Trigonométrie et mesure des grandeurs
2ᵉ année secondaire — sections Sciences et Technologie de l'informatique · Pr Abdelkader Hammami
Le cours
Ce qu’il dit en accueillant
3aslema ! Le chapitre numéro quatorze : trigonométrie et mesure des grandeurs. El 3am elli fet, chofna le cosinus, le sinus w la tangente mta3 angle aigu, fi le triangle rectangle. Lyoum bech nwass3ouhom l les angles obtus, b le demi-cercle trigonométrique. Bech nchoufou les angles supplémentaires w les angles complémentaires, la tangente w la cotangente, w les relations fondamentales. W ba3d, nesta3mlou hedha el koll bech n9isou : la loi du sinus, l'aire mta3 triangle, w le théorème d'El-Kashi, elli ye5dem fi koll triangle, mouch ken fi le triangle rectangle. Yalla, nabdew.
عسلامة ! الـ chapitre numéro quatorze : trigonométrie et mesure des grandeurs . العام اللي فات ، شفنا le cosinus ، le sinus w la tangente متاع angle aigu ، في le triangle rectangle . ليوم باش نوسّعوهم لـ les angles obtus ، بـ le demi-cercle trigonométrique . باش نشوفو les angles supplémentaires w les angles complémentaires ، la tangente w la cotangente ، w les relations fondamentales . w بعد ، نستعملو هذا الكل باش نقيسو : la loi du sinus ، l'aire متاع triangle ، w le théorème d'El-Kashi ، اللي يخدم في كل triangle ، موش كان في le triangle rectangle . يالله ، نبداو .
Bonjour ! Le chapitre numéro quatorze : trigonométrie et mesure des grandeurs. L'année dernière, nous avons vu le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu, dans le triangle rectangle. Aujourd'hui, nous allons les étendre aux angles obtus, grâce au demi-cercle trigonométrique. Nous verrons les angles supplémentaires et les angles complémentaires, la tangente et la cotangente, et les relations fondamentales. Ensuite, nous utiliserons tout cela pour mesurer : la loi du sinus, l'aire d'un triangle, et le théorème d'El-Kashi, qui fonctionne dans tous les triangles, et pas seulement dans le triangle rectangle. Allez, on commence.
Ce chapitre prolonge la trigonométrie du triangle rectangle : le demi-cercle trigonométrique donne un cosinus et un sinus à tous les angles de à y compris les angles obtus.
On s'en sert ensuite pour mesurer : longueurs, angles et aires dans un triangle quelconque, avec la loi du sinus et le théorème d'El-Kashi.
Objectifs annoncés
Ce qu’il dit en les annonçant
Fi e5er el chapitre hedha, bech tkoun ta3ref :
في آخر الـ chapitre هذا ، باش تكون تعرف :
À la fin de ce chapitre, tu sauras :
- Définir le cosinus et le sinus d'un réel de Définir le cosinus et le sinus d'un réel compris entre zéro et pi.Définir le cosinus et le sinus d'un réel compris entre zéro et pi.
- Utiliser les angles supplémentaires et complémentaires, la tangente et la cotangenteUtiliser les angles supplémentaires et complémentaires, la tangente et la cotangente.Utiliser les angles supplémentaires et complémentaires, la tangente et la cotangente.
- Utiliser les relations fondamentalesUtiliser les relations fondamentales.Utiliser les relations fondamentales.
- Appliquer la loi du sinus, la formule de l'aire et le théorème d'El-KashiAppliquer la loi du sinus, la formule de l'aire et le théorème d'El-Kashi.Appliquer la loi du sinus, la formule de l'aire et le théorème d'El-Kashi.
- Reconnaître des triangles isométriques ou semblables, utiliser les relations métriquesReconnaître des triangles isométriques ou semblables, et utiliser les relations métriques.Reconnaître des triangles isométriques ou semblables, et utiliser les relations métriques.
1. Activité
Rappels
Ce qu’il dit
Nabdew b tadhkir mel 3am elli fet. Fi triangle rectangle, le cosinus mta3 angle aigu houwa le côté adjacent sur l'hypoténuse, le sinus houwa le côté opposé sur l'hypoténuse, w la tangente hiya le côté opposé sur le côté adjacent. Chedd fi belek zeda les trois angles remarquables : trente degrés hiya pi sur six, quarante-cinq degrés hiya pi sur quatre, w soixante degrés hiya pi sur trois. Cosinus de pi sur trois égale un demi, w sinus de pi sur six égale un demi zeda. Fi el chapitre hedha, bech nwass3ou le cosinus w le sinus 7atta l les angles obtus.
نبداو بتذكير من العام اللي فات . في triangle rectangle ، le cosinus متاع angle aigu هو le côté adjacent sur l'hypoténuse ، le sinus هو le côté opposé sur l'hypoténuse ، w la tangente هي le côté opposé sur le côté adjacent . شدّ في بالك زادة les trois angles remarquables : trente degrés هي pi sur six ، quarante-cinq degrés هي pi sur quatre ، w soixante degrés هي pi sur trois . cosinus de pi sur trois égale un demi ، w sinus de pi sur six égale un demi زادة . في الـ chapitre هذا ، باش نوسّعو le cosinus w le sinus حتّى لـ les angles obtus .
Commençons par un rappel de l'année dernière. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le côté adjacent sur l'hypoténuse, le sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse, et la tangente est le côté opposé sur le côté adjacent. Retiens aussi les trois angles remarquables : trente degrés, c'est pi sur six, quarante-cinq degrés, c'est pi sur quatre, et soixante degrés, c'est pi sur trois. Cosinus de pi sur trois égale un demi, et sinus de pi sur six égale un demi aussi. Dans ce chapitre, nous allons étendre le cosinus et le sinus jusqu'aux angles obtus.
L'année dernière, on a défini le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle en :
On connaît aussi les valeurs pour trois angles remarquables :
| Angle (en radians) | |||
|---|---|---|---|
| Angle (en degrés) | |||
| Angle (en radians) | Angle (en degrés) | |||
|---|---|---|---|---|
Enfin, dans un repère orthonormé le point a pour symétriques par rapport à l'axe des abscisses, par rapport à l'axe des ordonnées, et par rapport à Le deuxième sert pour les angles supplémentaires.
Un triangle ABC rectangle en A : A est en bas à gauche, B en bas à droite et C au-dessus de A. Le point H est sur le côté [BC] : c'est le pied de la hauteur issue de A. Le point M est sur le côté [AB], à la verticale de H : c'est le projeté orthogonal de H sur (AB). Des équerres marquent les angles droits en A, en H et en M.
le cosinus
le sinus
la tangente
Exemple traité
Dans la figure, est un triangle rectangle en est le pied de la hauteur issue de et est le projeté orthogonal de sur la droite a) Citer tous les triangles rectangles. b) Citer les angles égaux à l'angle c) Donner cinq expressions différentes de
- Les triangles rectangles — Il y en a cinq. Le triangle est rectangle en Les triangles et sont rectangles en Les triangles et sont rectangles en
- Les angles égaux — Dans le triangle l'angle est le complémentaire de l'angle Dans le triangle l'angle l'est aussi, et dans le triangle c'est l'angle
- Cinq expressions — Dans chacun des cinq triangles rectangles, on écrit le côté adjacent sur l'hypoténuse, pour l'angle qui est égal à l'angle
À ne pas faire : — . Le cosinus prend le côté qui touche l'angle, le sinus prend le côté d'en face. Les deux se divisent par l'hypoténuse.
2. Activité
Pour comprendre : le demi-cercle trigonométrique
Ce qu’il dit
Ne5dhou repère orthonormé : O, A w B, w A prime houwa le symétrique mta3 A par rapport à O. Nrasmou le demi-cercle elli le diamètre mte3ou AA prime w elli yet3adda men B : hedha nsammiwh le demi-cercle trigonométrique, w le rayon mte3ou un. Tawa ne5dhou 3lih point I, elli ya3tina l'angle IOA égale pi sur six. Ki nhabbtou I 3la la droite OA, nal9aw triangle rectangle, l'hypoténuse mte3ou un : donc l'abscisse mta3 I hiya cosinus de pi sur six, w l'ordonnée hiya sinus de pi sur six. W le symétrique I prime par rapport à la droite OB 3andou nafs l'ordonnée, w l'abscisse opposée. Chedd fi belek : l koll réel alpha bin zéro w pi, thamma point we7ed bark 3la le demi-cercle.
ناخذو repère orthonormé : O ، A w B ، w A prime هو le symétrique متاع A par rapport à O . نرسمو le demi-cercle اللي le diamètre متاعو A A prime w اللي يتعدّى من B : هذا نسمّيوه le demi-cercle trigonométrique ، w le rayon متاعو un . توّا ناخذو عليه point I ، اللي يعطينا l'angle I O A égale pi sur six . كي نهبّطو I على la droite O A ، نلقاو triangle rectangle ، l'hypoténuse متاعو un : donc l'abscisse متاع I هي cosinus de pi sur six ، w l'ordonnée هي sinus de pi sur six . w le symétrique I prime par rapport à la droite O B عندو نفس l'ordonnée ، w l'abscisse opposée . شدّ في بالك : لكل réel alpha بين zéro w pi ، ثمّة point واحد برك على le demi-cercle .
Prenons un repère orthonormé : O, A et B, et A prime est le symétrique de A par rapport à O. On trace le demi-cercle de diamètre A A prime qui passe par B : on l'appelle le demi-cercle trigonométrique, et son rayon vaut un. Plaçons-y un point I tel que l'angle I O A égale pi sur six. En projetant I sur la droite O A, on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse un : l'abscisse de I est donc cosinus de pi sur six, et son ordonnée est sinus de pi sur six. Et le symétrique I prime par rapport à la droite O B a la même ordonnée, et l'abscisse opposée. Retiens bien : à chaque réel alpha entre zéro et pi correspond un seul point du demi-cercle.
Soit un repère orthonormé du plan et le symétrique de par rapport à On désigne par le demi-cercle de diamètre qui contient le point Ce demi-cercle est appelé demi-cercle trigonométrique. Son rayon vaut et
Soit le point de tel que On projette sur la droite : on obtient un triangle rectangle d'hypoténuse donc l'abscisse de est et son ordonnée est
Le symétrique de par rapport à la droite est encore sur : il a la même ordonnée et l'abscisse opposée, et l'angle mesure
Plus généralement, pour chaque réel de l'intervalle , il existe un seul point du demi-cercle tel que Sur il y a un seul point d'abscisse mais deux points d'ordonnée
Un demi-cercle de centre O et de rayon 1, posé sur le diamètre [A'A] : A est à droite, A' à gauche, et B est le sommet du demi-cercle, au-dessus de O. Le point I est sur le demi-cercle, à droite, avec un angle IOA de pi sur 6. Le point I' est son symétrique par rapport à la droite (OB) : il est à gauche, à la même hauteur que I.
le repère
I et son symétrique
Exemple traité
Sur le demi-cercle trigonométrique, on désigne par et les points tels que et a) Préciser les coordonnées de et de b) Déterminer les coordonnées de leurs symétriques et par rapport à la droite
- Le point J — Le rayon vaut : l'abscisse de est le cosinus de et son ordonnée est le sinus de
- Le point K — De même, l'abscisse de est le cosinus de et son ordonnée est le sinus de
- Les symétriques — La symétrie par rapport à la droite garde l'ordonnée et change l'abscisse en son opposé.
À ne pas faire : Sur le demi-cercle, il y a un seul point d'ordonnée — Il y en a deux : l'un à droite de l'autre à gauche. Deux points symétriques par rapport à la droite ont la même ordonnée. C'est l'abscisse qui les distingue.
3. Définition
Cosinus et sinus d'un réel
Ce qu’il dit
Tawa et-ta3rif. Ne5dhou réel alpha bin zéro w pi, w M houwa le point el wa7id 3la le demi-cercle trigonométrique elli ya3tina l'angle AOM égale alpha. Le cosinus mta3 alpha houwa l'abscisse mta3 M, w le sinus mta3 alpha houwa l'ordonnée mta3 M. Na9raw toul chwaya valeurs : ki M yji 3la A, cosinus de zéro égale un w sinus de zéro égale zéro. Ki M yji 3la B, cosinus de pi sur deux égale zéro w sinus de pi sur deux égale un. W ki M yji 3la A prime, cosinus de pi égale moins un w sinus de pi égale zéro. W 5ater M dima 3la le demi-cercle, le cosinus yo93ed bin moins un w un, w le sinus bin zéro w un.
توّا التعريف . ناخذو réel alpha بين zéro w pi ، w M هو le point الوحيد على le demi-cercle trigonométrique اللي يعطينا l'angle A O M égale alpha . le cosinus متاع alpha هو l'abscisse متاع M ، w le sinus متاع alpha هو l'ordonnée متاع M . نقراو طول شويّة valeurs : كي M يجي على A ، cosinus de zéro égale un w sinus de zéro égale zéro . كي M يجي على B ، cosinus de pi sur deux égale zéro w sinus de pi sur deux égale un . w كي M يجي على A prime ، cosinus de pi égale moins un w sinus de pi égale zéro . w خاطر M ديما على le demi-cercle ، le cosinus يقعد بين moins un w un ، w le sinus بين zéro w un .
Voici la définition. On prend un réel alpha entre zéro et pi, et M est l'unique point du demi-cercle trigonométrique tel que l'angle A O M égale alpha. Le cosinus de alpha est l'abscisse de M, et le sinus de alpha est l'ordonnée de M. On lit tout de suite quelques valeurs : quand M est en A, cosinus de zéro égale un et sinus de zéro égale zéro. Quand M est en B, cosinus de pi sur deux égale zéro et sinus de pi sur deux égale un. Et quand M est en A prime, cosinus de pi égale moins un et sinus de pi égale zéro. Et comme M reste sur le demi-cercle, le cosinus est toujours entre moins un et un, et le sinus entre zéro et un.
Soit un repère orthonormé du plan. Soit un réel appartenant à et soit l'unique point du demi-cercle trigonométrique tel que - On appelle cosinus du réel l'abscisse du point et on le note - On appelle sinus du réel l'ordonnée du point et on le note
On lit tout de suite quelques valeurs sur le demi-cercle :
- pour : et ;
- pour : et ;
- pour : et
Comme reste sur le demi-cercle, pour tout réel de l'intervalle : et
Le demi-cercle trigonométrique de centre O : A à droite, A' à gauche, B en haut. Un point M est sur le demi-cercle, à gauche de (OB) : l'angle AOM, noté alpha, est obtus. Un trait vertical descend de M jusqu'à l'axe (A'A) : son pied marque l'abscisse de M, c'est cos alpha, ici négatif. Un trait horizontal va de M jusqu'à l'axe (OB) : il marque l'ordonnée de M, c'est sin alpha.
le point M du demi-cercle
pour α dans [0, π]
Exemple traité
Sur le demi-cercle trigonométrique, combien y a-t-il de points tels que ? Et combien de points tels que ? Donner chaque fois la mesure de l'angle.
- Le cosinus — Le cosinus est l'abscisse : on cherche les points du demi-cercle d'abscisse Il y en a un seul, et l'angle mesure
- Le sinus — Le sinus est l'ordonnée : on cherche les points du demi-cercle d'ordonnée Il y en a deux, symétriques par rapport à la droite
À ne pas faire : Pour dans l'intervalle fermé , est toujours positif — dès que dépasse . Quand l'angle est obtus, le point M passe à gauche de la droite : son abscisse est négative. Le sinus, lui, reste positif.
À ne pas faire : et — et . Pour l'angle droit, le point M est en B, de coordonnées zéro et un : l'abscisse donne le cosinus, l'ordonnée donne le sinus.
4. Activité
Pour comprendre : le triangle rectangle
Ce qu’il dit
Et-ta3rif ej-jdid, za3ma yetmecha m3a mta3 el 3am elli fet ? Nchoufou. 3andna triangle OPM rectangle en P, w nrasmou le demi-cercle trigonométrique de centre O. La droite OM t9oss le demi-cercle fi point N. Nhabbtou N 3la la droite OP, w ntabb9ou Thalès : l'abscisse mta3 N hiya OP sur OM, w l'ordonnée hiya MP sur OM. Ya3ni le cosinus mta3 l'angle POM houwa le côté adjacent sur l'hypoténuse, w le sinus houwa le côté opposé sur l'hypoténuse. Donc l angle aigu, et-ta3rif ej-jdid ya3tina nafs elli na3rfouh fi le triangle rectangle.
التعريف الجديد ، زعما يتماشى مع متاع العام اللي فات ؟ نشوفو . عندنا triangle O P M rectangle en P ، w نرسمو le demi-cercle trigonométrique de centre O . la droite O M تقصّ le demi-cercle في point N . نهبّطو N على la droite O P ، w نطبّقو Thalès : l'abscisse متاع N هي O P sur O M ، w l'ordonnée هي M P sur O M . يعني le cosinus متاع l'angle P O M هو le côté adjacent sur l'hypoténuse ، w le sinus هو le côté opposé sur l'hypoténuse . donc لـ angle aigu ، التعريف الجديد يعطينا نفس اللي نعرفوه في le triangle rectangle .
La nouvelle définition s'accorde-t-elle avec celle de l'année dernière ? Voyons. On a un triangle O P M rectangle en P, et on trace le demi-cercle trigonométrique de centre O. La droite O M coupe le demi-cercle en un point N. On projette N sur la droite O P, et on applique Thalès : l'abscisse de N est O P sur O M, et son ordonnée est M P sur O M. Autrement dit, le cosinus de l'angle P O M est le côté adjacent sur l'hypoténuse, et son sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse. Pour un angle aigu, la nouvelle définition redonne donc ce que l'on connaît dans le triangle rectangle.
Soit un triangle rectangle en et un point du segment distinct de et de On munit le plan du repère orthonormé où est du même côté que par rapport à la droite et on trace le demi-cercle trigonométrique
Le demi-cercle coupe la droite en un point On note le projeté orthogonal de sur : les droites et sont parallèles, et d'après le théorème de Thalès dans le triangle
L'abscisse du point est donc égale à et son ordonnée à
Autrement dit, pour un angle aigu, la nouvelle définition redonne exactement celle du triangle rectangle : le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse, le sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse.
Un triangle OPM rectangle en P : O est à gauche, P à droite sur la même horizontale, et M est au-dessus de P. Le point A est sur le segment [OP], et OA est l'unité. Le demi-cercle trigonométrique de centre O passe par A, par B au-dessus de O et par A' à gauche. Il coupe le segment [OM] au point N. Un trait vertical descend de N jusqu'au point N' de (OP).
dans le triangle OPM rectangle en P
Exemple traité
Dans la figure, on suppose que et l'unité étant Calculer puis donner les coordonnées du point
- L'hypoténuse — Le triangle est rectangle en : on applique le théorème de Pythagore.
- Les coordonnées de N — L'abscisse de est le côté adjacent sur l'hypoténuse, et son ordonnée est le côté opposé sur l'hypoténuse.
- Ce que cela veut dire — Le cosinus de l'angle vaut donc trois cinquièmes, et son sinus vaut quatre cinquièmes.
5. Propriété
Angles supplémentaires
Ce qu’il dit
Ne5dhou M 3la le demi-cercle, elli ya3tina l'angle AOM égale alpha, w M prime houwa le symétrique mte3ou par rapport à la droite OB. La symétrie t7afedh 3la les angles : donc l'angle AOM prime égale pi moins alpha. W M prime 3andou nafs l'ordonnée mta3 M, w l'abscisse opposée. Men hna ntalla3ou zouz formules : cosinus de pi moins x égale moins cosinus de x, w sinus de pi moins x égale sinus de x. Ya3ni deux angles supplémentaires 3andhom nafs le sinus, w les cosinus opposés. Biha na7sbou mathalan cosinus de cinq pi sur six : houwa moins cosinus de pi sur six, ya3ni moins racine carrée de trois sur deux.
ناخذو M على le demi-cercle ، اللي يعطينا l'angle A O M égale alpha ، w M prime هو le symétrique متاعو par rapport à la droite O B . la symétrie تحافظ على les angles : donc l'angle A O M prime égale pi moins alpha . w M prime عندو نفس l'ordonnée متاع M ، w l'abscisse opposée . من هنا نطلّعو زوز formules : cosinus de pi moins x égale moins cosinus de x ، w sinus de pi moins x égale sinus de x . يعني deux angles supplémentaires عندهم نفس le sinus ، w les cosinus opposés . بيها نحسبو مثلاً cosinus de cinq pi sur six : هو moins cosinus de pi sur six ، يعني moins racine carrée de trois sur deux .
Prenons M sur le demi-cercle, avec l'angle A O M égal à alpha, et M prime son symétrique par rapport à la droite O B. La symétrie conserve les angles : l'angle A O M prime égale donc pi moins alpha. Et M prime a la même ordonnée que M, et l'abscisse opposée. On en tire deux formules : cosinus de pi moins x égale moins cosinus de x, et sinus de pi moins x égale sinus de x. Autrement dit, deux angles supplémentaires ont le même sinus et des cosinus opposés. On calcule ainsi, par exemple, cosinus de cinq pi sur six : c'est moins cosinus de pi sur six, c'est-à-dire moins racine carrée de trois sur deux.
Soit un réel de l'intervalle et le point du demi-cercle trigonométrique tel que On désigne par le symétrique de par rapport à la droite
La symétrie conserve les angles : donc Le point est le point du demi-cercle associé au réel
Or a pour coordonnées et son symétrique a la même ordonnée et l'abscisse opposée : On en déduit :
Pour tout réel appartenant à , on a et
Deux angles supplémentaires ont donc le même sinus et des cosinus opposés.
Le demi-cercle trigonométrique de centre O : A à droite, A' à gauche, B en haut. Le point M est sur le demi-cercle, à droite : l'angle AOM vaut alpha. Le point M' est son symétrique par rapport à la droite (OB) : il est à gauche, à la même hauteur que M, et l'angle A'OM' vaut aussi alpha. L'angle AOM' vaut donc pi moins alpha.
cosinus opposés
même sinus
Exemple traité
Donner les valeurs exactes du cosinus et du sinus de de et de
- Cinq pi sur six — On écrit comme moins : le cosinus change de signe, le sinus reste le même.
- Deux pi sur trois — De même, est moins
- Trois pi sur quatre — Enfin, est moins
À ne pas faire : — . Les points M et M prime sont à la même hauteur : ils ont la même ordonnée. C'est le cosinus, l'abscisse, qui change de signe.
6. Exemple
Exemple : une somme de cosinus
Ce qu’il dit
Ntabb9ou elli chofneh 3la somme. 3andna cosinus de pi sur huit, plus cosinus de trois pi sur huit, plus cosinus de cinq pi sur huit, plus cosinus de sept pi sur huit. 7atta we7ed fihom ma na3rfouch la valeur mte3ou, ama ma yelzemnech. Chouf les angles : sept pi sur huit hiya pi moins pi sur huit, w cinq pi sur huit hiya pi moins trois pi sur huit. W deux angles supplémentaires 3andhom les cosinus opposés : donc koll zouz yetna77aw m3a b3adhhom. La somme égale zéro.
نطبّقو اللي شفناه على somme . عندنا cosinus de pi sur huit ، plus cosinus de trois pi sur huit ، plus cosinus de cinq pi sur huit ، plus cosinus de sept pi sur huit . حتّى واحد فيهم ما نعرفوش la valeur متاعو ، أما ما يلزمناش . شوف les angles : sept pi sur huit هي pi moins pi sur huit ، w cinq pi sur huit هي pi moins trois pi sur huit . w deux angles supplémentaires عندهم les cosinus opposés : donc كل زوز يتنحّاو مع بعضهم . la somme égale zéro .
Appliquons ce que nous venons de voir à une somme. On a cosinus de pi sur huit, plus cosinus de trois pi sur huit, plus cosinus de cinq pi sur huit, plus cosinus de sept pi sur huit. Nous ne connaissons la valeur d'aucun d'eux, mais ce n'est pas nécessaire. Regarde les angles : sept pi sur huit, c'est pi moins pi sur huit, et cinq pi sur huit, c'est pi moins trois pi sur huit. Et deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés : les termes s'éliminent donc deux à deux. La somme égale zéro.
On veut calculer, sans utiliser la calculatrice,
Aucun de ces cosinus n'est une valeur remarquable. Mais les angles vont par paires de somme : et Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés : chaque paire donne
deux angles supplémentaires
Exemple traité
Calculer, sans utiliser la calculatrice, la somme
- Les paires — On repère les angles supplémentaires : est moins et est moins
- La somme — On remplace dans la somme : les termes s'éliminent deux à deux.
7. Propriété
Angles complémentaires
Ce qu’il dit
Tawa les angles complémentaires, ya3ni elli la somme mte3hom pi sur deux. Ne5dhou alpha bin zéro w pi sur deux, w zouz points 3la l'arc AB : M elli ya3tina l'angle AOM égale alpha, w N elli ya3tina l'angle BON égale alpha. Donc l'angle AON égale pi sur deux moins alpha. Nhabbtou M 3la la droite OA, w N 3la la droite OB : nal9aw zouz triangles rectangles, 3andhom nafs l'hypoténuse w nafs l'angle, ya3ni kif kif. Men hna : cosinus de pi sur deux moins x égale sinus de x, w sinus de pi sur deux moins x égale cosinus de x. Ya3ni deux angles complémentaires yetbedlou le sinus w le cosinus.
توّا les angles complémentaires ، يعني اللي la somme متاعهم pi sur deux . ناخذو alpha بين zéro w pi sur deux ، w زوز points على l'arc A B : M اللي يعطينا l'angle A O M égale alpha ، w N اللي يعطينا l'angle B O N égale alpha . donc l'angle A O N égale pi sur deux moins alpha . نهبّطو M على la droite O A ، w N على la droite O B : نلقاو زوز triangles rectangles ، عندهم نفس l'hypoténuse w نفس l'angle ، يعني كيف كيف . من هنا : cosinus de pi sur deux moins x égale sinus de x ، w sinus de pi sur deux moins x égale cosinus de x . يعني deux angles complémentaires يتبادلو le sinus w le cosinus .
Passons aux angles complémentaires, ceux dont la somme vaut pi sur deux. On prend alpha entre zéro et pi sur deux, et deux points de l'arc A B : M tel que l'angle A O M égale alpha, et N tel que l'angle B O N égale alpha. L'angle A O N égale donc pi sur deux moins alpha. On projette M sur la droite O A, et N sur la droite O B : on obtient deux triangles rectangles de même hypoténuse et de même angle, donc superposables. On en déduit : cosinus de pi sur deux moins x égale sinus de x, et sinus de pi sur deux moins x égale cosinus de x. Deux angles complémentaires échangent leur sinus et leur cosinus.
Soit un réel de l'intervalle et et les points de l'arc du demi-cercle trigonométrique tels que et Alors
Soit le projeté orthogonal de sur et le projeté orthogonal de sur Les triangles et sont rectangles, ont la même hypoténuse et le même angle en : ils sont superposables. Donc et
Or et tandis que est l'ordonnée de et son abscisse. On en déduit :
Pour tout appartenant à on a et
Deux angles complémentaires échangent leur sinus et leur cosinus.
Un quart de cercle de centre O et de rayon 1 : A est à droite de O, B au-dessus de O. Le point M est sur l'arc, près de A : l'angle AOM vaut alpha. Le point N est sur l'arc, près de B : l'angle BON vaut aussi alpha. Un trait vertical descend de M jusqu'au point M' de (OA). Un trait horizontal va de N jusqu'au point N' de (OB). Les triangles OMM' et ONN' sont superposables.
le cosinus du complémentaire
le sinus du complémentaire
Exemple traité
Calculer, sans utiliser la calculatrice,
- Deux angles complémentaires — La somme de et de vaut : ces deux angles sont complémentaires.
- Échanger sinus et cosinus — Le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.
- La somme — On remplace dans l'expression : tout s'élimine.
À ne pas faire : — . Le signe moins vient des angles supplémentaires, ceux dont la somme vaut pi. Pour deux angles complémentaires, dont la somme vaut pi sur deux, le sinus et le cosinus s'échangent.
8. Définition
Tangente et cotangente
Ce qu’il dit
Ba3d le cosinus w le sinus, n3arrfou zouz rapports o5rin. La tangente mta3 alpha hiya sinus de alpha sur cosinus de alpha. Ama rodd belek : lezem alpha différent de pi sur deux, 5ater cosinus de pi sur deux égale zéro, w ma najjmouch na9smou 3la zéro. W la cotangente mta3 alpha hiya cosinus de alpha sur sinus de alpha. Hna lezem alpha ykoun bin zéro w pi, w ma ysewich la zéro la pi, 5ater le sinus ghadi zéro. W ki ez-zouz mawjoudin, la cotangente hiya l'inverse mta3 la tangente. Fi le triangle rectangle, la tangente hiya le côté opposé sur le côté adjacent, w la cotangente bel3aks.
بعد le cosinus w le sinus ، نعرّفو زوز rapports أخرين . la tangente متاع alpha هي sinus de alpha sur cosinus de alpha . أما ردّ بالك : لازم alpha différent de pi sur deux ، خاطر cosinus de pi sur deux égale zéro ، w ما نجّموش نقسمو على zéro . w la cotangente متاع alpha هي cosinus de alpha sur sinus de alpha . هنا لازم alpha يكون بين zéro w pi ، w ما يساويش لا zéro لا pi ، خاطر le sinus غادي zéro . w كي الزوز موجودين ، la cotangente هي l'inverse متاع la tangente . في le triangle rectangle ، la tangente هي le côté opposé sur le côté adjacent ، w la cotangente بالعكس .
Après le cosinus et le sinus, définissons deux autres rapports. La tangente de alpha est sinus de alpha sur cosinus de alpha. Mais attention : il faut que alpha soit différent de pi sur deux, car cosinus de pi sur deux égale zéro, et on ne divise pas par zéro. Et la cotangente de alpha est cosinus de alpha sur sinus de alpha. Ici, alpha doit être strictement entre zéro et pi, car le sinus s'annule en zéro et en pi. Et quand les deux existent, la cotangente est l'inverse de la tangente. Dans le triangle rectangle, la tangente est le côté opposé sur le côté adjacent, et la cotangente est l'inverse.
