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AH— Maths à la carte —ABDELKADER HAMMAMI

Translations

2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami

Le cours

Ce qu’il dit en accueillant

3aslema ! Le chapitre numéro sept : translations. Bech nabdew b l'application du plan : koll point M 3andou image wa7da M prime. Men ghadi n3arrfou la translation de vecteur u : el point M yemchi l M prime, w le vecteur MM prime égale u. Ba3d nchoufou chnowa t7afedh 3lih la translation : les distances, l'alignement, le milieu, le parallélisme w les angles, w chnowa l'image mta3 droite w mta3 cercle. W nkammlou b des problèmes de lieux w des problèmes de construction.

عسلامة ! الـ chapitre numéro sept : translations . باش نبداو بـ l'application du plan : كل point M عندو image وحدة M prime . من غادي نعرّفو la translation de vecteur u : الـ point M يمشي لـ M prime ، w le vecteur M M prime égale u . بعد نشوفو شنوّة تحافظ عليه la translation : les distances ، l'alignement ، le milieu ، le parallélisme w les angles ، w شنوّة l'image متاع droite w متاع cercle . w نكمّلو بـ des problèmes de lieux w des problèmes de construction .

Bonjour ! Le chapitre numéro sept : translations. Nous commencerons par l'application du plan : chaque point M a une seule image M prime. De là, nous définirons la translation de vecteur u : le point M va en M prime, et le vecteur M M prime égale u. Puis nous verrons ce que la translation conserve : les distances, l'alignement, le milieu, le parallélisme et les angles, et quelle est l'image d'une droite et d'un cercle. Et nous terminerons par des problèmes de lieux et des problèmes de construction.

Faire glisser une figure sans la tourner ni la déformer : c'est une translation. Chaque point se déplace du même vecteur.

On commence par la notion d'application du plan, on définit la translation de vecteur u⃗,\vec{u}, puis on étudie ce qu'elle conserve et les images des figures usuelles. Elle devient alors un outil pour prouver des alignements, chercher des lieux géométriques et résoudre des problèmes de construction.

Objectifs annoncés

Ce qu’il dit en les annonçant

Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :

في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :

À la fin de ce chapitre, tu sauras :

  • Reconnaître une application du plan, l'image et l'antécédent d'un pointReconnaître une application du plan, l'image et l'antécédent d'un point.Reconnaître une application du plan, l'image et l'antécédent d'un point.
  • Construire l'image d'un point, d'une droite, d'un segment et d'un cercle par une translationConstruire l'image d'un point, d'une droite, d'un segment et d'un cercle par une translation.Construire l'image d'un point, d'une droite, d'un segment et d'un cercle par une translation.
  • Utiliser la propriété caractéristique M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} pour reconnaître une translationUtiliser la propriété caractéristique, le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N, pour reconnaître une translation.Utiliser la propriété caractéristique, le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N, pour reconnaître une translation.
  • Utiliser ce que la translation conserve : distances, alignement, milieu, parallélisme, anglesUtiliser ce que la translation conserve : les distances, l'alignement, le milieu, le parallélisme et les angles.Utiliser ce que la translation conserve : les distances, l'alignement, le milieu, le parallélisme et les angles.
  • Résoudre des problèmes de lieux géométriques et des problèmes de constructionRésoudre des problèmes de lieux géométriques et des problèmes de construction.Résoudre des problèmes de lieux géométriques et des problèmes de construction.

1. Activité

Rappels

Ce qu’il dit

Nabdew b tadhkir. Fel figure 3andna zouz parallélogrammes : ABDC w ABFE. Ya3ni le vecteur AB égale le vecteur CD, w égale le vecteur EF. La translation de vecteur AB teb3ath A l B, w C l D, w E l F : koll point yet7arrek b nafs el vecteur. W rodd belek 3la l'ordre mta3 les sommets : ABDC parallélogramme ma3neha le vecteur AB égale le vecteur CD, mouch le vecteur DC.

نبداو بتذكير . في الـ figure عندنا زوز parallélogrammes : A B D C w A B F E . يعني le vecteur A B égale le vecteur C D ، w égale le vecteur E F . la translation de vecteur A B تبعث A لـ B ، w C لـ D ، w E لـ F : كل point يتحرّك بنفس الـ vecteur . w ردّ بالك على l'ordre متاع les sommets : A B D C parallélogramme معناها le vecteur A B égale le vecteur C D ، موش le vecteur D C .

Commençons par un rappel. Sur la figure, on a deux parallélogrammes : A B D C et A B F E. Donc le vecteur A B égale le vecteur C D, et égale le vecteur E F. La translation de vecteur A B envoie A sur B, C sur D, et E sur F : chaque point se déplace du même vecteur. Et attention à l'ordre des sommets : A B D C parallélogramme signifie que le vecteur A B égale le vecteur C D, et non le vecteur D C.

Dans la figure, ABDCABDC et ABFEABFE sont deux parallélogrammes. On a donc trois vecteurs égaux : AB→=CD→=EF→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}.

La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} envoie AA sur B,B, CC sur DD et EE sur FF : chaque point se déplace du même vecteur.

On rappelle que ABDCABDC est un parallélogramme si, et seulement si, AB→=CD→.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.

ABCDEF
ABDC et ABFE sont deux parallélogrammes.

Deux parallélogrammes qui partagent le côté [AB]. Le segment [AB] est horizontal, A à gauche et B à droite. Au-dessus, le parallélogramme ABFE : E est au-dessus à droite de A, F au-dessus à droite de B. En dessous, le parallélogramme ABDC : C est en dessous à droite de A, D en dessous à droite de B. Les trois vecteurs AB, CD et EF, tracés en bleu, sont égaux.

trois vecteurs égaux

AB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}

Exemple traité

Dans la figure, ABDCABDC et ABFEABFE sont deux parallélogrammes. On note tt la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse. a) tt envoie AA sur B,B, CC sur DD et EE sur F.F. b) L'image de la droite (AC)(AC) par tt est la droite (BD).(BD). c) L'image de la droite (EF)(EF) par tt est la droite (CD).(CD).

  1. Les points — Les deux parallélogrammes donnent trois vecteurs égaux : chaque point part du même vecteur. L'affirmation a) est vraie.AB→=CD→=EF→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{EF}
  2. La droite (AC) — AA a pour image BB et CC a pour image DD : la droite qui passe par AA et CC devient la droite qui passe par BB et D.D. L'affirmation b) est vraie.(AC)⟼(BD)(AC) \longmapsto (BD)
  3. La droite (EF) — EE a pour image F,F, et l'image de FF est encore un point de la droite (EF),(EF), car le vecteur EF→\overrightarrow{EF} est le vecteur de la translation. La droite (EF)(EF) a pour image elle-même, et non la droite (CD)(CD) : l'affirmation c) est fausse.(EF)⟼(EF)(EF) \longmapsto (EF)
a) vraie;b) vraie;c) fausse\text{a) vraie} \quad ; \quad \text{b) vraie} \quad ; \quad \text{c) fausse}

À ne pas faire : ABDCABDC est un parallélogramme, donc AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} — ABDCABDC est un parallélogramme, donc AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}. On lit les sommets dans l'ordre : dans ABDC,ABDC, le côté opposé à [AB][AB] est [DC],[DC], et il se parcourt de CC vers DD pour garder le même sens.

2. Définition

Application du plan

Ce qu’il dit

Tawa 7aja jdida : l'application du plan. Ki na3tiw l koll point M men le plan, point wa7ed bark M prime, n9oulou 3arrafna application du plan dans lui-même. Nsammiwha f, w nektbou f de M égale M prime. M prime houwa l'image de M, w M houwa antécédent de M prime. Ta3ref menha barcha : la symétrie centrale S I, win I le milieu de MM prime ; la symétrie orthogonale S D, win la droite D hiya la médiatrice de MM prime ; w le quart de tour.

توّا حاجة جديدة : l'application du plan . كي نعطيو لكل point M من le plan ، point واحد برك M prime ، نقولو عرّفنا application du plan dans lui-même . نسمّيوها f ، w نكتبو f de M égale M prime . M prime هو l'image de M ، w M هو antécédent de M prime . تعرف منها برشة : la symétrie centrale S I ، وين I le milieu de M M prime ؛ la symétrie orthogonale S D ، وين la droite D هي la médiatrice de M M prime ؛ w le quart de tour .

Voici une notion nouvelle : l'application du plan. Quand on associe à chaque point M du plan un seul point M prime, on dit qu'on a défini une application du plan dans lui-même. On l'appelle f, et on écrit f de M égale M prime. M prime est l'image de M, et M est un antécédent de M prime. Tu en connais déjà plusieurs : la symétrie centrale S I, où I est le milieu de M M prime ; la symétrie orthogonale S D, où la droite D est la médiatrice de M M prime ; et le quart de tour.

Lorsqu'on associe à tout point MM du plan un seul point M′,M', on définit une application du plan dans lui-même.

Si on désigne par ff cette application, on écrit f:P→P, f : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\ M↦M′M \mapsto M'.

  • M′M' s'appelle l'image du point MM par l'application f.f.
  • MM s'appelle un antécédent du point M′M' par l'application f.f.

Exemples. Soit II un point du plan. La symétrie centrale SI,S_I, qui à MM associe le point M′M' tel que II est le milieu de [MM′],[MM'], est une application du plan dans lui-même. Soit DD une droite. La symétrie orthogonale SD,S_D, qui à MM associe le point M′M' tel que DD soit la médiatrice du segment [MM′],[MM'], est une application du plan dans lui-même. Un quart de tour direct, un quart de tour indirect sont aussi des applications du plan.

ACC'C''
Deux points conviennent : ACC' et ACC'' sont équilatéraux.

Un segment [AC] horizontal, A à gauche et C à droite. Deux triangles équilatéraux sont construits sur ce segment : l'un au-dessus, de sommet C' ; l'autre en dessous, de sommet C'' en pointillés. Les deux points C' et C'' sont symétriques par rapport à la droite (AC).

une application du plan

f:P→P,M↦M′f : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\quad M \mapsto M'

Exemple traité

Soit AA un point du plan. a) À tout point M,M, on associe son symétrique NN par rapport à A.A. Définit-on ainsi une application du plan ? b) À tout point CC distinct de A,A, on associe un point C′C' tel que ACC′ACC' soit un triangle équilatéral. Définit-on ainsi une application ?

  1. Le symétrique — Un point MM a un seul symétrique par rapport à AA : c'est le point NN tel que AA est le milieu de [MN].[MN]. On définit bien une application : c'est la symétrie centrale de centre A.A.M⟼N,A milieu de [MN]M \longmapsto N, \quad A \text{ milieu de } [MN]
  2. Le triangle équilatéral — Sur un segment [AC][AC] donné, on peut construire deux triangles équilatéraux, un de chaque côté de la droite (AC).(AC). Deux points C′C' répondent à la question.2 points C′ possibles2 \text{ points } C' \text{ possibles}
  3. Conclure — Une application associe à chaque point un seul point. Ici le point CC en aurait deux : ce procédé ne définit pas une application.
a) oui;b) non\text{a) oui} \quad ; \quad \text{b) non}

À ne pas faire : f(M)=M′f(M) = M' : MM est l'image de M′M' — f(M)=M′f(M) = M' : M′M' est l'image de M,M, et MM est un antécédent de M′M'. L'image est le point d'arrivée ; l'antécédent est le point de départ.

3. Activité

Pour comprendre : deux symétries centrales

Ce qu’il dit

Bech nefhmou mnin tji la translation, ne5dhou zouz points I w J. El point M na3mloulou la symétrie centrale de centre I : nal9aw M un. Ba3d M un na3mloulou la symétrie centrale de centre J : nal9aw M prime. I houwa le milieu de MM un, w J houwa le milieu de M un M prime. B la relation de Chasles : le vecteur MM prime égale deux fois le vecteur IJ. El vecteur hedha ma fihech M : el points el koll yet7arrkou b nafs el vecteur. Hedhi hiya la translation.

باش نفهمو منين تجي la translation ، ناخذو زوز points I w J . الـ point M نعملولو la symétrie centrale de centre I : نلقاو M un . بعد M un نعملولو la symétrie centrale de centre J : نلقاو M prime . I هو le milieu de M M un ، w J هو le milieu de M un M prime . بـ la relation de Chasles : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur I J . الـ vecteur هذا ما فيهش M : الـ points الكل يتحرّكو بنفس الـ vecteur . هذي هي la translation .

Pour comprendre d'où vient la translation, prenons deux points I et J. Au point M, on applique la symétrie centrale de centre I : on obtient M un. Puis à M un, on applique la symétrie centrale de centre J : on obtient M prime. I est le milieu de M M un, et J est le milieu de M un M prime. Par la relation de Chasles : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur I J. Ce vecteur ne contient pas M : tous les points se déplacent du même vecteur. C'est cela, la translation.

Soient II et JJ deux points distincts du plan. Pour un point M,M, on désigne par M1M_1 son image par la symétrie centrale SI,S_I, et par M′M' l'image de M1M_1 par la symétrie centrale SJ.S_J. On considère l'application t:M↦M′.t : M \mapsto M'.

II est le milieu de [MM1][MM_1] et JJ est le milieu de [M1M′].[M_1M']. Par la relation de Chasles :

MM′→=MM1→+M1M′→=2IM1→+2M1J→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MM_1} + \overrightarrow{M_1M'} = 2\overrightarrow{IM_1} + 2\overrightarrow{M_1J} = 2\overrightarrow{IJ}

Le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} ne dépend pas du point MM : pour tout autre point CC d'image C′,C', on a aussi CC′→=2IJ→,\overrightarrow{CC'} = 2\overrightarrow{IJ}, donc MM′→=CC′→.\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{CC'}. Tous les points se déplacent du même vecteur.

IJMM₁M'
MM' = 2 IJ.

Deux points I et J. Un point M en haut à gauche ; son symétrique M1 par rapport à I, en bas ; puis le symétrique M' de M1 par rapport à J, en haut à droite. I est le milieu de [MM1] et J le milieu de [M1M']. Le vecteur IJ est tracé en bleu, le vecteur MM' en rouge : il est parallèle à IJ et deux fois plus long.

le même vecteur pour tout point M

MM′→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}

Exemple traité

Soient II et JJ deux points tels que IJ=3.IJ = 3. À un point M,M, on associe le point M1,M_1, symétrique de MM par rapport à I,I, puis le point M′,M', symétrique de M1M_1 par rapport à J.J. Calculer la distance MM′.MM'.

  1. Les milieux — II est le milieu de [MM1][MM_1] et JJ est le milieu de [M1M′][M_1M'] : chaque vecteur vaut deux fois sa moitié.MM1→=2IM1→;M1M′→=2M1J→\overrightarrow{MM_1} = 2\overrightarrow{IM_1} \quad ; \quad \overrightarrow{M_1M'} = 2\overrightarrow{M_1J}
  2. Chasles — On ajoute les deux vecteurs : le point M1M_1 disparaît.MM′→=2(IM1→+M1J→)=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\left(\overrightarrow{IM_1} + \overrightarrow{M_1J}\right) = 2\overrightarrow{IJ}
  3. La distance — La distance MM′MM' est le double de la distance IJ,IJ, quel que soit le point M.M.MM′=2×3=6MM' = 2 \times 3 = 6
MM′=6MM' = 6

À ne pas faire : MM′→=IJ→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{IJ} — MM′→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}. II et JJ sont des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés du triangle MM1M′MM_1M' mesure la moitié du troisième côté.

4. Définition

Translation de vecteur u

Ce qu’il dit

Tawa el définition. 3andna vecteur u. L'application elli ta3ti l koll point M, el point el wa7id M prime elli y7a99e9 le vecteur MM prime égale u, nsammiwha la translation de vecteur u, w nektbouha t indice u. Ya3ni : t indice u de M égale M prime, équivaut à le vecteur MM prime égale u. T5ayyel el figure el koll tezle9 fi nafs la direction w nafs le sens, b nafs la longueur. W ken u houwa le vecteur AB, wa9tha ABM prime M parallélogramme.

توّا الـ définition . عندنا vecteur u . l'application اللي تعطي لكل point M ، الـ point الوحيد M prime اللي يحقّق le vecteur M M prime égale u ، نسمّيوها la translation de vecteur u ، w نكتبوها t indice u . يعني : t indice u de M égale M prime ، équivaut à le vecteur M M prime égale u . تخيّل الـ figure الكل تزلق في نفس la direction w نفس le sens ، بنفس la longueur . w كان u هو le vecteur A B ، وقتها A B M prime M parallélogramme .

Voici la définition. On a un vecteur u. L'application qui associe à chaque point M l'unique point M prime qui vérifie le vecteur M M prime égale u s'appelle la translation de vecteur u, et on la note t indice u. Autrement dit : t indice u de M égale M prime, équivaut à le vecteur M M prime égale u. Imagine toute la figure qui glisse dans la même direction et le même sens, de la même longueur. Et si u est le vecteur A B, alors A B M prime M est un parallélogramme.

Soit u⃗\vec{u} un vecteur. L'application du plan dans lui-même qui à tout point MM associe l'unique point M′M' tel que MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u} est appelée translation de vecteur u⃗.\vec{u}. Elle est notée tu⃗.t_{\vec{u}}.

On écrit tu⃗:P→P, t_{\vec{u}} : \mathscr{P} \to \mathscr{P},\ M↦tu⃗(M)=M′M \mapsto t_{\vec{u}}(M) = M'. Le point M′M' est l'image de MM par tu⃗.t_{\vec{u}}.

tu⃗(M)=M′\displaystyle t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗\displaystyle \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Lorsque u⃗=AB→\vec{u} = \overrightarrow{AB} et que MM n'est pas sur la droite (AB),(AB), l'égalité MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB} signifie que ABM′MABM'M est un parallélogramme.

uMM'NN'
Chaque point se déplace du vecteur u.

En haut, un vecteur u tracé en bleu, dirigé vers la droite et légèrement vers le haut. En dessous, deux points M et N, et leurs images M' et N' : les vecteurs MM' et NN', en rouge, sont égaux au vecteur u — même direction, même sens, même longueur.

la définition

tu⃗(M)=M′  ⟺  MM′→=u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points distincts et MM un point qui n'est pas sur la droite (AB).(AB). Construire l'image M′M' du point MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

  1. Traduire — Par définition, M′M' est le point tel que le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} est égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}
  2. Reconnaître — Deux vecteurs égaux dessinent un parallélogramme : on lit les lettres dans l'ordre A,A, B,B, puis M′,M', puis M.M.ABM′M est un paralleˊlogrammeABM'M \text{ est un parallélogramme}
  3. Construire — On trace la parallèle à la droite (AB)(AB) passant par M,M, et la parallèle à la droite (AM)(AM) passant par BB : elles se coupent en M′.M'. Au compas, on reporte la longueur ABAB à partir de MM et la longueur AMAM à partir de BB : les deux arcs se coupent en deux points, et M′M' est celui qui est de l'autre côté de la droite (BM)(BM) par rapport à A.A.
ABM′M est un paralleˊlogrammeABM'M \text{ est un parallélogramme}

À ne pas faire : tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à M′M→=u⃗\overrightarrow{M'M} = \vec{u} — tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u}. Le vecteur part du point MM et arrive à son image M′M' : on écrit d'abord le point de départ.

À ne pas faire : MM′→=AB→,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABMM′ABMM' est un parallélogramme — MM′→=AB→,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}, donc ABM′MABM'M est un parallélogramme. On tourne autour du parallélogramme : après BB vient l'image M′,M', puis on revient à M.M.

5. Remarque

Image et antécédent

Ce qu’il dit

Mola7dha. Ken 3tinek el point M prime, famma point wa7ed bark M elli t indice u de M égale M prime : houwa l'antécédent de M prime. Bech tal9ah, erja3 bel vecteur : le vecteur M prime M égale moins u. Ya3ni l'image nemchiwlha b u, w l'antécédent narj3oulou b moins u. Tawa ntabb9ou hedha 3la figure fiha zouz parallélogrammes.

ملاحظة . كان عطيناك الـ point M prime ، فمّا point واحد برك M اللي t indice u de M égale M prime : هو l'antécédent de M prime . باش تلقاه ، ارجع بالـ vecteur : le vecteur M prime M égale moins u . يعني l'image نمشيولها بـ u ، w l'antécédent نرجعولو بـ moins u . توّا نطبّقو هذا على figure فيها زوز parallélogrammes .

Une remarque. Si on te donne le point M prime, il existe un seul point M tel que t indice u de M égale M prime : c'est l'antécédent de M prime. Pour le trouver, reviens en arrière avec le vecteur : le vecteur M prime M égale moins u. Autrement dit, on va vers l'image avec u, et on revient à l'antécédent avec moins u. Appliquons cela à une figure qui contient deux parallélogrammes.

Étant donné un point M′,M', il existe un seul point MM du plan tel que tu⃗(M)=M′.t_{\vec{u}}(M) = M'. Le point MM est l'antécédent de M′M' par tu⃗.t_{\vec{u}}.

En effet, MM′→=u⃗\overrightarrow{MM'} = \vec{u} équivaut à M′M→=−u⃗\overrightarrow{M'M} = -\vec{u} : pour trouver l'antécédent, on part de M′M' et on remonte le vecteur.

Sur une figure. ABCDABCD est un parallélogramme de centre I,I, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. On lit les vecteurs égaux :

  • AI→=IC→=JB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{JB} ;
  • AJ→=IB→=DI→\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{DI} ;
  • JI→=AD→=BC→.\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.
DACBIJ
ABCD est un parallélogramme de centre I ; AIBJ est un parallélogramme.

Un parallélogramme ABCD : D en haut à gauche, A en haut à droite, C en bas à gauche, B en bas à droite. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en son centre I. À droite, le point J est tel que AIBJ est un parallélogramme : J est à droite de I, à la même hauteur, et les segments [AJ] et [BJ] sont tracés.

pour l'antécédent

tu⃗(M)=M′  ⟺  M′M→=−u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{M'M} = -\vec{u}

Exemple traité

Dans la figure, ABCDABCD est un parallélogramme de centre I,I, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. a) Déterminer l'image de chacun des points A,A, II et JJ par la translation de vecteur AI→.\overrightarrow{AI}. b) Déterminer l'image de chacun des points A,A, BB et JJ par la translation de vecteur JI→.\overrightarrow{JI}. c) Déterminer l'antécédent de chacun des points B,B, II et JJ par la translation de vecteur AJ→.\overrightarrow{AJ}.

  1. Le vecteur AI — II est le milieu de [AC],[AC], et AIBJAIBJ est un parallélogramme : trois vecteurs sont égaux. Donc AA a pour image I,I, II a pour image C,C, et JJ a pour image B.B.AI→=IC→=JB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{JB}
  2. Le vecteur JI — Par Chasles, le vecteur JI→\overrightarrow{JI} est la somme des vecteurs JA→\overrightarrow{JA} et AI→,\overrightarrow{AI}, c'est-à-dire des vecteurs BI→\overrightarrow{BI} et IC→.\overrightarrow{IC}. Donc AA a pour image D,D, BB a pour image C,C, et JJ a pour image I.I.JI→=BI→+IC→=BC→=AD→\overrightarrow{JI} = \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}
  3. Les antécédents — Pour un antécédent, on cherche le point de départ : celui d'où part un vecteur égal au vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} et qui arrive au point donné. L'antécédent de BB est I,I, celui de JJ est A,A, et celui de II est D.D.IB→=AJ→=DI→\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{DI}
les images I, C et B, puis D, C et I;les anteˊceˊdents I, D et A\text{les images } I,\ C \text{ et } B \text{, puis } D,\ C \text{ et } I \quad ; \quad \text{les antécédents } I,\ D \text{ et } A

À ne pas faire : L'antécédent de II par la translation de vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} est BB — L'antécédent de II est D,D, car DI→=AJ→\overrightarrow{DI} = \overrightarrow{AJ}. BB est l'image de I,I, pas son antécédent. Pour l'antécédent, on cherche le point XX tel que le vecteur XI→\overrightarrow{XI} soit égal au vecteur de la translation.

6. Théorème

Propriété caractéristique

Ce qu’il dit

La propriété caractéristique, hiya elli t3arrfek b la translation. Ne5dhou application t, w zouz points M w N, w les images mte3hom M prime w N prime. T translation, équivaut à : le vecteur M prime N prime égale le vecteur MN, mahma kenou M w N. 3lech ? Ken t translation de vecteur u, b Chasles : le vecteur M prime N prime égale moins u plus le vecteur MN plus u, ya3ni le vecteur MN. W bel 3aks, ken el égalité hedhi dima s7i7a, nchoddou point A w l'image mte3ou A prime : nal9aw le vecteur MM prime égale le vecteur AA prime, l koll point M. Donc t translation de vecteur AA prime.

la propriété caractéristique ، هي اللي تعرّفك بـ la translation . ناخذو application t ، w زوز points M w N ، w les images متاعهم M prime w N prime . t translation ، équivaut à : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N ، مهما كانو M w N . علاش ؟ كان t translation de vecteur u ، بـ Chasles : le vecteur M prime N prime égale moins u plus le vecteur M N plus u ، يعني le vecteur M N . w بالعكس ، كان الـ égalité هذي ديما صحيحة ، نشدّو point A w l'image متاعو A prime : نلقاو le vecteur M M prime égale le vecteur A A prime ، لكل point M . donc t translation de vecteur A A prime .

La propriété caractéristique, c'est celle qui te fait reconnaître une translation. Prenons une application t, deux points M et N, et leurs images M prime et N prime. t est une translation, équivaut à : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N, quels que soient M et N. Pourquoi ? Si t est la translation de vecteur u, par Chasles : le vecteur M prime N prime égale moins u plus le vecteur M N plus u, c'est-à-dire le vecteur M N. Et réciproquement, si cette égalité est toujours vraie, on fixe un point A et son image A prime : on trouve que le vecteur M M prime égale le vecteur A A prime, pour tout point M. Donc t est la translation de vecteur A A prime.

Soit tt une application du plan dans le plan, et MM et NN deux points quelconques du plan, d'images respectives M′M' et N′N' par t.t.

(t est une translation)\displaystyle (t \text{ est une translation}) équivaut à (M′N′→=MN→)\displaystyle \left(\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}\right)

Autrement dit : une translation ne change pas les vecteurs, et c'est la seule sorte d'application qui ait cette propriété.

MNM'N'
Le vecteur M'N' est égal au vecteur MN.

Deux points M et N à gauche, et leurs images M' et N' à droite. Les vecteurs MM' et NN', en bleu, sont égaux. Les vecteurs MN et M'N', en rouge, sont égaux eux aussi : le quadrilatère MNN'M' est un parallélogramme.

pour tous points M et N

M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}

Démonstration

Si tt est la translation de vecteur u⃗,\vec{u}, alors MM′→=NN′→=u⃗,\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{NN'} = \vec{u}, et par la relation de Chasles M′N′→=M′M→+MN→+NN′→=−u⃗+MN→+u⃗=MN→.\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{M'M} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NN'} = -\vec{u} + \overrightarrow{MN} + \vec{u} = \overrightarrow{MN}. Réciproquement, soit ff une application telle que M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} pour tous points MM et N.N. On fixe un point AA et on note A′A' son image. Pour tout point MM d'image M′,M', on a A′M′→=AM→,\overrightarrow{A'M'} = \overrightarrow{AM}, donc MM′→=MA→+AA′→+A′M′→=MA→+AA′→+AM→=AA′→.\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'M'} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA'}. Le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} est le même pour tous les points : ff est la translation de vecteur AA′→.\overrightarrow{AA'}.

Exemple traité

Soit tt une translation, AA et BB deux points distincts, d'images A′A' et B′.B'. On suppose que A′A' n'est pas sur la droite (AB).(AB). Montrer que ABB′A′ABB'A' est un parallélogramme.

  1. La propriété — Une translation ne change pas les vecteurs : le vecteur qui joint les images est égal au vecteur qui joint les points.A′B′→=AB→\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB}
  2. Conclure — Deux vecteurs égaux dessinent un parallélogramme. On lit dans l'ordre : A,A, B,B, puis B′,B', puis A′.A'.ABB′A′ est un paralleˊlogrammeABB'A' \text{ est un parallélogramme}
ABB′A′ est un paralleˊlogrammeABB'A' \text{ est un parallélogramme}

À ne pas faire : M′N′=MNM'N' = MN pour tous points MM et N,N, donc ff est une translation — Il faut l'égalité des vecteurs : M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}. Une symétrie centrale conserve aussi les distances, mais elle change le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en son opposé : ce n'est pas une translation.

7. Propriété

Distances et directions

Ce qu’il dit

Men la propriété caractéristique n5arrjou zouz conséquences. Numéro un : MN égale M prime N prime, ya3ni la translation t7afedh 3la les distances. Numéro deux : ken M w N mo5talfin, la droite MN parallèle à la droite M prime N prime. 5ater le vecteur M prime N prime égale le vecteur MN : nafs la longueur w nafs la direction. El figure tezle9, ma tekberch w ma tdourch.

من la propriété caractéristique نخرّجو زوز conséquences . numéro un : M N égale M prime N prime ، يعني la translation تحافظ على les distances . numéro deux : كان M w N مختلفين ، la droite M N parallèle à la droite M prime N prime . خاطر le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N : نفس la longueur w نفس la direction . الـ figure تزلق ، ما تكبرش w ما تدورش .

De la propriété caractéristique, on tire deux conséquences. Numéro un : M N égale M prime N prime, donc la translation conserve les distances. Numéro deux : si M et N sont distincts, la droite M N est parallèle à la droite M prime N prime. Car le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N : même longueur et même direction. La figure glisse, elle ne grandit pas et elle ne tourne pas.

  • Pour tous points MM et N,N, d'images respectives M′M' et N′N' par une translation, on a MN=M′N′.MN = M'N'. On dit qu'une translation conserve les distances.
  • Pour tous points MM et NN distincts, d'images respectives M′M' et N′N' par une translation, les droites (MN)(MN) et (M′N′)(M'N') sont parallèles.

Ces deux résultats viennent de l'égalité M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} : deux vecteurs égaux ont la même longueur et la même direction.

uMNM'N'
(MN) et (M'N') sont parallèles, et MN = M'N'.

Une droite oblique passe par deux points M et N. À sa droite, une seconde droite, parallèle à la première, passe par leurs images M' et N'. En haut, le vecteur u de la translation, en bleu. Les segments [MN] et [M'N'], en rouge, ont la même longueur.

les distances

MN=M′N′MN = M'N'

les directions

(MN)∥(M′N′)(MN) \parallel (M'N')

Exemple traité

ABCABC est un triangle rectangle en AA tel que AB=3AB = 3 et AC=4.AC = 4. On note A′,A', B′B' et C′C' les images de A,A, BB et CC par une translation. Calculer la distance B′C′.B'C'.

  1. Pythagore — Dans le triangle ABC,ABC, rectangle en A,A, on calcule l'hypoténuse.BC2=32+42=25doncBC=5BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \quad \text{donc} \quad BC = 5
  2. La translation — Une translation conserve les distances : la distance entre les images est la distance entre les points.B′C′=BC=5B'C' = BC = 5
B′C′=5B'C' = 5

À ne pas faire : Par une translation de vecteur u⃗\vec{u} de norme 5,5, la longueur MNMN augmente de 55 — M′N′=MNM'N' = MN. Tous les points se déplacent du même vecteur : la figure glisse sans se déformer, aucune longueur ne change.

8. Méthode

Reconnaître une translation

Ce qu’il dit

Kifech nthabtou elli application hiya translation ? N7esbou le vecteur MM prime, w nchoufou ken yatla3 vecteur constant, ma fihech M. Mathalan : le vecteur MM prime égale le vecteur MA plus le vecteur MB moins deux fois le vecteur MC. Nda55lou C b Chasles fi le vecteur MA w fi le vecteur MB : les termes elli fihom M yti7ou, w yo93ed le vecteur CA plus le vecteur CB. Hedha vecteur constant, donc f hiya la translation de vecteur CA plus CB.

كيفاش نثبتو اللي application هي translation ؟ نحسبو le vecteur M M prime ، w نشوفو كان يطلع vecteur constant ، ما فيهش M . مثلا : le vecteur M M prime égale le vecteur M A plus le vecteur M B moins deux fois le vecteur M C . ندخّلو C بـ Chasles في le vecteur M A w في le vecteur M B : les termes اللي فيهم M يطيحو ، w يقعد le vecteur C A plus le vecteur C B . هذا vecteur constant ، donc f هي la translation de vecteur C A plus C B .

Comment prouver qu'une application est une translation ? On calcule le vecteur M M prime, et on regarde s'il donne un vecteur constant, qui ne contient pas M. Par exemple : le vecteur M M prime égale le vecteur M A plus le vecteur M B moins deux fois le vecteur M C. On introduit C par Chasles dans le vecteur M A et dans le vecteur M B : les termes qui contiennent M disparaissent, et il reste le vecteur C A plus le vecteur C B. C'est un vecteur constant, donc f est la translation de vecteur C A plus C B.

Pour montrer qu'une application f:M↦M′f : M \mapsto M' est une translation, on calcule le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} et on montre qu'il est égal à un vecteur qui ne dépend pas de M.M.

Exemple. Soit A,A, BB et CC trois points du plan et ff l'application qui à MM associe le point M′M' tel que MM′→=MA→+MB→−2MC→.\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC}. On introduit le point CC par la relation de Chasles :

MM′→=(MC→+CA→)+(MC→+CB→)−2MC→=CA→+CB→\overrightarrow{MM'} = \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA}\right) + \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}\right) - 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}

Le vecteur CA→+CB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ne contient plus MM : ff est la translation de vecteur CA→+CB→.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}.

un vecteur constant

MM′→=CA→+CB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points du plan. On considère l'application ff du plan dans lui-même qui à tout point MM associe le point NN tel que le vecteur AN→\overrightarrow{AN} soit égal à 33 fois le vecteur AM→\overrightarrow{AM} moins 22 fois le vecteur BM→.\overrightarrow{BM}. Exprimer le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en fonction du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, puis en déduire la nature de f.f.

  1. Chasles — On décompose le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en passant par A,A, puis on remplace le vecteur AN→\overrightarrow{AN} par son expression.MN→=MA→+AN→=MA→+3AM→−2BM→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{BM}
  2. Réduire — Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} est l'opposé du vecteur AM→,\overrightarrow{AM}, et l'opposé du vecteur BM→\overrightarrow{BM} est le vecteur MB→.\overrightarrow{MB}.MN→=2AM→+2MB→=2AB→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AM} + 2\overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{AB}
  3. Conclure — Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} ne dépend pas du point MM : ff est la translation de vecteur 2AB→.2\overrightarrow{AB}.
MN→=2AB→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AB}

À ne pas faire : MM′→=2MA→,\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{MA}, donc ff est la translation de vecteur 2MA→2\overrightarrow{MA} — ff n'est pas une translation : c'est la symétrie centrale de centre AA. Le vecteur 2MA→2\overrightarrow{MA} change quand MM change. Pour une translation, le vecteur doit être le même pour tous les points.

9. Propriété

Conservation de l'alignement

Ce qu’il dit

La translation t7afedh 3la l'alignement : les images mta3 points alignés, houma points alignés. 3lech ? Ken M, N w P alignés, le vecteur MP égale k fois le vecteur MN. W la translation ma tbaddelch les vecteurs : le vecteur M prime P prime égale k fois le vecteur M prime N prime. Donc M prime, N prime w P prime alignés. Nesta3mlouha barcha : bech nthabtou elli trois points alignés, nwarriw elli houma les images mta3 trois points alignés.

la translation تحافظ على l'alignement : les images متاع points alignés ، هوما points alignés . علاش ؟ كان M ، N w P alignés ، le vecteur M P égale k fois le vecteur M N . w la translation ما تبدّلش les vecteurs : le vecteur M prime P prime égale k fois le vecteur M prime N prime . donc M prime ، N prime w P prime alignés . نستعملوها برشة : باش نثبتو اللي trois points alignés ، نوريو اللي هوما les images متاع trois points alignés .

La translation conserve l'alignement : les images de points alignés sont des points alignés. Pourquoi ? Si M, N et P sont alignés, le vecteur M P égale k fois le vecteur M N. Et la translation ne change pas les vecteurs : le vecteur M prime P prime égale k fois le vecteur M prime N prime. Donc M prime, N prime et P prime sont alignés. On s'en sert souvent : pour prouver que trois points sont alignés, on montre que ce sont les images de trois points alignés.

Les images, par une translation, de points alignés sont des points alignés.

On s'en sert pour prouver un alignement : on montre que les trois points sont les images, par une même translation, de trois points que l'on sait alignés.

dABCIJHKL
H, K et L sont les images de A, B et C par la translation de vecteur IJ.

Une droite d passe par trois points A, B et C, de gauche à droite. Au-dessus, deux points I et J. On a construit les points H, K et L tels que AIJH, BIJK et CIJL soient des parallélogrammes : les vecteurs AH, BK et CL, en bleu, sont tous égaux au vecteur IJ. Les points H, K et L sont alignés sur une droite rouge parallèle à d.

MP→=kMN→  ⟹  M′P′→=kM′N′→\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN} \implies \overrightarrow{M'P'} = k\overrightarrow{M'N'}

Démonstration

Soient M,M, NN et PP trois points alignés, avec M≠N,M \neq N, et M′,M', N′N' et P′P' leurs images par une translation. Il existe un réel kk tel que MP→=kMN→.\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MN}. Par la propriété caractéristique, M′P′→=MP→\overrightarrow{M'P'} = \overrightarrow{MP} et M′N′→=MN→,\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}, donc M′P′→=kM′N′→\overrightarrow{M'P'} = k\overrightarrow{M'N'} : les points M′,M', N′N' et P′P' sont alignés.

Exemple traité

Soient A,A, BB et CC trois points d'une droite d,d, et II et JJ deux points qui ne sont pas sur d.d. On construit les points H,H, KK et LL tels que AIJH,AIJH, BIJKBIJK et CIJLCIJL soient des parallélogrammes. Montrer que les points H,H, KK et LL sont alignés.

  1. Les vecteurs — AIJHAIJH est un parallélogramme : le vecteur AH→\overrightarrow{AH} est égal au vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}. Il en est de même pour les deux autres parallélogrammes.AH→=BK→=CL→=IJ→\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{CL} = \overrightarrow{IJ}
  2. La translation — Les points H,H, KK et LL sont donc les images de A,A, BB et CC par la translation de vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.
  3. Conclure — A,A, BB et CC sont alignés, et une translation conserve l'alignement : leurs images sont alignées.H, K et L sont aligneˊsH,\ K \text{ et } L \text{ sont alignés}
H, K et L sont aligneˊsH,\ K \text{ et } L \text{ sont alignés}

À ne pas faire : AIJHAIJH est un parallélogramme, donc AI→=JH→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{JH} — AIJHAIJH est un parallélogramme, donc AI→=HJ→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{HJ} et AH→=IJ→\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{IJ}. Deux côtés opposés se parcourent dans le même sens : de AA vers II d'un côté, de HH vers JJ de l'autre.

10. Théorème

Image d'une droite

Ce qu’il dit

Chnowa l'image mta3 droite ? El théorème y9oul : l'image d'une droite par une translation, hiya droite parallèle liha. Ken A prime w B prime houma les images de A w B, l'image de la droite AB hiya la droite A prime B prime. W l'image du segment AB hiya le segment A prime B prime, 3andou nafs la longueur. W l'image de la demi-droite d'origine A hiya demi-droite d'origine A prime. Fel pratique : bech tarsem l'image mta3 droite, yekfik point wa7ed. 5oudh point A 3la la droite, arsem A prime, w 3addi men A prime la parallèle.

شنوّة l'image متاع droite ؟ الـ théorème يقول : l'image d'une droite par une translation ، هي droite parallèle ليها . كان A prime w B prime هوما les images de A w B ، l'image de la droite A B هي la droite A prime B prime . w l'image du segment A B هي le segment A prime B prime ، عندو نفس la longueur . w l'image de la demi-droite d'origine A هي demi-droite d'origine A prime . في الـ pratique : باش ترسم l'image متاع droite ، يكفيك point واحد . خوذ point A على la droite ، ارسم A prime ، w عدّي من A prime la parallèle .

