=1×21=21U_{10} = 1 \times 21 = 21
  2. U11 — 1111 est impair.U11=−1×23=−23U_{11} = -1 \times 23 = -23
  3. La somme — U10+U11=21−23=−2U_{10} + U_{11} = 21 - 23 = -2

Le facteur (−1)n(-1)^{n} donne le signe du terme : positif pour un indice pair, négatif pour un indice impair.

Pièges anticipés

  • 44 → Tu as oublié le facteur (−1)n(-1)^{n} : U11U_{11} est négatif, car 1111 est impair.
  • 2 → (−1)10=1(-1)^{10} = 1 et (−1)11=−1(-1)^{11} = -1 : c'est U11U_{11} qui est négatif, pas U10.U_{10}.

Exercice 46 · pratique

Changer d'indice : U indice 2n

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=4n−1U_{n} = 4n - 1 pour tout entier naturel n.n. Exprimer U2nU_{2n} en fonction de n,n, sous forme développée et réduite.

Écrire seulement l'expression, en fonction de n.n.

Réponse attendue : 8n-1

Indices, dans l’ordre

  1. U2nU_{2n} s'obtient en remplaçant nn par 2n2n dans la formule.
  2. Attention : on ne multiplie pas tout le terme UnU_{n} par 2.2.

Correction

  1. On remplace n par 2n — U2n=4×(2n)−1U_{2n} = 4 \times (2n) - 1
  2. On réduit — U2n=8n−1U_{2n} = 8n - 1

Pour écrire U2n,U_{2n}, on remplace nn par 2n2n dans le terme général : ce n'est pas 2×Un.2 \times U_{n}.

Pièges anticipés

  • 8n-2 → Tu as calculé 2×Un.2 \times U_{n}. U2nU_{2n} s'obtient en remplaçant nn par 2n2n : 4×2n−1.4 \times 2n - 1.
  • 4n+7 → Tu as calculé Un+2U_{n+2} : l'indice demandé est 2n,2n, pas n+2.n + 2.

Exercice 47 · pratique

Le terme précédent

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=n2+nU_{n} = n^{2} + n pour tout entier naturel n.n. Exprimer Un−1U_{n-1} en fonction de n,n, pour n≥1,n \ge 1, sous forme développée et réduite.

Écrire seulement l'expression, en fonction de n.n.

Réponse attendue : n^2-n

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace nn par n−1n - 1 partout dans la formule, avec des parenthèses.
  2. Développe (n−1)2(n - 1)^{2} avec l'identité remarquable, sans oublier le double produit.

Correction

  1. On remplace n par n − 1 — Un−1=(n−1)2+(n−1)U_{n-1} = (n - 1)^{2} + (n - 1)
  2. On développe — Un−1=n2−2n+1+n−1U_{n-1} = n^{2} - 2n + 1 + n - 1
  3. On réduit — Un−1=n2−nU_{n-1} = n^{2} - n

Le terme précédent Un−1U_{n-1} s'obtient en remplaçant nn par n−1,n - 1, avec des parenthèses autour de n−1.n - 1.

Pièges anticipés

  • n^2+n-1 → Tu as retranché 11 au terme Un.U_{n}. Il faut remplacer nn par n−1n - 1 dans la formule.
  • n^2+n-2 → (n−1)2(n - 1)^{2} ne vaut pas n2−1n^{2} - 1 : (n−1)2=n2−2n+1,(n - 1)^{2} = n^{2} - 2n + 1, sans oublier le double produit −2n.-2n.

Exercice 48 · raisonnement

Conjecturer le terme général

On considère la suite (Un)(U_{n}) définie par U0=1U_{0} = 1 et, pour tout entier naturel n,n, Un+1=Un+2n+1.U_{n+1} = U_{n} + 2n + 1. Calculer U1,U_{1}, U2,U_{2}, U3U_{3} et U4,U_{4}, conjecturer une expression de UnU_{n} en fonction de n,n, puis calculer U20.U_{20}.

Donner seulement la valeur de U20.U_{20}.

Réponse attendue : 401

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les premiers termes avec la relation : U1=1+0+1,U_{1} = 1 + 0 + 1, puis U2,U_{2}, …
  2. Compare chaque terme au carré de son indice : 0,0, 1,1, 4,4, 9,9, 16.16.
  3. Chaque terme dépasse de 11 le carré de son indice.

Correction

  1. Les premiers termes — U1=2;U2=5;U3=10;U4=17U_{1} = 2 \quad ; \quad U_{2} = 5 \quad ; \quad U_{3} = 10 \quad ; \quad U_{4} = 17
  2. La conjecture — 2=12+1,2 = 1^{2} + 1, 5=22+1,5 = 2^{2} + 1, 10=32+1,10 = 3^{2} + 1, 17=42+1.17 = 4^{2} + 1.Un=n2+1U_{n} = n^{2} + 1
  3. Vérification — Avec cette expression, Un+1−Un=(n+1)2−n2=2n+1U_{n+1} - U_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 : c'est bien la relation donnée.
  4. U20 — U20=202+1=401U_{20} = 20^{2} + 1 = 401

Calculer les premiers termes d'une suite récurrente permet de deviner son terme général ; on vérifie ensuite qu'il satisfait la relation.

Pièges anticipés

  • 400 → 400=202400 = 20^{2} : il manque le 1,1, puisque U0=1U_{0} = 1 et non 0.0.
  • 442 → Tu as pris (n+1)2+1(n + 1)^{2} + 1 : vérifie avec U1=2=12+1.U_{1} = 2 = 1^{2} + 1.

Exercice 49 · raisonnement

Le rang à partir duquel

Soit (Un)(U_{n}) la suite définie par Un=2n+3n+1U_{n} = \dfrac{2n + 3}{n + 1} pour tout entier naturel n.n. Vérifier que Un=2+1n+1,U_{n} = 2 + \dfrac{1}{n + 1}, puis déterminer le plus petit entier naturel nn tel que Un<2,01.U_{n} < 2{,}01.

Donner la valeur de n.n.

Réponse attendue : 100

Indices, dans l’ordre

  1. Pour la vérification, réduis 2+1n+12 + \dfrac{1}{n + 1} au même dénominateur.
  2. L'inégalité Un<2,01U_{n} < 2{,}01 devient 1n+1<0,01.\dfrac{1}{n + 1} < 0{,}01.
  3. Deux nombres strictement positifs sont rangés dans l'ordre inverse de leurs inverses : passe aux inverses.

Correction

  1. La vérification — 2+1n+1=2(n+1)+1n+1=2n+3n+12 + \frac{1}{n + 1} = \frac{2(n + 1) + 1}{n + 1} = \frac{2n + 3}{n + 1}
  2. L'inégalité — Un<2,01  ⟺  1n+1<1100U_{n} < 2{,}01 \iff \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{100}
  3. On passe aux inverses — n+1>100  ⟺  n>99n + 1 > 100 \iff n > 99
  4. Le plus petit entier — Pour n=99,n = 99, U99=2,01U_{99} = 2{,}01 exactement : l'inégalité stricte n'est pas vérifiée.n=100n = 100

Écrire le terme général sous la forme 2+1n+12 + \dfrac{1}{n + 1} montre comment il s'approche de 22 ; une inégalité stricte exclut le cas d'égalité.

Pièges anticipés

  • 99 → Pour n=99,n = 99, U99=2+1100=2,01U_{99} = 2 + \dfrac{1}{100} = 2{,}01 : l'inégalité est stricte, 9999 ne convient pas.
  • 101 → n=100n = 100 convient déjà : U100=2+1101<2,01.U_{100} = 2 + \dfrac{1}{101} < 2{,}01.

Exercice 50 · raisonnement

Une suite qui revient sur ses pas

On considère la suite (Un)(U_{n}) définie par U0=2U_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, Un+1=11−Un.U_{n+1} = \dfrac{1}{1 - U_{n}}. Calculer U1,U_{1}, U2U_{2} et U3,U_{3}, puis en déduire U100.U_{100}.

Donner seulement la valeur de U100.U_{100}.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les termes un par un : U1=11−2.U_{1} = \dfrac{1}{1 - 2}.
  2. Tu dois retrouver U3=U0U_{3} = U_{0} : les termes se répètent par blocs de trois.
  3. Écris la division euclidienne de 100100 par 33 : quel est le reste ?

Correction

  1. Les premiers termes — U1=11−2=−1;U2=11+1=12;U3=11−12=2U_{1} = \frac{1}{1 - 2} = -1 \quad ; \quad U_{2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \quad ; \quad U_{3} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2
  2. La répétition — U3=U0U_{3} = U_{0} : chaque terme ne dépend que du précédent, donc la suite reprend 2,2, −1,-1, 12,\dfrac{1}{2}, 2,2, … Ainsi Un+3=Un.U_{n+3} = U_{n}.
  3. Le reste — 100=3×33+1100 = 3 \times 33 + 1
  4. U100 — U100=U1=−1U_{100} = U_{1} = -1

Quand une suite récurrente retrouve un terme déjà rencontré, elle se répète : le reste de la division de l'indice par la longueur du cycle donne le terme.

Pièges anticipés

  • 2 → 22 est le terme d'indice multiple de 3.3. Or 100=3×33+1100 = 3 \times 33 + 1 : le reste est 1.1.
  • 1/2 / 0.5 → 12\dfrac{1}{2} correspond à un reste de 2.2. Or 100=3×33+1.100 = 3 \times 33 + 1.

Exercice 51 · defi

Une somme qui se télescope

Pour tout entier naturel n≥1,n \ge 1, on pose Sn=11×2+12×3+…+1n(n+1).S_{n} = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \ldots + \dfrac{1}{n(n + 1)}. Vérifier que, pour tout entier k≥1,k \ge 1, 1k(k+1)=1k−1k+1,\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}, puis calculer S99,S_{99}, en valeur exacte.

Donner la valeur exacte.

Réponse attendue : 99/100 — aussi acceptées : 0.99

Indices, dans l’ordre

  1. Réduis 1k−1k+1\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1} au même dénominateur.
  2. Écris chaque terme de S99S_{99} comme une différence : (1−12)+(12−13)+…\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \ldots
  3. Presque tout se simplifie : il ne reste que le premier et le dernier morceau.

Correction

  1. L'égalité — 1k−1k+1=k+1−kk(k+1)=1k(k+1)\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{k + 1 - k}{k(k + 1)} = \frac{1}{k(k + 1)}
  2. La somme — S99=(1−12)+(12−13)+…+(199−1100)S_{99} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)
  3. Les simplifications — Chaque −1k-\dfrac{1}{k} s'annule avec le +1k+\dfrac{1}{k} du morceau suivant.S99=1−1100=99100S_{99} = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}

Écrire chaque terme comme une différence fait disparaître les termes intermédiaires : on dit que la somme « se télescope ».