Soit un réel appartenant à l'intervalle et tel que On appelle tangente du réel le réel noté et défini par Soit un réel appartenant à l'intervalle . On appelle cotangente du réel le réel noté et défini par
La tangente n'existe pas pour car La cotangente n'existe ni pour ni pour car le sinus y est nul.
Quand les deux existent, la cotangente est l'inverse de la tangente. Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est le côté opposé sur le côté adjacent, et sa cotangente est le côté adjacent sur le côté opposé.
Un triangle ABC rectangle en B : B est en bas à gauche, C en bas à droite et A au-dessus de B. Le côté AB mesure 5, le côté BC mesure 12 et le côté AC, l'hypoténuse, mesure 13.
la tangente
la cotangente
Exemple traité
Soit un triangle tel que et a) Quelle est la nature de ce triangle ? b) Déterminer la tangente et la cotangente de l'angle puis celles de l'angle c) Donner une valeur approchée à un degré près de ces deux angles.
- La nature du triangle — On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : le triangle est rectangle en
- L'angle A — Pour l'angle le côté opposé est et le côté adjacent est La cotangente est l'inverse de la tangente.
- L'angle C — Pour l'angle les rôles s'échangent : le côté opposé est et le côté adjacent est
- Les mesures — La calculatrice, réglée en degrés, donne l'angle dont la tangente vaut douze cinquièmes. L'autre angle aigu est son complémentaire.
À ne pas faire : — n'existe pas. Le cosinus de pi sur deux vaut zéro, et on ne divise pas par zéro. C'est la cotangente de pi sur deux qui vaut zéro.
À ne pas faire : — . La tangente met le sinus en haut. Le cosinus en haut, c'est la cotangente.
9. Activité
Pour comprendre : lire tangente et cotangente
Ce qu’il dit
La tangente w la cotangente, najjmou na9rawhom 3la el figure. Nrasmou la tangente au demi-cercle fi A, nsammiwha D, w la tangente fi B, nsammiwha D prime, w yet9at3ou fi I. Ne5dhou M 3la le demi-cercle, elli ya3tina l'angle AOM égale alpha. La droite OM t9oss D fi point T, w t9oss D prime fi point T prime. B le théorème de Thalès nal9aw : tangente de alpha hiya la mesure algébrique AT, w cotangente de alpha hiya la mesure algébrique BT prime. Ya3ni la tangente na9rawha 3la la droite D, w la cotangente 3la la droite D prime. W hakka tefhem 3lech alpha différent de pi sur deux : wa9tha la droite OM parallèle à D, w ma t9osshech.
la tangente w la cotangente ، نجّمو نقراوهم على الـ figure . نرسمو la tangente au demi-cercle في A ، نسمّيوها D ، w la tangente في B ، نسمّيوها D prime ، w يتقاطعو في I . ناخذو M على le demi-cercle ، اللي يعطينا l'angle A O M égale alpha . la droite O M تقصّ D في point T ، w تقصّ D prime في point T prime . بـ le théorème de Thalès نلقاو : tangente de alpha هي la mesure algébrique A T ، w cotangente de alpha هي la mesure algébrique B T prime . يعني la tangente نقراوها على la droite D ، w la cotangente على la droite D prime . w هكّا تفهم علاش alpha différent de pi sur deux : وقتها la droite O M parallèle à D ، w ما تقصّهاش .
La tangente et la cotangente peuvent se lire sur la figure. On trace la tangente au demi-cercle en A, qu'on appelle D, et la tangente en B, qu'on appelle D prime : elles se coupent en I. On prend M sur le demi-cercle, avec l'angle A O M égal à alpha. La droite O M coupe D en un point T, et coupe D prime en un point T prime. Avec le théorème de Thalès, on trouve : tangente de alpha est la mesure algébrique A T, et cotangente de alpha est la mesure algébrique B T prime. La tangente se lit donc sur la droite D, et la cotangente sur la droite D prime. Et l'on comprend pourquoi alpha doit être différent de pi sur deux : la droite O M est alors parallèle à D, et ne la coupe pas.
Soit un repère orthonormé du plan et le demi-cercle trigonométrique. On désigne par et les tangentes à en et en et par leur point d'intersection. On munit la droite du repère et la droite du repère
Soit un réel de l'intervalle tel que et le point de tel que On note et les projetés orthogonaux de sur et sur : et
La droite coupe en un point Les droites et sont parallèles : d'après le théorème de Thalès dans le triangle donc
De même, la droite coupe en un point et
La tangente se lit donc sur la droite et la cotangente sur la droite
Le demi-cercle trigonométrique de centre O : A à droite, A' à gauche, B en haut. La droite D est la tangente au demi-cercle en A : elle est verticale. La droite D' est la tangente en B : elle est horizontale. Elles se coupent au point I, de coordonnées 1 et 1. Un point M est sur le demi-cercle, avec un angle AOM aigu noté alpha. La droite (OM) coupe D au point T, entre A et I, et coupe D' au point T', à droite de I.
sur la tangente en A
sur la tangente en B
Exemple traité
Avec les notations de la figure, où se trouvent les points et lorsque ? Et lorsque ?
- Pi sur quatre — La tangente et la cotangente de valent : les points et sont tous les deux en
- Pi sur trois — La tangente de vaut : le point est au-dessus de La cotangente vaut : le point est entre et
À ne pas faire : Pour un angle obtus, le point est au-dessus de — Pour un angle obtus, le point est en dessous de . La tangente d'un angle obtus est négative : le sinus est positif et le cosinus négatif. La droite prolongée, coupe D sous le point A.
10. Propriété
Lignes trigonométriques des angles remarquables
Ce qu’il dit
Hedha ej-jadwel elli lezmek ta7fdhou. Cosinus de zéro égale un w sinus de zéro égale zéro. L pi sur six : le sinus un demi, w le cosinus racine carrée de trois sur deux. L pi sur quatre : ez-zouz racine carrée de deux sur deux. L pi sur trois, le sinus w le cosinus yetbedlou : le sinus racine carrée de trois sur deux, w le cosinus un demi. W l pi sur deux : le sinus un w le cosinus zéro. L les angles obtus, t3adda b le supplémentaire : nafs le sinus, w le cosinus opposé. W rodd belek ki ta9ra ej-jadwel bel ma9loub : cosinus ya3tik réel we7ed bin zéro w pi, ama sinus ya3tik zouz, supplémentaires.
هذا الجدول اللي لازمك تحفظو . cosinus de zéro égale un w sinus de zéro égale zéro . لـ pi sur six : le sinus un demi ، w le cosinus racine carrée de trois sur deux . لـ pi sur quatre : الزوز racine carrée de deux sur deux . لـ pi sur trois ، le sinus w le cosinus يتبادلو : le sinus racine carrée de trois sur deux ، w le cosinus un demi . w لـ pi sur deux : le sinus un w le cosinus zéro . لـ les angles obtus ، تعدّى بـ le supplémentaire : نفس le sinus ، w le cosinus opposé . w ردّ بالك كي تقرا الجدول بالمقلوب : cosinus يعطيك réel واحد بين zéro w pi ، أما sinus يعطيك زوز ، supplémentaires .
Voici le tableau à connaître par cœur. Cosinus de zéro égale un et sinus de zéro égale zéro. Pour pi sur six : le sinus vaut un demi, et le cosinus racine carrée de trois sur deux. Pour pi sur quatre : les deux valent racine carrée de deux sur deux. Pour pi sur trois, le sinus et le cosinus s'échangent : le sinus vaut racine carrée de trois sur deux, et le cosinus un demi. Et pour pi sur deux : le sinus vaut un et le cosinus zéro. Pour les angles obtus, passe par le supplémentaire : même sinus, cosinus opposé. Et attention quand tu lis le tableau à l'envers : un cosinus donne un seul réel entre zéro et pi, alors qu'un sinus en donne deux, supplémentaires.
Les angles supplémentaires et les valeurs lues sur le demi-cercle complètent le tableau de l'année dernière :
| n'existe pas | ||||||
| n'existe pas | n'existe pas |
| n'existe pas | ||||
| n'existe pas | ||||
| n'existe pas |
Pour les angles obtus et on passe par le supplémentaire : même sinus, cosinus opposé.
Ce tableau se lit aussi à l'envers, pour retrouver un réel de l'intervalle à partir de son cosinus ou de son sinus. Un cosinus donne un seul réel ; un sinus strictement compris entre et en donne deux, supplémentaires.
π/6 et π/3
π/4
π/3 et π/6
Exemple traité
Soit un réel de l'intervalle fermé . Déterminer dans chacun des cas suivants. a) b) c) Le carré de vaut
- Un cosinus négatif — Le cosinus est négatif : l'angle est obtus. Comme le cosinus de vaut un demi, on prend le supplémentaire de
- Un sinus — Deux points du demi-cercle ont cette ordonnée : celui de et celui de son supplémentaire.
- Un carré — Le cosinus vaut racine de trois sur deux, ou bien son opposé : on trouve ou bien son supplémentaire.
À ne pas faire : Dans l'intervalle fermé , donne seulement — ou . Deux angles supplémentaires ont le même sinus. Il faut toujours penser au deuxième point du demi-cercle, celui qui a la même ordonnée.
11. Théorème
Relations fondamentales
Ce qu’il dit
Hedhi ahamm formule fi el chapitre. M 3la le demi-cercle, w OM égale un. W fi repère orthonormé, OM au carré hiya l'abscisse au carré plus l'ordonnée au carré. Donc : cosinus de x au carré, plus sinus de x au carré, égale un. W nektbouha : cosinus carré de x, plus sinus carré de x, égale un. Ki na9smou 3la le carré du cosinus, nal9aw : un plus le carré de la tangente, égale un sur le carré du cosinus, w hedhi lezemha x différent de pi sur deux. W ki na9smou 3la le carré du sinus, nal9aw : un plus le carré de la cotangente, égale un sur le carré du sinus. B les relations hedhom, ki ta3ref rapport we7ed, tnajjem te7seb el be9i.
هذي أهمّ formule في الـ chapitre . M على le demi-cercle ، w O M égale un . w في repère orthonormé ، O M au carré هي l'abscisse au carré plus l'ordonnée au carré . donc : cosinus de x au carré ، plus sinus de x au carré ، égale un . w نكتبوها : cosinus carré de x ، plus sinus carré de x ، égale un . كي نقسمو على le carré du cosinus ، نلقاو : un plus le carré de la tangente ، égale un sur le carré du cosinus ، w هذي لازمها x différent de pi sur deux . w كي نقسمو على le carré du sinus ، نلقاو : un plus le carré de la cotangente ، égale un sur le carré du sinus . بـ les relations هاذم ، كي تعرف rapport واحد ، تنجّم تحسب الباقي .
Voici la formule la plus importante du chapitre. M est sur le demi-cercle, et O M égale un. Or, dans un repère orthonormé, O M au carré est l'abscisse au carré plus l'ordonnée au carré. Donc : cosinus de x au carré, plus sinus de x au carré, égale un. On l'écrit : cosinus carré de x, plus sinus carré de x, égale un. En divisant par le carré du cosinus, on obtient : un plus le carré de la tangente, égale un sur le carré du cosinus, à condition que x soit différent de pi sur deux. Et en divisant par le carré du sinus, on obtient : un plus le carré de la cotangente, égale un sur le carré du sinus. Avec ces relations, dès que tu connais un rapport, tu peux calculer les autres.
Pour tout réel appartenant à , on a Pour tout réel appartenant à tel que on a Pour tout réel appartenant à , on a
Une convention d'écriture. On écrit et au lieu de et
Ces relations lient les quatre rapports d'un même réel : dès qu'on en connaît un, on peut calculer les autres.
pour x dans [0, π]
pour x ≠ π/2
pour x dans ]0, π[
Démonstration
Soit le point du demi-cercle trigonométrique associé à : et Le repère est orthonormé, donc : c'est la première relation. Si on divise ses deux membres par qui n'est pas nul : c'est la deuxième. Si est dans , on divise par qui n'est pas nul : c'est la troisième.
Exemple traité
Soit un réel compris entre et tel que Calculer puis la tangente et la cotangente de
- Le carré du cosinus — D'après la première relation fondamentale, le carré du cosinus vaut un moins le carré du sinus.
- Le signe — Le réel est entre et : l'angle est obtus, son cosinus est négatif.
- La tangente et la cotangente — On divise le sinus par le cosinus pour avoir la tangente, puis on prend son inverse pour avoir la cotangente.
Autre exemple 1 — pour « Un autre exemple »
Montrer que, pour tout réel de l'intervalle fermé ,
- Développer — On développe le carré de la somme avec l'identité remarquable.Na3mlou le développement mta3 le carré de la somme, b l'identité remarquable.نعملو le développement متاع le carré de la somme ، بـ l'identité remarquable .
- La relation fondamentale — On regroupe le carré du cosinus et le carré du sinus : leur somme vaut un.Njam3ou le carré du cosinus w le carré du sinus : la somme mte3hom égale un.نجمعو le carré du cosinus w le carré du sinus : la somme متاعهم égale un .
- Conclure — Il reste un, plus le double produit : c'est l'égalité demandée.Yeb9a un, plus le double produit : hedhi l'égalité elli talbouha.يبقى un ، plus le double produit : هذي l'égalité اللي طلبوها .
À ne pas faire : donne toujours — si est aigu, si est obtus. La relation fondamentale ne donne que le carré du cosinus. Pour choisir le signe, il faut savoir si l'angle est aigu ou obtus.
À ne pas faire : — . C'est une convention d'écriture : on calcule d'abord le cosinus, puis on élève le résultat au carré.
12. Méthode
D'un rapport aux trois autres
Ce qu’il dit
Ki ta3ref rapport we7ed, kifech tal9a el be9i ? Trois étapes. Tabda te5tar la relation fondamentale elli fiha le rapport elli ta3rfou : ta3tik le carré mta3 rapport e5er. Ba3d, le signe : bin zéro w pi, le sinus dima positif. W le cosinus, la tangente w la cotangente 3andhom nafs le signe : positif ki l'angle aigu, w négatif ki l'angle obtus. W fel e5er, tkammel b la définition : le sinus égale la tangente fois le cosinus, walla le cosinus égale la cotangente fois le sinus.
كي تعرف rapport واحد ، كيفاش تلقى الباقي ؟ trois étapes . تبدا تختار la relation fondamentale اللي فيها le rapport اللي تعرفو : تعطيك le carré متاع rapport آخر . بعد ، le signe : بين zéro w pi ، le sinus ديما positif . w le cosinus ، la tangente w la cotangente عندهم نفس le signe : positif كي l'angle aigu ، w négatif كي l'angle obtus . w في الآخر ، تكمّل بـ la définition : le sinus égale la tangente fois le cosinus ، ولّا le cosinus égale la cotangente fois le sinus .
Quand tu connais un seul rapport, comment trouver les autres ? En trois étapes. D'abord, tu choisis la relation fondamentale qui contient le rapport connu : elle te donne le carré d'un autre rapport. Ensuite, le signe : entre zéro et pi, le sinus est toujours positif. Et le cosinus, la tangente et la cotangente ont le même signe : positif quand l'angle est aigu, négatif quand il est obtus. Enfin, tu termines avec la définition : le sinus égale la tangente fois le cosinus, ou bien le cosinus égale la cotangente fois le sinus.
Quand on connaît un seul des quatre nombres et les relations fondamentales donnent les trois autres.
- 1.On choisit la relation qui contient le rapport connu : elle donne le carré d'un autre rapport.
- 2.On choisit le signe. Sur , le sinus est toujours positif. Le cosinus, la tangente et la cotangente ont le même signe : positif si l'angle est aigu, négatif s'il est obtus.
- 3.On termine avec écrit au besoin ou avec
avec la tangente
avec la cotangente
Exemple traité
a) Calculer et sachant que b) Calculer et sachant que la cotangente de vaut
- Avec la tangente — Un plus le carré de la tangente est l'inverse du carré du cosinus.
- Le signe du cosinus — La tangente est positive : l'angle est aigu, et son cosinus est positif.
- Le sinus — Le sinus est le produit de la tangente par le cosinus.
- Avec la cotangente — Un plus le carré de la cotangente est l'inverse du carré du sinus. On garde la valeur positive, car un sinus est toujours positif ici.
- Le cosinus — Le cosinus est le produit de la cotangente par le sinus. Il est négatif : l'angle est obtus.
À ne pas faire : donne et — et . Un sinus ne dépasse jamais un. La tangente est seulement le quotient du sinus par le cosinus : il faut la relation fondamentale pour les séparer.
13. Propriété
Tangente et cotangente : angles complémentaires et supplémentaires
Ce qu’il dit
Chnowa ysir l la tangente w la cotangente m3a les angles complémentaires w les angles supplémentaires ? Narj3ou l la définition. L les angles complémentaires, le sinus w le cosinus yetbedlou : donc la tangente de pi sur deux moins x hiya la cotangente de x, w la cotangente de pi sur deux moins x hiya la tangente de x. W l les angles supplémentaires, le sinus yo93ed kif ma houwa w le cosinus ybaddel le signe : donc tangente de pi moins x égale moins tangente de x, w la cotangente kif kif, tbaddel le signe. Mathalan tangente de trois pi sur quatre égale moins tangente de pi sur quatre, ya3ni moins un.
شنوّة يصير لـ la tangente w la cotangente مع les angles complémentaires w les angles supplémentaires ؟ نرجعو لـ la définition . لـ les angles complémentaires ، le sinus w le cosinus يتبادلو : donc la tangente de pi sur deux moins x هي la cotangente de x ، w la cotangente de pi sur deux moins x هي la tangente de x . w لـ les angles supplémentaires ، le sinus يقعد كيف ما هو w le cosinus يبدّل le signe : donc tangente de pi moins x égale moins tangente de x ، w la cotangente كيف كيف ، تبدّل le signe . مثلاً tangente de trois pi sur quatre égale moins tangente de pi sur quatre ، يعني moins un .
Que deviennent la tangente et la cotangente avec les angles complémentaires et les angles supplémentaires ? Revenons à la définition. Pour les angles complémentaires, le sinus et le cosinus s'échangent : la tangente de pi sur deux moins x est donc la cotangente de x, et la cotangente de pi sur deux moins x est la tangente de x. Et pour les angles supplémentaires, le sinus ne change pas et le cosinus change de signe : donc tangente de pi moins x égale moins tangente de x, et la cotangente change de signe de la même façon. Par exemple, tangente de trois pi sur quatre égale moins tangente de pi sur quatre, c'est-à-dire moins un.
Angles complémentaires.
Pour tout appartenant à on a Pour tout appartenant à on a
Angles supplémentaires.
Pour tout réel appartenant à tel que on a Pour tout réel appartenant à , on a
Deux angles complémentaires échangent leur tangente et leur cotangente ; deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées et des cotangentes opposées.
angles complémentaires
angles supplémentaires
Démonstration
On revient à la définition. Pour les angles complémentaires : Pour les angles supplémentaires : Les deux formules sur la cotangente s'obtiennent de la même façon.
Exemple traité
a) Donner les valeurs exactes de la tangente de de et de b) Calculer, sans utiliser la calculatrice, la somme des tangentes de et
- Les trois valeurs — Chacun de ces angles est le supplémentaire d'un angle remarquable : sa tangente est l'opposé de celle de l'angle remarquable.
- Les paires de la somme — Dans la somme, est le supplémentaire de est celui de et est celui de
- La somme — Les six tangentes s'éliminent deux à deux : la somme est nulle.
À ne pas faire : — . En passant au supplémentaire, le sinus ne change pas mais le cosinus change de signe : leur quotient change donc de signe.
14. Application
Un problème pour aller plus loin : cosinus de π/8
Ce qu’il dit
Pi sur huit mouch angle remarquable, ama najjmou nal9aw les valeurs exactes mte3ou. Nrasmou triangle ABC rectangle en A, fih BC égale huit, w l'angle B égale pi sur huit. Ne5dhou O le milieu mta3 BC, w H le pied de la hauteur issue de A. Fi triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse b3id kif kif 3la les trois sommets : donc OA égale OB égale quatre. Le triangle OAB isocèle, donc l'angle AOB égale trois pi sur quatre, w l'angle AOH houwa le supplémentaire mte3ou : pi sur quatre. Ya3ni le triangle AOH rectangle w isocèle, w mennou na7sbou OH w AH. W ba3d, fi le triangle ABH, na9raw cosinus, sinus w tangente de pi sur huit.
pi sur huit موش angle remarquable ، أما نجّمو نلقاو les valeurs exactes متاعو . نرسمو triangle A B C rectangle en A ، فيه B C égale huit ، w l'angle B égale pi sur huit . ناخذو O le milieu متاع B C ، w H le pied de la hauteur issue de A . في triangle rectangle ، le milieu de l'hypoténuse بعيد كيف كيف على les trois sommets : donc O A égale O B égale quatre . le triangle O A B isocèle ، donc l'angle A O B égale trois pi sur quatre ، w l'angle A O H هو le supplémentaire متاعو : pi sur quatre . يعني le triangle A O H rectangle w isocèle ، w منّو نحسبو O H w A H . w بعد ، في le triangle A B H ، نقراو cosinus ، sinus w tangente de pi sur huit .
Pi sur huit n'est pas un angle remarquable, mais on peut en trouver les valeurs exactes. On trace un triangle A B C rectangle en A, avec B C égal à huit et l'angle B égal à pi sur huit. On prend O, le milieu de B C, et H, le pied de la hauteur issue de A. Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets : donc O A égale O B égale quatre. Le triangle O A B est isocèle, donc l'angle A O B égale trois pi sur quatre, et l'angle A O H est son supplémentaire : pi sur quatre. Le triangle A O H est donc rectangle et isocèle, et il donne O H et A H. Ensuite, dans le triangle A B H, on lit cosinus, sinus et tangente de pi sur huit.
L'angle n'est pas un angle remarquable. On peut pourtant trouver les valeurs exactes de son cosinus, de son sinus et de sa tangente, en faisant apparaître son double,
On construit un triangle rectangle en tel que et Soit le pied de la hauteur issue de et le milieu de
Dans un triangle rectangle, le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets : Le triangle est donc isocèle en : et L'angle est son supplémentaire : il mesure
Le triangle a donc pour angles et : il est rectangle et isocèle en C'est lui qui donne les longueurs.
Une fois ces valeurs trouvées, les angles complémentaires donnent celles de et les angles supplémentaires celles de
Un triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] : B est à gauche, C à droite, et A est au-dessus, près de C. L'angle en B, très aigu, mesure pi sur 8. Le point O est le milieu de [BC]. Le point H est le pied de la hauteur issue de A : il est sur [BC], entre O et C. Le segment [OA] est tracé : le triangle AOH est rectangle et isocèle en H.
le cosinus
le sinus
la tangente
Exemple traité
Dans la figure, le triangle est rectangle en et l'angle mesure Le point est le pied de la hauteur issue de et est le milieu de a) Calculer et b) Calculer puis c) En déduire les valeurs exactes du cosinus, du sinus et de la tangente de
- OH et AH — Le triangle est rectangle et isocèle en et son hypoténuse mesure : chaque côté de l'angle droit vaut fois le cosinus de
- BH — Le point est entre et : on ajoute les deux longueurs.
- AB — Le triangle est rectangle en : on applique le théorème de Pythagore, puis on met en facteur.
- On prend la racine carrée.
- Le cosinus — Dans le triangle le cosinus de l'angle est sur On simplifie par puis par
- La tangente — La tangente de l'angle est sur On simplifie par puis on multiplie en haut et en bas par
- Le sinus — D'après la première relation fondamentale, le carré du sinus vaut un moins le carré du cosinus, et ce sinus est positif.
15. Activité
Pour comprendre : la hauteur
Ce qu’il dit
Ne5dhou triangle ABC rectangle en A, w H le pied de la hauteur issue de A. L'angle B w l'angle CAH, ez-zouz complémentaires mta3 l'angle C : donc houma kif kif. Tawa nektbou la tangente mta3 l'angle hedha fi zouz triangles rectangles. Fi le triangle AHB, tangente de l'angle B égale AH sur HB. W fi le triangle AHC, tangente de l'angle CAH égale HC sur AH. Ez-zouz quotients kif kif, donc : AH au carré égale HB fois HC. Ya3ni le carré de la hauteur houwa le produit mta3 ez-zouz segments elli t9osshom 3la l'hypoténuse.
ناخذو triangle A B C rectangle en A ، w H le pied de la hauteur issue de A . l'angle B w l'angle C A H ، الزوز complémentaires متاع l'angle C : donc هوما كيف كيف . توّا نكتبو la tangente متاع l'angle هذا في زوز triangles rectangles . في le triangle A H B ، tangente de l'angle B égale A H sur H B . w في le triangle A H C ، tangente de l'angle C A H égale H C sur A H . الزوز quotients كيف كيف ، donc : A H au carré égale H B fois H C . يعني le carré de la hauteur هو le produit متاع الزوز segments اللي تقصّهم على l'hypoténuse .
Prenons un triangle A B C rectangle en A, et H le pied de la hauteur issue de A. L'angle B et l'angle C A H sont tous les deux complémentaires de l'angle C : ils sont donc égaux. Écrivons la tangente de cet angle dans deux triangles rectangles. Dans le triangle A H B, tangente de l'angle B égale A H sur H B. Et dans le triangle A H C, tangente de l'angle C A H égale H C sur A H. Les deux quotients sont égaux, donc : A H au carré égale H B fois H C. Autrement dit, le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse.
Soit un triangle rectangle en et le pied de la hauteur issue de
Dans le triangle l'angle est le complémentaire de l'angle Dans le triangle rectangle en l'angle est lui aussi le complémentaire de l'angle Donc
On écrit alors la tangente de ce même angle dans deux triangles rectangles :
- dans le triangle : ;
- dans le triangle :
Les deux quotients sont égaux : d'où
Un triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] : B est à gauche, C à droite, A au-dessus. Le point H est le pied de la hauteur issue de A : il est sur [BC], plus près de B que de C. L'angle en B et l'angle CAH portent la même marque : ils sont égaux.
deux angles égaux
la hauteur
Exemple traité
Dans un triangle rectangle en le pied de la hauteur issue de vérifie et Calculer puis la tangente de l'angle
- Le carré de la hauteur — Le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse.
- La hauteur — Une longueur est positive : on prend la racine carrée.
- La tangente — Dans le triangle rectangle en la tangente de l'angle est sur
À ne pas faire : — . C'est le carré de la hauteur qui est égal au produit. Avec trois et douze, la hauteur vaut six, et non trente-six.
16. Méthode
Construire un angle
Ce qu’il dit
Ki ta3ref rapport we7ed mta3 angle, tnajjem tarsmou. B le cosinus : 3la le demi-cercle trigonométrique, t7ott le point elli l'abscisse mte3ou hiya le cosinus, totla3 3amoudi, w tal9a point we7ed 3la le demi-cercle. W ken le cosinus négatif, l'angle obtus. B le sinus : t7ott l'ordonnée 3la la droite OB, w tarsem parallèle à la droite OA. Rodd belek, hna tal9a zouz points : we7ed ya3tik angle aigu, w le5er l'angle obtus, le supplémentaire mte3ou. W b la tangente : tarsem triangle rectangle, le côté opposé houwa le numérateur, w le côté adjacent houwa le dénominateur.
كي تعرف rapport واحد متاع angle ، تنجّم ترسمو . بـ le cosinus : على le demi-cercle trigonométrique ، تحطّ le point اللي l'abscisse متاعو هي le cosinus ، تطلع عمودي ، w تلقى point واحد على le demi-cercle . w كان le cosinus négatif ، l'angle obtus . بـ le sinus : تحطّ l'ordonnée على la droite O B ، w ترسم parallèle à la droite O A . ردّ بالك ، هنا تلقى زوز points : واحد يعطيك angle aigu ، w الآخر l'angle obtus ، le supplémentaire متاعو . w بـ la tangente : ترسم triangle rectangle ، le côté opposé هو le numérateur ، w le côté adjacent هو le dénominateur .
Quand tu connais un seul rapport d'un angle, tu peux le construire. Avec le cosinus : sur le demi-cercle trigonométrique, tu places le point dont l'abscisse est ce cosinus, tu montes à la verticale, et tu trouves un seul point du demi-cercle. Et si le cosinus est négatif, l'angle est obtus. Avec le sinus : tu places l'ordonnée sur la droite O B, et tu traces la parallèle à la droite O A. Attention, tu trouves ici deux points : l'un donne un angle aigu, l'autre l'angle obtus, son supplémentaire. Et avec la tangente : tu traces un triangle rectangle, le côté opposé est le numérateur, et le côté adjacent est le dénominateur.
Connaître un seul rapport trigonométrique d'un angle suffit pour le construire.
- Avec le cosinus. Sur le demi-cercle trigonométrique, on place le point du diamètre d'abscisse La perpendiculaire à passant par coupe le demi-cercle en un seul point et Si le cosinus est négatif, l'angle est obtus.
- Avec le sinus. On place le point du segment d'ordonnée La parallèle à passant par coupe le demi-cercle en deux points : l'un donne un angle aigu, l'autre l'angle obtus supplémentaire (sauf si le sinus vaut : il n'y a alors qu'un seul point, ). Il faut donc savoir lequel on veut.
- Avec la tangente. Si avec et positifs, on construit un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent et : est l'angle opposé au côté de longueur Si la tangente est négative, on construit l'angle de tangente opposée, puis on prend son supplémentaire.
On peut aussi construire directement un triangle rectangle : pour un côté de l'angle droit de longueur et une hypoténuse de longueur
Le demi-cercle trigonométrique de centre O : A à droite, A' à gauche, B en haut. Le point Q est sur le segment [OB], à la hauteur 0,35. Une droite horizontale passant par Q coupe le demi-cercle en deux points : N à droite, qui donne un angle AON aigu, et M à gauche, qui donne un angle AOM obtus. Les deux angles ont le même sinus, 0,35.
Exemple traité
a) Soit un triangle rectangle en tel que et Calculer le cosinus, le sinus et la tangente de l'angle b) Dans ce triangle, quel angle a pour cosinus ? c) Comment construire un angle obtus dont le sinus vaut ?
- Le troisième côté — Le triangle est rectangle en : le théorème de Pythagore donne le côté
- L'angle B — Pour l'angle le côté adjacent est et le côté opposé est
- Un cosinus de quatre cinquièmes — Pour l'angle le côté adjacent est : son cosinus vaut huit dixièmes, c'est-à-dire quatre cinquièmes. Construire ce triangle, c'est donc construire un angle de cosinus quatre cinquièmes.