Quelle est l'image d'une droite ? Le théorème dit : l'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle. Si A prime et B prime sont les images de A et B, l'image de la droite A B est la droite A prime B prime. Et l'image du segment A B est le segment A prime B prime, de même longueur. Et l'image de la demi-droite d'origine A est une demi-droite d'origine A prime. En pratique : pour tracer l'image d'une droite, un seul point suffit. Prends un point A sur la droite, construis A prime, et trace par A prime la parallèle.

Soient AA et BB deux points distincts et A′A' et B′B' leurs images respectives par une translation t.t.

  • L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle : l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (A′B′).(A'B').
  • L'image d'un segment par une translation est un segment qui lui est isométrique : l'image du segment [AB][AB] est le segment [A′B′].[A'B'].
  • L'image d'une demi-droite par une translation est une demi-droite : l'image de la demi-droite [AB)[AB) est la demi-droite [A′B′).[A'B').

En pratique. Pour tracer l'image d'une droite, un seul point suffit : on construit l'image A′A' d'un point AA de la droite, puis on trace la parallèle à la droite passant par A′.A'.

AMBA'M'B'
L'image de la droite (AB) est la droite (A'B'), parallèle à (AB).

Une droite passe par deux points A et B ; un point M est placé entre eux. Au-dessus, la droite image, parallèle à la première, passe par les images A' et B', et par l'image M' de M. Les vecteurs AA', MM' et BB', en bleu, sont égaux.

une droite parallèle

(AB)⟼(A′B′)(AB) \longmapsto (A'B')

un segment isométrique

[AB]⟼[A′B′],A′B′=AB[AB] \longmapsto [A'B'], \quad A'B' = AB

Démonstration

Soit MM un point de (AB)(AB) et M′M' son image. Il existe un réel kk tel que AM→=kAB→.\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AB}. Comme A′M′→=AM→\overrightarrow{A'M'} = \overrightarrow{AM} et A′B′→=AB→,\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB}, on a A′M′→=kA′B′→\overrightarrow{A'M'} = k\overrightarrow{A'B'} : M′M' est sur (A′B′).(A'B'). Réciproquement, soit N′N' un point de (A′B′)(A'B') et NN son antécédent : A′N′→=kA′B′→\overrightarrow{A'N'} = k\overrightarrow{A'B'} donne AN→=kAB→,\overrightarrow{AN} = k\overrightarrow{AB}, donc NN est sur (AB).(AB). L'image de (AB)(AB) est donc exactement (A′B′),(A'B'), et ces droites sont parallèles car A′B′→=AB→.\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB}. Pour le segment, le même calcul avec 0≤k≤10 \le k \le 1 ; pour la demi-droite, avec k≥0.k \ge 0.

Exemple traité

Soit [AB][AB] un segment de milieu O.O. On note D1D_1 la médiatrice du segment [OA][OA] et D2D_2 la médiatrice du segment [OB].[OB]. Montrer que la translation de vecteur AO→\overrightarrow{AO} transforme la droite D1D_1 en la droite D2.D_2.

  1. Un point de la droite — On note II le milieu de [OA][OA] et KK le milieu de [OB].[OB]. Le point II est sur D1.D_1. Par Chasles, le vecteur IK→\overrightarrow{IK} est la somme de la moitié du vecteur AO→\overrightarrow{AO} et de la moitié du vecteur OB→,\overrightarrow{OB}, et ces deux vecteurs sont égaux : l'image de II est K.K.IK→=IO→+OK→=12AO→+12OB→=AO→\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IO} + \overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AO} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AO}
  2. La direction — L'image de D1D_1 est la droite parallèle à D1D_1 qui passe par K.K. Comme D1D_1 est perpendiculaire à la droite (AB),(AB), son image l'est aussi.
  3. Conclure — La droite perpendiculaire à (AB)(AB) qui passe par le milieu KK de [OB][OB] est la médiatrice de [OB][OB] : c'est la droite D2.D_2.D1⟼D2D_1 \longmapsto D_2
D1⟼D2D_1 \longmapsto D_2

À ne pas faire : L'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est une autre droite, parallèle à (AB)(AB) — L'image de la droite (AB)(AB) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} est la droite (AB)(AB) elle-même. AA a pour image B,B, qui est sur la droite (AB)(AB) : la parallèle à (AB)(AB) passant par BB est la droite (AB)(AB) elle-même. Une droite qui a la direction du vecteur glisse sur elle-même.

11. Exemple

Exemple : images de droites

Ce qu’il dit

Mithel. 3andna parallélogramme ABCD, w la droite D un hiya la parallèle à la droite AC elli tet3adda men B. W t hiya la translation de vecteur AC. Bech nal9aw l'image mta3 droite, nal9aw l'image mta3 point wa7ed menha, w nrasmou la parallèle. A yemchi l C : l'image de la droite AB hiya la parallèle elli tet3adda men C, ya3ni la droite DC. Kif kif, l'image de la droite AD hiya la droite BC. Amma la droite D un, 3andha nafs la direction mta3 el vecteur : tezle9 3la rou7ha, w l'image mte3ha hiya D un bidha.

مثال . عندنا parallélogramme A B C D ، w la droite D un هي la parallèle à la droite A C اللي تتعدّى من B . w t هي la translation de vecteur A C . باش نلقاو l'image متاع droite ، نلقاو l'image متاع point واحد منها ، w نرسمو la parallèle . A يمشي لـ C : l'image de la droite A B هي la parallèle اللي تتعدّى من C ، يعني la droite D C . كيف كيف ، l'image de la droite A D هي la droite B C . أمّا la droite D un ، عندها نفس la direction متاع الـ vecteur : تزلق على روحها ، w l'image متاعها هي D un بيدها .

Un exemple. On a un parallélogramme A B C D, et la droite D un est la parallèle à la droite A C qui passe par B. Et t est la translation de vecteur A C. Pour trouver l'image d'une droite, on cherche l'image d'un seul de ses points, et on trace la parallèle. A va en C : l'image de la droite A B est la parallèle qui passe par C, c'est-à-dire la droite D C. De même, l'image de la droite A D est la droite B C. Quant à la droite D un, elle a la même direction que le vecteur : elle glisse sur elle-même, et son image est D un elle-même.

Soient ABCDABCD un parallélogramme et D1D_1 la parallèle à la droite (AC)(AC) passant par B.B. On note tt la translation de vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.

Pour trouver l'image d'une droite, on cherche l'image d'un de ses points, puis on trace la parallèle :

  • l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (DC)(DC) ;
  • l'image de la droite (AD)(AD) est la droite (BC)(BC) ;
  • l'image de la droite D1D_1 est la droite D1D_1 elle-même, car D1D_1 a la direction du vecteur de la translation.
D₁ABCD
D₁ est la parallèle à (AC) passant par B.

Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. La diagonale [AC] porte le vecteur AC, en bleu. Une droite D1, en rouge, passe par B et elle est parallèle à la diagonale (AC).

(AB)⟼(DC);(AD)⟼(BC);D1⟼D1(AB) \longmapsto (DC) \quad ; \quad (AD) \longmapsto (BC) \quad ; \quad D_1 \longmapsto D_1

Exemple traité

Soit ABCDABCD un parallélogramme. On note D1D_1 la parallèle à la droite (AC)(AC) passant par B,B, et tt la translation de vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Déterminer l'image par tt de chacune des droites (AB),(AB), (AD)(AD) et D1.D_1.

  1. La droite (AB) — AA a pour image C.C. L'image de la droite (AB)(AB) est la parallèle à (AB)(AB) passant par CC : comme ABCDABCD est un parallélogramme, c'est la droite (DC).(DC).(AB)⟼(DC)(AB) \longmapsto (DC)
  2. La droite (AD) — De même, l'image de la droite (AD)(AD) est la parallèle à (AD)(AD) passant par CC : c'est la droite (BC).(BC).(AD)⟼(BC)(AD) \longmapsto (BC)
  3. La troisième droite — On note B′B' l'image de B.B. Le vecteur BB′→\overrightarrow{BB'} est égal au vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, et D1D_1 est la parallèle à (AC)(AC) passant par BB : le point B′B' est sur D1.D_1. L'image de D1D_1 est la parallèle à D1D_1 passant par B′,B', c'est-à-dire D1D_1 elle-même.D1⟼D1D_1 \longmapsto D_1
les droites (DC), (BC) et D1\text{les droites } (DC),\ (BC) \text{ et } D_1

12. Propriété

Conservation du milieu

Ce qu’il dit

La translation t7afedh 3la le milieu. Ken O le milieu de IJ, w I prime, J prime w O prime houma les images mte3hom, wa9tha O prime houwa le milieu de I prime J prime. 5ater le vecteur OI plus le vecteur OJ égale le vecteur nul, w la translation ma tbaddelch les vecteurs. Nchoufou mithel fi triangle : M, N w P houma les milieux de BC, AC w AB, w t hiya la translation de vecteur MC.

la translation تحافظ على le milieu . كان O le milieu de I J ، w I prime ، J prime w O prime هوما les images متاعهم ، وقتها O prime هو le milieu de I prime J prime . خاطر le vecteur O I plus le vecteur O J égale le vecteur nul ، w la translation ما تبدّلش les vecteurs . نشوفو مثال في triangle : M ، N w P هوما les milieux de B C ، A C w A B ، w t هي la translation de vecteur M C .

La translation conserve le milieu. Si O est le milieu de I J, et si I prime, J prime et O prime sont leurs images, alors O prime est le milieu de I prime J prime. Car le vecteur O I plus le vecteur O J égale le vecteur nul, et la translation ne change pas les vecteurs. Voyons un exemple dans un triangle : M, N et P sont les milieux de B C, A C et A B, et t est la translation de vecteur M C.

La translation conserve le milieu : si OO est le milieu d'un segment [IJ],[IJ], et si I′,I', J′J' et O′O' sont les images respectives de I,I, JJ et OO par une translation, alors O′O' est le milieu de [I′J′].[I'J'].

ABCMNPQ
N est le milieu de [MQ].

Un triangle ABC : A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. M, N et P sont les milieux des côtés [BC], [AC] et [AB]. Le vecteur MC est tracé en bleu. Le point Q, à droite de A, est l'image de A par la translation de vecteur MC. Le segment [MQ], en rouge, passe par N, qui est son milieu.

O milieu de [IJ]  ⟹  O′ milieu de [I′J′]O \text{ milieu de } [IJ] \implies O' \text{ milieu de } [I'J']

Démonstration

OO est le milieu de [IJ][IJ] : OI→+OJ→=0⃗.\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ} = \vec{0}. Par la propriété caractéristique, O′I′→=OI→\overrightarrow{O'I'} = \overrightarrow{OI} et O′J′→=OJ→,\overrightarrow{O'J'} = \overrightarrow{OJ}, donc O′I′→+O′J′→=0⃗\overrightarrow{O'I'} + \overrightarrow{O'J'} = \vec{0} : O′O' est le milieu de [I′J′].[I'J'].

Exemple traité

Soient ABCABC un triangle et M,M, NN et PP les milieux respectifs des segments [BC],[BC], [AC][AC] et [AB].[AB]. On note tt la translation de vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. a) Déterminer les images de BB et de PP par t.t. b) Soit QQ l'image de AA par t.t. Montrer que les points M,M, NN et QQ sont alignés, et préciser la position de NN sur le segment [MQ].[MQ].

  1. L'image de B — MM est le milieu de [BC][BC] : le vecteur BM→\overrightarrow{BM} est égal au vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. L'image de BB est M.M.BM→=MC→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}
  2. L'image de P — PP et NN sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC] : le vecteur PN→\overrightarrow{PN} est la moitié du vecteur BC→,\overrightarrow{BC}, c'est-à-dire le vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. L'image de PP est N.N.PN→=12BC→=MC→\overrightarrow{PN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MC}
  3. Le milieu — PP est le milieu de [AB],[AB], et une translation conserve le milieu : l'image de P,P, qui est N,N, est le milieu du segment qui joint les images de AA et de B,B, c'est-à-dire QQ et M.M. Les trois points sont donc alignés.N est le milieu de [MQ]N \text{ est le milieu de } [MQ]
N est le milieu de [MQ]N \text{ est le milieu de } [MQ]

À ne pas faire : Le vecteur de la translation est MC→,\overrightarrow{MC}, donc l'image de BB est CC — L'image de BB est M,M, car BM→=MC→\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{MC}. L'image de BB est le point XX tel que le vecteur BX→\overrightarrow{BX} soit égal au vecteur de la translation. Ici MM est le milieu de [BC].[BC].

13. Propriété

Conservation du barycentre

Ce qu’il dit

La translation t7afedh zeda 3la le barycentre. Ken G le barycentre de I, a w J, b, w a plus b différent de zéro, wa9tha l'image G prime houwa le barycentre de I prime, a w J prime, b : nafs les coefficients. 5ater a fois le vecteur GI plus b fois le vecteur GJ égale le vecteur nul, w el vecteurs ma yetbaddlouch. W kif kif fi trois points : l'image du centre de gravité mta3 triangle, hiya le centre de gravité mta3 le triangle image.

la translation تحافظ زادة على le barycentre . كان G le barycentre de I ، a w J ، b ، w a plus b différent de zéro ، وقتها l'image G prime هو le barycentre de I prime ، a w J prime ، b : نفس les coefficients . خاطر a fois le vecteur G I plus b fois le vecteur G J égale le vecteur nul ، w الـ vecteurs ما يتبدّلوش . w كيف كيف في trois points : l'image du centre de gravité متاع triangle ، هي le centre de gravité متاع le triangle image .

La translation conserve aussi le barycentre. Si G est le barycentre de I, a et J, b, avec a plus b différent de zéro, alors l'image G prime est le barycentre de I prime, a et J prime, b : les mêmes coefficients. Car a fois le vecteur G I plus b fois le vecteur G J égale le vecteur nul, et les vecteurs ne changent pas. Et de même avec trois points : l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.

La translation conserve le barycentre. Soient II et JJ deux points du plan et aa et bb deux réels tels que a+b≠0.a + b \neq 0. On désigne par GG le barycentre de (I,a)(I, a) et (J,b),(J, b), et par I′,I', J′J' et G′G' les images respectives de I,I, JJ et GG par une translation. Alors G′G' est le barycentre de (I′,a)(I', a) et (J′,b).(J', b).

Il en est de même pour trois points : en particulier, l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.

ABCOA'C'O'MN
M est le centre de gravité de ABC, N celui de A'CC'.

Un triangle ABC : A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite, et O le milieu de [BC]. À droite, le triangle image A'CC', en bleu, obtenu par la translation de vecteur BC : A' est à droite de A, C' à droite de C, et O' est le milieu de [CC']. Les médianes (AO) et (BA') se coupent en M ; les droites (A'O') et (AC') se coupent en N. Le vecteur MN, en rouge, est égal au vecteur BC.

aGI→+bGJ→=0⃗  ⟹  aG′I′→+bG′J′→=0⃗a\overrightarrow{GI} + b\overrightarrow{GJ} = \vec{0} \implies a\overrightarrow{G'I'} + b\overrightarrow{G'J'} = \vec{0}

Démonstration

GG est le barycentre de (I,a)(I, a) et (J,b)(J, b) : aGI→+bGJ→=0⃗.a\overrightarrow{GI} + b\overrightarrow{GJ} = \vec{0}. Par la propriété caractéristique, G′I′→=GI→\overrightarrow{G'I'} = \overrightarrow{GI} et G′J′→=GJ→,\overrightarrow{G'J'} = \overrightarrow{GJ}, donc aG′I′→+bG′J′→=0⃗a\overrightarrow{G'I'} + b\overrightarrow{G'J'} = \vec{0} : G′G' est le barycentre de (I′,a)(I', a) et (J′,b).(J', b). Le même calcul vaut avec trois points.

Exemple traité

Soit ABCABC un triangle, OO le milieu de [BC][BC] et tt la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. On note A′,A', C′C' et O′O' les images de A,A, CC et OO par t.t. La droite (BA′)(BA') coupe la droite (AO)(AO) en M,M, et la droite (AC′)(AC') coupe la droite (A′O′)(A'O') en N.N. Montrer que MM est le centre de gravité du triangle ABC,ABC, puis que NN est l'image de MM par t.t.

  1. Le point M — Le vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} est égal au vecteur BC→\overrightarrow{BC} : AA′CBAA'CB est un parallélogramme, et ses diagonales [AC][AC] et [BA′][BA'] se coupent en leur milieu. La droite (BA′)(BA') passe donc par le milieu de [AC][AC] : c'est une médiane du triangle ABC.ABC. La droite (AO)(AO) en est une autre. Leur point d'intersection MM est le centre de gravité de ABC.ABC.AA′→=BC→\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BC}
  2. Le triangle image — L'image de AA est A′,A', celle de BB est C,C, celle de CC est C′C' : le triangle A′CC′A'CC' est l'image du triangle ABC.ABC. Et O′,O', image du milieu de [BC],[BC], est le milieu de [CC′].[CC'].ABC⟼A′CC′ABC \longmapsto A'CC'
  3. Le point N — La droite (A′O′)(A'O') est une médiane du triangle A′CC′.A'CC'. Les vecteurs AA′→\overrightarrow{AA'} et CC′→\overrightarrow{CC'} sont égaux : AA′C′CAA'C'C est un parallélogramme, donc la droite (AC′)(AC') passe par le milieu de [A′C].[A'C]. C'est une autre médiane : NN est le centre de gravité du triangle A′CC′.A'CC'.
  4. Conclure — Le centre de gravité est l'isobarycentre des trois sommets, et une translation conserve le barycentre : l'image de MM est le centre de gravité du triangle image, c'est-à-dire N.N.M⟼NM \longmapsto N
M⟼NM \longmapsto N

À ne pas faire : GG est le barycentre de (I,2)(I, 2) et (J,3),(J, 3), donc G′G' est le barycentre de (I′,3)(I', 3) et (J′,2)(J', 2) — G′G' est le barycentre de (I′,2)(I', 2) et (J′,3)(J', 3). Chaque point garde son coefficient : l'image de II porte le coefficient de I.I.

14. Propriété

Parallélisme et orthogonalité

Ce qu’il dit

La translation t7afedh 3la le parallélisme w 3la l'orthogonalité. Les images mta3 zouz droites parallèles, houma zouz droites parallèles. W les images mta3 zouz droites perpendiculaires, houma zouz droites perpendiculaires. 5ater koll droite parallèle à l'image mte3ha. W 7aja tanfa3 barcha : ken point houwa l'intersection mta3 zouz droites, l'image mte3ou hiya l'intersection mta3 les images mte3hom. Nchoufouha fi mithel fih rectangle w orthocentre.

la translation تحافظ على le parallélisme w على l'orthogonalité . les images متاع زوز droites parallèles ، هوما زوز droites parallèles . w les images متاع زوز droites perpendiculaires ، هوما زوز droites perpendiculaires . خاطر كل droite parallèle à l'image متاعها . w حاجة تنفع برشة : كان point هو l'intersection متاع زوز droites ، l'image متاعو هي l'intersection متاع les images متاعهم . نشوفوها في مثال فيه rectangle w orthocentre .

La translation conserve le parallélisme et l'orthogonalité. Les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. Et les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires. Car chaque droite est parallèle à son image. Et une idée très utile : si un point est l'intersection de deux droites, son image est l'intersection de leurs images. Voyons-la dans un exemple avec un rectangle et un orthocentre.

  • Les images par une translation de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
  • Les images par une translation de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.

Une idée utile. Si un point AA est le point d'intersection de deux droites, son image est le point d'intersection des images de ces deux droites.

ABCDMHIEF
I, M et H sont alignés.

Un rectangle ABCD, plus haut que large : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. À l'intérieur, un point M et le triangle ABM. H est l'orthocentre de ce triangle, sous M. La droite (AM) est prolongée jusqu'au point E, projeté orthogonal de C ; la droite (BM) jusqu'au point F, projeté orthogonal de D. Les droites (CE) et (DF), en pointillés bleus, se coupent en I, au-dessus du rectangle. Les points H, M et I sont sur une même droite verticale rouge.

Démonstration

Soient DD et LL deux droites, D′D' et L′L' leurs images par une translation : D′D' est parallèle à DD et L′L' est parallèle à L.L. Si DD et LL sont parallèles, alors D′,D', D,D, LL et L′L' ont la même direction : D′D' et L′L' sont parallèles. Si DD et LL sont perpendiculaires, alors D′,D', parallèle à D,D, est perpendiculaire à L,L, donc à L′,L', qui est parallèle à L.L.

Exemple traité

ABCDABCD est un rectangle, MM est un point à l'intérieur de ce rectangle tel que le triangle ABMABM ne soit pas rectangle en M,M, et HH est l'orthocentre du triangle ABM.ABM. Soit EE le projeté orthogonal de CC sur la droite (AM)(AM) et FF le projeté orthogonal de DD sur la droite (BM).(BM). On note II le point d'intersection des droites (CE)(CE) et (DF),(DF), et tt la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. Montrer que les points I,I, MM et HH sont alignés.

  1. L'image de (BH) — La droite (BH)(BH) est une hauteur du triangle ABMABM : elle est perpendiculaire à la droite (AM).(AM). BB a pour image CC : l'image de la droite (BH)(BH) est la parallèle à (BH)(BH) passant par C,C, donc la perpendiculaire à (AM)(AM) passant par C.C. C'est la droite (CE).(CE).(BH)⟼(CE)(BH) \longmapsto (CE)
  2. L'image de (AH) — De même, la hauteur (AH)(AH) est perpendiculaire à la droite (BM),(BM), et AA a pour image D,D, car les vecteurs AD→\overrightarrow{AD} et BC→\overrightarrow{BC} sont égaux. L'image de la droite (AH)(AH) est la perpendiculaire à (BM)(BM) passant par DD : c'est la droite (DF).(DF).(AH)⟼(DF)(AH) \longmapsto (DF)
  3. L'image de H — HH est le point d'intersection des hauteurs (AH)(AH) et (BH)(BH) : son image est le point d'intersection de leurs images, les droites (DF)(DF) et (CE),(CE), c'est-à-dire I.I.HI→=BC→\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{BC}
  4. Conclure — La droite (HI)(HI) est parallèle à (BC),(BC), donc perpendiculaire à (AB).(AB). La hauteur (MH)(MH) est elle aussi perpendiculaire à (AB),(AB), et elle passe par HH : les deux droites sont confondues.I, M et H sont aligneˊsI,\ M \text{ et } H \text{ sont alignés}
I, M et H sont aligneˊsI,\ M \text{ et } H \text{ sont alignés}

À ne pas faire : DD est perpendiculaire à L,L, donc l'image D′D' est perpendiculaire à DD — D′D' est parallèle à D,D, et D′D' est perpendiculaire à L′L'. Une droite et son image sont parallèles. C'est entre les deux images que l'orthogonalité est conservée.

15. Propriété

Angles et polygones

Ce qu’il dit

La translation t7afedh 3la les grandeurs. Les distances ma yetbaddlouch, w les angles zeda : l'angle xOy égale l'angle x prime O prime y prime. W l'image mta3 polygone, hiya polygone superposable lih : tnajjem t7ottou fou9ou bedh-dhabt. Mathalan l'image mta3 triangle MNP, hiya triangle M prime N prime P prime isométrique lih. L'image mta3 rectangle hiya rectangle, w l'image mta3 losange hiya losange.

la translation تحافظ على les grandeurs . les distances ما يتبدّلوش ، w les angles زادة : l'angle x O y égale l'angle x prime O prime y prime . w l'image متاع polygone ، هي polygone superposable ليه : تنجّم تحطّو فوقو بالضبط . مثلا l'image متاع triangle M N P ، هي triangle M prime N prime P prime isométrique ليه . l'image متاع rectangle هي rectangle ، w l'image متاع losange هي losange .

La translation conserve les grandeurs. Les distances ne changent pas, et les angles non plus : l'angle x O y égale l'angle x prime O prime y prime. Et l'image d'un polygone est un polygone qui lui est superposable : on peut le poser exactement dessus. Par exemple, l'image du triangle M N P est un triangle M prime N prime P prime qui lui est isométrique. L'image d'un rectangle est un rectangle, et l'image d'un losange est un losange.

  • Une translation conserve les distances.
  • Une translation conserve les angles : si [O′x′)[O'x') et [O′y′)[O'y') sont les images des demi-droites [Ox)[Ox) et [Oy)[Oy) par une translation, alors x′O′y′^=xOy^.\widehat{x'O'y'} = \widehat{xOy}.
  • L'image d'un polygone par une translation est un polygone qui lui est superposable.

En particulier, l'image d'un triangle MNPMNP est un triangle M′N′P′M'N'P' qui lui est isométrique ; l'image d'un rectangle est un rectangle, l'image d'un losange est un losange.

MNPM'N'P'
Les triangles MNP et M'N'P' sont isométriques.

Un triangle MNP à gauche, et son image M'N'P' à droite, en rouge : les deux triangles ont la même forme et les mêmes dimensions, l'un est le glissement de l'autre. Les vecteurs MM', NN' et PP', en bleu, sont égaux.

les angles

x′O′y′^=xOy^\widehat{x'O'y'} = \widehat{xOy}

Démonstration

Soit MNPMNP un triangle et M′N′P′M'N'P' son image. Une translation conserve les distances : M′N′=MN,M'N' = MN, N′P′=NPN'P' = NP et M′P′=MP.M'P' = MP. Les deux triangles ont leurs trois côtés égaux deux à deux : ils sont isométriques, donc leurs angles sont égaux deux à deux. Pour un secteur [Ox,[Ox, Oy]Oy], on choisit un point AA sur [Ox)[Ox) et un point BB sur [Oy),[Oy), distincts de OO : les triangles OABOAB et O′A′B′O'A'B' sont isométriques, donc A′O′B′^=AOB^.\widehat{A'O'B'} = \widehat{AOB}.

Exemple traité

Soit ABCDABCD un quadrilatère et A′B′C′D′A'B'C'D' son image par une translation. Déterminer la nature du quadrilatère A′B′C′D′A'B'C'D' dans chacun des cas suivants. a) ABCDABCD est un rectangle. b) ABCDABCD est un losange.

  1. Un parallélogramme — Une translation ne change pas les vecteurs. Dans les deux cas ABCDABCD est un parallélogramme, donc son image aussi.A′B′→=AB→=DC→=D′C′→\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{D'C'}
  2. Le rectangle — Les droites (AB)(AB) et (AD)(AD) sont perpendiculaires : leurs images, les droites (A′B′)(A'B') et (A′D′),(A'D'), le sont aussi. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
  3. Le losange — Les distances sont conservées : si AB=AD,AB = AD, alors A′B′=A′D′.A'B' = A'D'. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs égaux est un losange.
a) un rectangle;b) un losange\text{a) un rectangle} \quad ; \quad \text{b) un losange}

À ne pas faire : L'image d'un rectangle par une translation peut être un parallélogramme qui n'est pas un rectangle — L'image d'un rectangle par une translation est un rectangle de mêmes dimensions. Une translation conserve les distances et les angles : un angle droit reste un angle droit.

16. Théorème

Image d'un cercle

Ce qu’il dit

W le cercle ? L'image d'un cercle par une translation, hiya cercle 3andou nafs le rayon. El centre O yemchi l O prime, w le cercle ej-jdid centre mte3ou O prime. 3lech ? Ken M 3la le cercle, OM égale R. W la translation t7afedh 3la les distances : O prime M prime égale R, donc M prime 3la le cercle de centre O prime. Bech tarsem l'image mta3 cercle, arsem l'image mta3 el centre bark, w 5alli nafs le rayon.

w le cercle ؟ l'image d'un cercle par une translation ، هي cercle عندو نفس le rayon . الـ centre O يمشي لـ O prime ، w le cercle الجديد centre متاعو O prime . علاش ؟ كان M على le cercle ، O M égale R . w la translation تحافظ على les distances : O prime M prime égale R ، donc M prime على le cercle de centre O prime . باش ترسم l'image متاع cercle ، ارسم l'image متاع الـ centre برك ، w خلّي نفس le rayon .

Et le cercle ? L'image d'un cercle par une translation est un cercle de même rayon. Le centre O va en O prime, et le nouveau cercle a pour centre O prime. Pourquoi ? Si M est sur le cercle, O M égale R. Et la translation conserve les distances : O prime M prime égale R, donc M prime est sur le cercle de centre O prime. Pour tracer l'image d'un cercle, construis seulement l'image du centre, et garde le même rayon.

L'image d'un cercle par une translation est un cercle de même rayon.

Plus précisément : soit tt une translation, C\mathscr{C} un cercle de centre OO et de rayon R,R, et O′O' l'image de OO par t.t. L'image de C\mathscr{C} par tt est le cercle C′\mathscr{C}' de centre O′O' et de rayon R.R.

En pratique. Pour tracer l'image d'un cercle, on construit l'image de son centre et on garde le même rayon.

OMO'M'
Le centre va en O' ; le rayon ne change pas.

Un cercle de centre O, à gauche, et un point M sur ce cercle. À droite, le cercle image, de centre O' et de même rayon, en rouge, avec le point M' image de M. Les vecteurs OO' et MM', en bleu, sont égaux ; les rayons [OM] et [O'M'] ont la même longueur.

le même rayon

O′M′=OM=RO'M' = OM = R

Démonstration

Soit MM un point de C\mathscr{C} et M′M' son image : O′M′=OM=R,O'M' = OM = R, car une translation conserve les distances. Donc M′M' est sur C′.\mathscr{C}'. Réciproquement, soit N′N' un point de C′\mathscr{C}' et NN son antécédent : ON=O′N′=R,ON = O'N' = R, donc NN est sur C.\mathscr{C}. L'image de C\mathscr{C} est exactement C′.\mathscr{C}'.

Exemple traité

Soient AA et BB deux points d'un cercle (C)(C) de centre O.O. On note (C′)(C') l'image de (C)(C) par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. a) Construire (C′).(C'). b) À tout point MM de (C),(C), on associe le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal au vecteur MB→\overrightarrow{MB} moins le vecteur MA→.\overrightarrow{MA}. Montrer que NN est un point de (C′).(C').

  1. Construire — On construit l'image O′O' du centre : c'est le point tel que ABO′OABO'O est un parallélogramme. Le cercle (C′)(C') a pour centre O′O' et le même rayon que (C).(C). Il passe par B,B, qui est l'image de A.A.OO′→=AB→\overrightarrow{OO'} = \overrightarrow{AB}
  2. Le vecteur MN — L'opposé du vecteur MA→\overrightarrow{MA} est le vecteur AM→\overrightarrow{AM} : par Chasles, on obtient le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.MN→=AM→+MB→=AB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB}
  3. Conclure — NN est l'image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Comme MM est sur (C),(C), son image est sur l'image de (C).(C).N∈(C′)N \in (C')
N∈(C′)N \in (C')

À ne pas faire : Par une translation de vecteur u⃗,\vec{u}, le rayon du cercle image est RR plus la norme de u⃗\vec{u} — Le cercle image a le même rayon RR. Seul le centre se déplace. Les distances sont conservées, donc le rayon aussi.

17. Application

Deux cercles

Ce qu’il dit

Tatbi9 3la les cercles. 3andna zouz cercles C un w C deux, 3andhom nafs le rayon, centres mte3hom I w J, w sécants fi A w B. La droite d tet3adda men A w parallèle à la droite IJ : t9oss C un fi M, w C deux fi N. Ne5dhou la translation de vecteur IJ. La droite d tezle9 3la rou7ha, w C un ywalli C deux. Donc l'image de A lezem tkoun 3la d w 3la C deux : hiya N. W l'image de M hiya A. Donc le vecteur MA égale le vecteur AN, w égale le vecteur IJ.

تطبيق على les cercles . عندنا زوز cercles C un w C deux ، عندهم نفس le rayon ، centres متاعهم I w J ، w sécants في A w B . la droite d تتعدّى من A w parallèle à la droite I J : تقصّ C un في M ، w C deux في N . ناخذو la translation de vecteur I J . la droite d تزلق على روحها ، w C un يولّي C deux . donc l'image de A لازم تكون على d w على C deux : هي N . w l'image de M هي A . donc le vecteur M A égale le vecteur A N ، w égale le vecteur I J .

Une application aux cercles. On a deux cercles C un et C deux, de même rayon, de centres I et J, sécants en A et B. La droite d passe par A et elle est parallèle à la droite I J : elle recoupe C un en M, et C deux en N. Prenons la translation de vecteur I J. La droite d glisse sur elle-même, et C un devient C deux. Donc l'image de A doit être sur d et sur C deux : c'est N. Et l'image de M est A. Donc le vecteur M A égale le vecteur A N, et égale le vecteur I J.

Soient (C1)(C_1) et (C2)(C_2) deux cercles de même rayon, sécants en AA et B,B, de centres respectifs II et J.J. La droite dd passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en MM et (C2)(C_2) en N.N. Soit tt la translation de vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.

  • La droite dd a la direction du vecteur : son image est dd elle-même.
  • Le cercle (C1)(C_1) a pour image le cercle de centre JJ et de même rayon : c'est (C2).(C_2).
  • L'image d'un point commun à dd et à (C1)(C_1) est un point commun à dd et à (C2)(C_2) : l'image de AA est N,N, et l'image de MM est A.A.

On en déduit MA→=AN→=IJ→.\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}.

dIJABMN
MA = AN = IJ.

Deux cercles de même rayon, de centres I à gauche et J à droite, qui se coupent en deux points : A en haut et B en bas. Une droite horizontale d passe par A, parallèle à la droite des centres (IJ) ; elle recoupe le cercle de gauche en M, à gauche de A, et le cercle de droite en N, à droite de A. Les vecteurs IJ, MA et AN, en bleu, sont égaux.

MA→=AN→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}

Exemple traité

(C1)(C_1) et (C2)(C_2) sont deux cercles de même rayon, sécants en AA et B,B, de centres respectifs II et J.J. La droite dd passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en MM et (C2)(C_2) en N.N. Soit tt la translation de vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}. a) Déterminer les images de AA et de MM par t.t. b) Soit PP un point du cercle (C1),(C_1), distinct de B,B, de MM et du point de (C1)(C_1) diamétralement opposé à A,A, et P′P' son image par t.t. Montrer que AA est l'orthocentre du triangle BPP′.BPP'.

  1. Les images de d et du cercle — La droite dd est parallèle à (IJ)(IJ) : son image est dd elle-même. Le centre II a pour image J,J, et le rayon ne change pas : l'image du cercle (C1)(C_1) est le cercle (C2).(C_2).
  2. Les images de A et de M — AA et MM sont les deux points communs à dd et à (C1)(C_1) : leurs images sont les deux points communs à dd et à (C2),(C_2), c'est-à-dire AA et N.N. Le vecteur n'est pas nul, donc l'image de AA n'est pas AA : c'est N.N. Et l'image de MM est A.A.MA→=AN→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}
  3. Une première hauteur — II et JJ sont à égale distance de AA et de BB : la droite (IJ)(IJ) est la médiatrice de [AB].[AB]. Le vecteur PP′→\overrightarrow{PP'} est égal au vecteur IJ→,\overrightarrow{IJ}, donc la droite (BA)(BA) est perpendiculaire à (PP′)(PP') : c'est la hauteur issue de B.B.
  4. Une deuxième hauteur — La droite dd est perpendiculaire à (AB)(AB) : le triangle MABMAB est rectangle en A,A, donc le segment [MB][MB] est un diamètre de (C1),(C_1), et le triangle MPBMPB est rectangle en P.P. Or MM a pour image AA et PP a pour image P′P' : la droite (AP′)(AP') est parallèle à (MP),(MP), donc perpendiculaire à (BP).(BP). C'est la hauteur issue de P′.P'.
  5. Conclure — Deux hauteurs du triangle BPP′BPP' passent par A.A.A est l’orthocentre du triangle BPP′A \text{ est l'orthocentre du triangle } BPP'
A est l’orthocentre du triangle BPP′A \text{ est l'orthocentre du triangle } BPP'

À ne pas faire : L'image de AA par la translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} est A,A, car AA est sur les deux cercles — L'image de AA est NN. Par une translation de vecteur non nul, aucun point n'est sa propre image. L'image de AA est l'autre point commun à dd et à (C2).(C_2).

18. Propriété

Conservation du contact

Ce qu’il dit

La translation t7afedh 3la le contact. Ken droite tangente à un cercle fi point M, wa9tha l'image mta3 la droite tangente à l'image mta3 le cercle, fi M prime, l'image de M. 5ater la tangente perpendiculaire au rayon OM, w la translation t7afedh 3la l'orthogonalité. Ya3ni le point de contact yet7arrek houwa zeda m3a el figure.

la translation تحافظ على le contact . كان droite tangente à un cercle في point M ، وقتها l'image متاع la droite tangente à l'image متاع le cercle ، في M prime ، l'image de M . خاطر la tangente perpendiculaire au rayon O M ، w la translation تحافظ على l'orthogonalité . يعني le point de contact يتحرّك هو زادة مع الـ figure .

La translation conserve le contact. Si une droite est tangente à un cercle en un point M, alors l'image de la droite est tangente à l'image du cercle, en M prime, l'image de M. Car la tangente est perpendiculaire au rayon O M, et la translation conserve l'orthogonalité. Autrement dit, le point de contact se déplace lui aussi avec la figure.

Si une droite et un cercle sont tangents, alors leurs images par une translation sont tangentes.

Plus précisément : soit C\mathscr{C} un cercle et DD une droite tangente à C\mathscr{C} en un point M.M. On désigne par C′,\mathscr{C}', D′D' et M′M' les images respectives de C,\mathscr{C}, DD et MM par une translation. Alors D′D' est tangente à C′\mathscr{C}' en M′.M'.

dABOO'
Le cercle image est tangent à la droite en B.

Une droite horizontale d passe par deux points A et B. Un cercle de centre O est posé sur la droite : il lui est tangent en A. À droite, son image par la translation de vecteur AB, en rouge : un cercle de même rayon, de centre O', tangent à la même droite en B. Les vecteurs AB et OO', en bleu, sont égaux.

Démonstration

Soit OO le centre de C\mathscr{C} et O′O' son image. DD est tangente à C\mathscr{C} en MM : MM est sur C\mathscr{C} et DD est perpendiculaire à (OM)(OM) en M.M. L'image M′M' est sur C′\mathscr{C}' et sur D′.D'. L'image de la droite (OM)(OM) est la droite (O′M′),(O'M'), et une translation conserve l'orthogonalité : D′D' est perpendiculaire à (O′M′)(O'M') en M′.M'. Donc D′D' est tangente à C′\mathscr{C}' en M′.M'.

Exemple traité

Soient AA et BB deux points distincts d'une droite d,d, et (C)(C) un cercle tangent à dd en A.A. On note (C′)(C') l'image de (C)(C) par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Montrer que (C′)(C') est tangent à d,d, et préciser le point de contact.

  1. L'image de la droite — La droite dd passe par AA et BB : elle a la direction du vecteur de la translation. Son image est dd elle-même.d⟼dd \longmapsto d
  2. L'image du point de contact — Le point de contact AA a pour image B.B.A⟼BA \longmapsto B
  3. Conclure — Une translation conserve le contact : l'image du cercle est tangente à l'image de la droite, au point image du point de contact.(C′) est tangent aˋ d en B(C') \text{ est tangent à } d \text{ en } B
(C′) est tangent aˋ d en B(C') \text{ est tangent à } d \text{ en } B

À ne pas faire : Le cercle image (C′)(C') est tangent à la droite dd en AA — Le cercle image (C′)(C') est tangent à la droite dd en B,B, image de AA. Le point de contact se déplace avec la figure : il a lui aussi une image.

19. Application

Deux symétries axiales

Ce qu’il dit

Rina zouz symétries centrales ya3tiw translation. W zouz symétries axiales ? Ne5dhou zouz droites parallèles D w D prime. A point 3la D, w B houwa le projeté orthogonal de A 3la D prime. El point M na3mloulou la symétrie d'axe D : nal9aw M un. Ba3d la symétrie d'axe D prime : nal9aw M prime. M, M un w M prime 3la nafs la perpendiculaire, w b Chasles nal9aw : le vecteur MM prime égale deux fois le vecteur AB. Donc hedhi la translation de vecteur deux fois AB.