Pièges anticipés

  • 98/99 → Le dernier terme de S99S_{99} est 199×100=199−1100\dfrac{1}{99 \times 100} = \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100} : il reste 1−1100.1 - \dfrac{1}{100}.
  • 100/101 → 100101\dfrac{100}{101} est S100S_{100} : la somme S99S_{99} s'arrête au terme 199×100.\dfrac{1}{99 \times 100}.

Exercice 52 · base

Le terme du milieu

Les nombres 44 ; xx ; 1818 sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Déterminer le réel x.x.

Donner la valeur de x.x.

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

  1. Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison.
  2. Écris l'égalité des deux écarts : x−4=18−x.x - 4 = 18 - x.

Correction

  1. Les écarts égaux — x−4=18−xx - 4 = 18 - x
  2. On résout — 2x=22  ⟺  x=112x = 22 \iff x = 11

Le terme du milieu de trois termes consécutifs d'une suite arithmétique est la demi-somme des deux autres.

Pièges anticipés

  • 7 → 77 est la raison : 4+7=11.4 + 7 = 11. On demande le terme x.x.
  • 14 → 1414 est l'écart entre 44 et 1818 ; ce n'est pas le terme du milieu.

Exercice 53 · base

La raison cachée dans une relation

La suite (Un)(U_{n}) est définie par U0=3U_{0} = 3 et, pour tout entier naturel n,n, Un+1−Un+4=0.U_{n+1} - U_{n} + 4 = 0. Elle est arithmétique : déterminer sa raison.

Réponse attendue : -4

Indices, dans l’ordre

  1. Isole Un+1U_{n+1} dans la relation.
  2. Tu obtiens Un+1=Un+rU_{n+1} = U_{n} + r : lis rr avec son signe.

Correction

  1. On isole U(n+1) — Un+1−Un+4=0  ⟺  Un+1=Un−4U_{n+1} - U_{n} + 4 = 0 \iff U_{n+1} = U_{n} - 4
  2. La raison — r=−4r = -4

Pour lire la raison, on écrit la relation sous la forme Un+1=Un+r.U_{n+1} = U_{n} + r.

Pièges anticipés

  • 4 → Un+1=Un−4U_{n+1} = U_{n} - 4 : on retranche 44 à chaque pas, la raison est négative.
  • 3 → 33 est le premier terme U0,U_{0}, pas la raison.

Exercice 54 · base

Laquelle est arithmétique ?

Voici trois suites définies pour tout entier naturel nn : a) Un=n2+1U_{n} = n^{2} + 1 ; b) Vn=3−2n5V_{n} = 3 - \dfrac{2n}{5} ; c) Wn=2n.W_{n} = 2^{n}. Une seule de ces suites est arithmétique : indiquer laquelle (a, b ou c).

Donner seulement la lettre : a, b ou c.

Réponse attendue : b — aussi acceptées : la b · reponse b · la suite b · c'est la b · la reponse b · V · Vn · la suite V · la suite Vn

Indices, dans l’ordre

  1. Une suite de la forme an+ban + b est arithmétique : cherche celle qui s'écrit ainsi.
  2. Pour les deux autres, calcule les trois premiers termes et compare les écarts.

Correction

  1. La suite b — Vn=−25 n+3;Vn+1−Vn=−25V_{n} = -\frac{2}{5}\,n + 3 \quad ; \quad V_{n+1} - V_{n} = -\frac{2}{5}
  2. Les deux autres — U0=1,U_{0} = 1, U1=2,U_{1} = 2, U2=5U_{2} = 5 : les écarts 11 et 33 diffèrent. W0=1,W_{0} = 1, W1=2,W_{1} = 2, W2=4W_{2} = 4 : les écarts 11 et 22 diffèrent.

Une suite de terme général an+ban + b est arithmétique de raison aa ; pour montrer qu'une suite ne l'est pas, deux écarts différents suffisent.

Pièges anticipés

  • a / U / Un → Pour Un=n2+1U_{n} = n^{2} + 1 : U1−U0=1U_{1} - U_{0} = 1 mais U2−U1=3.U_{2} - U_{1} = 3. Les écarts changent.
  • c / W / Wn → Pour Wn=2nW_{n} = 2^{n} : W1−W0=1W_{1} - W_{0} = 1 mais W2−W1=2.W_{2} - W_{1} = 2. On multiplie par 2,2, on n'ajoute pas une constante.

Exercice 55 · pratique

Des carrés d'allumettes

Avec des allumettes, on forme une rangée de carrés accolés : il faut 44 allumettes pour un carré, 77 pour deux carrés, 1010 pour trois carrés, et ainsi de suite. On note ana_{n} le nombre d'allumettes nécessaires pour nn carrés, n≥1.n \ge 1. Calculer le nombre d'allumettes nécessaires pour 2525 carrés.

Donner seulement le nombre d'allumettes.

Réponse attendue : 76

Indices, dans l’ordre

  1. Chaque nouveau carré réutilise un côté du précédent : combien d'allumettes ajoute-t-on à chaque fois ?
  2. La suite (an)(a_{n}) est arithmétique de premier terme a1=4a_{1} = 4 : utilise an=a1+(n−1)r.a_{n} = a_{1} + (n - 1)r.

Correction

  1. La raison — Chaque carré ajouté demande 33 allumettes, car il partage un côté avec le précédent.an+1=an+3a_{n+1} = a_{n} + 3
  2. Le terme général — an=4+3(n−1)=3n+1a_{n} = 4 + 3(n - 1) = 3n + 1
  3. Pour 25 carrés — a25=3×25+1=76a_{25} = 3 \times 25 + 1 = 76

Une quantité qui augmente de la même valeur à chaque étape est une suite arithmétique ; ici le premier terme est a1,a_{1}, d'où an=a1+(n−1)r.a_{n} = a_{1} + (n - 1)r.

Pièges anticipés

  • 100 → Les carrés sont accolés : chaque carré ajouté partage un côté avec le précédent, il ne demande que 33 allumettes.
  • 75 → 3×25=753 \times 25 = 75 : il manque l'allumette du tout premier côté, an=3n+1.a_{n} = 3n + 1.
  • 79 → Tu as calculé 4+25×34 + 25 \times 3 : de a1a_{1} à a25a_{25} il y a 2424 pas, pas 25.25.

Exercice 56 · pratique

Une différence de carrés

La suite (Vn)(V_{n}) définie par Vn=(n+3)2−(n+1)2,V_{n} = (n + 3)^{2} - (n + 1)^{2}, pour tout entier naturel n,n, est arithmétique. Déterminer sa raison.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Développe les deux carrés, puis réduis.
  2. Tu obtiens une expression de la forme an+ban + b : la raison est le coefficient de n.n.

Correction

  1. On développe — Vn=(n2+6n+9)−(n2+2n+1)V_{n} = (n^{2} + 6n + 9) - (n^{2} + 2n + 1)
  2. On réduit — Vn=4n+8V_{n} = 4n + 8
  3. La raison — VnV_{n} est de la forme an+ban + b avec a=4.a = 4.Vn+1−Vn=4V_{n+1} - V_{n} = 4

Après simplification, un terme général de la forme an+ban + b est celui d'une suite arithmétique de raison a.a.

Pièges anticipés

  • 8 → 88 est le premier terme V0.V_{0}. La raison est le coefficient de nn dans Vn=4n+8.V_{n} = 4n + 8.
  • 2 → (n+3)2−(n+1)2(n + 3)^{2} - (n + 1)^{2} ne vaut pas 22 : développe chaque carré avec son double produit.

Exercice 57 · raisonnement

Une suite fabriquée à partir d'une autre

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de raison 3.3. On définit la suite (Vn)(V_{n}) par Vn=5−2UnV_{n} = 5 - 2U_{n} pour tout entier naturel n.n. Montrer que (Vn)(V_{n}) est arithmétique et déterminer sa raison.

Donner seulement la raison de (Vn).(V_{n}).

Réponse attendue : -6

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule Vn+1−VnV_{n+1} - V_{n} en fonction de Un+1U_{n+1} et de Un.U_{n}.
  2. Le 55 disparaît dans la différence ; il reste −2(Un+1−Un).-2(U_{n+1} - U_{n}).

Correction

  1. La différence — Vn+1−Vn=(5−2Un+1)−(5−2Un)=−2(Un+1−Un)V_{n+1} - V_{n} = (5 - 2U_{n+1}) - (5 - 2U_{n}) = -2(U_{n+1} - U_{n})
  2. La raison — Un+1−Un=3U_{n+1} - U_{n} = 3 pour tout n.n.Vn+1−Vn=−2×3=−6V_{n+1} - V_{n} = -2 \times 3 = -6

Si (Un)(U_{n}) est arithmétique de raison r,r, la suite aUn+baU_{n} + b est arithmétique de raison arar : la constante bb n'intervient pas.

Pièges anticipés

  • 6 → Le coefficient de UnU_{n} est −2-2 : la raison de (Vn)(V_{n}) est −2×3,-2 \times 3, négative.
  • -1 → Tu as calculé 5−2×3.5 - 2 \times 3. Dans la différence Vn+1−Vn,V_{n+1} - V_{n}, le 55 disparaît.

Exercice 58 · raisonnement

Trois expressions en progression

Déterminer le réel mm pour que les nombres m−1m - 1 ; 2m+12m + 1 ; 4m−34m - 3 soient, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Donner la valeur de m.m.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Trois nombres a,a, b,b, cc sont en progression arithmétique lorsque b−a=c−b.b - a = c - b.
  2. Écris (2m+1)−(m−1)=(4m−3)−(2m+1),(2m + 1) - (m - 1) = (4m - 3) - (2m + 1), puis résous.

Correction

  1. Les écarts égaux — (2m+1)−(m−1)=(4m−3)−(2m+1)(2m + 1) - (m - 1) = (4m - 3) - (2m + 1)
  2. On réduit — m+2=2m−4  ⟺  m=6m + 2 = 2m - 4 \iff m = 6
  3. Vérification — Pour m=6m = 6 : 55 ; 1313 ; 21,21, avec une raison de 8.8.

Trois termes consécutifs d'une suite arithmétique ont des écarts égaux : le terme du milieu est la demi-somme des deux autres.

Pièges anticipés

  • 5/3 → Tu as écrit a+c=b.a + c = b. La bonne relation est a+c=2ba + c = 2b : le terme du milieu est la demi-somme des deux autres.
  • 8 → 88 est la raison obtenue pour m=6.m = 6. On demande la valeur de m.m.

Exercice 59 · raisonnement

Somme et produit de trois termes

Trois nombres sont, dans l'ordre croissant, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique. Leur somme vaut 2727 et leur produit vaut 693.693. Déterminer le plus grand de ces trois nombres.

Donner seulement le plus grand nombre.

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

  1. Note les trois nombres a−r,a - r, aa et a+ra + r : leur somme se calcule facilement.
  2. La somme donne 3a=27.3a = 27. Remplace aa dans le produit.
  3. Tu obtiens 9(81−r2)=6939(81 - r^{2}) = 693 ; les nombres sont rangés dans l'ordre croissant, donc r>0.r > 0.