- L'angle obtus — Sur le demi-cercle trigonométrique, on trace la parallèle à à la hauteur Elle coupe le demi-cercle en deux points : on garde celui de gauche, le point dont l'abscisse est négative.
À ne pas faire : Pour on prend un côté opposé de et un côté adjacent de — Côté opposé côté adjacent . La tangente est le côté opposé sur le côté adjacent : le numérateur va en face de l'angle.
17. Théorème
La loi du sinus
Ce qu’il dit
Tawa no5rjou men le triangle rectangle, w ne5dmou fi triangle quelconque. Nsammiw les côtés bel 7rouf es-sghira : a houwa BC, le côté elli 9belet A, b houwa AC, w c houwa AB. Nhabbtou la hauteur men C, w H houwa le pied mte3ha. Na7sbou CH b zouz tor9 : fi le triangle AHC, CH égale b fois sinus de l'angle A. W fi le triangle BHC, CH égale a fois sinus de l'angle B. Ez-zouz kif kif, donc : a sur sinus de l'angle A, égale b sur sinus de l'angle B. W b hauteur o5ra nkammlou : égale c sur sinus de l'angle C. Hedhi la loi du sinus : les côtés proportionnels aux sinus mta3 les angles opposés.
توّا نخرجو من le triangle rectangle ، w نخدمو في triangle quelconque . نسمّيو les côtés بالحروف الصغيرة : a هو B C ، le côté اللي قبالة A ، b هو A C ، w c هو A B . نهبّطو la hauteur من C ، w H هو le pied متاعها . نحسبو C H بزوز طرق : في le triangle A H C ، C H égale b fois sinus de l'angle A . w في le triangle B H C ، C H égale a fois sinus de l'angle B . الزوز كيف كيف ، donc : a sur sinus de l'angle A ، égale b sur sinus de l'angle B . w بـ hauteur أخرى نكمّلو : égale c sur sinus de l'angle C . هذي la loi du sinus : les côtés proportionnels aux sinus متاع les angles opposés .
Sortons maintenant du triangle rectangle, pour travailler dans un triangle quelconque. On nomme les côtés avec des lettres minuscules : a est B C, le côté en face de A, b est A C, et c est A B. On abaisse la hauteur issue de C, et H est son pied. On calcule C H de deux façons : dans le triangle A H C, C H égale b fois sinus de l'angle A. Et dans le triangle B H C, C H égale a fois sinus de l'angle B. Les deux sont égaux, donc : a sur sinus de l'angle A, égale b sur sinus de l'angle B. Et avec une autre hauteur, on complète : égale c sur sinus de l'angle C. C'est la loi du sinus : les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
Soit un triangle. On pose et : chaque côté porte la lettre minuscule du sommet qui lui est opposé.
Soit le pied de la hauteur issue de Dans le triangle rectangle en Dans le triangle rectangle en Si l'un de ces deux angles est obtus, on raisonne avec son supplémentaire, qui a le même sinus.
On a donc c'est-à-dire En recommençant avec une autre hauteur, on obtient :
Loi du sinus. Soit un triangle. On pose et On a
Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
Un triangle ABC : A est en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut. Le côté [BC] est noté a, le côté [AC] est noté b, le côté [AB] est noté c. Le point H est le pied de la hauteur issue de C : il est sur le côté [AB].
la loi du sinus
Exemple traité
Soit un triangle tel que et Montrer que et sont en progression arithmétique.
- La nature du triangle — Le carré du plus grand côté est la somme des carrés des deux autres : le triangle est rectangle en
- Les trois sinus — L'angle est droit, son sinus vaut Pour les deux autres angles, on écrit le côté opposé sur l'hypoténuse.
- La progression — On passe d'un sinus au suivant en ajoutant toujours un cinquième : ce sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison un cinquième.
- Ce n'est pas un hasard — Les côtés opposés, et sont eux-mêmes en progression arithmétique. D'après la loi du sinus, les sinus sont proportionnels aux côtés opposés : ils sont donc aussi en progression arithmétique.
À ne pas faire : — . Chaque côté va avec le sinus de l'angle qui est en face de lui : le côté a est en face du sommet A.
18. Théorème
Théorème des bissectrices
Ce qu’il dit
Tatbi9 mta3 la loi du sinus : le théorème des bissectrices. Ne5dhou triangle ABC, w la bissectrice intérieure mta3 l'angle A t9oss le côté BC fi point I. En-natija : IB sur IC égale AB sur AC. Ya3ni la bissectrice ta9sem le côté opposé 3la 7asb les côtés elli b7dheha. 3lech ? Ntabb9ou la loi du sinus fi le triangle AIB, w fi le triangle AIC. Les angles BAI w CAI kif kif, w les angles AIB w AIC supplémentaires, donc 3andhom nafs le sinus. W ken le triangle mouch isocèle en A, la bissectrice extérieure t9oss la droite BC fi point J, w nal9aw nafs le rapport : JB sur JC égale AB sur AC.
تطبيق متاع la loi du sinus : le théorème des bissectrices . ناخذو triangle A B C ، w la bissectrice intérieure متاع l'angle A تقصّ le côté B C في point I . النتيجة : I B sur I C égale A B sur A C . يعني la bissectrice تقسم le côté opposé على حسب les côtés اللي بحذاها . علاش ؟ نطبّقو la loi du sinus في le triangle A I B ، w في le triangle A I C . les angles B A I w C A I كيف كيف ، w les angles A I B w A I C supplémentaires ، donc عندهم نفس le sinus . w كان le triangle موش isocèle en A ، la bissectrice extérieure تقصّ la droite B C في point J ، w نلقاو نفس le rapport : J B sur J C égale A B sur A C .
Une application de la loi du sinus : le théorème des bissectrices. On prend un triangle A B C, et la bissectrice intérieure de l'angle A coupe le côté B C en un point I. Le résultat : I B sur I C égale A B sur A C. Autrement dit, la bissectrice partage le côté opposé proportionnellement aux côtés voisins. Pourquoi ? On applique la loi du sinus dans le triangle A I B, puis dans le triangle A I C. Les angles B A I et C A I sont égaux, et les angles A I B et A I C sont supplémentaires, donc ils ont le même sinus. Et si le triangle n'est pas isocèle en A, la bissectrice extérieure coupe la droite B C en un point J, et on trouve le même rapport : J B sur J C égale A B sur A C.
Soit un triangle et le point d'intersection de la bissectrice intérieure de l'angle et du côté Alors
La bissectrice partage donc le côté opposé en deux segments proportionnels aux côtés voisins.
Si le triangle n'est pas isocèle en la bissectrice extérieure de l'angle coupe la droite en un point et l'on a de même
Un triangle ABC : B est en bas à gauche, C en bas à droite, A en haut, plus près de B. La bissectrice intérieure de l'angle en A coupe le côté [BC] au point I. Les deux angles BAI et IAC portent la même marque : ils sont égaux.
la bissectrice intérieure
la bissectrice extérieure
Démonstration
Dans le triangle la loi du sinus donne Dans le triangle elle donne Les angles et sont égaux, puisque est la bissectrice de l'angle Les angles et sont supplémentaires : ils ont le même sinus. En divisant membre à membre, on obtient
Exemple traité
Dans un triangle on a et La bissectrice intérieure de l'angle coupe le côté en Calculer et
- Le rapport — D'après le théorème des bissectrices, le rapport de à est celui de à
- Le partage — Le point est sur le segment : la somme de et de vaut On partage donc en cinq parts égales : deux parts pour trois parts pour
À ne pas faire : La bissectrice de l'angle passe par le milieu de — Elle coupe en un point tel que . La bissectrice ne passe par le milieu que si les deux côtés A B et A C sont égaux. Sinon, le point I est plus près de B quand A B est plus petit que A C : il se rapproche du plus petit des deux côtés.
19. Théorème
Loi du sinus et cercle circonscrit
Ce qu’il dit
Le rapport a sur sinus de l'angle A, chnowa ysewi bedh-dhabt ? Ne5dhou le cercle circonscrit mta3 le triangle ABC, le centre O w le rayon R. W ne5dhou B prime, le point diamétralement opposé à B. Le triangle BB prime C marsoum fi noss cercle, donc houwa rectangle en C : sinus de l'angle BB prime C égale a sur deux R. W les angles BAC w BB prime C ychoufou nafs la corde BC : ya imma kif kif, ya imma supplémentaires, w fel 7altin 3andhom nafs le sinus. Donc : a sur sinus de l'angle A égale deux R. W la loi du sinus twalli : a sur sinus de A, égale b sur sinus de B, égale c sur sinus de C, égale deux R.
le rapport a sur sinus de l'angle A ، شنوّة يساوي بالضبط ؟ ناخذو le cercle circonscrit متاع le triangle A B C ، le centre O w le rayon R . w ناخذو B prime ، le point diamétralement opposé à B . le triangle B B prime C مرسوم في نصّ cercle ، donc هو rectangle en C : sinus de l'angle B B prime C égale a sur deux R . w les angles B A C w B B prime C يشوفو نفس la corde B C : يا إمّا كيف كيف ، يا إمّا supplémentaires ، w في الحالتين عندهم نفس le sinus . donc : a sur sinus de l'angle A égale deux R . w la loi du sinus تولّي : a sur sinus de A ، égale b sur sinus de B ، égale c sur sinus de C ، égale deux R .
Que vaut exactement le rapport a sur sinus de l'angle A ? Prenons le cercle circonscrit au triangle A B C, de centre O et de rayon R. Et prenons B prime, le point diamétralement opposé à B. Le triangle B B prime C est inscrit dans un demi-cercle, donc il est rectangle en C : sinus de l'angle B B prime C égale a sur deux R. Et les angles B A C et B B prime C interceptent la même corde B C : ils sont soit égaux, soit supplémentaires, et dans les deux cas ils ont le même sinus. Donc : a sur sinus de l'angle A égale deux R. Et la loi du sinus devient : a sur sinus de A, égale b sur sinus de B, égale c sur sinus de C, égale deux R.
Soit un triangle, son cercle circonscrit, le centre de et son rayon. On pose et Soit le point diamétralement opposé à
Le triangle est inscrit dans un demi-cercle de diamètre : il est rectangle en Donc
Les angles et sont deux angles inscrits qui interceptent la corde : ils sont égaux lorsque et sont du même côté de la droite et supplémentaires sinon. Dans les deux cas, ils ont le même sinus :
Soit un triangle et le rayon de son cercle circonscrit. On a
Lorsque le triangle est rectangle en et l'on retrouve : l'hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit.
Un cercle de centre O. Trois points A, B et C sont sur le cercle : B à gauche, C à droite à la même hauteur, A en haut. Le triangle ABC est tracé. Le point B' est le point du cercle diamétralement opposé à B : le diamètre [BB'] passe par O. Le segment [B'C] est tracé, et une équerre marque l'angle droit en C dans le triangle BB'C. Les angles BAC et BB'C portent la même marque.
R : rayon du cercle circonscrit
Exemple traité
Soit un triangle. Montrer que est rectangle en si, et seulement si, le carré du sinus de l'angle est la somme du carré du sinus de l'angle et du carré du sinus de l'angle
- Des sinus aux côtés — D'après la loi du sinus, chaque sinus est le côté opposé divisé par deux fois le rayon du cercle circonscrit.
- Traduire l'égalité — On remplace chaque sinus, puis on multiplie les deux membres par quatre fois le carré du rayon : l'égalité entre les sinus devient une égalité entre les côtés.
- Conclure — D'après le théorème de Pythagore et sa réciproque, cette égalité entre les côtés signifie exactement que le triangle est rectangle en
À ne pas faire : — . Le rapport d'un côté au sinus de l'angle opposé est le diamètre du cercle circonscrit, pas son rayon.
20. Théorème
Aire d'un triangle
Ce qu’il dit
Net3addew l la mesure des grandeurs, w nabdew b l'aire. L'aire mta3 triangle hiya la base fois la hauteur sur deux. Ne5dhou la base AB, ya3ni c, w la hauteur CH. W chofna elli CH égale b fois sinus de l'angle A. Donc : S égale un demi de b c, fois sinus de l'angle A. Chedd fi belek el 9a3da : zouz côtés, w le sinus mta3 l'angle elli binethom. W kif kif m3a ez-zouz côtés lo5rin. W 5ater sinus de l'angle A égale a sur deux R, nal9aw formule o5ra : S égale a b c sur quatre R.
نتعدّاو لـ la mesure des grandeurs ، w نبداو بـ l'aire . l'aire متاع triangle هي la base fois la hauteur sur deux . ناخذو la base A B ، يعني c ، w la hauteur C H . w شفنا اللي C H égale b fois sinus de l'angle A . donc : S égale un demi de b c ، fois sinus de l'angle A . شدّ في بالك القاعدة : زوز côtés ، w le sinus متاع l'angle اللي بيناتهم . w كيف كيف مع الزوز côtés الأخرين . w خاطر sinus de l'angle A égale a sur deux R ، نلقاو formule أخرى : S égale a b c sur quatre R .
Passons à la mesure des grandeurs, en commençant par l'aire. L'aire d'un triangle est la base fois la hauteur sur deux. On prend la base A B, c'est-à-dire c, et la hauteur C H. Et nous avons vu que C H égale b fois sinus de l'angle A. Donc : S égale un demi de b c, fois sinus de l'angle A. Retiens la règle : deux côtés, et le sinus de l'angle qu'ils forment. Et de même avec les deux autres paires de côtés. Et comme sinus de l'angle A égale a sur deux R, on obtient une autre formule : S égale a b c sur quatre R.
Soit un triangle. On pose et et on désigne par son aire. Soit le pied de la hauteur issue de : on a vu que et la base correspondante est Donc
Soit un triangle. On pose et désigne l'aire de et désigne le rayon du cercle circonscrit à On a
L'aire est le demi-produit de deux côtés par le sinus de l'angle qu'ils forment.
Comme on obtient aussi ce qui complète la loi du sinus :
Un triangle ABC : A est en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut. Le côté [BC] est noté a, le côté [AC] est noté b, le côté [AB] est noté c. La hauteur issue de C tombe au point H du côté [AB] : sa longueur est b fois le sinus de l'angle A.
l'aire
avec le rayon du cercle circonscrit
Exemple traité
Soit un triangle tel que et Donner une valeur arrondie à près de l'aire de ce triangle.
- La formule — On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : l'aire est leur demi-produit par le sinus de cet angle.
- La calculatrice — La calculatrice, réglée en degrés, donne le sinus de degrés : environ C'est aussi le sinus de degrés, son supplémentaire.
À ne pas faire : — . L'angle de la formule est celui que forment les deux côtés choisis. Les côtés b et c se rejoignent au sommet A.
À ne pas faire : Une aire de avec et impose — donc ou . Deux angles supplémentaires ont le même sinus : l'aire ne suffit pas pour savoir si l'angle est aigu ou obtus.
21. Théorème
Théorème d'El-Kashi
Ce qu’il dit
Pythagore ye5dem ken fi le triangle rectangle. W fi triangle quelconque ? Hna yji le théorème d'El-Kashi. Nhabbtou la hauteur men C, w ntabb9ou Pythagore fi le triangle BHC. Nal9aw : a au carré égale b au carré plus c au carré, moins deux b c fois cosinus de l'angle A. Chedd fi belek : le côté a w l'angle A 9belet b3adhhom. W kif kif l les deux autres côtés. Ki l'angle A droit, le cosinus zéro, w narj3ou l Pythagore. W rodd belek ki l'angle obtus : le cosinus négatif, donc moins fois moins ya3ti plus. B le théorème hedha na7sbou côté ki na3rfou zouz côtés w l'angle elli binethom, walla na7sbou angle ki na3rfou les trois côtés.
Pythagore يخدم كان في le triangle rectangle . w في triangle quelconque ؟ هنا يجي le théorème d'El-Kashi . نهبّطو la hauteur من C ، w نطبّقو Pythagore في le triangle B H C . نلقاو : a au carré égale b au carré plus c au carré ، moins deux b c fois cosinus de l'angle A . شدّ في بالك : le côté a w l'angle A قبالة بعضهم . w كيف كيف لـ les deux autres côtés . كي l'angle A droit ، le cosinus zéro ، w نرجعو لـ Pythagore . w ردّ بالك كي l'angle obtus : le cosinus négatif ، donc moins fois moins يعطي plus . بـ le théorème هذا نحسبو côté كي نعرفو زوز côtés w l'angle اللي بيناتهم ، ولّا نحسبو angle كي نعرفو les trois côtés .
Pythagore ne fonctionne que dans le triangle rectangle. Et dans un triangle quelconque ? C'est là qu'intervient le théorème d'El-Kashi. On abaisse la hauteur issue de C, et on applique Pythagore dans le triangle B H C. On trouve : a au carré égale b au carré plus c au carré, moins deux b c fois cosinus de l'angle A. Retiens bien : le côté a et l'angle A sont en face l'un de l'autre. Et de même pour les deux autres côtés. Quand l'angle A est droit, le cosinus vaut zéro, et on retrouve Pythagore. Et attention quand l'angle est obtus : le cosinus est négatif, donc moins fois moins donne plus. Avec ce théorème, on calcule un côté quand on connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment, ou un angle quand on connaît les trois côtés.
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle. Le théorème d'El-Kashi le généralise à un triangle quelconque.
Théorème d'El-Kashi. Soit un triangle. On pose et On a : - ; - ; -
Chaque formule relie un côté aux deux autres et à l'angle opposé à ce côté. Lorsque l'angle est droit, et l'on retrouve le théorème de Pythagore.
Ce théorème sert dans les deux sens : calculer un côté quand on connaît les deux autres et l'angle qu'ils forment, ou calculer un angle quand on connaît les trois côtés.
Un triangle ABC : A est en bas à gauche, B en bas à droite, C en haut. Le côté [BC] est noté a, le côté [AC] est noté b, le côté [AB] est noté c. L'angle en A est marqué. La hauteur issue de C tombe au point H du côté [AB].
le côté a et l'angle A
le côté b et l'angle B
le côté c et l'angle C
Démonstration
Soit le pied de la hauteur issue de Supposons d'abord l'angle aigu. Dans le triangle rectangle en : et La distance est l'écart entre et donc Le théorème de Pythagore dans le triangle donne car Si l'angle est obtus, est sur la droite hors du segment, du côté de : et Le même calcul redonne la même formule.
Exemple traité
Soit un triangle tel que et a) Calculer b) Calculer l'aire de ce triangle.
- Le théorème — On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : le théorème d'El-Kashi donne le carré du troisième côté.
- Le cosinus — Le cosinus de degrés est l'opposé du cosinus de degrés : il vaut moins un demi. Le double produit s'ajoute donc.
- Le côté — Une longueur est positive : on prend la racine carrée de
- L'aire — L'aire est le demi-produit des deux côtés par le sinus de l'angle qu'ils forment. Le sinus de degrés vaut racine de trois sur deux.
À ne pas faire : Avec : — . Le cosinus d'un angle obtus est négatif : moins par moins donne plus. Face à un angle obtus, le côté est plus long que ne le dirait Pythagore.
À ne pas faire : dans tout triangle — . L'égalité de Pythagore ne vaut que si l'angle A est droit. Dans les autres cas, il faut corriger avec le double produit par le cosinus.
22. Application
Exemple : l'aire d'un quadrilatère
Ce qu’il dit
Ntabb9ou la formule mta3 l'aire 3la quadrilatère. 3andna quadrilatère ABCD, w les diagonales yet9at3ou fi I, w nsammiw alpha l'angle AID. Les diagonales ya9smou le quadrilatère l quatre triangles, el koll 3andhom sommet I. W les angles fi I, ya alpha ya pi moins alpha : ya3ni el koll 3andhom nafs le sinus. Njam3ou les quatre aires, w n5arrjou un demi de sinus de alpha en facteur. Nal9aw : l'aire égale un demi de AC fois BD, fois sinus de alpha. Ya3ni yekfi ta3ref ez-zouz diagonales w l'angle elli binethom.
نطبّقو la formule متاع l'aire على quadrilatère . عندنا quadrilatère A B C D ، w les diagonales يتقاطعو في I ، w نسمّيو alpha l'angle A I D . les diagonales يقسمو le quadrilatère لـ quatre triangles ، الكل عندهم sommet I . w les angles في I ، يا alpha يا pi moins alpha : يعني الكل عندهم نفس le sinus . نجمعو les quatre aires ، w نخرّجو un demi de sinus de alpha en facteur . نلقاو : l'aire égale un demi de A C fois B D ، fois sinus de alpha . يعني يكفي تعرف الزوز diagonales w l'angle اللي بيناتهم .
Appliquons la formule de l'aire à un quadrilatère. On a un quadrilatère A B C D dont les diagonales se coupent en I, et on appelle alpha l'angle A I D. Les diagonales découpent le quadrilatère en quatre triangles, tous de sommet I. Et les angles en I valent soit alpha, soit pi moins alpha : ils ont donc tous le même sinus. On additionne les quatre aires, et on met un demi de sinus de alpha en facteur. On trouve : l'aire égale un demi de A C fois B D, fois sinus de alpha. Il suffit donc de connaître les deux diagonales et l'angle qu'elles forment.
Dans la figure, est un quadrilatère et est le point d'intersection de ses diagonales. On pose
Les diagonales découpent le quadrilatère en quatre triangles de sommet Leurs angles en mesurent ou : ils ont tous le même sinus, La somme des quatre aires vaut donc
L'aire du quadrilatère est égale à
Un quadrilatère ABCD : A est à gauche, C à droite à la même hauteur, D en haut, B en bas. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent au point I. L'angle AID, entre les deux diagonales, est noté alpha.
α : angle des diagonales
Exemple traité
Soit un rectangle de centre tel que et Calculer l'aire de ce rectangle, puis sa longueur et sa largeur.
- L'aire — Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur, Elles forment un angle de degrés, dont le sinus vaut un demi.
- La longueur — Dans le triangle on a : le théorème d'El-Kashi donne Le cosinus de degrés vaut moins racine de trois sur deux.
- La largeur — Dans le triangle l'angle en est le supplémentaire de degrés : il mesure degrés.
- Les valeurs approchées — On prend les racines carrées : la longueur vaut environ et la largeur environ Leur produit redonne bien l'aire,
23. Application
Un problème pour aller plus loin : carré et triangle équilatéral
Ce qu’il dit
Hedha problème yjamma3 barcha 7ajet. 3andna carré ABCD, le côté mte3ou a, w fi wostou triangle équilatéral EBC. N7ebbou na3rfou l'angle BAE. L'angle ABC droit, w l'angle EBC fih soixante degrés : donc l'angle ABE fih trente degrés. W le triangle ABE isocèle en B, 5ater BA w BE ysewiw le côté a du carré : donc l'angle BAE fih soixante-quinze degrés. Tawa ntabb9ou le théorème d'El-Kashi fi le triangle ABE, w nal9aw AE. W men AE ntalla3ou les valeurs exactes mta3 cosinus w sinus de soixante-quinze degrés, elli mouch angle remarquable.
هذا problème يجمع برشة حاجات . عندنا carré A B C D ، le côté متاعو a ، w في وسطو triangle équilatéral E B C . نحبّو نعرفو l'angle B A E . l'angle A B C droit ، w l'angle E B C فيه soixante degrés : donc l'angle A B E فيه trente degrés . w le triangle A B E isocèle en B ، خاطر B A w B E يساويو le côté a du carré : donc l'angle B A E فيه soixante-quinze degrés . توّا نطبّقو le théorème d'El-Kashi في le triangle A B E ، w نلقاو A E . w من A E نطلّعو les valeurs exactes متاع cosinus w sinus de soixante-quinze degrés ، اللي موش angle remarquable .
Voici un problème qui rassemble beaucoup de choses. On a un carré A B C D de côté a, et à l'intérieur un triangle équilatéral E B C. On veut connaître l'angle B A E. L'angle A B C est droit, et l'angle E B C mesure soixante degrés : l'angle A B E mesure donc trente degrés. Et le triangle A B E est isocèle en B, car B A et B E sont égaux au côté a du carré : l'angle B A E mesure donc soixante-quinze degrés. On applique ensuite le théorème d'El-Kashi dans le triangle A B E, et on trouve A E. Et de A E, on tire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de soixante-quinze degrés, qui n'est pas un angle remarquable.
Dans la figure, est un carré de côté et est un triangle équilatéral, construit à l'intérieur du carré. On cherche l'angle puis les valeurs exactes de son cosinus et de son sinus.
L'angle est droit et l'angle mesure : donc Le triangle est isocèle en car : ses deux angles à la base sont égaux, et
Le théorème d'El-Kashi, appliqué dans le triangle donne ensuite On en tire les valeurs exactes du cosinus et du sinus de degrés.
Un carré ABCD : A est en haut à gauche, D en haut à droite, C en bas à droite, B en bas à gauche. À l'intérieur du carré, le triangle EBC est équilatéral : le point E est au-dessus du milieu de [BC], près du côté [AD]. Le segment [AE] est tracé.
par El-Kashi
les valeurs exactes
Exemple traité
Dans la figure, est un carré de côté et est un triangle équilatéral. a) Calculer l'angle puis l'angle b) Montrer que le carré de la longueur est égal au carré du côté du carré, multiplié par c) En déduire le cosinus, puis le sinus, de l'angle
- Les angles — On retire degrés à l'angle droit du carré. Puis, dans le triangle isocèle en les deux angles à la base se partagent ce qui reste de degrés.
- Le côté AE — Dans le triangle on connaît les côtés et égaux au côté du carré, et l'angle qu'ils forment : on applique le théorème d'El-Kashi.
- Le cosinus — Le triangle est isocèle en : la hauteur issue de passe par le milieu de Le cosinus de l'angle est donc la moitié de divisée par
- Le sinus — D'après la première relation fondamentale, le carré du sinus vaut un moins le carré du cosinus, et ce sinus est positif.
24. Définition
Triangles isométriques
Ce qu’il dit
Zouz triangles isométriques, ma3neha les côtés mte3hom kif kif, zouz zouz : ya3ni tnajjem t7ott we7ed fou9 le5er. Ama bech ta3rafhom, ma yelzmekch tthabbet fi les trois côtés. 3andna trois cas d'isométrie. Le premier cas : côté égal, bin deux angles égaux. Le deuxième cas : angle égal, bin deux côtés égaux. W le troisième cas : les trois côtés égaux. Le premier w le deuxième nbarhnouhom b la loi du sinus w le théorème d'El-Kashi. W rodd belek : trois angles égaux ma yekfiwch, ya3tiwek nafs ech-chakl bark, mouch nafs el 9yes.
زوز triangles isométriques ، معناها les côtés متاعهم كيف كيف ، زوز زوز : يعني تنجّم تحطّ واحد فوق الآخر . أما باش تعرفهم ، ما يلزمكش تثبّت في les trois côtés . عندنا trois cas d'isométrie . le premier cas : côté égal ، بين deux angles égaux . le deuxième cas : angle égal ، بين deux côtés égaux . w le troisième cas : les trois côtés égaux . le premier w le deuxième نبرهنوهم بـ la loi du sinus w le théorème d'El-Kashi . w ردّ بالك : trois angles égaux ما يكفيوش ، يعطيوك نفس الشكل برك ، موش نفس القياس .
Deux triangles isométriques ont leurs côtés deux à deux égaux : on peut les superposer. Mais pour les reconnaître, il n'est pas nécessaire de vérifier les trois côtés. Il y a trois cas d'isométrie. Le premier cas : un côté égal, entre deux angles égaux. Le deuxième cas : un angle égal, entre deux côtés égaux. Et le troisième cas : les trois côtés égaux. Le premier et le deuxième se démontrent avec la loi du sinus et le théorème d'El-Kashi. Et attention : trois angles égaux ne suffisent pas, ils donnent seulement la même forme, pas la même taille.
Définition. On dit que deux triangles sont isométriques si leurs côtés sont deux à deux égaux.
Pour reconnaître deux triangles isométriques, il n'est pas nécessaire de comparer les trois côtés : trois informations bien choisies suffisent.
1ᵉʳ cas d'isométrie. Si deux triangles ont un côté égal compris entre deux angles respectivement égaux, alors ils sont isométriques. 2ᵉ cas d'isométrie. Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques. 3ᵉ cas d'isométrie. Si deux triangles ont trois côtés respectivement égaux, alors ils sont isométriques.
Le troisième cas est la définition elle-même. Les deux premiers se démontrent avec la loi du sinus et le théorème d'El-Kashi. Dans le deuxième cas, El-Kashi donne le troisième côté à partir des deux côtés et de l'angle qu'ils forment. Dans le premier, les troisièmes angles sont égaux eux aussi, et la loi du sinus donne les deux autres côtés à partir du côté connu.
Deux triangles isométriques ont aussi leurs angles deux à deux égaux.
Un triangle ABC isocèle en A : A est en haut, B en bas à gauche, C en bas à droite. La hauteur issue de B tombe au point H du côté [AC]. La hauteur issue de C tombe au point K du côté [AB]. Des équerres marquent les angles droits en H et en K.
Exemple traité
Soit un triangle isocèle en On désigne par et les hauteurs issues de et de Montrer que puis que
- Deux triangles — On compare les triangles et Ils ont le côté en commun.
- Les angles — Le triangle est isocèle en : les angles à la base et sont égaux. Chacun des deux triangles a aussi un angle droit, en et en : leurs troisièmes angles sont donc égaux.
- Le premier cas — Le côté est compris entre deux angles respectivement égaux : d'après le premier cas d'isométrie, les triangles et sont isométriques.
- Les côtés égaux — Dans deux triangles isométriques, les côtés situés en face des angles égaux sont égaux.
À ne pas faire : Deux triangles qui ont leurs trois angles égaux sont isométriques — Ils sont seulement semblables. Trois angles égaux donnent la même forme, pas la même taille. Pour l'isométrie, il faut au moins un côté égal.