رينا زوز symétries centrales يعطيو translation . w زوز symétries axiales ؟ ناخذو زوز droites parallèles D w D prime . A point على D ، w B هو le projeté orthogonal de A على D prime . الـ point M نعملولو la symétrie d'axe D : نلقاو M un . بعد la symétrie d'axe D prime : نلقاو M prime . M ، M un w M prime على نفس la perpendiculaire ، w بـ Chasles نلقاو : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur A B . donc هذي la translation de vecteur deux fois A B .

Nous avons vu que deux symétries centrales donnent une translation. Et deux symétries axiales ? Prenons deux droites parallèles D et D prime. A est un point de D, et B est le projeté orthogonal de A sur D prime. Au point M, on applique la symétrie d'axe D : on obtient M un. Puis la symétrie d'axe D prime : on obtient M prime. M, M un et M prime sont sur la même perpendiculaire, et par Chasles on trouve : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur A B. Donc c'est la translation de vecteur deux fois A B.

Soient DD et D′D' deux droites parallèles, AA un point de la droite DD et BB le projeté orthogonal de AA sur la droite D′.D'. Pour un point MM du plan, on désigne par M1M_1 l'image de MM par la symétrie axiale SD,S_D, et par M′M' l'image de M1M_1 par la symétrie axiale SD′.S_{D'}. On considère l'application t:M↦M′.t : M \mapsto M'.

Alors MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB} : l'application tt est la translation de vecteur 2AB→.2\overrightarrow{AB}.

DD'ABMM₁M'
MM' = 2 AB.

Deux droites horizontales parallèles : D en haut, D' en dessous. Le point A est sur D, et B, juste en dessous, est son projeté orthogonal sur D' ; le vecteur AB, en bleu, est vertical. À droite, un point M au-dessus de D ; son symétrique M1 par rapport à D, entre les deux droites ; puis le symétrique M' de M1 par rapport à D', sous D'. Les trois points sont sur une même verticale, et le vecteur MM', en rouge, est deux fois le vecteur AB.

pour tout point M

MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB}

Démonstration

Les points M,M, M1M_1 et M′M' sont sur la perpendiculaire à DD qui passe par MM ; elle est aussi perpendiculaire à D′,D', car DD et D′D' sont parallèles. Elle coupe DD en H,H, milieu de [MM1],[MM_1], et D′D' en K,K, milieu de [M1M′].[M_1M']. Ainsi KK est le projeté orthogonal de HH sur D′,D', comme BB est celui de AA : puisque DD et D′D' sont parallèles, HK→=AB→\overrightarrow{HK} = \overrightarrow{AB} (lorsque HH est distinct de A,A, le quadrilatère ABKHABKH est un rectangle). Par Chasles, MM′→=MM1→+M1M′→=2HM1→+2M1K→=2HK→=2AB→.\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{MM_1} + \overrightarrow{M_1M'} = 2\overrightarrow{HM_1} + 2\overrightarrow{M_1K} = 2\overrightarrow{HK} = 2\overrightarrow{AB}.

Exemple traité

DD et D′D' sont deux droites parallèles, distantes de 3.3. À un point M,M, on associe son symétrique M1M_1 par rapport à D,D, puis le symétrique M′M' de M1M_1 par rapport à D′.D'. Calculer la distance MM′.MM'.

  1. Le vecteur — On note AA un point de DD et BB son projeté orthogonal sur D′.D'. Faire la symétrie d'axe DD puis la symétrie d'axe D′D' revient à faire la translation de vecteur 2AB→.2\overrightarrow{AB}.MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB}
  2. La distance — La distance ABAB est la distance entre les deux droites.MM′=2×3=6MM' = 2 \times 3 = 6
MM′=6MM' = 6

À ne pas faire : Faire SDS_D puis SD′,S_{D'}, ou SD′S_{D'} puis SD,S_D, donne la même translation — SDS_D puis SD′S_{D'} donne la translation de vecteur 2AB→2\overrightarrow{AB} ; SD′S_{D'} puis SDS_D donne la translation de vecteur 2BA→2\overrightarrow{BA}. L'ordre compte : le vecteur va de la première droite vers la deuxième.

20. Méthode

Problèmes de lieux

Ce qu’il dit

Tawa les problèmes de lieux. Ki point yet7arrek fel figure, w point e5er marbout bih, nes2lou : el point hedha, win yet7arrek ? El ligne elli yet7arrek 3liha nsammiwha le lieu géométrique. Ne5dmou 3la trois étapes. Numéro un : nrasmou figure, w n7ottou barcha positions. Numéro deux : na3mlou conjecture, ya3ni n5ammnou chnowa le lieu. Numéro trois : nthabtouha b démonstration. W 3andna zouz tor9 : les propriétés des configurations, walla application du plan kif la translation.

توّا les problèmes de lieux . كي point يتحرّك في الـ figure ، w point آخر مربوط بيه ، نسألو : الـ point هذا ، وين يتحرّك ؟ الـ ligne اللي يتحرّك عليها نسمّيوها le lieu géométrique . نخدمو على trois étapes . numéro un : نرسمو figure ، w نحطّو برشة positions . numéro deux : نعملو conjecture ، يعني نخمّنو شنوّة le lieu . numéro trois : نثبتوها بـ démonstration . w عندنا زوز طرق : les propriétés des configurations ، ولا application du plan كيف la translation .

Passons aux problèmes de lieux. Quand un point se déplace dans la figure, et qu'un autre point lui est lié, on se demande : sur quelle ligne ce point se déplace-t-il ? Cette ligne s'appelle le lieu géométrique. On travaille en trois étapes. Numéro un : on fait une figure, et on place plusieurs positions. Numéro deux : on émet une conjecture, c'est-à-dire qu'on devine quel est le lieu. Numéro trois : on la prouve par une démonstration. Et on a deux moyens : les propriétés des configurations, ou une application du plan comme la translation.

Quand un point varie, la ligne qu'il décrit est appelée l'ensemble de ces points, ou le lieu géométrique de ces points, ou tout simplement leur lieu.

On cherche un lieu en trois étapes :

  1. 1.Phase expérimentale : on fait une figure, on repère les éléments fixes et les éléments variables, on place plusieurs positions du point.
  2. 2.Conjecture : on émet une conjecture sur la ligne décrite.
  3. 3.Démonstration de la conjecture, par les propriétés des configurations ou par une application du plan.

Un lieu par les configurations. On considère deux droites DD et D′D' perpendiculaires en un point OO et un point AA qui n'est ni sur DD ni sur D′.D'. Soit MM un point variable sur D.D. La perpendiculaire à (AM)(AM) en AA coupe D′D' en N,N, et II est le milieu de [MN].[MN]. Le point II varie sur la médiatrice du segment [OA].[OA].

DD'OAMNI
I est à égale distance de O et de A.

Deux droites perpendiculaires en O : D horizontale, D' verticale. Un point A en haut à droite de O. Un point M sur D et un point N sur D', tels que l'angle MAN soit droit. Le point I est le milieu du segment [MN]. Les segments [IO] et [IA] ont la même longueur. Une droite rouge en pointillés, la médiatrice de [OA], passe par I.

IO=IA=MN2IO = IA = \dfrac{MN}{2}

Exemple traité

On considère deux droites DD et D′D' perpendiculaires en un point OO et un point AA qui n'est ni sur DD ni sur D′.D'. Soit MM un point variable sur D.D. La perpendiculaire à la droite (AM)(AM) en AA coupe la droite D′D' en N,N, et II est le milieu du segment [MN].[MN]. Montrer que II varie sur une ligne que l'on précisera.

  1. Fixe ou variable — Les droites DD et D′D' et les points OO et AA sont fixes. Les points M,M, NN et II sont variables. En plaçant plusieurs positions de I,I, on conjecture qu'il se déplace sur une droite.
  2. Le triangle MAN — Le triangle MANMAN est rectangle en A,A, et II est le milieu de son hypoténuse [MN][MN] : II est le centre de son cercle circonscrit.IA=MN2IA = \dfrac{MN}{2}
  3. Le triangle MON — MM est sur DD et NN est sur D′D' : le triangle MONMON est rectangle en O,O, et II est encore le milieu de l'hypoténuse.IO=MN2IO = \dfrac{MN}{2}
  4. Conclure — II est à égale distance des deux points fixes OO et A.A.IO=IAIO = IA
I varie sur la meˊdiatrice de [OA]I \text{ varie sur la médiatrice de } [OA]

À ne pas faire : Trois positions de II sont alignées sur ma figure, donc le lieu est une droite — Une figure donne une conjecture ; il reste à la démontrer. Quelques positions ne prouvent rien pour toutes les autres : seule la démonstration vaut pour chaque position de M.M.

21. Application

Un lieu par une translation

Ce qu’il dit

Nchoufou lieu b la translation. A w B zouz points, w D droite tet3adda men A w ma tet3addech men B. M yet7arrek 3la D, w N houwa el point elli ABNM parallélogramme. Ya3ni le vecteur MN égale le vecteur AB : N houwa l'image de M par la translation de vecteur AB. El 9a3da : le lieu mta3 l'image, houwa l'image mta3 le lieu. M yet7arrek 3la D, donc N yet7arrek 3la l'image de D : la parallèle à D elli tet3adda men B. W ken M yet7arrek 3la cercle de centre A, N yet7arrek 3la cercle de centre B, b nafs le rayon.

نشوفو lieu بـ la translation . A w B زوز points ، w D droite تتعدّى من A w ما تتعدّاش من B . M يتحرّك على D ، w N هو الـ point اللي A B N M parallélogramme . يعني le vecteur M N égale le vecteur A B : N هو l'image de M par la translation de vecteur A B . القاعدة : le lieu متاع l'image ، هو l'image متاع le lieu . M يتحرّك على D ، donc N يتحرّك على l'image de D : la parallèle à D اللي تتعدّى من B . w كان M يتحرّك على cercle de centre A ، N يتحرّك على cercle de centre B ، بنفس le rayon .

Voyons un lieu par la translation. A et B sont deux points, et D est une droite qui passe par A et ne passe pas par B. M se déplace sur D, et N est le point tel que A B N M est un parallélogramme. Donc le vecteur M N égale le vecteur A B : N est l'image de M par la translation de vecteur A B. La règle : le lieu de l'image est l'image du lieu. M se déplace sur D, donc N se déplace sur l'image de D : la parallèle à D qui passe par B. Et si M se déplace sur un cercle de centre A, N se déplace sur un cercle de centre B, de même rayon.

Soient AA et BB deux points donnés et DD une droite passant par AA et ne passant pas par B.B. Soit MM un point variable sur la droite D,D, distinct de A.A. On désigne par NN le point tel que ABNMABNM soit un parallélogramme.

ABNMABNM est un parallélogramme : MN→=AB→.\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}. Le point NN est donc l'image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Le lieu de l'image est l'image du lieu.

  • Quand MM varie sur D,D, le point NN varie sur l'image de DD : la droite parallèle à DD passant par B.B. Comme MM est distinct de A,A, le point NN est distinct de B.B.
  • Quand MM varie sur un cercle fixe de centre AA et de rayon 3,3, le point NN varie sur le cercle de centre BB et de rayon 3.3.
DABMN
Quand M décrit D, N décrit la parallèle à D passant par B.

Deux points A et B. Une droite D passe par A ; un point M est sur cette droite. Le point N est tel que ABNM est un parallélogramme, tracé en pointillés. Les vecteurs AB et MN, en bleu, sont égaux. Une droite rouge, parallèle à D, passe par B et par N : c'est le lieu de N.

N est l’image de M

MN→=AB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB}

Exemple traité

Deux droites D1D_1 et D2D_2 sont sécantes en un point O,O, et AA est un point de D1D_1 distinct de O.O. Soit MM un point variable sur D2,D_2, et NN le point tel que le vecteur AN→\overrightarrow{AN} soit égal au vecteur OM→.\overrightarrow{OM}. Déterminer l'ensemble des points NN lorsque MM varie sur D2.D_2.

  1. Le vecteur MN — Par Chasles, on passe par OO puis par A,A, et on remplace le vecteur AN→\overrightarrow{AN} par le vecteur OM→\overrightarrow{OM} : les deux vecteurs opposés s'annulent.MN→=MO→+OA→+AN→=MO→+OA→+OM→=OA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{MO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA}
  2. La translation — Le vecteur OA→\overrightarrow{OA} est fixe : NN est l'image de MM par la translation de vecteur OA→.\overrightarrow{OA}.
  3. Le lieu — Quand MM décrit la droite D2,D_2, son image décrit l'image de D2D_2 : la droite parallèle à D2D_2 qui passe par l'image de O,O, c'est-à-dire par A.A.N deˊcrit la paralleˋle aˋ D2 passant par AN \text{ décrit la parallèle à } D_2 \text{ passant par } A
N deˊcrit la paralleˋle aˋ D2 passant par AN \text{ décrit la parallèle à } D_2 \text{ passant par } A

À ne pas faire : Quand MM décrit la droite D,D, le point NN décrit aussi la droite DD — NN décrit l'image de DD : la parallèle à DD passant par BB. NN n'est pas M,M, c'est son image. Le lieu de l'image est l'image du lieu.

22. Application

Un problème pour aller plus loin : le lieu de l'orthocentre

Ce qu’il dit

Problème bech nemchiw ab3ed. A w B zouz points fixes 3la cercle, w M yet7arrek 3la le cercle. H houwa l'orthocentre du triangle AMB. N7ebbou na3rfou le lieu de H. Ne5dhou D, el point diamétralement opposé à A. El triangle ABD rectangle en B, w el triangle AMD rectangle en M. Nal9aw elli MHBD parallélogramme, donc le vecteur MH égale le vecteur DB. W le vecteur DB fixe : H houwa l'image de M par une translation. M yet7arrek 3la cercle, donc H yet7arrek 3la cercle 3andou nafs le rayon.

problème باش نمشيو أبعد . A w B زوز points fixes على cercle ، w M يتحرّك على le cercle . H هو l'orthocentre du triangle A M B . نحبّو نعرفو le lieu de H . ناخذو D ، الـ point diamétralement opposé à A . الـ triangle A B D rectangle en B ، w الـ triangle A M D rectangle en M . نلقاو اللي M H B D parallélogramme ، donc le vecteur M H égale le vecteur D B . w le vecteur D B fixe : H هو l'image de M par une translation . M يتحرّك على cercle ، donc H يتحرّك على cercle عندو نفس le rayon .

Un problème pour aller plus loin. A et B sont deux points fixes d'un cercle, et M se déplace sur le cercle. H est l'orthocentre du triangle A M B. On veut connaître le lieu de H. Prenons D, le point diamétralement opposé à A. Le triangle A B D est rectangle en B, et le triangle A M D est rectangle en M. On trouve que M H B D est un parallélogramme, donc le vecteur M H égale le vecteur D B. Et le vecteur D B est fixe : H est l'image de M par une translation. M se déplace sur un cercle, donc H se déplace sur un cercle de même rayon.

Soient AA et BB deux points fixes d'un cercle C\mathscr{C} de centre O,O, et MM un point de C,\mathscr{C}, distinct de AA et de B.B. Soit HH l'orthocentre du triangle AMB,AMB, et DD le point du cercle C\mathscr{C} diamétralement opposé à A.A.

Le quadrilatère MHBDMHBD est un parallélogramme, donc MH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB} : le point HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→,\overrightarrow{DB}, qui est un vecteur fixe.

Lorsque MM varie sur le cercle C\mathscr{C} privé de AA et de B,B, le point HH varie sur le cercle image de C\mathscr{C} par cette translation, privé des images de AA et de BB : un cercle de même rayon, dont le centre O′O' est l'image de O.O.

OABDMHO'
H est l'image de M par la translation de vecteur DB.

Un cercle de centre O. Deux points A et B sur le cercle, à la même hauteur, A à gauche et B à droite ; le point D, diamétralement opposé à A, est au-dessus de B. Un point M en haut du cercle, et l'orthocentre H du triangle AMB, juste en dessous de M. Les vecteurs DB et MH, en bleu, sont égaux et verticaux. En rouge pointillé, le cercle image, de même rayon et de centre O', situé sous O : il passe par H.

un vecteur fixe

MH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB}

Exemple traité

Soient AA et BB deux points fixes d'un cercle (C)(C) et MM un point de (C),(C), distinct de AA et de B.B. Soit HH l'orthocentre du triangle AMB,AMB, et DD le point de (C)(C) diamétralement opposé à A.A. On suppose que MM est distinct de D.D. Quelle est la nature du quadrilatère MHBDMHBD ? En déduire le lieu des points HH lorsque MM varie sur le cercle.

  1. Deux droites parallèles — Le segment [AD][AD] est un diamètre : le triangle ABDABD est rectangle en B,B, donc la droite (DB)(DB) est perpendiculaire à la droite (AB).(AB). La hauteur (MH)(MH) est elle aussi perpendiculaire à (AB)(AB) : les droites (DB)(DB) et (MH)(MH) sont parallèles.
  2. Deux autres — De même, le triangle AMDAMD est rectangle en MM : la droite (DM)(DM) est perpendiculaire à la droite (AM).(AM). La hauteur (BH)(BH) aussi : les droites (DM)(DM) et (BH)(BH) sont parallèles.
  3. Le parallélogramme — Les côtés opposés de MHBDMHBD sont parallèles deux à deux : c'est un parallélogramme.MH→=DB→\overrightarrow{MH} = \overrightarrow{DB}
  4. Le lieu — DD et BB sont fixes : HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→.\overrightarrow{DB}. Quand MM décrit le cercle, privé de AA et de B,B, le point HH décrit le cercle image, privé des images de AA et de BB : même rayon, et pour centre l'image du centre.
H deˊcrit l’image du cercle par la translation de vecteur DB→H \text{ décrit l'image du cercle par la translation de vecteur } \overrightarrow{DB}

23. Méthode

Problèmes de construction

Ce qu’il dit

Tawa les problèmes de construction. Ne5dmouhom 3la zouz étapes. L'analyse : n9oulou el problème ma7loul, nrasmou figure, w nlawwjou fiha 3la les propriétés elli t3awenna. Ba3d la synthèse : narj3ou lel données, nrasmou el points bel propriétés hedhoukom, w nthabtou elli el figure s7i7a. Mithel : 3andna trois points I, J w K, w n7ebbou triangle ABC, ykounou fih I, J w K houma les milieux mta3 les côtés. Fi l'analyse, la droite des milieux ta3tina : la droite AB parallèle à la droite IJ, la droite AC parallèle à la droite IK, w la droite BC parallèle à la droite JK. Donc fi la synthèse nrasmou trois parallèles : wa7da men K, wa7da men J w wa7da men I. Win yetle9aw, nal9aw A, B w C.

توّا les problèmes de construction . نخدموهم على زوز étapes . l'analyse : نقولو الـ problème محلول ، نرسمو figure ، w نلوّجو فيها على les propriétés اللي تعاونّا . بعد la synthèse : نرجعو للـ données ، نرسمو الـ points بالـ propriétés هاذوكم ، w نثبتو اللي الـ figure صحيحة . مثال : عندنا trois points I ، J w K ، w نحبّو triangle A B C ، يكونو فيه I ، J w K هوما les milieux متاع les côtés . في l'analyse ، la droite des milieux تعطينا : la droite A B parallèle à la droite I J ، la droite A C parallèle à la droite I K ، w la droite B C parallèle à la droite J K . donc في la synthèse نرسمو trois parallèles : وحدة من K ، وحدة من J w وحدة من I . وين يتلاقاو ، نلقاو A ، B w C .

Passons aux problèmes de construction. On les traite en deux étapes. L'analyse : on suppose le problème résolu, on fait une figure, et on y cherche les propriétés qui nous aident. Puis la synthèse : on revient aux données, on construit les points avec ces propriétés, et on vérifie que la figure est correcte. Un exemple : on a trois points I, J et K, et on veut un triangle A B C dont les milieux des côtés sont I, J et K. Dans l'analyse, la droite des milieux nous donne : la droite A B est parallèle à la droite I J, la droite A C est parallèle à la droite I K, et la droite B C est parallèle à la droite J K. Donc dans la synthèse, on trace trois parallèles : une par K, une par J et une par I. Là où elles se coupent, on trouve A, B et C.

Un problème de construction se traite en deux étapes.

  1. 1.Analyse, à partir d'une figure d'étude : on suppose le problème résolu, c'est-à-dire que la construction est effectivement réalisée. On fait une figure « à l'envers », et on y cherche les propriétés qui permettent de retrouver les points inconnus.
  2. 2.Synthèse et retour aux données initiales : on reprend les données, on construit les points grâce aux propriétés trouvées, et on vérifie que la figure obtenue répond à la question.

Par les propriétés des configurations. Soient I,I, JJ et KK trois points non alignés. On veut construire un triangle ABCABC dont les milieux des côtés [BC],[BC], [AC][AC] et [AB][AB] sont les points I,I, JJ et K.K.

Sur la figure d'étude, la droite des milieux donne trois parallélismes : (AB)(AB) est parallèle à (IJ),(IJ), (AC)(AC) est parallèle à (IK)(IK) et (BC)(BC) est parallèle à (JK).(JK). On trace donc la parallèle à (IJ)(IJ) passant par K,K, la parallèle à (IK)(IK) passant par JJ et la parallèle à (JK)(JK) passant par II : elles se coupent deux à deux en A,A, BB et C.C.

IJKABC
Chaque côté de ABC est parallèle à un côté du triangle IJK.

Trois points I, J et K non alignés : I en bas, J à droite et K à gauche, joints par un triangle en pointillés bleus. Par K passe la parallèle à (IJ), par J la parallèle à (IK) et par I la parallèle à (JK), en rouge : ces trois droites dessinent le triangle ABC, avec A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite. I est le milieu de [BC], J celui de [AC] et K celui de [AB].

la droite des milieux

(AB)∥(IJ);(AC)∥(IK);(BC)∥(JK)(AB) \parallel (IJ) \quad ; \quad (AC) \parallel (IK) \quad ; \quad (BC) \parallel (JK)

Exemple traité

Soient I,I, JJ et KK trois points non alignés. Construire un triangle ABCABC tel que II soit le milieu du côté [BC],[BC], JJ celui du côté [AC][AC] et KK celui du côté [AB].[AB].

  1. Analyse — On suppose le problème résolu : on trace d'abord un triangle ABC,ABC, puis on place les milieux I,I, JJ et KK de ses côtés. Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième : la droite (AB)(AB) est parallèle à la droite (IJ),(IJ), la droite (AC)(AC) à la droite (IK),(IK), et la droite (BC)(BC) à la droite (JK).(JK).(AB)∥(IJ);(AC)∥(IK);(BC)∥(JK)(AB) \parallel (IJ) \quad ; \quad (AC) \parallel (IK) \quad ; \quad (BC) \parallel (JK)
  2. Synthèse — On revient aux données : les trois points I,I, JJ et K.K. On trace la parallèle à (IJ)(IJ) passant par KK et la parallèle à (IK)(IK) passant par J.J. Les droites (IJ)(IJ) et (IK)(IK) sont sécantes, donc ces deux parallèles le sont aussi : elles se coupent en A.A.
  3. Achever — On trace la parallèle à (JK)(JK) passant par II : elle coupe la première droite en BB et la deuxième en C.C.
  4. Vérifier — Les quadrilatères AKIJAKIJ et KBIJKBIJ ont leurs côtés opposés parallèles : ce sont des parallélogrammes. Le vecteur AK→\overrightarrow{AK} et le vecteur KB→\overrightarrow{KB} sont donc tous deux égaux au vecteur JI→\overrightarrow{JI} : KK est le milieu de [AB].[AB]. On montre de même que II et JJ sont les milieux des deux autres côtés.AK→=JI→=KB→\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{JI} = \overrightarrow{KB}
les trois paralleˋles se coupent en A, B et C\text{les trois parallèles se coupent en } A,\ B \text{ et } C

24. Application

Une construction par une translation

Ce qu’il dit

Nchoufou construction b la translation. 3andna zouz droites sécantes D un w D deux, w zouz points A w B. N7ebbou M 3la D un w N 3la D deux, bech ABMN ykoun parallélogramme. Fi l'analyse nal9aw le vecteur MN égale le vecteur BA : N houwa l'image de M par la translation de vecteur BA. Donc N 3la l'image de D un, w 3la D deux : houwa l'intersection mte3hom. Fi la synthèse : nrasmou l'image de D un, nal9aw N, w ba3d M houwa l'antécédent de N.

نشوفو construction بـ la translation . عندنا زوز droites sécantes D un w D deux ، w زوز points A w B . نحبّو M على D un w N على D deux ، باش A B M N يكون parallélogramme . في l'analyse نلقاو le vecteur M N égale le vecteur B A : N هو l'image de M par la translation de vecteur B A . donc N على l'image de D un ، w على D deux : هو l'intersection متاعهم . في la synthèse : نرسمو l'image de D un ، نلقاو N ، w بعد M هو l'antécédent de N .

Voyons une construction par la translation. On a deux droites sécantes D un et D deux, et deux points A et B. On veut M sur D un et N sur D deux, pour que A B M N soit un parallélogramme. Dans l'analyse, on trouve que le vecteur M N égale le vecteur B A : N est l'image de M par la translation de vecteur B A. Donc N est sur l'image de D un, et sur D deux : c'est leur intersection. Dans la synthèse : on trace l'image de D un, on trouve N, puis M est l'antécédent de N.

Soient D1D_1 et D2D_2 deux droites sécantes, et AA et BB deux points distincts qui ne sont ni sur D1D_1 ni sur D2.D_2. On veut construire un point MM de D1D_1 et un point NN de D2D_2 tels que ABMNABMN soit un parallélogramme.

Analyse. Si ABMNABMN est un parallélogramme, alors MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA} : NN est l'image de MM par la translation tt de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Comme MM est sur D1,D_1, le point NN est sur la droite D1′,D'_1, image de D1D_1 par tt ; il est aussi sur D2.D_2. Donc NN est le point d'intersection de D1′D'_1 et de D2.D_2.

Synthèse. On construit la droite D1′D'_1 : elle coupe D2D_2 en un point N.N. Le point MM est alors l'antécédent de NN par tt : il est sur D1,D_1, et ABMNABMN est un parallélogramme.

D₁D₂D'₁ABNM
N est à l'intersection de D₂ et de D'₁, image de D₁.

Deux droites sécantes : D1 horizontale et D2 oblique, qui monte vers la droite. Deux points A et B à droite, hors des deux droites, B plus bas et plus à droite que A. En pointillés rouges, la droite D'1, parallèle à D1, image de D1 par la translation de vecteur BA ; elle coupe D2 en N. Le point M est sur D1, et ABMN est un parallélogramme tracé en bleu.

ABMN parallélogramme

MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA}

Exemple traité

Deux droites D1D_1 et D2D_2 sont sécantes, et AA et BB sont deux points distincts qui ne sont ni sur D1D_1 ni sur D2.D_2. Construire un point MM de D1D_1 et un point NN de D2D_2 tels que le quadrilatère ABMNABMN soit un parallélogramme.

  1. Analyse — On suppose le problème résolu. ABMNABMN est un parallélogramme : en lisant les sommets dans l'ordre, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA}
  2. L'application — NN est l'image de MM par la translation tt de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Comme MM est sur D1,D_1, le point NN est sur D1′,D'_1, image de D1D_1 par t.t. Il est aussi sur D2.D_2.
  3. Synthèse — On construit D1′D'_1 : c'est la parallèle à D1D_1 passant par l'image d'un point de D1.D_1. La droite D2D_2 coupe D1,D_1, donc elle coupe aussi sa parallèle D1′D'_1 : on note NN leur point d'intersection.
  4. Le point M — On construit le point MM tel que le vecteur NM→\overrightarrow{NM} soit égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. C'est l'antécédent de NN par tt : il est sur D1.D_1. Le quadrilatère ABMNABMN est bien un parallélogramme, et la solution est unique.NM→=AB→\overrightarrow{NM} = \overrightarrow{AB}
N est le point d’intersection de D1′ et de D2N \text{ est le point d'intersection de } D'_1 \text{ et de } D_2

À ne pas faire : ABMNABMN est un parallélogramme, donc NN est l'image de MM par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} — NN est l'image de MM par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA}. Dans ABMN,ABMN, le côté opposé à [AB][AB] est [NM][NM] : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur NM→,\overrightarrow{NM}, donc le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

25. Application

Un problème pour aller plus loin : le pont

Ce qu’il dit

Problème e5er bech nemchiw ab3ed : le pont. D w D prime houma les berges mta3 rivière, w houma parallèles. A w B zouz villages, koll wa7ed men jiha. N7ebbou nebniw pont MN, perpendiculaire aux berges, bech le trajet men A l B ykoun el a9sar. El fekra : le vecteur MN dima houwa bidou, win ma n7ottou le pont. Ne5dhou A prime, l'image de A par la translation de vecteur MN. Wa9tha AM égale A prime N. Donc le trajet ywalli A prime N plus NB, plus MN elli ma yetbaddelch. W a9sar tri9 men A prime l B houwa la ligne droite : N houwa l'intersection mta3 la droite A prime B m3a la berge D prime.

problème آخر باش نمشيو أبعد : le pont . D w D prime هوما les berges متاع rivière ، w هوما parallèles . A w B زوز villages ، كل واحد من جيهة . نحبّو نبنيو pont M N ، perpendiculaire aux berges ، باش le trajet من A لـ B يكون الأقصر . الفكرة : le vecteur M N ديما هو بيدو ، وين ما نحطّو le pont . ناخذو A prime ، l'image de A par la translation de vecteur M N . وقتها A M égale A prime N . donc le trajet يولّي A prime N plus N B ، plus M N اللي ما يتبدّلش . w أقصر طريق من A prime لـ B هو la ligne droite : N هو l'intersection متاع la droite A prime B مع la berge D prime .

Un autre problème pour aller plus loin : le pont. D et D prime sont les berges d'une rivière, et elles sont parallèles. A et B sont deux villages, chacun d'un côté. On veut construire un pont M N, perpendiculaire aux berges, pour que le trajet de A à B soit le plus court. L'idée : le vecteur M N est toujours le même, où que l'on place le pont. Prenons A prime, l'image de A par la translation de vecteur M N. Alors A M égale A prime N. Donc le trajet devient A prime N plus N B, plus M N qui ne change pas. Et le plus court chemin de A prime à B est la ligne droite : N est l'intersection de la droite A prime B avec la berge D prime.

Les droites DD et D′D' représentent les berges, parallèles, d'une rivière. Deux villages AA et BB sont de part et d'autre de la rivière. Où faut-il construire le pont [MN],[MN], perpendiculaire aux berges, avec MM sur DD et NN sur D′,D', pour que le trajet du village AA au village BB soit le plus court possible ?

  • Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est un vecteur constant : il est perpendiculaire aux berges et sa longueur est la largeur de la rivière.
  • Soit A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→.\overrightarrow{MN}. Alors AMNA′AMNA' est un parallélogramme, donc AM=A′N.AM = A'N.

Le trajet mesure AM+MN+NB=A′N+NB+MN.AM + MN + NB = A'N + NB + MN. Comme MNMN est constant, le trajet est le plus court quand A′N+NBA'N + NB est le plus petit, c'est-à-dire quand NN est sur le segment [A′B][A'B] : NN est le point d'intersection de la droite (A′B)(A'B) et de la berge D′.D'.

DD'ABA'MN
N est à l'intersection de (A'B) et de la berge D'.

Deux droites horizontales parallèles, les berges : D en haut et D' en dessous. Le village A est au-dessus de D, à gauche ; le village B est sous D', à droite. Le point A' est juste sous A : le vecteur AA', en bleu, est perpendiculaire aux berges et il a la largeur de la rivière. Le segment en pointillés [A'B] coupe la berge D' au point N. Le pont [MN], en rouge, est vertical, avec M sur D. Le trajet A, M, N, B est tracé.

AM+MN+NB=A′N+NB+MNAM + MN + NB = A'N + NB + MN

Exemple traité

Les droites DD et D′D' sont les berges parallèles d'une rivière, et AA et BB sont deux villages situés de part et d'autre. On veut construire un pont [MN][MN] perpendiculaire aux berges, avec MM sur DD et NN sur D′,D', pour que le trajet de AA à BB soit le plus court possible. Où placer le point NN ?

  1. Un vecteur constant — Quel que soit l'endroit du pont, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est le même : il est perpendiculaire aux berges, et sa longueur est la largeur de la rivière.
  2. Remplacer AM — On note A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→.\overrightarrow{MN}. Les vecteurs AA′→\overrightarrow{AA'} et MN→\overrightarrow{MN} sont égaux : AMNA′AMNA' est un parallélogramme.AM=A′NAM = A'N
  3. Le plus court — La longueur MNMN ne change pas. Il reste à rendre la somme de A′NA'N et de NBNB la plus petite possible : le plus court chemin de A′A' à BB est la ligne droite.A′N+NB≥A′BA'N + NB \ge A'B
  4. Construire — On construit A′,A', on trace la droite (A′B)(A'B) : elle coupe la berge D′D' au point NN cherché. Le point MM est en face, sur D.D.
N est le point d’intersection de (A′B) et de D′N \text{ est le point d'intersection de } (A'B) \text{ et de } D'

26. Remarque

Pavages

Ce qu’il dit

Kelma 3al culture : le pavage du plan. Paver le plan ma3neha nghattiweh b formes, men ghir fragh w men ghir ma yerkbou 3la b3adhhom. Hedha elli ya3mlou el carreleur ki yrakkeb ej-jliz. Najjmou nghattiw le plan b carrés, b triangles équilatéraux, walla b hexagones réguliers. W 7awl koll sommet, la somme des angles hiya trois cent soixante degrés. El fann hedha 9dim barcha : nal9aweh fi Rome, Byzance, Grenade w Séville, w fi la mosaïque arabo-musulmane. W fi le pavage b carrés walla b hexagones réguliers, bech net3addew men pavé lelli b janbou, nzal9ouh : hedhi translation. Amma b triangles équilatéraux, el pavé elli b janbou dayer bel 3aks : lezmou demi-tour, mouch translation.

كلمة على الـ culture : le pavage du plan . paver le plan معناها نغطّيوه بـ formes ، من غير فراغ w من غير ما يركبو على بعضهم . هذا اللي يعملو الـ carreleur كي يركّب الجليز . نجّمو نغطّيو le plan بـ carrés ، بـ triangles équilatéraux ، ولا بـ hexagones réguliers . w حول كل sommet ، la somme des angles هي trois cent soixante degrés . الفنّ هذا قديم برشة : نلقاوه في Rome ، Byzance ، Grenade w Séville ، w في la mosaïque arabo-musulmane . w في le pavage بـ carrés ولا بـ hexagones réguliers ، باش نتعدّاو من pavé للّي بجنبو ، نزلقوه : هذي translation . أمّا بـ triangles équilatéraux ، الـ pavé اللي بجنبو داير بالعكس : لازمو demi-tour ، موش translation .

Un mot de culture : le pavage du plan. Paver le plan, c'est le couvrir par des formes, sans vide et sans qu'elles se chevauchent. C'est ce que fait le carreleur quand il pose du carrelage. On peut couvrir le plan avec des carrés, des triangles équilatéraux, ou des hexagones réguliers. Et autour de chaque sommet, la somme des angles est trois cent soixante degrés. Cet art est très ancien : on le trouve à Rome, Byzance, Grenade et Séville, et dans la mosaïque de la civilisation arabo-musulmane. Et dans le pavage par des carrés ou par des hexagones réguliers, pour passer d'un pavé à son voisin, on le fait glisser : c'est une translation. Avec des triangles équilatéraux, le pavé voisin est retourné : il faut un demi-tour, et non une translation.

Paver le plan, c'est le couvrir par des formes, sans espace (sans trou) et sans chevauchement. C'est ce que fait un carreleur.

On peut commencer par paver le plan avec des polygones réguliers : c'est le pavage régulier. On peut paver le plan à l'aide d'un carré, d'un triangle équilatéral, d'un hexagone régulier. Autour de chaque sommet du pavage, la somme des angles des polygones est à chaque fois 360∘.360^\circ.

L'art de paver une surface plane, comme le sol ou les murs d'un palais, est très ancien et se pratiquait à Rome, Byzance, Grenade ou Séville. Né en Grèce, l'art de la mosaïque s'est répandu sur tout le pourtour de la Méditerranée par l'intermédiaire des Romains. Repris par les civilisations byzantine et arabo-musulmane, il a connu son apogée dans le sud de l'Espagne et au Maroc.

Dans le pavage par des carrés ou par des hexagones réguliers, on passe d'un pavé à ses voisins en le faisant glisser : c'est une translation. Avec des triangles équilatéraux, le pavé voisin est retourné : on passe de l'un à l'autre par un demi-tour, et non par une translation.

À retenir

Ce qu’il dit en l’écrivant

Hedha elli lezmek tetfakkrou :

هذا اللي لازمك تتفكّرو :

Voici ce qu’il faut retenir :

  1. tu⃗(M)=M′t_{\vec{u}}(M) = M' équivaut à MM′→=u⃗.\overrightarrow{MM'} = \vec{u}.T indice u de M égale M prime, ma3neha le vecteur MM prime égale u.T indice u de M égale M prime, cela signifie que le vecteur M M prime égale u.
  2. Propriété caractéristique : une application tt est une translation si, et seulement si, M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN} pour tous points MM et N,N, d'images M′M' et N′.N'.La propriété caractéristique : application t hiya translation, ki le vecteur M prime N prime égale le vecteur MN, l koll zouz points M w N.La propriété caractéristique : une application t est une translation quand le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N, pour tous points M et N.
  3. Les images, par une translation, de points alignés sont des points alignés.Les images mta3 points alignés, houma points alignés.Les images de points alignés sont des points alignés.
  4. L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment qui lui est isométrique ; l'image d'une demi-droite est une demi-droite ; l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.L'image d'une droite hiya droite parallèle liha ; l'image d'un segment hiya segment 3andou nafs la longueur ; l'image d'une demi-droite hiya demi-droite ; w l'image d'un cercle hiya cercle 3andou nafs le rayon.L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle ; l'image d'un segment est un segment de même longueur ; l'image d'une demi-droite est une demi-droite ; et l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
  5. La translation conserve le milieu et le barycentre.La translation t7afedh 3la le milieu w 3la le barycentre.La translation conserve le milieu et le barycentre.
  6. Les images de deux droites parallèles sont parallèles ; les images de deux droites perpendiculaires sont perpendiculaires ; si une droite et un cercle sont tangents, leurs images sont tangentes.Zouz droites parallèles yo93dou parallèles, zouz droites perpendiculaires yo93dou perpendiculaires, w droite tangente à un cercle to93ed tangente.Deux droites parallèles restent parallèles, deux droites perpendiculaires restent perpendiculaires, et une droite tangente à un cercle reste tangente.
  7. Une translation conserve les distances et les angles ; l'image d'un polygone est un polygone qui lui est superposable.La translation t7afedh 3la les distances w 3la les angles, w l'image mta3 polygone hiya polygone superposable lih.La translation conserve les distances et les angles, et l'image d'un polygone est un polygone qui lui est superposable.

Ce qu’il dit en refermant

Hakka kammelna el chapitre. Tfakker : la translation de vecteur u teb3ath M l M prime, ki le vecteur MM prime égale u. W la propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale le vecteur MN. La translation ma tbaddel chay fel figure : les distances, les angles, l'alignement, le milieu w le parallélisme el koll yo93dou kima houma. La droite twalli droite parallèle, w le cercle ywalli cercle 3andou nafs le rayon. Yalla lel exercices.

هكّا كمّلنا الـ chapitre . تفكّر : la translation de vecteur u تبعث M لـ M prime ، كي le vecteur M M prime égale u . w la propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N . la translation ما تبدّل شي في الـ figure : les distances ، les angles ، l'alignement ، le milieu w le parallélisme الكل يقعدو كيما هوما . la droite تولّي droite parallèle ، w le cercle يولّي cercle عندو نفس le rayon . يالله للـ exercices .