Correction

  1. La somme — (a−r)+a+(a+r)=3a=27  ⟺  a=9(a - r) + a + (a + r) = 3a = 27 \iff a = 9
  2. Le produit — 9(9−r)(9+r)=693  ⟺  81−r2=77  ⟺  r2=49(9 - r)(9 + r) = 693 \iff 81 - r^{2} = 77 \iff r^{2} = 4
  3. La raison — Les nombres sont croissants, donc r>0.r > 0.r=2r = 2
  4. Les trois nombres — 7  ;  9  ;  117 \;;\; 9 \;;\; 11

Pour trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, on les note a−r,a - r, a,a, a+ra + r : la somme donne directement a.a.

Pièges anticipés

  • 9 → 99 est le terme du milieu. Le plus grand est 9+r.9 + r.
  • 2 → 22 est la raison. Le plus grand nombre est 9+2.9 + 2.

Exercice 60 · raisonnement

Un triangle rectangle en progression

Les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle, exprimées en cm, sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 3.3. Calculer le périmètre de ce triangle, en cm.

Donner le périmètre en cm.

Réponse attendue : 36

Indices, dans l’ordre

  1. Note les côtés a−3,a - 3, aa et a+3a + 3 : le plus long, a+3,a + 3, est l'hypoténuse.
  2. Écris le théorème de Pythagore : (a−3)2+a2=(a+3)2.(a - 3)^{2} + a^{2} = (a + 3)^{2}.
  3. Développe : les termes en 99 s'éliminent et il reste une équation simple en a.a.

Correction

  1. Pythagore — (a−3)2+a2=(a+3)2(a - 3)^{2} + a^{2} = (a + 3)^{2}
  2. On développe — a2−6a+9+a2=a2+6a+9  ⟺  a2−12a=0a^{2} - 6a + 9 + a^{2} = a^{2} + 6a + 9 \iff a^{2} - 12a = 0
  3. La longueur — aa est une longueur, donc a≠0.a \ne 0.a=12a = 12
  4. Le périmètre — 9+12+15=369 + 12 + 15 = 36

Les côtés 9,9, 12,12, 1515 sont proportionnels à 3,3, 4,4, 5.5. Pour trois termes consécutifs, on choisit l'inconnue au milieu : a−r,a - r, a,a, a+r.a + r.

Pièges anticipés

  • 15 → 1515 cm est l'hypoténuse. On demande le périmètre : la somme des trois côtés.
  • 12 → 1212 cm est le côté du milieu, a.a. Il reste à additionner les trois côtés.

Exercice 61 · defi

Passer par l'inverse

On considère la suite (Un)(U_{n}) définie par U0=1U_{0} = 1 et, pour tout entier naturel n,n, Un+1=Un1+Un.U_{n+1} = \dfrac{U_{n}}{1 + U_{n}}. On admet que tous ses termes sont strictement positifs et on pose Vn=1Un.V_{n} = \dfrac{1}{U_{n}}. Montrer que (Vn)(V_{n}) est arithmétique, puis calculer U9,U_{9}, en valeur exacte.

Donner la valeur exacte de U9.U_{9}.

Réponse attendue : 1/10 — aussi acceptées : 0.1

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule Vn+1=1Un+1=1+UnUn,V_{n+1} = \dfrac{1}{U_{n+1}} = \dfrac{1 + U_{n}}{U_{n}}, puis sépare la fraction en deux.
  2. Tu trouves Vn+1=Vn+1V_{n+1} = V_{n} + 1 : quel est le premier terme V0V_{0} ?
  3. Écris VnV_{n} en fonction de n,n, puis reviens à Un=1Vn.U_{n} = \dfrac{1}{V_{n}}.

Correction

  1. La relation — Vn+1=1+UnUn=1Un+1=Vn+1V_{n+1} = \frac{1 + U_{n}}{U_{n}} = \frac{1}{U_{n}} + 1 = V_{n} + 1
  2. La suite (Vn) — (Vn)(V_{n}) est arithmétique de raison 11 et de premier terme V0=1.V_{0} = 1.Vn=1+nV_{n} = 1 + n
  3. On revient à U — Un=1n+1;U9=110U_{n} = \frac{1}{n + 1} \quad ; \quad U_{9} = \frac{1}{10}

Une suite auxiliaire bien choisie peut être arithmétique : on calcule son terme général, puis on revient à la suite de départ.

Pièges anticipés

  • 10 → 1010 est V9.V_{9}. On demande U9=1V9.U_{9} = \dfrac{1}{V_{9}}.
  • 1/9 → Vn=n+1,V_{n} = n + 1, car V0=1V_{0} = 1 : V9=10,V_{9} = 10, pas 9.9.

Exercice 62 · raisonnement

Les angles d'un triangle

Les mesures des trois angles d'un triangle sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, et le plus grand angle mesure le double du plus petit. Calculer la mesure du plus petit angle, en degrés.

Donner la mesure en degrés.

Réponse attendue : 40

Indices, dans l’ordre

  1. Note les angles a−r,a - r, a,a, a+ra + r : la somme des angles d'un triangle vaut 180∘.180^{\circ}.
  2. La somme donne a=60.a = 60. Traduis ensuite « le plus grand est le double du plus petit ».

Correction

  1. La somme des angles — (a−r)+a+(a+r)=180  ⟺  a=60(a - r) + a + (a + r) = 180 \iff a = 60
  2. Le double — 60+r=2(60−r)  ⟺  3r=60  ⟺  r=2060 + r = 2(60 - r) \iff 3r = 60 \iff r = 20
  3. Le plus petit angle — 60−20=4060 - 20 = 40

Dans tout triangle dont les angles sont en progression arithmétique, l'angle du milieu mesure 60∘.60^{\circ}.

Pièges anticipés

  • 60 → 60∘60^{\circ} est l'angle du milieu. Le plus petit est 60−r.60 - r.
  • 80 → 80∘80^{\circ} est le plus grand angle. On demande le plus petit.

Exercice 63 · defi

Quatre termes, somme et carrés

Quatre nombres sont, dans l'ordre croissant, quatre termes consécutifs d'une suite arithmétique. Leur somme vaut 2020 et la somme de leurs carrés vaut 120.120. Déterminer le plus petit de ces quatre nombres.

Donner seulement le plus petit nombre.

Réponse attendue : 2

Indices, dans l’ordre

  1. Pour que la somme se simplifie, note les quatre nombres a−3d,a - 3d, a−d,a - d, a+da + d et a+3da + 3d : la raison est alors 2d.2d.
  2. La somme donne 4a=20.4a = 20. Développe ensuite la somme des carrés : les termes en adad s'annulent.
  3. Tu obtiens 4a2+20d2=1204a^{2} + 20d^{2} = 120 ; les nombres sont croissants, donc d>0.d > 0.

Correction

  1. La somme — 4a=20  ⟺  a=54a = 20 \iff a = 5
  2. Les carrés — (a−3d)2+(a−d)2+(a+d)2+(a+3d)2=4a2+20d2(a - 3d)^{2} + (a - d)^{2} + (a + d)^{2} + (a + 3d)^{2} = 4a^{2} + 20d^{2}
  3. On résout — 100+20d2=120  ⟺  d2=1  ⟺  d=1100 + 20d^{2} = 120 \iff d^{2} = 1 \iff d = 1
  4. Les quatre nombres — 2  ;  4  ;  6  ;  82 \;;\; 4 \;;\; 6 \;;\; 8

Avec un nombre pair de termes, on les écrit symétriquement autour de leur moyenne : a−3d,a - 3d, a−d,a - d, a+d,a + d, a+3d,a + 3d, de raison 2d.2d.

Pièges anticipés

  • 5 → 55 est la moyenne des quatre nombres, ce n'est pas l'un d'eux.
  • 8 → 88 est le plus grand des quatre nombres. On demande le plus petit.
  • 4 → 44 est le deuxième nombre. Les quatre nombres sont 5−3d,5 - 3d, 5−d,5 - d, 5+d5 + d et 5+3d.5 + 3d.

Exercice 64 · defi

Deux termes consécutifs additionnés

Une suite (Un)(U_{n}) vérifie U0=2U_{0} = 2 et, pour tout entier naturel n,n, Un+Un+1=4n+6.U_{n} + U_{n+1} = 4n + 6. Calculer U1,U_{1}, U2U_{2} et U3,U_{3}, vérifier que la suite de terme général 2n+22n + 2 satisfait ces conditions, puis calculer U50.U_{50}.

Donner seulement la valeur de U50.U_{50}.

Réponse attendue : 102

Indices, dans l’ordre

  1. Pour n=0n = 0 : U0+U1=6.U_{0} + U_{1} = 6. Continue avec n=1n = 1 et n=2.n = 2.
  2. Vérifie que (2n+2)+(2(n+1)+2)=4n+6(2n + 2) + (2(n + 1) + 2) = 4n + 6 et que la formule donne bien U0=2.U_{0} = 2.
  3. Chaque terme est déterminé par le précédent : la suite est celle de terme général 2n+2.2n + 2.

Correction

  1. Les premiers termes — U1=6−2=4;U2=10−4=6;U3=14−6=8U_{1} = 6 - 2 = 4 \quad ; \quad U_{2} = 10 - 4 = 6 \quad ; \quad U_{3} = 14 - 6 = 8
  2. La vérification — (2n+2)+(2n+4)=4n+6;2×0+2=2(2n + 2) + (2n + 4) = 4n + 6 \quad ; \quad 2 \times 0 + 2 = 2
  3. L'unicité — La relation donne Un+1=4n+6−UnU_{n+1} = 4n + 6 - U_{n} : connaissant U0,U_{0}, tous les termes sont déterminés. La suite est arithmétique de raison 2.2.
  4. U50 — U50=2×50+2=102U_{50} = 2 \times 50 + 2 = 102

La relation Un+Un+1=4n+6U_{n} + U_{n+1} = 4n + 6 fixe chaque terme à partir du précédent : il suffit de vérifier qu'une formule la satisfait, avec le bon premier terme.

Pièges anticipés

  • 104 → 104104 est U51U_{51} : vérifie avec U1=4=2×1+2.U_{1} = 4 = 2 \times 1 + 2.
  • 206 → 206206 est U50+U51,U_{50} + U_{51}, d'après la relation pour n=50.n = 50. On demande U50U_{50} seul.

Exercice 65 · base

Quand le premier terme est U indice 1

(Un)n≥1(U_{n})_{n \ge 1} est une suite arithmétique de premier terme U1=7U_{1} = 7 et de raison 4.4. Calculer U15.U_{15}.

Réponse attendue : 63

Indices, dans l’ordre

  1. Le premier terme est U1,U_{1}, pas U0U_{0} : utilise Un=U1+(n−1)r.U_{n} = U_{1} + (n - 1)r.
  2. De U1U_{1} à U15,U_{15}, combien de pas fait-on ?

Correction

  1. La formule — U15=U1+(15−1)×4U_{15} = U_{1} + (15 - 1) \times 4
  2. Le calcul — U15=7+56=63U_{15} = 7 + 56 = 63

Quand la suite commence à U1,U_{1}, on écrit Un=U1+(n−1)rU_{n} = U_{1} + (n - 1)r : il y a n−1n - 1 pas de U1U_{1} à Un.U_{n}.