25. Définition
Triangles semblables
Ce qu’il dit
Zouz triangles semblables, ma3neha les angles mte3hom kif kif : l'angle A égale l'angle A prime, l'angle B égale l'angle B prime, w l'angle C égale l'angle C prime. Ya3ni nafs ech-chakl, ama mouch bedh-dharoura nafs el 9yes. W en-natija el mohemma : les côtés proportionnels. a sur a prime, égale b sur b prime, égale c sur c prime. Le rapport hedha nsammiwh le rapport de similitude. W bel3aks : ken les côtés proportionnels, les triangles semblables. W zeda, ken 3andhom angle égal bin deux côtés proportionnels. Fel 5edma, yekfi tal9a deux angles égaux : le troisième yji wa7dou, 5ater la somme mta3 les angles hiya pi.
زوز triangles semblables ، معناها les angles متاعهم كيف كيف : l'angle A égale l'angle A prime ، l'angle B égale l'angle B prime ، w l'angle C égale l'angle C prime . يعني نفس الشكل ، أما موش بالضرورة نفس القياس . w النتيجة المهمّة : les côtés proportionnels . a sur a prime ، égale b sur b prime ، égale c sur c prime . le rapport هذا نسمّيوه le rapport de similitude . w بالعكس : كان les côtés proportionnels ، les triangles semblables . w زادة ، كان عندهم angle égal بين deux côtés proportionnels . في الخدمة ، يكفي تلقى deux angles égaux : le troisième يجي وحدو ، خاطر la somme متاع les angles هي pi .
Deux triangles semblables ont les mêmes angles : l'angle A égale l'angle A prime, l'angle B égale l'angle B prime, et l'angle C égale l'angle C prime. Ils ont donc la même forme, mais pas forcément la même taille. Et voici le résultat important : leurs côtés sont proportionnels. a sur a prime, égale b sur b prime, égale c sur c prime. Ce rapport s'appelle le rapport de similitude. Et réciproquement : si les côtés sont proportionnels, les triangles sont semblables. De même s'ils ont un angle égal compris entre deux côtés proportionnels. En pratique, il suffit de trouver deux angles égaux : le troisième suit, car la somme des angles vaut pi.
Soient et deux triangles. On pose et
Définition. On dit que les triangles et sont semblables si, et seulement si, et
Si et sont semblables, alors Ce rapport est appelé rapport de similitude des deux triangles.
Deux réciproques permettent de reconnaître des triangles semblables :
Si et alors et sont semblables. Si alors et sont semblables.
En pratique, comme la somme des angles d'un triangle vaut deux angles respectivement égaux suffisent : le troisième l'est alors aussi.
Un triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] : B est à gauche, C à droite, A au-dessus. Le point H est le pied de la hauteur issue de A : il est sur [BC], plus près de B. La hauteur [AH] partage le triangle en deux triangles rectangles, ABH à gauche et CAH à droite. L'angle en B et l'angle CAH portent la même marque.
triangles semblables
le rapport de similitude
Démonstration
D'après la loi du sinus, et où et sont les rayons des cercles circonscrits aux deux triangles. Si les angles sont respectivement égaux, alors et de même et : les trois rapports sont égaux. Les deux réciproques se démontrent avec le théorème d'El-Kashi.
Exemple traité
Soit un triangle rectangle en et la hauteur issue de a) Montrer que les triangles et sont semblables. b) En déduire que
- Deux angles égaux — Les deux triangles sont rectangles en De plus, l'angle et l'angle sont tous les deux complémentaires de l'angle : ils sont égaux.
- Triangles semblables — Deux angles sont respectivement égaux, donc le troisième aussi : les triangles et sont semblables.
- Les côtés proportionnels — Les côtés situés en face des angles égaux sont proportionnels.
- Le produit en croix — On fait le produit en croix avec les deux premiers rapports.
À ne pas faire : Deux triangles semblables ont les mêmes longueurs — Ils ont les mêmes angles, et des côtés proportionnels. Semblable veut dire même forme. Les longueurs sont toutes multipliées par un même nombre, le rapport de similitude. Elles ne sont égales que si ce rapport vaut un.
26. Théorème
Relations métriques dans un triangle rectangle
Ce qu’il dit
Narj3ou l le triangle rectangle, w njam3ou les relations métriques. 3andna triangle ABC rectangle en A, w H le pied de la hauteur issue de A. 3andna Pythagore : BC au carré égale AB au carré plus AC au carré. Ba3d, l'aire na7sbouha b zouz tor9, w nal9aw : AH fois BC égale AB fois AC. W b les triangles semblables nal9aw trois relations o5rin. AH au carré égale HB fois HC. AB au carré égale BH fois BC. W AC au carré égale CH fois CB. Chedd fi belek : le carré de la hauteur houwa le produit mta3 ez-zouz segments, w le carré mta3 côté houwa le segment elli b7dheh fois l'hypoténuse el koll.
نرجعو لـ le triangle rectangle ، w نجمعو les relations métriques . عندنا triangle A B C rectangle en A ، w H le pied de la hauteur issue de A . عندنا Pythagore : B C au carré égale A B au carré plus A C au carré . بعد ، l'aire نحسبوها بزوز طرق ، w نلقاو : A H fois B C égale A B fois A C . w بـ les triangles semblables نلقاو trois relations أخرين . A H au carré égale H B fois H C . A B au carré égale B H fois B C . w A C au carré égale C H fois C B . شدّ في بالك : le carré de la hauteur هو le produit متاع الزوز segments ، w le carré متاع côté هو le segment اللي بحذاه fois l'hypoténuse الكل .
Revenons au triangle rectangle, pour rassembler les relations métriques. On a un triangle A B C rectangle en A, et H le pied de la hauteur issue de A. Il y a Pythagore : B C au carré égale A B au carré plus A C au carré. Ensuite, on calcule l'aire de deux façons, et on trouve : A H fois B C égale A B fois A C. Et avec les triangles semblables, on en trouve trois autres. A H au carré égale H B fois H C. A B au carré égale B H fois B C. Et A C au carré égale C H fois C B. Retiens bien : le carré de la hauteur est le produit des deux segments, et le carré d'un côté est le segment voisin fois l'hypoténuse entière.
Soit un triangle rectangle en et soit le pied de la hauteur issue de On a : - ; - ; - ; - ; -
D'où viennent-elles ? La deuxième exprime de deux façons l'aire du triangle : et Les trois dernières viennent de triangles semblables : et pour la troisième, et pour la quatrième, et pour la cinquième.
En ajoutant les deux dernières, on retrouve le théorème de Pythagore :
Un triangle ABC rectangle en A, posé sur son hypoténuse [BC] : B est à gauche, C à droite, A au-dessus. Les côtés mesurent AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Le point H est le pied de la hauteur issue de A, sur [BC], un peu plus près de B que de C.
avec l'aire
la hauteur
les côtés de l'angle droit
Exemple traité
Dans un triangle rectangle en on a et Calculer et où est le pied de la hauteur issue de
- L'hypoténuse — Le théorème de Pythagore donne l'hypoténuse.
- La hauteur — Le produit de la hauteur par l'hypoténuse est égal au produit des deux côtés de l'angle droit.
- Le segment BH — Le carré de est le produit de par l'hypoténuse.
- Le segment CH — De même, le carré de est le produit de par l'hypoténuse. On vérifie que la somme des deux segments redonne bien
À ne pas faire : — . Le produit des deux segments de l'hypoténuse donne le carré de la hauteur. Pour un côté de l'angle droit, on multiplie son segment par l'hypoténuse entière.
27. Application
Un problème pour aller plus loin : la formule de Héron
Ce qu’il dit
Ki ta3ref les trois côtés mta3 triangle, w ma ta3ref 7atta angle, kifech te7seb l'aire ? B la formule de Héron. Nsammiw p le demi-périmètre, ya3ni noss la somme mta3 les trois côtés. W l'aire hiya : racine carrée du produit de p, par la parenthèse p moins a, par la parenthèse p moins b, et par la parenthèse p moins c. Mnin tji ? Nabdew men l'aire égale un demi de a b fois sinus de l'angle C, w n3awdhou le cosinus b le théorème d'El-Kashi, w les identités remarquables ykammlou el 5edma. Mathalan, triangle les côtés mte3ou cinq, sept w huit : p égale dix, w l'aire égale racine carrée de trois cents, ya3ni dix racine carrée de trois.
كي تعرف les trois côtés متاع triangle ، w ما تعرف حتّى angle ، كيفاش تحسب l'aire ؟ بـ la formule de Héron . نسمّيو p le demi-périmètre ، يعني نصّ la somme متاع les trois côtés . w l'aire هي : racine carrée du produit de p ، par la parenthèse p moins a ، par la parenthèse p moins b ، et par la parenthèse p moins c . منين تجي ؟ نبداو من l'aire égale un demi de a b fois sinus de l'angle C ، w نعوّضو le cosinus بـ le théorème d'El-Kashi ، w les identités remarquables يكمّلو الخدمة . مثلاً ، triangle les côtés متاعو cinq ، sept w huit : p égale dix ، w l'aire égale racine carrée de trois cents ، يعني dix racine carrée de trois .
Quand tu connais les trois côtés d'un triangle, et aucun angle, comment calculer l'aire ? Avec la formule de Héron. On appelle p le demi-périmètre, c'est-à-dire la moitié de la somme des trois côtés. Et l'aire est : racine carrée du produit de p, par la parenthèse p moins a, par la parenthèse p moins b, et par la parenthèse p moins c. D'où vient-elle ? On part de l'aire égale un demi de a b fois sinus de l'angle C, on remplace le cosinus grâce au théorème d'El-Kashi, et les identités remarquables font le reste. Par exemple, pour un triangle de côtés cinq, sept et huit : p égale dix, et l'aire égale racine carrée de trois cents, c'est-à-dire dix racine carrée de trois.
Soit un triangle. On pose et On désigne par son demi-périmètre, c'est-à-dire et par son aire.
Formule de Héron d'Alexandrie.
Elle donne l'aire à partir des trois côtés seulement, sans aucun angle.
L'idée de la démonstration. On part de donc Le théorème d'El-Kashi donne et les identités remarquables conduisent à
Comme et le membre de gauche vaut Le membre de droite vaut : d'où
le demi-périmètre
la formule de Héron
Exemple traité
Calculer l'aire d'un triangle dont les côtés mesurent et
- Le demi-périmètre — On ajoute les trois côtés, puis on divise par
- Les trois écarts — On retire chaque côté au demi-périmètre.
- La formule — On multiplie les quatre nombres, puis on prend la racine carrée.
À ne pas faire : Pour les côtés et : — . Dans la formule de Héron, p est le demi-périmètre : la moitié de la somme des trois côtés.
28. Remarque
Pour la culture : le nombre π
Ce qu’il dit
Nkammlou b chwaya tari5. Men 9dim ez-zmen, el 3olama le7dhou elli les cercles el koll 3andhom 7aja kif kif : le rapport bin le périmètre w le diamètre dima houwa houwa. Le rapport hedha houwa le nombre pi. W pi mouch rationnel : les décimales mte3ou ma toufech w ma yet3awdouch. Archimède l9a trois décimales exactes. W Al-Kashi, 3alem kbir met 7awali 3am mille quatre cent trente fi Samarcande, l9a seize décimales exactes. W houwa zeda moula le théorème elli chofneh lyoum. W tawa, b les ordinateurs, na3rfou des milliards de décimales.
نكمّلو بشويّة تاريخ . من قديم الزمان ، العلماء لاحظو اللي les cercles الكل عندهم حاجة كيف كيف : le rapport بين le périmètre w le diamètre ديما هو هو . le rapport هذا هو le nombre pi . w pi موش rationnel : les décimales متاعو ما توفاش w ما يتعاودوش . Archimède لقى trois décimales exactes . w Al-Kashi ، عالم كبير مات حوالي عام mille quatre cent trente في Samarcande ، لقى seize décimales exactes . w هو زادة مولى le théorème اللي شفناه ليوم . w توّا ، بـ les ordinateurs ، نعرفو des milliards de décimales .
Terminons par un peu d'histoire. Depuis l'Antiquité, les savants ont remarqué que tous les cercles ont quelque chose en commun : le rapport entre le périmètre et le diamètre est toujours le même. Ce rapport est le nombre pi. Et pi n'est pas un rationnel : ses décimales ne s'arrêtent jamais et ne se répètent pas. Archimède en a trouvé trois décimales exactes. Et Al-Kashi, un grand savant mort vers mille quatre cent trente à Samarcande, en a trouvé seize décimales exactes. C'est aussi lui qui a donné son nom au théorème que nous avons vu aujourd'hui. Et de nos jours, avec les ordinateurs, on connaît des milliards de décimales.
Depuis l'Antiquité, les mathématiciens ont remarqué que tous les cercles ont quelque chose en commun : le rapport entre le périmètre et le diamètre est fixe. Ce rapport est donné par le réel
n'est pas un rationnel. La recherche de ses décimales a toujours été un enjeu pour la science :
- une décimale exacte pour les Babyloniens et les Égyptiens, 2000 ans avant J.-C. ;
- 3 décimales exactes pour Archimède, 250 ans avant J.-C. ;
- 16 décimales exactes pour Al-Kashi, mort vers 1430 ;
- 100 décimales pour Machin en 1706 ;
- 1000 décimales en 1949 ;
- un million de décimales en 1973.
Aujourd'hui, à l'aide d'ordinateurs de plus en plus puissants, on peut déterminer des milliards de décimales de
Al-Kashi Jamsheddine, mort vers 1430 à Samarcande, est l'un des grands savants arabes, astronome et mathématicien. Il a dirigé pendant de longues années l'observatoire de Samarcande et il a établi des tables astronomiques d'une extraordinaire précision. Son ouvrage le plus célèbre est « Mifteh El Hissab », La clef de l'arithmétique.
À retenir
Ce qu’il dit en l’écrivant
Hedha elli lezmek tetfakkrou :
هذا اللي لازمك تتفكّرو :
Voici ce qu'il faut retenir :
- Sur le demi-cercle trigonométrique, le point tel que a pour coordonnées ; et 3la le demi-cercle trigonométrique, le point M 3andou l'abscisse cosinus de alpha, w l'ordonnée sinus de alpha. Le cosinus bin moins un w un, w le sinus bin zéro w un.Sur le demi-cercle trigonométrique, le point M a pour abscisse cosinus de alpha et pour ordonnée sinus de alpha. Le cosinus est entre moins un et un, et le sinus entre zéro et un.
- Angles supplémentaires : et Angles complémentaires : et Les angles supplémentaires : nafs le sinus, w les cosinus opposés. Les angles complémentaires : le sinus w le cosinus yetbedlou.Les angles supplémentaires ont le même sinus et des cosinus opposés. Les angles complémentaires échangent leur sinus et leur cosinus.
- pour ; pour La tangente hiya le sinus sur le cosinus, w lezem alpha différent de pi sur deux. La cotangente hiya le cosinus sur le sinus, w lezem alpha bin zéro w pi, w ma ysewich la zéro la pi.La tangente est le sinus sur le cosinus, pour alpha différent de pi sur deux. La cotangente est le cosinus sur le sinus, pour alpha strictement entre zéro et pi.
- Relations fondamentales : et Les relations fondamentales : le carré du cosinus plus le carré du sinus égale un. Un plus le carré de la tangente égale un sur le carré du cosinus. W un plus le carré de la cotangente égale un sur le carré du sinus.Les relations fondamentales : le carré du cosinus plus le carré du sinus égale un. Un plus le carré de la tangente égale un sur le carré du cosinus. Et un plus le carré de la cotangente égale un sur le carré du sinus.
- Loi du sinus : La loi du sinus : a sur sinus de l'angle A, égale b sur sinus de l'angle B, égale c sur sinus de l'angle C, égale deux R. W R houwa le rayon mta3 le cercle circonscrit.La loi du sinus : a sur sinus de l'angle A, égale b sur sinus de l'angle B, égale c sur sinus de l'angle C, égale deux R, où R est le rayon du cercle circonscrit.
- Aire d'un triangle : L'aire mta3 triangle : S égale un demi de b c, fois sinus de l'angle A. W zeda S égale a b c sur quatre R.L'aire d'un triangle : S égale un demi de b c, fois sinus de l'angle A. Et aussi S égale a b c sur quatre R.
- Théorème d'El-Kashi : Le théorème d'El-Kashi : a au carré égale b au carré plus c au carré, moins deux b c fois cosinus de l'angle A.Le théorème d'El-Kashi : a au carré égale b au carré plus c au carré, moins deux b c fois cosinus de l'angle A.
- Triangles isométriques : côtés deux à deux égaux. Triangles semblables : angles deux à deux égaux, donc côtés proportionnels.Les triangles isométriques 3andhom nafs les côtés. Les triangles semblables 3andhom nafs les angles, w les côtés mte3hom proportionnels.Les triangles isométriques ont les mêmes côtés. Les triangles semblables ont les mêmes angles, et leurs côtés sont proportionnels.
- Triangle rectangle en de hauteur : et Fi le triangle rectangle en A, w H le pied de la hauteur : AH au carré égale HB fois HC. AB au carré égale BH fois BC. AC au carré égale CH fois CB. W AH fois BC égale AB fois AC.Dans le triangle rectangle en A, avec H le pied de la hauteur : A H au carré égale H B fois H C. A B au carré égale B H fois B C. A C au carré égale C H fois C B. Et A H fois B C égale A B fois A C.
Ce qu’il dit en refermant
Hakka kammelna trigonométrie et mesure des grandeurs. Tfakker : le cosinus houwa l'abscisse w le sinus houwa l'ordonnée, 3la le demi-cercle trigonométrique. 9bal ma te5tar valeur, chouf le signe : l'angle aigu walla obtus. W fi triangle quelconque, koll côté yemchi m3a l'angle elli 9beltou : fi la loi du sinus, w fi le théorème d'El-Kashi. Yalla lel exercices.
هكّا كمّلنا trigonométrie et mesure des grandeurs . تفكّر : le cosinus هو l'abscisse w le sinus هو l'ordonnée ، على le demi-cercle trigonométrique . قْبَلْ ما تختار valeur ، شوف le signe : l'angle aigu ولّا obtus . w في triangle quelconque ، كل côté يمشي مع l'angle اللي قبالتو : في la loi du sinus ، w في le théorème d'El-Kashi . يالله للـ exercices .
Voilà, nous avons terminé trigonométrie et mesure des grandeurs. Retiens : le cosinus est l'abscisse et le sinus est l'ordonnée, sur le demi-cercle trigonométrique. Avant de choisir une valeur, regarde le signe : l'angle est-il aigu ou obtus. Et dans un triangle quelconque, chaque côté va avec l'angle qui lui fait face : dans la loi du sinus, et dans le théorème d'El-Kashi. Allons aux exercices.
Questions fréquentes — ses réponses toutes prêtes
Quand un élève tape une de ces questions pendant le cours, cette réponse part aussitôt, avec sa voix, sans passer par le modèle. Les formulations sont celles qu’on reconnaît.
Question 1 · Pour comprendre : le demi-cercle trigonométrique
- c'est quoi le demi-cercle trigonométrique
- chnowa le demi-cercle trigonométrique
- demi-cercle trigonométrique ma3neha chnowa
- définition du demi-cercle trigonométrique
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ne5dhou repère orthonormé : O, A w B, w A' houwa le symétrique mta3 A par rapport à O. Le demi-cercle trigonométrique houwa le demi-cercle elli le diamètre mte3ou $[AA']$, w elli yet3adda men B. Le rayon mte3ou 1, w koll point 3lih y9ablou réel we7ed bin 0 w $\pi$.
ناخذو repère orthonormé : O ، A w B ، w A prime هو le symétrique متاع A par rapport à O . le demi-cercle trigonométrique هو le demi-cercle اللي le diamètre متاعو A A prime ، w اللي يتعدّى من B . le rayon متاعو un ، w كل point عليه يقابلو réel واحد بين zéro w pi .
On prend un repère orthonormé : O, A et B, et A prime est le symétrique de A par rapport à O. Le demi-cercle trigonométrique est le demi-cercle de diamètre A A prime qui passe par B. Son rayon vaut un, et à chacun de ses points correspond un seul réel entre zéro et pi.
Question 2 · Cosinus et sinus d'un réel
- c'est quoi le cosinus d'un réel
- chnowa le cosinus mta3 réel alpha
- définition du cosinus et du sinus
- le cosinus c'est l'abscisse ou l'ordonnée
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Ne5dhou réel $\alpha$ bin 0 w $\pi$, w M houwa le point mta3 le demi-cercle trigonométrique elli ya3tina $\widehat{AOM} = \alpha$. Le cosinus mta3 $\alpha$ houwa l'abscisse mta3 M, w le sinus mta3 $\alpha$ houwa l'ordonnée mta3 M. Bech ma taghlatch : le cosinus na9rawh 3la l'axe horizontal, w le sinus 3la l'axe vertical.
ناخذو réel alpha بين zéro w pi ، w M هو le point متاع le demi-cercle trigonométrique اللي يعطينا l'angle A O M égale alpha . le cosinus متاع alpha هو l'abscisse متاع M ، w le sinus متاع alpha هو l'ordonnée متاع M . باش ما تغلطش : le cosinus نقراوه على l'axe horizontal ، w le sinus على l'axe vertical .
On prend un réel alpha entre zéro et pi, et M est le point du demi-cercle trigonométrique tel que l'angle A O M égale alpha. Le cosinus de alpha est l'abscisse de M, et le sinus de alpha est l'ordonnée de M. Pour ne pas te tromper : le cosinus se lit sur l'axe horizontal, et le sinus sur l'axe vertical.
Question 3 · Cosinus et sinus d'un réel
- le sinus peut être négatif ?
- sinus ynajjem ykoun négatif ?
- 3lech le sinus dima positif
- pourquoi le sinus est toujours positif entre 0 et pi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi el chapitre hedha, $\alpha$ dima bin 0 w $\pi$, donc le point M dima 3la le demi-cercle, fou9 le diamètre. L'ordonnée mte3ou ma tnajjemch tkoun négative : $0 \le \sin \alpha \le 1$. Elli ynajjem ykoun négatif houwa le cosinus, ki l'angle obtus.
في الـ chapitre هذا ، alpha ديما بين zéro w pi ، donc le point M ديما على le demi-cercle ، فوق le diamètre . l'ordonnée متاعو ما تنجّمش تكون négative : le sinus ديما بين zéro w un . اللي ينجّم يكون négatif هو le cosinus ، كي l'angle obtus .
Dans ce chapitre, alpha est toujours entre zéro et pi : le point M reste donc sur le demi-cercle, au-dessus du diamètre. Son ordonnée ne peut pas être négative : le sinus est toujours entre zéro et un. Celui qui peut être négatif, c'est le cosinus, quand l'angle est obtus.
Question 4 · Cosinus et sinus d'un réel
- pourquoi le cosinus d'un angle obtus est négatif
- 3lech cosinus négatif ki l'angle obtus
- cosinus d'un angle obtus kifech
- le cosinus peut être négatif ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le cosinus houwa l'abscisse mta3 le point M. Ki l'angle aigu, M 3al ymin mta3 la droite (OB), w l'abscisse positive. Ki l'angle obtus, M yet3adda lel ysar, w l'abscisse twalli négative. Donc le cosinus mta3 angle obtus négatif, w houwa bin $-1$ w 0.
le cosinus هو l'abscisse متاع le point M . كي l'angle aigu ، M على اليمين متاع la droite O B ، w l'abscisse positive . كي l'angle obtus ، M يتعدّى لليسار ، w l'abscisse تولّي négative . donc le cosinus متاع angle obtus négatif ، w هو بين moins un w zéro .
Le cosinus est l'abscisse du point M. Quand l'angle est aigu, M est à droite de la droite O B, et son abscisse est positive. Quand l'angle est obtus, M passe à gauche, et son abscisse devient négative. Le cosinus d'un angle obtus est donc négatif, entre moins un et zéro.
Question 5 · Angles supplémentaires
- c'est quoi deux angles supplémentaires
- chnowa les angles supplémentaires
- cosinus et sinus de deux angles supplémentaires
- angles supplémentaires 3andhom nafs le sinus ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Deux angles supplémentaires, ma3neha la somme mte3hom $\pi$, ya3ni 180 degrés. 3andhom nafs le sinus, w les cosinus opposés : $\sin(\pi - x) = \sin x$, w $\cos(\pi - x) = -\cos x$. Mathalan $\cos \dfrac{2\pi}{3} = -\cos \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.
deux angles supplémentaires ، معناها la somme متاعهم pi ، يعني cent quatre-vingts degrés . عندهم نفس le sinus ، w les cosinus opposés : sinus de pi moins x égale sinus de x ، w cosinus de pi moins x égale moins cosinus de x . مثلاً cosinus de deux pi sur trois égale moins cosinus de pi sur trois ، يعني moins un demi .
Deux angles supplémentaires ont une somme égale à pi, c'est-à-dire cent quatre-vingts degrés. Ils ont le même sinus et des cosinus opposés : sinus de pi moins x égale sinus de x, et cosinus de pi moins x égale moins cosinus de x. Par exemple, cosinus de deux pi sur trois égale moins cosinus de pi sur trois, c'est-à-dire moins un demi.
Question 6 · Angles complémentaires
- c'est quoi deux angles complémentaires
- chnowa les angles complémentaires
- cosinus et sinus de deux angles complémentaires
- angles complémentaires kifech na7seb le sinus
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Deux angles complémentaires, ma3neha la somme mte3hom $\dfrac{\pi}{2}$, ya3ni 90 degrés. Le sinus w le cosinus yetbedlou : $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$, w $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Mathalan $\cos \dfrac{\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$.
deux angles complémentaires ، معناها la somme متاعهم pi sur deux ، يعني quatre-vingt-dix degrés . le sinus w le cosinus يتبادلو : cosinus de pi sur deux moins x égale sinus de x ، w sinus de pi sur deux moins x égale cosinus de x . مثلاً cosinus de pi sur trois égale sinus de pi sur six ، الزوز un demi .
Deux angles complémentaires ont une somme égale à pi sur deux, c'est-à-dire quatre-vingt-dix degrés. Leur sinus et leur cosinus s'échangent : cosinus de pi sur deux moins x égale sinus de x, et sinus de pi sur deux moins x égale cosinus de x. Par exemple, cosinus de pi sur trois égale sinus de pi sur six : les deux valent un demi.
Question 7 · Angles complémentaires
- chnowa el far9 bin supplémentaires w complémentaires
- différence entre angles supplémentaires et complémentaires
- supplémentaires w complémentaires kifech nfarra9 binethom
- je confonds supplémentaires et complémentaires
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les supplémentaires, la somme mte3hom $\pi$ : nafs le sinus, w le cosinus ybaddel le signe. Les complémentaires, la somme mte3hom $\dfrac{\pi}{2}$ : le sinus w le cosinus yetbedlou, men ghir signe moins. Bech tetfakker : le signe moins yji ken m3a $\pi$, w et-tabdil yji m3a $\dfrac{\pi}{2}$.
les supplémentaires ، la somme متاعهم pi : نفس le sinus ، w le cosinus يبدّل le signe . les complémentaires ، la somme متاعهم pi sur deux : le sinus w le cosinus يتبادلو ، من غير signe moins . باش تتفكّر : le signe moins يجي كان مع pi ، w التبديل يجي مع pi sur deux .
Pour les supplémentaires, la somme vaut pi : même sinus, et le cosinus change de signe. Pour les complémentaires, la somme vaut pi sur deux : le sinus et le cosinus s'échangent, sans signe moins. Pour t'en souvenir : le signe moins ne vient qu'avec pi, et l'échange vient avec pi sur deux.
Question 8 · Tangente et cotangente
- c'est quoi la tangente d'un réel
- chnowa la tangente mta3 alpha
- définition de la tangente
- tangente ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La tangente mta3 $\alpha$ hiya $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Lezem $\alpha$ ykoun bin 0 w $\pi$, w différent de $\dfrac{\pi}{2}$. Fi le triangle rectangle, hiya le côté opposé sur le côté adjacent. W le signe mte3ha kif le signe mta3 le cosinus : positive ki l'angle aigu, w négative ki l'angle obtus.
la tangente متاع alpha هي sinus de alpha sur cosinus de alpha . لازم alpha يكون بين zéro w pi ، w différent de pi sur deux . في le triangle rectangle ، هي le côté opposé sur le côté adjacent . w le signe متاعها كيف le signe متاع le cosinus : positive كي l'angle aigu ، w négative كي l'angle obtus .
La tangente de alpha est sinus de alpha sur cosinus de alpha. Il faut que alpha soit entre zéro et pi, et différent de pi sur deux. Dans le triangle rectangle, c'est le côté opposé sur le côté adjacent. Et son signe est celui du cosinus : positive quand l'angle est aigu, négative quand il est obtus.
Question 9 · Tangente et cotangente
- c'est quoi la cotangente
- chnowa la cotangente mta3 alpha
- définition de la cotangente
- cot alpha ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La cotangente mta3 $\alpha$ hiya $\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$. Lezem $\alpha$ ykoun bin 0 w $\pi$, w ma ysewich la 0 la $\pi$, 5ater le sinus ghadi 0. Nektbouha $\cot \alpha$. Fi le triangle rectangle, hiya le côté adjacent sur le côté opposé. Mathalan $\cot \dfrac{\pi}{2} = 0$.
la cotangente متاع alpha هي cosinus de alpha sur sinus de alpha . لازم alpha يكون بين zéro w pi ، w ما يساويش لا zéro لا pi ، خاطر le sinus غادي zéro . نكتبوها cot alpha . في le triangle rectangle ، هي le côté adjacent sur le côté opposé . مثلاً la cotangente de pi sur deux égale zéro .
La cotangente de alpha est cosinus de alpha sur sinus de alpha. Il faut que alpha soit strictement entre zéro et pi, car le sinus s'annule en zéro et en pi. On la note cot alpha. Dans le triangle rectangle, c'est le côté adjacent sur le côté opposé. Par exemple, la cotangente de pi sur deux égale zéro.
Question 10 · Tangente et cotangente
- pourquoi la tangente de pi sur 2 n'existe pas
- 3lech tangente de pi sur 2 mouch mawjouda
- tan de pi sur 2 existe ?