Voilà, nous avons terminé ce chapitre. Retiens : la translation de vecteur u envoie M sur M prime quand le vecteur M M prime égale u. Et la propriété caractéristique : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N. La translation ne change rien à la figure : les distances, les angles, l'alignement, le milieu et le parallélisme restent tous tels quels. Une droite devient une droite parallèle, et un cercle devient un cercle de même rayon. Allons aux exercices.

Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes

Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.

Question 1 · Translation de vecteur u

  • c'est quoi une translation
  • chnowa la translation
  • translation ma3neha chnowa
  • définition de la translation

Ce qu’il écrit au tableau

  • tu⃗(M)=M′  ⟺  MM′→=u⃗t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{MM'} = \vec{u}

Ce qu’il répond

La translation de vecteur $\vec{u}$ hiya l'application elli teb3ath koll point M l point M', b7ith $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$. Ya3ni el points el koll yet7arrkou b nafs el vecteur : nafs la direction, nafs le sens w nafs la longueur. El figure tezle9, ma tdourch w ma tekberch.

la translation de vecteur u هي l'application اللي تبعث كل point M لـ point M prime ، بحيث le vecteur M M prime égale u . يعني الـ points الكل يتحرّكو بنفس الـ vecteur : نفس la direction ، نفس le sens w نفس la longueur . الـ figure تزلق ، ما تدورش w ما تكبرش .

La translation de vecteur u est l'application qui envoie chaque point M sur le point M prime tel que le vecteur M M prime égale u. Autrement dit, tous les points se déplacent du même vecteur : même direction, même sens et même longueur. La figure glisse, elle ne tourne pas et elle ne grandit pas.

Question 2 · Application du plan

  • c'est quoi une application du plan
  • application du plan chnowa
  • définition d'une application
  • application ma3neha

Ce qu’il écrit au tableau

  • f:M⟼M′f : M \longmapsto M'

Ce qu’il répond

Application du plan dans lui-même, ma3neha koll point M na3tiweh point wa7ed bark M'. M' houwa l'image de M. El mohemm houwa « wa7ed bark » : ken point ynajjem ykoun 3andou zouz images, hedhi mouch application. La symétrie centrale, la symétrie orthogonale, le quart de tour w la translation el koll applications du plan.

application du plan dans lui-même ، معناها كل point M نعطيوه point واحد برك M prime . M prime هو l'image de M . المهمّ هو « واحد برك » : كان point ينجّم يكون عندو زوز images ، هذي موش application . la symétrie centrale ، la symétrie orthogonale ، le quart de tour w la translation الكل applications du plan .

Une application du plan dans lui-même, c'est associer à chaque point M un seul point M prime. M prime est l'image de M. L'important, c'est « un seul » : si un point pouvait avoir deux images, ce ne serait pas une application. La symétrie centrale, la symétrie orthogonale, le quart de tour et la translation sont toutes des applications du plan.

Question 3 · Image et antécédent

  • c'est quoi un antécédent
  • différence entre image et antécédent
  • antecedent chnowa
  • kifech nal9a l'antécédent

Ce qu’il écrit au tableau

  • M′M→=−u⃗\overrightarrow{M'M} = -\vec{u}

Ce qu’il répond

Ken $t(M) = M'$, M' houwa l'image de M, w M houwa l'antécédent de M'. L'image hiya point d'arrivée, w l'antécédent houwa point de départ. Bech tal9a l'antécédent fi translation de vecteur $\vec{u}$, erja3 bel vecteur : $\overrightarrow{M'M} = -\vec{u}$.

كان t de M égale M prime ، M prime هو l'image de M ، w M هو l'antécédent de M prime . l'image هي point d'arrivée ، w l'antécédent هو point de départ . باش تلقى l'antécédent في translation de vecteur u ، ارجع بالـ vecteur : le vecteur M prime M égale moins u .

Si t de M égale M prime, alors M prime est l'image de M, et M est l'antécédent de M prime. L'image est le point d'arrivée, et l'antécédent est le point de départ. Pour trouver l'antécédent dans une translation de vecteur u, reviens en arrière avec le vecteur : le vecteur M prime M égale moins u.

Question 4 · Translation de vecteur u

  • comment construire l'image d'un point
  • kifech nrasem l'image mta3 point
  • construire le point M' par une translation
  • tracer l'image d'un point

Ce qu’il écrit au tableau

  • MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}

Ce qu’il répond

Bech tarsem l'image de M par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, lezem $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$. Ya3ni $ABM'M$ parallélogramme. Arsem men M la parallèle à la droite (AB), w 7ott 3liha M', fi nafs le sens, b7ith $MM' = AB$. W bel compas : 5oudh la longueur AB men M, w la longueur AM men B. Ez-zouz arcs yetle9aw fi zouz points : 5oudh elli jey mel jiha lo5ra mta3 la droite (BM), mouch men jihet A.

باش ترسم l'image de M par la translation de vecteur A B ، لازم le vecteur M M prime égale le vecteur A B . يعني A B M prime M parallélogramme . ارسم من M la parallèle à la droite A B ، w حطّ عليها M prime ، في نفس le sens ، بحيث M M prime égale A B . w بالـ compas : خوذ la longueur A B من M ، w la longueur A M من B . الزوز arcs يتلاقاو في زوز points : خوذ اللي جاي من الجيهة الأخرى متاع la droite B M ، موش من جيهة A .

Pour construire l'image de M par la translation de vecteur A B, il faut que le vecteur M M prime égale le vecteur A B. Autrement dit, A B M prime M est un parallélogramme. Trace par M la parallèle à la droite A B, et place dessus M prime, dans le même sens, de sorte que M M prime égale A B. Et au compas : reporte la longueur A B à partir de M, et la longueur A M à partir de B. Les deux arcs se coupent en deux points : garde celui qui est de l'autre côté de la droite B M par rapport à A.

Question 5 · Translation de vecteur u

  • translation de vecteur nul
  • ken le vecteur nul chnowa ysir
  • translation avec le vecteur zéro
  • est-ce qu un point peut rester à sa place

Ce qu’il écrit au tableau

  • MM′→=0⃗  ⟺  M′=M\overrightarrow{MM'} = \vec{0} \iff M' = M

Ce qu’il répond

Ken le vecteur houwa le vecteur nul, $\overrightarrow{MM'} = \vec{0}$, ya3ni M' houwa M : koll point yo93ed fi blastou. W ken le vecteur mouch nul, 7atta point ma yo93ed fi blastou : el koll yet7arrkou.

كان le vecteur هو le vecteur nul ، le vecteur M M prime égale le vecteur nul ، يعني M prime هو M : كل point يقعد في بلاصتو . w كان le vecteur موش nul ، حتّى point ما يقعد في بلاصتو : الكل يتحرّكو .

Si le vecteur est le vecteur nul, le vecteur M M prime égale le vecteur nul, donc M prime est M : chaque point reste à sa place. Et si le vecteur n'est pas nul, aucun point ne reste à sa place : tous se déplacent.

Question 6 · Propriété caractéristique

  • c'est quoi la propriété caractéristique
  • propriete caracteristique mta3 la translation
  • la propriété caractéristique chnowa
  • propriété caractéristique d'une translation

Ce qu’il écrit au tableau

  • M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}

Ce qu’il répond

La propriété caractéristique t9oul : application t hiya translation, équivaut à : $\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}$, l koll zouz points M w N. Ya3ni la translation ma tbaddelch les vecteurs, w hiya el wa7ida elli ta3mel hakka. Rodd belek : lezem l'égalité mta3 les vecteurs, mouch mta3 les distances bark.

la propriété caractéristique تقول : application t هي translation ، équivaut à : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N ، لكل زوز points M w N . يعني la translation ما تبدّلش les vecteurs ، w هي الوحيدة اللي تعمل هكّا . ردّ بالك : لازم l'égalité متاع les vecteurs ، موش متاع les distances برك .

La propriété caractéristique dit : une application t est une translation, équivaut à : le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N, pour tous points M et N. Autrement dit, la translation ne change pas les vecteurs, et elle est la seule à le faire. Attention : il faut l'égalité des vecteurs, pas seulement celle des distances.

Question 7 · Reconnaître une translation

  • comment montrer qu'une application est une translation
  • kifech nthabbet elli f translation
  • prouver que f est une translation
  • démontrer que c est une translation

Ce qu’il écrit au tableau

  • MM′→=u⃗ (constant)\overrightarrow{MM'} = \vec{u} \ \text{(constant)}

Ce qu’il répond

A7seb $\overrightarrow{MM'}$, w bassatou b la relation de Chasles. Ken yatla3 vecteur constant, ma fihech M, wa9tha f hiya la translation bel vecteur hedhaka. W ken el vecteur yetbaddel m3a M, f mouch translation. Tri9a o5ra : warri elli $\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}$ l koll M w N.

احسب le vecteur M M prime ، w بسّطو بـ la relation de Chasles . كان يطلع vecteur constant ، ما فيهش M ، وقتها f هي la translation بالـ vecteur هذاكا . w كان الـ vecteur يتبدّل مع M ، f موش translation . طريقة أخرى : ورّي اللي le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N لكل M w N .

Calcule le vecteur M M prime, et simplifie-le par la relation de Chasles. S'il donne un vecteur constant, qui ne contient pas M, alors f est la translation de ce vecteur. Et si le vecteur change avec M, f n'est pas une translation. Autre méthode : montre que le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N pour tous M et N.

Question 8 · Distances et directions

  • la translation change-t-elle les distances
  • 3lech les distances ma yetbaddlouch
  • les longueurs ba3d la translation
  • est-ce que les distances restent les mêmes

Ce qu’il écrit au tableau

  • MN=M′N′MN = M'N'

Ce qu’il répond

Le, la translation ma tbaddelch les distances : $MN = M'N'$. 5ater $\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}$, w zouz vecteurs égaux 3andhom nafs la longueur. N9oulou la translation t7afedh 3la les distances.

لا ، la translation ما تبدّلش les distances : M N égale M prime N prime . خاطر le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N ، w زوز vecteurs égaux عندهم نفس la longueur . نقولو la translation تحافظ على les distances .

Non, la translation ne change pas les distances : M N égale M prime N prime. Car le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N, et deux vecteurs égaux ont la même longueur. On dit que la translation conserve les distances.

Question 9 · Conservation de l'alignement

  • points alignés par une translation
  • 3lech les images alignés
  • comment montrer un alignement avec une translation
  • trois points alignes w la translation

Ce qu’il répond

Les images mta3 points alignés, houma points alignés : la translation t7afedh 3la l'alignement. Bech tthabbet elli trois points alignés, warri elli houma les images, b nafs la translation, mta3 trois points ta3refhom alignés.

les images متاع points alignés ، هوما points alignés : la translation تحافظ على l'alignement . باش تثبت اللي trois points alignés ، ورّي اللي هوما les images ، بنفس la translation ، متاع trois points تعرفهم alignés .

Les images de points alignés sont des points alignés : la translation conserve l'alignement. Pour prouver que trois points sont alignés, montre que ce sont les images, par une même translation, de trois points que tu sais alignés.

Question 10 · Image d'une droite

  • image d'une droite par une translation
  • l'image mta3 droite chnowa
  • kifech nal9a l'image d'une droite
  • comment tracer l'image d'une droite

Ce qu’il écrit au tableau

  • (AB)⟼(A′B′)(AB) \longmapsto (A'B')

Ce qu’il répond

L'image d'une droite par une translation hiya droite parallèle liha. Bech tarsemha, yekfik point wa7ed : 5oudh point A 3la la droite, arsem l'image mte3ou A', w 3addi men A' la parallèle. W ken 3andek zouz points A w B, l'image de la droite $(AB)$ hiya la droite $(A'B')$.

l'image d'une droite par une translation هي droite parallèle ليها . باش ترسمها ، يكفيك point واحد : خوذ point A على la droite ، ارسم l'image متاعو A prime ، w عدّي من A prime la parallèle . w كان عندك زوز points A w B ، l'image de la droite A B هي la droite A prime B prime .

L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle. Pour la tracer, un seul point suffit : prends un point A sur la droite, construis son image A prime, et trace par A prime la parallèle. Et si tu as deux points A et B, l'image de la droite A B est la droite A prime B prime.

Question 11 · Exemple : images de droites

  • quand une droite est sa propre image
  • droite invariante par translation
  • la droite hiya nafsha ba3d la translation
  • une droite qui glisse sur elle-même

Ce qu’il répond

Ki la droite 3andha nafs la direction mta3 le vecteur. Mathalan la droite $(AB)$ w la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ : A yemchi l B, elli houwa 3la la droite, donc la droite tezle9 3la rou7ha w l'image mte3ha hiya bidha. Rodd belek : la droite ma tetbaddelch, amma el points mte3ha yet7arrkou.

كي la droite عندها نفس la direction متاع le vecteur . مثلا la droite A B w la translation de vecteur A B : A يمشي لـ B ، اللي هو على la droite ، donc la droite تزلق على روحها w l'image متاعها هي بيدها . ردّ بالك : la droite ما تتبدّلش ، أمّا الـ points متاعها يتحرّكو .

Quand la droite a la même direction que le vecteur. Par exemple la droite A B et la translation de vecteur A B : A va en B, qui est sur la droite, donc la droite glisse sur elle-même et son image est elle-même. Attention : la droite ne change pas, mais ses points, eux, se déplacent.

Question 12 · Image d'une droite

  • image d'un segment par une translation
  • l'image mta3 segment chnowa
  • segment isométrique ma3neha
  • c'est quoi l'image du segment AB

Ce qu’il écrit au tableau

  • [AB]⟼[A′B′],A′B′=AB[AB] \longmapsto [A'B'], \quad A'B' = AB

Ce qu’il répond

L'image du segment $[AB]$ hiya le segment $[A'B']$, win A' w B' houma les images de A w B. W houwa isométrique lih, ya3ni 3andou nafs la longueur : $A'B' = AB$. W zeda parallèle lih.

l'image du segment A B هي le segment A prime B prime ، وين A prime w B prime هوما les images de A w B . w هو isométrique ليه ، يعني عندو نفس la longueur : A prime B prime égale A B . w زادة parallèle ليه .

L'image du segment A B est le segment A prime B prime, où A prime et B prime sont les images de A et B. Et il lui est isométrique, c'est-à-dire qu'il a la même longueur : A prime B prime égale A B. Et il lui est aussi parallèle.

Question 13 · Image d'une droite

  • image d'une demi-droite
  • l'image mta3 demi-droite chnowa
  • demi droite par une translation

Ce qu’il écrit au tableau

  • [AB)⟼[A′B′)[AB) \longmapsto [A'B')

Ce qu’il répond

L'image d'une demi-droite hiya demi-droite. Ken la demi-droite origine mte3ha A w tet3adda men B, l'image mte3ha origine mte3ha A' w tet3adda men B'. W 3andha nafs la direction w nafs le sens.

l'image d'une demi-droite هي demi-droite . كان la demi-droite origine متاعها A w تتعدّى من B ، l'image متاعها origine متاعها A prime w تتعدّى من B prime . w عندها نفس la direction w نفس le sens .

L'image d'une demi-droite est une demi-droite. Si la demi-droite a pour origine A et passe par B, son image a pour origine A prime et passe par B prime. Et elle a la même direction et le même sens.

Question 14 · Conservation du milieu

  • la translation et le milieu
  • 3lech l'image du milieu hiya le milieu
  • milieu ba3d la translation
  • l'image du milieu d'un segment

Ce qu’il écrit au tableau

  • O milieu de [IJ]  ⟹  O′ milieu de [I′J′]O \text{ milieu de } [IJ] \implies O' \text{ milieu de } [I'J']

Ce qu’il répond

La translation t7afedh 3la le milieu : ken O le milieu de $[IJ]$, l'image O' houwa le milieu de $[I'J']$. 5ater $\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{OJ} = \vec{0}$, w la translation ma tbaddelch les vecteurs. Tanfa3 barcha bech tthabbet elli point houwa milieu, walla elli trois points alignés.

la translation تحافظ على le milieu : كان O le milieu de I J ، l'image O prime هو le milieu de I prime J prime . خاطر le vecteur O I plus le vecteur O J égale le vecteur nul ، w la translation ما تبدّلش les vecteurs . تنفع برشة باش تثبت اللي point هو milieu ، ولا اللي trois points alignés .

La translation conserve le milieu : si O est le milieu de I J, l'image O prime est le milieu de I prime J prime. Car le vecteur O I plus le vecteur O J égale le vecteur nul, et la translation ne change pas les vecteurs. C'est très utile pour prouver qu'un point est un milieu, ou que trois points sont alignés.

Question 15 · Conservation du barycentre

  • la translation et le barycentre
  • l'image du barycentre chnowa
  • barycentre ba3d la translation
  • l'image du centre de gravité

Ce qu’il répond

La translation t7afedh 3la le barycentre : ken G le barycentre de $(I, a)$ w $(J, b)$, l'image G' houwa le barycentre de $(I', a)$ w $(J', b)$, b nafs les coefficients. W bel 5sous : l'image du centre de gravité mta3 triangle, hiya le centre de gravité mta3 le triangle image.

la translation تحافظ على le barycentre : كان G le barycentre de I ، a w J ، b ، l'image G prime هو le barycentre de I prime ، a w J prime ، b ، بنفس les coefficients . w بالخصوص : l'image du centre de gravité متاع triangle ، هي le centre de gravité متاع le triangle image .

La translation conserve le barycentre : si G est le barycentre de I, a et J, b, l'image G prime est le barycentre de I prime, a et J prime, b, avec les mêmes coefficients. Et en particulier : l'image du centre de gravité d'un triangle est le centre de gravité du triangle image.

Question 16 · Parallélisme et orthogonalité

  • deux droites parallèles restent-elles parallèles
  • les droites paralleles ba3d la translation
  • la translation et le parallélisme
  • images de deux paralleles

Ce qu’il répond

Ih : les images mta3 zouz droites parallèles, houma zouz droites parallèles. 5ater koll droite parallèle à l'image mte3ha, donc el arb3a droites 3andhom nafs la direction. N9oulou la translation t7afedh 3la le parallélisme.

إيه : les images متاع زوز droites parallèles ، هوما زوز droites parallèles . خاطر كل droite parallèle à l'image متاعها ، donc الأربعة droites عندهم نفس la direction . نقولو la translation تحافظ على le parallélisme .

Oui : les images de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. Car chaque droite est parallèle à son image, donc les quatre droites ont la même direction. On dit que la translation conserve le parallélisme.

Question 17 · Parallélisme et orthogonalité

  • deux droites perpendiculaires par une translation
  • les droites perpendiculaires ba3d la translation
  • la translation et l'orthogonalité
  • les droites orthogonales ba3d la translation

Ce qu’il répond

Les images mta3 zouz droites perpendiculaires, houma zouz droites perpendiculaires : la translation t7afedh 3la l'orthogonalité. Rodd belek : la droite w l'image mte3ha parallèles, mouch perpendiculaires. L'angle droit yo93ed bin ezzouz images.

les images متاع زوز droites perpendiculaires ، هوما زوز droites perpendiculaires : la translation تحافظ على l'orthogonalité . ردّ بالك : la droite w l'image متاعها parallèles ، موش perpendiculaires . l'angle droit يقعد بين الزوز images .

Les images de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires : la translation conserve l'orthogonalité. Attention : une droite et son image sont parallèles, pas perpendiculaires. L'angle droit se retrouve entre les deux images.

Question 18 · Angles et polygones

  • la translation change-t-elle les angles
  • les angles ba3d la translation
  • est-ce que les angles restent pareils
  • mesure de l'angle image

Ce qu’il écrit au tableau

  • x′O′y′^=xOy^\widehat{x'O'y'} = \widehat{xOy}

Ce qu’il répond

Le, la translation t7afedh 3la les angles : l'angle image 3andou nafs la mesure. Mathalan ken $\widehat{BAC} = 35^\circ$, $\widehat{B'A'C'}$ zeda $35^\circ$. 5ater el triangle w l'image mte3ou isométriques.

لا ، la translation تحافظ على les angles : l'angle image عندو نفس la mesure . مثلا كان l'angle B A C égale trente-cinq degrés ، l'angle B prime A prime C prime زادة trente-cinq degrés . خاطر الـ triangle w l'image متاعو isométriques .

Non, la translation conserve les angles : l'angle image a la même mesure. Par exemple, si l'angle B A C mesure trente-cinq degrés, l'angle B prime A prime C prime mesure aussi trente-cinq degrés. Car le triangle et son image sont isométriques.

Question 19 · Image d'un cercle

  • image d'un cercle par une translation
  • l'image mta3 cercle chnowa
  • le rayon change ou non
  • kifech nrasem l'image d'un cercle

Ce qu’il écrit au tableau

  • C(O,R)⟼C′(O′,R)\mathscr{C}(O, R) \longmapsto \mathscr{C}'(O', R)

Ce qu’il répond

L'image d'un cercle hiya cercle 3andou nafs le rayon. El centre bark elli yet7arrek : O yemchi l O'. Bech tarsmou, arsem l'image mta3 el centre, w 7ell el compas 3la nafs le rayon.

l'image d'un cercle هي cercle عندو نفس le rayon . الـ centre برك اللي يتحرّك : O يمشي لـ O prime . باش ترسمو ، ارسم l'image متاع الـ centre ، w حلّ الـ compas على نفس le rayon .

L'image d'un cercle est un cercle de même rayon. Seul le centre se déplace : O va en O prime. Pour le tracer, construis l'image du centre, et ouvre le compas au même rayon.

Question 20 · Conservation du contact

  • la tangente par une translation
  • c'est quoi la conservation du contact
  • droite tangente au cercle ba3d la translation
  • le point de contact win yemchi

Ce qu’il répond

Ken droite tangente à un cercle, les images mte3hom zeda tangentes : la translation t7afedh 3la le contact. W le point de contact yet7arrek m3ahom : le nouveau point de contact houwa l'image mta3 el 9dim.

كان droite tangente à un cercle ، les images متاعهم زادة tangentes : la translation تحافظ على le contact . w le point de contact يتحرّك معاهم : le nouveau point de contact هو l'image متاع القديم .

Si une droite est tangente à un cercle, leurs images sont elles aussi tangentes : la translation conserve le contact. Et le point de contact se déplace avec elles : le nouveau point de contact est l'image de l'ancien.

Question 21 · Angles et polygones

  • image d'un triangle par une translation
  • polygone superposable ma3neha
  • l'image mta3 rectangle chnowa
  • image d'un polygone

Ce qu’il répond

L'image mta3 polygone hiya polygone superposable lih : nafs les côtés w nafs les angles, tnajjem t7ottou fou9ou bedh-dhabt. L'image mta3 triangle hiya triangle isométrique lih, l'image mta3 rectangle hiya rectangle, w l'image mta3 losange hiya losange.

l'image متاع polygone هي polygone superposable ليه : نفس les côtés w نفس les angles ، تنجّم تحطّو فوقو بالضبط . l'image متاع triangle هي triangle isométrique ليه ، l'image متاع rectangle هي rectangle ، w l'image متاع losange هي losange .

L'image d'un polygone est un polygone qui lui est superposable : mêmes côtés et mêmes angles, on peut le poser exactement dessus. L'image d'un triangle est un triangle qui lui est isométrique, l'image d'un rectangle est un rectangle, et l'image d'un losange est un losange.

Question 22 · Pour comprendre : deux symétries centrales

  • deux symétries centrales donnent quoi
  • symétrie de centre I puis symétrie de centre J
  • zouz symetries centrales ya3tiw chnowa
  • composée de deux symétries centrales

Ce qu’il écrit au tableau

  • MM′→=2IJ→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}

Ce qu’il répond

Ki ta3mel la symétrie de centre I, w ba3dha la symétrie de centre J, tal9a translation : $\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{IJ}$. 5ater I w J houma les milieux, w b Chasles el vecteur yatla3 $2\overrightarrow{IJ}$, w ma fihech M.

كي تعمل la symétrie de centre I ، w بعدها la symétrie de centre J ، تلقى translation : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur I J . خاطر I w J هوما les milieux ، w بـ Chasles الـ vecteur يطلع deux fois le vecteur I J ، w ما فيهش M .

Quand tu fais la symétrie de centre I, puis la symétrie de centre J, tu obtiens une translation : le vecteur M M prime égale deux fois le vecteur I J. Car I et J sont les milieux, et par Chasles le vecteur vaut deux fois le vecteur I J, et il ne contient pas M.

Question 23 · Deux symétries axiales

  • deux symétries axiales donnent quoi
  • symétrie d'axe D puis symétrie d'axe D'
  • zouz symetries axiales ya3tiw chnowa
  • deux symétries orthogonales d axes parallèles

Ce qu’il écrit au tableau

  • MM′→=2AB→\overrightarrow{MM'} = 2\overrightarrow{AB}

Ce qu’il répond

Ken ezzouz axes D w D' parallèles, la symétrie d'axe D w ba3dha la symétrie d'axe D' ya3tiw translation. Le vecteur mte3ha $2\overrightarrow{AB}$, win A point 3la D, w B houwa le projeté orthogonal de A 3la D'. Rodd belek 3la l'ordre : ken tabda b D', el vecteur ywalli $2\overrightarrow{BA}$.

كان الزوز axes D w D prime parallèles ، la symétrie d'axe D w بعدها la symétrie d'axe D prime يعطيو translation . le vecteur متاعها deux fois le vecteur A B ، وين A point على D ، w B هو le projeté orthogonal de A على D prime . ردّ بالك على l'ordre : كان تبدا بـ D prime ، الـ vecteur يولّي deux fois le vecteur B A .

Si les deux axes D et D prime sont parallèles, la symétrie d'axe D suivie de la symétrie d'axe D prime donne une translation. Son vecteur est deux fois le vecteur A B, où A est un point de D, et B le projeté orthogonal de A sur D prime. Attention à l'ordre : si tu commences par D prime, le vecteur devient deux fois le vecteur B A.

Question 24 · Propriété caractéristique

  • différence entre translation et symétrie
  • el far9 bin translation w symetrie
  • translation ou symétrie comment savoir

Ce qu’il répond

Ezzouz y7afdhou 3la les distances, amma mouch kif kif. Fi la translation, $\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}$ : el figure tezle9. Fi la symétrie centrale, $\overrightarrow{M'N'} = -\overrightarrow{MN}$ : el figure tdour noss doura. W fi la translation, $\overrightarrow{MM'}$ dima houwa bidou ; fi la symétrie yetbaddel m3a M.

الزوز يحافظو على les distances ، أمّا موش كيف كيف . في la translation ، le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N : الـ figure تزلق . في la symétrie centrale ، le vecteur M prime N prime égale l'opposé du vecteur M N : الـ figure تدور نصف دورة . w في la translation ، le vecteur M M prime ديما هو بيدو ؛ في la symétrie يتبدّل مع M .

Les deux conservent les distances, mais pas de la même façon. Dans la translation, le vecteur M prime N prime égale le vecteur M N : la figure glisse. Dans la symétrie centrale, le vecteur M prime N prime égale l'opposé du vecteur M N : la figure fait un demi-tour. Et dans la translation, le vecteur M M prime est toujours le même ; dans la symétrie, il change avec M.

Question 25 · Problèmes de lieux

  • c'est quoi un lieu géométrique
  • lieu des points chnowa
  • kifech nal9a le lieu
  • comment chercher un ensemble de points

Ce qu’il répond

Le lieu géométrique houwa el ligne elli yet7arrek 3liha point, ki point e5er yet7arrek. Bech tal9ah : arsem figure w 7ott barcha positions, a3mel conjecture, w ba3d athbetha. W b la translation : ken N houwa l'image de M, le lieu de N houwa l'image mta3 le lieu de M. M 3la droite, N 3la droite parallèle ; M 3la cercle, N 3la cercle 3andou nafs le rayon.

le lieu géométrique هو الـ ligne اللي يتحرّك عليها point ، كي point آخر يتحرّك . باش تلقاه : ارسم figure w حطّ برشة positions ، اعمل conjecture ، w بعد اثبتها . w بـ la translation : كان N هو l'image de M ، le lieu de N هو l'image متاع le lieu de M . M على droite ، N على droite parallèle ؛ M على cercle ، N على cercle عندو نفس le rayon .

Le lieu géométrique est la ligne sur laquelle se déplace un point, quand un autre point se déplace. Pour le trouver : fais une figure et place plusieurs positions, émets une conjecture, puis démontre-la. Et avec la translation : si N est l'image de M, le lieu de N est l'image du lieu de M. M sur une droite, N sur une droite parallèle ; M sur un cercle, N sur un cercle de même rayon.

Question 26 · Problèmes de construction

  • c'est quoi l'analyse et la synthèse
  • problème de construction kifech
  • méthode analyse synthèse
  • supposer le problème résolu

Ce qu’il répond

Problème de construction ne5dmouh 3la zouz étapes. L'analyse : n9oulou el problème ma7loul, nrasmou figure d'étude, w nlawwjou 3la les propriétés elli tarbet el points. La synthèse : narj3ou lel données, nrasmou el points bel propriétés hedhoukom, w nthabtou elli el figure tjeweb 3al question.

problème de construction نخدموه على زوز étapes . l'analyse : نقولو الـ problème محلول ، نرسمو figure d'étude ، w نلوّجو على les propriétés اللي تربط الـ points . la synthèse : نرجعو للـ données ، نرسمو الـ points بالـ propriétés هاذوكم ، w نثبتو اللي الـ figure تجاوب على الـ question .

Un problème de construction se traite en deux étapes. L'analyse : on suppose le problème résolu, on fait une figure d'étude, et on cherche les propriétés qui relient les points. La synthèse : on revient aux données, on construit les points avec ces propriétés, et on vérifie que la figure répond à la question.

Question 27 · Translation de vecteur u

  • lien entre translation et parallélogramme
  • 3lech ABM'M parallélogramme
  • translation w parallelogramme
  • ordre des lettres dans le parallélogramme

Ce qu’il écrit au tableau

  • MM′→=AB→  ⟺  ABM′M paralleˊlogramme\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB} \iff ABM'M \text{ parallélogramme}

Ce qu’il répond

Ken M' houwa l'image de M par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$, w zouz vecteurs égaux yrasmou parallélogramme : $ABM'M$. Rodd belek 3la l'ordre : A, B, ba3d M', ba3d M. Ken tekteb $ABMM'$, taghlet.

كان M prime هو l'image de M par la translation de vecteur A B ، le vecteur M M prime égale le vecteur A B ، w زوز vecteurs égaux يرسمو parallélogramme : A B M prime M . ردّ بالك على l'ordre : A ، B ، بعد M prime ، بعد M . كان تكتب A B M M prime ، تغلط .

Si M prime est l'image de M par la translation de vecteur A B, le vecteur M M prime égale le vecteur A B, et deux vecteurs égaux dessinent un parallélogramme : A B M prime M. Attention à l'ordre : A, B, puis M prime, puis M. Si tu écris A B M M prime, c'est faux.

Question 28 · Reconnaître une translation

  • comment trouver le vecteur d'une translation
  • kifech nal9a le vecteur mta3 la translation
  • déterminer le vecteur de la translation
  • préciser le vecteur

Ce qu’il écrit au tableau

  • u⃗=AA′→\vec{u} = \overrightarrow{AA'}

Ce qu’il répond

Le vecteur mta3 translation yemchi men point l l'image mte3ou. Donc yekfik point wa7ed A w l'image mte3ou A' : le vecteur houwa $\overrightarrow{AA'}$. Ken 3andek zouz droites w les images mte3hom, 5oudh le point d'intersection : l'image mte3ou hiya l'intersection mta3 les images.

le vecteur متاع translation يمشي من point لـ l'image متاعو . donc يكفيك point واحد A w l'image متاعو A prime : le vecteur هو le vecteur A A prime . كان عندك زوز droites w les images متاعهم ، خوذ le point d'intersection : l'image متاعو هي l'intersection متاع les images .

Le vecteur d'une translation va d'un point à son image. Il te suffit donc d'un seul point A et de son image A prime : le vecteur est le vecteur A A prime. Si tu as deux droites et leurs images, prends le point d'intersection : son image est l'intersection des images.

Question 29 · Pavages

  • c'est quoi un pavage
  • pavage du plan chnowa
  • paver le plan ma3neha
  • peut-on paver avec un pentagone régulier

Ce qu’il répond

Paver le plan ma3neha nghattiweh b formes, men ghir fragh w men ghir ma yerkbou 3la b3adhhom. B polygones réguliers, ynajjem b carré, b triangle équilatéral walla b hexagone régulier, 5ater les angles 7awl koll sommet yetjam3ou $360^\circ$. Le pentagone régulier ma ynajjemch : l'angle mte3ou $108^\circ$, w 360 mouch multiple de 108.

paver le plan معناها نغطّيوه بـ formes ، من غير فراغ w من غير ما يركبو على بعضهم . بـ polygones réguliers ، ينجّم بـ carré ، بـ triangle équilatéral ولا بـ hexagone régulier ، خاطر les angles حول كل sommet يتجمعو trois cent soixante degrés . le pentagone régulier ما ينجّمش : l'angle متاعو cent huit degrés ، w trois cent soixante موش multiple de cent huit .

Paver le plan, c'est le couvrir par des formes, sans vide et sans chevauchement. Avec des polygones réguliers, c'est possible avec un carré, un triangle équilatéral ou un hexagone régulier, car les angles autour de chaque sommet totalisent trois cent soixante degrés. Le pentagone régulier ne convient pas : son angle mesure cent huit degrés, et trois cent soixante n'est pas divisible par cent huit.

Les exercices — avec les corrigés

Exercice 1 · base

L'image d'un point

Dans la figure, ABDCABDC et ABFEABFE sont deux parallélogrammes. Quelle est l'image du point BB par la translation de vecteur AC→\overrightarrow{AC} ?

ABCDEF
ABDC et ABFE sont deux parallélogrammes.

Deux parallélogrammes qui partagent le côté [AB]. Le segment [AB] est horizontal, A à gauche et B à droite. Au-dessus, le parallélogramme ABFE : E est au-dessus à droite de A, F au-dessus à droite de B. En dessous, le parallélogramme ABDC : C est en dessous à droite de A, D en dessous à droite de B.

Écris le nom du point.

Réponse attendue : D — aussi acceptées : le point D · point D · c'est D · c'est le point D · = D · l'image de B est D · l'image de B est le point D · B a pour image D · l'image est D · l'image est le point D · l'image de B c'est D · l'image c'est D · l'image de B c'est le point D

Indices, dans l’ordre

  1. L'image de BB est le point XX tel que le vecteur BX→\overrightarrow{BX} soit égal au vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.
  2. Regarde le parallélogramme ABDCABDC : quel côté est opposé au côté [AC][AC] ?

Correction

  1. Le parallélogramme — Dans le parallélogramme ABDC,ABDC, le côté [BD][BD] est opposé au côté [AC],[AC], et on les parcourt dans le même sens.BD→=AC→\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}
  2. L'image — Le vecteur de la translation va donc de BB à D.D.B⟼DB \longmapsto D

L'image de BB est le point D.D.

Pièges anticipés

  • C / le point C / point C → CC est l'image de AA : le vecteur AC→\overrightarrow{AC} part de A.A. On demande l'image de BB : pars de BB et avance du même vecteur.
  • F / le point F / point F → FF est l'image de BB par une autre translation, celle que donne le parallélogramme ABFE.ABFE. Ici le vecteur est le vecteur AC→\overrightarrow{AC} : regarde le parallélogramme ABDC.ABDC.

Exercice 2 · base

L'image d'une droite sur la figure

Dans la figure, ABDCABDC et ABFEABFE sont deux parallélogrammes. Quelle est l'image de la droite (CE)(CE) par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

ABCDEF
ABDC et ABFE sont deux parallélogrammes.

Deux parallélogrammes qui partagent le côté [AB]. Le segment [AB] est horizontal, A à gauche et B à droite. Au-dessus, le parallélogramme ABFE : E est au-dessus à droite de A, F au-dessus à droite de B. En dessous, le parallélogramme ABDC : C est en dessous à droite de A, D en dessous à droite de B.

Écris la droite avec deux points, par exemple (AC).(AC).

Réponse attendue : (DF) — aussi acceptées : la droite (DF) · droite (DF) · c'est (DF) · c'est la droite (DF) · l'image est (DF) · l'image est la droite (DF) · DF · la droite DF · droite DF · c'est DF · c'est la droite DF · l'image est DF · l'image est la droite DF · (FD) · la droite (FD) · droite (FD) · c'est (FD) · c'est la droite (FD) · l'image est (FD) · l'image est la droite (FD) · FD · la droite FD · droite FD · c'est FD · c'est la droite FD · l'image est FD · l'image est la droite FD

Indices, dans l’ordre

  1. Cherche l'image de deux points de la droite.
  2. Chaque parallélogramme te donne une image : celle de C,C, puis celle de E.E.

Correction

  1. Deux points — Chaque parallélogramme donne un vecteur égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : le vecteur CD→\overrightarrow{CD} dans ABDC,ABDC, le vecteur EF→\overrightarrow{EF} dans ABFE.ABFE.C⟼D;E⟼FC \longmapsto D \quad ; \quad E \longmapsto F
  2. La droite — L'image de la droite qui passe par CC et EE est la droite qui passe par leurs images.(CE)⟼(DF)(CE) \longmapsto (DF)

L'image de la droite (CE)(CE) est la droite (DF)(DF) : elle lui est parallèle.

Pièges anticipés

  • (EF) / EF / (FE) / FE / (CD) / CD / (DC) / DC / la droite (EF) / la droite EF / droite (EF) / droite EF / c'est (EF) / c'est la droite (EF) / la droite (FE) / la droite FE / droite (FE) / droite FE / c'est (FE) / c'est la droite (FE) / la droite (CD) / la droite CD / droite (CD) / droite CD / c'est (CD) / c'est la droite (CD) / la droite (DC) / la droite DC / droite (DC) / droite DC / c'est (DC) / c'est la droite (DC) → Les droites (CD)(CD) et (EF)(EF) ont la direction du vecteur : chacune est sa propre image. Cherche les images de CC et de E.E.
  • (BD) / BD / (DB) / DB / (BF) / BF / (FB) / FB / la droite (BD) / la droite BD / droite (BD) / droite BD / c'est (BD) / c'est la droite (BD) / la droite (DB) / la droite DB / droite (DB) / droite DB / c'est (DB) / c'est la droite (DB) / la droite (BF) / la droite BF / droite (BF) / droite BF / c'est (BF) / c'est la droite (BF) / la droite (FB) / la droite FB / droite (FB) / droite FB / c'est (FB) / c'est la droite (FB) → Cette droite passe par B,B, qui est l'image de AA : or AA n'est pas sur la droite (CE).(CE). Cherche les images de CC et de E.E.

Exercice 3 · base

Une symétrie centrale

Dans la figure, ACBDACBD et CEDFCEDF sont deux parallélogrammes. On note KK le milieu du segment [DC].[DC]. Quelle est l'image du point EE par la symétrie centrale de centre KK ?

ACDBEF
ACBD et CEDF sont deux parallélogrammes.

Un grand parallélogramme ACBD : A en bas à gauche, C en bas à droite, B en haut à droite, D en haut à gauche. Le segment [DC] est une de ses diagonales. À l'intérieur, un petit parallélogramme CEDF qui a la même diagonale [DC] : E est sous la diagonale, F au-dessus.

Écris le nom du point.

Réponse attendue : F — aussi acceptées : le point F · point F · c'est F · c'est le point F · = F · l'image de E est F · l'image de E est le point F · E a pour image F · l'image est F · l'image est le point F · le symétrique de E est F · l'image de E c'est F · l'image c'est F · l'image de E c'est le point F

Indices, dans l’ordre

  1. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.
  2. Dans le parallélogramme CEDF,CEDF, les diagonales sont [CD][CD] et [EF].[EF].