Pièges anticipés

  • 67 → Tu as ajouté 1515 fois la raison. De U1U_{1} à U15U_{15} il y a 1414 pas.
  • 60 → 15×4=6015 \times 4 = 60 : il faut partir du premier terme U1=7,U_{1} = 7, et faire 1414 pas.

Exercice 66 · base

Écrire le terme général

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de premier terme U0=12U_{0} = 12 et de raison r=−52.r = -\dfrac{5}{2}. Exprimer UnU_{n} en fonction de n,n, sous forme développée et réduite.

Donner l'expression de Un.U_{n}.

Réponse attendue : 12-5n/2

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise la formule Un=U0+nr.U_{n} = U_{0} + nr.
  2. Remplace U0U_{0} et rr par leurs valeurs, en gardant le signe de r.r.

Correction

  1. La formule — Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr
  2. On remplace — Un=12+n×(−52)=12−52 nU_{n} = 12 + n \times \left(-\frac{5}{2}\right) = 12 - \frac{5}{2}\,n

Le terme général d'une suite arithmétique est Un=U0+nrU_{n} = U_{0} + nr : la raison est le coefficient de n.n.

Pièges anticipés

  • 12n-5/2 → Tu as échangé les rôles : la raison multiplie n,n, et le premier terme est la constante.
  • 12+5n/2 → La raison est négative : Un=12−52 n.U_{n} = 12 - \dfrac{5}{2}\,n.

Exercice 67 · pratique

Reculer jusqu'au premier terme

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique telle que U4=10U_{4} = 10 et U5=13.U_{5} = 13. Calculer son premier terme U0.U_{0}.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Deux termes consécutifs donnent la raison.
  2. De U0U_{0} à U4,U_{4}, il y a 44 pas : U4=U0+4r.U_{4} = U_{0} + 4r.

Correction

  1. La raison — r=U5−U4=3r = U_{5} - U_{4} = 3
  2. Le premier terme — U0=U4−4r=10−12=−2U_{0} = U_{4} - 4r = 10 - 12 = -2

On recule d'un terme connu au premier terme en retranchant autant de fois la raison qu'il y a de pas.

Pièges anticipés

  • 1 → Tu as retranché 33 fois la raison : de U0U_{0} à U4U_{4} il y a 44 pas.
  • 22 → Pour reculer, on retranche la raison : U0=U4−4r.U_{0} = U_{4} - 4r.

Exercice 68 · base

Le loyer de la dixième année

Le loyer annuel d'un local commercial est de 3 5003\,500 dinars la première année, puis il augmente de 150150 dinars chaque année. Calculer le loyer de la dixième année, en dinars.

Donner le loyer en dinars.

Réponse attendue : 4850

Indices, dans l’ordre

  1. Les loyers successifs forment une suite arithmétique de raison 150.150.
  2. De la première à la dixième année, combien d'augmentations y a-t-il ?

Correction

  1. La suite — On note LnL_{n} le loyer de la nn-ième année : L1=3 500L_{1} = 3\,500 et la raison vaut 150.150.Ln=3 500+(n−1)×150L_{n} = 3\,500 + (n - 1) \times 150
  2. La dixième année — L10=3 500+9×150=4 850L_{10} = 3\,500 + 9 \times 150 = 4\,850

Entre la première et la dixième année, il y a neuf augmentations : L10=L1+9r.L_{10} = L_{1} + 9r.

Pièges anticipés

  • 5000 → Tu as compté 1010 augmentations. La première année, le loyer n'a pas encore augmenté : il y en a 9.9.
  • 41750 → 41 75041\,750 dinars est le total des dix loyers. On demande le loyer de la dixième année seulement.

Exercice 69 · raisonnement

Deux termes à égale distance

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique telle que U2+U8=30.U_{2} + U_{8} = 30. Calculer U5.U_{5}.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Exprime U2U_{2} et U8U_{8} à partir de U5U_{5} et de la raison r.r.
  2. U2=U5−3rU_{2} = U_{5} - 3r et U8=U5+3rU_{8} = U_{5} + 3r : additionne.

Correction

  1. À partir de U5 — U2=U5−3r;U8=U5+3rU_{2} = U_{5} - 3r \quad ; \quad U_{8} = U_{5} + 3r
  2. La somme — U2+U8=2U5=30U_{2} + U_{8} = 2U_{5} = 30
  3. Le résultat — U5=15U_{5} = 15

U5U_{5} est à égale distance de U2U_{2} et de U8U_{8} : c'est leur demi-somme, quelle que soit la raison.

Pièges anticipés

  • 30 → 3030 est U2+U8=2U5U_{2} + U_{8} = 2U_{5} : il reste à diviser par 2.2.
  • 10 → Tu as divisé par 3.3. La somme U2+U8U_{2} + U_{8} vaut 2U5.2U_{5}.

Exercice 70 · pratique

Une raison fractionnaire

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique telle que U7=3U_{7} = 3 et U19=−5.U_{19} = -5. Calculer son premier terme U0,U_{0}, en valeur exacte.

Donner la valeur exacte, sous forme de fraction.

Réponse attendue : 23/3

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule d'abord la raison : U19=U7+12r.U_{19} = U_{7} + 12r.
  2. Puis recule de U7U_{7} à U0U_{0} : U0=U7−7r,U_{0} = U_{7} - 7r, attention au signe de r.r.

Correction

  1. La raison — r=U19−U719−7=−812=−23r = \frac{U_{19} - U_{7}}{19 - 7} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}
  2. Le premier terme — U0=U7−7r=3+143=233U_{0} = U_{7} - 7r = 3 + \frac{14}{3} = \frac{23}{3}

Deux termes connus donnent la raison, r=Un−Upn−pr = \dfrac{U_{n} - U_{p}}{n - p} ; un terme et la raison donnent ensuite n'importe quel autre terme.

Pièges anticipés

  • -2/3 → −23-\dfrac{2}{3} est la raison. On demande le premier terme U0=U7−7r.U_{0} = U_{7} - 7r.
  • -5/3 → rr est négatif : −7r=+143.-7r = +\dfrac{14}{3}. Donc U0=3+143.U_{0} = 3 + \dfrac{14}{3}.
  • 7.67 / 7.66 / 7.7 / 7.667 / 7.666 → C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte, sous forme de fraction.

Exercice 71 · pratique

Le rang d'un terme

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de premier terme U0=5U_{0} = 5 et de raison 7.7. Déterminer l'entier naturel nn tel que Un=2 021.U_{n} = 2\,021.

Donner la valeur de n.n.

Réponse attendue : 288

Indices, dans l’ordre

  1. Écris UnU_{n} en fonction de n,n, puis l'équation Un=2 021.U_{n} = 2\,021.
  2. Résous 5+7n=2 0215 + 7n = 2\,021 : nn doit être un entier naturel.

Correction

  1. Le terme général — Un=5+7nU_{n} = 5 + 7n
  2. L'équation — 5+7n=2 021  ⟺  7n=2 016  ⟺  n=2885 + 7n = 2\,021 \iff 7n = 2\,016 \iff n = 288

Pour savoir si un nombre est un terme de la suite, on résout Un=U_{n} = ce nombre : il l'est quand la solution est un entier naturel.

Pièges anticipés

  • 2021/7 → Tu as oublié le premier terme : Un=5+7n,U_{n} = 5 + 7n, donc 7n=2 021−5.7n = 2\,021 - 5.
  • 289 → 289289 est le rang du terme (U0U_{0} est le premier). On demande l'indice n.n.

Exercice 72 · pratique

Le premier terme négatif

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique de premier terme U0=1 000U_{0} = 1\,000 et de raison −13.-13. Déterminer le plus petit entier naturel nn tel que Un<0.U_{n} < 0.

Donner la valeur de n.n.

Réponse attendue : 77

Indices, dans l’ordre

  1. Écris Un=1 000−13nU_{n} = 1\,000 - 13n et résous l'inéquation 1 000−13n<0.1\,000 - 13n < 0.
  2. Tu obtiens n>1 00013n > \dfrac{1\,000}{13} : quel est le premier entier qui convient ?

Correction

  1. L'inéquation — 1 000−13n<0  ⟺  13n>1 000  ⟺  n>1 000131\,000 - 13n < 0 \iff 13n > 1\,000 \iff n > \frac{1\,000}{13}
  2. La valeur — 1 00013≈76,92\frac{1\,000}{13} \approx 76{,}92
  3. Vérification — U76=12;U77=−1U_{76} = 12 \quad ; \quad U_{77} = -1
  4. Le plus petit entier — n=77n = 77

Une inéquation en nn donne un réel ; on prend ensuite le premier entier qui la vérifie, et on contrôle avec deux termes.

Pièges anticipés

  • 76 → U76=1 000−988=12U_{76} = 1\,000 - 988 = 12 est encore positif : il faut l'entier suivant.
  • -1 → −1-1 est la valeur du premier terme négatif. On demande son indice n.n.

Exercice 73 · pratique

Les rangées d'un amphithéâtre

Dans un amphithéâtre, la première rangée compte 2222 sièges et chaque rangée compte 33 sièges de plus que la précédente. La dernière rangée compte 8585 sièges. Déterminer le nombre de rangées de l'amphithéâtre.

Donner seulement le nombre de rangées.

Réponse attendue : 22

Indices, dans l’ordre

  1. Note sns_{n} le nombre de sièges de la rangée nn : s1=22s_{1} = 22 et la raison vaut 3.3.
  2. Résous sn=85,s_{n} = 85, avec sn=22+3(n−1).s_{n} = 22 + 3(n - 1).

Correction

  1. Le terme général — sn=22+3(n−1)s_{n} = 22 + 3(n - 1)
  2. L'équation — 22+3(n−1)=85  ⟺  n−1=21  ⟺  n=2222 + 3(n - 1) = 85 \iff n - 1 = 21 \iff n = 22

De la rangée 11 à la rangée n,n, il y a n−1n - 1 pas : on n'oublie pas d'ajouter la première rangée.

Pièges anticipés

  • 21 → 2121 est le nombre d'augmentations de 33 sièges. Il y a une rangée de plus que d'augmentations.

Exercice 74 · raisonnement

L'entraînement d'un coureur

Un coureur s'entraîne chaque jour. Le premier jour, il court 22 km, puis il augmente chaque jour sa distance de la même longueur. Le quinzième jour, il court 99 km. Calculer la distance qu'il court le trentième jour, en km.

Donner la distance en km.

Réponse attendue : 33/2 — aussi acceptées : 16.5

Indices, dans l’ordre

  1. Les distances forment une suite arithmétique : d1=2d_{1} = 2 et d15=9.d_{15} = 9.
  2. Du premier au quinzième jour, il y a 1414 pas : calcule la raison.
  3. Du premier au trentième jour, il y a 2929 pas.