- la tangente n'est pas définie en pi sur 2 pourquoi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La tangente hiya le sinus sur le cosinus. W $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$, w ma najjmouch na9smou 3la 0. Donc $\tan \dfrac{\pi}{2}$ ma hich mawjouda. 3la el figure, ki $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$, la droite (OM) parallèle à la tangente fi A, w ma t9osshech. Ama fi $0$ w fi $\pi$, la tangente mawjouda w tsewi $0$.
la tangente هي le sinus sur le cosinus . w cosinus de pi sur deux égale zéro ، w ما نجّموش نقسمو على zéro . donc tangente de pi sur deux ما هيش موجودة . على الـ figure ، كي alpha égale pi sur deux ، la droite O M parallèle à la tangente في A ، w ما تقصّهاش . أما في zéro w في pi ، la tangente موجودة w تساوي zéro .
La tangente est le sinus sur le cosinus. Or cosinus de pi sur deux égale zéro, et on ne divise pas par zéro. La tangente de pi sur deux n'existe donc pas. Sur la figure, quand alpha égale pi sur deux, la droite O M est parallèle à la tangente en A : elle ne la coupe pas. En zéro et en pi, en revanche, elle existe et vaut zéro.
Question 11 · Tangente et cotangente
- chnowa el far9 bin tangente w cotangente
- différence entre tangente et cotangente
- la cotangente c'est l'inverse de la tangente ?
- tangente w cotangente chnowa el 3ala9a binethom
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La tangente hiya le sinus sur le cosinus, w la cotangente hiya le cosinus sur le sinus : ya3ni ma9loubin. Ki ez-zouz mawjoudin, $\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}$, w le produit mte3hom 1. Ama rodd belek : fi $\dfrac{\pi}{2}$, la cotangente 0 w la tangente ma hich mawjouda.
la tangente هي le sinus sur le cosinus ، w la cotangente هي le cosinus sur le sinus : يعني مقلوبين . كي الزوز موجودين ، la cotangente هي l'inverse متاع la tangente ، w le produit متاعهم un . أما ردّ بالك : في pi sur deux ، la cotangente zéro w la tangente ما هيش موجودة .
La tangente est le sinus sur le cosinus, et la cotangente est le cosinus sur le sinus : l'une est l'autre renversée. Quand les deux existent, la cotangente est l'inverse de la tangente, et leur produit vaut un. Mais attention : en pi sur deux, la cotangente vaut zéro et la tangente n'existe pas.
Question 12 · Lignes trigonométriques des angles remarquables
- comment retenir les valeurs des angles remarquables
- kifech na7fedh le tableau des angles remarquables
- angles remarquables chnowa homa
- les valeurs remarquables de cosinus et sinus
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Les angles remarquables houma 0, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ w $\dfrac{\pi}{2}$. Le sinus yotla3 : 0, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, w 1. W le cosinus nafs les valeurs ama bel ma9loub : men 1 l 0. W l $\dfrac{\pi}{4}$, ez-zouz kif kif.
les angles remarquables هوما zéro ، pi sur six ، pi sur quatre ، pi sur trois w pi sur deux . le sinus يطلع : zéro ، un demi ، racine carrée de deux sur deux ، racine carrée de trois sur deux ، w un . w le cosinus نفس les valeurs أما بالمقلوب : من un لـ zéro . w لـ pi sur quatre ، الزوز كيف كيف .
Les angles remarquables sont zéro, pi sur six, pi sur quatre, pi sur trois et pi sur deux. Le sinus monte : zéro, un demi, racine carrée de deux sur deux, racine carrée de trois sur deux, et un. Et le cosinus prend les mêmes valeurs dans l'ordre inverse : de un à zéro. Pour pi sur quatre, les deux sont égaux.
Question 13 · Lignes trigonométriques des angles remarquables
- pourquoi un sinus donne deux solutions
- 3lech sinus ya3ti zouz solutions
- sin x égale un demi combien de solutions
- sinus w zouz valeurs kifech
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le sinus houwa l'ordonnée. W 3la le demi-cercle, thamma zouz points 3andhom nafs l'ordonnée : we7ed 3al ymin w we7ed 3al ysar. Donc ki na3rfou le sinus, nal9aw zouz réels : $x$ w $\pi - x$. Mathalan $\sin x = \dfrac{1}{2}$ ya3ti $\dfrac{\pi}{6}$, walla $\dfrac{5\pi}{6}$. Ken ki le sinus ysewi $1$, thamma point we7ed bark, w réel we7ed : $\dfrac{\pi}{2}$. W le cosinus bel3aks, ya3ti réel we7ed bark.
le sinus هو l'ordonnée . w على le demi-cercle ، ثمّة زوز points عندهم نفس l'ordonnée : واحد على اليمين w واحد على اليسار . donc كي نعرفو le sinus ، نلقاو زوز réels : x w pi moins x . مثلاً sinus de x égale un demi يعطي pi sur six ، ولّا cinq pi sur six . كان كي le sinus يساوي un ، ثمّة point واحد برك ، w réel واحد : pi sur deux . w le cosinus بالعكس ، يعطي réel واحد برك .
Le sinus est l'ordonnée. Et sur le demi-cercle, deux points ont la même ordonnée : l'un à droite, l'autre à gauche. Quand on connaît le sinus, on trouve donc deux réels : x et pi moins x. Par exemple, sinus de x égale un demi donne pi sur six, ou bien cinq pi sur six. Seule exception : quand le sinus vaut un, il n'y a qu'un point, et un seul réel, pi sur deux. Le cosinus, au contraire, ne donne qu'un seul réel.
Question 14 · Relations fondamentales
- c'est quoi la relation fondamentale
- chnowa les relations fondamentales
- pourquoi la relation fondamentale est vraie
- relation fondamentale ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La relation fondamentale hiya : $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$. Tji men le demi-cercle : le point M 3andou l'abscisse $\cos x$ w l'ordonnée $\sin x$, w $OM = 1$. W menha ntalla3ou zouz o5rin : $1 + \tan^{2} x = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$, w $1 + \cot^{2} x = \dfrac{1}{\sin^{2} x}$.
la relation fondamentale هي : le carré du cosinus plus le carré du sinus égale un . تجي من le demi-cercle : le point M عندو l'abscisse cosinus de x w l'ordonnée sinus de x ، w O M égale un . w منها نطلّعو زوز أخرين : un plus le carré de la tangente égale un sur le carré du cosinus ، w un plus le carré de la cotangente égale un sur le carré du sinus .
La relation fondamentale est : le carré du cosinus plus le carré du sinus égale un. Elle vient du demi-cercle : le point M a pour abscisse cosinus de x et pour ordonnée sinus de x, et O M égale un. On en tire deux autres : un plus le carré de la tangente égale un sur le carré du cosinus, et un plus le carré de la cotangente égale un sur le carré du sinus.
Question 15 · D'un rapport aux trois autres
- comment choisir le signe du cosinus
- kifech na3ref le signe mta3 cosinus
- le signe du cosinus kifech nal9ah
- signe du cosinus quand on connaît le sinus
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La relation fondamentale ta3tik le carré du cosinus bark, w yo93edlek le signe. Chouf l'intervalle : ken $x$ bin 0 w $\dfrac{\pi}{2}$, l'angle aigu w le cosinus positif. Ken $x$ bin $\dfrac{\pi}{2}$ w $\pi$, l'angle obtus w le cosinus négatif. W ken ta3ref la tangente, le cosinus 3andou nafs le signe mte3ha.
la relation fondamentale تعطيك le carré du cosinus برك ، w يقعدلك le signe . شوف l'intervalle : كان x بين zéro w pi sur deux ، l'angle aigu w le cosinus positif . كان x بين pi sur deux w pi ، l'angle obtus w le cosinus négatif . w كان تعرف la tangente ، le cosinus عندو نفس le signe متاعها .
La relation fondamentale ne te donne que le carré du cosinus : il reste à choisir le signe. Regarde l'intervalle : si x est entre zéro et pi sur deux, l'angle est aigu et le cosinus est positif. Si x est entre pi sur deux et pi, l'angle est obtus et le cosinus est négatif. Et si tu connais la tangente, le cosinus a le même signe qu'elle.
Question 16 · Relations fondamentales
- que veut dire cos² x
- cos carré x ma3neha chnowa
- cos² x c'est cos de x au carré ?
- chnowa cos carré
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
$\cos^{2} x$ hiya ktiba mo5tasra : ma3neha $(\cos x)^{2}$. Ya3ni te7seb le cosinus 9bal, w ba3d tarf3ou au carré. Mouch $\cos(x^{2})$. W kif kif l $\sin^{2} x$, $\tan^{2} x$ w $\cot^{2} x$.
cosinus carré de x هي كتيبة مختصرة : معناها cosinus de x ، الكل au carré . يعني تحسب le cosinus قْبَلْ ، w بعد ترفعو au carré . موش le cosinus du carré de x . w كيف كيف لـ sinus carré de x ، tangente carré de x w cotangente carré de x .
Cosinus carré de x est une écriture abrégée : elle désigne cosinus de x, le tout au carré. Tu calcules donc d'abord le cosinus, puis tu l'élèves au carré. Ce n'est pas le cosinus du carré de x. Et de même pour sinus carré de x, tangente carré de x et cotangente carré de x.
Question 17 · D'un rapport aux trois autres
- comment trouver le cosinus à partir de la tangente
- kifech nal9a cosinus ki na3ref la tangente
- trouver cos et sin sachant tan
- men la tangente kifech nal9a le sinus
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Tabda b la relation : $1 + \tan^{2} x = \dfrac{1}{\cos^{2} x}$. Ta3tik le carré du cosinus. Ba3d te5tar le signe : le cosinus 3andou nafs le signe mta3 la tangente. W fel e5er, $\sin x = \tan x \times \cos x$. Mathalan $\tan x = 10$ : $\cos^{2} x = \dfrac{1}{101}$.
تبدا بـ la relation : un plus le carré de la tangente égale un sur le carré du cosinus . تعطيك le carré du cosinus . بعد تختار le signe : le cosinus عندو نفس le signe متاع la tangente . w في الآخر ، le sinus égale la tangente fois le cosinus . مثلاً tangente égale dix : le carré du cosinus un sur cent un .
Commence par la relation : un plus le carré de la tangente égale un sur le carré du cosinus. Elle te donne le carré du cosinus. Choisis ensuite le signe : le cosinus a le même signe que la tangente. Et pour finir, le sinus égale la tangente fois le cosinus. Par exemple, si la tangente vaut dix, le carré du cosinus vaut un sur cent un.
Question 18 · La loi du sinus
- c'est quoi la loi du sinus
- chnowa la loi du sinus
- loi du sinus ma3neha chnowa
- à quoi sert la loi du sinus
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi triangle ABC, nsammiw a, b w c les côtés elli 9belet A, B w C. La loi du sinus t9oul : $\dfrac{a}{\sin \widehat{A}} = \dfrac{b}{\sin \widehat{B}} = \dfrac{c}{\sin \widehat{C}}$. Ya3ni koll côté m3a le sinus mta3 l'angle elli 9beltou. Nesta3mlouha ki na3rfou côté w zouz angles, bech nal9aw les côtés lo5rin.
في triangle A B C ، نسمّيو a ، b w c les côtés اللي قبالة A ، B w C . la loi du sinus تقول : a sur sinus de l'angle A ، égale b sur sinus de l'angle B ، égale c sur sinus de l'angle C . يعني كل côté مع le sinus متاع l'angle اللي قبالتو . نستعملوها كي نعرفو côté w زوز angles ، باش نلقاو les côtés الأخرين .
Dans un triangle A B C, on appelle a, b et c les côtés opposés à A, B et C. La loi du sinus dit : a sur sinus de l'angle A, égale b sur sinus de l'angle B, égale c sur sinus de l'angle C. Chaque côté va donc avec le sinus de l'angle qui lui fait face. On s'en sert quand on connaît un côté et deux angles, pour trouver les autres côtés.
Question 19 · Loi du sinus et cercle circonscrit
- comment calculer le rayon du cercle circonscrit
- rayon du cercle circonscrit kifech na7sbou
- c'est quoi le cercle circonscrit et son rayon
- cercle circonscrit w la loi du sinus
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le cercle circonscrit houwa le cercle elli yet3adda men les trois sommets mta3 le triangle. W le rayon mte3ou R nal9awh b la loi du sinus : $\dfrac{a}{\sin \widehat{A}} = 2R$. Ya3ni te5ou côté, ta9smou 3la le sinus mta3 l'angle elli 9beltou, w ta9sem 3la 2. W 3andek zeda : $R = \dfrac{abc}{4S}$, w S hiya l'aire.
le cercle circonscrit هو le cercle اللي يتعدّى من les trois sommets متاع le triangle . w le rayon متاعو R نلقاوه بـ la loi du sinus : a sur sinus de l'angle A égale deux R . يعني تاخو côté ، تقسمو على le sinus متاع l'angle اللي قبالتو ، w تقسم على deux . w عندك زادة : R égale a b c sur quatre S ، w S هي l'aire .
Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Son rayon R se trouve avec la loi du sinus : a sur sinus de l'angle A égale deux R. Tu prends donc un côté, tu le divises par le sinus de l'angle opposé, puis par deux. Tu as aussi : R égale a b c sur quatre S, où S est l'aire.
Question 20 · Théorème des bissectrices
- c'est quoi le théorème des bissectrices
- chnowa le théorème des bissectrices
- la bissectrice coupe le côté opposé comment
- bissectrice w le rapport mta3 les côtés
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi triangle ABC, la bissectrice intérieure mta3 l'angle A t9oss le côté [BC] fi point I. Le théorème y9oul : $\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{AB}{AC}$. Ya3ni ken AB asghar men AC, I a9rab l B. Mathalan ken $AB = 6$ w $AC = 9$, $\dfrac{IB}{IC} = \dfrac{2}{3}$.
في triangle A B C ، la bissectrice intérieure متاع l'angle A تقصّ le côté B C في point I . le théorème يقول : I B sur I C égale A B sur A C . يعني كان A B أصغر من A C ، I أقرب لـ B . مثلاً كان A B égale six w A C égale neuf ، I B sur I C égale deux sur trois .
Dans un triangle A B C, la bissectrice intérieure de l'angle A coupe le côté B C en un point I. Le théorème dit : I B sur I C égale A B sur A C. Le point I est donc plus près de B quand A B est plus petit que A C. Par exemple, si A B égale six et A C égale neuf, I B sur I C égale deux sur trois.
Question 21 · Aire d'un triangle
- comment calculer l'aire d'un triangle avec le sinus
- kifech na7seb l'aire mta3 triangle
- formule de l'aire d'un triangle
- l'aire avec deux côtés et un angle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Te5ou zouz côtés, w l'angle elli binethom. L'aire hiya un demi, fois le produit mta3 ez-zouz côtés, fois le sinus mta3 l'angle hedheka. Mathalan $S = \dfrac{1}{2}\,bc \sin \widehat{A}$. Rodd belek : l'angle lezem ykoun bin ez-zouz côtés elli 5dhithom, mouch angle e5er.
تاخو زوز côtés ، w l'angle اللي بيناتهم . l'aire هي un demi ، fois le produit متاع الزوز côtés ، fois le sinus متاع l'angle هذاكا . مثلاً S égale un demi de b c fois sinus de l'angle A . ردّ بالك : l'angle لازم يكون بين الزوز côtés اللي خذيتهم ، موش angle آخر .
Tu prends deux côtés et l'angle qu'ils forment. L'aire est un demi, fois le produit des deux côtés, fois le sinus de cet angle. Par exemple, S égale un demi de b c fois sinus de l'angle A. Attention : l'angle doit être celui que forment les deux côtés choisis, pas un autre.
Question 22 · Exemple : l'aire d'un quadrilatère
- comment calculer l'aire d'un quadrilatère
- kifech na7seb l'aire mta3 quadrilatère
- formule de l'aire d'un quadrilatère avec les diagonales
- l'aire d'un quadrilatère avec le sinus
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Te5ou ez-zouz diagonales, w l'angle elli binethom. L'aire mta3 le quadrilatère hiya un demi, fois le produit mta3 ez-zouz diagonales, fois le sinus mta3 l'angle hedheka. Mathalan l quadrilatère $ABCD$ : l'aire hiya $\dfrac{1}{2}\,AC \times BD \times \sin \alpha$, w $\alpha$ houwa l'angle mta3 les diagonales.
تاخو الزوز diagonales ، w l'angle اللي بيناتهم . l'aire متاع le quadrilatère هي un demi ، fois le produit متاع الزوز diagonales ، fois le sinus متاع l'angle هذاكا . مثلاً لـ quadrilatère A B C D : l'aire égale un demi de A C fois B D ، fois sinus de alpha ، w alpha هو l'angle متاع les diagonales .
Tu prends les deux diagonales et l'angle qu'elles forment. L'aire du quadrilatère est un demi, fois le produit des deux diagonales, fois le sinus de cet angle. Par exemple, pour un quadrilatère A B C D : l'aire égale un demi de A C fois B D, fois sinus de alpha, où alpha est l'angle des diagonales.
Question 23 · Théorème d'El-Kashi
- c'est quoi le théorème d'El-Kashi
- chnowa théorème El Kashi
- à quoi sert El-Kashi
- formule d'El Kashi
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Le théorème d'El-Kashi yorbot les trois côtés mta3 triangle m3a angle : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos \widehat{A}$. Le côté a w l'angle A 9belet b3adhhom. Nesta3mlouh bech na7sbou côté ki na3rfou zouz côtés w l'angle elli binethom, walla bech na7sbou angle ki na3rfou les trois côtés.
le théorème d'El-Kashi يربط les trois côtés متاع triangle مع angle : a au carré égale b au carré plus c au carré ، moins deux b c fois cosinus de l'angle A . le côté a w l'angle A قبالة بعضهم . نستعملوه باش نحسبو côté كي نعرفو زوز côtés w l'angle اللي بيناتهم ، ولّا باش نحسبو angle كي نعرفو les trois côtés .
Le théorème d'El-Kashi relie les trois côtés d'un triangle à un angle : a au carré égale b au carré plus c au carré, moins deux b c fois cosinus de l'angle A. Le côté a et l'angle A se font face. On s'en sert pour calculer un côté quand on connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment, ou pour calculer un angle quand on connaît les trois côtés.
Question 24 · Théorème d'El-Kashi
- différence entre El-Kashi et Pythagore
- chnowa el far9 bin Kashi w Pythagore
- El Kashi w Pythagore kif kif ?
- Pythagore est un cas particulier d'El-Kashi ?
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Pythagore ye5dem ken fi le triangle rectangle, w El-Kashi ye5dem fi koll triangle. W Pythagore houwa cas particulier mta3 El-Kashi : ki l'angle A droit, $\cos \widehat{A} = 0$, w le terme $-2bc \cos \widehat{A}$ yetna77a. Yo93ed $a^{2} = b^{2} + c^{2}$.
Pythagore يخدم كان في le triangle rectangle ، w El-Kashi يخدم في كل triangle . w Pythagore هو cas particulier متاع El-Kashi : كي l'angle A droit ، cosinus de l'angle A égale zéro ، w le terme moins deux b c fois le cosinus يتنحّى . يقعد a au carré égale b au carré plus c au carré .
Pythagore ne fonctionne que dans le triangle rectangle, alors qu'El-Kashi fonctionne dans tout triangle. Et Pythagore est un cas particulier d'El-Kashi : quand l'angle A est droit, cosinus de l'angle A égale zéro, et le terme moins deux b c fois le cosinus disparaît. Il reste a au carré égale b au carré plus c au carré.
Question 25 · Théorème d'El-Kashi
- quand utiliser la loi du sinus et quand El-Kashi
- wa9tech nesta3mel El Kashi w wa9tech la loi du sinus
- loi du sinus ou El-Kashi lequel choisir
- El Kashi walla la loi du sinus
Ce qu’il répond
Chouf chnowa ta3ref. Ken ta3ref zouz côtés w l'angle elli binethom, walla les trois côtés : esta3mel El-Kashi. Ken ta3ref côté w zouz angles, walla côté, l'angle elli 9beltou w côté e5er : esta3mel la loi du sinus. Ya3ni El-Kashi ki el 5edma m3a les côtés, w la loi du sinus ki 3andek couple : côté w l'angle opposé mte3ou.
شوف شنوّة تعرف . كان تعرف زوز côtés w l'angle اللي بيناتهم ، ولّا les trois côtés : استعمل El-Kashi . كان تعرف côté w زوز angles ، ولّا côté ، l'angle اللي قبالتو w côté آخر : استعمل la loi du sinus . يعني El-Kashi كي الخدمة مع les côtés ، w la loi du sinus كي عندك couple : côté w l'angle opposé متاعو .
Regarde ce que tu connais. Si tu connais deux côtés et l'angle qu'ils forment, ou bien les trois côtés : utilise El-Kashi. Si tu connais un côté et deux angles, ou bien un côté, l'angle qui lui fait face et un deuxième côté : utilise la loi du sinus. El-Kashi sert donc quand on travaille surtout avec des côtés, et la loi du sinus quand on a un couple : un côté et son angle opposé.
Question 26 · Triangles isométriques
- c'est quoi deux triangles isométriques
- chnowa triangles isométriques
- comment montrer que deux triangles sont isométriques
- les cas d'isométrie chnowa homa
Ce qu’il répond
Zouz triangles isométriques, ma3neha les côtés mte3hom kif kif, zouz zouz. Bech tbarhenha, 3andek trois cas d'isométrie. Le premier cas : côté égal, bin deux angles égaux. Le deuxième cas : angle égal, bin deux côtés égaux. Le troisième cas : les trois côtés égaux. W wa9tha les angles mte3hom zeda kif kif.
زوز triangles isométriques ، معناها les côtés متاعهم كيف كيف ، زوز زوز . باش تبرهنها ، عندك trois cas d'isométrie . le premier cas : côté égal ، بين deux angles égaux . le deuxième cas : angle égal ، بين deux côtés égaux . le troisième cas : les trois côtés égaux . w وقتها les angles متاعهم زادة كيف كيف .
Deux triangles isométriques ont leurs côtés deux à deux égaux. Pour le démontrer, tu as trois cas d'isométrie. Le premier cas : un côté égal, entre deux angles égaux. Le deuxième cas : un angle égal, entre deux côtés égaux. Le troisième cas : les trois côtés égaux. Et leurs angles sont alors égaux eux aussi.
Question 27 · Triangles semblables
- c'est quoi deux triangles semblables
- chnowa triangles semblables
- comment montrer que deux triangles sont semblables
- triangles semblables ma3neha chnowa
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Zouz triangles semblables, ma3neha les angles mte3hom kif kif, zouz zouz. W wa9tha les côtés proportionnels : $\dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'}$. Le rapport hedha houwa le rapport de similitude. Bech tbarhenha, yekfi tal9a deux angles égaux, 5ater la somme mta3 les angles dima $\pi$.
زوز triangles semblables ، معناها les angles متاعهم كيف كيف ، زوز زوز . w وقتها les côtés proportionnels : a sur a prime ، égale b sur b prime ، égale c sur c prime . le rapport هذا هو le rapport de similitude . باش تبرهنها ، يكفي تلقى deux angles égaux ، خاطر la somme متاع les angles ديما pi .
Deux triangles semblables ont leurs angles deux à deux égaux. Leurs côtés sont alors proportionnels : a sur a prime, égale b sur b prime, égale c sur c prime. Ce rapport est le rapport de similitude. Pour le démontrer, il suffit de trouver deux angles égaux, car la somme des angles vaut toujours pi.
Question 28 · Triangles semblables
- chnowa el far9 bin isométriques w semblables
- différence entre triangles isométriques et semblables
- isométriques w semblables kif kif ?
- deux triangles semblables sont-ils isométriques
Ce qu’il répond
Les triangles isométriques 3andhom nafs les côtés : nafs ech-chakl w nafs el 9yes. Les triangles semblables 3andhom nafs les angles bark : nafs ech-chakl, ama we7ed ynajjem ykoun akbar men le5er. Donc koll zouz isométriques houma semblables, w le rapport de similitude mte3hom 1. Ama el 3aks mouch dima s7i7.
les triangles isométriques عندهم نفس les côtés : نفس الشكل w نفس القياس . les triangles semblables عندهم نفس les angles برك : نفس الشكل ، أما واحد ينجّم يكون أكبر من الآخر . donc كل زوز isométriques هوما semblables ، w le rapport de similitude متاعهم un . أما العكس موش ديما صحيح .
Les triangles isométriques ont les mêmes côtés : même forme et même taille. Les triangles semblables ont seulement les mêmes angles : même forme, mais l'un peut être plus grand que l'autre. Deux triangles isométriques sont donc toujours semblables, avec un rapport de similitude égal à un. Mais la réciproque n'est pas toujours vraie.
Question 29 · Relations métriques dans un triangle rectangle
- c'est quoi les relations métriques
- chnowa les relations métriques fi triangle rectangle
- relations métriques kifech na7fedhhom
- formule de la hauteur dans un triangle rectangle
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
Fi triangle ABC rectangle en A, w H le pied de la hauteur issue de A, 3andna : $AH^{2} = HB \times HC$. $AB^{2} = BH \times BC$. $AC^{2} = CH \times CB$. W $AH \times BC = AB \times AC$. Bech tetfakkarhom : le carré de la hauteur houwa le produit mta3 ez-zouz segments, w le carré mta3 côté houwa le segment elli b7dheh fois l'hypoténuse.
في triangle A B C rectangle en A ، w H le pied de la hauteur issue de A ، عندنا : A H au carré égale H B fois H C . A B au carré égale B H fois B C . A C au carré égale C H fois C B . w A H fois B C égale A B fois A C . باش تتفكّرهم : le carré de la hauteur هو le produit متاع الزوز segments ، w le carré متاع côté هو le segment اللي بحذاه fois l'hypoténuse .
Dans un triangle A B C rectangle en A, avec H le pied de la hauteur issue de A, on a : A H au carré égale H B fois H C. A B au carré égale B H fois B C. A C au carré égale C H fois C B. Et A H fois B C égale A B fois A C. Pour les retenir : le carré de la hauteur est le produit des deux segments, et le carré d'un côté est le segment voisin fois l'hypoténuse.
Question 30 · Un problème pour aller plus loin : la formule de Héron
- c'est quoi la formule de Héron
- chnowa formule Héron
- à quoi sert la formule de Héron
- Héron kifech nesta3melha
Ce qu’il écrit au tableau
Ce qu’il répond
La formule de Héron ta3tik l'aire mta3 triangle ki ta3ref les trois côtés bark. Te7seb p, le demi-périmètre : noss la somme mta3 les trois côtés. W l'aire hiya $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$. Mathalan l les côtés 5, 7 w 8 : $p = 10$, w l'aire $10\sqrt{3}$.
la formule de Héron تعطيك l'aire متاع triangle كي تعرف les trois côtés برك . تحسب p ، le demi-périmètre : نصّ la somme متاع les trois côtés . w l'aire هي racine carrée du produit de p ، par la parenthèse p moins a ، par la parenthèse p moins b ، et par la parenthèse p moins c . مثلاً لـ les côtés cinq ، sept w huit : p égale dix ، w l'aire dix racine carrée de trois .
La formule de Héron donne l'aire d'un triangle quand on ne connaît que ses trois côtés. Tu calcules p, le demi-périmètre : la moitié de la somme des trois côtés. Et l'aire est racine carrée du produit de p, par la parenthèse p moins a, par la parenthèse p moins b, et par la parenthèse p moins c. Par exemple, pour les côtés cinq, sept et huit : p égale dix, et l'aire vaut dix racine carrée de trois.
Les exercices — avec les corrigés
Exercice 1 · base
Un cosinus négatif
Soit un réel de l'intervalle fermé tel que Déterminer
Écris la valeur de en radians, et non en degrés, avec pi.
Réponse attendue : 2*pi/3 — aussi acceptées : 2pi/3
Indices, dans l’ordre
- Le cosinus est négatif : l'angle est-il aigu ou obtus ?
- Quel angle remarquable a pour cosinus un demi ?
- Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés : prends le supplémentaire de
Correction
- L'angle remarquable — On sait que le cosinus de vaut un demi.
- Le supplémentaire — Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés.
- La valeur de x — Dans l'intervalle fermé , un cosinus ne correspond qu'à un seul réel.
Un cosinus négatif signale un angle obtus : on passe par le supplémentaire de l'angle remarquable.
Pièges anticipés
pi/3→ Le cosinus de vaut plus un demi. Ici le cosinus est négatif : il faut le supplémentaire.5*pi/6→ Le cosinus de vaut moins racine de trois sur deux, pas moins un demi.120 / 120°→ C'est la mesure en degrés. On demande la mesure en radians : remplace par
Exercice 2 · base
Un sinus, deux angles
Soit un réel de l'intervalle fermé tel que Donner toutes les valeurs possibles de
Écris les deux valeurs entre accolades, séparées par un point-virgule, avec pi.
Réponse attendue : {pi/3;2pi/3} — aussi acceptées : {π/3;2π/3} · {pi/3;2*pi/3} · {1/3 pi;2/3 pi} · {π/3;2*π/3}
Indices, dans l’ordre
- Le sinus est l'ordonnée du point du demi-cercle : combien de points ont cette ordonnée ?
- Un premier angle est un angle remarquable aigu.
- Deux angles supplémentaires ont le même sinus.
Correction
- L'angle aigu — Le sinus de vaut racine de trois sur deux.
- L'angle obtus — Son supplémentaire a le même sinus.
Dans l'intervalle fermé , un sinus strictement compris entre zéro et un correspond toujours à deux réels supplémentaires.
Pièges anticipés
{pi/3} / pi/3→ Il manque une valeur : le supplémentaire de a le même sinus.
Exercice 3 · base
Le sinus d'un angle obtus
Donner la valeur exacte de
Écris seulement la valeur exacte, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : 1/2
Indices, dans l’ordre
- Écris comme moins un angle remarquable.
- Deux angles supplémentaires ont le même sinus.
Correction
- Le supplémentaire — On reconnaît le supplémentaire de
- Le sinus — Deux angles supplémentaires ont le même sinus.
Le sinus ne change pas quand on passe au supplémentaire. C'est le cosinus qui change de signe.
Pièges anticipés
-1/2→ Sur l'intervalle fermé , un sinus n'est jamais négatif. C'est le cosinus qui change de signe.sqrt(3)/2→ Racine de trois sur deux est le cosinus de pas son sinus.-sqrt(3)/2→ C'est le cosinus de On demande son sinus.
Exercice 4 · pratique
Quatre cosinus
Calculer, sans utiliser la calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Cherche, parmi les quatre angles, ceux dont la somme vaut
- On a et
- Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés.