Correction

  1. Les diagonales — CEDFCEDF est un parallélogramme : ses diagonales [CD][CD] et [EF][EF] ont le même milieu, qui est K.K.K est le milieu de [EF]K \text{ est le milieu de } [EF]
  2. La symétrie — Le symétrique de EE par rapport à KK est donc l'autre extrémité de la diagonale.

L'image de EE est le point F.F. De même, cette symétrie envoie AA sur BB et CC sur D.D.

Pièges anticipés

  • B / le point B / point B → BB est l'image de AA : le segment [AB][AB] est une diagonale de ACBD.ACBD. Pour E,E, regarde le parallélogramme CEDF.CEDF.
  • D / le point D / point D → DD est l'image de C.C. La diagonale qui part de EE arrive en un autre point.

Exercice 4 · base

Application ou non ?

Soit BB un point du plan. À un point DD distinct de B,B, on veut associer un point B′B' tel que le triangle DBB′DBB' soit rectangle en B′.B'. Combien de points B′B' conviennent ?

Réponds par : un seul, deux, ou une infinité.

Réponse attendue : une infinité — aussi acceptées : infinité · une infinité de points · infinité de points · il y en a une infinité · une infinite · infinite · infini · un nombre infini

Indices, dans l’ordre

  1. Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle : lequel ?
  2. Le triangle DBB′DBB' est rectangle en B′B' quand B′B' est sur le cercle de diamètre [DB],[DB], sans être en DD ni en B.B.

Correction

  1. Le cercle — Un triangle est rectangle en B′B' quand son sommet B′B' est sur le cercle qui a pour diamètre le côté opposé, sans en être une extrémité.B′ est sur le cercle de diameˋtre [DB]B' \text{ est sur le cercle de diamètre } [DB]
  2. Compter — Tous les points de ce cercle conviennent, sauf DD et BB : on ne peut pas les compter.

Une infinité de points conviennent. Ce procédé ne définit donc pas une application : il faudrait un seul point B′B' pour chaque point D.D.

Pièges anticipés

  • un / un seul / un seul point / 1 → Il n'y en a pas qu'un : tous les points du cercle de diamètre [DB],[DB], sauf DD et B,B, donnent un triangle rectangle en B′.B'.
  • deux / deux points / 2 → Ce n'est pas comme le triangle équilatéral, où deux points conviennent. Ici l'angle droit est en B′B' : pense au cercle de diamètre [DB].[DB].

Exercice 5 · base

Lire une image sur la figure

Dans la figure, ABCDABCD est un parallélogramme de centre I,I, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. Quelle est l'image du point CC par la translation de vecteur IA→\overrightarrow{IA} ?

DACBIJ
ABCD est un parallélogramme de centre I ; AIBJ est un parallélogramme.

Un parallélogramme ABCD : D en haut à gauche, A en haut à droite, C en bas à gauche, B en bas à droite. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en son centre I. À droite, le point J est tel que AIBJ est un parallélogramme : J est à droite de I, à la même hauteur, et les segments [AJ] et [BJ] sont tracés.

Écris le nom du point.

Réponse attendue : I — aussi acceptées : le point I · point I · c'est I · c'est le point I · = I · l'image de C est I · l'image de C est le point I · C a pour image I · l'image est I · l'image est le point I · l'image de C c'est I · l'image c'est I · l'image de C c'est le point I

Indices, dans l’ordre

  1. On cherche le point XX tel que le vecteur CX→\overrightarrow{CX} soit égal au vecteur IA→.\overrightarrow{IA}.
  2. II est le milieu de la diagonale [AC].[AC].

Correction

  1. Le milieu — II est le centre du parallélogramme ABCDABCD : c'est le milieu de la diagonale [AC].[AC]. De CC à I,I, on parcourt le même vecteur que de II à A.A.CI→=IA→\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{IA}

L'image de CC est le point I.I.

Pièges anticipés

  • A / le point A / point A → AA est l'image de I,I, pas celle de C.C. En partant de C,C, on n'avance que d'un vecteur IA→\overrightarrow{IA} : on s'arrête au milieu de la diagonale.
  • J / le point J / point J → JJ est l'image de B,B, car AIBJAIBJ est un parallélogramme. Pour C,C, avance le long de la diagonale [AC].[AC].

Exercice 6 · pratique

Trouver le bon vecteur

Dans la figure, ABCDABCD est un parallélogramme de centre I,I, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. Quelle est l'image du point CC par la translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} ?

DACBIJ
ABCD est un parallélogramme de centre I ; AIBJ est un parallélogramme.

Un parallélogramme ABCD : D en haut à gauche, A en haut à droite, C en bas à gauche, B en bas à droite. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en son centre I. À droite, le point J est tel que AIBJ est un parallélogramme : J est à droite de I, à la même hauteur, et les segments [AJ] et [BJ] sont tracés.

Écris le nom du point.

Réponse attendue : B — aussi acceptées : le point B · point B · c'est B · c'est le point B · = B · l'image de C est B · l'image de C est le point B · C a pour image B · l'image est B · l'image est le point B · l'image de C c'est B · l'image c'est B · l'image de C c'est le point B

Indices, dans l’ordre

  1. Décompose le vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} par Chasles, en passant par A.A.
  2. Le vecteur IA→\overrightarrow{IA} est égal au vecteur CI→,\overrightarrow{CI}, et le vecteur AJ→\overrightarrow{AJ} au vecteur IB→.\overrightarrow{IB}.

Correction

  1. Chasles — On passe par A,A, puis on remplace chaque vecteur par un vecteur égal : II est le milieu de [AC],[AC], et AIBJAIBJ est un parallélogramme.IJ→=IA→+AJ→=CI→+IB→=CB→\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CB}
  2. L'image — Le vecteur de la translation va de CC à B.B.C⟼BC \longmapsto B

L'image de CC est le point B.B.

Pièges anticipés

  • J / le point J / point J → JJ est l'image de I.I. On demande l'image de CC : pars de CC avec le même vecteur.
  • A / le point A / point A → AA est l'image de D,D, car le vecteur DA→\overrightarrow{DA} est égal au vecteur CB→.\overrightarrow{CB}. À partir de C,C, on arrive sur l'autre sommet.

Exercice 7 · pratique

Un antécédent

Dans la figure, ABCDABCD est un parallélogramme de centre I,I, et AIBJAIBJ est un parallélogramme. Quel est l'antécédent du point II par la translation de vecteur JA→\overrightarrow{JA} ?

DACBIJ
ABCD est un parallélogramme de centre I ; AIBJ est un parallélogramme.

Un parallélogramme ABCD : D en haut à gauche, A en haut à droite, C en bas à gauche, B en bas à droite. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en son centre I. À droite, le point J est tel que AIBJ est un parallélogramme : J est à droite de I, à la même hauteur, et les segments [AJ] et [BJ] sont tracés.

Écris le nom du point.

Réponse attendue : B — aussi acceptées : le point B · point B · c'est B · c'est le point B · = B · l'antécédent de I est B · l'antécédent de I est le point B · l'antécédent est B · l'antécédent est le point B · B a pour image I · l'antécédent de I c'est B · l'antécédent c'est B · l'antécédent de I c'est le point B

Indices, dans l’ordre

  1. L'antécédent de II est le point XX tel que le vecteur XI→\overrightarrow{XI} soit égal au vecteur JA→.\overrightarrow{JA}.
  2. AIBJAIBJ est un parallélogramme : quel côté est opposé au côté [JA][JA] ?

Correction

  1. Le parallélogramme — Dans le parallélogramme AIBJ,AIBJ, le côté [BI][BI] est opposé au côté [JA],[JA], et on les parcourt dans le même sens.BI→=JA→\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{JA}
  2. Remonter — Le vecteur qui arrive en II part donc de B.B.B⟼IB \longmapsto I

L'antécédent de II est le point B.B.

Pièges anticipés

  • D / le point D / point D → DD est l'image de I,I, car le vecteur ID→\overrightarrow{ID} est égal au vecteur JA→.\overrightarrow{JA}. Pour l'antécédent, on remonte le vecteur : on cherche le point d'où l'on part pour arriver en I.I.
  • J / le point J / point J → JJ est le point de départ du vecteur : son image est A.A. On cherche le point dont l'image est I.I.

Exercice 8 · pratique

Un barycentre qui cache une translation

Soient AA et BB deux points distincts. On désigne par ff l'application du plan qui à tout point MM associe le point M′,M', barycentre des points A,A, BB et MM affectés des coefficients 1,1, −1-1 et 1.1. On montre que le vecteur MM′→\overrightarrow{MM'} est égal à kk fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, où kk est un réel. Calculer k.k.

Donne la valeur de k.k.

Réponse attendue : -1

Indices, dans l’ordre

  1. Écris la relation vectorielle qui définit le barycentre M′.M'.
  2. Par Chasles, le vecteur M′A→\overrightarrow{M'A} moins le vecteur M′B→\overrightarrow{M'B} est le vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Correction

  1. Le barycentre — La somme des coefficients vaut 11 : le barycentre existe, et il vérifie cette relation.M′A→−M′B→+M′M→=0⃗\overrightarrow{M'A} - \overrightarrow{M'B} + \overrightarrow{M'M} = \vec{0}
  2. Chasles — Les deux premiers vecteurs se réduisent au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.BA→+M′M→=0⃗\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{M'M} = \vec{0}
  3. Le vecteur — On isole le vecteur MM′→.\overrightarrow{MM'}.MM′→=BA→=−AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}

k=−1k = -1 : l'application ff est la translation de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Pièges anticipés

  • 1 → Attention au sens : le vecteur M′A→\overrightarrow{M'A} moins le vecteur M′B→\overrightarrow{M'B} est le vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, et non le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Exercice 9 · pratique

Le vecteur de la translation

Soient AA et BB deux points distincts. À tout point MM du plan, on associe le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal au vecteur MA→\overrightarrow{MA} moins le vecteur MB→.\overrightarrow{MB}. Cette application est une translation. Quel est son vecteur ?

Écris le vecteur avec deux lettres, par exemple CD.CD.

Réponse attendue : BA — aussi acceptées : vecteur BA · le vecteur BA · \overrightarrow{BA} · BA→ · -AB · - AB · -\overrightarrow{AB} · le vecteur -AB · vecteur -AB · c'est le vecteur BA · c'est BA · c'est le vecteur -AB · c'est -AB

Indices, dans l’ordre

  1. L'opposé du vecteur MB→\overrightarrow{MB} est le vecteur BM→.\overrightarrow{BM}.
  2. Applique la relation de Chasles au vecteur BM→\overrightarrow{BM} plus le vecteur MA→.\overrightarrow{MA}.

Correction

  1. L'opposé — Soustraire le vecteur MB→,\overrightarrow{MB}, c'est ajouter le vecteur BM→.\overrightarrow{BM}.MN→=BM→+MA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA}
  2. Chasles — Le point MM disparaît : le vecteur ne dépend plus de M.M.MN→=BA→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BA}

C'est la translation de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Pièges anticipés

  • AB / vecteur AB / le vecteur AB / \overrightarrow{AB} / c'est AB / c'est le vecteur AB → Le sens est inversé : le vecteur BM→\overrightarrow{BM} plus le vecteur MA→\overrightarrow{MA} donne le vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Exercice 10 · pratique

Une distance conservée

ABCABC est un triangle rectangle en AA tel que AB=5AB = 5 et AC=12.AC = 12. On note EE et FF les images de BB et de CC par une translation. Calculer la distance EF.EF.

Donne la distance EF.EF.

Réponse attendue : 13

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve les distances : il suffit de connaître BC.BC.
  2. Dans le triangle ABC,ABC, rectangle en A,A, applique le théorème de Pythagore.

Correction

  1. Pythagore — Dans le triangle ABC,ABC, rectangle en A,A, on calcule l'hypoténuse.BC2=52+122=169BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169
  2. La distance — On prend la racine carrée, puis on utilise la conservation des distances.EF=BC=13EF = BC = 13

EF=13EF = 13 : la translation ne change aucune longueur.

Pièges anticipés

  • 17 → On n'ajoute pas les deux côtés : l'hypoténuse se calcule par le théorème de Pythagore.
  • 169 → 169169 est le carré de la distance : il reste à prendre la racine carrée.

Exercice 11 · base

Un angle conservé

Dans un triangle ABC,ABC, l'angle BAC^\widehat{BAC} mesure 3535 degrés. On note E,E, FF et GG les images de A,A, BB et CC par une translation. Combien mesure, en degrés, l'angle FEG^\widehat{FEG} ?

Donne la mesure en degrés, sans le symbole.

Réponse attendue : 35

Indices, dans l’ordre

  1. Que fait une translation aux angles ?

Correction

  1. La propriété — Une translation conserve les angles : l'angle image a la même mesure.FEG^=BAC^=35∘\widehat{FEG} = \widehat{BAC} = 35^\circ

L'angle mesure 3535 degrés : le triangle EFGEFG est superposable au triangle ABC.ABC.

Pièges anticipés

  • 145 → L'angle ne devient pas son supplémentaire : une translation ne change pas les angles.

Exercice 12 · pratique

Quel quadrilatère ?

Soit tt une translation, MM et NN deux points distincts, d'images M′M' et N′.N'. On suppose que M′M' n'est pas sur la droite (MN).(MN). Quelle est la nature du quadrilatère MNN′M′MNN'M' ?

Réponds par un mot : trapèze, parallélogramme, rectangle, losange…

Réponse attendue : parallelogramme — aussi acceptées : un parallelogramme · c'est un parallelogramme · parallélogramme · un parallélogramme · mnn'm' est un parallelogramme · le quadrilatere est un parallelogramme · le quadrilatere mnn'm' est un parallelogramme

Indices, dans l’ordre

  1. Compare le vecteur MN→\overrightarrow{MN} et le vecteur M′N′→.\overrightarrow{M'N'}.
  2. Deux vecteurs égaux : quel quadrilatère dessinent-ils ?

Correction

  1. La propriété caractéristique — Une translation ne change pas les vecteurs.M′N′→=MN→\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}
  2. Conclure — Deux côtés opposés portés par des vecteurs égaux : le quadrilatère est un parallélogramme.

MNN′M′MNN'M' est un parallélogramme.

Pièges anticipés

  • rectangle / un rectangle → Rien ne dit que les angles sont droits : on sait seulement que deux côtés opposés sont portés par des vecteurs égaux.
  • trapeze / un trapeze → C'est plus qu'un trapèze : les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Exercice 13 · pratique

L'image d'un côté

Soit ABCDABCD un parallélogramme et tt la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. Quelle est l'image de la droite (AB)(AB) par tt ?

ABCD
Le vecteur de la translation est le vecteur BC.

Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. Le côté [BC] porte le vecteur BC, en bleu.

Écris la droite avec deux sommets, par exemple (BD).(BD).

Réponse attendue : (DC) — aussi acceptées : la droite (DC) · droite (DC) · c'est (DC) · c'est la droite (DC) · l'image est (DC) · l'image est la droite (DC) · DC · la droite DC · droite DC · c'est DC · c'est la droite DC · l'image est DC · l'image est la droite DC · (CD) · la droite (CD) · droite (CD) · c'est (CD) · c'est la droite (CD) · l'image est (CD) · l'image est la droite (CD) · CD · la droite CD · droite CD · c'est CD · c'est la droite CD · l'image est CD · l'image est la droite CD

Indices, dans l’ordre

  1. Cherche l'image du point AA : compare le vecteur AD→\overrightarrow{AD} et le vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.
  2. L'image est la parallèle à (AB)(AB) qui passe par D.D.

Correction

  1. Un point — ABCDABCD est un parallélogramme : le vecteur AD→\overrightarrow{AD} est égal au vecteur BC→,\overrightarrow{BC}, qui est le vecteur de la translation.A⟼DA \longmapsto D
  2. La parallèle — L'image de la droite (AB)(AB) est la parallèle à (AB)(AB) passant par DD : dans le parallélogramme, c'est le côté opposé.(AB)⟼(DC)(AB) \longmapsto (DC)

L'image de la droite (AB)(AB) est la droite (DC).(DC).

Pièges anticipés

  • (BC) / BC / (CB) / CB / la droite (BC) / la droite BC / droite (BC) / droite BC / c'est (BC) / c'est la droite (BC) / la droite (CB) / la droite CB / droite (CB) / droite CB / c'est (CB) / c'est la droite (CB) → La droite (BC)(BC) porte le vecteur de la translation : elle est sa propre image. L'image de la droite (AB)(AB) doit être parallèle à (AB).(AB).
  • (AD) / AD / (DA) / DA / la droite (AD) / la droite AD / droite (AD) / droite AD / c'est (AD) / c'est la droite (AD) / la droite (DA) / la droite DA / droite (DA) / droite DA / c'est (DA) / c'est la droite (DA) → La droite (AD)(AD) a la direction du vecteur : elle est sa propre image. L'image de la droite (AB)(AB) lui est parallèle : c'est la parallèle à (AB)(AB) qui passe par l'image de A.A.

Exercice 14 · raisonnement

La droite qui glisse sur elle-même

Soit ABCDABCD un parallélogramme et tt la translation de vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Parmi les droites (AB),(AB), (AD),(AD), (AC)(AC) et (BD),(BD), laquelle est sa propre image par tt ?

ABCD
Le vecteur de la translation est le vecteur AC.

Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. La diagonale [AC] porte le vecteur AC, en bleu. L'autre diagonale [BD] est tracée en pointillés.

Écris la droite avec deux sommets, par exemple (CD).(CD).

Réponse attendue : (AC) — aussi acceptées : la droite (AC) · droite (AC) · c'est (AC) · c'est la droite (AC) · l'image est (AC) · l'image est la droite (AC) · AC · la droite AC · droite AC · c'est AC · c'est la droite AC · l'image est AC · l'image est la droite AC · (CA) · la droite (CA) · droite (CA) · c'est (CA) · c'est la droite (CA) · l'image est (CA) · l'image est la droite (CA) · CA · la droite CA · droite CA · c'est CA · c'est la droite CA · l'image est CA · l'image est la droite CA · la diagonale (AC) · la diagonale AC

Indices, dans l’ordre

  1. Une droite et son image sont toujours parallèles. Quand sont-elles confondues ?
  2. Cherche la droite qui a la direction du vecteur de la translation.

Correction

  1. Un point et son image — Le vecteur de la translation va de AA à CC : l'image de AA est encore un point de la droite (AC).(AC).A⟼CA \longmapsto C
  2. La parallèle — L'image de la droite (AC)(AC) est la parallèle à (AC)(AC) passant par CC : c'est la droite (AC)(AC) elle-même.(AC)⟼(AC)(AC) \longmapsto (AC)
  3. Les trois autres — Les droites (AB),(AB), (AD)(AD) et (BD)(BD) n'ont pas la direction du vecteur : l'image de chacune lui est parallèle, mais ce n'est pas la même droite.

C'est la droite (AC)(AC) : une droite qui a la direction du vecteur de la translation est sa propre image.

Pièges anticipés

  • (BD) / BD / (DB) / DB / la droite (BD) / la droite BD / droite (BD) / droite BD / c'est (BD) / c'est la droite (BD) / la droite (DB) / la droite DB / droite (DB) / droite DB / c'est (DB) / c'est la droite (DB) / la diagonale (BD) / la diagonale BD → La droite (BD)(BD) n'a pas la direction du vecteur AC→\overrightarrow{AC} : son image est une autre droite, parallèle à (BD).(BD).
  • (AB) / AB / (BA) / BA / (AD) / AD / (DA) / DA / la droite (AB) / la droite AB / droite (AB) / droite AB / c'est (AB) / c'est la droite (AB) / la droite (BA) / la droite BA / droite (BA) / droite BA / c'est (BA) / c'est la droite (BA) / la droite (AD) / la droite AD / droite (AD) / droite AD / c'est (AD) / c'est la droite (AD) / la droite (DA) / la droite DA / droite (DA) / droite DA / c'est (DA) / c'est la droite (DA) → Un côté n'a pas la direction du vecteur AC→\overrightarrow{AC} : l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (DC),(DC), et celle de la droite (AD)(AD) est la droite (BC).(BC).

Exercice 15 · pratique

Avec les milieux

Soient ABCABC un triangle et M,M, NN et PP les milieux respectifs des segments [BC],[BC], [AC][AC] et [AB].[AB]. Quelle est l'image du point CC par la translation de vecteur NP→\overrightarrow{NP} ?

ABCMNP
M, N et P sont les milieux des côtés.

Un triangle ABC : A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. M est le milieu du côté [BC], N le milieu du côté [AC] et P le milieu du côté [AB].

Écris le nom du point.

Réponse attendue : M — aussi acceptées : le point M · point M · c'est M · c'est le point M · = M · l'image de C est M · l'image de C est le point M · C a pour image M · l'image est M · l'image est le point M · l'image de C c'est M · l'image c'est M · l'image de C c'est le point M

Indices, dans l’ordre

  1. NN et PP sont les milieux de [AC][AC] et [AB][AB] : compare le vecteur NP→\overrightarrow{NP} et le vecteur CB→.\overrightarrow{CB}.
  2. Le vecteur NP→\overrightarrow{NP} est la moitié du vecteur CB→.\overrightarrow{CB}.

Correction

  1. La droite des milieux — Dans le triangle ABC,ABC, le segment qui joint les milieux de deux côtés donne la moitié du troisième.NP→=12CB→\overrightarrow{NP} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}
  2. Le milieu — MM est le milieu de [BC][BC] : le vecteur CM→\overrightarrow{CM} est aussi la moitié du vecteur CB→.\overrightarrow{CB}.CM→=NP→\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{NP}

L'image de CC est le point M.M.

Pièges anticipés

  • B / le point B / point B → Le vecteur CB→\overrightarrow{CB} est le double du vecteur NP→\overrightarrow{NP} : on s'arrête à mi-chemin.
  • P / le point P / point P → PP est l'image de N.N. On demande l'image de C.C.

Exercice 16 · raisonnement

L'image d'un segment

Soient ABCABC un triangle et MM le milieu du segment [BC].[BC]. On note tt la translation de vecteur MC→\overrightarrow{MC} et QQ l'image de AA par t.t. On donne AB=8.AB = 8. Calculer la distance MQ.MQ.

ABCMQ
M est le milieu de [BC].

Un triangle ABC : A en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. M est le milieu du côté [BC]. Le vecteur MC est tracé en bleu. Le point Q, à droite de A, est l'image de A par la translation de vecteur MC : le vecteur AQ, en bleu, est égal au vecteur MC.

Donne la distance MQ.MQ.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle est l'image du point BB par tt ?
  2. BB a pour image MM et AA a pour image QQ : quelle est l'image du segment [BA][BA] ?

Correction

  1. L'image de B — MM est le milieu de [BC][BC] : le vecteur BM→\overrightarrow{BM} est égal au vecteur MC→.\overrightarrow{MC}.B⟼MB \longmapsto M
  2. Le segment — L'image du segment [BA][BA] est le segment [MQ],[MQ], et une translation conserve les distances.MQ=BA=8MQ = BA = 8

MQ=8MQ = 8 : le segment [MQ][MQ] est l'image du segment [BA].[BA].

Pièges anticipés

  • 4 → 44 est la moitié de AB.AB. Ici le segment [MQ][MQ] est l'image du segment [BA][BA] tout entier.
  • 16 → Une translation ne double aucune longueur : l'image d'un segment a la même longueur.

Exercice 17 · pratique

Le barycentre suit

Soient II et JJ deux points tels que IJ=10,IJ = 10, et GG le barycentre des points II et JJ affectés des coefficients 22 et 3.3. On note A,A, BB et KK les images de I,I, JJ et GG par une translation. Calculer la distance AK.AK.

Donne la distance AK.AK.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. KK est le barycentre des points AA et BB affectés des mêmes coefficients 22 et 33 ; mais il est plus simple de calculer IG,IG, puisque les distances sont conservées.
  2. Le vecteur IG→\overrightarrow{IG} est égal à trois cinquièmes du vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.

Correction

  1. Placer G — En partant de I,I, c'est le coefficient de JJ qui est au numérateur, et la somme des coefficients, 2+3,2 + 3, au dénominateur.IG→=35IJ→\overrightarrow{IG} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{IJ}
  2. La distance — On calcule IG,IG, puis on utilise la conservation des distances.AK=IG=35×10=6AK = IG = \dfrac{3}{5} \times 10 = 6

AK=6.AK = 6.

Pièges anticipés

  • 4 → Tu as pris le coefficient de II : en partant de I,I, c'est le coefficient de J,J, c'est-à-dire 3,3, qui est au numérateur.

Exercice 18 · raisonnement

L'orthocentre et son image

ABCDABCD est un rectangle tel que AB=3AB = 3 et BC=5.BC = 5. MM est un point à l'intérieur de ce rectangle, et HH est l'orthocentre du triangle ABM.ABM. La perpendiculaire à la droite (AM)(AM) passant par CC et la perpendiculaire à la droite (BM)(BM) passant par DD se coupent en I.I. Calculer la distance HI.HI.

ABCDMHI
I est le point commun aux deux perpendiculaires.

Un rectangle ABCD, plus haut que large : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. À l'intérieur, un point M et le triangle ABM. H est l'orthocentre de ce triangle, sous M. Deux droites en pointillés bleus partent de C et de D et se coupent au point I, au-dessus du rectangle.

Donne la distance HI.HI.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise la translation de vecteur BC→\overrightarrow{BC} : quelle est l'image de la hauteur (BH)(BH) ?
  2. L'image de HH est le point commun aux images des deux hauteurs (AH)(AH) et (BH).(BH).

Correction

  1. La hauteur (BH) — La hauteur (BH)(BH) est perpendiculaire à la droite (AM),(AM), et BB a pour image CC : l'image de la hauteur (BH)(BH) est la perpendiculaire à (AM)(AM) passant par C.C.
  2. La hauteur (AH) — De même, AA a pour image DD : l'image de la hauteur (AH)(AH) est la perpendiculaire à (BM)(BM) passant par D.D.
  3. L'image de H — HH est le point commun aux deux hauteurs : son image est le point commun aux deux images, c'est-à-dire I.I.HI→=BC→\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{BC}
  4. La distance — Deux vecteurs égaux ont la même longueur.HI=BC=5HI = BC = 5

HI=5HI = 5 : le point II est l'image de HH par la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est la longueur AB.AB. Le vecteur de la translation est le vecteur BC→,\overrightarrow{BC}, de longueur 5.5.

Exercice 19 · base

Le rayon du cercle image

Un cercle (C)(C) a pour centre OO et pour rayon 3.3. On note (C′)(C') son image par une translation dont le vecteur a pour norme 7,7, et rr le rayon du cercle (C′).(C'). Calculer r.r.

Donne la valeur de r.r.

Réponse attendue : 3

Indices, dans l’ordre

  1. Qu'est-ce qui se déplace : le centre, ou le rayon ?

Correction

  1. La propriété — L'image d'un cercle par une translation est un cercle de même rayon : seul le centre se déplace, de 7.7.r=3r = 3

Le rayon reste égal à 3.3. C'est la distance entre les deux centres qui vaut 7.7.

Pièges anticipés

  • 10 → On n'ajoute pas la norme du vecteur au rayon : le cercle glisse, il ne grandit pas.
  • 7 → 77 est la distance entre les deux centres, pas le rayon.

Exercice 20 · raisonnement

Deux cercles de même rayon

(C1)(C_1) et (C2)(C_2) sont deux cercles de rayon 5,5, de centres II et JJ tels que IJ=6,IJ = 6, sécants en AA et B.B. La droite passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en MM et (C2)(C_2) en N.N. Calculer la distance MN.MN.

IJABMN
Les deux cercles ont le même rayon.

Deux cercles de même rayon, de centres I à gauche et J à droite, qui se coupent en deux points : A en haut et B en bas. Une droite horizontale passe par A, parallèle à la droite des centres (IJ) ; elle recoupe le cercle de gauche en M, à gauche de A, et le cercle de droite en N, à droite de A.

Donne la distance MN.MN.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise la translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} : quelle est l'image du cercle (C1)(C_1) ?
  2. L'image de MM est A,A, et l'image de AA est N.N.

Correction

  1. Les images — La translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} transforme (C1)(C_1) en (C2),(C_2), et la droite (MN)(MN) en elle-même. Les points MM et AA ont donc pour images AA et N.N.MA→=AN→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{IJ}
  2. La distance — AA est entre MM et NN : on ajoute les deux longueurs.MN=MA+AN=6+6=12MN = MA + AN = 6 + 6 = 12

MN=12MN = 12 : c'est le double de la distance entre les centres.

Pièges anticipés

  • 6 → 66 est la longueur MA,MA, ou la longueur AN.AN. La distance MNMN est la somme des deux.
  • 10 → 1010 est le diamètre d'un cercle. Ici la longueur MNMN se lit avec le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.

Exercice 21 · defi

Un diamètre caché

(C1)(C_1) et (C2)(C_2) sont deux cercles de rayon 5,5, de centres II et JJ tels que IJ=6,IJ = 6, sécants en AA et B.B. La droite passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en MM et (C2)(C_2) en N.N. Calculer la distance MB.MB.

IJABMN
Les deux cercles ont le même rayon.

Deux cercles de même rayon, de centres I à gauche et J à droite, qui se coupent en deux points : A en haut et B en bas. Une droite horizontale passe par A, parallèle à la droite des centres (IJ) ; elle recoupe le cercle de gauche en M, à gauche de A, et le cercle de droite en N, à droite de A.

Donne la distance MB.MB.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. Par la translation de vecteur IJ→,\overrightarrow{IJ}, le point MM a pour image AA : que vaut la distance MAMA ?
  2. La droite (IJ)(IJ) est la médiatrice de [AB][AB] : le triangle MABMAB est rectangle en A.A. Il te reste à calculer AB,AB, avec le losange IAJB.IAJB.

Correction

  1. La translation — La translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} transforme (C1)(C_1) en (C2),(C_2), et la droite (MN)(MN) en elle-même. Les points MM et AA ont donc pour images AA et N.N.MA=IJ=6MA = IJ = 6
  2. La corde — IA,IA, AJ,AJ, JBJB et BIBI valent tous 55 : IAJBIAJB est un losange. Ses diagonales [IJ][IJ] et [AB][AB] sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu K,K, avec IK=3.IK = 3.AK2=52−32=16doncAB=2×4=8AK^2 = 5^2 - 3^2 = 16 \quad \text{donc} \quad AB = 2 \times 4 = 8
  3. Un angle droit — La droite (MA)(MA) est parallèle à (IJ),(IJ), donc perpendiculaire à (AB)(AB) : le triangle MABMAB est rectangle en A.A.MB2=62+82=100MB^2 = 6^2 + 8^2 = 100

MB=10MB = 10 : c'est deux fois le rayon. Le segment [MB][MB] est un diamètre du cercle (C1).(C_1).

Pièges anticipés

  • 8 → 88 est la longueur de la corde [AB].[AB]. Il reste à utiliser le triangle MAB,MAB, rectangle en A.A.
  • 6 → 66 est la longueur MA,MA, un côté de l'angle droit. On demande l'hypoténuse [MB].[MB].
  • 14 → On n'ajoute pas MAMA et ABAB : dans le triangle MAB,MAB, rectangle en A,A, l'hypoténuse se calcule par le théorème de Pythagore.

Exercice 22 · pratique

Le point de contact

Soient AA et BB deux points distincts d'une droite d,d, et (C)(C) un cercle tangent à dd en B.B. L'image de (C)(C) par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA} est un cercle tangent à la droite d.d. En quel point ?

Écris le nom du point.

Réponse attendue : A — aussi acceptées : le point A · point A · c'est A · c'est le point A · = A · en A · au point A · tangent en A · il est tangent en A · le point de contact est A · le point de contact c'est A · le point de contact est le point A

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle est l'image de la droite dd par cette translation ?
  2. Le point de contact a lui aussi une image.

Correction

  1. La droite — La droite dd passe par AA et BB : elle a la direction du vecteur, donc elle est sa propre image.d⟼dd \longmapsto d
  2. Le contact — Une translation conserve le contact : le cercle image est tangent à dd au point image de B.B.B⟼AB \longmapsto A

Le cercle image est tangent à la droite dd au point A.A.

Pièges anticipés

  • B / le point B / point B / c'est B / en B / au point B / tangent en B / il est tangent en B / le point de contact est B / le point de contact c'est B → Le point de contact se déplace avec le cercle : c'est l'image de BB qu'il faut donner.

Exercice 23 · raisonnement

Deux symétries axiales

DD et D′D' sont deux droites parallèles, distantes de 2,5.2{,}5. À un point M,M, on associe son symétrique M1M_1 par rapport à D,D, puis le symétrique NN de M1M_1 par rapport à D′.D'. Calculer la distance MN.MN.

Donne la distance MN.MN.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Faire les deux symétries l'une après l'autre revient à faire une translation.
  2. Si AA est un point de DD et BB son projeté orthogonal sur D′,D', le vecteur de cette translation est deux fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. La translation — On note AA un point de DD et BB son projeté orthogonal sur D′.D'.MN→=2AB→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AB}
  2. La distance — La distance ABAB est la distance entre les deux droites.MN=2×2,5=5MN = 2 \times 2{,}5 = 5

MN=5,MN = 5, quel que soit le point M.M.

Pièges anticipés

  • 2.5 → Chaque symétrie double une distance : le vecteur de la translation est deux fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Exercice 24 · pratique

Deux symétries centrales

Soient II et JJ deux points tels que IJ=4.IJ = 4. À un point M,M, on associe son symétrique M1M_1 par rapport à I,I, puis le symétrique NN de M1M_1 par rapport à J.J. Calculer la distance MN.MN.

Donne la distance MN.MN.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. II est le milieu de [MM1][MM_1] et JJ est le milieu de [M1N].[M_1N].
  2. Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal à deux fois le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.

Correction

  1. Chasles — On passe par M1,M_1, et on écrit chaque vecteur comme le double de sa moitié.MN→=2IM1→+2M1J→=2IJ→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{IM_1} + 2\overrightarrow{M_1J} = 2\overrightarrow{IJ}
  2. La distance — On double la distance IJ.IJ.MN=2×4=8MN = 2 \times 4 = 8

MN=8MN = 8 : les deux symétries centrales reviennent à la translation de vecteur 2IJ→.2\overrightarrow{IJ}.

Pièges anticipés

  • 4 → II et JJ sont des milieux : la distance MNMN est le double de IJ.IJ.

Exercice 25 · raisonnement

Reconnaître un lieu

Soient AA et BB deux points distincts et DD une droite passant par BB et ne passant pas par A.A. Un point MM varie sur D,D, et NN est le point tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Le point NN varie alors sur une droite parallèle à D.D. Par quel point passe-t-elle ?

Écris le nom du point.

Réponse attendue : A — aussi acceptées : le point A · point A · c'est A · c'est le point A · = A · elle passe par A · elle passe par le point A · passe par A · par A · par le point A · la droite passe par A · la parallèle à D passant par A · c'est la parallèle à D passant par A · la droite parallèle à D passant par A · une droite parallèle à D passant par A · la parallèle à D qui passe par A

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle application envoie MM sur NN ?
  2. Le lieu de l'image est l'image du lieu : quel point de DD connais-tu, et quelle est son image ?

Correction

  1. La translation — NN est l'image de MM par la translation de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.
  2. Le lieu — Quand MM décrit D,D, son image décrit l'image de DD : une droite parallèle à D.D.
  3. Un point — BB est un point de DD : la droite image passe par l'image de B.B.B⟼AB \longmapsto A

NN varie sur la parallèle à DD passant par A.A.

Pièges anticipés

  • B / le point B / point B / par B / elle passe par B / c'est B / par le point B / elle passe par le point B / passe par B / la droite passe par B / la parallèle à D passant par B / la droite parallèle à D passant par B → BB est sur D,D, la ligne que décrit M.M. La ligne que décrit NN passe par l'image de B.B.

Exercice 26 · raisonnement

Le lieu quand M tourne

Soient AA et BB deux points distincts, et OO un point qui n'est pas sur la droite (AB).(AB). On note PP le point tel que ABPOABPO soit un parallélogramme. Un point MM varie sur le cercle de centre OO et de rayon 4,4, et NN est le point tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Le point NN varie sur un cercle de rayon 4.4. Quel est son centre ?

Écris le nom du point.

Réponse attendue : P — aussi acceptées : le point P · point P · c'est P · c'est le point P · = P · le centre est P · le centre est le point P · centre P · son centre est P · c'est le centre P

Indices, dans l’ordre

  1. NN est l'image de MM par une translation : laquelle ?
  2. Le centre du cercle image est l'image du centre : quel point est l'image de OO ?

Correction

  1. La translation — NN est l'image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. L'image du centre — ABPOABPO est un parallélogramme : le vecteur OP→\overrightarrow{OP} est égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.O⟼PO \longmapsto P
  3. Le cercle image — L'image du cercle de centre OO est le cercle de même rayon dont le centre est l'image de O.O.

NN varie sur le cercle de centre PP et de rayon 4.4.

Pièges anticipés

  • O / le point O / point O / c'est O / le centre est O / centre O → Le centre se déplace lui aussi : il faut donner l'image de OO par la translation.
  • B / le point B / point B → BB est l'image de A.A. Le centre du cercle est OO : c'est son image qu'il faut donner.

Exercice 27 · defi

Un lieu sur un cercle

Soient OO et AA deux points tels que OA=3,OA = 3, et (C)(C) le cercle de centre OO et de rayon OA.OA. Soit MM un point variable sur (C).(C). La droite (OM)(OM) recoupe (C)(C) en I.I. La parallèle à (OA)(OA) passant par MM coupe la droite (AI)(AI) en N.N. Calculer la distance MN.MN.

Donne la distance MN.MN.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. OO est le milieu de [IM][IM] : pense à la droite des milieux dans le triangle IMN.IMN.
  2. La droite (OA)(OA) passe par le milieu de [IM][IM] et elle est parallèle à (MN)(MN) : elle coupe le côté [IN][IN] en son milieu, qui est A.A.

Correction

  1. Le milieu — II et MM sont diamétralement opposés : OO est le milieu de [IM].[IM].
  2. La droite des milieux — Dans le triangle IMN,IMN, la droite (OA)(OA) passe par le milieu de [IM][IM] et elle est parallèle à (MN)(MN) : AA est le milieu de [IN].[IN].MN→=2OA→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{OA}
  3. La distance — On double la distance OA.OA.MN=2×3=6MN = 2 \times 3 = 6

MN=6.MN = 6. Le point NN est l'image de MM par la translation de vecteur 2OA→2\overrightarrow{OA} : il varie sur un cercle de rayon 3.3.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est la distance OA.OA. Par la droite des milieux, la longueur MNMN en est le double.

Exercice 28 · defi

Un parallélogramme dans un cercle

Soit ABCDABCD un parallélogramme inscrit dans un cercle de centre O.O. On note O′O' l'image de OO par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} : le cercle image a pour centre O′O' et le même rayon. En remarquant que le cercle image passe par BB et par C,C, trouver la nature du parallélogramme ABCD.ABCD.

Réponds par un mot : losange, rectangle, carré…

Réponse attendue : rectangle — aussi acceptées : un rectangle · c'est un rectangle · abcd est un rectangle · le parallelogramme est un rectangle · le parallelogramme abcd est un rectangle

Indices, dans l’ordre

  1. OO et O′O' sont tous les deux à égale distance de BB et de CC : que dire de la droite (OO′)(OO') et du segment [BC][BC] ?
  2. Le vecteur OO′→\overrightarrow{OO'} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : compare les directions des droites (AB)(AB) et (BC).(BC).

Correction

  1. Le cercle image — AA a pour image BB et DD a pour image CC : comme AA et DD sont sur le cercle, les points BB et CC sont sur le cercle image.
  2. Une médiatrice — Les deux cercles ont le même rayon et passent par BB et CC : OO et O′O' sont à égale distance de BB et de C.C. La droite (OO′)(OO') est la médiatrice de [BC].[BC].
  3. Un angle droit — Le vecteur OO′→\overrightarrow{OO'} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : la droite (AB)(AB) est parallèle à (OO′),(OO'), donc perpendiculaire à (BC).(BC).