Correction

  1. La raison — d15=d1+14r  ⟺  14r=7  ⟺  r=0,5d_{15} = d_{1} + 14r \iff 14r = 7 \iff r = 0{,}5
  2. Le trentième jour — d30=2+29×0,5=16,5d_{30} = 2 + 29 \times 0{,}5 = 16{,}5

Doubler le nombre de jours ne double pas la distance : on calcule la raison, puis on ajoute autant de pas que nécessaire.

Pièges anticipés

  • 18 → La distance n'est pas proportionnelle au nombre de jours : elle commence à 22 km et augmente de 0,50{,}5 km par jour.
  • 17 → Tu as ajouté 3030 fois la raison : du premier au trentième jour il y a 2929 pas.

Exercice 75 · raisonnement

Deux suites se rencontrent

(Un)(U_{n}) est la suite arithmétique de premier terme U0=3U_{0} = 3 et de raison 5,5, et (Vn)(V_{n}) est la suite arithmétique de premier terme V0=59V_{0} = 59 et de raison −3.-3. Déterminer l'entier naturel nn pour lequel Un=Vn.U_{n} = V_{n}.

Donner la valeur de n.n.

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

  1. Écris les deux termes généraux : Un=3+5nU_{n} = 3 + 5n et Vn=59−3n.V_{n} = 59 - 3n.
  2. Résous l'équation Un=Vn.U_{n} = V_{n}.

Correction

  1. Les termes généraux — Un=3+5n;Vn=59−3nU_{n} = 3 + 5n \quad ; \quad V_{n} = 59 - 3n
  2. L'équation — 3+5n=59−3n  ⟺  8n=56  ⟺  n=73 + 5n = 59 - 3n \iff 8n = 56 \iff n = 7
  3. Vérification — U7=38=V7U_{7} = 38 = V_{7}

Comparer deux suites arithmétiques revient à comparer deux expressions affines en n.n.

Pièges anticipés

  • 38 → 3838 est la valeur commune U7=V7.U_{7} = V_{7}. On demande l'indice n.n.
  • 28 → Les deux suites vont en sens contraire : l'écart 5656 diminue de 5+3=85 + 3 = 8 à chaque pas, pas de 2.2.

Exercice 76 · defi

Une somme et un produit de termes

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique croissante telle que U3+U7=26U_{3} + U_{7} = 26 et U4×U6=160.U_{4} \times U_{6} = 160. Calculer son premier terme U0.U_{0}.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. U3U_{3} et U7U_{7} sont à égale distance de U5U_{5} : la première égalité donne U5.U_{5}.
  2. Écris U4=U5−rU_{4} = U_{5} - r et U6=U5+r,U_{6} = U_{5} + r, et remplace dans le produit.
  3. La suite est croissante : la raison est positive.

Correction

  1. Le terme du milieu — U3+U7=2U5=26  ⟺  U5=13U_{3} + U_{7} = 2U_{5} = 26 \iff U_{5} = 13
  2. Le produit — (13−r)(13+r)=160  ⟺  169−r2=160  ⟺  r2=9(13 - r)(13 + r) = 160 \iff 169 - r^{2} = 160 \iff r^{2} = 9
  3. La raison — La suite est croissante, donc r>0.r > 0.r=3r = 3
  4. Le premier terme — U0=U5−5r=13−15=−2U_{0} = U_{5} - 5r = 13 - 15 = -2

Exprimer tous les termes à partir du terme du milieu simplifie les calculs : la somme le donne, le produit donne r2.r^{2}.

Pièges anticipés

  • 28 → Avec r=−3r = -3 on trouve 28,28, mais la suite serait décroissante. Elle est croissante : r=3.r = 3.
  • 13 → 1313 est U5.U_{5}. Il reste à reculer de 55 pas : U0=U5−5r.U_{0} = U_{5} - 5r.

Exercice 77 · raisonnement

Deux termes qui s'échangent

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique telle que U10=25U_{10} = 25 et U25=10.U_{25} = 10. Calculer U35.U_{35}.

Réponse attendue : 0

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule la raison à partir des deux termes donnés.
  2. De U25U_{25} à U35,U_{35}, il y a 1010 pas.

Correction

  1. La raison — r=U25−U1025−10=−1515=−1r = \frac{U_{25} - U_{10}}{25 - 10} = \frac{-15}{15} = -1
  2. U35 — U35=U25+10r=10−10=0U_{35} = U_{25} + 10r = 10 - 10 = 0

On part du terme connu le plus proche : U35=U25+(35−25)r.U_{35} = U_{25} + (35 - 25)r.

Pièges anticipés

  • 20 → Les termes diminuent de 2525 à 1010 : la raison est −1,-1, pas 1.1.
  • 35 → 3535 est l'indice. Calcule U35=U25+10r.U_{35} = U_{25} + 10r.

Exercice 78 · defi

Combien de termes dans un intervalle

(Un)(U_{n}) est la suite arithmétique de premier terme U0=5U_{0} = 5 et de raison 9.9. Déterminer le nombre de termes de cette suite compris entre 1 0001\,000 et 2 000.2\,000.

Donner seulement le nombre de termes.

Réponse attendue : 111

Indices, dans l’ordre

  1. Écris l'encadrement 1 000≤5+9n≤2 000.1\,000 \le 5 + 9n \le 2\,000.
  2. Tu obtiens 9959≤n≤1 9959\dfrac{995}{9} \le n \le \dfrac{1\,995}{9} : cherche le plus petit et le plus grand entier qui conviennent.
  3. D'un indice pp à un indice q,q, il y a q−p+1q - p + 1 termes.

Correction

  1. L'encadrement — 1 000≤5+9n≤2 000  ⟺  9959≤n≤1 99591\,000 \le 5 + 9n \le 2\,000 \iff \frac{995}{9} \le n \le \frac{1\,995}{9}
  2. Les indices extrêmes — 9959≈110,6\dfrac{995}{9} \approx 110{,}6 et 1 9959≈221,7.\dfrac{1\,995}{9} \approx 221{,}7.111≤n≤221111 \le n \le 221
  3. Vérification — U111=1 004;U221=1 994U_{111} = 1\,004 \quad ; \quad U_{221} = 1\,994
  4. Le nombre de termes — 221−111+1=111221 - 111 + 1 = 111

On traduit la condition en encadrement de l'indice, puis on compte les entiers : de pp à q,q, il y en a q−p+1.q - p + 1.

Pièges anticipés

  • 110 → 221−111=110221 - 111 = 110 compte les pas. Il y a un terme de plus que de pas.
  • 112 → U110=995U_{110} = 995 est en dessous de 1 0001\,000 : le premier indice qui convient est 111.111.

Exercice 79 · base

La raison lue sur l'équation

Dans un repère, les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée Un,U_{n}, où (Un)(U_{n}) est une suite arithmétique, sont sur la droite d'équation y=−2x+5.y = -2x + 5. Déterminer la raison de la suite (Un).(U_{n}).

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Les points AnA_{n} d'une suite arithmétique sont sur la droite de pente rr et d'ordonnée à l'origine U0.U_{0}.
  2. Dans y=ax+b,y = ax + b, la pente est a.a.

Correction

  1. La droite — Le point An(n,Un)A_{n}(n, U_{n}) est sur la droite, donc Un=−2n+5.U_{n} = -2n + 5.
  2. La raison — Un+1−Un=−2U_{n+1} - U_{n} = -2

La raison d'une suite arithmétique est la pente de la droite qui porte ses points ; l'ordonnée à l'origine est U0.U_{0}.

Pièges anticipés

  • 5 → 55 est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire U0.U_{0}. La raison est la pente.
  • 2 → La droite descend : la pente, donc la raison, est négative.

Exercice 80 · base

L'équation de la droite

Soit (Un)(U_{n}) la suite arithmétique de premier terme U0=3U_{0} = 3 et de raison 12.\dfrac{1}{2}. Dans un repère, les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée UnU_{n} sont sur une droite D.D. Donner l'équation réduite de D,D, sous la forme y=ax+b.y = ax + b.

Donner l'expression de y.y.

Réponse attendue : x/2+3

Indices, dans l’ordre

  1. La pente de DD est la raison de la suite.
  2. L'ordonnée à l'origine de DD est le premier terme U0.U_{0}.

Correction

  1. Le terme général — Un=3+12 nU_{n} = 3 + \frac{1}{2}\,n
  2. La droite — Le point An(n,Un)A_{n}(n, U_{n}) vérifie donc :y=12 x+3y = \frac{1}{2}\,x + 3

La droite qui porte les points d'une suite arithmétique a pour équation y=rx+U0.y = rx + U_{0}.

Pièges anticipés

  • 3x+1/2 → Tu as échangé les rôles : la pente est la raison 12,\dfrac{1}{2}, l'ordonnée à l'origine est U0=3.U_{0} = 3.

Exercice 81 · pratique

Deux points de la droite

Dans un repère, DD est la droite qui contient les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée Un,U_{n}, où (Un)(U_{n}) est une suite arithmétique. La droite DD passe par le point d'abscisse 22 et d'ordonnée 7,7, et par le point d'abscisse 66 et d'ordonnée −1.-1. Calculer U10.U_{10}.

Réponse attendue : -9

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux points donnés sont A2A_{2} et A6A_{6} : U2=7U_{2} = 7 et U6=−1.U_{6} = -1.
  2. La raison est la pente : l'écart des ordonnées divisé par l'écart des abscisses.
  3. De U6U_{6} à U10,U_{10}, il y a 44 pas.

Correction

  1. Les termes connus — U2=7;U6=−1U_{2} = 7 \quad ; \quad U_{6} = -1
  2. La raison — r=−1−76−2=−2r = \frac{-1 - 7}{6 - 2} = -2
  3. U10 — U10=U6+4r=−1−8=−9U_{10} = U_{6} + 4r = -1 - 8 = -9

Deux points de la droite donnent deux termes de la suite, donc sa raison : on prolonge ensuite pas à pas.

Pièges anticipés

  • 7 → La droite descend de 77 à −1-1 : la raison est négative, r=−2.r = -2.
  • -3 → La pente est l'écart des ordonnées divisé par l'écart des abscisses : −84,\dfrac{-8}{4}, pas 4−8.\dfrac{4}{-8}.

Exercice 82 · pratique

Le point d'ordonnée donnée

Soit (Un)(U_{n}) la suite arithmétique de premier terme U0=−4U_{0} = -4 et de raison 32.\dfrac{3}{2}. On la représente par les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée Un.U_{n}. Déterminer l'abscisse du point AnA_{n} dont l'ordonnée vaut 41.41.

Donner la valeur de l'abscisse.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. L'ordonnée de AnA_{n} est Un=−4+32 n.U_{n} = -4 + \dfrac{3}{2}\,n.
  2. Résous l'équation Un=41.U_{n} = 41.