Correction
- Les paires — On regroupe les angles supplémentaires.
- La somme — Les termes s'éliminent deux à deux.
On n'a besoin d'aucune valeur : il suffit de repérer les angles supplémentaires.
Pièges anticipés
2*cos(pi/12)+2*cos(5*pi/12)→ Deux angles supplémentaires n'ont pas le même cosinus : ils ont des cosinus opposés.
Exercice 5 · pratique
Projeter une longueur
Dans la figure, les points et sont alignés, les points et sont alignés, et les droites et sont perpendiculaires à la droite On donne et Calculer
Une droite horizontale porte, de gauche à droite, les points A, B et D. Une demi-droite part de A en montant vers la droite, avec un angle de 30 degrés : elle porte les points C puis E. Le point C est à la verticale de B, le point E à la verticale de D. Des équerres marquent les angles droits en B et en D. Le segment [CE] mesure 12.
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 6*sqrt(3) — aussi acceptées : 6√3 · sqrt(108)
Indices, dans l’ordre
- Exprime en fonction de puis en fonction de avec le cosinus de degrés.
- La distance est la différence entre et
- On obtient et
Correction
- Deux triangles rectangles — Dans les triangles et rectangles en et en le côté adjacent à l'angle de degrés est l'hypoténuse fois le cosinus.
- La différence — On soustrait, et on met le cosinus en facteur.
- Le calcul —
Projeter un segment sur une droite, c'est multiplier sa longueur par le cosinus de l'angle qu'il fait avec cette droite.
Pièges anticipés
6→ Tu as multiplié par le sinus de degrés. Le segment est du côté adjacent à l'angle : il faut le cosinus.
Exercice 6 · raisonnement
Le périmètre du polygone
Dans la figure, est un triangle isocèle rectangle en est un triangle équilatéral, et est un triangle rectangle en On donne et Calculer le périmètre du polygone
Trois triangles accolés. Le triangle ABC est rectangle et isocèle en A : A est en bas à gauche, B à sa droite, C au-dessus de A. Sur le côté [BC], vers l'extérieur, est construit le triangle équilatéral BCD : D est en haut à droite. Sur le côté [BD], vers l'extérieur, est construit le triangle BDE, rectangle en B : E est loin à droite, en bas. L'angle en E mesure 30 degrés et le côté [DE] mesure 4.
Donne la valeur exacte du périmètre.
Réponse attendue : 6+2*sqrt(2)+2*sqrt(3) — aussi acceptées : 6+2√2+2√3
Indices, dans l’ordre
- Commence par le triangle : avec l'angle de degrés et l'hypoténuse calcule et
- Le triangle est équilatéral :
- Dans le triangle isocèle rectangle, l'hypoténuse vaut
Correction
- Le triangle BDE — Il est rectangle en : est en face de l'angle de degrés, lui est adjacent.
- Le triangle BCD — Il est équilatéral.
- Le triangle ABC — Il est isocèle rectangle en : chaque côté de l'angle droit vaut l'hypoténuse fois le cosinus de degrés.
- Le périmètre — On ajoute les cinq côtés du polygone.
Les segments et sont à l'intérieur du polygone : ils ne comptent pas dans le périmètre.
Pièges anticipés
8+2*sqrt(2)+2*sqrt(3)→ Tu as compté un segment intérieur. Le périmètre ne prend que et
Exercice 7 · pratique
La distance du Soleil à Vénus
Depuis la Terre on observe le Soleil et Vénus On suppose que la trajectoire de Vénus est un cercle de centre Lorsque la droite est tangente à cette trajectoire, l'angle mesure La distance Terre-Soleil est estimée à millions de kilomètres. Calculer la distance Soleil-Vénus en millions de kilomètres, arrondie à l'unité. On prendra pour le sinus de degrés.
Un cercle de centre S représente la trajectoire de Vénus. Le point T, la Terre, est à gauche, à l'extérieur du cercle. La droite (TV) est tangente au cercle au point V, en haut à gauche du cercle. Le triangle TVS est tracé : une équerre marque l'angle droit en V, et l'angle en T mesure 48 degrés.
Écris seulement le nombre de millions de kilomètres.
Réponse attendue : 111
Indices, dans l’ordre
- Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de contact : quelle est la nature du triangle ?
- Le triangle est rectangle en et est son hypoténuse.
- Le côté est en face de l'angle de degrés : utilise le sinus.
Correction
- Un triangle rectangle — La tangente est perpendiculaire au rayon : le triangle est rectangle en d'hypoténuse
- Le sinus — Le côté est opposé à l'angle de degrés.
- Le calcul — On compte en millions de kilomètres.
Vénus est à environ millions de kilomètres du Soleil. Le cosinus donnerait la distance Terre-Vénus, environ millions de kilomètres.
Pièges anticipés
100→ C'est la distance obtenue avec le cosinus. Le côté est en face de l'angle de degrés : il faut le sinus.111.45→ Le calcul est bon : il reste à arrondir à l'unité.
Exercice 8 · base
Un sinus dans un triangle rectangle
Soit un triangle rectangle en tel que et Calculer
Écris seulement la valeur, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : 2/3
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est rectangle en : quel côté est l'hypoténuse ?
- Le sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse. Quel côté est en face de l'angle ?
Correction
- Les côtés — L'hypoténuse est et le côté opposé à l'angle est
- Le sinus — On simplifie la fraction par
Avec le théorème de Pythagore, on trouve aussi donc le cosinus de l'angle vaut
Pièges anticipés
sqrt(5)/3→ C'est le cosinus de l'angle : le côté adjacent sur l'hypoténuse. Pour le sinus, on prend le côté opposé.3/2→ Un sinus ne dépasse jamais un : l'hypoténuse va au dénominateur.
Exercice 9 · pratique
Un produit de tangentes
Calculer, sans utiliser la calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Ajoute les deux angles : que vaut ?
- Les deux angles sont complémentaires : la tangente de l'un est la cotangente de l'autre.
- La cotangente d'un angle est l'inverse de sa tangente.
Correction
- Deux angles complémentaires — La somme des deux angles vaut
- L'inverse — La tangente de est donc la cotangente de c'est-à-dire l'inverse de sa tangente.
- Le produit — Un nombre multiplié par son inverse donne un.
Les tangentes de deux angles complémentaires sont inverses l'une de l'autre : leur produit vaut toujours un.
Pièges anticipés
0→ Ce sont les tangentes de deux angles supplémentaires qui s'annulent, dans une somme. Ici les angles sont complémentaires, et c'est un produit.-1→ Les deux angles sont aigus : leurs tangentes sont positives, le produit aussi.
Exercice 10 · pratique
Du sinus à la tangente
Soit un réel compris entre et tel que Calculer
Écris seulement la valeur exacte de la tangente, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : 5/12
Indices, dans l’ordre
- Commence par le cosinus : la somme des carrés du cosinus et du sinus vaut un.
- Le carré du cosinus vaut L'angle est aigu : quel est le signe du cosinus ?
- La tangente est le sinus divisé par le cosinus.
Correction
- Le carré du cosinus — On utilise la première relation fondamentale.
- Le cosinus — Le réel est entre zéro et : son cosinus est positif.
- La tangente — On divise le sinus par le cosinus.
La cotangente de est l'inverse : douze cinquièmes.
Pièges anticipés
12/5→ C'est la cotangente : le cosinus sur le sinus. La tangente met le sinus en haut.12/13→ C'est le cosinus de Il reste à diviser le sinus par ce cosinus.
Exercice 11 · pratique
De la cotangente au sinus
Soit un réel strictement compris entre et dont la cotangente vaut Calculer
Écris seulement la valeur exacte du sinus, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : 4/5
Indices, dans l’ordre
- Quelle relation fondamentale relie la cotangente et le sinus ?
- Un plus le carré de la cotangente est l'inverse du carré du sinus.
- On trouve que le carré du sinus vaut Quel est le signe d'un sinus sur cet intervalle ?
Correction
- La relation — Un plus le carré de la cotangente est l'inverse du carré du sinus.
- Le carré du sinus — On prend l'inverse.
- Le sinus — Entre zéro et un sinus est positif.
Le cosinus est le produit de la cotangente par le sinus : il vaut trois cinquièmes.
Pièges anticipés
3/5→ C'est le cosinus de : la cotangente fois le sinus. On demande le sinus.-4/5→ Entre zéro et un sinus n'est jamais négatif.16/25→ C'est le carré du sinus : il reste à prendre la racine carrée.
Exercice 12 · raisonnement
Une tangente négative
Soit un réel de l'intervalle fermé tel que Calculer
Écris seulement la valeur exacte du cosinus, sans rien devant.
Réponse attendue : -sqrt(6)/6 — aussi acceptées : -1/sqrt(6) · -√6/6
Indices, dans l’ordre
- Un plus le carré de la tangente est l'inverse du carré du cosinus.
- On trouve que le carré du cosinus vaut un sixième.
- La tangente est négative et le sinus est positif : quel est le signe du cosinus ?
Correction
- La relation — Un plus le carré de la tangente est l'inverse du carré du cosinus.
- Le signe — La tangente est négative, alors que le sinus est positif : le cosinus est négatif, l'angle est obtus.
- Le cosinus — On prend la racine carrée, avec le signe moins.
Sur l'intervalle fermé , le cosinus a toujours le signe de la tangente, puisque le sinus est positif.
Pièges anticipés
sqrt(6)/6→ Regarde le signe : la tangente est négative et le sinus positif, donc le cosinus est négatif.1/6→ C'est le carré du cosinus. Il reste à prendre la racine carrée, et à choisir le signe.
Exercice 13 · pratique
Une équation avec la tangente
Résoudre dans l'intervalle fermé l'équation : le produit de racine de trois par la tangente de augmenté de un, est nul.
Écris la solution en radians, et non en degrés, avec pi.
Réponse attendue : 5*pi/6 — aussi acceptées : 5pi/6
Indices, dans l’ordre
- Isole la tangente : que vaut ?
- On trouve que la tangente vaut moins racine de trois sur trois. Quel angle remarquable a pour tangente racine de trois sur trois ?
- Deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées.
Correction
- Isoler la tangente — On retire un, puis on divise par racine de trois.
- L'angle remarquable — La tangente de vaut racine de trois sur trois.
- Le supplémentaire — Le supplémentaire a la tangente opposée.
Une tangente négative correspond à un angle obtus : on passe par le supplémentaire de l'angle remarquable.
Pièges anticipés
pi/6→ La tangente de est positive. Ici elle doit être négative : prends le supplémentaire.2*pi/3→ La tangente de vaut moins racine de trois, pas moins racine de trois sur trois.150 / 150°→ C'est la mesure en degrés. On demande la mesure en radians : remplace par
Exercice 14 · pratique
De π/8 à 7π/8
On sait que Donner la valeur exacte de la tangente de
Écris seulement la valeur exacte, sans rien devant.
Réponse attendue : 1-sqrt(2) — aussi acceptées : -sqrt(2)+1 · 1-√2 · -(sqrt(2)-1)
Indices, dans l’ordre
- Écris à l'aide de et de
- Ces deux angles sont supplémentaires : que deviennent leurs tangentes ?
Correction
- Le supplémentaire — On reconnaît le supplémentaire de
- La tangente — Deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées.
Le résultat est négatif, comme il se doit pour un angle obtus.
Pièges anticipés
sqrt(2)-1→ C'est la tangente de Celle de son supplémentaire est son opposé.sqrt(2)+1→ C'est la tangente de le complémentaire de Ici, les angles sont supplémentaires.
Exercice 15 · base
Reconstituer l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle en on trace la hauteur Sachant que et calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 4.1 — aussi acceptées : 41/10
Indices, dans l’ordre
- Quelle relation relie la hauteur aux deux segments et ?
- Le carré de la hauteur est le produit des deux segments : on en tire
- L'hypoténuse est la somme des deux segments.
Correction
- La relation — Le carré de la hauteur est le produit des deux segments de l'hypoténuse.
- Le segment HC — On divise le carré de la hauteur par
- L'hypoténuse — On ajoute les deux segments.
On peut ensuite calculer les côtés de l'angle droit : le carré de vaut et le carré de vaut
Pièges anticipés
1.6→ C'est la longueur Il reste à lui ajouter pour avoir l'hypoténuse.4.5→ On n'ajoute pas la hauteur : l'hypoténuse est la somme de et de
Exercice 16 · pratique
L'altitude de l'avion
À partir de mètres d'altitude, un avion vole à kilomètres par heure, en faisant un angle de avec l'horizontale. À quelle altitude sera-t-il au bout de minutes d'ascension ? Donner le résultat en kilomètres, arrondi au dixième. On prendra pour le sinus de degrés.
Écris seulement le nombre de kilomètres.
Réponse attendue : 14
Indices, dans l’ordre
- Quelle distance l'avion parcourt-il en minutes, à kilomètres par heure ?
- Cette distance est l'hypoténuse d'un triangle rectangle : la hauteur gagnée est en face de l'angle de degrés.
- N'oublie pas l'altitude de départ : un kilomètre.
Correction
- La distance parcourue — Cinq minutes, c'est un douzième d'heure : l'avion parcourt kilomètres.
- La hauteur gagnée — C'est le côté opposé à l'angle de degrés, dans un triangle rectangle d'hypoténuse
- L'altitude — On ajoute le kilomètre de départ, puis on arrondit au dixième.
L'avion sera à environ kilomètres d'altitude.
Pièges anticipés
13→ C'est la hauteur gagnée. Il faut lui ajouter l'altitude de départ, un kilomètre.75 / 76→ L'avion ne monte pas à la verticale : la hauteur gagnée est la distance parcourue fois le sinus de degrés.14.02→ Le calcul est bon : il reste à arrondir au dixième.
Exercice 17 · pratique
L'échelle contre le mur
La figure modélise une échelle de mètres de long, appuyée contre un mur vertical : son pied est sur le sol et son sommet est sur le mur. L'angle que fait l'échelle avec le sol mesure Calculer, au centimètre près, la distance entre le pied de l'échelle et le mur. On prendra pour le cosinus de degrés.
Un mur vertical [CD] : C est en bas, au niveau du sol, D en haut. Le sol est une droite horizontale passant par C. Une échelle [AB] est appuyée contre le mur : son pied B est sur le sol, à droite de C, et son sommet A est sur le mur, entre C et D. L'angle en B, entre le sol et l'échelle, mesure 65 degrés. Une équerre marque l'angle droit en C.
Écris le nombre de mètres, avec deux décimales.
Réponse attendue : 2.54
Indices, dans l’ordre
- Le mur est vertical et le sol horizontal : le triangle est rectangle en
- L'échelle est l'hypoténuse. Le côté touche l'angle de degrés : c'est le côté adjacent.
- Multiplie la longueur de l'échelle par le cosinus de degrés.
Correction
- Le triangle — Le triangle est rectangle en d'hypoténuse Le côté est adjacent à l'angle de degrés.
- Le cosinus —
Le pied de l'échelle est à environ mètres du mur. Avec le sinus, on trouverait la hauteur atteinte : environ mètres.
Pièges anticipés
5.44→ C'est la hauteur atteinte sur le mur, obtenue avec le sinus. La distance au mur est le côté adjacent : il faut le cosinus.2.5356 / 2.536→ Le calcul est bon : il reste à arrondir au centimètre, donc à deux décimales.
Exercice 18 · pratique
Un côté coupé par la hauteur
Dans la figure, est un triangle tel que et et sa hauteur mesure Calculer
Un triangle ABC posé sur le côté [BC] : B est en bas à gauche, C en bas à droite, A en haut. La hauteur issue de A tombe au point H du côté [BC], plus près de B. L'angle en B mesure 60 degrés, l'angle en C mesure 45 degrés. La hauteur [AH] mesure 3.
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 3+sqrt(3) — aussi acceptées : 3+√3 · sqrt(3)+3
Indices, dans l’ordre
- La hauteur partage le triangle en deux triangles rectangles : calcule dans l'un, dans l'autre.
- Dans le triangle la tangente de degrés est sur
- Le triangle a un angle de degrés : il est rectangle et isocèle.
Correction
- Le segment BH — Dans le triangle rectangle en la tangente de degrés est sur
- Le segment CH — Le triangle est rectangle en avec un angle de degrés : il est isocèle.
- Le côté BC — Le point est entre et : on ajoute.
Une hauteur ramène un triangle quelconque à deux triangles rectangles.
Pièges anticipés
3+3*sqrt(3)→ Tu as multiplié par la tangente de degrés. Or est le côté opposé : s'obtient en divisant par cette tangente.sqrt(3)→ C'est seulement Il reste à ajouter
Exercice 19 · pratique
Appliquer la loi du sinus
Soit un triangle tel que et Calculer
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 6*sqrt(2) — aussi acceptées : 6√2 · sqrt(72)
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord le troisième angle : la somme des angles vaut degrés.
- Le côté est en face de l'angle et le côté est en face de l'angle
- D'après la loi du sinus, sur le sinus de degrés est égal à sur le sinus de degrés.
Correction
- Le troisième angle —
- La loi du sinus — Chaque côté va avec le sinus de l'angle opposé.
- Le calcul — Diviser par un demi, c'est multiplier par deux.
Quand on connaît un côté et deux angles, la loi du sinus donne les deux autres côtés.
Pièges anticipés
3*sqrt(2)→ Le rapport est à l'envers : on multiplie par le sinus de degrés, et on divise par le sinus de degrés.6*sqrt(3)-6→ Le côté est en face de l'angle qui mesure degrés : c'est son sinus qu'il faut au dénominateur.
Exercice 20 · raisonnement
Un problème babylonien
Trouver le rayon du cercle circonscrit à un triangle dont les côtés mesurent et
Donne le rayon
Réponse attendue : 125/4 — aussi acceptées : 31.25
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est isocèle : trace la hauteur relative au côté de longueur Elle passe par son milieu.
- Cette hauteur mesure Tu peux en tirer le sinus d'un angle à la base.
- D'après la loi du sinus, un côté divisé par le sinus de l'angle opposé donne
Correction
- La hauteur — La hauteur relative à la base coupe celle-ci en son milieu : on applique le théorème de Pythagore.
- Le sinus d'un angle à la base — Dans le triangle rectangle formé, c'est la hauteur sur le côté de longueur
- La loi du sinus — Le côté opposé à cet angle mesure
- Le rayon —
On peut vérifier avec l'aire, qui vaut : le produit des trois côtés, divisé par quatre fois l'aire, redonne bien
Pièges anticipés
125/2→ C'est le diamètre du cercle. Il reste à diviser par deux.30 / 25→ Le centre du cercle circonscrit n'est pas le milieu d'un côté : ce triangle n'est pas rectangle.
Exercice 21 · base
L'aire avec un sinus
Soit un triangle tel que et Calculer l'aire de ce triangle.
Donne la valeur exacte de l'aire.
Réponse attendue : 63*sqrt(3)/4 — aussi acceptées : 63√3/4 · (63/4)*sqrt(3)
Indices, dans l’ordre
- On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : quelle formule donne l'aire ?
- L'aire est le demi-produit des deux côtés par le sinus de l'angle.
- Le sinus de degrés vaut racine de trois sur deux.
Correction
- La formule — Les côtés et forment l'angle
- Le calcul —
L'aire vaut soit environ
Pièges anticipés
63/4→ Tu as pris le cosinus de degrés. La formule de l'aire utilise le sinus.63*sqrt(3)/2→ Il manque le un demi : l'aire d'un triangle est la moitié du produit.
Exercice 22 · pratique
L'aire d'un parallélogramme
Soit un parallélogramme tel que et Déterminer une valeur approchée à près de l'aire de On prendra pour le sinus de
Écris le nombre, avec deux décimales.
Réponse attendue : 15.31
Indices, dans l’ordre
- Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux : que vaut l'angle ?
- La diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire.
- L'aire du triangle est le demi-produit de et par le sinus de l'angle
Correction
- L'angle en L — Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.
- Deux triangles — L'aire du parallélogramme est le double de celle du triangle : le un demi disparaît.
- La valeur approchée —
L'aire d'un parallélogramme est le produit de deux côtés consécutifs par le sinus de l'angle qu'ils forment.
Pièges anticipés
7.65→ C'est l'aire d'un seul des deux triangles. Le parallélogramme en contient deux.40→ Le produit des deux côtés donne l'aire seulement pour un rectangle. Ici, il faut multiplier par le sinus de l'angle.15.308→ Le calcul est bon : il reste à arrondir à deux décimales.
Exercice 23 · pratique
Un angle par ses trois côtés
est un triangle tel que et Calculer
Écris seulement la valeur exacte du cosinus, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : -1/3
Indices, dans l’ordre
- On connaît les trois côtés : le théorème d'El-Kashi relie le côté à l'angle opposé
- Écris puis isole le cosinus.
Correction
- Le théorème — Le côté est en face de l'angle
- Isoler le cosinus — On retire aux deux membres, puis on divise par
Le cosinus est négatif : l'angle est obtus. La calculatrice donne environ degrés.
Pièges anticipés
1/3→ Attention au signe : est plus grand que donc le cosinus est négatif et l'angle est obtus.
Exercice 24 · raisonnement
L'angle des diagonales d'un cube
Dans la figure, est un cube d'arête et est le point d'intersection des diagonales et Donner une valeur approchée à un degré près de l'angle
Un cube en perspective. La face avant est le carré ABCD : A en haut à gauche, B en haut à droite, C en bas à droite, D en bas à gauche. La face arrière est le carré EFGH, décalé vers le haut et la droite : E derrière A, F derrière B, G derrière C, H derrière D. Les diagonales [AG] et [EC] du cube sont tracées en pointillés : elles se coupent au point O, au centre du cube. L'angle AOC est marqué.
Écris seulement le nombre de degrés.
Réponse attendue : 109
Indices, dans l’ordre
- Travaille dans le triangle : exprime ses trois côtés en fonction de l'arête
- La diagonale d'un cube mesure l'arête multipliée par et est son milieu. Le segment est la diagonale d'une face : il mesure l'arête multipliée par
- Applique le théorème d'El-Kashi dans le triangle : l'arête se simplifie.
Correction
- Les trois côtés — Le point est le milieu de chaque diagonale du cube, et est la diagonale d'une face. Donc et valent l'arête fois sur deux ; et vaut l'arête fois
- El-Kashi — Dans le triangle le côté est en face de l'angle cherché. On remplace : le carré de vaut deux fois le carré de l'arête, et les carrés de et de valent chacun trois quarts du carré de l'arête.
- Le cosinus — On divise par le carré de l'arête, puis on isole le cosinus : il ne dépend pas de l'arête.
- L'angle — La calculatrice, réglée en degrés, donne l'angle dont le cosinus vaut moins un tiers.
L'angle ne dépend pas de l'arête : il est le même dans tous les cubes, environ degrés.
Pièges anticipés
71→ C'est l'angle dont le cosinus vaut plus un tiers. Ici le cosinus est négatif : l'angle est obtus.90→ Les diagonales d'un cube ne sont pas perpendiculaires : il faut calculer le cosinus avec le théorème d'El-Kashi.109.47 / 109.5→ Le calcul est bon : il reste à arrondir au degré.
Exercice 25 · base
Un segment sur l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle en on a et Soit le pied de la hauteur issue de Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 3.6 — aussi acceptées : 18/5
Indices, dans l’ordre
- Quelle relation métrique relie et ?
- Le carré de est le produit de par
Correction
- La relation — Le carré d'un côté de l'angle droit est le produit de son segment par l'hypoténuse.
- Le calcul —
On en déduit puis la hauteur : son carré vaut donc
Pièges anticipés
6.4→ C'est le segment du côté de On demande4.8→ C'est la hauteur On demande le segment de l'hypoténuse.
Exercice 26 · pratique
L'aire par la formule de Héron
Calculer l'aire d'un triangle dont les côtés mesurent et
Donne l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 1200
Indices, dans l’ordre
- On ne connaît aucun angle : pense à la formule de Héron.
- Calcule d'abord le demi-périmètre puis les trois écarts entre et chaque côté.
- Le demi-périmètre vaut
Correction
- Le demi-périmètre —
- Les trois écarts — On retire chaque côté au demi-périmètre.
- La formule de Héron — Le produit sous la racine vaut fois dix mille : sa racine carrée est fois cent.
On retrouve la base fois la hauteur sur deux : la hauteur relative au côté de longueur mesure
Pièges anticipés
1500→ Tu as pris un côté de longueur comme hauteur. La hauteur relative à la base mesure160→ C'est le périmètre. La formule de Héron utilise le demi-périmètre, puis une racine carrée.
Exercice 27 · pratique
Reconnaître le triangle
Soit un triangle et le projeté orthogonal de sur le segment On suppose que et Quelle est la nature du triangle ?
Réponds par un mot : isocèle, rectangle, équilatéral…
Réponse attendue : equilateral — aussi acceptées : équilatéral · triangle equilateral · triangle équilatéral · un triangle équilatéral · il est équilatéral · c'est un triangle équilatéral · MNP est équilatéral · le triangle MNP est équilatéral · MNP est un triangle équilatéral · un equilateral · un équilatéral · equilateral et isocele · équilatéral et isocèle · isocele et equilateral · isocèle et équilatéral
Indices, dans l’ordre
- Calcule dans le triangle rectangle en
- Calcule ensuite dans le triangle puis qui est la somme de et de
- Compare les trois côtés, en écrivant sous la forme
Correction
- Le segment NH — On applique le théorème de Pythagore dans le triangle
- Le côté MP — De même dans le triangle
- Le côté NP — Le point est sur le segment
- Conclusion — Les trois côtés mesurent : le triangle est équilatéral.
On le voit aussi avec les angles : le sinus de l'angle vaut c'est-à-dire racine de trois sur deux, et cet angle est aigu : il mesure degrés.
Pièges anticipés
isocele / triangle isocele→ Il est bien isocèle, mais on peut dire mieux : compare aussi le troisième côté,rectangle / triangle rectangle→ Les triangles et sont rectangles, mais pas : compare ses trois côtés.
Exercice 28 · pratique
Trois angles proportionnels
Les angles d'un triangle sont proportionnels aux nombres et Calculer, en radians, le plus grand de ces angles.
Écris l'angle en radians, et non en degrés, avec pi.
Réponse attendue : 4*pi/9 — aussi acceptées : 4pi/9
Indices, dans l’ordre
- La somme des trois angles vaut radians.
- Partage en parts égales.
Correction
- Le partage — Il y a neuf parts en tout, et leur somme vaut : une part vaut
- Les trois angles — On prend deux, trois et quatre parts.
En degrés, les trois angles mesurent et degrés.
Pièges anticipés
80 / 80°→ C'est la mesure en degrés. On demande la mesure en radians : remplace par2*pi/9→ C'est le plus petit des trois angles. Le plus grand prend quatre parts.8*pi/9→ La somme des angles d'un triangle vaut et non
Exercice 29 · raisonnement
Trois côtés en progression
On considère un triangle rectangle en tel que et sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison où est un réel strictement positif. Calculer en fonction de
Écris en fonction de
Réponse attendue : 4*r — aussi acceptées : 4r
Indices, dans l’ordre
- Exprime et à l'aide de et de
- On a et L'hypoténuse est : écris le théorème de Pythagore.
- En développant, les carrés de s'éliminent : il reste une égalité entre et un multiple de
Correction
- Les trois côtés — Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant la raison.
- Pythagore — Le triangle est rectangle en : l'hypoténuse est
- Développer — On développe les deux carrés et on simplifie.
- Conclure — La longueur n'est pas nulle : on peut diviser par
Les côtés mesurent et Le sinus de l'angle vaut alors trois cinquièmes, celui de l'angle quatre cinquièmes, et celui de l'angle vaut un : ils sont eux aussi en progression arithmétique, de raison un cinquième.
Pièges anticipés
3*r→ C'est le plus petit côté. On demande le terme du milieu.5*r→ C'est l'hypoténuse On demande le terme du milieu.
Exercice 30 · raisonnement
Une équation produit
Résoudre dans l'intervalle fermé l'équation Le second facteur est quatre fois le carré du sinus de moins un.
Écris les trois solutions entre accolades, séparées par des points-virgules, avec pi.
Réponse attendue : {pi/6;5pi/6;pi} — aussi acceptées : {π/6;5π/6;π} · {pi/6;5*pi/6;pi} · {π/6;5*π/6;π}
Indices, dans l’ordre
- Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul : écris les deux équations.
- Le premier facteur donne un cosinus égal à moins un. Le second donne le carré du sinus : un quart.
- Sur l'intervalle fermé , un sinus n'est jamais négatif : il vaut donc un demi, et un sinus donne deux angles supplémentaires.
Correction
- Un produit nul — Un produit est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs est nul.
- Le premier facteur — Le cosinus vaut moins un pour un seul réel de l'intervalle.
- Le second facteur — Le carré du sinus vaut un quart, et sur l'intervalle fermé un sinus n'est jamais négatif.
- Deux angles — Un sinus égal à un demi donne deux réels supplémentaires.
L'équation a trois solutions : et
Pièges anticipés
{pi/6;5pi/6}→ Il manque une solution : le premier facteur, s'annule lui aussi.{pi/6;pi}→ Il manque une solution : deux angles supplémentaires ont le même sinus.
Exercice 31 · defi
Une aire et une somme de sinus
Soit un triangle rectangle en d'aire tel que Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 8
Indices, dans l’ordre
- Écris les deux sinus dans le triangle rectangle : chacun est un côté de l'angle droit divisé par
- On obtient L'aire donne aussi le produit
- Élève la somme au carré : le théorème de Pythagore fait apparaître
Correction
- La somme des côtés — Chaque sinus est le côté opposé sur l'hypoténuse.
- Le produit des côtés — L'aire d'un triangle rectangle est le demi-produit des côtés de l'angle droit.
- Le carré de la somme — On développe, et on reconnaît le théorème de Pythagore.
- L'équation — On remplace : le carré de vaut
- Le résultat — On isole le carré de puis on prend la racine.
L'hypoténuse mesure Les deux autres côtés mesurent et
Pièges anticipés
64→ C'est le carré de : il reste à prendre la racine carrée.
Exercice 32 · defi
Un angle caché
Soit un réel tel que et un triangle tel que le côté mesure le côté mesure et le côté mesure Déterminer la mesure, en radians, de l'angle
Écris l'angle en radians, et non en degrés, avec pi.