ABCDABCD est un parallélogramme qui a un angle droit : c'est un rectangle.

Pièges anticipés

  • losange / un losange → Rien ne dit que les côtés sont égaux. On a trouvé un angle droit, entre les droites (AB)(AB) et (BC).(BC).
  • carre / un carre → On a bien un angle droit, mais rien ne dit que ABAB est égal à BC.BC.

Exercice 29 · raisonnement

Deux projetés orthogonaux

Soit ABCDABCD un parallélogramme qui n'est pas un rectangle, et EE le symétrique de AA par rapport à D.D. Soit HH le projeté orthogonal de DD sur la droite (AB),(AB), et KK le projeté orthogonal de EE sur la droite (CD).(CD). Quelle est la nature du quadrilatère DEKHDEKH ?

Réponds par un mot : trapèze, parallélogramme, rectangle, losange…

Réponse attendue : parallelogramme — aussi acceptées : un parallelogramme · c'est un parallelogramme · parallélogramme · un parallélogramme · dekh est un parallelogramme · le quadrilatere est un parallelogramme · le quadrilatere dekh est un parallelogramme

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise la translation de vecteur AD→\overrightarrow{AD} : quelles sont les images de AA et de DD ?
  2. Cherche l'image de la droite (AB),(AB), puis celle de la droite (DH)(DH) : le point HH est à leur intersection.

Correction

  1. Deux points — DD est le milieu du segment [AE][AE] : par la translation de vecteur AD→,\overrightarrow{AD}, AA a pour image DD et DD a pour image E.E.AD→=DE→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DE}
  2. Deux droites — L'image de la droite (AB)(AB) est la parallèle à (AB)(AB) passant par DD : c'est la droite (CD).(CD). L'image de la droite (DH)(DH) est la perpendiculaire à (CD)(CD) passant par EE : c'est la droite (EK).(EK).
  3. L'image de H — HH est le point commun aux droites (AB)(AB) et (DH)(DH) : son image est le point commun aux droites (CD)(CD) et (EK),(EK), c'est-à-dire K.K.HK→=AD→=DE→\overrightarrow{HK} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DE}

Les vecteurs HK→\overrightarrow{HK} et DE→\overrightarrow{DE} sont égaux : DEKHDEKH est un parallélogramme.

Pièges anticipés

  • rectangle / un rectangle → La droite (DH)(DH) est perpendiculaire à la droite (AB),(AB), alors que la droite (DE)(DE) n'est autre que la droite (AD),(AD), qui n'est pas parallèle à (AB)(AB) : l'angle en DD n'est pas droit. DEKHDEKH n'est jamais un rectangle.
  • losange / un losange → Rien ne dit que DEDE est égal à DH.DH. On sait seulement que deux côtés opposés sont portés par des vecteurs égaux.

Exercice 30 · pratique

Une sécante parallèle à la diagonale

Soit ABCDABCD un parallélogramme. Une droite parallèle à (AC)(AC) coupe les droites (AB),(AB), (AD),(AD), (CB)(CB) et (CD)(CD) respectivement en M,M, N,N, HH et K.K. On désigne par tt la translation de vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Quelle est l'image du point MM par tt ?

ABCDMKNH
La droite rouge est parallèle à (AC).

Un parallélogramme ABCD : A en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut à droite, D en haut à gauche. Une droite rouge, parallèle à la diagonale (AC), traverse la figure de bas en haut vers la droite. Elle coupe le prolongement de (AD) en N, sous A ; le côté [AB] en M ; le côté [CB] en H ; et le prolongement de (DC) en K, à droite de C.

Écris le nom du point.

Réponse attendue : K — aussi acceptées : le point K · point K · c'est K · c'est le point K · = K · l'image de M est K · l'image de M est le point K · M a pour image K · l'image est K · l'image est le point K · l'image de M c'est K · l'image c'est K · l'image de M c'est le point K

Indices, dans l’ordre

  1. MM est le point commun à la droite (AB)(AB) et à la droite (MN)(MN) : cherche l'image de chacune de ces deux droites.
  2. L'image de la droite (AB)(AB) est la droite (CD)(CD) ; et la droite (MN),(MN), parallèle à (AC),(AC), est sa propre image.

Correction

  1. Deux droites — AA a pour image CC : l'image de la droite (AB)(AB) est la droite (CD).(CD). La droite (MN)(MN) a la direction du vecteur : elle est sa propre image.
  2. L'intersection — L'image de MM est le point commun à ces deux images : la droite (CD)(CD) et la droite (MN).(MN).M⟼KM \longmapsto K

L'image de MM est K.K. De même, l'image de NN est HH : on en déduit que MN=KH.MN = KH.

Pièges anticipés

  • H / le point H / point H → Le point HH est sur la droite (CB),(CB), qui est l'image de la droite (AD)(AD) : c'est l'image de N.N. Pour M,M, prends l'image de la droite (AB).(AB).

Exercice 31 · defi

Le pont le mieux placé

Les berges DD et D′D' d'une rivière sont deux droites parallèles, distantes de 1.1. Le village AA est à la distance 33 de la berge D,D, et le village B,B, de l'autre côté de la rivière, est à la distance 22 de la berge D′.D'. Les projetés orthogonaux de AA et de BB sur la berge DD sont distants de 12.12. On construit le pont [MN],[MN], perpendiculaire aux berges, de façon que le trajet de AA à M,M, puis de MM à N,N, puis de NN à B,B, soit le plus court possible. Combien mesure ce trajet ?

Donne la longueur du trajet.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

  1. On note A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→\overrightarrow{MN} : alors AM=A′N.AM = A'N.
  2. Le trajet le plus court vaut la distance A′B,A'B, plus la longueur du pont. Calcule A′BA'B par le théorème de Pythagore.

Correction

  1. La translation — A′A' est l'image de AA par la translation de vecteur MN→\overrightarrow{MN} : AMNA′AMNA' est un parallélogramme, donc AM=A′N.AM = A'N. Le trajet vaut A′NA'N plus NB,NB, plus la longueur du pont.
  2. Le plus court — La somme de A′NA'N et de NBNB est la plus petite quand NN est sur le segment [A′B][A'B] : elle vaut alors A′B.A'B.
  3. Pythagore — A′A' est à la distance 33 de la berge D′,D', et BB à la distance 22 de l'autre côté : l'écart est de 55 dans un sens, et de 1212 dans l'autre.A′B2=52+122=169doncA′B=13A'B^2 = 5^2 + 12^2 = 169 \quad \text{donc} \quad A'B = 13
  4. Le trajet — On ajoute la longueur du pont.13+1=1413 + 1 = 14

Le trajet le plus court mesure 14.14.

Pièges anticipés

  • 13 → 1313 est la distance A′BA'B : il faut encore ajouter la longueur du pont, qui vaut 1.1.
  • 18 → On n'ajoute pas toutes les distances : le plus court chemin de A′A' à BB est la ligne droite, qui se calcule par le théorème de Pythagore.

Exercice 32 · raisonnement

Retrouver le vecteur

Soit ABCDABCD un parallélogramme et tt une translation qui transforme la droite (AB)(AB) en la droite (CD),(CD), et la droite (AD)(AD) en la droite (BC).(BC). Quel est le vecteur de tt ?

Écris le vecteur avec deux lettres, par exemple AB.AB.

Réponse attendue : AC — aussi acceptées : vecteur AC · le vecteur AC · \overrightarrow{AC} · AC→ · -CA · le vecteur -CA · vecteur -CA · c'est le vecteur AC · c'est AC

Indices, dans l’ordre

  1. Quel point est commun aux droites (AB)(AB) et (AD)(AD) ?
  2. L'image de AA est le point commun aux deux droites images.

Correction

  1. Un point commun — AA est le point commun aux droites (AB)(AB) et (AD)(AD) : son image est le point commun aux droites (CD)(CD) et (BC).(BC).A⟼CA \longmapsto C
  2. Le vecteur — Le vecteur d'une translation va d'un point à son image.

Le vecteur de tt est le vecteur AC→.\overrightarrow{AC}.

Pièges anticipés

  • BD / vecteur BD / le vecteur BD / c'est BD / c'est le vecteur BD → Cherche l'image d'un point précis : AA est sur les deux droites de départ, donc son image est sur les deux droites d'arrivée.
  • AB / vecteur AB / AD / vecteur AD / le vecteur AB / le vecteur AD / c'est AB / c'est AD / c'est le vecteur AB / c'est le vecteur AD → Par la translation de vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, la droite (AB)(AB) serait sa propre image ; par celle de vecteur AD→,\overrightarrow{AD}, ce serait la droite (AD).(AD). Cherche plutôt l'image du point A.A.

Exercice 33 · pratique

Deux médiatrices

Soit [AB][AB] un segment de milieu OO tel que AB=8.AB = 8. On note D1D_1 la médiatrice du segment [OA][OA] et D2D_2 celle du segment [OB].[OB]. La translation de vecteur AO→\overrightarrow{AO} transforme D1D_1 en D2.D_2. Quelle est la distance entre ces deux droites ?

Donne la distance entre les deux droites.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Les deux droites sont perpendiculaires à la droite (AB)(AB) : leur distance se lit sur le segment [AB].[AB].
  2. Le milieu de [OA][OA] a pour image le milieu de [OB][OB] : la distance cherchée est la norme du vecteur de la translation.

Correction

  1. Le vecteur — OO est le milieu de [AB].[AB].AO=82=4AO = \dfrac{8}{2} = 4
  2. La distance — Le milieu de [OA][OA] a pour image le milieu de [OB],[OB], et le vecteur est perpendiculaire aux deux droites : leur distance est la longueur AO.AO.

Les deux médiatrices sont distantes de 4.4.

Pièges anticipés

  • 8 → 88 est la longueur AB.AB. Le vecteur de la translation est le vecteur AO→,\overrightarrow{AO}, deux fois plus court.
  • 2 → 22 est la distance de AA à la première médiatrice. Entre les deux médiatrices, il y a la longueur AO.AO.

Exercice 34 · defi

La hauteur qui ne change pas

Soient AA et BB deux points d'un cercle (C)(C) de rayon 5,5, tels que AB=6.AB = 6. Soit MM un point de (C),(C), distinct de AA et de B,B, et HH l'orthocentre du triangle AMB.AMB. On note DD le point de (C)(C) diamétralement opposé à A.A. On sait que HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→.\overrightarrow{DB}. Calculer la distance MH.MH.

Donne la distance MH.MH.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Le segment [AD][AD] est un diamètre : quelle est la nature du triangle ABDABD ?
  2. Dans le triangle ABD,ABD, rectangle en B,B, l'hypoténuse [AD][AD] mesure 10.10.

Correction

  1. Un triangle rectangle — Le segment [AD][AD] est un diamètre du cercle et BB est sur le cercle : le triangle ABDABD est rectangle en B.B.AD=10AD = 10
  2. Pythagore — On calcule le côté [DB].[DB].DB2=102−62=64doncDB=8DB^2 = 10^2 - 6^2 = 64 \quad \text{donc} \quad DB = 8
  3. La translation — HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→.\overrightarrow{DB}.MH=DB=8MH = DB = 8

MH=8,MH = 8, quelle que soit la position de MM sur le cercle.

Pièges anticipés

  • 10 → 1010 est le diamètre AD.AD. Le vecteur de la translation est le vecteur DB→,\overrightarrow{DB}, un côté du triangle rectangle ABD.ABD.

Exercice 35 · base

Une somme de vecteurs

Soient A,A, B,B, CC et DD quatre points du plan. Écrire la somme AB→+BC→+CD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} sous la forme d'un seul vecteur.

Écris le vecteur avec deux lettres, par exemple EF.EF.

Réponse attendue : AD — aussi acceptées : vecteur AD · le vecteur AD · \overrightarrow{AD} · AD→ · c'est AD · c'est le vecteur AD · -DA · - DA · -\overrightarrow{DA} · le vecteur -DA · vecteur -DA

Indices, dans l’ordre

  1. Utilise la relation de Chasles sur les deux premiers vecteurs : l'extrémité du premier est l'origine du second.
  2. Ajoute ensuite le vecteur CD→\overrightarrow{CD} au vecteur obtenu.

Correction

  1. Les deux premiers — Par la relation de Chasles, le point BB disparaît.AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}
  2. Le troisième — On recommence avec le point C.C.AC→+CD→=AD→\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}

La somme est le vecteur AD→\overrightarrow{AD} : on va de la première origine à la dernière extrémité.

Pièges anticipés

  • DA / vecteur DA / le vecteur DA / \overrightarrow{DA} / c'est DA / c'est le vecteur DA → Le vecteur part de A,A, la première origine, et arrive en D,D, la dernière extrémité : c'est le vecteur AD→,\overrightarrow{AD}, pas son opposé.

Exercice 36 · base

La règle du parallélogramme

Soit ABCDABCD un parallélogramme. Écrire la somme AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} sous la forme d'un seul vecteur.

Écris le vecteur avec deux lettres, par exemple EF.EF.

Réponse attendue : AC — aussi acceptées : vecteur AC · le vecteur AC · \overrightarrow{AC} · AC→ · c'est AC · c'est le vecteur AC · -CA · - CA · -\overrightarrow{CA} · le vecteur -CA · vecteur -CA

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, le vecteur AD→\overrightarrow{AD} est égal au vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.
  2. Remplace le vecteur AD→,\overrightarrow{AD}, puis applique la relation de Chasles.

Correction

  1. Le parallélogramme — ABCDABCD est un parallélogramme : deux côtés opposés, parcourus dans le même sens, sont des vecteurs égaux.AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}
  2. Chasles — AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

La somme est le vecteur AC→\overrightarrow{AC} : c'est la diagonale issue de A.A.

Pièges anticipés

  • BD / vecteur BD / le vecteur BD / \overrightarrow{BD} / c'est BD / c'est le vecteur BD / DB / vecteur DB / le vecteur DB / \overrightarrow{DB} / c'est DB / c'est le vecteur DB → La diagonale [BD][BD] correspond à la différence des deux vecteurs. La somme du vecteur AB→\overrightarrow{AB} et du vecteur AD→\overrightarrow{AD} suit la diagonale issue de A.A.

Exercice 37 · base

Le milieu comme application

Soit AA un point du plan. À tout point MM du plan, on associe le milieu II du segment [AM][AM] (pour M=A,M = A, on prend I=AI = A). Définit-on ainsi une application du plan dans lui-même ?

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui c'est une application · c'est une application · oui une application · une application · oui on définit une application · on définit une application

Indices, dans l’ordre

  1. Pour avoir une application, il faut associer à chaque point MM un seul point.
  2. Un segment peut-il avoir plusieurs milieux ?

Correction

  1. Un seul point — Un segment a un seul milieu : chaque point MM a une seule image I.I. Pour M=A,M = A, l'image est AA lui-même.M⟼IM \longmapsto I

Oui : chaque point a une seule image, on définit bien une application du plan dans lui-même.

Pièges anticipés

  • non → Ce qui empêche d'avoir une application, c'est d'avoir plusieurs images, ou aucune. Ici chaque point MM a exactement une image : le milieu de [AM].[AM].

Exercice 38 · pratique

Deux points ou un seul ?

Soit AA un point du plan. À un point MM distinct de A,A, on veut associer un point NN tel que le triangle AMNAMN soit rectangle et isocèle en A.A. Combien de points NN conviennent ?

Réponds par : un seul, deux, ou une infinité.

Réponse attendue : deux — aussi acceptées : 2 · deux points · il y en a deux · deux points conviennent · 2 points

Indices, dans l’ordre

  1. Le point NN est à la même distance de AA que M,M, et la droite (AN)(AN) est perpendiculaire à la droite (AM).(AM).
  2. Sur la perpendiculaire à (AM)(AM) passant par A,A, combien de points sont à la distance AMAM de AA ?

Correction

  1. Traduire — Le triangle est rectangle en AA : NN est sur la perpendiculaire à la droite (AM)(AM) passant par A.A. Il est isocèle en AA : AN=AM.AN = AM.AN=AMAN = AM
  2. Compter — Sur cette perpendiculaire, il y a deux points à la distance AMAM de A,A, un de chaque côté de A.A.deux points N\text{deux points } N

Deux points conviennent : ce procédé ne définit pas une application, puisqu'un point MM aurait deux images.

Pièges anticipés

  • un / un seul / 1 / un seul point → Sur la perpendiculaire à (AM)(AM) passant par A,A, on peut reporter la longueur AMAM des deux côtés de A.A.
  • une infinité / infinité / une infinite / infini → Les points tels que AN=AMAN = AM forment un cercle, mais l'angle droit en AA n'en garde que deux.

Exercice 39 · pratique

Un point sans antécédent

Soit DD une droite. On désigne par ff l'application du plan qui à tout point MM associe son projeté orthogonal sur la droite D.D. Soit KK un point qui n'est pas sur D.D. Combien le point KK a-t-il d'antécédents par ff ?

Donne le nombre d'antécédents, ou écris « aucun ».

Réponse attendue : aucun — aussi acceptées : 0 · zéro · zero · aucun antécédent · pas d'antécédent · il n'a pas d'antécédent · il n'a aucun antécédent · il n'en a aucun · il n'en a pas

Indices, dans l’ordre

  1. Un antécédent de KK est un point MM dont l'image est K.K.
  2. Où se trouvent toutes les images par ff ?

Correction

  1. Les images — Le projeté orthogonal d'un point sur DD est toujours un point de DD : toutes les images sont sur la droite D.D.
  2. Le point K — KK n'est pas sur DD : aucun point n'a KK pour image.K∉DK \notin D

Le point KK n'a aucun antécédent. Un point de D,D, au contraire, en a une infinité : tous les points de la perpendiculaire à DD qui passe par lui.

Pièges anticipés

  • 1 / un / un seul / un seul antécédent → Si KK avait un antécédent M,M, KK serait le projeté de MM sur D,D, donc un point de D.D. Or KK n'est pas sur D.D.
  • une infinité / infinité / une infinite → C'est le cas d'un point de D.D. Ici KK n'est pas sur DD : aucun projeté ne tombe sur lui.

Exercice 40 · raisonnement

L'ordre des symétries

Soient II et JJ deux points distincts. À un point M,M, on associe son symétrique M1M_1 par rapport à J,J, puis le symétrique NN de M1M_1 par rapport à I.I. Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal à kk fois le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}. Calculer le réel k.k.

Donne la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. JJ est le milieu de [MM1][MM_1] et II est le milieu de [M1N].[M_1N].
  2. Par Chasles, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est la somme du vecteur MM1→\overrightarrow{MM_1} et du vecteur M1N→\overrightarrow{M_1N} : écris chacun comme le double d'un vecteur.

Correction

  1. Les milieux — MM1→=2JM1→;M1N→=2M1I→\overrightarrow{MM_1} = 2\overrightarrow{JM_1} \quad ; \quad \overrightarrow{M_1N} = 2\overrightarrow{M_1I}
  2. Chasles — On ajoute : le point M1M_1 disparaît.MN→=2(JM1→+M1I→)=2JI→\overrightarrow{MN} = 2\left(\overrightarrow{JM_1} + \overrightarrow{M_1I}\right) = 2\overrightarrow{JI}
  3. Le réel k — Le vecteur JI→\overrightarrow{JI} est l'opposé du vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.MN→=−2IJ→donck=−2\overrightarrow{MN} = -2\overrightarrow{IJ} \quad \text{donc} \quad k = -2

k=−2k = -2 : en commençant par la symétrie de centre J,J, on obtient la translation de vecteur 2JI→.2\overrightarrow{JI}. L'ordre des deux symétries change le vecteur en son opposé.

Pièges anticipés

  • 2 → C'est le vecteur obtenu en commençant par la symétrie de centre I.I. Ici on commence par celle de centre JJ : le vecteur est le double du vecteur JI→.\overrightarrow{JI}.
  • -1 → Chaque symétrie double un vecteur : le vecteur MM1→\overrightarrow{MM_1} vaut deux fois le vecteur JM1→.\overrightarrow{JM_1}.

Exercice 41 · pratique

Retrouver la distance des centres

Soient II et JJ deux points. À un point M,M, on associe son symétrique M1M_1 par rapport à I,I, puis le symétrique NN de M1M_1 par rapport à J.J. On mesure MN=11.MN = 11. Calculer la distance IJ.IJ.

Donne la distance IJ.IJ.

Réponse attendue : 11/2 — aussi acceptées : 5.5

Indices, dans l’ordre

  1. Faire les deux symétries l'une après l'autre revient à faire une translation : de quel vecteur ?
  2. Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal à deux fois le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.

Correction

  1. La translation — II est le milieu de [MM1][MM_1] et JJ celui de [M1N][M_1N] : par Chasles, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} vaut deux fois le vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.MN→=2IJ→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{IJ}
  2. Les distances — MN=2 IJdoncIJ=112=5,5MN = 2\,IJ \quad \text{donc} \quad IJ = \dfrac{11}{2} = 5{,}5

IJ=5,5IJ = 5{,}5 : la distance des deux centres est la moitié du déplacement.

Pièges anticipés

  • 22 → C'est MNMN qui est le double de IJ,IJ, pas l'inverse : on divise 1111 par 2.2.
  • 11 → La translation déplace chaque point de deux fois le vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} : IJIJ est la moitié de MN.MN.

Exercice 42 · base

Une image par le calcul

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne les points A(1,2),A(1, 2), B(4,−1)B(4, -1) et M(−2,3).M(-2, 3). Déterminer les coordonnées du point E,E, image de MM par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Écris le couple de coordonnées de E,E, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (1;0) — aussi acceptées : (1,0) · E(1;0) · E(1,0) · E=(1;0) · E=(1,0) · 1;0 · x=1;y=0 · x=1 et y=0 · x=1,y=0 · (x;y)=(1;0) · (x,y)=(1,0)

Indices, dans l’ordre

  1. EE est le point tel que le vecteur ME→\overrightarrow{ME} soit égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. Calcule d'abord les composantes du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : extrémité moins origine.

Correction

  1. Le vecteur AB — AB→(4−1−1−2)=(3−3)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}
  2. Le point E — Avec E(x,y),E(x, y), le vecteur ME→\overrightarrow{ME} a pour composantes x+2x + 2 et y−3.y - 3.x+2=3;y−3=−3x + 2 = 3 \quad ; \quad y - 3 = -3
  3. Résoudre — x=1;y=0doncE(1,0)x = 1 \quad ; \quad y = 0 \quad \text{donc} \quad E(1, 0)

E(1,0)E(1, 0) : on ajoute aux coordonnées de MM les composantes du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Pièges anticipés

  • (-5;6) / (-5,6) / E(-5;6) / E(-5,6) → Tu as retranché le vecteur. L'image s'obtient en ajoutant les composantes du vecteur AB→\overrightarrow{AB} aux coordonnées de M.M.
  • (2;2) / (2,2) / E(2;2) / E(2,2) → Tu as ajouté les coordonnées du point B.B. Il faut ajouter les composantes du vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, soit 33 et −3.-3.

Exercice 43 · pratique

Le long d'une diagonale

Soit ABCDABCD un carré de côté 4.4. On note EE l'image du point AA par la translation de vecteur BD→.\overrightarrow{BD}. Calculer la distance AE,AE, en valeur exacte.

Donne la distance AE,AE, en valeur exacte.

Réponse attendue : 4*sqrt(2) — aussi acceptées : sqrt(32)

Indices, dans l’ordre

  1. Par définition, le vecteur AE→\overrightarrow{AE} est égal au vecteur BD→\overrightarrow{BD} : les distances AEAE et BDBD sont égales.
  2. [BD][BD] est une diagonale du carré : applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABD.ABD.

Correction

  1. La définition — AE→=BD→doncAE=BD\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BD} \quad \text{donc} \quad AE = BD
  2. Pythagore — Le triangle ABDABD est rectangle en A.A.BD2=42+42=32BD^2 = 4^2 + 4^2 = 32
  3. La distance — AE=32=42AE = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

AE=42AE = 4\sqrt{2} : chaque point se déplace de la longueur du vecteur de la translation.

Pièges anticipés

  • 5.66 / 5.65 / 5.7 → C'est une valeur approchée : garde la racine carrée, on demande la valeur exacte.
  • 4 → 44 est le côté du carré. Le point se déplace de la longueur du vecteur BD→,\overrightarrow{BD}, qui est une diagonale.
  • 8 → On n'ajoute pas deux côtés : la diagonale se calcule par le théorème de Pythagore.
  • 32 → 3232 est le carré de la distance : prends la racine carrée.

Exercice 44 · base

Remonter le vecteur

Soit ABCDABCD un parallélogramme, et EE le symétrique de BB par rapport à A.A. Quel est l'antécédent du point AA par la translation de vecteur CD→\overrightarrow{CD} ?

Écris le nom du point.

Réponse attendue : B — aussi acceptées : le point B · point B · c'est B · c'est le point B · = B · l'antécédent est B · l'antécédent de A est B · l'antécédent est le point B · c'est l'antécédent B

Indices, dans l’ordre

  1. Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, le vecteur CD→\overrightarrow{CD} est égal à un vecteur qui arrive en AA : lequel ?
  2. L'antécédent de AA est le point XX tel que le vecteur XA→\overrightarrow{XA} soit égal au vecteur CD→.\overrightarrow{CD}.

Correction

  1. Le parallélogramme — ABCDABCD est un parallélogramme : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est égal au vecteur DC→,\overrightarrow{DC}, donc le vecteur BA→\overrightarrow{BA} est égal au vecteur CD→.\overrightarrow{CD}.BA→=CD→\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}
  2. L'antécédent — Le vecteur de la translation va de BB à A.A.B⟼AB \longmapsto A

L'antécédent de AA est le point B.B. Attention : l'image de A,A, elle, est le point E.E.

Pièges anticipés

  • E / le point E / point E → EE est l'image de AA : le vecteur AE→\overrightarrow{AE} est égal au vecteur CD→.\overrightarrow{CD}. On demande l'antécédent : le point qui arrive en A.A.
  • C / le point C / point C → CC est l'origine du vecteur : c'est l'antécédent de D,D, pas celui de A.A.

Exercice 45 · pratique

Un antécédent par le calcul

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on considère le vecteur u⃗\vec{u} de composantes −3-3 et 2,2, et le point B(1,4).B(1, 4). Déterminer les coordonnées du point CC dont l'image par la translation de vecteur u⃗\vec{u} est le point B.B.

Écris le couple de coordonnées de C,C, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (4;2) — aussi acceptées : (4,2) · C(4;2) · C(4,2) · C=(4;2) · C=(4,2) · 4;2 · x=4;y=2 · x=4 et y=2 · x=4,y=2 · (x;y)=(4;2) · (x,y)=(4,2)

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur CB→\overrightarrow{CB} est égal au vecteur u⃗.\vec{u}.
  2. Pour trouver l'antécédent, on part de BB et on remonte le vecteur : on retranche ses composantes.

Correction

  1. Traduire — Avec C(x,y),C(x, y), le vecteur CB→\overrightarrow{CB} a pour composantes 1−x1 - x et 4−y.4 - y.1−x=−3;4−y=21 - x = -3 \quad ; \quad 4 - y = 2
  2. Résoudre — x=4;y=2doncC(4,2)x = 4 \quad ; \quad y = 2 \quad \text{donc} \quad C(4, 2)

C(4,2)C(4, 2) : on retranche aux coordonnées de BB les composantes du vecteur u⃗.\vec{u}.

Pièges anticipés

  • (-2;6) / (-2,6) / C(-2;6) / C(-2,6) → Tu as calculé l'image de B.B. On cherche le point qui arrive en BB : on retranche les composantes du vecteur.

Exercice 46 · base

Le vecteur des images

Soit tt une translation, et MM et NN deux points du plan, d'images respectives PP et QQ par t.t. Le vecteur PQ→\overrightarrow{PQ} est égal à quel vecteur formé avec les points MM et NN ?

Écris le vecteur avec deux lettres, par exemple EF.EF.

Réponse attendue : MN — aussi acceptées : vecteur MN · le vecteur MN · \overrightarrow{MN} · MN→ · c'est MN · c'est le vecteur MN · -NM · - NM · -\overrightarrow{NM} · le vecteur -NM · vecteur -NM

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation ne change pas les vecteurs.
  2. PP est l'image de MM et QQ celle de NN : remplace chaque image par son point de départ.

Correction

  1. Chasles — On passe par MM et par N.N. Le vecteur MP→\overrightarrow{MP} est égal au vecteur NQ→\overrightarrow{NQ} : les vecteurs PM→\overrightarrow{PM} et NQ→\overrightarrow{NQ} sont opposés.PQ→=PM→+MN→+NQ→=MN→\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PM} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NQ} = \overrightarrow{MN}

Le vecteur PQ→\overrightarrow{PQ} est égal au vecteur MN→\overrightarrow{MN} : c'est la propriété caractéristique des translations.

Pièges anticipés

  • NM / vecteur NM / le vecteur NM / \overrightarrow{NM} / c'est NM / c'est le vecteur NM → Les deux vecteurs vont dans le même sens : de l'image de MM vers l'image de N,N, comme de MM vers N.N.

Exercice 47 · pratique

Translation ou non ?

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), une application ff du plan envoie le point A(1,0)A(1, 0) sur le point E(3,1),E(3, 1), et le point B(4,1)B(4, 1) sur le point F(5,3).F(5, 3). L'application ff peut-elle être une translation ?

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : non ce n'est pas une translation · ce n'est pas une translation · pas une translation · f n'est pas une translation · non f n'est pas une translation · non elle ne peut pas · elle ne peut pas · non f ne peut pas être une translation · f ne peut pas être une translation

Indices, dans l’ordre

  1. Si ff est une translation, le vecteur qui joint les images est égal au vecteur qui joint les points.
  2. Compare les composantes du vecteur AB→\overrightarrow{AB} et celles du vecteur EF→.\overrightarrow{EF}.

Correction

  1. Les vecteurs — AB→(31)EF→(22)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
  2. Conclure — Les deux vecteurs ne sont pas égaux, alors qu'une translation conserve les vecteurs.EF→≠AB→\overrightarrow{EF} \neq \overrightarrow{AB}

Non : ff n'est pas une translation. On le voit aussi sur les déplacements : le vecteur AE→\overrightarrow{AE} a pour composantes 22 et 1,1, le vecteur BF→\overrightarrow{BF} a pour composantes 11 et 22 ; les deux points ne bougent pas du même vecteur.

Pièges anticipés

  • oui → Pour une translation, tous les points se déplacent du même vecteur. Compare le vecteur AE→\overrightarrow{AE} et le vecteur BF→\overrightarrow{BF} : ils sont différents.

Exercice 48 · raisonnement

Un rectangle caché

Soient AA et BB deux points tels que AB=7.AB = 7. Une translation envoie AA sur EE et BB sur F.F. On sait que AE=24AE = 24 et que la droite (AE)(AE) est perpendiculaire à la droite (AB).(AB). Calculer la distance AF.AF.

Donne la distance AF.AF.

Réponse attendue : 25

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation ne change pas les vecteurs : compare le vecteur EF→\overrightarrow{EF} et le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Quelle est la nature du quadrilatère ABFEABFE ?
  2. Le quadrilatère ABFEABFE a un angle droit en AA : [AF][AF] est une de ses diagonales.

Correction

  1. Un parallélogramme — Le vecteur EF→\overrightarrow{EF} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : ABFEABFE est un parallélogramme.EF→=AB→\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}
  2. Un rectangle — Il a un angle droit en AA : c'est un rectangle. Le triangle ABFABF est donc rectangle en B,B, avec BF=AE=24.BF = AE = 24.BF=AE=24BF = AE = 24
  3. Pythagore — AF2=72+242=625doncAF=25AF^2 = 7^2 + 24^2 = 625 \quad \text{donc} \quad AF = 25

AF=25AF = 25 : la propriété caractéristique a fait apparaître un rectangle.

Pièges anticipés

  • 31 → On n'ajoute pas les deux longueurs : [AF][AF] est la diagonale d'un rectangle, elle se calcule par le théorème de Pythagore.
  • 625 → 625625 est le carré de la distance : prends la racine carrée.

Exercice 49 · base

Le périmètre de l'image

Soit ABCABC un triangle tel que AB=4,AB = 4, BC=5BC = 5 et CA=6.CA = 6. On note E,E, FF et GG les images respectives de A,A, BB et CC par une translation. Calculer le périmètre du triangle EFG.EFG.

Donne le périmètre du triangle EFG.EFG.

Réponse attendue : 15

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve les distances.
  2. Chaque côté du triangle EFGEFG a la même longueur que le côté correspondant du triangle ABC.ABC.

Correction

  1. Les côtés — Une translation conserve les distances.EF=AB=4;FG=BC=5;GE=CA=6EF = AB = 4 \quad ; \quad FG = BC = 5 \quad ; \quad GE = CA = 6
  2. Le périmètre — 4+5+6=154 + 5 + 6 = 15

Le périmètre du triangle EFGEFG est 15,15, comme celui du triangle ABC.ABC.

Exercice 50 · pratique

Trois points sur une droite

Les points A,A, BB et CC sont alignés dans cet ordre, avec AB=3AB = 3 et BC=5.BC = 5. On note FF l'image de BB par la translation de vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Calculer la distance AF.AF.

Donne la distance AF.AF.

Réponse attendue : 11

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur BF→\overrightarrow{BF} est égal au vecteur AC→\overrightarrow{AC} : il a la direction de la droite (AC)(AC) et la longueur AC.AC.
  2. Le point FF est sur la droite (AC),(AC), du côté de CC : place les points sur une règle graduée.

Correction

  1. Le vecteur — AC=AB+BC=8AC = AB + BC = 8
  2. Le point F — Le vecteur BF→\overrightarrow{BF} est égal au vecteur AC→\overrightarrow{AC} : FF est sur la droite, à 88 de B,B, du côté de C.C.BF=AC=8BF = AC = 8
  3. La distance — BB est entre AA et F.F.AF=AB+BF=3+8=11AF = AB + BF = 3 + 8 = 11

AF=11.AF = 11.

Pièges anticipés

  • 8 → 88 est la distance de AA à son image, qui est C.C. On demande la distance de AA à l'image de B.B.
  • 5 → Le point FF est du côté de CC : on avance de 88 à partir de B,B, on ne recule pas.

Exercice 51 · defi

Un losange né d'un triangle équilatéral

Soit ABCABC un triangle équilatéral de côté 6,6, et EE l'image du point AA par la translation de vecteur BC→.\overrightarrow{BC}. Calculer la distance BE,BE, en valeur exacte.

Donne la distance BE,BE, en valeur exacte.

Réponse attendue : 6*sqrt(3) — aussi acceptées : sqrt(108)

Indices, dans l’ordre

  1. Le vecteur AE→\overrightarrow{AE} est égal au vecteur BC→\overrightarrow{BC} : quelle est la nature du quadrilatère ABCEABCE ? Compare ses quatre côtés.
  2. Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : [AC][AC] et [BE][BE] sont les diagonales de ABCE.ABCE.

Correction

  1. Un losange — Le vecteur AE→\overrightarrow{AE} est égal au vecteur BC→\overrightarrow{BC} : ABCEABCE est un parallélogramme. Ses côtés consécutifs [AB][AB] et [BC][BC] ont la même longueur : c'est un losange.AB=BC=CE=EA=6AB = BC = CE = EA = 6
  2. Les diagonales — Les diagonales [AC][AC] et [BE][BE] se coupent en leur milieu K,K, à angle droit. Dans le triangle BKC,BKC, rectangle en K,K, on a KC=3.KC = 3.BK2=BC2−KC2=36−9=27BK^2 = BC^2 - KC^2 = 36 - 9 = 27
  3. La distance — BK=33doncBE=2 BK=63BK = 3\sqrt{3} \quad \text{donc} \quad BE = 2\,BK = 6\sqrt{3}

BE=63.BE = 6\sqrt{3}.

Pièges anticipés

  • 10.39 / 10.4 / 10.3 → C'est une valeur approchée : garde la racine carrée, on demande la valeur exacte.
  • 3*sqrt(3) / sqrt(27) → C'est la moitié de la diagonale [BE][BE] : les diagonales du losange se coupent en leur milieu.
  • 12 → Les points B,B, CC et EE ne sont pas alignés : la distance BEBE n'est pas la somme de BCBC et de CE.CE.

Exercice 52 · pratique

Une distance de déplacement

Soient AA et BB deux points tels que AB=3.AB = 3. À tout point M,M, on associe le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal à 22 fois le vecteur MA→\overrightarrow{MA} moins 22 fois le vecteur MB→.\overrightarrow{MB}. Calculer la distance MN.MN.

Donne la distance MN.MN.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Mets 22 en facteur : il reste le vecteur MA→\overrightarrow{MA} moins le vecteur MB→.\overrightarrow{MB}.
  2. Par Chasles, le vecteur MA→\overrightarrow{MA} moins le vecteur MB→\overrightarrow{MB} est un vecteur qui ne dépend pas de MM : lequel ?

Correction

  1. Factoriser — MN→=2(MA→−MB→)\overrightarrow{MN} = 2\left(\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB}\right)
  2. Chasles — Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} moins le vecteur MB→,\overrightarrow{MB}, c'est le vecteur BM→\overrightarrow{BM} plus le vecteur MA→\overrightarrow{MA} : c'est le vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.MN→=2BA→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{BA}
  3. La distance — MN=2×3=6MN = 2 \times 3 = 6

MN=6MN = 6 pour tout point MM : l'application est la translation de vecteur 2BA→.2\overrightarrow{BA}.

Pièges anticipés

  • 3 → N'oublie pas le facteur 22 : le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal à deux fois le vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.
  • 0 → Les deux vecteurs ne s'annulent pas : le vecteur MA→\overrightarrow{MA} moins le vecteur MB→\overrightarrow{MB} est le vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, qui n'est pas nul.

Exercice 53 · raisonnement

Translation ou pas ?

Soient A,A, BB et CC trois points non alignés. À tout point M,M, on associe le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal à la somme du vecteur MA→\overrightarrow{MA} et du vecteur MB→,\overrightarrow{MB}, moins le vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. Cette application est-elle une translation ?

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : non — aussi acceptées : non ce n'est pas une translation · ce n'est pas une translation · pas une translation · elle n'est pas une translation · non elle n'est pas une translation · non ce n'en est pas une · ce n'en est pas une

Indices, dans l’ordre

  1. Introduis le point CC dans chaque vecteur par la relation de Chasles.
  2. Après simplification, reste-t-il un vecteur qui dépend de MM ?

Correction

  1. Chasles — MN→=(MC→+CA→)+(MC→+CB→)−MC→\overrightarrow{MN} = \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA}\right) + \left(\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CB}\right) - \overrightarrow{MC}
  2. Simplifier — MN→=MC→+CA→+CB→\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}
  3. Conclure — Le vecteur MC→\overrightarrow{MC} change avec MM : pour M=C,M = C, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est la somme du vecteur CA→\overrightarrow{CA} et du vecteur CB→\overrightarrow{CB} ; pour un autre point, ce n'est plus le même vecteur.MN→ deˊpend de M\overrightarrow{MN} \text{ dépend de } M

Non : ce n'est pas une translation. Les coefficients 1,1, 11 et −1-1 ont pour somme 1,1, et non 00 : le point MM ne disparaît pas.

Pièges anticipés

  • oui → Pour une translation, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} ne doit pas dépendre de M.M. Ici, après Chasles, il reste le vecteur MC→.\overrightarrow{MC}.

Exercice 54 · raisonnement

Le bon coefficient

Soient AA et BB deux points distincts et aa un réel. À tout point M,M, on associe le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal à aa fois le vecteur MA→\overrightarrow{MA} plus 33 fois le vecteur MB→.\overrightarrow{MB}. Déterminer le réel aa pour que cette application soit une translation.

Donne la valeur de a.a.

Réponse attendue : -3

Indices, dans l’ordre

  1. Introduis le point AA dans le vecteur MB→\overrightarrow{MB} par la relation de Chasles.
  2. Il reste un multiple du vecteur MA→\overrightarrow{MA} : son coefficient doit être nul.