Correction

  1. Le terme général — Un=−4+32 nU_{n} = -4 + \frac{3}{2}\,n
  2. L'équation — −4+32 n=41  ⟺  32 n=45  ⟺  n=30-4 + \frac{3}{2}\,n = 41 \iff \frac{3}{2}\,n = 45 \iff n = 30

L'abscisse d'un point AnA_{n} est l'indice nn : on la trouve en résolvant Un=U_{n} = l'ordonnée donnée.

Pièges anticipés

  • 57.5 → Tu as calculé U41U_{41} : 4141 est l'ordonnée du point, pas son abscisse.
  • 82/3 → Tu as oublié le premier terme : −4+32 n=41,-4 + \dfrac{3}{2}\,n = 41, donc 32 n=45.\dfrac{3}{2}\,n = 45.

Exercice 83 · pratique

Des points alignés

Dans un repère, on a placé les six points A0,A_{0}, A1,A_{1}, …, A5A_{5} d'abscisse nn et d'ordonnée UnU_{n} d'une suite arithmétique (Un).(U_{n}). Le point A0A_{0} a pour ordonnée 66 et le point A5A_{5} a pour ordonnée −4.-4. Calculer l'ordonnée du point A3.A_{3}.

Réponse attendue : 0

Indices, dans l’ordre

  1. De A0A_{0} à A5,A_{5}, combien de pas fait-on ?
  2. L'ordonnée baisse de 1010 en 55 pas : calcule la raison, puis U3.U_{3}.

Correction

  1. La raison — U5=U0+5r  ⟺  −4=6+5r  ⟺  r=−2U_{5} = U_{0} + 5r \iff -4 = 6 + 5r \iff r = -2
  2. U3 — U3=6+3×(−2)=0U_{3} = 6 + 3 \times (-2) = 0

Six points alignés, de A0A_{0} à A5A_{5} : il y a cinq pas entre le premier et le dernier.

Pièges anticipés

  • 1 → Tu as partagé l'écart −10-10 en 66 : il y a six points, mais seulement cinq pas de A0A_{0} à A5.A_{5}.
  • 12 → L'ordonnée descend de 66 à −4-4 : la raison est négative.

Exercice 84 · raisonnement

Une droite donnée par une équation

Dans un repère, les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée UnU_{n} d'une suite (Un)(U_{n}) sont tous sur la droite DD d'équation 2x+3y−6=0.2x + 3y - 6 = 0. Montrer que (Un)(U_{n}) est arithmétique et déterminer sa raison, en valeur exacte.

Donner la valeur exacte de la raison.

Réponse attendue : -2/3

Indices, dans l’ordre

  1. Écris l'équation de DD sous la forme y=ax+b.y = ax + b.
  2. Le point An(n,Un)A_{n}(n, U_{n}) est sur DD : exprime UnU_{n} en fonction de n.n.

Correction

  1. L'équation réduite — 2x+3y−6=0  ⟺  y=−23 x+22x + 3y - 6 = 0 \iff y = -\frac{2}{3}\,x + 2
  2. Le terme général — Un=−23 n+2U_{n} = -\frac{2}{3}\,n + 2
  3. La raison — UnU_{n} est de la forme an+ban + b : la suite est arithmétique.r=−23r = -\frac{2}{3}

Pour lire la pente, donc la raison, on met d'abord l'équation de la droite sous la forme réduite y=ax+b.y = ax + b.

Pièges anticipés

  • 2 / -2 → Le coefficient de xx dans 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 0 n'est pas la pente : isole d'abord y.y.
  • 2/3 → 3y=−2x+63y = -2x + 6 : la pente est −23,-\dfrac{2}{3}, négative.
  • -0.67 / -0.66 / -0.7 / -0.667 / -0.666 → C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte, sous forme de fraction.

Exercice 85 · raisonnement

Une droite qui coupe l'axe des abscisses

Dans un repère, DD est la droite qui contient les points AnA_{n} d'abscisse nn et d'ordonnée Un,U_{n}, où (Un)(U_{n}) est une suite arithmétique. On sait que U1=5U_{1} = 5 et que la droite DD coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 3,5.3{,}5. Calculer U0.U_{0}.

Réponse attendue : 7

Indices, dans l’ordre

  1. La droite passe par le point A1,A_{1}, d'abscisse 11 et d'ordonnée 5,5, et par le point d'abscisse 3,53{,}5 et d'ordonnée 0.0.
  2. La pente de DD est la raison de la suite.
  3. Recule d'un pas à partir de U1.U_{1}.

Correction

  1. La pente — r=0−53,5−1=−52,5=−2r = \frac{0 - 5}{3{,}5 - 1} = \frac{-5}{2{,}5} = -2
  2. U0 — U0=U1−r=5+2=7U_{0} = U_{1} - r = 5 + 2 = 7

Tout point de la droite, même s'il n'est pas un point An,A_{n}, sert à calculer la pente, donc la raison.

Pièges anticipés

  • -2 → −2-2 est la raison. On demande U0=U1−r.U_{0} = U_{1} - r.
  • 3 → Pour reculer d'un pas, on retranche la raison : U0=5−(−2).U_{0} = 5 - (-2).

Exercice 86 · raisonnement

L'aire entre deux droites

Dans un repère orthonormé, on représente la suite arithmétique (Un)(U_{n}) de premier terme 11 et de raison 22 par les points An(n,Un),A_{n}(n, U_{n}), et la suite arithmétique (Vn)(V_{n}) de premier terme 99 et de raison 11 par les points Bn(n,Vn).B_{n}(n, V_{n}). Calculer l'aire du quadrilatère A0A4B4B0,A_{0}A_{4}B_{4}B_{0}, sans écrire l'unité.

Donner l'aire, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 24

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule les coordonnées des quatre sommets : A0(0,1),A_{0}(0, 1), B0(0,9),B_{0}(0, 9), puis A4A_{4} et B4.B_{4}.
  2. Les côtés [A0B0][A_{0}B_{0}] et [A4B4][A_{4}B_{4}] sont verticaux, donc parallèles : le quadrilatère est un trapèze.
  3. Ses bases mesurent V0−U0V_{0} - U_{0} et V4−U4,V_{4} - U_{4}, et sa hauteur vaut 4.4.

Correction

  1. Les sommets — A0(0,1)  ;  A4(4,9)  ;  B4(4,13)  ;  B0(0,9)A_{0}(0, 1) \;;\; A_{4}(4, 9) \;;\; B_{4}(4, 13) \;;\; B_{0}(0, 9)
  2. Les bases — A0B0=9−1=8;A4B4=13−9=4A_{0}B_{0} = 9 - 1 = 8 \quad ; \quad A_{4}B_{4} = 13 - 9 = 4
  3. L'aire du trapèze — La hauteur est la distance entre les deux verticales, 4.4.(8+4)×42=24\frac{(8 + 4) \times 4}{2} = 24

Les deux suites sont représentées par des points sur deux droites ; l'écart vertical Vn−Un=8−nV_{n} - U_{n} = 8 - n diminue de 11 à chaque pas.

Pièges anticipés

  • 48 → Tu as oublié de diviser par 22 : l'aire d'un trapèze est la demi-somme des bases fois la hauteur.
  • 32 → Ce n'est pas un rectangle : les deux bases verticales mesurent 88 et 4.4.

Exercice 87 · defi

Une droite et un triangle

Dans un repère orthonormé, DD est la droite qui contient les points An(n,Un)A_{n}(n, U_{n}) d'une suite arithmétique (Un)(U_{n}) de raison entière r<0,r < 0, avec U0>0.U_{0} > 0. La droite DD passe par le point A3A_{3} d'ordonnée 4,4, et elle forme avec les deux axes du repère un triangle d'aire 25.25. Calculer U0.U_{0}.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Écris U0=4−3rU_{0} = 4 - 3r : c'est l'ordonnée à l'origine de D.D. Où DD coupe-t-elle l'axe des abscisses ?
  2. Le triangle a pour côtés de l'angle droit U0U_{0} et −U0r-\dfrac{U_{0}}{r} : écris que son aire vaut 25.25.
  3. Tu obtiens 9r2+26r+16=09r^{2} + 26r + 16 = 0 : garde la solution entière.

Correction

  1. Les intersections — DD a pour équation y=rx+U0,y = rx + U_{0}, avec U0=4−3r.U_{0} = 4 - 3r. Elle coupe l'axe des abscisses en x=−U0r,x = -\dfrac{U_{0}}{r}, positif puisque r<0.r < 0.
  2. L'aire — 12×U0×(−U0r)=25  ⟺  (4−3r)2=−50r\frac{1}{2} \times U_{0} \times \left(-\frac{U_{0}}{r}\right) = 25 \iff (4 - 3r)^{2} = -50r
  3. L'équation — 9r2+26r+16=0  ⟺  r=−2 ou r=−899r^{2} + 26r + 16 = 0 \iff r = -2 \text{ ou } r = -\frac{8}{9}
  4. La raison entière — r=−2;U0=4+6=10r = -2 \quad ; \quad U_{0} = 4 + 6 = 10

La droite d'une suite arithmétique a pour équation y=rx+U0y = rx + U_{0} : ses points d'intersection avec les axes s'expriment avec rr et U0.U_{0}.

Pièges anticipés

  • 20/3 → 203\dfrac{20}{3} correspond à r=−89,r = -\dfrac{8}{9}, qui n'est pas entier. L'énoncé impose une raison entière.
  • -2 → −2-2 est la raison. On demande U0=4−3r.U_{0} = 4 - 3r.

Exercice 88 · base

La somme des soixante premiers entiers

Calculer la somme S=1+2+3+…+59+60.S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 59 + 60.

Réponse attendue : 1830

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise la formule 1+2+…+n=n(n+1)2.1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.
  2. Ici n=60.n = 60.

Correction

  1. La formule — 1+2+…+n=n(n+1)21 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
  2. Le calcul — S=60×612=1 830S = \frac{60 \times 61}{2} = 1\,830

La somme des nn premiers entiers naturels non nuls vaut n(n+1)2.\dfrac{n(n + 1)}{2}.

Pièges anticipés

  • 3660 → Tu as oublié de diviser par 22 : S=60×612.S = \dfrac{60 \times 61}{2}.
  • 1770 → Tu as calculé 59×602.\dfrac{59 \times 60}{2}. Avec n=60,n = 60, c'est 60×612.\dfrac{60 \times 61}{2}.

Exercice 89 · pratique

Compter les termes par leurs indices

(Un)(U_{n}) est une suite arithmétique. Déterminer le nombre de termes de la somme S=U13+U14+…+U60.S = U_{13} + U_{14} + \ldots + U_{60}.

Donner seulement le nombre.

Réponse attendue : 48

Indices, dans l’ordre

  1. De l'indice 1313 à l'indice 60,60, on compte les indices.
  2. De l'indice pp à l'indice n,n, il y a n−p+1n - p + 1 termes.

Correction

  1. La règle — De l'indice pp à l'indice n,n, il y a n−p+1n - p + 1 termes.
  2. Le calcul — 60−13+1=4860 - 13 + 1 = 48

Le nombre de termes se lit sur les indices : n−p+1,n - p + 1, et non n−p.n - p.