Réponse attendue : 2*pi/3 — aussi acceptées : 2pi/3
Indices, dans l’ordre
- On connaît les trois côtés : le théorème d'El-Kashi donne le cosinus de l'angle opposé au côté
- Calcule puis factorise le résultat.
- On trouve, en fonction du réel : compare avec le double produit
Correction
- El-Kashi — On isole le cosinus de l'angle
- Le numérateur — On remplace chaque côté par son expression en fonction du réel on développe les trois carrés et on réduit, puis on factorise.
- Le cosinus — Le dénominateur vaut deux fois le même produit : tout se simplifie.
- L'angle — L'angle dont le cosinus vaut moins un demi est le supplémentaire de
Le résultat ne dépend pas du réel : cet angle mesure toujours c'est-à-dire degrés.
Pièges anticipés
pi/3→ Le cosinus vaut moins un demi, et non plus un demi : l'angle est obtus.120 / 120°→ C'est la mesure en degrés. On demande la mesure en radians.
Exercice 33 · defi
L'hexagone des trois carrés
Soit un triangle tel que et On construit à l'extérieur de ce triangle les carrés et Calculer l'aire de l'hexagone
Un triangle ABC rectangle en B : B est au centre, A au-dessus de B, C à droite de B. Sur chaque côté, un carré est construit vers l'extérieur : le carré ABSM à gauche de [AB], avec S à gauche de B et M à gauche de A ; le carré BCQR sous [BC], avec R sous B et Q sous C ; le carré ACPN sur l'hypoténuse [AC], en haut à droite, avec N près de A et P près de C. L'hexagone MNPQRS relie les six sommets extérieurs. Trois triangles de coin apparaissent : AMN, CPQ et BRS.
Donne l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 74
Indices, dans l’ordre
- Quelle est la nature du triangle ? Compare et
- L'hexagone se découpe en sept morceaux : le triangle les trois carrés, et trois triangles de coin, et
- Dans le triangle les côtés et valent et et l'angle est le supplémentaire de l'angle : ils ont le même sinus.
Correction
- Le triangle ABC — Il est rectangle en car Son aire est le demi-produit des côtés de l'angle droit.
- Les trois carrés — Leurs côtés mesurent et
- Un triangle de coin — Autour du point il y a deux angles droits, l'angle du triangle et l'angle : ce dernier est donc le supplémentaire de l'angle et il a le même sinus.
- Les deux autres coins — Le même raisonnement vaut aux sommets et : chaque triangle de coin a la même aire que
- La somme — On ajoute le triangle, les trois carrés et les trois coins.
L'aire vaut Pour le périmètre, le théorème d'El-Kashi donne et et
Pièges anticipés
56→ Tu as compté le triangle et les trois carrés. Il manque les trois triangles de coin, et68→ Il manque un morceau : le triangle lui-même, ou l'un des triangles de coin. Il y a sept morceaux en tout.
Exercice 34 · defi
Le côté du triangle équilatéral
Dans la figure, est un triangle équilatéral et est un point intérieur à ce triangle tel que et Soit l'image de par la rotation directe de centre et d'angle : cette rotation envoie sur Calculer le côté du triangle
Un triangle équilatéral ABC : B en bas à gauche, C en bas à droite, A en haut. Un point M est à l'intérieur, relié aux trois sommets : MA = 3, MB = 4, MC = 5. Le point N est à droite de M, près du côté [AC], légèrement à l'extérieur : c'est l'image de M par la rotation de centre A et d'angle pi sur 3. Les segments [AN], [MN] et [NC] sont tracés.
Donne la valeur exacte du côté.
Réponse attendue : sqrt(25+12*sqrt(3)) — aussi acceptées : √(25+12√3) · sqrt(25+12sqrt(3))
Indices, dans l’ordre
- Quelle est la nature du triangle ? Une rotation conserve les distances, et l'angle mesure
- L'image du segment par la rotation est le segment : donc Quelle est alors la nature du triangle ?
- L'angle est la somme de l'angle et de l'angle Applique ensuite le théorème d'El-Kashi dans le triangle
Correction
- Le triangle AMN — La rotation conserve les distances : Avec un angle de en le triangle est équilatéral.
- Le segment NC — La rotation envoie sur et sur : l'image du segment est le segment
- Le triangle MNC — Ses côtés mesurent et : il est rectangle en
- L'angle ANC — On ajoute l'angle du triangle équilatéral et l'angle droit.
- El-Kashi — Dans le triangle le cosinus de degrés vaut moins racine de trois sur deux.
Le côté mesure soit environ
Pièges anticipés
sqrt(25-12*sqrt(3))→ Le cosinus de degrés est négatif : le double produit s'ajoute, il ne se retranche pas.25+12*sqrt(3)→ C'est le carré du côté : il reste à prendre la racine carrée.
Exercice 35 · base
Le côté adjacent
Soit un triangle rectangle en tel que et Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Dans ce triangle rectangle, le côté est adjacent à l'angle et est l'hypoténuse.
- Le cosinus de l'angle est le côté adjacent divisé par l'hypoténuse ; le cosinus de degrés vaut un demi.
Correction
- Le bon rapport — Le côté est adjacent à l'angle : on utilise le cosinus.
- Le calcul — On multiplie l'hypoténuse par le cosinus de degrés.
Côté adjacent égale hypoténuse fois cosinus : on choisit le rapport qui relie ce que l'on connaît à ce que l'on cherche.
Pièges anticipés
7*sqrt(3)→ C'est le côté opposé à l'angle : pour le côté adjacent, c'est le cosinus.28→ Tu as divisé par le cosinus : le côté adjacent s'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus.
Exercice 36 · raisonnement
Une corde du demi-cercle
Dans le repère orthonormé on considère le point du demi-cercle trigonométrique tel que Calculer la distance
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : sqrt(2+sqrt(2)) — aussi acceptées : √(2+√2)
Indices, dans l’ordre
- Commence par les coordonnées de : son abscisse est le cosinus de son ordonnée en est le sinus.
- L'angle est le supplémentaire de : même sinus, cosinus opposé.
- Soit le projeté orthogonal de sur la droite : le triangle est rectangle en
Correction
- Le point M — Le cosinus de est l'opposé de celui de le sinus est le même.
- Le triangle APM — Le point a pour abscisse celle de : et On applique le théorème de Pythagore.
- La distance — Une longueur est positive : on prend la racine carrée.
Les coordonnées d'un point du demi-cercle sont le cosinus et le sinus de son angle : avec elles, une distance se calcule dans un triangle rectangle.
Pièges anticipés
sqrt(2-sqrt(2))→ C'est la distance de au point d'angle : l'angle est obtus, l'abscisse de est négative.2+sqrt(2)→ C'est : il reste à prendre la racine carrée.1.85 / 1.848→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 37 · raisonnement
Deux points de même ordonnée
Sur le demi-cercle trigonométrique, on désigne par et les deux points d'ordonnée Calculer la distance
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : sqrt(3) — aussi acceptées : √3
Indices, dans l’ordre
- L'ordonnée d'un point du demi-cercle est le sinus de son angle : quels réels de l'intervalle fermé ont pour sinus un demi ?
- Les deux points sont symétriques par rapport à la droite : ils ont des abscisses opposées.
- Ils ont la même ordonnée : leur distance est l'écart entre leurs abscisses.
Correction
- Les deux angles — Un sinus égal à un demi donne deux réels de , supplémentaires.
- Les coordonnées — Même sinus, cosinus opposés.
- La distance — Le segment est parallèle à l'axe des abscisses.
Un sinus strictement compris entre et donne deux points du demi-cercle, symétriques par rapport à la droite
Pièges anticipés
sqrt(3)/2→ C'est l'abscisse d'un seul des deux points : l'autre est de l'autre côté de l'axe1.73 / 1.732→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 38 · base
Quatre valeurs lues sur le demi-cercle
Calculer, sans calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Les points du demi-cercle associés à à et à sont et
- Le cosinus est l'abscisse, le sinus l'ordonnée : et
Correction
- Les quatre valeurs — On lit les coordonnées de de et de
- La somme —
Pour et on lit le cosinus et le sinus directement sur les coordonnées des points et
Pièges anticipés
3→ Le cosinus de est l'abscisse du point : il vaut et non
Exercice 39 · pratique
La plus grande valeur
Déterminer la plus grande valeur que prend le nombre lorsque parcourt l'intervalle fermé .
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 5
Indices, dans l’ordre
- Pour dans , le cosinus est compris entre et
- Le nombre est d'autant plus grand que est petit.
Correction
- L'encadrement — On part de l'encadrement du cosinus, puis on multiplie par ce qui renverse l'ordre.
- On ajoute trois —
- La valeur atteinte — Elle est atteinte pour dont le cosinus vaut
Le cosinus d'un réel de va de à : on encadre, sans oublier qu'un facteur négatif renverse l'ordre.
Pièges anticipés
1→ C'est la plus petite valeur, atteinte pour : multiplier par renverse l'ordre.
Exercice 40 · base
Les coordonnées du point N
Soit un triangle rectangle en tel que et On trace le demi-cercle trigonométrique de centre dans un repère où est sur le segment et du même côté que La droite coupe le demi-cercle en Calculer l'ordonnée de
Écris seulement l'ordonnée, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : 12/13
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord l'hypoténuse avec le théorème de Pythagore.
- L'ordonnée de est le sinus de l'angle : le côté opposé sur l'hypoténuse.
Correction
- L'hypoténuse — Le triangle est rectangle en
- L'ordonnée de N — C'est le sinus de l'angle en
Le point a pour coordonnées : pour un angle aigu, la définition sur le demi-cercle redonne celle du triangle rectangle.
Pièges anticipés
5/13→ C'est l'abscisse de le cosinus de l'angle : l'ordonnée est le sinus.12/5→ C'est la tangente de l'angle : on divise par l'hypoténuse pas par
Exercice 41 · raisonnement
Retrouver l'angle
Dans le repère orthonormé on considère le point Déterminer, en radians, la mesure de l'angle
Écris l'angle en radians, et non en degrés, avec pi.
Réponse attendue : pi/3 — aussi acceptées : π/3
Indices, dans l’ordre
- Soit le projeté orthogonal de sur la droite : le triangle est rectangle en avec et
- Calcule puis le cosinus de l'angle
- Lis l'angle dans le tableau des valeurs remarquables.
Correction
- La distance OM — On applique le théorème de Pythagore dans le triangle
- Le cosinus — Le côté adjacent sur l'hypoténuse.
- L'angle — Un seul réel de a pour cosinus un demi.
Le point où coupe le demi-cercle a pour coordonnées : un cosinus suffit pour retrouver l'angle.
Pièges anticipés
pi/6→ C'est l'angle dont le cosinus vaut : ici le cosinus est60 / 60°→ C'est la bonne mesure, mais en degrés : la consigne la demande en radians.1.05 / 1.047→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 42 · base
Deux angles obtus
Calculer, sans calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Écris chaque angle comme moins un angle remarquable.
- Deux angles supplémentaires ont le même sinus et des cosinus opposés.
Correction
- Le cosinus — est le supplémentaire de : le cosinus change de signe.
- Le sinus — est le supplémentaire de : le sinus est le même.
- La somme —
Pour un angle obtus, on passe par son supplémentaire : même sinus, cosinus opposé.
Pièges anticipés
1→ Le cosinus de est négatif : l'angle est obtus, son point est à gauche de l'axe-1→ Le sinus d'un réel de n'est jamais négatif : le sinus de est celui de
Exercice 43 · pratique
Un cosinus connu
Soit un réel de l'intervalle fermé tel que Calculer
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : -3/10 — aussi acceptées : -0.3
Indices, dans l’ordre
- Remplace et à l'aide des formules des angles supplémentaires.
- Le sinus de n'a pas besoin d'être calculé : il disparaît.
Correction
- Les angles supplémentaires —
- La simplification — Les deux sinus s'annulent.
Avant de calculer, on simplifie avec les formules des angles supplémentaires : ici, le sinus de n'était pas utile.
Pièges anticipés
3/10→ Le cosinus de est l'opposé de celui de
Exercice 44 · raisonnement
Le cosinus de la somme de deux angles
Soit un triangle tel que Calculer le cosinus de la somme
Écris seulement la valeur exacte, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : -2/7
Indices, dans l’ordre
- La somme des trois angles d'un triangle vaut
- Exprime à l'aide de : c'est son supplémentaire.
Correction
- La somme des angles —
- Le cosinus — Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés.
Dans un triangle, la somme de deux angles est le supplémentaire du troisième : même sinus, cosinus opposé.
Pièges anticipés
2/7→ Les angles et sont supplémentaires : leurs cosinus sont opposés, pas égaux.5/7→ On ne retranche pas les cosinus : on écrit
Exercice 45 · pratique
Cinq cosinus
Calculer, sans calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : -1
Indices, dans l’ordre
- Repère les angles qui vont par paires de somme
- Deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés. Il reste un dernier terme, à lire sur le demi-cercle.
Correction
- Les paires — est moins et est moins
- Le dernier terme — Chaque paire donne zéro ; le cosinus de est l'abscisse de
Des angles qui vont par paires de somme : leurs cosinus s'annulent deux à deux.
Pièges anticipés
0→ Les deux paires s'annulent, mais il reste qui vaut1→ Le cosinus de est l'abscisse de : il vaut
Exercice 46 · raisonnement
Sinus et cosinus mélangés
Calculer, sans calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 0
Indices, dans l’ordre
- Cherche les angles supplémentaires : va avec et avec
- Pour deux angles supplémentaires, les sinus sont égaux et les cosinus opposés.
Correction
- Les angles supplémentaires —
- La somme — Les termes s'annulent deux à deux.
Les sinus de deux angles supplémentaires sont égaux : c'est leur différence qui s'annule. Leurs cosinus sont opposés : c'est leur somme qui s'annule.
Pièges anticipés
2*sin(pi/7)→ Le sinus de n'est pas l'opposé de celui de : deux angles supplémentaires ont le même sinus.2*cos(2*pi/7)→ Les cosinus de deux angles supplémentaires sont opposés : leur somme est nulle.
Exercice 47 · pratique
Sinus et cosinus échangés
Soit un réel compris entre et tel que et Calculer
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 2/5 — aussi acceptées : 0.4
Indices, dans l’ordre
- Les réels et sont complémentaires.
- Deux angles complémentaires échangent leur sinus et leur cosinus.
Correction
- L'échange —
- Le calcul —
Le cosinus de est le sinus de et son sinus est le cosinus de
Pièges anticipés
1→ Tu n'as pas échangé : le cosinus de est le sinus de pas son cosinus.
Exercice 48 · pratique
Deux carrés de sinus
Calculer, sans calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Additionne les deux angles : ils sont complémentaires.
- Remplace le sinus de par le cosinus de son complémentaire, puis pense à la première relation fondamentale.
Correction
- Deux angles complémentaires —
- L'échange — Le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.
- La relation fondamentale —
Deux angles complémentaires : le carré du sinus de l'un plus le carré du sinus de l'autre vaut un.
Pièges anticipés
2*(sin(pi/5))^2→ Le sinus de n'est pas celui de : les deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est le cosinus de l'autre.
Exercice 49 · defi
Quatre carrés de cosinus
Calculer, sans calculatrice, la somme des carrés de quatre cosinus.
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Groupe les angles par paires de somme
- Dans chaque paire, le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.
- Chaque paire devient la somme des carrés du cosinus et du sinus d'un même réel.
Correction
- Les paires —
- L'échange —
- La somme — Chaque crochet vaut un, d'après la première relation fondamentale.
Repérer les angles complémentaires, échanger sinus et cosinus, puis reconnaître la relation fondamentale.
Pièges anticipés
1→ Il y a deux paires d'angles complémentaires : chacune vaut0→ Ces angles sont complémentaires, pas supplémentaires : on échange sinus et cosinus, rien ne s'annule.
Exercice 50 · base
La cotangente dans un triangle rectangle
Soit un triangle rectangle en tel que et Calculer la cotangente de l'angle
Écris seulement la valeur exacte de la cotangente, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : 7/24
Indices, dans l’ordre
- Pour l'angle le côté adjacent est et le côté opposé est
- La cotangente d'un angle aigu est le côté adjacent sur le côté opposé : l'inverse de la tangente.
Correction
- La tangente — Le côté opposé sur le côté adjacent.
- La cotangente — C'est l'inverse.
Dans un triangle rectangle, la cotangente d'un angle aigu est le côté adjacent sur le côté opposé.
Pièges anticipés
24/7→ C'est la tangente de : la cotangente en est l'inverse.7/25→ C'est le cosinus de : l'hypoténuse mesure mais la cotangente ne l'utilise pas.
Exercice 51 · pratique
Tangente plus cotangente
Soit un réel de l'intervalle fermé tel que et Calculer la somme de la tangente et de la cotangente de
Écris seulement la valeur exacte, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : -289/120
Indices, dans l’ordre
- La tangente est le sinus sur le cosinus, la cotangente le cosinus sur le sinus.
- Réduis les deux fractions au même dénominateur,
Correction
- La tangente —
- La cotangente — C'est l'inverse de la tangente.
- La somme —
La tangente et la cotangente d'un même réel sont inverses l'une de l'autre, et ont le même signe.
Pièges anticipés
289/120→ L'angle est obtus : la tangente et la cotangente sont toutes les deux négatives.-161/120→ La cotangente a le même signe que la tangente : elle est négative elle aussi.
Exercice 52 · pratique
Un sinus double du cosinus
Soit un réel strictement compris entre et tel que Calculer la cotangente de
Écris seulement la valeur de la cotangente.
Réponse attendue : 1/2 — aussi acceptées : 0.5
Indices, dans l’ordre
- Le cosinus de ne peut pas être nul : sinon le sinus le serait aussi, et vaudrait ou
- Divise les deux membres de l'égalité par le cosinus de : tu obtiens la tangente.
Correction
- Pas de division par zéro — Si le cosinus était nul, le sinus le serait aussi : impossible pour entre et
- La tangente —
- La cotangente — C'est l'inverse de la tangente.
Une égalité entre le sinus et le cosinus donne directement la tangente, puis la cotangente, son inverse.
Pièges anticipés
2→ C'est la tangente : la cotangente est le cosinus sur le sinus, son inverse.
Exercice 53 · pratique
Lire la tangente sur la droite D
Soit le demi-cercle trigonométrique dans le repère et sa tangente en munie du repère où Soit le point de tel que ; la droite coupe en Déterminer la mesure algébrique
Donne la valeur exacte de la mesure algébrique.
Réponse attendue : -sqrt(3) — aussi acceptées : -√3
Indices, dans l’ordre
- La mesure algébrique est la tangente de l'angle
- Calcule le sinus et le cosinus de puis leur quotient.
Correction
- Sinus et cosinus — L'angle est le supplémentaire de
- La tangente —
Une mesure algébrique négative : le point est sous l'axe de l'autre côté de par rapport à C'est le signe de la tangente d'un angle obtus.
Pièges anticipés
sqrt(3)→ La mesure algébrique tient compte du sens : l'angle est obtus, le point est de l'autre côté de par rapport à-1.73 / -1.732→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 54 · raisonnement
Retrouver l'angle à partir de T'
Soit le demi-cercle trigonométrique dans le repère et sa tangente en munie du repère où Soit un point de distinct de et de ; la droite coupe en Déterminer, en radians, l'angle lorsque
Écris l'angle en radians, et non en degrés, avec pi.
Réponse attendue : 3*pi/4 — aussi acceptées : 3pi/4
Indices, dans l’ordre
- La mesure algébrique est la cotangente de l'angle
- Une cotangente négative : l'angle est obtus. Quel angle aigu a une cotangente égale à ?
Correction
- La cotangente — On note l'angle
- L'angle aigu associé — La cotangente de vaut ; celle de son supplémentaire vaut
La cotangente se lit sur la tangente en : son signe dit si l'angle est aigu ou obtus.
Pièges anticipés
pi/4→ La cotangente de vaut pas : une cotangente négative correspond à un angle obtus.135 / 135°→ C'est la bonne mesure, mais en degrés : la consigne la demande en radians.2.36 / 2.356→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 55 · base
Une tangente remarquable
Soit un réel de l'intervalle fermé , différent de tel que Déterminer
Écris la valeur de en radians, et non en degrés, avec pi.
Réponse attendue : 2*pi/3 — aussi acceptées : 2pi/3
Indices, dans l’ordre
- La tangente est négative : l'angle est obtus.
- Quel angle aigu a pour tangente ? Prends son supplémentaire.
Correction
- L'angle aigu — On lit le tableau des valeurs remarquables.
- Le supplémentaire — Deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées.
Une tangente négative sur l'intervalle fermé : l'angle est obtus, c'est le supplémentaire d'un angle remarquable.
Pièges anticipés
pi/3→ La tangente de vaut pas : l'angle cherché est obtus.5*pi/6→ C'est l'angle dont la tangente vaut : ici la tangente vaut120 / 120°→ C'est la bonne mesure, mais en degrés : la consigne la demande en radians.
Exercice 56 · base
Même sinus que 2π/9
Déterminer tous les réels de l'intervalle fermé tels que
Écris les deux valeurs entre accolades, séparées par un point-virgule, avec pi.
Réponse attendue : {2pi/9;7pi/9} — aussi acceptées : {2π/9;7π/9} · {2*pi/9;7*pi/9} · {2*π/9;7*π/9}
Indices, dans l’ordre
- Sur le demi-cercle trigonométrique, combien de points ont pour ordonnée ?
- Deux angles supplémentaires ont le même sinus.
Correction
- Une première solution — Le réel lui-même convient.
- Son supplémentaire — Le supplémentaire a le même sinus.
Sur , un sinus strictement compris entre et est atteint deux fois : en un angle aigu et en son supplémentaire.
Pièges anticipés
{2pi/9} / 2pi/9→ Il manque une valeur : le supplémentaire de a le même sinus.{2pi/9;5pi/18}→ est le complémentaire de : il a pour sinus le cosinus de C'est le supplémentaire qui garde le sinus.
Exercice 57 · pratique
Un calcul avec le tableau
Calculer, sans calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Lis dans le tableau le sinus de et la tangente de
- Pour passe par le supplémentaire : le cosinus change de signe.
Correction
- Les valeurs —
- Le calcul —
On lit les valeurs remarquables dans le tableau, et l'on passe par le supplémentaire pour un angle obtus.
Pièges anticipés
3→ Le cosinus de est négatif : c'est moins un demi.2*sqrt(3)-2→ Le sinus de est au carré : son carré vaut trois quarts.
Exercice 58 · raisonnement
Un carré de cosinus
Résoudre dans l'intervalle fermé l'équation : quatre fois le carré du cosinus de est égal à un.
Écris les solutions entre accolades, séparées par un point-virgule, avec pi.
Réponse attendue : {pi/3;2pi/3} — aussi acceptées : {π/3;2π/3} · {pi/3;2*pi/3} · {π/3;2*π/3}
Indices, dans l’ordre
- Le carré du cosinus vaut : le cosinus vaut un demi ou moins un demi.
- Sur , chaque valeur du cosinus donne un seul réel : traite les deux.
Correction
- Le carré —
- Deux cosinus — Un nombre et son opposé ont le même carré.
- Les solutions — Le cosinus négatif donne le supplémentaire.
Un carré donne deux valeurs opposées du cosinus ; chacune donne un réel de l'intervalle fermé .
Pièges anticipés
{pi/3} / pi/3→ Le cosinus peut aussi valoir moins un demi : il correspond à un angle obtus.{pi/6;5pi/6}→ Ce sont les réels dont le sinus vaut un demi : ici, c'est le cosinus.
Exercice 59 · base
Le sinus d'un angle aigu
Soit un réel compris entre et tel que Calculer
Écris seulement la valeur exacte du sinus.
Réponse attendue : 24/25 — aussi acceptées : 0.96
Indices, dans l’ordre
- Utilise la première relation fondamentale : la somme des carrés du cosinus et du sinus vaut un.
- Le sinus d'un réel de est positif.
Correction
- Le carré du sinus —
- Le sinus — Il est positif.
Du cosinus au sinus : la relation fondamentale donne le carré, et sur le sinus est toujours positif.
Pièges anticipés
0.72→ Tu as retiré le cosinus à un, pas son carré : la relation porte sur les carrés.0.9216→ C'est le carré du sinus : il reste à prendre la racine carrée.-0.96→ Sur , le sinus est toujours positif.
Exercice 60 · pratique
Le cosinus d'un angle obtus
Soit un réel compris entre et tel que Calculer
Écris seulement la valeur exacte du cosinus, sans rien devant.
Réponse attendue : -sqrt(5)/3 — aussi acceptées : -√5/3
Indices, dans l’ordre
- La première relation fondamentale donne le carré du cosinus.
- L'angle est obtus : quel est le signe de son cosinus ?
Correction
- Le carré du cosinus —
- Le signe — L'angle est obtus : son cosinus est négatif.
Le carré ne donne pas le signe : c'est la position de l'angle, aigu ou obtus, qui le donne.
Pièges anticipés
sqrt(5)/3→ L'angle est obtus : son cosinus est négatif.-5/9 / 5/9→ C'est le carré du cosinus, au signe près : il reste à prendre la racine carrée.-0.75 / -0.745→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 61 · defi
Une différence connue
Soit un réel compris entre et tel que Calculer
Écris seulement la valeur exacte de la tangente.
Réponse attendue : 3/4 — aussi acceptées : 0.75
Indices, dans l’ordre
- Élève au carré les deux membres : la première relation fondamentale fait apparaître le produit
- Calcule ensuite le carré de : cette somme est positive.
- Avec la somme et la différence, tu trouves le cosinus et le sinus.
Correction
- Le carré de la différence —
- Le produit —
- La somme — Le cosinus et le sinus sont positifs : leur somme aussi.
- Cosinus et sinus — On ajoute, puis on retranche, la somme et la différence.
- La tangente —
Le carré d'une somme ou d'une différence du cosinus et du sinus se simplifie grâce à la relation fondamentale.
Pièges anticipés
4/3→ C'est la cotangente : la tangente met le sinus en haut.12/25→ C'est le produit : il reste à trouver le sinus et le cosinus.
Exercice 62 · raisonnement
Une expression qui ne dépend pas de x
Soit un réel de l'intervalle fermé . Simplifier l'expression : la puissance quatrième du sinus, moins la puissance quatrième du cosinus, plus deux fois le carré du cosinus.
Écris l'expression simplifiée.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- La différence est une différence de deux carrés : factorise-la.
- L'un des deux facteurs vaut un, d'après la première relation fondamentale.
Correction
- La factorisation — On factorise la différence de deux carrés, puis on applique la relation fondamentale.
- La simplification —
Devant des puissances du sinus et du cosinus, on cherche une identité remarquable qui fasse apparaître la somme de leurs carrés.
Pièges anticipés
1+2*(cos(x))^2→ La relation fondamentale porte sur la somme des carrés : ne vaut pas Factorise cette différence de deux carrés.
Exercice 63 · pratique
De la tangente au sinus
Soit un réel de l'intervalle fermé tel que Calculer
Écris seulement la valeur exacte du sinus, sous la forme d'une fraction irréductible, sans rien devant.
Réponse attendue : 7/25
Indices, dans l’ordre
- Avec la tangente, la relation à utiliser donne l'inverse du carré du cosinus.
- La tangente est négative : l'angle est obtus, son cosinus est négatif. Le sinus, lui, est toujours positif sur .
- Termine avec
Correction
- Le carré du cosinus —
- Le cosinus — L'angle est obtus : son cosinus est négatif.
- Le sinus —
On choisit la relation qui contient le rapport connu, on fixe le signe, puis on termine avec un quotient.
Pièges anticipés
-7/25→ Sur , le sinus est toujours positif : c'est le cosinus qui porte le signe.-24/25→ C'est le cosinus de : il reste à le multiplier par la tangente.
Exercice 64 · raisonnement
De la cotangente au cosinus
Soit un réel strictement compris entre et dont la cotangente vaut Calculer
Écris seulement la valeur exacte du cosinus, sans rien devant.
Réponse attendue : sqrt(10)/10 — aussi acceptées : 1/sqrt(10) · √10/10
Indices, dans l’ordre
- La relation avec la cotangente donne l'inverse du carré du sinus : un plus le carré de la cotangente.
- Le sinus est positif. Termine avec : le cosinus est la cotangente multipliée par le sinus.
Correction
- Le carré du sinus —
- Le sinus — Il est positif.
- Le cosinus —
Avec la cotangente, on passe par le sinus : sa relation donne l'inverse du carré du sinus.
Pièges anticipés
3*sqrt(10)/10→ C'est le sinus de : multiplie-le par la cotangente pour avoir le cosinus.-sqrt(10)/10→ La cotangente est positive : l'angle est aigu, et son cosinus aussi est positif.0.32 / 0.316→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 65 · raisonnement
Du cosinus à la tangente
Soit un réel de l'intervalle fermé tel que Calculer
Écris seulement la valeur exacte de la tangente, sans rien devant.
Réponse attendue : -sqrt(15) — aussi acceptées : -√15
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord le sinus avec la première relation fondamentale : il est positif.
- La tangente est le sinus divisé par le cosinus.
Correction
- Le sinus —
- La tangente —
Le sinus est toujours positif sur l'intervalle fermé : la tangente a donc le signe du cosinus.
Pièges anticipés
sqrt(15)→ Le cosinus est négatif : la tangente aussi.-sqrt(15)/15→ C'est la cotangente, le cosinus divisé par le sinus : la tangente en est l'inverse.-3.87 / -3.873→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 66 · base
La tangente d'un angle obtus
Donner la valeur exacte de
Écris seulement la valeur exacte, sans rien devant.
Réponse attendue : -sqrt(3)/3 — aussi acceptées : -1/sqrt(3) · -√3/3
Indices, dans l’ordre
- Écris sous la forme
- Deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées.
Correction
- Le supplémentaire —
- La tangente —
Pour un angle obtus, la tangente est l'opposée de celle du supplémentaire.
Pièges anticipés
sqrt(3)/3→ L'angle est obtus : sa tangente est négative.-sqrt(3)→ C'est l'opposé de la tangente de : ici l'angle est le supplémentaire de-0.58 / -0.577→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 67 · pratique
Quatre tangentes, deux négatives
Calculer, sans calculatrice,
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : 1
Indices, dans l’ordre
- Cherche les angles complémentaires et les angles supplémentaires parmi et
- Deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées ; deux angles complémentaires ont des tangentes inverses.