Correction

  1. Chasles — MN→=aMA→+3(MA→+AB→)=(a+3)MA→+3AB→\overrightarrow{MN} = a\overrightarrow{MA} + 3\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\right) = (a + 3)\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AB}
  2. La condition — Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} ne dépend pas de MM si, et seulement si, le coefficient du vecteur MA→\overrightarrow{MA} est nul.a+3=0  ⟺  a=−3a + 3 = 0 \iff a = -3

Pour a=−3,a = -3, l'application est la translation de vecteur 3AB→.3\overrightarrow{AB}.

Pièges anticipés

  • 3 → Avec a=3,a = 3, le coefficient du vecteur MA→\overrightarrow{MA} vaut 66 : il faut que a+3a + 3 soit nul.

Exercice 55 · raisonnement

Un barycentre qui glisse

Soient AA et BB deux points distincts et bb un réel. À tout point M,M, on associe le point N,N, barycentre des points A,A, BB et MM affectés des coefficients 2,2, bb et 1.1. Déterminer le réel bb pour que cette application soit une translation.

Donne la valeur de b.b.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Le barycentre NN vérifie 2NA→+bNB→+NM→=0⃗2\overrightarrow{NA} + b\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NM} = \vec{0} : exprime le vecteur MN→\overrightarrow{MN} en passant par M.M.
  2. Écris ensuite le vecteur MB→\overrightarrow{MB} en passant par AA : le coefficient du vecteur MA→\overrightarrow{MA} doit être nul.

Correction

  1. Le barycentre — La somme des coefficients est 3+b3 + b ; on la suppose non nulle. En passant par MM :(3+b)MN→=2MA→+bMB→(3 + b)\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB}
  2. Chasles — (3+b)MN→=(2+b)MA→+bAB→(3 + b)\overrightarrow{MN} = (2 + b)\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{AB}
  3. La condition — Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} ne dépend pas de MM si le coefficient du vecteur MA→\overrightarrow{MA} est nul.2+b=0  ⟺  b=−22 + b = 0 \iff b = -2

Pour b=−2,b = -2, la somme des coefficients vaut 1,1, et le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal à −2-2 fois le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : c'est la translation de vecteur 2BA→.2\overrightarrow{BA}.

Pièges anticipés

  • -3 → Pour b=−3,b = -3, la somme des coefficients est nulle : le barycentre n'existe pas.
  • 2 → Le coefficient du vecteur MA→\overrightarrow{MA} est 2+b2 + b : il s'annule pour une valeur négative de b.b.

Exercice 56 · defi

L'image de l'origine

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne les points A(1,2),A(1, 2), B(3,−1)B(3, -1) et C(−2,4).C(-2, 4). À tout point M,M, on associe le point NN tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal à 22 fois le vecteur MA→,\overrightarrow{MA}, moins le vecteur MB→,\overrightarrow{MB}, moins le vecteur MC→.\overrightarrow{MC}. Déterminer les coordonnées du point P,P, image de l'origine O.O.

Écris le couple de coordonnées de P,P, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (1;1) — aussi acceptées : (1,1) · P(1;1) · P(1,1) · P=(1;1) · P=(1,1) · 1;1 · x=1;y=1 · x=1 et y=1 · x=1,y=1 · (x;y)=(1;1) · (x,y)=(1,1)

Indices, dans l’ordre

  1. Introduis le point AA dans le vecteur MB→\overrightarrow{MB} et dans le vecteur MC→\overrightarrow{MC} : le point MM disparaît.
  2. Le vecteur de la translation est l'opposé de la somme du vecteur AB→\overrightarrow{AB} et du vecteur AC→\overrightarrow{AC} : calcule ses composantes.

Correction

  1. Chasles — MN→=2MA→−(MA→+AB→)−(MA→+AC→)=−AB→−AC→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MA} - \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\right) - \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC}\right) = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}
  2. Les composantes — AB→(2−3)AC→(−32)−AB→−AC→(11)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \quad -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
  3. L'image de O — Le vecteur OP→\overrightarrow{OP} est égal au vecteur de la translation : les coordonnées de PP sont ses composantes.P(1,1)P(1, 1)

P(1,1).P(1, 1). L'application est la translation de vecteur −AB→−AC→-\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} : les coefficients 2,2, −1-1 et −1-1 ont une somme nulle.

Pièges anticipés

  • (-1;-1) / (-1,-1) / P(-1;-1) / P(-1,-1) → Tu as pris la somme du vecteur AB→\overrightarrow{AB} et du vecteur AC→.\overrightarrow{AC}. Le vecteur de la translation est son opposé.

Exercice 57 · base

Des images alignées

Les points A,A, BB et CC sont alignés. On note E,E, FF et GG leurs images respectives par une translation. Les points E,E, FF et GG sont-ils alignés ?

Répondre par oui ou par non.

Réponse attendue : oui — aussi acceptées : oui ils sont alignés · ils sont alignés · alignés · oui alignés · oui les points sont alignés · les points sont alignés · oui e f et g sont alignés · e f et g sont alignés

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation ne change pas les vecteurs : si le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est égal à kk fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, que dire du vecteur EG→\overrightarrow{EG} ?
  2. Le vecteur EG→\overrightarrow{EG} est égal au vecteur AC→,\overrightarrow{AC}, et le vecteur EF→\overrightarrow{EF} au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Les vecteurs — A,A, BB et CC sont alignés : si AA et BB sont distincts, il existe un réel kk tel que le vecteur AC→\overrightarrow{AC} soit égal à kk fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.AC→=kAB→\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}
  2. Les images — Une translation ne change pas les vecteurs.EG→=AC→=kAB→=kEF→\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{EF}

Oui : E,E, FF et GG sont alignés. Une translation conserve l'alignement.

Pièges anticipés

  • non → Une translation déplace tous les points du même vecteur : la droite qui porte A,A, BB et CC glisse tout entière, et les images restent sur une même droite.

Exercice 58 · pratique

Le rapport conservé

Soient A,A, BB et CC trois points tels que le vecteur AC→\overrightarrow{AC} soit égal à −3-3 fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. On note E,E, FF et GG les images respectives de A,A, BB et CC par une translation. Déterminer le réel kk tel que le vecteur FG→\overrightarrow{FG} soit égal à kk fois le vecteur EF→.\overrightarrow{EF}.

Donne la valeur de k.k.

Réponse attendue : -4

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation ne change pas les vecteurs : le vecteur FG→\overrightarrow{FG} est égal au vecteur BC→,\overrightarrow{BC}, et le vecteur EF→\overrightarrow{EF} au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  2. Par Chasles, le vecteur BC→\overrightarrow{BC} est la somme du vecteur BA→\overrightarrow{BA} et du vecteur AC→\overrightarrow{AC} : exprime-le en fonction du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Les images — FG→=BC→;EF→=AB→\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{BC} \quad ; \quad \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AB}
  2. Chasles — BC→=BA→+AC→=−AB→−3AB→=−4AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AB} = -4\overrightarrow{AB}
  3. Conclure — FG→=−4EF→donck=−4\overrightarrow{FG} = -4\overrightarrow{EF} \quad \text{donc} \quad k = -4

k=−4k = -4 : les images gardent les mêmes rapports que les points de départ.

Pièges anticipés

  • -3 → −3-3 relie le vecteur AC→\overrightarrow{AC} au vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, donc le vecteur EG→\overrightarrow{EG} au vecteur EF→.\overrightarrow{EF}. On demande le vecteur FG→,\overrightarrow{FG}, qui correspond au vecteur BC→.\overrightarrow{BC}.
  • -2 → Le vecteur BA→\overrightarrow{BA} est l'opposé du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : la somme fait −AB→−3AB→,-\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AB}, soit −4AB→.-4\overrightarrow{AB}.
  • 4 → Attention au signe : BB et CC sont de part et d'autre de A,A, le vecteur BC→\overrightarrow{BC} est de sens contraire au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Exercice 59 · base

Une droite et son image

Soit DD une droite et u⃗\vec{u} un vecteur non nul qui n'a pas la direction de D.D. On note D′D' l'image de DD par la translation de vecteur u⃗.\vec{u}. Combien les droites DD et D′D' ont-elles de points communs ?

Donne le nombre de points communs, ou écris « aucun ».

Réponse attendue : aucun — aussi acceptées : 0 · zéro · zero · aucun point · aucun point commun · pas de point commun · aucun point en commun · elles n'ont aucun point commun · elles n'ont pas de point commun · il n'y a aucun point commun

Indices, dans l’ordre

  1. L'image d'une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.
  2. Prends un point AA de DD : son image A′A' est-elle sur DD ?

Correction

  1. Parallèles — L'image d'une droite par une translation lui est parallèle.D′∥DD' \parallel D
  2. Distinctes — Soit AA un point de DD et A′A' son image. Le vecteur AA′→\overrightarrow{AA'} est le vecteur u⃗,\vec{u}, qui n'a pas la direction de DD : le point A′A' n'est pas sur D.D. Les droites DD et D′D' sont parallèles et distinctes.A′∉DA' \notin D

Les droites DD et D′D' n'ont aucun point commun. Si le vecteur u⃗\vec{u} avait la direction de D,D, on aurait au contraire D′=D.D' = D.

Pièges anticipés

  • 1 / un / un seul / un point / un seul point → Deux droites qui se coupent en un seul point ne sont pas parallèles. Or l'image d'une droite par une translation lui est parallèle.

Exercice 60 · pratique

L'image d'une demi-droite

Soient AA et BB deux points distincts, et CC le symétrique de BB par rapport à A.A. Quelle est l'image de la demi-droite [AB)[AB) par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA} ?

Écris la demi-droite avec son origine en premier, par exemple [EF).[EF).

Réponse attendue : [CA) — aussi acceptées : la demi-droite [CA) · demi-droite [CA) · c'est [CA) · c'est la demi-droite [CA) · l'image est [CA) · l'image est la demi-droite [CA) · [CB) · la demi-droite [CB) · demi-droite [CB) · c'est [CB) · c'est la demi-droite [CB) · l'image est [CB) · l'image est la demi-droite [CB)

Indices, dans l’ordre

  1. L'image de la demi-droite [AB)[AB) est la demi-droite qui a pour origine l'image de AA et qui passe par l'image de B.B.
  2. Le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est égal au vecteur BA→\overrightarrow{BA} : quelle est l'image de AA ? Et celle de BB ?

Correction

  1. Les deux images — AA est le milieu de [BC][BC] : le vecteur AC→\overrightarrow{AC} est égal au vecteur BA→.\overrightarrow{BA}. Et le vecteur de la translation va de BB à A.A.A⟼C;B⟼AA \longmapsto C \quad ; \quad B \longmapsto A
  2. La demi-droite — L'image de la demi-droite [AB)[AB) a pour origine l'image de AA et passe par l'image de B.B.[AB)⟼[CA)[AB) \longmapsto [CA)

L'image est la demi-droite [CA),[CA), qui est aussi la demi-droite [CB)[CB) : elle part de CC et contient la demi-droite [AB).[AB).

Pièges anticipés

  • [AB) / la demi-droite [AB) / demi-droite [AB) → La demi-droite [AB)[AB) a la direction du vecteur, mais son origine bouge : AA a pour image C.C.
  • [AC) / la demi-droite [AC) / demi-droite [AC) → La demi-droite [AC)[AC) part de AA dans l'autre sens. L'image part de l'image de A,A, qui est C,C, et va vers l'image de B,B, qui est A.A.

Exercice 61 · raisonnement

La droite des milieux par une translation

Soit ABCABC un triangle tel que AC=10,AC = 10, et II le milieu du segment [BC].[BC]. On note tt la translation de vecteur BI→.\overrightarrow{BI}. L'image de la droite (AB)(AB) par tt coupe la droite (AC)(AC) en un point K.K. Calculer la distance AK.AK.

Donne la distance AK.AK.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. L'image de BB par tt est II : l'image de la droite (AB)(AB) est la parallèle à (AB)(AB) qui passe par I.I.
  2. Dans le triangle ABC,ABC, une droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième en son milieu.

Correction

  1. L'image de la droite — Le vecteur de la translation va de BB à II : BB a pour image I.I. L'image de la droite (AB)(AB) est donc la parallèle à (AB)(AB) passant par I.I.B⟼IB \longmapsto I
  2. La droite des milieux — Dans le triangle ABC,ABC, cette droite passe par le milieu II de [BC][BC] et elle est parallèle à (AB)(AB) : elle coupe [AC][AC] en son milieu.K est le milieu de [AC]K \text{ est le milieu de } [AC]
  3. La distance — AK=102=5AK = \dfrac{10}{2} = 5

AK=5AK = 5 : le point KK est le milieu de [AC].[AC].

Pièges anticipés

  • 10 → 1010 est la longueur du côté [AC].[AC]. Le point KK en est le milieu.

Exercice 62 · pratique

La distance entre deux droites

Soit ABCDABCD un rectangle tel que AB=6AB = 6 et AD=4.AD = 4. On note tt la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Calculer la distance entre la droite (AD)(AD) et l'image de la droite (BC)(BC) par t.t.

Donne la distance entre les deux droites.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. L'image de la droite (BC)(BC) est la parallèle à (BC)(BC) qui passe par l'image de B.B.
  2. Le point BB avance encore de 6,6, dans le sens de AA vers BB : à quelle distance de la droite (AD)(AD) arrive-t-il ?

Correction

  1. L'image de B — On note EE l'image de BB : le vecteur BE→\overrightarrow{BE} est égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Les points A,A, BB et EE sont alignés, et BB est le milieu de [AE].[AE].AE=2 AB=12AE = 2\,AB = 12
  2. L'image de la droite — L'image de la droite (BC)(BC) est la parallèle à (BC)(BC) passant par EE : elle est perpendiculaire à la droite (AE)(AE) en E,E, comme la droite (AD)(AD) l'est en A.A.
  3. La distance — Les deux droites sont perpendiculaires à la droite (AE),(AE), en AA et en EE : leur distance est AE.AE.AE=12AE = 12

La distance est 1212 : la droite (BC)(BC) a glissé de 6,6, et elle était déjà à 66 de la droite (AD).(AD).

Pièges anticipés

  • 6 → 66 est la distance entre les droites (AD)(AD) et (BC).(BC). L'image de la droite (BC)(BC) est encore 66 plus loin.
  • 10 → On n'ajoute pas ADAD : la largeur ADAD se mesure le long des deux droites, pas entre elles.

Exercice 63 · pratique

L'image d'un côté par une diagonale

Soit ABCDABCD un parallélogramme et tt la translation de vecteur BD→.\overrightarrow{BD}. Quelle est l'image de la droite (BC)(BC) par tt ?

Écris la droite avec deux sommets, par exemple (AC).(AC).

Réponse attendue : (AD) — aussi acceptées : la droite (AD) · droite (AD) · c'est (AD) · c'est la droite (AD) · l'image est (AD) · l'image est la droite (AD) · AD · la droite AD · droite AD · c'est AD · c'est la droite AD · l'image est AD · l'image est la droite AD · (DA) · la droite (DA) · droite (DA) · c'est (DA) · c'est la droite (DA) · l'image est (DA) · l'image est la droite (DA) · DA · la droite DA · droite DA · c'est DA · c'est la droite DA · l'image est DA · l'image est la droite DA

Indices, dans l’ordre

  1. Le point BB est sur la droite (BC)(BC) : quelle est son image ?
  2. L'image de la droite (BC)(BC) est la parallèle à (BC)(BC) passant par l'image de B.B.

Correction

  1. Un point — Le vecteur de la translation va de BB à DD : BB a pour image D.D.B⟼DB \longmapsto D
  2. La parallèle — L'image de la droite (BC)(BC) est la parallèle à (BC)(BC) passant par D.D. Dans le parallélogramme ABCD,ABCD, c'est la droite (AD).(AD).(BC)⟼(AD)(BC) \longmapsto (AD)

L'image de la droite (BC)(BC) est la droite (AD).(AD).

Pièges anticipés

  • (BD) / la droite (BD) / droite (BD) / c'est (BD) / c'est la droite (BD) / BD / la droite BD / droite BD / c'est BD / c'est la droite BD / (DB) / la droite (DB) / droite (DB) / c'est (DB) / c'est la droite (DB) / DB / la droite DB / droite DB / c'est DB / c'est la droite DB → La droite (BD)(BD) a la direction du vecteur : elle est sa propre image. Cherche l'image de B,B, puis trace la parallèle à (BC).(BC).
  • (BC) / la droite (BC) / droite (BC) / c'est (BC) / c'est la droite (BC) / BC / la droite BC / droite BC / c'est BC / c'est la droite BC / (CB) / la droite (CB) / droite (CB) / c'est (CB) / c'est la droite (CB) / CB / la droite CB / droite CB / c'est CB / c'est la droite CB → La droite (BC)(BC) n'a pas la direction du vecteur BD→\overrightarrow{BD} : elle n'est pas sa propre image.
  • (DC) / la droite (DC) / droite (DC) / c'est (DC) / c'est la droite (DC) / DC / la droite DC / droite DC / c'est DC / c'est la droite DC / (CD) / la droite (CD) / droite (CD) / c'est (CD) / c'est la droite (CD) / CD / la droite CD / droite CD / c'est CD / c'est la droite CD → La droite (DC)(DC) passe bien par D,D, mais elle est parallèle à (AB),(AB), pas à (BC).(BC).

Exercice 64 · base

Le milieu des images

Soit II le milieu d'un segment [AB].[AB]. Une translation envoie AA sur E,E, BB sur FF et II sur K.K. Quel point est le milieu du segment [EF][EF] ?

Écris le nom du point.

Réponse attendue : K — aussi acceptées : le point K · point K · c'est K · c'est le point K · = K · le milieu est K · le milieu est le point K · le milieu de [EF] est K

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation ne change pas les vecteurs : compare le vecteur EK→\overrightarrow{EK} et le vecteur AI→,\overrightarrow{AI}, puis le vecteur KF→\overrightarrow{KF} et le vecteur IB→.\overrightarrow{IB}.
  2. II est le milieu de [AB][AB] : le vecteur AI→\overrightarrow{AI} est égal au vecteur IB→.\overrightarrow{IB}.

Correction

  1. Les vecteurs — EK→=AI→=IB→=KF→\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{KF}
  2. Le milieu — Le vecteur EK→\overrightarrow{EK} est égal au vecteur KF→\overrightarrow{KF} : KK est le milieu de [EF].[EF].K milieu de [EF]K \text{ milieu de } [EF]

Le milieu de [EF][EF] est K,K, l'image de II : une translation conserve le milieu.

Pièges anticipés

  • I / le point I / point I → II est le milieu de [AB].[AB]. Le milieu des images est l'image du milieu.

Exercice 65 · pratique

Le milieu par le calcul

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne les points A(−1,3)A(-1, 3) et B(5,−1),B(5, -1), et le vecteur u⃗\vec{u} de composantes 22 et 4.4. On note EE et FF les images de AA et de BB par la translation de vecteur u⃗.\vec{u}. Déterminer les coordonnées du milieu KK du segment [EF].[EF].

Écris le couple de coordonnées de K,K, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (4;5) — aussi acceptées : (4,5) · K(4;5) · K(4,5) · K=(4;5) · K=(4,5) · 4;5 · x=4;y=5 · x=4 et y=5 · x=4,y=5 · (x;y)=(4;5) · (x,y)=(4,5)

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve le milieu : KK est l'image du milieu de [AB].[AB].
  2. Calcule les coordonnées du milieu II de [AB],[AB], puis ajoute les composantes du vecteur u⃗.\vec{u}.

Correction

  1. Le milieu de [AB] — I(−1+52,3−12)=I(2,1)I\left(\dfrac{-1 + 5}{2}, \dfrac{3 - 1}{2}\right) = I(2, 1)
  2. Son image — Une translation conserve le milieu : KK est l'image de I.I.K(2+2,1+4)=K(4,5)K(2 + 2, 1 + 4) = K(4, 5)

K(4,5).K(4, 5). On peut le vérifier : E(1,7)E(1, 7) et F(7,3)F(7, 3) ont bien pour milieu le point K(4,5).K(4, 5).

Pièges anticipés

  • (2;1) / (2,1) / K(2;1) / K(2,1) → (2,1)(2, 1) sont les coordonnées du milieu de [AB].[AB]. Il reste à lui appliquer la translation de vecteur u⃗.\vec{u}.
  • (8;10) / (8,10) / K(8;10) / K(8,10) → Tu as ajouté les coordonnées de EE et de FF sans diviser par 2.2.

Exercice 66 · raisonnement

Le milieu d'une diagonale image

Soit ABCDABCD un parallélogramme de centre O,O, et tt la translation de vecteur AO→.\overrightarrow{AO}. Quel est le milieu du segment image de la diagonale [BD][BD] par tt ?

Écris le nom du point.

Réponse attendue : C — aussi acceptées : le point C · point C · c'est C · c'est le point C · = C · le milieu est C · le milieu est le point C

Indices, dans l’ordre

  1. Le milieu de [BD][BD] est O,O, et une translation conserve le milieu.
  2. Quelle est l'image de OO par la translation de vecteur AO→\overrightarrow{AO} ? Pense à l'autre diagonale.

Correction

  1. Le milieu — Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu : OO est le milieu de [BD],[BD], et aussi celui de [AC].[AC].O milieu de [BD] et de [AC]O \text{ milieu de } [BD] \text{ et de } [AC]
  2. Conclure — Une translation conserve le milieu : le milieu du segment image est l'image de O.O. Comme OO est le milieu de [AC],[AC], le vecteur OC→\overrightarrow{OC} est égal au vecteur AO→.\overrightarrow{AO}.O⟼CO \longmapsto C

Le milieu du segment image de [BD][BD] est le point C.C.

Pièges anticipés

  • O / le point O / point O → OO est le milieu de [BD].[BD]. Le segment a bougé : son milieu est l'image de O.O.

Exercice 67 · pratique

Un barycentre et son image

Soient AA et BB deux points tels que AB=15,AB = 15, et GG le barycentre des points AA et BB affectés des coefficients 11 et 4.4. Une translation envoie AA sur E,E, BB sur FF et GG sur K.K. Calculer la distance EK.EK.

Donne la distance EK.EK.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve les distances : la distance EKEK est égale à la distance AG.AG.
  2. Exprime le vecteur AG→\overrightarrow{AG} en fonction du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : la somme des coefficients est 5.5.

Correction

  1. Le barycentre — La somme des coefficients est 5.5.AG→=45AB→doncAG=45×15=12\overrightarrow{AG} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB} \quad \text{donc} \quad AG = \dfrac{4}{5} \times 15 = 12
  2. L'image — La translation conserve les distances.EK=AG=12EK = AG = 12

EK=12EK = 12 : le point KK est le barycentre des points EE et FF affectés des coefficients 11 et 4.4.

Pièges anticipés

  • 3 → Le barycentre est plus près du point qui a le plus gros coefficient : GG est près de B,B, et AGAG vaut les quatre cinquièmes de AB.AB.

Exercice 68 · pratique

Un centre de gravité qui se déplace

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne les points A(1,0),A(1, 0), B(7,0)B(7, 0) et C(1,9),C(1, 9), et le vecteur u⃗\vec{u} de composantes 11 et −2.-2. On note E,E, FF et HH les images de A,A, BB et CC par la translation de vecteur u⃗.\vec{u}. Déterminer les coordonnées du centre de gravité KK du triangle EFH.EFH.

Écris le couple de coordonnées de K,K, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (4;1) — aussi acceptées : (4,1) · K(4;1) · K(4,1) · K=(4;1) · K=(4,1) · 4;1 · x=4;y=1 · x=4 et y=1 · x=4,y=1 · (x;y)=(4;1) · (x,y)=(4,1)

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve le centre de gravité : KK est l'image du centre de gravité du triangle ABC.ABC.
  2. Le centre de gravité a pour coordonnées les moyennes des coordonnées des trois sommets.

Correction

  1. Le centre de gravité — G(1+7+13,0+0+93)=G(3,3)G\left(\dfrac{1 + 7 + 1}{3}, \dfrac{0 + 0 + 9}{3}\right) = G(3, 3)
  2. Son image — K(3+1,3−2)=K(4,1)K(3 + 1, 3 - 2) = K(4, 1)

K(4,1)K(4, 1) : on translate le centre de gravité au lieu de translater les trois sommets.

Pièges anticipés

  • (3;3) / (3,3) / K(3;3) / K(3,3) → (3,3)(3, 3) sont les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.ABC. Il reste à lui appliquer la translation.
  • (2;5) / (2,5) / K(2;5) / K(2,5) → Pour l'image, on ajoute les composantes du vecteur u⃗\vec{u} : 3+13 + 1 et 3−2.3 - 2.

Exercice 69 · raisonnement

Un barycentre hors du segment

Soient AA et BB deux points tels que AB=2,AB = 2, et GG le barycentre des points AA et BB affectés des coefficients 11 et −3.-3. On note CC et KK les images respectives de BB et de GG par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Calculer la distance AK.AK.

Donne la distance AK.AK.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Exprime le vecteur AG→\overrightarrow{AG} en fonction du vecteur AB→\overrightarrow{AB} : la somme des coefficients est −2.-2.
  2. Le vecteur GK→\overrightarrow{GK} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : par Chasles, le vecteur AK→\overrightarrow{AK} est la somme du vecteur AG→\overrightarrow{AG} et du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Correction

  1. Le point G — La somme des coefficients est −2.-2.AG→=−3−2AB→=32AB→\overrightarrow{AG} = \dfrac{-3}{-2}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}
  2. Le point K — AK→=AG→+GK→=32AB→+AB→=52AB→\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GK} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = \dfrac{5}{2}\overrightarrow{AB}
  3. La distance — AK=52×2=5AK = \dfrac{5}{2} \times 2 = 5

AK=5.AK = 5. On peut le vérifier : KK est le barycentre des points BB et CC affectés des coefficients 11 et −3.-3.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est la distance AG.AG. Le point KK est l'image de GG : il faut encore avancer du vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  • 1 → Le vecteur GK→\overrightarrow{GK} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : il va dans le même sens que le vecteur AG→,\overrightarrow{AG}, les longueurs s'ajoutent.

Exercice 70 · raisonnement

Le centre de gravité du triangle image

Soit ABCABC un triangle de centre de gravité G,G, tel que AG=6.AG = 6. On note tt la translation de vecteur AG→,\overrightarrow{AG}, et EE et FF les images de BB et de CC par t.t. Soit KK le centre de gravité du triangle GEF.GEF. Calculer la distance AK.AK.

Donne la distance AK.AK.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. Quelle est l'image de AA par tt ? Le triangle GEFGEF est donc l'image du triangle ABC.ABC.
  2. Une translation conserve le centre de gravité : KK est l'image de G.G.

Correction

  1. Le triangle image — Le vecteur de la translation va de AA à GG : AA a pour image G,G, et le triangle GEFGEF est l'image du triangle ABC.ABC.A⟼G;B⟼E;C⟼FA \longmapsto G \quad ; \quad B \longmapsto E \quad ; \quad C \longmapsto F
  2. Le centre de gravité — Une translation conserve le centre de gravité : KK est l'image de G.G.GK→=AG→\overrightarrow{GK} = \overrightarrow{AG}
  3. La distance — GG est le milieu de [AK].[AK].AK=2 AG=12AK = 2\,AG = 12

AK=12AK = 12 : les points A,A, GG et KK sont alignés, et GG est le milieu de [AK].[AK].

Pièges anticipés

  • 6 → 66 est la distance AG.AG. Le point KK est l'image de GG : il est encore 66 plus loin.

Exercice 71 · base

Deux perpendiculaires

Les droites D1D_1 et D2D_2 sont perpendiculaires. On note D3D_3 et D4D_4 leurs images respectives par une translation. Quelle est, en degrés, la mesure de l'angle formé par les droites D3D_3 et D4D_4 ?

Donne la mesure en degrés, sans le symbole.

Réponse attendue : 90

Indices, dans l’ordre

  1. L'image d'une droite par une translation lui est parallèle : D3D_3 est parallèle à D1,D_1, et D4D_4 à D2.D_2.
  2. Une droite parallèle à D1D_1 et une droite parallèle à D2D_2 forment le même angle que D1D_1 et D2.D_2.

Correction

  1. Les parallèles — D3∥D1;D4∥D2D_3 \parallel D_1 \quad ; \quad D_4 \parallel D_2
  2. L'orthogonalité — D1D_1 et D2D_2 sont perpendiculaires, donc leurs parallèles D3D_3 et D4D_4 le sont aussi.D3⊥D4D_3 \perp D_4

Les droites D3D_3 et D4D_4 forment un angle de 9090 degrés : une translation conserve l'orthogonalité.

Pièges anticipés

  • 0 / 180 → Les images ne sont pas parallèles entre elles : chacune est parallèle à sa droite de départ, et ces deux droites sont perpendiculaires.

Exercice 72 · pratique

Le quadrilatère d'un triangle rectangle

Soit ABCABC un triangle rectangle en A,A, tel que AB=3AB = 3 et AC=5.AC = 5. On note EE l'image de CC par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Quelle est la nature du quadrilatère ABECABEC ?

Réponds par un mot : losange, rectangle, carré…

Réponse attendue : rectangle — aussi acceptées : un rectangle · c'est un rectangle · abec est un rectangle · le quadrilatere est un rectangle · le quadrilatere abec est un rectangle

Indices, dans l’ordre

  1. Compare le vecteur CE→\overrightarrow{CE} et le vecteur AB→\overrightarrow{AB} : quel quadrilatère dessinent-ils ?
  2. Ce quadrilatère a un angle en AA : combien mesure-t-il ?

Correction

  1. Un parallélogramme — Le vecteur CE→\overrightarrow{CE} est égal au vecteur AB→\overrightarrow{AB} : ABECABEC est un parallélogramme.CE→=AB→\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}
  2. Un angle droit — Le triangle ABCABC est rectangle en AA : le parallélogramme ABECABEC a un angle droit, c'est un rectangle. Ses côtés [AB][AB] et [AC][AC] n'ont pas la même longueur : ce n'est pas un carré.ABEC est un rectangleABEC \text{ est un rectangle}

ABECABEC est un rectangle.

Pièges anticipés

  • carre / un carre → Un carré a quatre côtés de même longueur. Ici AB=3AB = 3 et AC=5.AC = 5.
  • losange / un losange → Les côtés consécutifs [AB][AB] et [AC][AC] n'ont pas la même longueur : ce n'est pas un losange.
  • parallelogramme / un parallelogramme / c'est un parallelogramme / abec est un parallelogramme → C'est vrai, ABECABEC est un parallélogramme, mais ce n'est pas assez précis : il a un angle droit en A.A. Quel parallélogramme a un angle droit ?

Exercice 73 · base

Un angle du triangle image

Dans un triangle ABC,ABC, l'angle BAC^\widehat{BAC} mesure 5050 degrés et l'angle ABC^\widehat{ABC} mesure 6060 degrés. On note E,E, FF et GG les images de A,A, BB et CC par une translation. Combien mesure, en degrés, l'angle EGF^\widehat{EGF} ?

Donne la mesure en degrés, sans le symbole.

Réponse attendue : 70

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve les angles : l'angle EGF^\widehat{EGF} est égal à l'angle de sommet CC du triangle ABC.ABC.
  2. La somme des angles d'un triangle vaut 180180 degrés.

Correction

  1. L'angle en C — ACB^=180∘−50∘−60∘=70∘\widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ
  2. La translation — Une translation conserve les angles : l'angle en GG du triangle image est l'angle en C.C.EGF^=ACB^=70∘\widehat{EGF} = \widehat{ACB} = 70^\circ

L'angle EGF^\widehat{EGF} mesure 7070 degrés.

Pièges anticipés

  • 110 → 110110 degrés est la somme des deux angles donnés : l'angle en GG est ce qui reste pour atteindre 180180 degrés.
  • 50 / 60 → Cet angle est celui de sommet EE ou F.F. L'angle EGF^\widehat{EGF} a pour sommet G,G, l'image de C.C.

Exercice 74 · base

L'aire d'un rectangle image

Soit ABCDABCD un rectangle tel que AB=7AB = 7 et BC=4.BC = 4. On note EFGHEFGH son image par une translation. Calculer l'aire du quadrilatère EFGH,EFGH, sans écrire l'unité.

Donne l'aire, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 28

Indices, dans l’ordre

  1. L'image d'un rectangle par une translation est un rectangle qui lui est superposable.
  2. Les côtés de EFGHEFGH ont les mêmes longueurs que ceux de ABCD.ABCD.

Correction

  1. Le rectangle image — Une translation conserve les distances et les angles : EFGHEFGH est un rectangle superposable à ABCD.ABCD.EF=AB=7;FG=BC=4EF = AB = 7 \quad ; \quad FG = BC = 4
  2. L'aire — 7×4=287 \times 4 = 28

L'aire de EFGHEFGH est 28,28, comme celle de ABCD.ABCD.

Pièges anticipés

  • 22 → 2222 est le périmètre du rectangle. L'aire est le produit de la longueur par la largeur.

Exercice 75 · raisonnement

La partie commune

Soit ABCDABCD un carré de côté 66 et de centre O.O. On note EFGHEFGH l'image de ce carré par la translation de vecteur AO→.\overrightarrow{AO}. Calculer l'aire de la partie commune aux deux carrés, sans écrire l'unité.

Donne l'aire, sans écrire l'unité.

Réponse attendue : 9

Indices, dans l’ordre

  1. L'image de AA est OO : le carré EFGHEFGH a un sommet en O,O, et ses côtés sont parallèles à ceux de ABCD.ABCD.
  2. La partie commune est un carré qui a pour sommets opposés OO et CC : quelle est la longueur de son côté ?

Correction

  1. Le carré image — AA a pour image OO : le carré EFGHEFGH a pour sommet E=O,E = O, et ses côtés partent de OO parallèlement aux côtés [AB][AB] et [AD],[AD], dans le même sens.A⟼OA \longmapsto O
  2. La partie commune — Le côté de EFGHEFGH issu de OO et parallèle à (AB)(AB) passe par le milieu de [BC],[BC], celui qui est parallèle à (AD)(AD) passe par le milieu de [DC].[DC]. La partie commune est le carré de diagonale [OC],[OC], dont le côté est la moitié de 6.6.3×3=93 \times 3 = 9

L'aire de la partie commune est 9,9, le quart de l'aire du carré.

Pièges anticipés

  • 18 → La partie commune n'est pas la moitié du carré : c'est un carré de côté 3.3.
  • 36 → Les deux carrés ne se superposent pas : le carré image est décalé du vecteur AO→.\overrightarrow{AO}.

Exercice 76 · pratique

Un angle du losange image

Soit ABCDABCD un losange tel que l'angle ABC^\widehat{ABC} mesure 7070 degrés. On note E,E, F,F, GG et HH les images respectives de A,A, B,B, CC et DD par une translation. Combien mesure, en degrés, l'angle FGH^\widehat{FGH} ?

Donne la mesure en degrés, sans le symbole.

Réponse attendue : 110

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve les angles : l'angle FGH^\widehat{FGH} est égal à l'angle BCD^\widehat{BCD} du losange.
  2. Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs ont pour somme 180180 degrés.

Correction

  1. Le losange — Un losange est un parallélogramme : ses angles consécutifs sont supplémentaires.BCD^=180∘−70∘=110∘\widehat{BCD} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ
  2. La translation — FGH^=BCD^=110∘\widehat{FGH} = \widehat{BCD} = 110^\circ

L'angle FGH^\widehat{FGH} mesure 110110 degrés.

Pièges anticipés

  • 70 → 7070 degrés est l'angle en B,B, donc l'angle en F.F. L'angle FGH^\widehat{FGH} a pour sommet G,G, l'image de C.C.

Exercice 77 · base

Le centre du cercle image

Un cercle (C)(C) a pour centre OO et pour rayon 4,4, et AA est un point de (C).(C). Quel est le centre du cercle image de (C)(C) par la translation de vecteur OA→\overrightarrow{OA} ?

Écris le nom du point.

Réponse attendue : A — aussi acceptées : le point A · point A · c'est A · c'est le point A · = A · le centre est A · le centre est le point A · centre A · c'est le centre A

Indices, dans l’ordre

  1. Le cercle image a pour centre l'image du centre.
  2. Le vecteur de la translation part de OO : où arrive-t-il ?

Correction

  1. Le centre — L'image d'un cercle est le cercle de même rayon qui a pour centre l'image du centre.O⟼AO \longmapsto A
  2. Le cercle image — Le cercle image a pour centre AA et pour rayon 44 : il passe par O,O, puisque OA=4.OA = 4.(C)⟼le cercle de centre A et de rayon 4(C) \longmapsto \text{le cercle de centre } A \text{ et de rayon } 4

Le centre du cercle image est le point A.A.

Pièges anticipés

  • O / le point O / point O → Le centre aussi se déplace : OO a pour image A.A.

Exercice 78 · pratique

Le centre par le calcul

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), le cercle (C)(C) a pour centre le point K(2,−1)K(2, -1) et pour rayon 3.3. Déterminer les coordonnées du centre LL du cercle image de (C)(C) par la translation de vecteur u⃗\vec{u} de composantes −5-5 et 3.3.

Écris le couple de coordonnées de L,L, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (-3;2) — aussi acceptées : (-3,2) · L(-3;2) · L(-3,2) · L=(-3;2) · L=(-3,2) · -3;2 · x=-3;y=2 · x=-3 et y=2 · x=-3,y=2 · (x;y)=(-3;2) · (x,y)=(-3,2)

Indices, dans l’ordre

  1. Le cercle image a pour centre l'image du centre K.K.
  2. Le vecteur KL→\overrightarrow{KL} est égal au vecteur u⃗\vec{u} : ajoute ses composantes aux coordonnées de K.K.

Correction

  1. Le centre — L'image du cercle a pour centre l'image de KK et pour rayon 3.3.KL→=u⃗\overrightarrow{KL} = \vec{u}
  2. Les coordonnées — L(2−5,−1+3)=L(−3,2)L(2 - 5, -1 + 3) = L(-3, 2)

L(−3,2),L(-3, 2), et le cercle image a le même rayon, 3.3.

Pièges anticipés

  • (7;-4) / (7,-4) / L(7;-4) / L(7,-4) → Tu as retranché les composantes du vecteur : l'image s'obtient en les ajoutant.

Exercice 79 · defi

La corde commune

Un cercle (C)(C) a pour centre OO et pour rayon 13.13. On note (C′)(C') son image par une translation dont le vecteur a pour longueur 10.10. Les deux cercles se coupent en deux points PP et Q.Q. Calculer la distance PQ.PQ.

Donne la distance PQ.PQ.

Réponse attendue : 24

Indices, dans l’ordre

  1. Le cercle (C′)(C') a pour centre l'image O′O' de O,O, avec OO′=10,OO' = 10, et le même rayon que (C).(C).
  2. PP est à la même distance de OO et de O′O' : la droite (PQ)(PQ) est la médiatrice de [OO′].[OO']. Applique le théorème de Pythagore dans le triangle formé par O,O, PP et le milieu de [OO′].[OO'].

Correction

  1. Le cercle image — Le cercle (C′)(C') a pour centre O′,O', image de O,O, et pour rayon 13.13.OO′=10OO' = 10
  2. La médiatrice — PP et QQ sont chacun à la distance 1313 de OO et de O′O' : la droite (PQ)(PQ) est la médiatrice de [OO′].[OO']. Elle coupe [OO′][OO'] en son milieu I,I, qui est aussi le milieu de [PQ].[PQ].OI=5OI = 5
  3. Pythagore — Le triangle OIPOIP est rectangle en I.I.IP2=132−52=144doncIP=12IP^2 = 13^2 - 5^2 = 144 \quad \text{donc} \quad IP = 12
  4. La corde — PQ=2×12=24PQ = 2 \times 12 = 24

PQ=24.PQ = 24.

Pièges anticipés

  • 12 → 1212 est la distance IPIP : le milieu II de [OO′][OO'] est aussi le milieu de [PQ],[PQ], il faut doubler.
  • 10 → 1010 est la distance des centres OO′,OO', pas la longueur de la corde [PQ].[PQ].