Pièges anticipés

  • 47 → 60−13=4760 - 13 = 47 compte les pas. Il y a un terme de plus que de pas.
  • 60 → 6060 est le dernier indice. La somme commence à l'indice 13,13, pas à 1.1.

Exercice 90 · base

La somme des nombres pairs

Calculer la somme P=2+4+6+…+98+100P = 2 + 4 + 6 + \ldots + 98 + 100 des nombres pairs de 22 à 100.100.

Réponse attendue : 2550

Indices, dans l’ordre

  1. C'est une suite arithmétique de raison 22 : compte d'abord ses termes.
  2. Applique la formule S=n×a+b2,S = n \times \dfrac{a + b}{2}, avec aa le premier terme et bb le dernier.

Correction

  1. Le nombre de termes — 100−22+1=50\frac{100 - 2}{2} + 1 = 50
  2. La somme — P=50×2+1002=50×51=2 550P = 50 \times \frac{2 + 100}{2} = 50 \times 51 = 2\,550

Nombre de termes, premier terme, dernier terme : la formule S=n×a+b2S = n \times \dfrac{a + b}{2} fait le reste.

Pièges anticipés

  • 5050 → 5 0505\,050 est la somme de tous les entiers de 11 à 100.100. Ici on ne garde que les pairs.
  • 1275 → 1 275=1+2+…+50.1\,275 = 1 + 2 + \ldots + 50. Or P=2×(1+2+…+50).P = 2 \times (1 + 2 + \ldots + 50).
  • 5100 → Tu as oublié de diviser par 22 : P=50×2+1002.P = 50 \times \dfrac{2 + 100}{2}.

Exercice 91 · pratique

Les vingt premiers termes

(Un)(U_{n}) est la suite arithmétique de premier terme U0=3U_{0} = 3 et de raison 4.4. Calculer la somme S=U0+U1+…+U19S = U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{19} de ses vingt premiers termes.

Réponse attendue : 820

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule le dernier terme de la somme, U19.U_{19}.
  2. La somme compte 2020 termes : applique S=n×a+b2.S = n \times \dfrac{a + b}{2}.

Correction

  1. Le dernier terme — U19=3+19×4=79U_{19} = 3 + 19 \times 4 = 79
  2. La somme — S=20×3+792=20×41=820S = 20 \times \frac{3 + 79}{2} = 20 \times 41 = 820

Les vingt premiers termes vont de U0U_{0} à U19U_{19} : le dernier terme a pour indice 19,19, pas 20.20.

Pièges anticipés

  • 903 → Tu as additionné jusqu'à U20U_{20} : 2121 termes. Les vingt premiers vont de U0U_{0} à U19.U_{19}.
  • 1640 → Tu as oublié de diviser par 22 : S=20×3+792.S = 20 \times \dfrac{3 + 79}{2}.

Exercice 92 · pratique

Une somme de fractions

Calculer la somme S=13+1+53+73+…+13,S = \dfrac{1}{3} + 1 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{7}{3} + \ldots + 13, en valeur exacte.

Donner la valeur exacte, sous forme de fraction.

Réponse attendue : 400/3

Indices, dans l’ordre

  1. Écris tous les termes avec le dénominateur 33 : 13,\dfrac{1}{3}, 33,\dfrac{3}{3}, 53,\dfrac{5}{3}, … La raison vaut 23.\dfrac{2}{3}.
  2. Compte les termes : 13=393,13 = \dfrac{39}{3}, et les numérateurs sont les impairs de 11 à 39.39.
  3. Applique ensuite S=n×a+b2.S = n \times \dfrac{a + b}{2}.

Correction

  1. La raison — 1−13=53−1=231 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}
  2. Le nombre de termes — 13−1323+1=19+1=20\frac{13 - \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} + 1 = 19 + 1 = 20
  3. La somme — S=20×13+132=10×403=4003S = 20 \times \frac{\frac{1}{3} + 13}{2} = 10 \times \frac{40}{3} = \frac{400}{3}

Avec des fractions, la méthode reste la même : raison, nombre de termes, puis formule de la somme.

Pièges anticipés

  • 380/3 → Tu as pris 1919 termes : 1919 est le nombre de pas, il y a 2020 termes.
  • 133.33 / 133.3 / 133 / 133.34 → C'est une valeur approchée : on demande la valeur exacte, sous forme de fraction.

Exercice 93 · pratique

Une somme qui descend sous zéro

Calculer la somme S=40+37+34+…+(−17)+(−20).S = 40 + 37 + 34 + \ldots + (-17) + (-20).

Réponse attendue : 210

Indices, dans l’ordre

  1. Les termes forment une suite arithmétique de raison −3.-3.
  2. Compte les termes : de 4040 à −20,-20, l'écart est 60,60, parcouru par pas de 3.3.

Correction

  1. Le nombre de termes — 40−(−20)3+1=20+1=21\frac{40 - (-20)}{3} + 1 = 20 + 1 = 21
  2. La somme — S=21×40+(−20)2=21×10=210S = 21 \times \frac{40 + (-20)}{2} = 21 \times 10 = 210

Les termes négatifs compensent une partie des positifs ; la formule S=n×a+b2S = n \times \dfrac{a + b}{2} s'applique avec le signe du dernier terme.

Pièges anticipés

  • 200 → Tu as pris 2020 termes : c'est le nombre de pas. Il y a 2121 termes.
  • 630 → Le dernier terme est −20-20 : a+b=40+(−20)=20,a + b = 40 + (-20) = 20, pas 60.60.

Exercice 94 · pratique

La somme des premiers impairs

Soit nn un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de nn la somme S=1+3+5+…+(2n−1)S = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) des nn premiers nombres impairs.

Écrire seulement l'expression, en fonction de n.n.

Réponse attendue : n^2

Indices, dans l’ordre

  1. Les impairs forment une suite arithmétique de raison 2.2. La somme compte nn termes.
  2. Applique S=n×a+b2,S = n \times \dfrac{a + b}{2}, avec a=1a = 1 et b=2n−1.b = 2n - 1.

Correction

  1. Le nombre de termes — (2n−1)−12+1=n\frac{(2n - 1) - 1}{2} + 1 = n
  2. La somme — S=n×1+(2n−1)2=n×n=n2S = n \times \frac{1 + (2n - 1)}{2} = n \times n = n^{2}

La somme des nn premiers impairs est le carré n2n^{2} : on peut le vérifier avec 1+3+5=9.1 + 3 + 5 = 9.

Pièges anticipés

  • 2n^2-n → Tu as multiplié le nombre de termes par le dernier terme : il faut la demi-somme du premier et du dernier, 1+(2n−1)2.\dfrac{1 + (2n - 1)}{2}.
  • 2n^2 → Tu as oublié de diviser par 22 : 1+(2n−1)2=n.\dfrac{1 + (2n - 1)}{2} = n.

Exercice 95 · pratique

Une pile de rondins

Des rondins de bois sont empilés par couches : la couche du bas compte 2020 rondins, chaque couche compte un rondin de moins que celle du dessous, et la couche du haut compte 66 rondins. Calculer le nombre total de rondins de la pile.

Donner seulement le nombre de rondins.

Réponse attendue : 195

Indices, dans l’ordre

  1. Les nombres de rondins par couche forment une suite arithmétique de raison −1,-1, de 2020 à 6.6.
  2. Compte d'abord les couches, puis applique la formule de la somme.

Correction

  1. Le nombre de couches — 20−6+1=1520 - 6 + 1 = 15
  2. Le total — 15×20+62=15×13=19515 \times \frac{20 + 6}{2} = 15 \times 13 = 195

Pour une pile, la somme des couches est une somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Pièges anticipés

  • 182 → Tu as compté 1414 couches : de 2020 à 66 il y a 1414 pas, donc 1515 couches.
  • 210 → 210=1+2+…+20210 = 1 + 2 + \ldots + 20 : la pile s'arrête à la couche de 66 rondins.

Exercice 96 · raisonnement

Retrouver le nombre de termes

Déterminer l'entier naturel non nul nn tel que 1+2+3+…+n=465.1 + 2 + 3 + \ldots + n = 465.

Donner la valeur de n.n.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. Remplace la somme par n(n+1)2.\dfrac{n(n + 1)}{2}.
  2. Tu obtiens n(n+1)=930n(n + 1) = 930 : cherche deux entiers consécutifs dont le produit vaut 930,930, ou résous l'équation du second degré.

Correction

  1. L'équation — n(n+1)2=465  ⟺  n2+n−930=0\frac{n(n + 1)}{2} = 465 \iff n^{2} + n - 930 = 0
  2. Les solutions — Le discriminant vaut 1+3 720=3 721=612.1 + 3\,720 = 3\,721 = 61^{2}.n=−1+612=30oun=−1−612=−31n = \frac{-1 + 61}{2} = 30 \quad \text{ou} \quad n = \frac{-1 - 61}{2} = -31
  3. L'entier naturel — n=30n = 30

Connaître la somme permet de retrouver le nombre de termes : on résout n(n+1)2=S\dfrac{n(n + 1)}{2} = S et on garde la solution positive.

Pièges anticipés

  • -31 → −31-31 est solution de l'équation, mais nn est un entier naturel non nul.
  • 930 → 930930 est n(n+1).n(n + 1). Il reste à trouver nn : 30×31=930.30 \times 31 = 930.

Exercice 97 · raisonnement

Quand la somme devient positive

(Un)(U_{n}) est la suite arithmétique de premier terme U0=−10U_{0} = -10 et de raison 3.3. On note SN=U0+U1+…+UN−1S_{N} = U_{0} + U_{1} + \ldots + U_{N-1} la somme de ses NN premiers termes. Déterminer le plus petit entier N≥1N \ge 1 tel que SN>0.S_{N} > 0.

Donner la valeur de N.N.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Le dernier terme de SNS_{N} est UN−1=−10+3(N−1).U_{N-1} = -10 + 3(N - 1).
  2. Applique la formule de la somme : SN=N×U0+UN−12.S_{N} = N \times \dfrac{U_{0} + U_{N-1}}{2}.
  3. Tu obtiens SN=N(3N−23)2S_{N} = \dfrac{N(3N - 23)}{2} ; comme N>0,N > 0, étudie le signe de 3N−23.3N - 23.

Correction

  1. Le dernier terme — UN−1=−10+3(N−1)=3N−13U_{N-1} = -10 + 3(N - 1) = 3N - 13
  2. La somme — SN=N×−10+3N−132=N(3N−23)2S_{N} = N \times \frac{-10 + 3N - 13}{2} = \frac{N(3N - 23)}{2}
  3. Le signe — N>0,N > 0, donc SN>0S_{N} > 0 équivaut à 3N−23>0.3N - 23 > 0.N>233≈7,67N > \frac{23}{3} \approx 7{,}67
  4. Vérification — S7=−7;S8=4S_{7} = -7 \quad ; \quad S_{8} = 4
  5. Le plus petit entier — N=8N = 8

La somme reste négative tant que les termes négatifs l'emportent : elle devient positive bien après le premier terme positif.