Correction
- Les angles supplémentaires — et sont les supplémentaires de et de
- Les angles complémentaires — : leurs tangentes sont inverses.
- Le produit — On remplace les deux tangentes négatives : les deux signes moins se compensent.
Supplémentaires : tangentes opposées ; complémentaires : tangentes inverses. On regroupe les facteurs par paires.
Pièges anticipés
-1→ Les deux tangentes des angles obtus sont négatives : deux signes moins, le produit est positif.
Exercice 68 · raisonnement
Trois rapports d'angles associés
Soit un réel compris entre et tel que Calculer la somme de de la cotangente de et de la cotangente de
Écris seulement le nombre.
Réponse attendue : -1/2 — aussi acceptées : -0.5
Indices, dans l’ordre
- Deux angles supplémentaires ont des tangentes opposées et des cotangentes opposées.
- Deux angles complémentaires échangent tangente et cotangente.
- La cotangente de est l'inverse de sa tangente.
Correction
- Le supplémentaire —
- Le complémentaire — La cotangente de est la tangente de
- La dernière — La cotangente de est l'opposée de celle de qui vaut un demi.
- La somme —
Supplémentaires : tangentes et cotangentes opposées. Complémentaires : tangente et cotangente échangées.
Pièges anticipés
1/2→ La cotangente de est l'opposée de celle de-9/2→ Pour deux angles complémentaires, rien ne change de signe : la cotangente de l'un est la tangente de l'autre.
Exercice 69 · pratique
Le cosinus de 5π/8
On admet que le sinus de vaut Donner la valeur exacte du cosinus de
Écris seulement la valeur exacte, sans rien devant.
Réponse attendue : -sqrt(2-sqrt(2))/2 — aussi acceptées : -√(2-√2)/2
Indices, dans l’ordre
- L'angle est le supplémentaire de
- L'angle est le complémentaire de
Correction
- Le supplémentaire — Le cosinus change de signe.
- Le complémentaire — Le cosinus de l'un est le sinus de l'autre.
- Le résultat —
Avec les angles supplémentaires et complémentaires, les valeurs de donnent celles de de et de
Pièges anticipés
sqrt(2-sqrt(2))/2→ C'est le cosinus de : l'angle est obtus, son cosinus est négatif.-sqrt(2+sqrt(2))/2→ C'est l'opposé du cosinus de : le cosinus de est le sinus de son complémentaire.-0.38 / -0.383→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 70 · raisonnement
La tangente de 3π/8
On sait que Donner la valeur exacte de la tangente de sans racine au dénominateur.
Écris la valeur exacte, sans racine au dénominateur.
Réponse attendue : sqrt(2)+1 — aussi acceptées : 1+sqrt(2) · √2+1 · 1+√2
Indices, dans l’ordre
- Les angles et sont complémentaires : la tangente de l'un est la cotangente de l'autre.
- La cotangente est l'inverse de la tangente. Pour ôter la racine du dénominateur, multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée du dénominateur.
Correction
- Le complémentaire —
- La quantité conjuguée —
Complémentaires : les tangentes sont inverses. Supplémentaires : elles sont opposées.
Pièges anticipés
1-sqrt(2)→ C'est la tangente de le supplémentaire : ici, les angles sont complémentaires.sqrt(2)-1→ C'est la tangente de : celle de son complémentaire en est l'inverse.2.41 / 2.414→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 71 · defi
L'aire d'un triangle d'angle π/8
Soit un triangle rectangle en tel que et On note le milieu de et le pied de la hauteur issue de Calculer l'aire du triangle sans écrire l'unité.
Donne la valeur exacte de l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 25*sqrt(2)/2 — aussi acceptées : 25√2/2 · 25/sqrt(2)
Indices, dans l’ordre
- L'aire est la moitié de : il faut la hauteur
- Le milieu de l'hypoténuse est à égale distance des trois sommets ; le triangle est isocèle en : calcule l'angle
- Le triangle est rectangle en : est le côté opposé à l'angle
Correction
- Le milieu de l'hypoténuse —
- Les angles en O — Le triangle est isocèle en : ses angles à la base mesurent
- La hauteur — Dans le triangle rectangle en
- L'aire — La moitié de la base par la hauteur.
Le milieu de l'hypoténuse fait apparaître le double de l'angle c'est-à-dire un angle remarquable.
Pièges anticipés
5*sqrt(2)/2→ C'est la hauteur : il reste à calculer l'aire, la moitié de25*sqrt(2)→ Tu as oublié la moitié : l'aire est17.68 / 17.678→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 72 · base
La hauteur par deux segments
Dans un triangle rectangle en le pied de la hauteur issue de vérifie et Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Les angles et sont égaux : écris leur tangente dans les triangles et
- Le carré de la hauteur est le produit des deux segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse.
Correction
- Le carré de la hauteur —
- La hauteur — Une longueur est positive.
Dans un triangle rectangle, le carré de la hauteur issue de l'angle droit est le produit des deux segments et
Pièges anticipés
16→ C'est : prends la racine carrée.5→ La hauteur n'est pas la moyenne des deux segments : son carré est leur produit.
Exercice 73 · pratique
Un côté de l'angle droit par la hauteur
Dans un triangle rectangle en la hauteur mesure et Calculer
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 3*sqrt(13) — aussi acceptées : 3√13 · sqrt(117)
Indices, dans l’ordre
- La relation donne
- Le triangle est rectangle en : tu connais ses deux côtés de l'angle droit.
Correction
- Le segment HC — On utilise
- Le côté AC — Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en
- La longueur —
La hauteur relative à l'hypoténuse donne le segment manquant ; on vérifie avec
Pièges anticipés
2*sqrt(13)→ C'est du côté de : pour il faut d'abord le segment117→ C'est : il reste à prendre la racine carrée.10.82 / 10.817→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 74 · raisonnement
La hauteur et une tangente
Soit un triangle rectangle en et le pied de la hauteur issue de On sait que et que la tangente de l'angle vaut Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- Dans le triangle rectangle en la tangente de donne
- Puis utilise ou la tangente de l'angle égal à
Correction
- La hauteur — Dans le triangle le côté opposé à est
- Le segment HC —
L'angle est égal à l'angle : on peut aussi écrire
Pièges anticipés
6→ C'est : il reste à utiliser le carré de la hauteur.2→ Pour l'angle le côté opposé est et le côté adjacent :
Exercice 75 · base
Un angle de cosinus 5/13
Pour construire un angle aigu dont le cosinus vaut on construit un triangle rectangle d'hypoténuse dont un côté de l'angle droit mesure Calculer la longueur du troisième côté.
Donne la longueur du troisième côté.
Réponse attendue : 12
Indices, dans l’ordre
- Le cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse : le côté de longueur est adjacent à l'angle
- Le théorème de Pythagore donne le troisième côté.
Correction
- Pythagore — Le troisième côté est un côté de l'angle droit.
Le troisième côté est opposé à l'angle : le sinus de vaut donc
Pièges anticipés
sqrt(194)→ Le côté cherché n'est pas l'hypoténuse : on retranche les carrés, on ne les ajoute pas.8→ On ne soustrait pas les longueurs : le théorème de Pythagore porte sur les carrés.
Exercice 76 · pratique
Un angle obtus de sinus 0,6
On construit sur le demi-cercle trigonométrique l'angle obtus dont le sinus vaut : on trace la parallèle à d'ordonnée et l'on garde le point d'abscisse négative. Calculer le cosinus de
Écris seulement la valeur exacte du cosinus.
Réponse attendue : -4/5 — aussi acceptées : -0.8
Indices, dans l’ordre
- Le point construit est sur le demi-cercle : la somme des carrés de ses coordonnées vaut
- L'angle est obtus : son cosinus est négatif.
Correction
- Le carré du cosinus —
- Le signe — On a gardé le point d'abscisse négative.
Un sinus donne deux points du demi-cercle : il faut savoir si l'on veut l'angle aigu ou l'angle obtus.
Pièges anticipés
4/5 / 0.8→ C'est le cosinus de l'angle aigu : le point choisi a une abscisse négative.-0.4→ Le cosinus n'est pas un moins le sinus : ce sont les carrés qui ont pour somme un.
Exercice 77 · base
Un côté par la loi du sinus
Soit un triangle tel que et Calculer
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 5*sqrt(2) — aussi acceptées : 5√2 · sqrt(50)
Indices, dans l’ordre
- Le côté est opposé à l'angle le côté à l'angle
- D'après la loi du sinus, chaque côté divisé par le sinus de l'angle opposé donne le même quotient.
Correction
- La loi du sinus —
- Le calcul —
Dans un triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
Pièges anticipés
5*sqrt(2)/2→ Tu as inversé les sinus : le côté est opposé à l'angle le côté à l'angle7.07 / 7.071→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 78 · pratique
Un angle obtus par la loi du sinus
Soit un triangle tel que et On sait de plus que l'angle est obtus. Calculer la mesure en degrés de l'angle
Écris seulement le nombre de degrés.
Réponse attendue : 135
Indices, dans l’ordre
- Écris la loi du sinus avec les côtés et : elle donne le sinus de
- Deux angles ont ce sinus : l'énoncé te dit lequel garder.
Correction
- Le sinus de B —
- L'angle obtus — On prend le supplémentaire de degrés.
Un sinus ne suffit pas à fixer un angle : il en donne deux, supplémentaires. Ici, mesure degrés.
Pièges anticipés
45 / 45°→ Un sinus égal à correspond à deux angles : l'énoncé dit que est obtus.
Exercice 79 · pratique
Deux sinus connus
Dans un triangle on a et Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 15/2 — aussi acceptées : 7.5
Indices, dans l’ordre
- Le côté est opposé à l'angle le côté à l'angle
- Écris l'égalité de la loi du sinus avec ces deux côtés.
Correction
- La loi du sinus —
- Le calcul —
Chaque côté va avec le sinus de l'angle qui lui fait face.
Pièges anticipés
54/5 / 10.8→ Le côté est opposé à l'angle : c'est le sinus de qui va avec lui.
Exercice 80 · base
Le partage d'un côté
Dans un triangle on a et La bissectrice intérieure de l'angle coupe le côté en Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 5/2 — aussi acceptées : 2.5
Indices, dans l’ordre
- D'après le théorème des bissectrices, le rapport de à est celui de à
- Le point est sur le segment : Partage en parts proportionnelles à et à
Correction
- Le rapport —
- Le partage — Sur parts, en prend
La bissectrice intérieure partage le côté opposé en deux segments proportionnels aux côtés voisins.
Pièges anticipés
7/2 / 3.5→ C'est : le segment est du côté de il est proportionnel à3→ La bissectrice ne coupe pas en son milieu : elle le partage dans le rapport des côtés voisins.
Exercice 81 · pratique
Retrouver un côté avec la bissectrice
Dans un triangle la bissectrice intérieure de l'angle coupe le côté en avec et On sait que Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- Le théorème des bissectrices relie et
- Le segment va avec le côté le segment avec le côté
Correction
- Le rapport —
- Le côté —
Le théorème des bissectrices se lit dans les deux sens : du partage du côté, on remonte aux côtés voisins.
Pièges anticipés
18/5 / 3.6→ Le rapport est dans l'autre sens : va avec comme avec
Exercice 82 · raisonnement
La bissectrice extérieure
Soit un triangle tel que et La bissectrice extérieure de l'angle coupe la droite en un point Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 10
Indices, dans l’ordre
- D'après le théorème des bissectrices,
- Comme le point est plus près de que de : il est sur la droite au-delà de Donc
Correction
- Le rapport —
- La position de J — Le point est hors du segment du côté de
- La longueur —
La bissectrice extérieure partage elle aussi le côté opposé dans le rapport des côtés voisins, mais à l'extérieur du segment.
Pièges anticipés
2→ C'est la distance de au pied de la bissectrice intérieure : le point est à l'extérieur du segment
Exercice 83 · base
Le rayon du cercle circonscrit
Soit un triangle tel que et Calculer le rayon de son cercle circonscrit.
Donne le rayon
Réponse attendue : 6
Indices, dans l’ordre
- Le côté divisé par le sinus de l'angle opposé est égal à
- Le sinus de degrés vaut un demi.
Correction
- La loi du sinus —
- Le rayon —
Le quotient d'un côté par le sinus de l'angle opposé est le diamètre du cercle circonscrit.
Pièges anticipés
12→ Le quotient vaut le diamètre : divise par deux.3→ On divise par le sinus, on ne multiplie pas.
Exercice 84 · base
Un côté et le rayon
Un triangle est inscrit dans un cercle de rayon et Calculer
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 5*sqrt(3) — aussi acceptées : 5√3 · sqrt(75)
Indices, dans l’ordre
- Le côté opposé à un angle est égal à multiplié par le sinus de cet angle.
- Le côté opposé à est
Correction
- La loi du sinus —
- Le calcul —
Côté égale diamètre du cercle circonscrit fois sinus de l'angle opposé.
Pièges anticipés
5*sqrt(3)/2→ On multiplie le sinus par le diamètre pas par le rayon.8.66→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 85 · raisonnement
Le cercle d'un triangle équilatéral
Calculer le rayon du cercle circonscrit à un triangle équilatéral de côté
Donne la valeur exacte du rayon.
Réponse attendue : 3*sqrt(3) — aussi acceptées : 3√3 · 9/sqrt(3) · sqrt(27)
Indices, dans l’ordre
- Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent degrés.
- Le côté divisé par le sinus de l'angle opposé donne
Correction
- Le diamètre —
- Le rayon —
Pour un triangle équilatéral de côté le rayon du cercle circonscrit vaut soit les deux tiers de la hauteur.
Pièges anticipés
9*sqrt(3)/2→ C'est la hauteur du triangle équilatéral, pas le rayon de son cercle circonscrit.6*sqrt(3)→ Le côté divisé par le sinus de degrés donne : divise encore par deux.5.2 / 5.196→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 86 · defi
Le périmètre par le cercle circonscrit
Soit un triangle inscrit dans un cercle de rayon tel que et On admet que le sinus de degrés vaut Calculer le périmètre de ce triangle.
Donne la valeur exacte du périmètre.
Réponse attendue : 3*sqrt(2)+2*sqrt(3)+sqrt(6) — aussi acceptées : 3√2+2√3+√6
Indices, dans l’ordre
- Le troisième angle se déduit des deux autres.
- D'après la loi du sinus, chaque côté est égal à multiplié par le sinus de l'angle opposé.
- Additionne les trois côtés et regroupe les racines de deux.
Correction
- Le troisième angle —
- Les trois côtés — Ici,
- Le périmètre —
Avec le rayon du cercle circonscrit et les trois angles, la loi du sinus donne les trois côtés.
Pièges anticipés
(3*sqrt(2)+2*sqrt(3)+sqrt(6))/2→ Chaque côté vaut fois le sinus de l'angle opposé : le diamètre, pas le rayon.10.16 / 10.156→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 87 · base
Deux côtés et l'angle compris
Soit un triangle tel que et Calculer l'aire de ce triangle, sans écrire l'unité.
Donne l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 15
Indices, dans l’ordre
- On connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment : l'aire est la moitié de leur produit par le sinus de cet angle.
- Le sinus de degrés est celui de son supplémentaire, degrés.
Correction
- Le sinus —
- L'aire —
L'aire d'un triangle est le demi-produit de deux côtés par le sinus de l'angle qu'ils forment, même obtus.
Pièges anticipés
30→ Tu as oublié le un demi de la formule.15*sqrt(3)→ C'est avec le sinus de degrés : le sinus de degrés est celui de degrés, un demi.
Exercice 88 · defi
Le troisième côté d'un triangle d'aire connue
Soit un triangle d'aire tel que et que l'angle soit obtus. Calculer
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : sqrt(160+48*sqrt(3)) — aussi acceptées : 4*sqrt(10+3*sqrt(3)) · √(160+48√3) · 4√(10+3√3)
Indices, dans l’ordre
- La formule de l'aire donne le sinus de l'angle
- L'angle est obtus : quel est-il, et quel est son cosinus ?
- Le théorème d'El-Kashi donne alors
Correction
- Le sinus —
- L'angle obtus —
- El-Kashi —
- Le côté —
L'aire donne le sinus ; il faut encore savoir si l'angle est aigu ou obtus pour avoir le bon cosinus.
Pièges anticipés
sqrt(160-48*sqrt(3)) / 4*sqrt(10-3*sqrt(3))→ C'est le résultat pour l'angle aigu de degrés : l'énoncé dit que l'angle est obtus.160+48*sqrt(3)→ C'est : prends la racine carrée.15.59 / 15.593→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 89 · raisonnement
De l'aire à l'angle, puis au côté
Soit un triangle d'aire tel que et que l'angle soit aigu. Calculer
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : 2*sqrt(7) — aussi acceptées : 2√7 · sqrt(28)
Indices, dans l’ordre
- La formule de l'aire donne le sinus de l'angle
- L'angle est aigu : on en déduit sa mesure, puis le théorème d'El-Kashi donne
Correction
- Le sinus —
- L'angle — Il est aigu.
- El-Kashi —
La formule de l'aire se lit à l'envers : elle donne le sinus de l'angle compris entre deux côtés connus.
Pièges anticipés
2*sqrt(19)→ C'est le résultat pour l'angle obtus de degrés : ici, l'angle est aigu.28→ C'est : prends la racine carrée.5.29 / 5.292→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 90 · defi
La grande diagonale d'un parallélogramme
Soit un parallélogramme tel que et Calculer la longueur de la diagonale
Donne la longueur
Réponse attendue : 7
Indices, dans l’ordre
- Dans le parallélogramme, et l'angle est le supplémentaire de l'angle
- Applique le théorème d'El-Kashi dans le triangle avec l'angle en
Correction
- L'angle en B — Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires.
- El-Kashi — Le cosinus de degrés vaut moins un demi.
- La diagonale —
La diagonale fait face à l'angle obtus du triangle : c'est la grande diagonale.
Pièges anticipés
sqrt(19)→ C'est la petite diagonale celle qui fait face à l'angle de degrés.49→ C'est : prends la racine carrée.
Exercice 91 · pratique
Le plus grand angle
Soit un triangle tel que et Calculer la mesure en degrés de son plus grand angle.
Écris seulement le nombre de degrés.
Réponse attendue : 120
Indices, dans l’ordre
- Le plus grand angle est opposé au plus grand côté, : c'est l'angle
- Le théorème d'El-Kashi donne le cosinus de
Correction
- Le cosinus —
- L'angle — Le seul angle de cosinus moins un demi.
Quand on connaît les trois côtés, El-Kashi donne le cosinus de chaque angle ; le plus grand angle fait face au plus grand côté.
Pièges anticipés
60 / 60°→ Le cosinus vaut moins un demi : l'angle est obtus, c'est le supplémentaire de degrés.
Exercice 92 · raisonnement
Une aire par El-Kashi
Soit un triangle tel que et Calculer puis l'aire de ce triangle. Donner l'aire, sans écrire l'unité.
Donne la valeur exacte de l'aire.
Réponse attendue : 4*sqrt(6) — aussi acceptées : 4√6 · sqrt(96)
Indices, dans l’ordre
- Le théorème d'El-Kashi donne le cosinus de l'angle opposé à
- La relation fondamentale donne ensuite le sinus, positif.
- L'aire est le demi-produit de et de par ce sinus.
Correction
- Le cosinus —
- Le sinus —
- L'aire —
Des trois côtés à l'aire : El-Kashi donne le cosinus, la relation fondamentale le sinus, puis la formule de l'aire. La formule de Héron donne le même résultat.
Pièges anticipés
-1/5→ C'est le cosinus de : la consigne demande l'aire.10→ L'aire n'est pas la moitié du produit de deux côtés : il faut multiplier par le sinus de l'angle qu'ils forment.9.8 / 9.798→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 93 · defi
Deux triangles possibles
Soit un triangle tel que et Déterminer toutes les valeurs possibles de
Écris les valeurs entre accolades, séparées par un point-virgule.
Réponse attendue : {1;4} — aussi acceptées : AB=1 ou AB=4 · AB=4 ou AB=1
Indices, dans l’ordre
- Écris le théorème d'El-Kashi avec l'angle opposé au côté ; l'inconnue est
- Tu obtiens une équation du second degré : résous-la.
Correction
- El-Kashi — On note la longueur
- L'équation —
- Les solutions — Les deux racines sont positives : deux triangles conviennent.
Quand l'inconnue est un côté adjacent à l'angle connu, El-Kashi donne une équation du second degré, qui peut avoir deux solutions.
Pièges anticipés
{4} / 4 / {1} / 1→ Les deux racines sont positives : il y a deux triangles possibles, avec et avec
Exercice 94 · defi
La longueur d'une médiane
Soit un triangle tel que et et le milieu de Calculer la longueur de la médiane
Donne la valeur exacte de
Réponse attendue : sqrt(14) — aussi acceptées : √14
Indices, dans l’ordre
- Calcule d'abord avec le théorème d'El-Kashi dans le triangle
- Applique-le de nouveau dans le triangle où
Correction
- L'angle en B —
- Le triangle ABM —
- La médiane —
Le même angle appartient à deux triangles : El-Kashi dans l'un donne son cosinus, El-Kashi dans l'autre donne la longueur cherchée.
Pièges anticipés
7→ Une médiane n'est pas la moyenne des deux côtés : il faut passer par un angle du triangle.14→ C'est : prends la racine carrée.3.74 / 3.742→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 95 · pratique
L'aire d'un quadrilatère
Les diagonales d'un quadrilatère convexe mesurent et et forment un angle de Calculer l'aire de sans écrire l'unité.
Donne l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 35/2 — aussi acceptées : 17.5
Indices, dans l’ordre
- L'aire d'un quadrilatère est la moitié du produit de ses diagonales par le sinus de l'angle qu'elles forment.
- Le sinus de degrés vaut un demi.
Correction
- La formule —
- Le calcul —
Les quatre triangles découpés par les diagonales ont tous le même sinus en leur sommet commun : d'où la formule.
Pièges anticipés
35→ On prend la moitié du produit des diagonales par le sinus : tu as oublié le un demi.35*sqrt(3)/2→ C'est avec le cosinus de degrés : la formule utilise le sinus.
Exercice 96 · raisonnement
L'angle des diagonales
Un quadrilatère convexe a pour aire et ses diagonales mesurent et Calculer, en degrés, l'angle aigu formé par ses diagonales.
Écris seulement le nombre de degrés.
Réponse attendue : 30
Indices, dans l’ordre
- Écris la formule de l'aire avec l'angle des diagonales comme inconnue.
- Tu obtiens le sinus de cet angle : quel angle aigu a ce sinus ?
Correction
- La formule — On note l'angle aigu des diagonales.
- L'angle —
Les diagonales forment deux angles supplémentaires, de même sinus : la formule de l'aire ne les distingue pas.
Pièges anticipés
60 / 60°→ Le sinus de l'angle vaut un demi : c'est l'angle de degrés, pas celui de150 / 150°→ C'est l'angle obtus formé par les diagonales : on demande l'angle aigu.
Exercice 97 · raisonnement
L'angle au sommet E
Soit un carré et un triangle équilatéral construit à l'intérieur du carré. Calculer, en degrés, l'angle
Écris seulement le nombre de degrés.
Réponse attendue : 150
Indices, dans l’ordre
- Le triangle est isocèle en : calcule l'angle puis l'angle
- Déduis-en l'angle Le point est sur la médiatrice de : le triangle est isocèle en
Correction
- Le triangle ABE — : il est isocèle en
- L'angle en A —
- Le triangle AED — Il est isocèle en
Dans une figure où se cachent des triangles isocèles, on avance angle par angle avec la somme des angles d'un triangle.
Pièges anticipés
75→ C'est l'angle : poursuis dans le triangle30→ C'est l'angle : l'angle cherché est en dans le triangle
Exercice 98 · defi
L'aire du triangle AED
Soit un carré de côté et un triangle équilatéral construit à l'intérieur du carré. Calculer l'aire du triangle sans écrire l'unité.
Donne la valeur exacte de l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 18-9*sqrt(3) — aussi acceptées : 9*(2-sqrt(3)) · 18-9√3 · 9(2-√3)
Indices, dans l’ordre
- Prends pour base : il faut la distance de à la droite
- La hauteur du triangle équilatéral donne la distance de à la droite
- La distance de à est le côté du carré moins cette hauteur.
Correction
- La hauteur de EBC — La hauteur d'un triangle équilatéral de côté est
- La distance de E à (AD) — Les droites et sont distantes de
- L'aire —
On vérifie avec la formule de l'aire : et donc
Pièges anticipés
9*sqrt(3)→ Tu as pris la hauteur de comme hauteur de : la distance de à est9→ C'est l'aire du triangle : la question porte sur36-18*sqrt(3)→ Tu as oublié la moitié : l'aire d'un triangle est la moitié de la base par la hauteur.2.41 / 2.412→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.
Exercice 99 · base
Quel cas d'isométrie ?
Deux triangles et vérifient et : ils sont isométriques. Préciser le numéro du cas d'isométrie du cours qui permet de l'affirmer.
Écris seulement le numéro du cas : 1, 2 ou 3.
Réponse attendue : 2
Indices, dans l’ordre
- Compte ce que l'on connaît : des côtés, des angles ?
- L'angle égal est-il compris entre les deux côtés égaux ?
Correction
- Les données — Deux côtés égaux, et et et l'angle qu'ils forment, en et en
- Le cas — Un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux.
Avec El-Kashi, deux côtés et l'angle qu'ils forment donnent le troisième côté :
Pièges anticipés
1→ Le premier cas porte sur un côté compris entre deux angles : ici, on connaît deux côtés et l'angle qu'ils forment.3→ Le troisième cas demande les trois côtés : ici, on ne connaît pas et
Exercice 100 · raisonnement
Deux hauteurs égales
Soit un triangle isocèle en tel que et On désigne par et les hauteurs issues de et de Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 48/5 — aussi acceptées : 9.6
Indices, dans l’ordre
- Calcule l'aire du triangle avec la hauteur issue de : elle tombe au milieu de
- La même aire s'écrit aussi avec la base et la hauteur
- Les triangles et sont isométriques :
Correction
- La hauteur issue de A — Elle coupe en son milieu.
- L'aire —
- La hauteur CK — Elle est relative au côté
Les triangles et ont le côté commun compris entre deux angles égaux : ils sont isométriques, et
Pièges anticipés
8→ C'est la hauteur issue de : est la hauteur relative au côté24/5 / 4.8→ Une hauteur est le double de l'aire divisé par la base : n'oublie pas le facteur deux.
Exercice 101 · pratique
Un triangle agrandi
Les côtés d'un triangle mesurent et Un triangle semblable à celui-ci a pour périmètre Calculer la longueur de son plus grand côté.
Donne la longueur du plus grand côté.
Réponse attendue : 18
Indices, dans l’ordre
- Les côtés de deux triangles semblables sont proportionnels : leurs périmètres aussi.
- Le premier triangle a pour périmètre : quel est le rapport de similitude ?
Correction
- Le rapport —
- Le plus grand côté — On multiplie le plus grand côté du premier triangle.
Le rapport de similitude multiplie toutes les longueurs, donc aussi le périmètre.
Pièges anticipés
15→ On ne partage pas le périmètre en trois parts égales : le rapport de similitude est et l'on multiplie le plus grand côté,
Exercice 102 · raisonnement
Deux triangles semblables dans un triangle
Soit un triangle tel que et Soit le point du segment tel que et un point du segment tel que Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 4
Indices, dans l’ordre
- Les triangles et ont l'angle en en commun et un deuxième angle égal : ils sont semblables.
- Fais correspondre les sommets : avec avec avec Les côtés homologues sont proportionnels.
Correction
- Deux angles égaux —
- Les côtés homologues — Le côté correspond à et le côté à
- Le calcul —
Pour des triangles semblables, on associe d'abord les sommets d'angles égaux : les côtés homologues sont ceux qui leur font face.
Pièges anticipés
9/4 / 2.25→ Tu as associé à comme si était parallèle à : ici, l'angle en est égal à l'angle en donc correspond à
Exercice 103 · defi
Les côtés d'après la hauteur et l'hypoténuse
Soit un triangle rectangle en avec dont l'hypoténuse mesure et la hauteur mesure Calculer
Donne la longueur
Réponse attendue : 20
Indices, dans l’ordre
- Les longueurs et ont pour somme et pour produit
- Ce sont les racines d'une équation du second degré. Le plus grand côté de l'angle droit correspond au plus grand des deux segments.
- Termine avec
Correction
- Somme et produit —
- L'équation —
- Le bon segment — Comme et le plus grand côté va avec le plus grand segment.
- Le côté —
Les relations métriques se combinent : donne les deux segments, donne le côté.
Pièges anticipés
15→ C'est le plus petit côté de l'angle droit.16→ C'est : il reste à utiliser
Exercice 104 · base
Héron avec des entiers
Calculer, avec la formule de Héron, l'aire d'un triangle dont les côtés mesurent et sans écrire l'unité.
Donne l'aire, le nombre seul.
Réponse attendue : 36
Indices, dans l’ordre
- Commence par le demi-périmètre.
- Retire chaque côté au demi-périmètre, multiplie les quatre nombres, puis prends la racine carrée.
Correction
- Le demi-périmètre —
- Les écarts —
- La formule —
La formule de Héron donne l'aire à partir des trois côtés seulement, sans aucun angle.
Pièges anticipés
1296→ C'est le carré de l'aire : prends la racine carrée.
Exercice 105 · defi
Le rayon par Héron
Soit un triangle tel que et Calculer son aire avec la formule de Héron, puis le rayon de son cercle circonscrit. Donner
Donne la valeur exacte de sous la forme d'une fraction irréductible.
Réponse attendue : 625/48
Indices, dans l’ordre
- Le demi-périmètre vaut : applique la formule de Héron.
- L'aire s'écrit aussi avec les trois côtés : déduis-en
Correction
- L'aire —
- Le rayon —
Héron donne l'aire à partir des côtés ; la formule relie ensuite l'aire au cercle circonscrit.
Pièges anticipés
625/24→ La formule est : on divise le produit des côtés par pas par168→ C'est l'aire : il reste à calculer le rayon.13.02 / 13.021→ C'est une valeur approchée : la consigne demande la valeur exacte.