Exercice 80 · pratique

Le périmètre du parallélogramme

(C1)(C_1) et (C2)(C_2) sont deux cercles de rayon 4,4, de centres respectifs II et JJ tels que IJ=3,IJ = 3, sécants en AA et B.B. La droite passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en M.M. Calculer le périmètre du quadrilatère MAJI.MAJI.

Donne le périmètre du quadrilatère MAJI.MAJI.

Réponse attendue : 14

Indices, dans l’ordre

  1. La translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} envoie le cercle (C1)(C_1) sur le cercle (C2),(C_2), et la droite (MA)(MA) sur elle-même : quelle est l'image de MM ?
  2. Le vecteur MA→\overrightarrow{MA} est égal au vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} : MAJIMAJI est un parallélogramme. Ses côtés [IM][IM] et [JA][JA] sont des rayons.

Correction

  1. La translation — La translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} envoie (C1)(C_1) sur (C2),(C_2), et la droite (MA),(MA), qui a la direction du vecteur, sur elle-même. Le point M,M, commun à cette droite et à (C1),(C_1), a pour image un point commun à la droite et à (C2)(C_2) : c'est A.A.MA→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{IJ}
  2. Les côtés — MAJIMAJI est un parallélogramme. Les côtés [MA][MA] et [JI][JI] mesurent IJ,IJ, les côtés [AJ][AJ] et [IM][IM] sont des rayons.MA=JI=3;AJ=IM=4MA = JI = 3 \quad ; \quad AJ = IM = 4
  3. Le périmètre — 2×(3+4)=142 \times (3 + 4) = 14

Le périmètre de MAJIMAJI est 14.14.

Pièges anticipés

  • 7 → 77 est la somme de deux côtés consécutifs : le parallélogramme a quatre côtés.

Exercice 81 · raisonnement

Quand le rayon égale la distance des centres

(C1)(C_1) et (C2)(C_2) sont deux cercles de rayon 5,5, de centres respectifs II et JJ tels que IJ=5,IJ = 5, sécants en AA et B.B. La droite passant par AA et parallèle à (IJ)(IJ) recoupe (C1)(C_1) en M.M. Quelle est la nature du quadrilatère MAJIMAJI ?

Réponds par un mot : losange, rectangle, carré…

Réponse attendue : losange — aussi acceptées : un losange · c'est un losange · maji est un losange · le quadrilatere est un losange · le quadrilatere maji est un losange

Indices, dans l’ordre

  1. Montre d'abord, avec la translation de vecteur IJ→,\overrightarrow{IJ}, que le vecteur MA→\overrightarrow{MA} est égal au vecteur IJ→.\overrightarrow{IJ}.
  2. Compare les longueurs MA,MA, AJ,AJ, JIJI et IM,IM, puis regarde le triangle AIJ.AIJ.

Correction

  1. Un parallélogramme — La translation de vecteur IJ→\overrightarrow{IJ} envoie (C1)(C_1) sur (C2)(C_2) et laisse la droite (MA)(MA) en place : elle envoie MM et AA sur les deux points de (C2)(C_2) de cette droite. L'image de AA n'est pas AA : l'image de MM est donc A.A.MA→=IJ→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{IJ}
  2. Les côtés — MAJIMAJI est un parallélogramme dont les côtés consécutifs [AJ][AJ] et [JI][JI] mesurent tous deux 55 : c'est un losange.AJ=JI=5AJ = JI = 5
  3. Pas un carré — Le triangle AIJAIJ a ses trois côtés égaux à 55 : il est équilatéral, et l'angle AJI^\widehat{AJI} mesure 6060 degrés, pas 90.90.AJI^=60∘\widehat{AJI} = 60^\circ

MAJIMAJI est un losange, qui n'est pas un carré.

Pièges anticipés

  • carre / un carre → Un carré a des angles droits. Ici le triangle AIJAIJ est équilatéral : l'angle en JJ mesure 6060 degrés.
  • rectangle / un rectangle → Les angles ne sont pas droits : l'angle AJI^\widehat{AJI} mesure 6060 degrés.
  • parallelogramme / un parallelogramme / c'est un parallelogramme / maji est un parallelogramme → C'est vrai, MAJIMAJI est un parallélogramme, mais ce n'est pas assez précis : compare ses côtés consécutifs [AJ][AJ] et [JI].[JI].

Exercice 82 · base

La distance du centre à la tangente

Un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 55 est tangent à une droite d.d. Une translation envoie OO sur KK et la droite dd sur une droite d1.d_1. Calculer la distance du point KK à la droite d1.d_1.

Donne la distance du point KK à la droite d1.d_1.

Réponse attendue : 5

Indices, dans l’ordre

  1. Une translation conserve le contact : l'image du cercle est tangente à l'image de la droite.
  2. Le cercle image a pour centre KK et le même rayon que (C).(C).

Correction

  1. Le contact — Le cercle image a pour centre KK et pour rayon 5,5, et il est tangent à la droite d1,d_1, image de d.d.
  2. La distance — Un cercle est tangent à une droite quand la distance de son centre à la droite est égale à son rayon.distance de K aˋ d1=5\text{distance de } K \text{ à } d_1 = 5

La distance du point KK à la droite d1d_1 est 5,5, comme celle de OO à d.d.

Pièges anticipés

  • 10 → 1010 est le diamètre. Le centre d'un cercle est à la distance d'un rayon de chaque tangente.

Exercice 83 · pratique

Un cercle qui s'éloigne

Un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 22 est tangent en AA à une droite d.d. On note KK l'image de OO par la translation de vecteur AO→.\overrightarrow{AO}. Calculer la distance du point KK à la droite d.d.

Donne la distance du point KK à la droite d.d.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Le rayon [OA][OA] est perpendiculaire à la tangente d.d.
  2. Le vecteur OK→\overrightarrow{OK} est égal au vecteur AO→\overrightarrow{AO} : les points A,A, OO et KK sont alignés sur la perpendiculaire à dd en A.A.

Correction

  1. La perpendiculaire — La tangente en AA est perpendiculaire au rayon [OA][OA] : la droite (AO)(AO) est perpendiculaire à d.d.
  2. Le point K — Le vecteur OK→\overrightarrow{OK} est égal au vecteur AO→\overrightarrow{AO} : OO est le milieu de [AK],[AK], et KK est sur la perpendiculaire à dd en A.A.AK=2 AO=4AK = 2\,AO = 4
  3. La distance — La droite (AK)(AK) est perpendiculaire à dd en AA : la distance de KK à dd est AK.AK.AK=4AK = 4

La distance de KK à dd est 44 : le cercle image, de rayon 2,2, ne touche plus la droite d.d. Il est tangent à l'image de d,d, la parallèle à dd passant par O.O.

Pièges anticipés

  • 2 → 22 est la distance de OO à d.d. Le point KK est l'image de OO : il s'éloigne encore de 2.2.
  • 0 → Le vecteur AO→\overrightarrow{AO} éloigne le cercle de la droite : KK n'est pas sur d.d.

Exercice 84 · raisonnement

Deux cercles tangents

Soient AA et BB deux points d'une droite dd tels que AB=8,AB = 8, et (C)(C) un cercle de rayon 44 tangent à dd en A.A. On note (C′)(C') l'image de (C)(C) par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Combien les cercles (C)(C) et (C′)(C') ont-ils de points communs ?

Donne le nombre de points communs.

Réponse attendue : 1 — aussi acceptées : un · un seul · un seul point · un point · un point commun · un seul point commun · ils sont tangents · tangents

Indices, dans l’ordre

  1. Le cercle (C′)(C') a pour centre l'image O′O' du centre OO de (C),(C), et le même rayon 44 : calcule la distance OO′.OO'.
  2. Compare la distance des centres à la somme des rayons.

Correction

  1. Les centres — Le vecteur OO′→\overrightarrow{OO'} est égal au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.OO′=AB=8OO' = AB = 8
  2. Comparer — La distance des centres est égale à la somme des rayons.OO′=4+4OO' = 4 + 4
  3. Conclure — Les deux cercles sont tangents extérieurement : ils ont un seul point commun, le milieu de [OO′].[OO'].(C) et (C′) sont tangents(C) \text{ et } (C') \text{ sont tangents}

Les cercles ont un seul point commun : ils sont tangents en le milieu de [OO′].[OO']. La droite d,d, elle, est tangente aux deux cercles, en AA et en B.B.

Pièges anticipés

  • 2 / deux / deux points → Deux points communs, c'est pour une distance des centres plus petite que la somme des rayons. Ici OO′=8,OO' = 8, exactement la somme des rayons.
  • 0 / aucun / aucun point → Les cercles ne sont pas trop éloignés : la distance des centres est exactement la somme des rayons.

Exercice 85 · defi

Encore tangent

Un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 33 est tangent en AA à une droite d.d. Pour un réel k,k, on considère la translation de vecteur kAO→.k\overrightarrow{AO}. Déterminer le réel k,k, non nul, pour lequel l'image de (C)(C) est encore tangente à la droite d.d.

Donne la valeur de k.k.

Réponse attendue : -2

Indices, dans l’ordre

  1. Le cercle image a pour centre l'image O′O' de OO et pour rayon 33 : il est tangent à dd quand O′O' est à la distance 33 de d.d.
  2. Le point O′O' est sur la droite (AO),(AO), perpendiculaire à d.d. Le vecteur AO′→\overrightarrow{AO'} est égal à (1+k)(1 + k) fois le vecteur AO→.\overrightarrow{AO}.

Correction

  1. Le centre image — AO′→=AO→+kAO→=(1+k)AO→\overrightarrow{AO'} = \overrightarrow{AO} + k\overrightarrow{AO} = (1 + k)\overrightarrow{AO}
  2. La condition — O′O' est sur la perpendiculaire à dd en AA : sa distance à dd est AO′,AO', et elle doit valoir le rayon.∣1+k∣×3=3  ⟺  1+k=1 ou 1+k=−1|1 + k| \times 3 = 3 \iff 1 + k = 1 \ \text{ou} \ 1 + k = -1
  3. Le réel k — La valeur k=0k = 0 ne déplace pas le cercle : on l'écarte.k=−2k = -2

k=−2k = -2 : le cercle passe de l'autre côté de dd et la touche encore en A.A.

Pièges anticipés

  • 2 → Avec k=2,k = 2, le centre s'éloigne : il est à la distance 99 de d.d.
  • -1 → Avec k=−1,k = -1, le centre arrive en A,A, sur la droite dd : le cercle coupe dd en deux points.

Exercice 86 · pratique

La distance entre les axes

DD et D′D' sont deux droites parallèles. À un point M,M, on associe son symétrique M1M_1 par rapport à D,D, puis le symétrique NN de M1M_1 par rapport à D′.D'. On mesure MN=9.MN = 9. Calculer la distance entre les droites DD et D′.D'.

Donne la distance entre les deux droites.

Réponse attendue : 9/2 — aussi acceptées : 4.5

Indices, dans l’ordre

  1. Faire les deux symétries l'une après l'autre revient à faire une translation.
  2. Le vecteur de cette translation est deux fois le vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, où AA est un point de DD et BB son projeté orthogonal sur D′.D'.

Correction

  1. La translation — MN→=2AB→\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AB}
  2. La distance — ABAB est la distance entre les deux droites.AB=MN2=92=4,5AB = \dfrac{MN}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5

Les droites DD et D′D' sont distantes de 4,5.4{,}5.

Pièges anticipés

  • 18 → C'est MNMN qui vaut le double de la distance des droites : on divise 99 par 2.2.
  • 9 → Chaque symétrie double une distance : le déplacement MNMN est deux fois la distance entre les droites.

Exercice 87 · raisonnement

Un point sur le second axe

DD et D′D' sont deux droites parallèles, distantes de 2,2, et MM est un point de D′.D'. On note M1M_1 le symétrique de MM par rapport à D,D, puis NN le symétrique de M1M_1 par rapport à D′.D'. Calculer la distance M1N.M_1N.

Donne la distance M1N.M_1N.

Réponse attendue : 8

Indices, dans l’ordre

  1. Place les points sur la perpendiculaire aux deux droites qui passe par M.M.
  2. MM est à la distance 22 de DD : à quelle distance de D′D' se trouve M1M_1 ?

Correction

  1. Le point M1 — MM est sur D′,D', donc à la distance 22 de D.D. Son symétrique M1M_1 est de l'autre côté de D,D, à la distance 22 : il est à la distance 44 de D′.D'.MM1=4MM_1 = 4
  2. Le point N — NN est le symétrique de M1M_1 par rapport à D′D' : il est de l'autre côté de D′,D', à la même distance 4.4.M1N=2×4=8M_1N = 2 \times 4 = 8

M1N=8.M_1N = 8. Le déplacement MN,MN, lui, vaut 44 : deux fois la distance des droites, comme pour tout point.

Pièges anticipés

  • 4 → 44 est la distance MN,MN, le déplacement de la translation. On demande la distance de M1M_1 à N.N.

Exercice 88 · base

La médiatrice comme lieu

Soient AA et BB deux points distincts. Quel est le lieu des points MM du plan tels que MA=MBMA = MB ?

Nomme la ligne, par exemple « le cercle de centre AA ».

Réponse attendue : la médiatrice de [AB] — aussi acceptées : médiatrice de [AB] · la médiatrice du segment [AB] · médiatrice du segment [AB] · la médiatrice · médiatrice · la médiatrice de AB · médiatrice de AB · c'est la médiatrice de [AB] · c'est la médiatrice · la médiatrice de [BA] · médiatrice de [BA]

Indices, dans l’ordre

  1. MM est à la même distance de AA et de B.B.
  2. Quelle droite est formée des points équidistants des extrémités d'un segment ?

Correction

  1. Équidistant — Un point MM tel que MA=MBMA = MB est à égale distance des extrémités du segment [AB].[AB].MA=MBMA = MB
  2. Le lieu — Les points équidistants de AA et de BB forment la perpendiculaire à (AB)(AB) passant par le milieu de [AB].[AB].la meˊdiatrice de [AB]\text{la médiatrice de } [AB]

Le lieu est la médiatrice du segment [AB].[AB].

Pièges anticipés

  • le cercle de diamètre [AB] / cercle de diamètre [AB] / le cercle / cercle → Le cercle de diamètre [AB][AB] est le lieu des points d'où l'on voit [AB][AB] sous un angle droit. Ici on veut MA=MB.MA = MB.
  • (AB) / la droite (AB) / droite (AB) → Sur la droite (AB),(AB), seul le milieu de [AB][AB] est à égale distance de AA et de B.B.

Exercice 89 · defi

La plus courte diagonale

On considère deux droites DD et D′D' perpendiculaires en un point O,O, et un point AA qui n'est ni sur DD ni sur D′,D', tel que OA=10.OA = 10. Soit MM un point variable sur D.D. La perpendiculaire à la droite (AM)(AM) passant par AA coupe la droite D′D' en N.N. Calculer la plus petite valeur possible de la distance MN.MN.

Donne la plus petite valeur de MN.MN.

Réponse attendue : 10

Indices, dans l’ordre

  1. On note II le milieu de [MN][MN] : les triangles MONMON et MANMAN sont rectangles, en OO et en A.A. Compare IO,IO, IAIA et MN.MN.
  2. II est sur la médiatrice de [OA][OA] : quelle est la plus petite distance possible entre II et OO ?

Correction

  1. Les milieux — Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets.IO=IA=MN2IO = IA = \dfrac{MN}{2}
  2. Le lieu de I — II est sur la médiatrice de [OA].[OA]. Le point de cette droite le plus proche de OO est le milieu de [OA].[OA].IO⩾OA2=5IO \geqslant \dfrac{OA}{2} = 5
  3. Le minimum — Il est atteint quand MM est le projeté orthogonal de AA sur DD : OMANOMAN est alors un rectangle.MN=2 IO⩾10MN = 2\,IO \geqslant 10

La plus petite valeur de MNMN est 10,10, la longueur OAOA : c'est quand OMANOMAN est un rectangle, dont [MN][MN] et [OA][OA] sont les diagonales.

Pièges anticipés

  • 5 → 55 est la plus petite valeur de IO.IO. La distance MNMN en est le double.
  • 20 → MNMN vaut deux fois IO,IO, et IOIO vaut au moins la moitié de OAOA : le minimum est OAOA lui-même.

Exercice 90 · raisonnement

Une droite décalée

Soit DD une droite, AA un point de DD et BB un point tel que la droite (AB)(AB) soit perpendiculaire à DD et que AB=3.AB = 3. Un point MM varie sur D,D, et NN est le point tel que le vecteur MN→\overrightarrow{MN} soit égal à 22 fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}. Le point NN décrit une droite. Calculer la distance entre cette droite et la droite D.D.

Donne la distance entre les deux droites.

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. NN est l'image de MM par la translation de vecteur 2AB→2\overrightarrow{AB} : le lieu de NN est l'image de D.D.
  2. Cherche l'image de AA : à quelle distance de DD est-elle ?

Correction

  1. Le lieu — NN est l'image de MM par la translation de vecteur 2AB→.2\overrightarrow{AB}. Quand MM décrit D,D, NN décrit l'image de DD : la parallèle à DD passant par l'image EE de A.A.AE→=2AB→\overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AB}
  2. La distance — La droite (AE)(AE) est perpendiculaire à DD en AA : la distance entre les deux droites est AE.AE.AE=2×3=6AE = 2 \times 3 = 6

Le point NN décrit la parallèle à DD située à la distance 6,6, du côté de B.B.

Pièges anticipés

  • 3 → 33 est la distance AB.AB. Le vecteur de la translation est deux fois le vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Exercice 91 · raisonnement

Le centre du lieu

Soient OO et AA deux points tels que OA=8,OA = 8, et (C)(C) le cercle de centre OO et de rayon 2.2. Un point MM varie sur (C),(C), et NN est le point tel que le vecteur NM→\overrightarrow{NM} soit égal au vecteur OA→.\overrightarrow{OA}. Le point NN décrit un cercle. Calculer la distance entre le point AA et le centre de ce cercle.

Donne la distance entre AA et le centre du cercle.

Réponse attendue : 16

Indices, dans l’ordre

  1. Attention à l'ordre des lettres : c'est le vecteur NM→\overrightarrow{NM} qui est donné. Écris le vecteur MN→.\overrightarrow{MN}.
  2. Le centre du cercle décrit par NN est l'image de OO par la translation de vecteur AO→.\overrightarrow{AO}.

Correction

  1. La translation — Le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est l'opposé du vecteur NM→.\overrightarrow{NM}.MN→=−OA→=AO→\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}
  2. Le centre — NN décrit l'image de (C)(C) : le cercle de rayon 22 dont le centre KK est l'image de O.O.OK→=AO→\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{AO}
  3. La distance — Le point OO est le milieu de [AK].[AK].AK=2 AO=16AK = 2\,AO = 16

Le centre du cercle décrit par NN est à la distance 1616 de A.A.

Pièges anticipés

  • 0 → Le centre serait AA avec la translation de vecteur OA→.\overrightarrow{OA}. Ici le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est l'opposé : c'est le vecteur AO→.\overrightarrow{AO}.
  • 8 → 88 est la distance de AA à O.O. Le centre du cercle décrit par NN est l'image de O,O, encore 88 plus loin.

Exercice 92 · raisonnement

Un parallélogramme qui devient rectangle

Soient AA et BB deux points tels que AB=15.AB = 15. Un point MM varie sur le cercle de centre AA et de rayon 8,8, et NN est le point tel que ABNMABNM soit un parallélogramme. Calculer la distance ANAN lorsque la droite (AM)(AM) est perpendiculaire à la droite (AB).(AB).

Donne la distance AN.AN.

Réponse attendue : 17

Indices, dans l’ordre

  1. ABNMABNM est un parallélogramme : le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur AB→,\overrightarrow{AB}, et BN=AM.BN = AM.
  2. Quand l'angle en AA est droit, le parallélogramme est un rectangle : [AN][AN] en est une diagonale.

Correction

  1. Le rectangle — ABNMABNM est un parallélogramme avec un angle droit en AA : c'est un rectangle, et BN=AM=8.BN = AM = 8.BN=AM=8BN = AM = 8
  2. Pythagore — Le triangle ABNABN est rectangle en B.B.AN2=152+82=289doncAN=17AN^2 = 15^2 + 8^2 = 289 \quad \text{donc} \quad AN = 17

AN=17.AN = 17. Quand MM décrit son cercle, NN décrit le cercle de centre BB et de rayon 8,8, image du premier par la translation de vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.

Pièges anticipés

  • 23 → On n'ajoute pas les deux côtés : [AN][AN] est la diagonale d'un rectangle, elle se calcule par le théorème de Pythagore.
  • 289 → 289289 est le carré de la distance : prends la racine carrée.

Exercice 93 · raisonnement

La corde retrouvée par les orthocentres

Soient AA et BB deux points d'un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 6,5.6{,}5. Pour un point MM de (C),(C), distinct de AA et de B,B, on note HH l'orthocentre du triangle AMB.AMB. Le point HH décrit un cercle de centre K,K, et on mesure OK=5.OK = 5. Calculer la distance AB.AB.

Donne la distance AB.AB.

Réponse attendue : 12

Indices, dans l’ordre

  1. On note DD le point de (C)(C) diamétralement opposé à AA : le point HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→,\overrightarrow{DB}, et KK est l'image de O.O.
  2. La distance OKOK est donc égale à la distance DB.DB. Le triangle ABDABD est rectangle en BB : applique le théorème de Pythagore.

Correction

  1. La translation — HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→\overrightarrow{DB} : il décrit l'image du cercle (C),(C), dont le centre KK est l'image de O.O.OK→=DB→doncDB=OK=5\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{DB} \quad \text{donc} \quad DB = OK = 5
  2. Le triangle ABD — [AD][AD] est un diamètre : AD=13,AD = 13, et le triangle ABDABD est rectangle en B.B.AB2=AD2−DB2=132−52=144AB^2 = AD^2 - DB^2 = 13^2 - 5^2 = 144
  3. La distance — AB=12AB = 12

AB=12AB = 12 : la distance OKOK est la longueur du vecteur DB→,\overrightarrow{DB}, et le théorème de Pythagore dans le triangle ABDABD donne la corde.

Pièges anticipés

  • 8 → On ne retranche pas les longueurs : dans le triangle ABD,ABD, rectangle en B,B, ce sont les carrés qui se retranchent.
  • sqrt(194) → L'hypoténuse du triangle ABDABD est le diamètre [AD][AD] : on retranche le carré de DBDB au carré de AD,AD, on ne les ajoute pas.
  • 144 → 144144 est le carré de la distance : prends la racine carrée.
  • 5 → 55 est la distance OK,OK, égale à la distance DBDB : c'est un côté de l'angle droit du triangle ABD.ABD. On demande la corde AB.AB.
  • 13 → 1313 est le diamètre AD,AD, l'hypoténuse du triangle ABD.ABD. La corde ABAB se calcule par le théorème de Pythagore.

Exercice 94 · defi

De l'autre côté de la corde

Soient AA et BB deux points d'un cercle (C)(C) de centre OO et de rayon 10,10, tels que AB=16.AB = 16. Pour un point MM de (C),(C), distinct de AA et de B,B, on note HH l'orthocentre du triangle AMBAMB ; il décrit un cercle de centre K.K. Calculer la distance du point KK à la droite (AB).(AB).

Donne la distance du point KK à la droite (AB).(AB).

Réponse attendue : 6

Indices, dans l’ordre

  1. Le point HH est l'image de MM par la translation de vecteur DB→,\overrightarrow{DB}, où DD est le point de (C)(C) diamétralement opposé à AA : KK est l'image de O.O.
  2. On note II le milieu de [AB].[AB]. Dans le triangle ABD,ABD, la droite (OI)(OI) joint les milieux de deux côtés : compare le vecteur DB→\overrightarrow{DB} et le vecteur OI→.\overrightarrow{OI}.

Correction

  1. Le centre K — OK→=DB→\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{DB}
  2. La droite des milieux — OO est le milieu de [AD][AD] et II celui de [AB][AB] : dans le triangle ABD,ABD, le vecteur DB→\overrightarrow{DB} est le double du vecteur OI→.\overrightarrow{OI}.OK→=2OI→\overrightarrow{OK} = 2\overrightarrow{OI}
  3. Le symétrique — II est le milieu de [OK],[OK], et la droite (OI)(OI) est perpendiculaire à (AB)(AB) : KK est le symétrique de OO par rapport à la droite (AB).(AB).
  4. La distance — Dans le triangle OIA,OIA, rectangle en I,I, on a IA=8.IA = 8.OI2=102−82=36doncIK=OI=6OI^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \quad \text{donc} \quad IK = OI = 6

Le point KK est à la distance 66 de la droite (AB)(AB) : c'est le symétrique de OO par rapport à (AB).(AB).

Pièges anticipés

  • 12 → 1212 est la distance OK.OK. On demande la distance de KK à la droite (AB),(AB), qui coupe [OK][OK] en son milieu.
  • 8 → 88 est la moitié de la corde AB.AB. La distance cherchée se lit sur la perpendiculaire à (AB).(AB).

Exercice 95 · pratique

Le triangle des milieux

On veut construire un triangle ABCABC dont les milieux des côtés [BC],[BC], [AC][AC] et [AB][AB] sont trois points donnés I,I, JJ et K,K, avec IJ=4,IJ = 4, JK=5JK = 5 et KI=6.KI = 6. Calculer le périmètre du triangle ABCABC ainsi construit.

Donne le périmètre du triangle ABC.ABC.

Réponse attendue : 30

Indices, dans l’ordre

  1. Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.
  2. [IJ][IJ] joint les milieux de [BC][BC] et de [AC][AC] : il mesure la moitié de AB.AB.

Correction

  1. Les côtés — Par la droite des milieux, chaque côté du triangle ABCABC mesure le double du segment qui lui est parallèle.AB=2 IJ=8;BC=2 JK=10;AC=2 KI=12AB = 2\,IJ = 8 \quad ; \quad BC = 2\,JK = 10 \quad ; \quad AC = 2\,KI = 12
  2. Le périmètre — 8+10+12=308 + 10 + 12 = 30

Le périmètre du triangle ABCABC est 30,30, le double de celui du triangle IJK.IJK.

Pièges anticipés

  • 15 → 1515 est le périmètre du triangle IJK.IJK. Chaque côté de ABCABC mesure le double.
  • 7.5 → Les côtés de ABCABC sont plus longs que ceux de IJKIJK : on double, on ne divise pas.

Exercice 96 · base

Combien de solutions ?

Soient I,I, JJ et KK trois points non alignés. Combien existe-t-il de triangles ABCABC tels que II soit le milieu de [BC],[BC], JJ celui de [AC][AC] et KK celui de [AB][AB] ?

Donne le nombre de triangles.

Réponse attendue : 1 — aussi acceptées : un · un seul · un seul triangle · un triangle · une seule solution · il y en a un seul · il n'y en a qu'un · un seul triangle convient

Indices, dans l’ordre

  1. Reprends l'analyse : la droite (AB)(AB) est parallèle à la droite (IJ)(IJ) et passe par K.K.
  2. Les trois côtés du triangle sont des droites entièrement déterminées : en combien de points se coupent-elles deux à deux ?

Correction

  1. Analyse — Si ABCABC convient, la droite (AB)(AB) est la parallèle à (IJ)(IJ) passant par K,K, la droite (AC)(AC) la parallèle à (IK)(IK) passant par J,J, et la droite (BC)(BC) la parallèle à (JK)(JK) passant par I.I.(AB)∥(IJ);(AC)∥(IK);(BC)∥(JK)(AB) \parallel (IJ) \quad ; \quad (AC) \parallel (IK) \quad ; \quad (BC) \parallel (JK)
  2. Synthèse — Ces trois droites sont imposées : elles se coupent deux à deux en trois points, qui sont forcément A,A, BB et C.C. Et le triangle obtenu a bien I,I, JJ et KK pour milieux.un seul triangle ABC\text{un seul triangle } ABC

Il existe un seul triangle : l'analyse ne laisse qu'une possibilité, et la synthèse vérifie qu'elle convient.

Pièges anticipés

  • 3 / trois / trois triangles → Avec trois points, on peut construire trois parallélogrammes, mais un seul triangle dont ce sont les milieux des côtés.
  • une infinité / infinité → Les droites des côtés sont imposées par les parallèles : il n'y a aucun choix à faire.

Exercice 97 · defi

Un parallélogramme entre deux axes

Dans un repère cartésien (O,i⃗,j⃗),(O, \vec{i}, \vec{j}), on donne les points A(1,3)A(1, 3) et B(4,5).B(4, 5). On veut construire un point MM sur l'axe des abscisses et un point NN sur l'axe des ordonnées tels que ABMNABMN soit un parallélogramme. Déterminer les coordonnées du point N.N.

Écris le couple de coordonnées de N,N, entre parenthèses, par exemple (3 ;−4).(3\,;-4).

Réponse attendue : (0;-2) — aussi acceptées : (0,-2) · N(0;-2) · N(0,-2) · N=(0;-2) · N=(0,-2) · 0;-2 · x=0;y=-2 · x=0 et y=-2 · x=0,y=-2 · (x;y)=(0;-2) · (x,y)=(0,-2)

Indices, dans l’ordre

  1. ABMNABMN est un parallélogramme : le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, donc NN est l'image de MM par la translation de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.
  2. Écris M(m,0)M(m, 0) : son image a pour abscisse m−3,m - 3, et elle doit être sur l'axe des ordonnées.

Correction

  1. L'analyse — ABMNABMN est un parallélogramme : le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, de composantes −3-3 et −2.-2.BA→(−3−2)\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -3 \\ -2 \end{pmatrix}
  2. L'image de M — Avec M(m,0)M(m, 0) sur l'axe des abscisses, son image NN a pour coordonnées m−3m - 3 et −2.-2. Elle est sur l'axe des ordonnées si son abscisse est nulle.m−3=0  ⟺  m=3m - 3 = 0 \iff m = 3
  3. Les points — M(3,0);N(0,−2)M(3, 0) \quad ; \quad N(0, -2)

N(0,−2),N(0, -2), avec M(3,0).M(3, 0). On vérifie : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} et le vecteur NM→\overrightarrow{NM} ont tous deux pour composantes 33 et 2.2.

Pièges anticipés

  • (0;2) / (0,2) / N(0;2) / N(0,2) → Dans ABMN,ABMN, c'est le vecteur MN→\overrightarrow{MN} qui est égal au vecteur BA→,\overrightarrow{BA}, et non au vecteur AB→.\overrightarrow{AB}.
  • (3;0) / (3,0) / N(3;0) / N(3,0) → (3,0)(3, 0) sont les coordonnées de M.M. Le point NN est son image par la translation de vecteur BA→.\overrightarrow{BA}.

Exercice 98 · defi

Deux droites parallèles

Les droites D1D_1 et D2D_2 sont parallèles et distantes de 5,5, et AA et BB sont deux points tels que AB=3,AB = 3, qui ne sont ni sur D1D_1 ni sur D2.D_2. On cherche un point MM de D1D_1 et un point NN de D2D_2 tels que ABMNABMN soit un parallélogramme. Combien de solutions ce problème a-t-il ?

Donne le nombre de solutions, ou écris « aucune ».

Réponse attendue : aucune — aussi acceptées : 0 · zéro · zero · aucune solution · aucun · pas de solution · il n'y a pas de solution · il n'y a aucune solution

Indices, dans l’ordre

  1. NN doit être l'image de MM par la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA} : il est sur l'image D1′D'_1 de la droite D1,D_1, et sur D2.D_2.
  2. La droite D1′D'_1 est parallèle à D1.D_1. À quelle distance de D1D_1 peut-elle être, au plus, si le vecteur mesure 33 ?

Correction

  1. L'analyse — Si ABMNABMN est un parallélogramme, le vecteur MN→\overrightarrow{MN} est égal au vecteur BA→\overrightarrow{BA} : NN est sur la droite D1′,D'_1, image de D1,D_1, et sur D2.D_2.N∈D1′∩D2N \in D'_1 \cap D_2
  2. La droite image — D1′D'_1 est parallèle à D1,D_1, et chaque point de D1D_1 se déplace de 33 : la distance entre D1D_1 et D1′D'_1 vaut au plus 3.3.distance(D1,D1′)⩽3<5\text{distance}(D_1, D'_1) \leqslant 3 < 5
  3. Conclure — D1′D'_1 et D2D_2 sont deux droites parallèles distinctes : elles n'ont aucun point commun, et aucun point NN ne convient.D1′∩D2=∅D'_1 \cap D_2 = \varnothing

Le problème n'a aucune solution : le vecteur BA→\overrightarrow{BA} est trop court pour passer d'une droite à l'autre.

Pièges anticipés

  • 1 / une / une seule / une seule solution / un → Avec deux droites sécantes, il y aurait une solution. Ici D1′D'_1 est parallèle à D2D_2 sans lui être égale.
  • une infinité / infinité / une infinite → Il y aurait une infinité de solutions si D1′D'_1 était confondue avec D2.D_2. Mais D1′D'_1 est à au plus 33 de D1,D_1, et D2D_2 à 5.5.

Exercice 99 · defi

Ce que le bon pont fait gagner

Les berges DD et D′D' d'une rivière sont deux droites parallèles, distantes de 2.2. Le village AA est à la distance 88 de la berge D,D, et le village B,B, de l'autre côté de la rivière, est à la distance 1010 de la berge D′.D'. Les projetés orthogonaux de AA et de BB sur la berge DD sont distants de 24.24. On compare deux ponts [MN],[MN], perpendiculaires aux berges, avec MM sur DD et NN sur D′D' : le pont placé juste en face du village A,A, et celui qui rend le trajet de AA à BB le plus court possible. De combien le second trajet est-il plus court que le premier ?

Donne la différence des deux trajets.

Réponse attendue : 4

Indices, dans l’ordre

  1. Pour le pont en face de A,A, le trajet de NN à BB se calcule par le théorème de Pythagore : l'écart est de 2424 dans un sens et de 1010 dans l'autre.
  2. Pour le meilleur pont, on note A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→\overrightarrow{MN} : le trajet vaut A′BA'B plus la longueur du pont.

Correction

  1. Le pont en face de A — On va de AA à la berge en ligne droite, on traverse, puis on rejoint B.B.8+2+242+102=8+2+26=368 + 2 + \sqrt{24^2 + 10^2} = 8 + 2 + 26 = 36
  2. Le meilleur pont — A′A' est l'image de AA par la translation de vecteur MN→\overrightarrow{MN} : AM=A′N,AM = A'N, et le trajet le plus court vaut A′BA'B plus le pont. A′A' est à la distance 88 de la berge D′,D', et BB à la distance 1010 de l'autre côté : l'écart est de 1818 dans un sens et de 2424 dans l'autre.182+242+2=30+2=32\sqrt{18^2 + 24^2} + 2 = 30 + 2 = 32
  3. La différence — 36−32=436 - 32 = 4

Le meilleur pont fait gagner 44 sur le trajet.

Pièges anticipés

  • 32 → 3232 est la longueur du trajet le plus court. On demande de combien il est plus court que le trajet par le pont en face de A.A.
  • 36 → 3636 est le trajet par le pont en face de A.A. Il reste à le comparer au trajet le plus court.
  • 6 → Le trajet le plus court traverse aussi le pont : il vaut A′BA'B plus 2,2, soit 30+2=32,30 + 2 = 32, et non 30.30.

Exercice 100 · defi

Où placer le pont ?

Les berges DD et D′D' d'une rivière sont deux droites parallèles, distantes de 3.3. Le village AA est à la distance 66 de la berge D,D, et le village B,B, de l'autre côté, est à la distance 22 de la berge D′.D'. On note HH le projeté orthogonal de AA sur la berge D′,D', et KK celui de BB : on a HK=10.HK = 10. Le pont [MN],[MN], perpendiculaire aux berges, avec MM sur DD et NN sur D′,D', est placé pour que le trajet de AA à BB soit le plus court possible. Calculer la distance HN.HN.

Donne la distance HN.HN.

Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5

Indices, dans l’ordre

  1. On note A′A' l'image de AA par la translation de vecteur MN→\overrightarrow{MN} : le meilleur pont place NN sur le segment [A′B].[A'B].
  2. A′A' est sur la droite (AH).(AH). Les droites (A′H)(A'H) et (BK)(BK) sont parallèles : applique le théorème de Thalès aux triangles A′HNA'HN et BKN.BKN.

Correction

  1. Le point A' — Le meilleur pont place NN sur le segment [A′B],[A'B], où A′A' est l'image de AA par la translation de vecteur MN→.\overrightarrow{MN}. AA est à la distance 99 de D′,D', et le vecteur le rapproche de 3.3.A′H=9−3=6A'H = 9 - 3 = 6
  2. Thalès — Les droites (A′H)(A'H) et (BK)(BK) sont parallèles, et NN est le point commun des droites (A′B)(A'B) et (HK).(HK).HNKN=A′HBK=62=3\dfrac{HN}{KN} = \dfrac{A'H}{BK} = \dfrac{6}{2} = 3
  3. La distance — NN est entre HH et K,K, et HNHN vaut trois fois KNKN : HNHN est les trois quarts de HK.HK.HN=34×10=152=7,5HN = \dfrac{3}{4} \times 10 = \dfrac{15}{2} = 7{,}5

HN=7,5HN = 7{,}5 : le pont est plus près du village le plus proche de la rivière.

Pièges anticipés

  • 90/11 → Tu as joint AA à BB sans translater AA : le segment [AB][AB] traverse la rivière en biais, alors que le pont doit être perpendiculaire aux berges.
  • 5 → Le pont n'est pas au milieu : il est plus près du village le plus proche de la rivière.
  • 5/2 / 2.5 → 2,52{,}5 est la distance KN.KN. On demande la distance HN,HN, du côté de A.A.

Exercice 101 · base

Autour d'un sommet

On pave le plan avec des triangles équilatéraux identiques. Combien de triangles se rejoignent en chaque sommet du pavage ?

Donne le nombre de triangles.

Réponse attendue : 6 — aussi acceptées : six · six triangles · 6 triangles

Indices, dans l’ordre

  1. Chaque angle d'un triangle équilatéral mesure 6060 degrés.
  2. Autour d'un sommet, la somme des angles vaut 360360 degrés.

Correction

  1. Les angles — Autour d'un sommet, les angles des triangles remplissent un tour complet, 360360 degrés, et chacun mesure 6060 degrés.36060=6\dfrac{360}{60} = 6

Six triangles se rejoignent en chaque sommet du pavage.

Pièges anticipés

  • 3 / trois → Trois, c'est pour les hexagones réguliers, dont l'angle mesure 120120 degrés.

Exercice 102 · pratique

Le vecteur d'un pavage

On pave le plan avec des carrés de côté 2,2, alignés en lignes et en colonnes. Une translation envoie un carreau sur le carreau situé deux colonnes plus à droite et une ligne plus haut. Calculer la longueur du vecteur de cette translation, en valeur exacte.

Donne la longueur, en valeur exacte.

Réponse attendue : 2*sqrt(5) — aussi acceptées : sqrt(20)

Indices, dans l’ordre

  1. Chaque sommet du carreau se déplace du même vecteur : suis un seul sommet.
  2. Deux colonnes à droite font 4,4, une ligne plus haut fait 22 : applique le théorème de Pythagore.

Correction

  1. Le déplacement — Un sommet du carreau avance de deux côtés vers la droite et d'un côté vers le haut.2×2=4;1×2=22 \times 2 = 4 \quad ; \quad 1 \times 2 = 2
  2. Pythagore — 42+22=20=25\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

Le vecteur mesure 252\sqrt{5} : tout le pavage glisse sur lui-même, chaque carreau tombe sur un autre carreau.

Pièges anticipés

  • 4.47 / 4.48 / 4.5 → C'est une valeur approchée : garde la racine carrée, on demande la valeur exacte.
  • 6 → On n'ajoute pas les deux déplacements : le vecteur est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
  • sqrt(5) → Tu as compté en carreaux, pas en longueur : chaque carreau mesure 2.2.
  • 20 → 2020 est le carré de la longueur : prends la racine carrée.