Pièges anticipés

  • 4 → U4=2U_{4} = 2 est le premier terme positif, mais la somme est encore négative : S5=−20.S_{5} = -20.
  • 7 → S7=−7S_{7} = -7 est encore négative : il faut N>233,N > \dfrac{23}{3}, soit N=8.N = 8.

Exercice 98 · defi

Une citerne qui se vide

Une citerne contient 560560 litres d'eau. On l'ouvre : pendant la première minute, il s'écoule 5050 litres, puis à chaque minute il s'écoule 22 litres de moins que pendant la minute précédente. Déterminer au bout de combien de minutes la citerne est vide.

Donner la durée en minutes.

Réponse attendue : 16

Indices, dans l’ordre

  1. Les volumes écoulés chaque minute forment une suite arithmétique de premier terme 5050 et de raison −2.-2.
  2. Au bout de nn minutes, le volume écoulé est n×50+(52−2n)2=n(51−n).n \times \dfrac{50 + (52 - 2n)}{2} = n(51 - n).
  3. Résous n(51−n)=560n(51 - n) = 560 : la citerne se vide la première fois que le total atteint 560560 litres.

Correction

  1. La minute numéro k — vk=50−2(k−1)=52−2kv_{k} = 50 - 2(k - 1) = 52 - 2k
  2. Le volume écoulé — n×50+(52−2n)2=n(51−n)n \times \frac{50 + (52 - 2n)}{2} = n(51 - n)
  3. L'équation — Le discriminant vaut 2 601−2 240=361=192.2\,601 - 2\,240 = 361 = 19^{2}.n2−51n+560=0  ⟺  n=16 ou n=35n^{2} - 51n + 560 = 0 \iff n = 16 \text{ ou } n = 35
  4. La bonne solution — La citerne est vide dès que 560560 litres se sont écoulés : on ne continue pas après. D'ailleurs pour n=35,n = 35, il faudrait des débits négatifs.n=16n = 16

Une équation du second degré a deux solutions : la situation concrète dit laquelle garder.

Pièges anticipés

  • 35 → Après 2626 minutes, le débit deviendrait nul puis négatif : 3535 n'a pas de sens. Et la citerne est déjà vide avant.
  • 11.2 / 56/5 → Le débit n'est pas constant : il diminue de 22 litres chaque minute.

Exercice 99 · defi

Les entiers qui ne sont pas multiples de trois

Calculer la somme de tous les entiers naturels compris entre 11 et 300300 qui ne sont pas des multiples de 3.3.

Réponse attendue : 30000

Indices, dans l’ordre

  1. Calcule d'abord la somme de tous les entiers de 11 à 300.300.
  2. Retranche ensuite la somme des multiples de 33 : 3+6+…+300,3 + 6 + \ldots + 300, c'est-à-dire 3×(1+2+…+100).3 \times (1 + 2 + \ldots + 100).

Correction

  1. Tous les entiers — 1+2+…+300=300×3012=45 1501 + 2 + \ldots + 300 = \frac{300 \times 301}{2} = 45\,150
  2. Les multiples de 3 — 3+6+…+300=3×100×1012=15 1503 + 6 + \ldots + 300 = 3 \times \frac{100 \times 101}{2} = 15\,150
  3. La différence — 45 150−15 150=30 00045\,150 - 15\,150 = 30\,000

Quand les termes à additionner ne forment pas une seule suite arithmétique, on passe par le complémentaire : tout, moins ce qu'on exclut.

Pièges anticipés

  • 15150 → 15 15015\,150 est la somme des multiples de 3.3. On demande la somme des autres entiers.
  • 45150 → 45 15045\,150 est la somme de tous les entiers de 11 à 300300 : il reste à retirer les multiples de 3.3.

Exercice 100 · defi

Une somme de cubes

On admet que, pour tout entier naturel non nul n,n, 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2.1^{3} + 2^{3} + \ldots + n^{3} = (1 + 2 + \ldots + n)^{2}. Calculer S=113+123+…+203.S = 11^{3} + 12^{3} + \ldots + 20^{3}.

Réponse attendue : 41075

Indices, dans l’ordre

  1. SS est la différence entre la somme des cubes de 11 à 2020 et celle de 11 à 10.10.
  2. 1+2+…+20=2101 + 2 + \ldots + 20 = 210 et 1+2+…+10=55.1 + 2 + \ldots + 10 = 55.

Correction

  1. De 1 à 20 — 13+…+203=2102=44 1001^{3} + \ldots + 20^{3} = 210^{2} = 44\,100
  2. De 1 à 10 — 13+…+103=552=3 0251^{3} + \ldots + 10^{3} = 55^{2} = 3\,025
  3. La différence — S=44 100−3 025=41 075S = 44\,100 - 3\,025 = 41\,075

La formule ne s'applique qu'à une somme qui commence à 131^{3} : on écrit SS comme une différence de deux telles sommes.

Pièges anticipés

  • 24025 → Tu as calculé (11+12+…+20)2.(11 + 12 + \ldots + 20)^{2}. La formule ne vaut que pour une somme qui commence à 11 : passe par une différence.
  • 155 → 155=11+12+…+20155 = 11 + 12 + \ldots + 20 : ce sont les cubes qu'il faut additionner.
  • 44100 → 44 10044\,100 est la somme des cubes de 11 à 20.20. La somme demandée commence à 113.11^{3}.

Exercice 101 · raisonnement

Un nombre triangulaire qui dépasse mille

Le nn-ième nombre triangulaire est Tn=1+2+…+n.T_{n} = 1 + 2 + \ldots + n. Déterminer le plus petit entier naturel non nul nn tel que Tn>1 000.T_{n} > 1\,000.

Donner la valeur de n.n.

Réponse attendue : 45

Indices, dans l’ordre

  1. Tn=n(n+1)2T_{n} = \dfrac{n(n + 1)}{2} : l'inégalité devient n(n+1)>2 000.n(n + 1) > 2\,000.
  2. Cherche un ordre de grandeur : n2n^{2} est proche de 2 000,2\,000, et 2 000≈44,7.\sqrt{2\,000} \approx 44{,}7.
  3. Teste les entiers voisins.

Correction

  1. L'inégalité — n(n+1)2>1 000  ⟺  n(n+1)>2 000\frac{n(n + 1)}{2} > 1\,000 \iff n(n + 1) > 2\,000
  2. Les entiers voisins — 44×45=1 980;45×46=2 07044 \times 45 = 1\,980 \quad ; \quad 45 \times 46 = 2\,070
  3. Les nombres triangulaires — T44=990;T45=1 035T_{44} = 990 \quad ; \quad T_{45} = 1\,035
  4. Le plus petit entier — n=45n = 45

La suite (Tn)(T_{n}) est croissante : on encadre le seuil entre deux termes consécutifs.

Pièges anticipés

  • 44 → T44=44×452=990T_{44} = \dfrac{44 \times 45}{2} = 990 : il ne dépasse pas encore 1 000.1\,000.
  • 1035 → 1 0351\,035 est la valeur de T45.T_{45}. On demande l'entier n.n.

Exercice 102 · defi

La raison cachée dans une somme

Une suite (Un)n≥1(U_{n})_{n \ge 1} est telle que, pour tout entier naturel n≥1,n \ge 1, la somme de ses nn premiers termes vaut U1+U2+…+Un=2n2+3n.U_{1} + U_{2} + \ldots + U_{n} = 2n^{2} + 3n. Montrer que (Un)(U_{n}) est arithmétique et déterminer sa raison.

Donner seulement la raison.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Note Sn=2n2+3n.S_{n} = 2n^{2} + 3n. Pour n≥2,n \ge 2, Un=Sn−Sn−1.U_{n} = S_{n} - S_{n-1}.
  2. Calcule Sn−1=2(n−1)2+3(n−1),S_{n-1} = 2(n - 1)^{2} + 3(n - 1), puis la différence.
  3. Vérifie que la formule trouvée donne aussi U1=S1.U_{1} = S_{1}.

Correction

  1. Le premier terme — U1=S1=2+3=5U_{1} = S_{1} = 2 + 3 = 5
  2. Pour n ≥ 2 — Un=Sn−Sn−1=(2n2+3n)−(2n2−n−1)=4n+1U_{n} = S_{n} - S_{n-1} = (2n^{2} + 3n) - (2n^{2} - n - 1) = 4n + 1
  3. Pour tout n ≥ 1 — 4×1+1=5=U14 \times 1 + 1 = 5 = U_{1} : la formule vaut aussi pour n=1.n = 1.
  4. La raison — Un+1−Un=4U_{n+1} - U_{n} = 4

Un terme est la différence de deux sommes consécutives : Un=Sn−Sn−1.U_{n} = S_{n} - S_{n-1}.

Pièges anticipés

  • 5 → 55 est le premier terme U1.U_{1}. La raison est U2−U1.U_{2} - U_{1}.
  • 2 → 22 est le coefficient de n2n^{2} dans la somme, pas la raison. Calcule Un=Sn−Sn−1.U_{n} = S_{n} - S_{n-1}.
  • 9 → 99 est le deuxième terme U2.U_{2}. La raison est l'écart U2−U1.U_{2} - U_{1}.

Exercice 103 · defi

La course des deux cyclistes

Deux cyclistes partent en même temps du même point, sur la même route. Le premier roule à vitesse constante et parcourt 1515 km chaque heure. Le second parcourt 1010 km pendant la première heure, puis, chaque heure, 11 km de plus que l'heure précédente. Déterminer au bout de combien d'heures le second cycliste rattrape le premier.

Donner la durée en heures.

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

  1. Au bout de nn heures, le premier a parcouru 15n15n km.
  2. Les distances du second, heure par heure, forment une suite arithmétique : 10,10, 11,11, 12,12, … Calcule la somme des nn premières.
  3. Écris l'égalité des deux distances totales, puis simplifie par n.n.

Correction

  1. Le premier cycliste — 15n15n
  2. Le second cycliste — n×10+(10+n−1)2=n(19+n)2n \times \frac{10 + (10 + n - 1)}{2} = \frac{n(19 + n)}{2}
  3. L'égalité — nn n'est pas nul : on simplifie par n.n.n(19+n)2=15n  ⟺  19+n=30  ⟺  n=11\frac{n(19 + n)}{2} = 15n \iff 19 + n = 30 \iff n = 11
  4. Vérification — 15×11=165;10+11+…+20=16515 \times 11 = 165 \quad ; \quad 10 + 11 + \ldots + 20 = 165

Rattraper, c'est avoir parcouru la même distance totale : on compare des sommes, pas les distances d'une seule heure.

Pièges anticipés

  • 6 → Au bout de 66 heures, le second roule aussi vite que le premier pendant l'heure, mais il est encore en retard : il faut comparer les distances totales.
  • 12 → Vérifie avec n=11n = 11 : 10+11+…+20=165=15×11.10 + 11 + \ldots + 20 = 165 = 15 \times 11. Il a déjà rattrapé.